Condições de Contorno mais Gerais no Espalhamento Aharonov-Bohm de uma Partícula...

i

Universidade de São Paulo

Instituto de Física

CONDIÇÔES DE CONTORNO MAIS GERAIS NO

ESPALHAMENTO DE AHARONOV-BOHM DE UMA

PARTÍCULA DE DIRAC EM DUAS DIMENSÕES:

CONSERVAÇÃO DA HELICIDADE E DA SIMETRIA

DE AHARONOV-BOHM

V ANILSE DA SILVA ARAUJO

Tese de doutorado

subm.etida ao Instituto de física

da Universidade de São Paulo

Banca examinadora:

ProL Dr. Francisco Antonio Bezerra Coutinho

J'"",,,,,,,,'

14,,",

pr<a.

á4:L

ProL Dr. João Carlos Alves Barata

ProL Dr. Marcelo O.

Caminha

Gomes

Prof. Dr, Henrique von Dreifus

ProL

Dr.

Amír 0, Caldeira

ORIENTADOR: ProL Dr. FRANCISCO ANTONIO BEZERR!

CO-ORIENTADOR: PrOL Dr. JOSÉ FERNANDO PEREZ

ｾｉＢ＠

\ '

..

\:' \

ｾｴ･ＢＧｾＧ＠

1

São Paulo, 2000.

ＢＮＬ｣Ｎ｜ｾ＠ b'

ｾｴｦｯ｜ＶＡＮ＠

i I ,

,

_,

,

FICHA CATALOGRÁFICA

Preparada pelo Serviço de Biblioteca e Informação

do Instituto de Fisica da Universidade de São Paulo

Araujo, Vanilse da Silva

Condições de contorno mais gerais no espalhamento Aharonov-Bohm de uma partícula de Dirac em duas dimensões: conservação da helicidade e da simetria de Aharonov-Bohm. São Paulo, 2000.

Tese (Doutorado) - Universidade de São Paulo. Instituto de Fisica - Departamento de Física Matemática.

Orientador: Prol. Dr. Francisco Antônio Bezerra Coutinho

Área de Concentração: Física

Unitermos: 1. Eleito Aharonov-Bohm; 2. Extensões Auto-adjuntas; 3. CondiçÕes de contorno.

USP/IF/SBI-02612000

Dedico essa tese a fluemfaz parle

de

minha história e

me ensina a escrevê-Ia com doçura

é

confmnça.

A

quem inspira em meu coração o amor

de

Deus e a

Vida

e

me fazendo olhar para

0$

lírios

de

campo e para as aves

do

céu,

transforma os probtentllS em meros detalhes a serem sempre superados.

A

quem ilumina meu

clll1linho com ó seu sorriso e

me empresta sua coragem, pondo seus braços" disposiçi1o.

Dedico a quem eu amo

:

Jeff.

"91 SONJyAOJd

Agradecimentos

Agradeço a CAPES pelo apoio financeiro.

Agradeço ao Prof. Coutinho e ao Proi Perez, pessoas que, antes de tudo,

admiro pelo indiscutível brilhantismo acadêmico.

Particularmente ao Prof. Coutinho, agradeço pela sugestão do tema, por

compartilhar seus conhecimentos, pela orientação que permitiu meu

desenvolvimento científico e também meu desenvolvimento pessoal,

impondo-me maior autoconfiança.

Agradeço ao Prof. Perez pela co-orientação, por sua positividade, pelas

discussões imprescindíveis nos vários momentos críticos desse trabalho.

Agradeço também aos Profs. Coutinho e Perez pela compreensão, pelo apoio

em diversas situações e pelo bom humor constante que sempre me contagiou.

Agradeço ao Proi Barata pelo auxílio norteador, pelas sugestões

enriqueeedoras e pela apreciação do artigo.

Agradeço a todos os meus amigos que contribuíram direta ou indiretamente e

em especial ao Prof. CavaUari e ao Proi Guidorizzi.

Agradeço a minha saudosa mãe Abigail e ao meu querido pai José pelos seus

esforços sem limites, que permitiram minha formação humana e acadêmica e

por seus testemunhos de vida, que sempre me inspiraram na busca de meus

ideais.

Agradeço ao meu amigo Tadeu por ser meu irmão muito querido e com quem

sempre pude contar.

Agradeço aos familiares do Jefferson: Dna. Ile, tia Vilma, Fabiana, César,

Andrea e André pela generosidade e pelo zelo com o qual sempre me

cercaram, pelo incentivo e pelo apoio que me deram.

Agradeço ao Jefferson, dádiva maravilhosa do Senhor em minha vida, por seu

amor, paciência e sabedoria e por estar sempre junto, abraçando com ternura e

vontade as 'nossas causas'

.

I

Resumo

)I""", tese, mostramos que a HamiltonÍana H e o operador helicidade A de uma partícula de Dirac que se movimenta em duas dimensões na presença. de um tubo de fluxo magnético infinitamente fino na. origem admitem, cada um, uma

fa.mflia de quatro parâmetros de ext<msôes auto.-adjuntas. Para cada extensão

correspondem condições de contorno a serem satisfeitas pelas auto-funções na

origem. Apesar dos operadorES

H

e A formalmente comutarem antes da

especi-ficação

das condições de contorno, para. garantirmos a conservação da helicidade, não é suficiente obtermos as mesmas condições de contorno para amboo os oper-adoteSt ou seja, não é suficient€ a determinação de um domínio comum a ambos.

Mostramos que. para. <:ertas relações entre os parâmetros das extensões satisfeitas é possível a determinação dos domínios mais gerais onde ambos os operadores

H e A são allt<>-adjuntos e onde a helicidade é conservada, simultaneamente com

a preservação da simetria de Aharonov-Bohm

(if, _ '"

+

1), onde'" ê o fluxo

magnetico em unjdades naturais. Nossos resultados implicam que, nem a

" !

Abstract

We show lhal bolh the Hamillonian H and lhe helicity operaoor A of aDira<:

particle moving in two dimension in the' presenee

of

an ínfinitely thin magnetic

flux tube adrnit each a fonr-parameter family of self-adíoint extensions. Each extension is in ooe-to.one correspondenoo wilh lhe boundary conditions (BC's) to

be satisfied by lhe eígennmctions at the origin. Allhough the actions af these two

operators commute before specification af boundary oonditions, to etlSurc

helicity

conservation ít i5 not sufficient to

take

the same BC's for both operators. We shmv

ｴｨ｡Ｎｴｾ＠ given certain relations between the parameters ofthe extensions lt is possible

to write down the most general domain where both operators

H

and

A are ｳ･ｬｦｾ＠

adjoint with helicity coDServation and also Aharonov-Bohm symmetry ('" -4 4>+1)

preserved, where '" ia the magnet;c flux in natural units. The continuity of the dynamics is also oblalned. Our results imply lh.t neither helicity oonservation

nor Aharonov-Bohm symmetry by themselves solves lhe problem af choosing lhe

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

••••••

,

lndice

Introdução.,...

ｨｾＪ • • • • • ｾ＠ . . . "". . .

1

Capítulo 2 - Os operadores

H

e A e a necessidade

de extensões autOwadjuntas... ... ... .•. •.. ... 5

2.1. Definições formais dos operadores H e ａｾｾ .•.•.

n._._...

