Jogos de informação incompleta : uma introdução

(1)

N~ 50

JOGOS DE INFORMAÇAO INCOMPLETA: UMA INTROOUçAo

(2)

JOGOS DE INFORMAÇÃO INCOMPLETA: UMA INTRODUÇÃO

S~gio

Ribei40 da

Co~ta W~n9

1. Introdução: Jogos nao Cooperativos

A teoria dos jogos está em plena ebulição. Após um longo período de quase estagnação, período este em que se dei-xou de lado a teoria dos jogos não cooperativos em detrimento dos cooperativos, em 1975 esta teoria ressurgiu com o famoso artigo de Selten (1975); neste discute-se a razoabilidade de certos equilíbrios de Nash. ~ interessante justificar esta po~

tura moderna de ignorar a teoria dos jogos cooperativos (ou, pelo menos, indicar à mesma um papel não mais que secundário). Isto ocorre porque sempre que se quer analisar um jogo cooper~

tivo, pode-se entendê-lo como um jogo não cooperativo no qual

-as alternativ-as cooperar ou~, sao possibilidades. Visto is-so, passa-se à revisão dos conceitos e teoremas da teoria de informação completa.

Definição 1: Um ~ _{e urna qulntuPla(I,(Ai )} ,R, (r.) ,~;.:.) ), iEI 1 iEI 1 iEI

orrle:

(i) I

é

o conjunto dos jogadores. A maioria das vezes supoe-se que seja finito, exceto quando se deseja modelar agentes que não detêm poder de mercado;

(ii) Ai

é

o espaço de estratégia~/ou açoes, do i-ésimo jogador. Quando este não e finito é necessário que se introduza uma topologia em Ai que se denota por lA.> para que se

(3)

.2.

sa entender o significado de uma estratégia ser "perto" de outra. Esta topologia provém do problema econômico em que~ tão;

(iii) R é o espaço de resultados. Poder-se-ia ter R diferindo de jogador para jogador, mas este caso é trivialmente estend! do àquele. Âs vezes também se o dota de uma estrutura to-pológica (que se denota por T ) ;

R

(iv) r. é urna função que a cada combinação de estratégias(ou a-1.

ções) de todos os jogadores associa um resultado para o jQ go: seja A

=

11

jeI

Aj' então Vi E I, r. : _1. _A _~ _~R.

(a.). 1'--> r.:' (a.).

I)

J JE .1. J JE

Denomina-se r. a função resultado do indivIduo i i

J.

(v) Finalmente ~ i e a relação de preferências do jogador i sobre o espaço de resultados

R.

( >, C R x R). Esta

- 1.

rela-ção indica quais os gastos do jogador i em relação aos po~ slveis resultados do jogo.

Esta definição de jogo é muito geral, e na maioria das vezes é desnecess~rio (e 1.mpraticãvel) que se trabalhe com a mesma. Pode-se colocar alguma estrutura para que se enquadre

~

nos modelos usuais. A primeira coisa a fazer e supor que ~i se-ja representável com utilidades esperadas, a la Von Neurnann-Mor genstern (VN-M). (Ver Herstein-Hilnor (1953». Isto implica al-gurnas restrições em R e ~.' que admitir-se-ão válidas. Dado is

1.

to tem-se, então, para todo i I, v i: R .+ fR, que representa la VN-M. Vai-3e definir agora uma nova função ui: A -+ fR-,

por u. (a.)

\=

vi (r. (a.) ')) 1. J jE:I

J

1. J jEI

(4)

.3.

Esta é a função ganho: ela diz qual a utilidade que determinada combinação de estratégias (ou ações) proporciona ao jogador i.

Em segundo lugar toma-se I finito, genericamente com n elementos. Tem-se assim:

Def inição 2: Um jogo com n pessoas,

r,

é um par ICA.) n , (u.) n ), \ ]. i-I ]. i=l orrle Ai é o espaç'o da.s estratégias (ou ações) do i-ésimo jogador, e ui: A ~ ~ é a função ganho do mesmo. Além disso ui é utilidade de VN-M.