"U__•••••••• 5-2.2.  Determinação das auto­funçées mais gerais para o  operador  

Hamiltonia:na...__...n  ...u  . . .  9  

2.3.  Detenninação das auto..funções mais gerais para o  operador  Helícidade...n u n. . . .u . . . .U U • • • • • • U h • • U • • • • U . . . .n . . . 14  

2.4.  O  caso Livre.•••u  . . . u  •••••• u  ...u  ••••••••• u  ... u  . . . .H • • • • 18  

Capítulo 3 ­ Um Método Heurístico para verificação  

da necessidade de extensões auto­adjuntas....•...•..  23  

Capítulo 4 ­ O  Método de von Neumann para  

obtenção das extensões auto­adjuntas...  26  

4.1.  Introdução .._ . u. . . ." " h • • * " U • • •ｾｾ . . . .u u . , . . u . . . .ｾｵｵｈ . . .ｾ •• U ••• u  •• ___• • • • • • •  26 

4.2.  Algumas defjnições••....ｾ•..••U . h• • • • • • • • • •ｾｾ • • • • • • • • • • • • _ 21  

4.3.  Critério para possibilidade de extensões auw..adjuntas...  30  

4.4. Técnica 

dos

índices de deficiência de von Neumann para 

obtenção das extensões auto­adjuntas de um operador 

simétricO.n .•..••... 

U • • • • • • • d • • • • • • • •ｵｵＮｾｮ . . . ••••••• u _ ••••••*... 31

4.5.  Relação entre as extensões auto­adjuntas e  as extensões de   COntom.Ou... n ...H 32  

4.6. Obtenção das extensões auto­­adjuntas para o  operador  

momento linear em uma dimellSão•••.••••.. _ ••...•__""•..•••n_••••ｾ＠ 32  

• • • •

••

4.7. Obtenção das extensões auto-adj1llltas para o operador

energia cinética definido em

L2(O,OO)

em uma dimensão...•.•• 35

4.8. Obtenção das extensões auto-adjuntas para O operador

energia cinética definido em

La

(-00,00) em uma dimensão.••.• 37

Capítulo 5 - Extensões auto- adjuntas a dois

parâmetros que não acoplam todas as componentes

(laus

ｦｬｲｲｴｾ＠ ＼ｩｾ＠ ＨＩｉｬ＼ｩｾ •••••••••••••••• _ｾ••••••••••••••••••••••• _ｾ＠ •••••••_{｟ｾ＠ ｾ＠}

5.1. Extensões auto- adjWltas para os operadores H e A ...u 43

5.2. Extensões auto- adjuntas

para

o operador

}J -

Um Caso

particu1ar...ｵｮＮｾｵ . . . . .ｮｾ •••• ' . . n u . . . .ｮｨＮｾ ••ｕｈ｟ﾷﾷｮｾＮｕｕ •••••••••••• 52 5.3. Condições de contorno mais gerais admissíveis para o

operador A ... n u . . . .U U H . . . .o •••• u n. . . 55

5.4. Condições de contomo e Conservação da HeJicidade... 61

5.5. Determinação das auto-funções do operador

H

que satisfazem

as condições de contorno desacopladas...

n ... u ... u...

62

5.6. Determinação das auto-funções do operador A que satisfazem

. . .

as condições de contorno desacopladas .. u 64

5.7. DisCllSSão dos R.esnltados ... n . . . n . . . u . . . 65

5.8. Determinação da condição formal para que os operadores

. .

H e A tenham auto-f11IlÇÓ€S comuns•••u . . . u*"u . .ｮｾ . . . .H 66

5.9. Auto-funções simultâneas para os operadores fI e A no

domínio

D, (H,A)

das condições de contorno desacopladas.•... 68

5.10. A ação do operador

A

nas auto-funções

de H

definidas em

Capítulo 6 - Extensões auto-adjuntas mais gerais a

dois parâmetros para o operador

H

e conservação da

helicidade...

ｾ＠

.•.

u ...ｾ ...<O . . . .0 . . . . .ｾＢ . . . .ｾ＠ . . . .ｾＮＮＮＮＮＮＮＮＮ＠

73

6.1. Detennin.açâo das condições de contorno...u . . . . . . . " . . . ." . n 73

6.2. Determinação das auto-funçées de H que satisfazem as

condiçôe... de contorno mais gerais a dois parâmetTos.._.•••••｟ｾ •.. 75

Capítulo 7 - Extensões auto-adjuntas a três

parâmetros para o operador Hamiltoniana e

conservaçao da heücidade...,...

0 . . . . . . .

80

ＷｾＱＮ＠ Determinação das condições de contomo..•..•..•...•n . . . 80

7.2. Determinação das auto-funções._..._.__••... _ ..ｾｵ •• u u •••••• 82

7.3.

Verificando

se

A é

auto-adjunto no domínio

JYo.w••

(H,A)

encontradO•..•_ h• • •ｕｾ . . . U . . . .U • • • •uu.,. ••••••••_n ••• ｵｾＮｵｵ . . . 87

7.4. Exemplo: Uma extensão particular a. três parâmetrosu•....•...• 91

7.5. Verificando se o operador A é auto-adjuntó no donúnio

lY,

o

ｾ

(H A).••.

h • • U . . . . .ｵＮｮｾ . .u u H • • • • • • • • • u . . . U • • • H • • • • •U h " * • • • •ｾＮ＠

93

.(' , 4 1

Capítulo 8 - Extensões auto-adjunta mais gerais a

quatro parâmetros para o operador

H

e conservação

da helicidade...

ＬＮｾ＠

...

ｾＮＮＮＮＮＮＮＮＮＮＮＮＮＮＮＮＮＮＮＮＮＮＮＮＮＮＮＮＮＮＮＮＮＮＮＮＮＮＮＮＮＮＮＮＮ＠

96

8.1. Determinação das condiçôes de contorno mais gerais com

quatro parâmetros para o operador Hamiltoniana...

nn...

96

8.2. Determinação das auto-funçées de H que satisfazem as

condições de contorno mais gerais com quatro pa.rãmetros..ｵｾ＠ 98

8.3. Verificando se A é auto-adjunto no domínio mais geral

Capítulo 9 - Simetria de Aharouov-Bohm e

conservação da helicidade..

ｵｾｵｾｵ ...ｾ＠ ...ｾ＠ •••• a . . . •• u

107

Capítulo 10 - Determinação das condições de

contorno a partir de um procedimento limite... 125

10.1. Introdução - Procedimento Limite.:...•..•••••...••••. 125

10.2. 1'vlodelo do 'l.\Jbo de

ｆｬｵｸｯｾｾ

...

u . . . n • • • • • •

127

10.3. Processo limite para a obtenção de todas as extensões a mn

parântetro...n n n . n . . . .u u ...4 . . . U • • • •U . U • • • • • •U u. . . u . 133

Capítwo 11 - COnclusães... 136

Apêndice A -

...

uu, •• " ... ... _

138

Apêndice B - ...

n . . .

140

Apêndice C

- ...,...,...,...  143  

Apêndice D  - ...

ｾＢＧ

..."'...

ｾ

....

ｾ

...

ｾ

..."'.."'...  145  

•

,I

Capítulo 1

Introdução

'I

o

problema de urna partícula de Dirac que se move num plano na presença

.1

I de um tubo de fluxo magnético infinitamente fino na origem aparece em vários

problemas diferentes em física teórica. Originalmente, esse problema apareceu na

discussão do efeito Abaronov-Bohm [15,16J e de sua variante, o efeito

Aharonov-Casher  117_{J,  Aparece  também  no  estudo  da  interação  da  matéria  com  cordas} 

cósmicas [18­20J.  No  limite  não  relativístico,  o  problema  de  uma  partícula  em 

duas dimensões na presença de um tubo de fluxo magnético aparece no estudo da 

supercondutividade a  altas temperaturas críticas [21J. 

O problema de  uma  partícula de  Dirac  de  massa m 

> 

O, 

que se  move  num 

plano na presença de uma linha de fluxo  magnético na origem, já foi  considerado  na literatura por vários autoresI1­ 7,16,22). 

Foi  mostrado  pela primeira  vez  por  Ph.  de  Sousa  Gerbertl3J  que,  diferente-mente do caso  de uma partícula de Dirac livre em duas dimensões,  a introdução  da  linha  de  fluxo  magnético  na  origem  torna  o  problema  de  determinação  das  auto­funções do  operador hamiltoniana bem mais complicado.  Isto porque, o op-erador hamiltoniana passa a  requerer,  para sua completa determinação como um  operador auto­adjunto, a especificação de condições de contorno a serem satisfeitas  pelas funções  de onda na origem[1,2,31. 

No  entanto, tecnicamente falando,  o problema de determinação das condições  de  contorno  admissíveis 

é 

idêntico  ao  problema  de  determinação  das  extensões  auto­adjuntas para um operador simétrico definido num domínio denso e fechado.  Assim,  o autor Sousa Gerbert encontrou uma famma de extensões auto­adjuntas  para o  operador hamiltoniana{31.  Posteriormente,  os  autores F.  A. B. Coutinho  e J.  Fernando Perez[l]  demonstraram que  o  operador hamiltoniana admite uma  família  de  extensões  auto­adjuntas  a  quatro  parâmetros  e  encontraram  as  ex-tensões  auto­adjuntas  a  dois  parâmetros  para  o  operador  hamiltoniana,  com  a  restrição de que esse operador continuasse possível de ser decomposto em dois op-eradores desacoplados  atuando em  espinores de  duas componentes.  Desse modo  aparece uma indeterminação na escolha das condições de contorno, sendo possíveis  várias dinâmicas diferentes.  Surge, então, naturalmente a questão de se saber qual  dinâmica é a  "fisicamente correta" . 

Foi  sugerido por Hagen15,61que a  dinâmica  "fisicamente correta" seria aquela 

raio

R

>

O (onde o campo magnético

H

é dado por uma função do tipo delta de casca)) removendo-se assim a ambiguidade e depois tomando-se o limite

R

.-

O no fiual dos cálculos. Essé procedimento também é utilizado nos cálculos das referências [2], [4], [5], [6] o

[7].

A13

dinâmicas assim obtidasi2,4-1! conservam todas

elas a hellcidade e segundo Hagen) seriam as fisicamente corretas.

Poderímos pensar na conservação da helicidadc como sendo a motivação física para a escolha das condições de contorno dentre as possíveis, removendo assim

a.

indeterminação existente.

Os

autores F. A. Coutinho e

J.

Fernando Perez no artigo da referência [1) concluem que existe mais de uma dinâmica possível que preserva a helicidade (na verdade uma fanu1ia de extensões auto-adjuntas que não acoplam as quatro componentes das funções de onda). De modo que a conservação da helicidade eão removeria a indet.erminação na escolha das condições de contorno.

Na verdade, como discutiremos nessa tese, algumas das afirmações feitas na referência

[1]

não estão corretas. Surpreendentemente, apenas a comutação for-mal entre os operadores ha.miltoniana e helicidade e a definição de um dominio comum onde ambos são operadores auto-adjuntos não é suficiente para garantir a comutação efetiva entre esses operadores e

a.

consequente obtenção de

auto-funções

comuns. De fato, é possível a conservação da helicidade1 apenas para certas ez!;ensões ｡ｵｴｯｾ｡､ｪｵｮｴ｡ｳ＠ a lUU (ou dois) parâmetros que não acoplam as

quatro componentes, como veremos nessa, tese,

Outra importante simetria que aparece nesse problema é

a.

simetria de

Aharonov-ｂｯｨｲｮｾｱｵ･＠

consiste na invariância do operador hamiltoniana através

da

transformação

4> -+

tfo+l,

ondetPéofluxomagnético. Ascondiçõesdecontorno que aparecem nas referências [2[, [4J, [5), [6] e

17],

embora conservem a helicidade, violam a simetria de Aharonov-Bohm.

Na referência [2) foi demonstrado que

é

possível através de \lUW. interpolação reestabeleceI' a simetria de Aharonov-Bohm, mas) nesse caso, não é mais possível

a.

conservação da helicidade. Assim, não aparece na literatura dinâmicas onde ambas as simetrias sejam preservadas.

Nesse trabalho, encontramos as extensões auto-adjuntas mais gerais a quatro parâmetros para o operador ｨ｡ｭｩｬｴｯｮｩ｡ｵｾ＠ essas) que acoplam as quatro compo-nentes das funç-ões de onda, que permitem várias dinâmicas diferentes onde ambas as simetrias: conservação da helicidade e Aharonov-Bohm} são preservadas,

eada mu desses operadores e verificamos através da análise dessas auto-Junções a nece5sidade de extensões auto-adjuntas para H e A quando

v

=

n

+

<p

(n

é

o momento angular orbital e '"

é

o fluxo magnético) está. no intervalo /I: ]-1,0[.

NQ Capítulo 3, apresentamos um método heurístico para se verificar a ne-cessidade de extensões auto-adjuntas para H e

Al

que -consiste em se analisar a divergência e considerar os termos domina.ntes nas equaçõe; diferenciais que definem as

ações

dos operadores H e A.

No Capítulo 4; revisamos alguns dos principais resultados da teoria de von ｎ･ｵｾ＠

maun das extensões auto-adjuntas e apresentamos dois exemplos, onde aplicamos a técnica dos índices de deficiência para obtermos as extensões auto-adjuntas. O primeiro exemplo mais Simples

é

do operador momento linear definido em

L2(O.1).

O

segundo exemplo

é

o do operador energia cinética. definido em

L2(

-(0) 00), cu-jas extensões auto-adjuntas já. foram obtidas na literaturals,13,141. Demonstramos que a técníca que utilizamos para obtermos as extensões auto-adjuntas é capaz de reproduzir os mesmos resultados das referências [8], [13] e [14].

No Capítulo 5, passamos ao problema de determinação das extensões auto-adjuntas para os operadores H e A) e nos concentramos no caso particular tratado na referência [1], de extensões auto.adjllntas

a.

dois parâmetros que não acoplam as quatro. componentes das funções de onda. Mostramos que apesar dos oper-adores H e A comutarem formalmentel a definição de um domínio comum. onde

ambos são auto-adjuntos} não garante a comutação efetiva dessas operadores como erroneamente se afirmou na referência [1]. Isso ocorre porque a imposi;;.ão da

con-servação da hclicidade pode ser obt,jda a partir de uma condição formal que só

é

satisfeita para certos valor€S dos parâmetros da extensão. Assim) na verdade, a comutação efetiva de,sses operadores e a conseqüente obtenção de auto-funç'ões comuns só ocorre para certas e.xteDSÕeS particulares. As auto-funÇÕ€s oorrnms são encontradas nesse caso e mostrnmos que elas incluem as auto-funçõoo obtidas nas referências [2], [4], [51. [6] e [7].

No Capítulo 61 obt<mlOS asexteDSÕes auto-adjuntas mais gerais a dois ｰ｡ｲ￢ｭ･ｴｲｯＮｾＬ＠

essas que acoplam todas as componentes das funções de onda. Verificamos que essas extensões não conduzem a novos rooultados para as auto-funçães, ou seja., não obtemos auto-funÇÕ€s diferentes das já encontradas no Capítulo 5.

No Capítulo 7, procedemos a extensões auto-adjuntas a três parâmetros para o operador H e nesse caso verificamos que

é

possível a conservação da heHcidade, se certas relações entre os parâmetros da extensão forem satisfeitas.

Sendo

possível, assim, a definição de um domínio comum onde ambos os operadores

H

e A são auto-adjuntos e a helicídade

é

conservada.

No Capítulo 8, procedemos a extensão ｡ｵｾ｡､ｪｵｮｴ｡ mais geral a quatro parâmetros

que inclui todas as condições de contorno apresentadas na literatura!I-7j e ｶ･ｲｩｦｩｾ＠

carnos que são possíveis várias dinâmicas onde a helicidade

ê

conservada se certas relações entre OS parâmetros da extensão são satisfeitas.