Isto posto, chega-se à noção principal de equilíbrio não cooperativo: a de equilíbrio de Nash (cabe notar que pode-se definir o mesmo conceito no modelo da definição 1).

Definição 3: Dado

r

um jogo de n pessoas, f= f(A.)n , (ui)n ),

\ ]. i=l i=l diz-se que a combinação de estratégias (ãl, . . . ,ã

n)

é

um equilí-brio de Nash se:

Vi, Va;€ A;, tem-se: u

(ã

ã.)

~ u

l' (a;1 a_i); onde o

... i i ' -1 .... termo

a_i significa o vetor (aI"'" a_n) de onde se retira a i-ésima coordenada:

a _ i - (a l ' . . . , a . _" a; + l ' ... , a ), e a == (a., a .) ou

1 ~. n ] , - 1

(a ., ai)' _-1

t

importante que haja certa familiaridade com esta no tação, pois será usada indiscriminadamente.

A pergunta imediata que surge é: por que esta noção é tão central e fornece resultado tão surpreendente bons? Isto e um ponto extremamente delicado. Uma razão básica

é

que dado que o i-ésimo jogador está independente por completo dos outros nao há corno influir na decisão dos mesmos. Sendo assim, dado que os outros agem de certa maneira este i-ésimo tentará fazer o melhor que ele pode. Como todo conhecem todos os

ingredien-tes do jogo (os A., e as u.), eles conhecem esta propriedade dos

(5)

-

-pontos

(ã

l , ... ,

ã

n) que sao equilibrios de Nash: sempre todos fazem o melhor que podem dados as ações dos outros.

Es','" iustificativa embora extremamente

intuitiva,r:e-ca por um ponto: mesmo que haj a apenas dois jogadores, rresrro qUE

eles se conheçam bem, mesmo que o equilibrio de Nash seja únicc, não há como assegurar que o outro jogará a estratégia de Nash. Neste caso pode ser terrlvel para ele (e para o adversário) ,ca-so ele insista em jogar a estratégia de Nash.

A justificativa dada originalmente por Cournot ~

e

a-traente, porém dados certos problemas estratégicos tem sido re-legada a um segundo plano. Sua idéia era a seguinte: se todos os jogadores no per lodo t tomam como dadas as ações dos outros jogadores no per iodo t-l e escolhem a estratégia a jogar no pe-rlodo t de modo a maximizar seu ganho, então o ponto

(ã

l ,···

,ã

n> , que é equillbrio de Nash, seria um ponto de equilibrio deste processo. Duas criticas porém se aplicam: a) o processodinâ-mico acima pode não convergir nunca, e b) o jogador está sendo

"cego" pois não ve que o que ele joga no periodo t-l afeta o que todos os outros fazem em t, de modo que ele poderia tirar van-tagem deste fato.

A única razao plauslvel teoricamente que se conhece (até o momento) é a propriedade do não arrependimento: Se todos jogam Nash, ao fim do jogo ninguém se arrepende do que fez: to-dos estão fazendo o melhor que eles poderiam fazer, dado o qur

os outros fizeram.

Finda a digressão teórica-filosófica, volta-se ao ponto principal: em que condições é possivel que se garanta a

(6)

.5.

Teorema 1: Seja

r

=(A.)n ,

(~.)n

) um jogo.

~ i=l ~ i=l

Seja V um espaço vetorial topológico real, 10-calmente convexo e Eausdorff

Se V-i: ( i) A. C V é convexo e compacto;

~

( ii) u. é continua;

1.

(iii) ui é quase concava na variável ai cAi; Então:

3 ã

=(ãl, •.•

,ã

n) equilIbrio de Nash de

r.

A demonstração deste resultado é conseqUência do teo-rema de Glicksberg-Ky Fan (ver Glicksberg(1952», segundo as li-nhas da prova de Berge (1957).