No Capitulo 9, mostramos que as oondiçôffi de contorno do Capítulo 8 (as condições de contorno do Capítulo 8 obviamente, por serem as mais gerais, incluem as do Capítulo 7), além de prffiervarem a helicidade, preservam também a simetria

de ａｨ｡ｲｯｮｯｶｾｂｯｨｭＬ＠ o que não se conseguia através das dinâmicas que aparecem

nas referências [1) a

(7].

Mostramos que, para certas fficolhas do intervalo de variação dos parâmetros da extensão,

é

possível assegurar a simetria de Aharonov-Bobm, através de uma interpolação.

No Capítulo 10, revisamos os cálculos e resultados da referência [2J e discutimos

e comparamos os nosso..<:j resultados com os resultados anteriorm que aparecem nas

referências

[2J

a

[7J.

No Capítulo 11, apresentálIlos nossas conclusõffi.

No Apêndice A, che:camos explicitaInente a comutação formal entre os op-eradores H e A. No Apêndice B, vermcamos a relação de comut.ação entre os

operadores

H

e

J"

(momento angular total). No Apêndice C, verificamos a

relação de comutação entre os operadores A e

Jz.

No Apêndice D. discutimos e comparamos fi_OS resultados com os resultados das referências

[5], [6J 0[7J.

No

Capítulo 2

Os operadores

H

e

A

e a necessidade de extensões

auto-adjuntas.

2.1. Definições Formais dos Operadores

H

e A.

O operador hamiltoniana. para uma partícula de Dirac de massa m

> O,

em duas

dimensões na presença delllli tubo de íiuxo magnético infinitamente fino na origem

é

formalmente dado

porl

',>!:

H =

1f.7l

+

13m,

(2.1.1)

onde:

7i'

=

(Px

+

ｾａＮＬｰＬ＠

+

ｾａＬＩ＠

(2.1.2)

e:

71

= (Ó'J, Q

2L

(2.1.3)

onde uma possível escolha das matrizes de Dirac

é:

["1

O

:. l,

(2.1.4)

0"1=

(12

O

1

_(2.1.5)

0::2 = _[

O

ClZ

e:

O

(2.1.6)

fJ=[I7'

O

-0'3

1

'

sendo 11}, 112 e (13 as ma.trizes de PanH .

....

O potencial vetor

A

da equação (2,1.2), está. relacionado com O campo magnético

H

at.rà.vés da equação:

-;t ...

N=\7i\A.

(2.1.7)

Utilizando o gauge o Coulomb) o potencial vetor é dado por:

A

= "-", _e

(-y

_r2'r2

=-)

(2.1.8)

I

onde 4> é o fluxo magnético.

De modo que;

H

=

ｾ

A

A

=

[2;"]

＼ｰＶｾｬＭ［［Ｎ＠

(2.1.9)

Podemos notar que o hamiltoniana definida pela equação (2. LI) pode ser decomposta em dois operadores atuando em espinores de duas componentes:

Il = -:;t.

if

+

SffiD"3,

(2.1.10)

onde:

a'

=

(0"li"')

(2.1.11)

e:

s=±l.

(2.1.12)

As duas: escollia.'3 de s levara a reprooentações não equivalentes das matrizes de

Dirac. No limite não relath,rístico para s = +1 apenas a componente superior do

espinor de duas componentes sobrevive, descrevendo uma partícula de Schrõdinger

de spin ｾ 1 enquanto para I)

=

-11 apenas a componente inferior do espinor de duas

componentes sobrevive descrevendo uma partícula de Sclrrôdinger de spin ｾｾＮ＠

Usando a representação de espinores de quatro oomponentes, podemos definir

o operador helicidade, que dá fi. projeção do momento

1t

=

jt

+

ｾ

A,

na direção

do spin1 como sendo:

onde E é o operador de: apin:

-+

E

=

(E"E,),

(2.1.14)

onde:

E1 = [ O 0"1 ] (2.1.15)

0"1

O '

E,

= [

O

(2.1.16)

0",

i]·

Os

dois operadores H e A, definidos respectivamente pelas equações (2.1.1) e

(2.1.13), comutam formalmente como se pode verificar. Veja o Apêndice A. No

entanto, essa »comutação formal )l dos operadores não garante a possibilidade de

magonalizru;âo simultânea dos mesmos e a conseqüente obtenção de auto-funções

comuIlS.

Em

outras palavras, a comutação formal unicamente não garante a

conservação da helicidade para qualquer dinâmica dada por H.

Conforme ficará claro mais ｡､ｩ｡ｮｴ･ｾ＠ o problema reside no fato de os operadores

H e A não serem essencialmente auto-ajuntos para todo valor do fluxo magnético

4>,

havendo a necessidade de se especificar as condições de contorno a serem

sat-isfeitas pelas suas auto-funt;ões na origem. uma vez que1 para certos valores do

fluxo </>, não é possível a imposição usual de regularidade na origem.

Será bastante útil na soluçiíD do problema de condições de contorno de A,

notar que existe

um.a.

transformação unitária UI dada por:

1

[I

-io-,)

_(2.1.17)

U =

v'2

I ;0"3 '

que conecta os dois operadores H e A, definidos respectivamente pelas equa.çõffi

(2.1.1) e (2.1.13):

A= U(H _f3m)U-l (2.1.18)

Esse fato decorre imediatamente da equação abaixo:

UajU-1

=

_{lej j = 1,2. (2.1.19)}

A equivalência unitúria da. equação (2.1.18) deixará o problema de derer-minaç.ã.o de condições de contorno de A muito parecido com o problema de

deter-minação das condições de contorno para.

H,

como veremos no Capítulo 5.

"

É

importante também notar que o operador momento angular total:

E,

J, ｾＢＲ＠

+

I"

(2,1.20)

onde:

"3

O)

_(2,1.21)

ｾＳ＠

=

(

O U3 e:

ll$ = XPy - YP:&, (2,1.22)

comuta formalmente com os operadores H e

A)

isto é:

[H, J,]

=

[A,

J,]

=

O

(2,1.23) No Apêndke B estão demonstradas as relações de comutação:

[H,l,]

=

-i(ã

A

P'

+

ｾｾ

ã,'1')

(2,1.24)

e:

ＧＨｾ＠ '"'" e rjJ _ｾ -+

[H S 1 3] = % a: A p

+

ｾＺ＿＠ ti. T ), (2,1.25)

que estão de acordo com a equaçllo (2,1.23) para a hanútoniana. No Apêndice C

estão demonstradas as relações de comutação:

'(--> -+

e

q,

--> -+

[A

, , I ] = -, E A P

+ -,

E, r )

(2,1.26)

cr

e:

[A,S,]

=í(1'1 A

p'

+

ｾｾ

1'1,'1'),

(U,27)

que produzem o resultado da equação (2,1.23) para a helicidado,

O problema das extensões auto-adjurrtas para o operador II fui pela primeira

vez considerado por Sousa Gerbert1S1 e posteriormente por F. A. Coutinho e J.

Fernando Perezll,21.

Esses

autores encontraram uma família de extensões

auto-adjuntas a um parâmetro (Sousa Gerbertl3J ) e a dois parâmetros (F, A, Coutinho

e J. Fernando Pere'z;l1J) para. o hamíltoniana com a. restrição de que este operador

continuasse possível de ser decomposto em dois operadort',;;S desacoplados., atuando em espinores de duas ｣ｯｭｰｯｮｾｊＱｴ･ｳＮ＠ Assim há uma indeterminação na escolha das

(:OOrulS'ÔeS de contorno, sendo possíveis várias dinâmicas.

No entanto, para começarmos a entender esse problema, precisamos antes de

mais nada) escrevermos a equa.ção radial de auto-valores para H e A. Na Seção

2.3. estudaremos o caso do operador H e na Seção 2.4 o caso do operador A.

2.2# Determinação das auto-funçõcs mais gerais para o operador

Hamil-toniana.

Estamos interessados, agora, em resolver o problema de auto..valores para o

oper-ador ｨ｡ｬｮｩｬｴｯｮｩ｡ｮｾ＠ isto é:

H1/>±

=

±

IEI7/>±

(2.2.1)

Usando a equação (2.1.1) e as definiçlies das equações (2.1.2) a (2.1.6),

a.

equação acima pode ser escrita como:

{-+-+ Q \

H7/>,.

=

I ".

(7

+

"3m

-> -> )

7/>,.

=

jEI7/>±

(2.2.2)

\ O 'iT • a - a3m

A fim de explorarmos a invariância rotacional do hmniltoníana (equação (2.2.23)),

->

dada nossa escolha para o potencial vetor A da €:Cluação (2.1.8), vamos utilizar

as equações de transfonnação para coordenadas polares:

x = r COS (;)1

(2.2.3)

y=rsin8

1 (2.2.4)

que implicam:

sinO

Ôz- = coa Bar - --f).

(2.2.5)

r

f}y

=

sin8f},

+

cosO& •.

(2.2.6)

r

Assim podemos escrever a «Iuação

(2.2.2)

como sendo:

m

H.!. _'f'z

= (

7i.

+

_O "3

O

)

t,

_(2.2.7)

1t _ í1am 'If ±l

onde:

_

7i.- ₍ iII O i

-lo

(or+,8o)

-W . ｾｩｄ＠ (" _ur -O

;uo

i") \

) .

(2.2.8)

Podemos tentar uma separação de variáveis do tipo:

1/1",

(r) =

₍

rfil

(r) oin'

1/1'

(r)

em"

1/11

(r) e in'

rfil

(r) oin"

)

. (2.2.9)

Substituindo

a

«Iuação (2.2.9) na «Inação

(2.2.7),

concluimos que:

n' = n+ 1.

(2.2.10)

Sendo assim, podemos pensar em duas possibilidades para as auto-funções da «Iuação (2.2.9):

rfi1

(r) )

rfi",

(T)

=

1/11

(r) aiO mO . _(2.2.11)

1/Jl

(r)

e

(

rfi1(r)

e"

ou:

1/12

(r) e" )

, Ｑｦ［ｾ＠ (r) in8

1/1±

(c) =

1/1];

(r)

･ｾｩｏ＠

e.

(2.2.12)

(

ＱＯＱｾ＠ (r)

A função de onda da «Iuru;.ão (2.2.11) acima tem momento angular total igual

a

n

+ ｾ＠

(n

é o momento angular orbital) como pode ser facilmente

cnecado

se: usarmos coordenadas polares para escrevermos o operador

J.;

dado pela equação

(2.1.20) como sendo:

I

_I

A função de onda da eqnação (2.1.12) tem momento angular total igual a ｮＭｾＬ＠ onde

n

é o momento angular orbital.

É daro que podemos obter o mesmo valor

para o momento angular total da equação (2.2.12) fazendo n --+ n -1 na equação (2.2.11).

; I

Usando a separaç.ão de variáveis da equação (2.2.11), sem perda de generali-dade, obtemos a seguinte equação radial de auto-valores de

H:

H(r)w±(r)

= (

h(r);

"3m

_h(r)

_O

_173m)

_",,,,(r)

₌

_±

_{IElw±(r) ,}

(2.2.14)

onde:

hr=(

O

_i(i1,+V;l))

_(2.2.15)

()

-i

(ô.-;:)

O

onde introduzimos a definição:

v=n+4>.

(2.2.16)

Vamos definir:

"<pl(r) )

_(2.2.17)

1/1±(r)

=

_{( .B<p!(r) ,}

onde ｾｾＲＨｲＩ＠ são espinores de duas componentes e a: e {3 são duas constantes que regulam as proporções das componentes superior e inferior. Assim} o problema. de

auto-funçiies da equação (2.2.14) fica eqluvalente a resolver o seguinte problema de àuto-funÇÕ€S:

(h(r) +su,m) 44(r) =

±

lEI

44(r) , (2.2.18)

onde para s = +1, estaremos resolvendo o problema de determinação de

4-1

e

para s

=

-I, o problema de determinação de

i\l-Vamos escrever:

. (

ui(r»)

,

j = 1,2. _(2.2.19)

ｲＯ＾ｾＨｲＩ＠

=

_{ｾＨｲＩ＠}

Daqui em diante, nos referiremos ao operador H (r)da equação (2.2.14) denotand<r

o simplesmente por H. Substituindo as equações (2.2.15) e (2.2.19) na equação

(2.2.18), temos:

ms

_{-; (li,}

₊

_"r)

I (

_ui

₎

=

±

lEI

(

ｾＡ＠

) ,

(2.2.20)

(

_{ＭｩＨｬｩｔＭｾＩ＠}

_-ms

Jv1

_

de onde vem que:

.

tt'± =

±

IEI-

-i ms (

,Ô,

+

- r -

v+

1) .

'Ix

(2.2.21)

e:

.

-,

tfl:l:='Ir.'U.

(

｡ＧｬＢＭ［ｵｾＮ＠

,,).

(2.2.22)

Substituindo a equação (2.2.22) na equação (2.2.21) temOs:

2 [1<7 (

v'

\) .

_(2.2.23)

(

a"

+

kr

+

1 -

(kr)')

tt'± = 0,

onde introduzimos a definição:

k=VE'-m

2•

(2.2.24)

A solução da equação (2.2.23) é do tipo:

ｵｾｊｫｲＩ＠ =

Lv(kr)

+

c",Lv(kr).

(2.2.25)

Lembrando que a componente inferior

(v±)

está conectada com a superior

(",,) através da equação (2.2.22) (fato crucial na solução do problema) e usando as fórmulas de recorrência da referência [10]:

d v

-d

Jv(o;)

= J

v-

1("') - ··J.(x) (2.2.26)

'" o;

d /I

-dJ.(x) = -Jv+l(x) + -J.(x) , (2.2.27)

temos que:

. -ík

vl,(kr)

=

±IEI

+ms

ＨｌＮｾＬＨｫｲＩ＠ - c±J.+,(kr» (2.2.28)

Os

resultados da equaçií<s (2.2.25) e (2.2.27) permite.Dl escrever as auto-funções da equação (2.2.19) como sendo:

L.(kr)

+

c±J.(kr) \

_(2.2.29)

＼ｰｾＨｫｲＩ＠

= ( _±JEI+m -Ik

(J.

_{- -},(I<r) _, - c±J.+,(kr)) ) e:

L.(kr)

+

4J.(kr) )

_(2.2.30)

<p'j,(kr)

= (

ｾｩｫ＠

(J_.-,(kr)

-

d±J.+,(kr» .

±IBI-m

De modo que as auto-funções (de quatro componentes) de II da equação

(2.2.14)

são:

",(L.(kr)

+

c±J.(kr))

1

..p± (kr) = Ct ±IE;;m (L._,(kr) - c±J'+l(kr»

_(2.2.31)

f3(L.(kr)

+

d±J.(kr»

(

f3

±I"i

k m

(J_'_l(kr) -

d±Jv+l(kr»

Considerando a forma das soluções para as auto-funções de II da equação acima e lembrando do <.:omportamento na. origem das fun,:ões de Bessel !10):

1

_(2.2.32)

ｊＮＨｸＩｾｲＨｬＫｶＩ＠

(X)'

2' '

vemos que para 1/

=

n

+

4> Oe para. 11 _ｾ＠ -1, apenas as soluções regularC5 na origem são adm.issíveis, pois nesses casos as soluções singWar€S na. origem são não normalizá.veis na vizinhança da origem.