Para terminar esta seção introdutória, define-se o conceito de estratégia mista e equilibrio em estratégia mista. Uma estratégia mista (opondo-se ao conceito de estratégia pura --esta um elemento de Ai) para o jogador i, é um elemento de'H(A

i ), onde dado (X,T

X) um espaço topológico, W(X) denota o conjunto

das medidas de probabilidade regulares e borelianas sobre X.{ver Billingsley(1968». (A o-álgebra de Borel, B(X)=a (1 ) é a menor

x

a-álgebra que contém a topologia de X -- ou seja, na qual os a-bertos de X são mensuráveis) .

Agora faz-se uso da hipótese de ser u. VN-M: é

possi-1.

n

vel estendê-la linearmente a

n

W(A.), tomando-se valores espe-j=l ]

rados em relação

à

cada uma das variáveis, respectivamente. Exemplo: Suponha dois jogadores.O jogador 1 joga a estratégia

aI cAl com probabilidade Pl e aI com probabilidade I-PI (isto representa a descrição de uma estratégia mista de 1: um elemento de W(A

1) uma randomização de suas ações). O jogador 2 joga a estratégia a

(7)

,6 ,

P2 e ai €A

2 com probabilidade l-P2' Qual será o ganho de 1 (por exemplo) neste caso? Simples: toma-se o

va-lor esperado duplo:

No contexto de estrat~gias mistas pode-se provar um teorema muito geral de existência de equilIbrio de Nash, no ca-so #A < +00 Vi.

i

Teorema 2: Seja #A

i < +00 Vi, Neste caso

r

possui equilIbrio de

em estratégias mistas,

(8)

• 'I .

2 • Um Exemplo

Nesta seçao sera estudado um exemplo de aplicação da-quela teoria da parte 1. O exemplo é muito simples, e provavel-mente bem conhecido. Sua vantagem reside na com~aração que será feita adiante, onde introduzir-se-á a ignorância dos jogadores a respeito do que eles jogam, corno um dado do problema.

Vai-se supor um mercado com duas firmas. Cada firma pode ser do tipo que tem custo fixo alto ou baixo. Nesta parte supor-se-á que cada firma conhece o parceiro, e comparar-se-á a solução de Cournot com a de competição perfeita nos quatro tipo de mercados que [Jodem surgir.

Seja então dada a demanda do mercado: Q(p)

=

4-p. Sejam as curvas de custo dadas por:

{ :2+1

se q=O C

1 (q) :::

se q>O

{ :2+2

S...: q=O

C

2(q) :::

se q>O

(9)

p

2

.8.

o

se ;::> < 2 ~í2.

=

t

_{O,

ff}

se ?=

212

p/2 se p > 2

n

p

2/2

1

Portanto tem-se a tabela de produções abaixo, que sao

as prod~ções de equilibrio em competição perfeita.

FIR11A Custo Fixo

Baixo Baixo rl :- 1

2

Custo Fixo Alto

FIRMA 1 F2

=

1

FI

=

4/3

F2

=

O

Alto FI

=

F2 =

O

4/3

Não há equilibrio: Há espaço para uma, que não ?ode atender

à

demanda, mas nao para duas.

(10)

(Não há razao para alagar o mercado mais que a máxima demanda) .

.9.

com

Um elemento genérico de Ai diz-se qi' Supor-se-á também que as firmas só jO']::U1 estratégias puras. Assim uI (ql ,q2) == L_{I (ql,Q2)=}

==P(Ql+q2)ql - Ci(ql) e _{u 2 (ql,Q2)} = L_{2 (Ql,Q2)} == P(ql+Q2)Q2-Cj(q2) i , j indicam alto ou baixo custo fixo, e p(Q) == 4-Q é a função de demanda inversa. Tem-se, ao final de algumas contas:

baixo FI

alto

F2 baixo FI == 4/5 F2 == 4/5 FI == O

F2 == 1

alto FI == F2 ₌₌

EQI:

EQ2 : I O

(11)

r---

--~-~--~~-.10.