Entretanto, para O caso

-1

<

11

<

_ｏｾ＠ é impossível impor a regularidade na.

origem simultaneamente para todas as componentes da função, havendo assim uma indeterminação na escolha das condições de contOrno (note que isso acontece devido a reJação da equação (2.2.21) entre as componentes superior e inferior do espinor de auto-funçi)es de

lI).

Nesse caso a solução singular

na.

origem é

normalizávcl na vIzinhança da origem. Sendo assim

possíveis extensões

auto-adjuntas para o hamiltowana no caso em que -1

<

li

<

O11,2,S1.

Para todo valor não inteiro

do

fluxo 4>., há exatamente um valor de

n

(que

corrcsponde: a urna onda parcial):

n=

-[;lJ

-1,

(2.2.33)

onde

[q)]

reprerenta. o maior inteiro menor ou igual

tP,

tal que li = n

+

ti> está no

intervalo crítico

J-1,0[.

ＲｾＳＮ＠

Determinação das auto-funções mais gerais para o

operador

Heli-cidade.

Estamos interessados agora em resolver o problema de auto-valores para o oper-ador helicídade) isto

é:

';

_A'i'±

_{= ±}

_{jÀI'i'± .}

(2.3.1)

Usando a equação

(2.1.13)

da definição formal do operador

A •

lembrando

da equivalência tlIÚtárla da. equação (2.1.18), podemos escrever o operador A em coordenadas polares como sendo dado por:

(2.3.2)

A=(01í)

_1í

_{O '}

onde

1í

é

dado

como

na equação

(2.2.8)

da seção anterior. Usando a mesma

separação de variáveis da equação (2.2.11), obtemos a seg>únte equw;ão radial de auto-rançiies para A:

j

A (r) 'Í'± (r) = [ h

ｾｲＩ＠

h

r)

1

",±

(r) =

±

IÃI

1/J±

(r) ,

(2.3.3)

onde h (r) está definido na equação (2.2.15). Daqui em díante, frequentemente

nos referiremos ao operador A (r) denotando-o por A.

Para. encontrarmos as a.uto-funçães de A vamos escrever os espiuores

'I/J±

(r) de

quatro componentm que representam as auto-funções a serem encontradas corno sendo:

1/J±

(r) = ( ",\,I (r) )

(2.3.4)

1/J

_f

l (r) ,

de modo que a equação (2.3.3) implique nas seguintes relaçÕés entre as compo-nentes superior

1/;;

e inferior ｾＱＺ＠

h (r) "';,:')

(7)

=

1"1

_{Ｎ［［ｾＩ＠}

(r) (2.3.5)

h (r)

.;;':1,)

(r) =

±

1"1

.;;'f)

(r)

(2.3.6)

Substituindo a equação

(2.3.6)

na equação

(2.3.5)

011 vice-versa,

obtemos

que:

/t' ＨｲＩ［Ｇ［ｾ＠

(7)

=

,,'1/4

(7)

j

=

1,2.

(2.3.7)

Assim,

para

resolvermos o problcJlla de auto-funçÕés daoquação

(2.3.3)

vamos antes raselver o problema de auto-funções de duas componentes da equação (2.3.7) acima.

Usando o resultado da equação (2.2.15) podemos escrever o oporador h' como sendo o seguinte operador diagonal:

/t'

(r)

= (

a;

+

ｾ｡Ｌ＠

- :.;

O

\

_(2.3.8)

O 82

+

la _ (lJ+l)2

I

r .. 1" ..2 I

onde v = n

+4>.

De modo que, escrevendo as funções de onda da equação (2.3.7) sob a forma:

.I.i _'f'± () (

ＢｾＨＷＩ＠

)

. 1 2

_(2.3.9)

T = ｶｾ＠

(r)

)

J = ｾ＠

e uaando o resultado da equação (2.3.8)

adroa,

temos:

_

l

/ 2 1 ' "

8,

+

;:8, - "

O

) ( 'ＬＬｾＨｲＩ＠

_;.'

( 'ｵｾ＠

(7)

_(2.3.10)

O

&;

+

ｾＦＬ＠

_(":;ti

v1

(r) ) -

v1

(r) ) . Da equação adma surgem as equações desacopladas

para ui

e

vi

(7):

(&;

+

ｾＦＬ＠

-

ｾＩ＠

ui

(r) = ->.'u;' (r)

(2.3.11)

e:

1 (v + 1 · .

cujas soluções mais gerais são do tipo:

ｵｾ＠ (Ar) = J_,(AT)

+

a±J,(Ar) (2.3.13) e:

vi

(Ar)

=

L'_l (Ar)

+

b,j'+I(AT) (2.3.14)

Assim os espinOTeS

1/4

(anto-funções do operador h'

(T))

têm a forma:

.

'1f4

(Ar)

=

(L,(>,r)

Lv_I(Ãr) +b*J.,..I(Ar)

+

a±J,(ÁT) ) j

=

1,2. (2.3.15)

Para encontrarmos, agora, as auto-funçêes do operador AI devemos impor

que os espinores da equação (2.3.15) obedeçam às equações (2.3.5) e (2.3.6) que

relacionam as componenoo> superíor ＭＮｰｾｽ＠

e

inferior ＧｉｪｊｾＩ＠ do ffipinor de quatro com-ponentes de ｡ｵｴｯＭｦｵｬｬｾ･ｳ＠ de A.

Assim tomando "';) (Ar) como sendo dado pela equação (2.3.15), as equações (2.3.5) e

(2.3.6)

fornecem:

"F)

(Ã )- ( 'fi (bxJ, (AT) -

L,{Ár»

I

x r -

'fí{Lv_,(ilr)

_

a±J'+l(ÀT)) /

(2.3.16)

.

I

I

1

A

expressão da equação (2.3.16) acima foi encontrada usando os resultados

das equações (2.2.26) e (2.2.27). Assim, as aut<rfunções de A quando tomamos 'I/>'fl como na equação (2.3.15) c

'1/>':;)

como na equação (2.3.16) podem ser escritas

como sendo:

(

L,(Àr)+a*J,(Àr)

)

J_,_,(Àr) - bxJ,+,(Ar)

'l/>xl"l (Ar) = 'fi (b±J,{!lr) _ L,{Àr)) .

'fi (J_, .. ,(!lT) -o±J'+l(!lT))

I

i

I

'Irocando _{ＧｉｪｉｾＩ＠} por

'IjI'fl

na equação

(2.3.17)

(ou seja, tomando

'IjI'fl

como sendo dado por (2.3.15)), respeitando as condições das equações (2.3.5) e

(2.3.6)

(que garantem que as funções obtidas são auto-funções do operador

AJ,

temos as seguintes auto-funções de A:

I

,

_'Fi

_{(b'",J.().1')}

_-

_Lv(Á1'))

1

ＧｉｪｉｾｐＧＱ＠

(Á1')

= 'Fi

(Lv-t().1') -,o"JV+1(>'1'»)

.

_(2.3.18)

Lv(J.,1') +o±Jv(Ár)

(

L'_I

(Á1')

+

b'+.Jv+l

(À1')

Assim existem quatro auto-funÇÕ€S do operador A: duas com auto-valor

po.'5-itívo

+ IÁI

e duas com auto-valor negativo

-IÁI,

dadas pelas equações (2.3.17) e

(2.3.18)

acima.

Analisando li forma das soluções para as auto-funções de A das equações acima elembrando do comportamento na origem das funções deB"",el dada pela equação

(2.2.32)

vemos que para

v

=

n+t!>

2

O

e para

v::;

-1,

apenas as soluções regulares

na. origem são admissíveis, pois nesses casos, as componentes singulares na origem são não localmente normalizáveis na vizinhança da origem.

No entanto, para o caso -1

<

1/

<

O,

é

impossível impor a. condição de

regu-laridade simultaneamente para todas as componentes, havendo assim uma.

inde-terminação na escolha

das

condições de contorno (note que isso acontece devido

às relaç-ões

das equações (2.3.5)

e

(2.3.6)

entre

as componentes

superior Ｇｉｪｉｾｬ＠

(r)

e inferior

'IjI'fl

(r) do

espinor de

｡ｵｴｯＭｦｵｮｾ￵･ｳ＠ de

A).

As soluções singulares

na

origem são normalizáveis na vizinhança da origem no ('.aso em que v :J - 1,O{. Sendo, assim pOSb"Íveis extensões auto-adjuntas para a helicidade (ou seja,

pode-mos tomar diferentes auto-funções que correspondem a difenmtes proporções entre

,

_{as so/uçõfJ$ regular e singular).}

I

_Isso

_{é o mESmo que ocorre para o operador hamiltoniana, descrito na seção}

!

_{anterior. Da m€5ma forma que naquele caso, teremos que, para todo valor não}

inteiro do fluxo magnético

tJ;,

haverá exatamente um valor de n (que corresponde a uma onda parcial) n

=

-[t!>1-1,

tal que v está no intervalo crítico ]-1,0[. Nesse

Intervalo os operadores H e A não estão bem defrnidos, havendo a necessídade

de especificação das condições

de

contorno na origem a S€reàl satisfeitas pelas

auto-funções de H e de A, " que é equívalente ao problema de determinação das

extensões auto.adjuntas pará esses operadoroo!1,2.31.

Nesse trabalho) estamos interessados ®1 definir os operado[e:; H e A em

i

I

donúnios (COffi\UlS a ambos) tais que eles sejam auto-adjuntos e que a helicidade

seja uma quantidade eonservada

Lembremo-nos de que esse problema não poos:ui solução trivial imediata) uma vez que1 conforme dissemos anteriormente na

Seção

2.1, apenas

a.

comutação

for-mal entre os operadores

H

e A não garante a conservação da heliddade e

conse-quentemente não implica na obtenção de auto-funçães simultâneas. (para H e A)

para toda dinâmica definida por H através de algum conjunto de condições de contorno.

Nos próximos capítulos procederemos a extensões áuto-adjuntas para os oper-adores H e

A

e investigaremos a possibilidade de obtenção de auto-funções comuns para essas extensÕffi.

No entanto, antes de considerarmos o problema das extensões auto-adjuntas

para. H e A no caso da partícula de Dira<.: em duas dime!l.SÕ€S sujeita a uma

linha de fluxo magnético na origem, vamos considerar o caso mais simples de uma

partícula livre ('" =

O)

em duas dimensões. Na pr6xima seção vamos investigar a

possibilldade de conservação da helicídade para esse caso mais simples.

2.4. O Caso Livre.

Consideraremos nessa. seção o problema de uma partícula de Dirac livre em duas dimensões. Nesse caso o operador hanriltoniana.

é

<ssencialmente auto-adjunto e suas auto-funções sâo sempre regulares na origem.

Inicialmente vamos encontrar quais são essas auto-funções mais gerais e a seguir verificar, a partir dessas auto-fimções encontradas, que é possível obter auto-funçães simultâneas para os operadores hamiltoniana e helicidade.

Assim, vamos agora considerar a ｾｵ｡￧￣ｯ＠ radial de auto-fuuçóes de H, que

pode ser obtida fazendo-se

ifJ

= Ona equação (2.2.14):

H(r)1/J±(T)

=

±

!E!1/J±(T)

(2.4.1)

onde:

H(r) = ( h(r)

ｾＨｊｳｭ＠

o

I,

h(T) -lTsm !

(2.4.2)

com:

_;

(a,

+

ＧｾＧＩ＠

\

_(2.4.3)

..!

,

onde I é o número inteiro associado a onda parcial "I l) ,

Vamos escrever as auto-funções

>p",(r)

sob" forma:

4>(1) )

(2.4.4)

>P±

=

(

ｾ＠ Ｔ＾ｾＩ＠

com ＴｊｾｽＮＨＲＩ＠ sendo espinores de duas componentes e ct c

{3

sendo duas constantes para um certo valor fixo da energia. Assim, o problema de determinação de

auto-funções da equação (2.4.1) fica equivalente ao seguinte problema de determinação

de auto-funçães de duas componentes::

ＨｨＫｏＧｊｭｳＩｾ］ﾱｉｅｉｾ＠

,

j = 1,2) (2.4.5)

onde para s = +1, estaremos resolvendo o problema. de determinâção de ｲｪｊｾＩ＠ e

para $: = -1, estaremos resolvendo o problema de determinação de 4;r;.),

Definlndo:

. (u!.)

(2.4.6)

<Ii'±

=

v7t

e usando a equação (2.4.3), a equação (2.4.5) se torna:

.

ms,

-i

(ô,

+

';:1) )

(ui

I

=

±

lEI (

ui )

_(2.4.7)

(

-«8r-;)

-ms

ｾ＠

/

ｾ＠

Da equação (2.4.7) acima vem que:

. (

I.H).

.

m.sui -;

I

ô,

+ -

v'± =

±

lEI

ui

(2.4.8)

!

\ T

,

( I)' .

-;

ｾ￴Ｌ＠

-;

ui -

msv'±

=

±

lEI

v'"

i

(2.4.9)

de onde tiramos:

(1+1)'

(2.4.10)

u'±

.

=

-'-lEI

-i

_

fiS

ar

+

-r-' v'",

e:

. -i (

I)'

_(2.4.11)

v'± =

±IEI +ms

8r

-;:

u'±

Substituindo a equação (2.4.11) na equação (2.4.10), obtemos a seguinte equação

para ｾＨｔＩＺ＠

• 1

(

1')\;

.

(

&.,+;:8.,+ 1-

(kr)'

ＩＱｲﾱ］ﾱｉｅｬｵｾ＠

,

(2.4.12)

onde introduzimos a definiç.ão:

k =

vEi'

--

m.".

(2.4.13)

A solução mais gerai da equação (2.4.12) para I inteiro é:

ｾ

=

J, (kr). (2.4.14)

Lernbremo-noo que

L,

=

(_)1J,. Substituindo o resultado da equação (2.4.14)

acima na equação (2.4.11)1 a qual relaciona as componentes inferior (vi) e superior

ＨｾＩＬ＠ temos:

vi±

= 'ik _(2.4.15)

±

lEI

+

ms

J'H

(kr)

onde usamos o resultado da equação (2.2.26).

Substituindo os resultados das equações (2.4.14) e (2.4.15) na equação (2.4.6)

encontramos para s =

+1

a

função

_{｣ｐｾＩ＠} e para s = -1 a função ｾｾＩ＠ como sendo

iguais a:

(1) ( JI (kr) )

(2.4.16) q,±(,) =

ﾱＬｾｦＫｭ

J_{'H (kr)}

.:

q,(') _ ( J,

(kr)

)

_(2.4.17)

±(i') - iÃ!

±IEI-m JI+1 (kr) .

D. modo que a equação (2.4.4) para as auto-funçães mais gerais de quatro

componentes do operador H

(r»)

pode ser escrit.a como:

uJI(kr)

1

r

>/!*

(kr) =

"±IÊ;.,.m

Jl+l

(kr)

_(2.4.18)

ｾｊｉＨｫｲＩ＠ .