3. Jogos Com Informação Incompleta

Esta foi uma idéia de Harsanyi(1967-68). Suponha que se queira analisar uma situação onde não se conhece exatamente com quem se está jogando, nem quem se e. Como se pode modelar tal fato? Se se começa a pensar nisto, ver-se-á que há um pr~

blema de uma recursao infinita de suposições. Para exemplifi--car sejam apenas dois jogadores, que se conhecem a si mesmos , mas desconhecem um ao outro. Assim, segundo Harsanyi, para que o jogo seja jogado (ou seja: para que o conflito seja resolvi-do) o jogador 1 tentará descobrir quem é o jogador 2, e certa-mente o que ele pensa a respeito de 2 afetará sua decisão ( da escolha de sua ação). Da mesma forma 2 tentará descobrir quem é 1, e isto influenciará a decisão de 2. Has 1 tentará também descobrir o que 2 pensa que 1 é, e assim por diante.

Vé-se que o problema na forma como se apresenta é in tratável. A idéia genial de Harsanyi foi a de achar uma "forma reduzida" para o problema: a cadajogador Harsanyi permite o co-nhecimento de uma parte do que ele é e do que os outros sao. Além disso todos têm conheciMento deste problema, e todos tém distribuições subjetivas a priori sobre o que os outros sao. Também é hipótese do modelo que todos conheçam estas distribui ções. Formalmente, tem-se:

Definição 4: Um jogo com informação incompleta e n jogadores fI' é uma quádrupla:

n

(u. ) ,

~ i=l

n

(p . ) ), onde:

(12)

.11.

(i) Ai

é

o espaço de açoes do jogador i, similar ao já defini~

do anteriormente. Como se verá adiante, nao se confunde mais com o espaço de estratégias;

(ii) Si é o espaço de tipos do i-ésirno jogador. Um si € Si

re-representa a idéia intuitiva do"pedaço" do jogo que

é

conhecido n

pelo jogador i. Sejam A

=

TI j=l

A. e

J

n S

=

n

j=l

s .;

J

(iii) ui: A x S -+ 1<. e a função ganho do jogador

i. Note que aqui introduz-se a principal modificação em relação ao modelo de informação completa: a função ganho do i-ésimo jo-gador não só depende das ações de todos, mas também do tipo de cada jogador, inclusive do seu próprio. Supõe-se que cada joga--dor conheça seu próprio tipo antes de começar o jogo, mas des-conheça os tipos dos outros. Como foi dito anteriormente seu ti po representa o "pedaço" de informação sobre o jogo que está dis ponlvel para ele. Contudo os tipos dos outros ainda são

desco-nhecidos. O que se o jogo seja jogado ?

En-tra em campo agora as distribuições a priori, que cada indivíduo tem, sobre os tipos dos outros;

(iv) P.: S. -+

1 1

W(S .). O P. representa, dado cada tipo s. c S.,

- 1 1 1 1

o que o i-é,.;1rno jogador pensa que os outros são. Ou seja ,

é

uma distr~buição subjetiva a priori sobre os tipos s_i . Isto faz com que a noçao subseqüente de equilíbrio seja di ta, às vezes, bayesiana.

(13)

di-.12.

videm o mercado. Cada firma pode ser, como nos exemplos ante-riores, de custo fixo alto ou de custo fixo baixo:

C·

se q

=

Oi

C

i (q)

=

_q2₊_{i, se}_q

_-I

_O _{para i}

₌

_1,2. Todas as duas fir-mas conhecem seu próprio custo fixo, fir-mas desconhecem o custo fixo da outra. Sabe-se apenas que cada uma das firmas atribui igual chance da oponente ter custo fixo alto ou baixo. Como se representa formalmente esta situação? A demanda inversa é

p=4-Q.

~ muito simples, tmH 'Te? que se utiliza o rrodelo de Harsanyi: tem--se n=2,

=

[0,41;

custo fixo baixo

, ~custo fixo alto

{ l , 2};

S ₁

=

S ₂

=

FIRNA 1 FI~1>,ffi 2

(ql ' q2' 1 1) 1 - - ) (4

-

ql - q2)<:1 2 - C1 (ql) (ql' q2' 1 .." Lo} f--~-, (4

-

<:1 1 - q2) ql - C1 (ql)

(Ql' q2 ' 2 1) ~-~ (4

-

ql - q2)ql - C2 (ql)

(Ql' q2 2 .c.)

,----,r

1.4 - q 1 - <:12)C]1 - C2(Ql)

é

definido de modo simétrico.

Falta definir as distribuições a priori. Para tanto, em geral se os conjuntos S, são finitos, pode-se gerar ~v(S .) com as

pro-~ -1

babilidades de cada {s .}. _-1 Assim denota-se P. (s i1s.)=P. (s.) ({s i')' ₁ _- _{. 1} ₁ ₁

(14)

.13 .

No caso do exemplo tem-se que 5_ i possui apenas uma

coordenada:

Como as firmas dão igual chance da oponente ser de custo fixo

alto ou baixo, independente de seu próprio tipo:

52 c S2

~ ~51 ( SI

Pl(lll)

=

_{P l (2!1) ==} P_l (112) = Pl (2!2) = 1/2

Não se disse ainda corno as firmas competirão neste

mercado, ou seja, como se resolve o conflito. Para isto define

se a noção de equillbrio de Harsanyi-Nash, ou bayesiano.

Deve-se entender primeiro quais são as estratégias dos jogadores de

rI'

~ claro que não são mais as simples ações, como o eram no

modelo de informação completa. A estratégia deve captar o fato

de o jogador saber qual é o seu tipo no inicio do jogo, e

sa-ber que todos sabem seus tipos também. Portanto:

o

espaço de estratégias

~

9. jogador!. é E i=={

°

i: 5 i -+ Ai}' Em

outras palavras: para cada tipo si S 5 i o jogador escolhe uma

açao. Como requisitos técnicos, além da estrutura topológica

dos A 1

'S e dos 5

1 'S, também se exige que oi seja B(A i ) -B(5 i )

(15)

.14.

Suponha agora que cada jogador esteja usando uma es-tratégia. Assim tem-se 0lE L1, ... ,OnE

Ln.

Ver-se-á o caso fi-nito, onde já se definiu Pi(s.) ({s.}) como P. (s i Is.). Também

1 -1 1 - 1

se sabe que vale o teorema de Von Neumann-Morgenstern. Daí, se os jogadores que nao o i-ésimo jogam 0i=(01' ••• ,oi_1,oi+1, •.• ,on)

(que se representa por 0i(s-i)=(01(sl), •.. ,oi_1(si_1),oi+1(si+1)' ••• ,on(sn) tem-se que, para cada si € Si e cada ai E Ai:

Este valor representa a utilidade esperada para o jogador i ca-50 os outros joguem

° .,

caso ele seja do tipo s. e caso ele

-1 1

tome a ação a ..

1

o

valor esperado é tornado com base em sua

dis-tribuição a priori dos tipos dos outros.

Um comportamento não cooperativo deve supor que o jo-gador i tentará, de modo independente, escolher a ação ai que maximiza seu ganho esperado. 6bvio é que este valor vai depen-der de seu tipo si. Por conseguinte:

Definição 6: Dado rI' uma ênupla (ãl, ..•

,Õ

_n) de estratégias dos jogadores é dita um equilíbrio de Harsanyi-Nash (ou equilíbrio bayesiano) se: Vi

=

l, . . . ,n; Vs. E S. i Va. € Ai; tem- se :

1 1 1

Ui<Õ .,a.{s.),s.)? U.(o j ' ai' sl')' Isto quer dizer que õ.(s.)

-1 1 1 l 1 - 1 1

resolve:

max L Pies ·Is.) u

l. (o .(s-i),ai's ., s.)

-1 1 -1 -1 1

aiEAi s_i E S_i

(16)

Usando a mesma nctação do exemplo, sejam Qll,Q12,Q21'CJ 22, respectivamente, os valores de

estratégia

da firma 1 e a estratégia da firma 2) .

Calculando as expressoes

-Tem-se: (dados Qll,q12,q21,q22 um equilíbrio de Nash)

de de

i = 1 , a_l=Q , sI = 1

1

2"

(A)

1

[(4-Q-q )Q - C (Q)] +[2: (4-Q-q22)q - C

2(Q)] (B)

2

21 2 2

(D)

A manéira de resolver e simples. Acha-se o máximo

-

,...