Vejamos agora se conseguimos encontrar 8.11to-funções simultâneas para os operadores

H

e A para algum valor dos coeficientes

a

e {3 que regulam respectíva-mente as proporções das componentes superior e inferior. Para isso vamos impor que:

A

1/1±

=

>'1/1""

(2.4.19)

Lembrando (veja equeqão (2,3,3)) que A pode ser escrito como:

ａ］Ｈｾ＠

n

e usando a equação (2.4.4), a equação (2.4.19) acima pode ser escríta como:

( Oh)

(a

,,(ll)

(a

",11))

(2.4.20)

h O

fi

ＢＧｾＩ＠

=

>.

fi

ＢＬｾｬ＠

de onde vem que:

Ｈｊｨ＼ｦ＾ｾＩ＠

=

＾Ｎ｡ＢＬｾＩ＠ (2.4.21)

｡ｨ＼ｦ＾ｾＩ＠ = _{ＩＬｦｊＢＬｾＩ＠} , (2,4,22)

Devido

à

equação (2.4.5), as equações (2.4.21) e (2.4.22) acima podem ser

escritas

como

sendo:

fi (±

lEI

+

173m)

ＢＧｾＩ＠

=

＾ＮＨｊｻＢＬｾＩ＠

(2.4,23)

a{±

IEI-

173m)

ＢＧｾＩ＠

=

ＩＬｦｊＢＬｾｬ＠

(2.4,24)

As

equações acima fornocem o sistema:

,8

(±

lEI

+

m)

=

>.a

(2.4.25)

,,(±

IEI-

m)

=

Afi (2.4.26)

A condição de existência de soluções (a e (J) para o sístema acima fornece:

À=±VE'

m2

_=±k

_(2,4,27)

que são os auoo..va]ores da he1icidade.

Para ,.\ = Ｋｫｾ＠ temos a seguinte relação entre os coeficientES Q e f3:

k

(2.4.28)

{3 =

7±"IE"1-;-+

ｾｭ

O<

e para À = -k, temos:

-k

(2.4..29)

{3=

±IEI+ml>·

Assim, tomando" e

{3

como nas equações (2.4.28) e (2.4.29), obtemos as

allto-funçõe8

simultâneas de

H

e

A

como

sendo

as seguintes:

.li

(kr)

1

IEr':."Jl+l

(kr)

1/>iEI,H (kr) =

±_k_J

(kr) ,

(2.4.30)

[

IEI+m 1

±i

J

I+1 (kr)

( J,(kr)

.

_

ｉｅ￭ｾｭ

J

I+!

C"r)

_(2.4.31)

1/.>-IE!,±dkr)

-l

_k_'

(k)

1

.

TIE1-rn "l r

±í

J

I+! (kr)

Vemos, então, que para o caso livre Ｈｾ＠ =

O),

como os operadores H e

A

Capítulo 3

Um Método Heurístico para verificação da necessidade

de extensões auto-adjuntas.

No capítulo anterior verificamos, através da análise das auto..funções dos operadores hamiltoniana (dada pela equação (2.2.31» e das auto.funções do op-erador helicídade (dadas pelas equações (2.3.17). (2.3.18», que não são possíveis soluções singulares para

v

= n

+

4;

>

O e

v

:::;

-1, uma vez que essas soluções

não são integráveis na vizinhança. da origem nesses casos. Para -1

<

v

<

O,

verificamos que as soluções singulares são localmente normaJizá.veis na vizinhança da origem, sendo impossível, ll63SC caso, impor a regularidade na origem

simul-taneamente para as componentes superior e inferior do espinor de auto-funçães de H (e de A). Assim concluímos que para -1

<

v

<

Osão possíveis extensões auto.adjllntas para H e para A que podem ser obtidas pelo método dos índices de deficiência., que apresentaremos no Capítulo 4.

No entanto,

é

bastante instrutivo notar que podemos chegar a essa mesma

conclusão, quanto à possibilidade de extensões auto-adjuntas, sem precisar obter

as auto-funções de H e de A, para só então analisar os intervalos de v para os

quais as soluções singulares na origem são admissíveis.

Podemos obter o intervalo de

v

para o qual são possíveis extensões auto-adjuntas para H e A através de um método heurístico bastante simples que con-siste em se fazer a análise do comportamento da equação diferencial paro as com-pr.mentes superior e inferior do espinor de (Luto-junções na 1Jizinhança da ｯｲｩｧｾ＠

considerando apenas os termos dominantes

da

equações diferenciáis fJUflndo r f'V

O.

A equação diferencial para. a componente superior do espinor de auto-funçõe:s de H, conforme mostra a equação (2.2.23) tem a forma:

rt'v.

1

du (v'

,)

ｾＫＭＭＭ - - k

u=O

(3.1)

r 2 dr2 _{r dr}

A equação diferencial para a componente superior do espinor de auto-funÇÕC8 de A, conforme a equação (2.3.11),

é

da forma:

rt'u

+

ｾ

du _ (", _

>.,)

u =

O

_(3.2)

r2

dr2 r dr

Considerando apt",nas os termos dominantes nas duas diferenciais acima quando

r rv O temos a seguinte equação diferencial para as componente; superior das auto-funções tanto de H quanto de A:

d2_{u 1d:u v}2

-+----u=o

_{dr'Z r dr r2}

(3.3)

Thntando uma solução particular para a equação

(3.3)

acima, da forma:

u(r) = era, _(3.4)

onde Q é uma constante a ser determinada1 concluímos que:

U'

=

±v.

(3.5)

Esse resultado mostra que deve haver

dIJÍS

tipos de solução para as equaçôes diferenciais

(3.1)

e

(3.2)

com comportamento na origem distintos.

Existe uma solução regular, que na origem se comporta como TV para. v

>

O

Ou coro r-V se v

<

O. Existe também uma solução singular na origem, que se

comporta (na vizinhança da origem) como r-li para 1/

>

Oou com r ll _{para v}

<

_O.

Vamos analisar agora. as equações diferenciais para. as componentes inferiores

dos espinores de auto-funçõoo: de H e de A.

Note que as equações (2.2.4) e (2.2.22) mostram que a equaçoo diferencial para as componentes inferio.res da auto--ftmç-.ões de H tem a forma:

d"v

Ｋｾ､ｶ＠

_

({v+

1)2 _

k2) v

=

O.

_(3.6)

dr2 _{rdr \ r}2

Do

mesmo modo a equação diferencial para a componente inferior do espinor de auto-funções de A, conforme a equação

(2.3.12).

é:

d"v

Ｋｾ､ｶ＠

_

(V+l)'

-Á'lv=O.

_(3.7)

dr2 _{rdr \ 1'2 J}

Considerando novamente apenas os termos dúminan.tes das duas equações diferenciais na vizinhança da origem e tentando uma solução do tipo 1'", oon-cluimos que:

a

=

±(v+

1).

(3.8)

, . I

I

I

Resta saber agora se &<) soluções singulares na origem são admissíveis para

algum intervalo de vｾ＠ ou seja, se são de quadrado integrável na vizinhança da

origem para certos ｶ｡ｬｯｲｾ＠ de

v.

Lembrando que estamos tratando de um problema em duas dimensões temos

que, portant.o, soluções do típo r 8 são admissíve.is (integráveis na origem) s6 se

2P+1>-l.

Assim

a.

análise da. possibilidade de soluções singulares integráveis na. origem

para as componentes superior e inferior nos

leva.

à.

conclusão que, para 11-

>

O

e

v

:5

-I, as soluções singulares não são admissíveis,

De

modo que, para v

>

O e

v ｾ＠ -1 os operadores H e A são essencialmente auto-adjuntos ! não requerendo

nem admitindo outras exte.DSÕes (havendo apenas uma. única extensão possível ),

Para -1

<

v

<

0, além das soluções regulares são possíveis também as soluções

singulares que são normalizáveis na origem. De modo que são possfveis

difer-entes ex!e1UiÕes auto-aájuntM (na verdade famílias a quaf:ro parâmetro., de "'"

temões) paro os operoáores hamiltoniana H e helicidade A para -1

<

v

<

0, que

correspondem, de fato, às várias soluções possíveis onde são tomadas diferentes

proporções entre as so/:uçiJe.<; regular

e

singular.