(B)

-

de (C)

-(A) e este e Qll' de e este e Q12' e este e q2l

(D) e este e _CJ

(17)

.16.

g

possível que se calcule que a única solução é: 8

=

_"9

e

Isto TIC:S dá o quadro de configurações abaixo:

FIRMA 2

Custo Fixo Custo Fixo

Alto Baixo

FI

=

O FI

=

O

Custo Fixo Alto

F

2 O F2

8

=

₉

FIRMA 1

FI

=

_"9

8 FI

=

_"9

8 Custo Fixo

8

Baixo F

2 = O F2 =

"9

Visto o exemplo acima, ver-se-á agora de que outras maneiras pode um jogo de informação incompleta aparecer. A mais important,~ ;~.J.quela situação em que as P i ' s vêm de uma grande distribuiç20 ,1 p""'iori P E W(S}. Neste caso há urna

sim-plificação na forma corno o jogo é apresentado. rI agora e ( n n

n ) \

descri to por (Ai) i=l' (Si) i=l' (ui) i=l' P

/ • Este é

dito um jogo consistente (Pi(si) = PC. Is_i }).

No caso finito é possível mostrar que as estratégias sao escolhidas de modo que Vi a i: Si -+ A maximize em L i a função L P(s} ui

(ã_

_i (s_i)' ai (si)' s).

SE S

(18)

.17.

complicações técnicas aparecem no caso #Si= +00.

A vantagem desta versão consistente

é

a notação muito mais concisa. E, além do mais, a idéia de informação incomple-ta é perfeiincomple-tamente capincomple-tada pelo modelo.

O exemplo anterior provém de uma distribuição a priori:

P(l,l)

=

P(1,2)

=

P(2,l) == P(2,2) ==

i

No caso finito pode-se tomar sempre as ~IS como vindo de uma grande distribuição a priori independente. Obtem-se is-to definindo uma nova função ganho: vi (a,s)

=

P_i_{(s_i!si)ui (a,s),} e definindo P

i' (s_i1s1) == _jTI P. (s.) onde _~i _J _J P. J (s.) J

=

1

#3.

J

Finalmente note-se que é possivel olhar para um jogo de informação incompleta (na forma consistente) e tal que

#

Si<

+

00 Vi, como sendo um jogo de informação completa mas in-formação ~perfeita (como definido por Kuhn (1953) onde há uma jogada da natureza no inicio.

Seja o exemplo com 2 joqadores e dois tipos cada: O jogador 1 pode ser 1 ou 2, o dois a ou b. Suponha também que cada um possui duas alternativas, ou seja #A l=# _A2==2.

Conside-ra-se também o caso consistente.

(19)

.1f3.

4. Exemplos ele -A.flicações da Teoria dos Jogos em Economia: (não cooperativos).

1- Hodelos simples de oligopólio: Cournot, Bertrand, Edgeworth, Stackelberg, Hotteling (ver Henderson e Quandt (1971), SinDnsen

(1967), Varian (1978») •

2- Modelos de leilões: por exemplo o das LTN -+ cada "dealer"

é

um jogador que tem que dar a taxa de desconto e quantidade que está disposto a comprar. {ver Milqrom e Weber (1982), Harris e Raviv (1981»).

3- Modelos de votação (ou de escolha de bens públicos): Se há uma votação para governador, e há 5 candidatos, os quais podem ter qualquer ordem na preferência popular, como des~ cobrir o vencedor? Haverá possibilidades de manipulação do resultado (jnÍJ~ ~rando uma preferência que na realidade não é a sua verdadeira)? E com os bens públicos? Como saber exa-tamente quanto vale para cada um dos consumidores um bem~

muitos ou todos eles terão que consumir? (ver ribbard (1973) SatterthNaite (l97S). ~1askjn (1978) e Dasgupta,Hammond e Mas kin (1979».

4- !-lodelos de Entrada ou não de uma firma no mercado. (ver Dixit (1982»).

5- Modelos de investimento em novas tecnologias.

6- Modelos de negociação de dividas externas. (ver Simonsen (1984)

L.

7- Modelos de interdependência das poli ticas monetária/fiscal de paises grandes.

(20)

.19.

9- Nodelos de greve e negociação salarial.

10- Modelos de mercado de ações imperfeito: há

um

grande compra~

dor que se sabe que possui informação privilegiada. Como re~ ponderá o mercado? Como deve este comprador (ou vendedor) a-gir? (Ver Kyle(198l».

11- Teoria dos Contratos: problemas de assimetria de informação, principal e agente, azar moral, seleção adversa. (Ver Myerson

(21)

.20.

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Neumann, J. e O. Morgenstern {1947}, The Theory of Garnes and Econo-mic Behavior, segunda edição, Princeton: Princeton University PreSSa

Satterthwaite, H.A. (1975), "Strategy-proofness and Arrow's Condi-tions-Existence and Correspondence Theorerns for Voting Pro-cedures and Social We1fare Functions", Jour. Econ. Th. voI. 10, n9 2, pp. 187-217.

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Simonsen, M.R. (1967), Teoria l-Ucroeconôrnica: Teoria da Concorrên-cia Imperfeita, Rio de Janeiro: Editora da Fundação Getúlio Vargas.

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Wer1ang, S.R.C. (1983), nA Keynesian l-1ode1 of Nominal Wages", nao

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.'

ENSAIOS ECO~nMICOS DA EPGE

1. ANALISE COMPARATIVA DAS ALTERNATIVAS DE POLTTICA COMERCIAL DE UM PAIS EM

PRO-CESSO DE INDUSTRIALIZAÇ~O - Edmar Bacha -

1970

(ESGOTADO)

2. ANALISE ECONOMETRICA DO MERCADO INTERNACIONAL DO CAFE E DA POLTTICA

BRASILEI-RA DE PREÇOS - Edmar Bacha -

1970

(ESGOTADO)

3.

A ESTRUTURA ECONOMICA BRASILEIRA - Mario Henrique Simonsen -

1971

(ESGOTADO)

~. O PAPEL DO INVESTIMENTO EM EDUCAÇAO E TECNOLOGIA NO PROCESSO DE DESENVOLVIMEN

TO ECONOHICO - Carlos Geraldo Langoni -

1972

(ESGOTADO)

5.

A EVOLUçAO DO ENSINO DE ECONOMIA NO BRASil - Luiz de Freitas Bueno -

1972

6.

POLTTlCA ANT I-I NFLAC 10NÂRIA - A CONTRI BU I ÇAO BRAS I LE I RA - Mario Henri que

Si-monsen -

1973

(ESGOTADO)

7.

ANALISE DE S(RIES DE TEMPO E MODELO DE FORMAÇAo DE EXPECTATIVAS - José Luiz

Carvalho -

1973

(ESGOTADO)

8.

DISTRIBUIÇAO DA RENDA E DESENVOLVIMENTO ECONOM/CO DO BRASIL: UMA

REAFIRMAÇAO-Carlos Geraldo Langoni -

1973

(ESGOTADO)

9.

UMA NOTA SOBRE A POPULAÇAO OTIMA DO BRASIL - Edy Luiz Kogut -

1973

10. ASPECTOS DO PROBLEMA DA ABSORÇAO DE MO-DE-OBRA: SUGESTOES PARA PESQUISAS

José Luiz Carvalho - 197~ (ESGOTADO)

11. A FORÇA DO TRABALHO NO 8KA)iL - Mario Henrique Simonsen -

1974

(ESGOTADO)

12. O SISTEMA BRASILEIRO DE INCENTIVOS FISCAIS ~ Mario Henrique Simonsen -

1974

(ESGOTADO)

13.

MOEDA - Antonio Maria da Silveira -

J974

(ESGOTADO)

1~. CRESCIMENTO 00 PRODUTO REAL BRASILEIRO -

1900/1974 -

Claudio Luiz Haddad

1974

(ESGOTADO)

15.

UMA NOTA SOBRE NOMEROS TNDICES - José Luiz Carvalho -

1974

(ESGOTADO)

(25)

17. DISTRIBUIÇAO DE RENDA: RESUHO DA EVIDENCIA - Carlos Geraldo Langoni -

197~

(ESGOTADO)

18. O HODELO ECONOMtTRICO DE ST. LOUIS APLICADO NO BRASIL: RESULTADOS

PRELIMINA-RES - Antonio Carlos Lemgruber -

1975

19. OS MODELOS CLASSICOS E NEOCLAsSICOS DE DALE W. JORG;NSON - Eliseu R. de Andra

de Alves - 1975

20. DIVID: UM PROGRAMA FLEXfvEL PARA CONSTRUÇAO DO QUADRO DE EVOLUÇAO DO ESTUDO DE

UMA DrVIDA - Clóvis de Faro -

1974

21. ESCOLHA ENTRE OS REGIMES DA TABELA PRICE E DO SISTEMA DE AMORTIZAÇOES

CONSTAN-TES: PONTO-DE-VISTA DO MUTUARIO - Clovis de Faro -

1975

22. ESCOLARIDADE, EXPERIENCIA NO TRABALHO E SALARIOS NO BRASil - José Julio Senna

- 1975

23. PESQUISA QUANTITATIVA NA ECONOHIA - Luiz de Freitas Bueno - 1978

24. UMA ANALISE EH CROSS-SECTION DOS GASTOS FAMILIARES EH CONExAo COM NUTRIÇAO,

SAODE, FECUNDIDADE E CAPACIDADE DE GERAR RENDA - José Luiz Carvalho -

1978

25. DETERMINAÇAO DA TAXA DE JUROS IMPLfCITA EM ESQUEMAS GENtRICOS DE fiNANCIAMENTO:

COMPARAÇ~O

ENTRE OS ALGORfTIHOS DE WILD E DE NEWTONRAPHSON Clóvis de faro

-1978

26. A URBANIZAÇAO E O CrRCUlO VICIOSO DA POBREZA: O CASO DA CRIANÇA URBANA NO BRA

SIL - José Luiz Carvalho e Urie) de Magalhães - 1979

27. MICROECONOKIA - Parte I - FUNDAMENTOS DA TEORIA DOS PREÇOS - Mario Henrique

Simonsen

-1979

28. ANALISE DE CUSTOS E BENEFfclOS SOCIAIS II - Edy Luiz Kogut - 1979

29. CONTRADIÇAO APARENTE - Octávio Gouvêa de Bulhões-

1979

30. MICROECONOHIA - Parte 2 - FUNDAMENTOS DA TEORIA DOS PREÇOS - Kario Henrique

Simonsen - 1980

(26)

32. MICROECONOMIA - Parte A - TEORIA DA

OETERMINAÇ~O

DA RENDA E DO NTVEl DE PREÇOS

José Jutlo Senna - 2 Volumes - 1980

33. ANALISE DE CUSTOS E BENEFTclOS SOCIAIS II I - Edy Luiz Kogut - 1980

34. MEDIDAS DE

CONCENTRAÇ~O

- Fernando de Holanda Barbosa - 1981

35. CRtDITO RURAL: PROBLEMAS ECONOMICOS E SUGESTOES DE MUDANÇAS - Antonio Salazar

36.

DETERMINAÇ~O

NUMtRICA DA TAXA INTERNA DE RETORNO: CONFRONTO ENTRE ALGORTTIMOS

DE BOULDING E DE WILD - Clovis de Faro - 1983

37. MODELO DE EQUAÇOES SIMULTANEAS - Fernando de Holanda Barbosa - 1983

38. A EFICltNCIA MARGINAL DO CAPITAL COMO CRITtRIO DE AVALIAÇAO ECONOMICA DE PROJE

TOS DE INVESTIMENTO - Clovis de Faro - 1983 (esgotado)

-39. SALARIO REAL E

INFLAÇ~O

(TEORIA E ILUSTRAÇAO EMPTRICA) - Raul José Ekerman

- 1984

40. TAXAS DE JUROS EFETIVAMENTE PAGAS POR TOMADORES DE EMPRtSTIMOS JUNTO A BANCOS

COMERCIAIS - Clóvis de Faro - 1984

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