Solitary waves in the geometrically nonlinear Cosserat medium

Ա Ա Ա Ի Ի ՈՒԹ ՈՒ ԻԱ Ա Ի Ա Ա ԻԱ Ի Ղ Ա Ի

ա ա 65, №4, 2012

539.3

Ё Ы Ы Ч

А∗

и Ю. ., . .

ч : , ,

Key words: Cosserat medium, solitary waves, periodic waves

ա ա . ., ֆ .Ի.

Ա ա ա ա ա ա ա ա ա ա ա

ա ա ա ա ա ա ա ա ա ա ա ա ա ա

ա ա ա :

Vinogradova Yu.V., Erofeyev V.I.

Solitary waves in the geometrically nonlinear Cosserat medium

In this article we analyze the possibility of formation of nonlinear stationary solitary waves in the Cosserat medium

ё

.

,

u

G

ϕ

JG

, :

,

,

,

i ji j i

i ijk jk ji j i

u

x

J

y

ρ = σ +

⎧

⎨ ϕ =∈ σ +μ +

⎩

(1)

i

u

– ;

ϕ

_i –

; σ_{i j}– ;

μ

_{i j}– ;

x

_i –

;

y

_i – ;

ρ

– ; J –

;

∈

_{i j k}– - , . . .

ё

ji

σ

μ

ji,

:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

j i j i i j k k i j

j i j i i j k k i j

⎧σ = μ + α γ + μ − α γ + λγ − νθ δ

⎪

⎨

μ = γ + ε κ + γ − ε κ + βκ − χθ δ

⎪⎩

, (2)

,

μ λ

– ,

ν χ

,

– , ,

;

α γ β ε

, , ,

– ,

; :

(

)

(

)

0,

0,

3

2

0.

α ≥

γ + ε ≥

β + γ ≥

∗

, ё

j i

γ

-

κ

_{j i}.

- ё ,

( . . ё ).

, , ,

, , ,

j i i j i j i j k j i k

j i i j i j i j

u

u

u

γ =

+

⋅

−∈ ϕ

⎧⎪

⎨κ = ϕ +ϕ ⋅ϕ

⎪⎩

(3)

[1].

, 0

0

1

1

div

j j

u

T

⎛

⎞

⎜

⎟

⎝

⎠

θ

θ − θ = η

+

κ

, (4)

θ

–

θ = −

T

T

₀;

T

₀ –

;

η

₀ – ₀

T

0

k

ν

η =

;

κ

–

k

c

_ε

κ =

, (

k

–

,

c

_ε – ).

[2] , ,

(1) – (4) ,

- ,

– ,

z.

[3] , ,

. ,

. ,

ё .

,

z:

(

)

(

)

3 3,11 3,1 2,1

2

2 2,11 2,1 3,1 _3,1 2

1 2

2

1 2

2

2

4

u

u

u

J

u

u

⎧

ρ =

μ + α

⎡

+

⎤

+ αϕ

⎪

⎣

⎦

⎨

_{ϕ = ϕ}

_{γ + ε}

_⎡

_{+ ϕ}

_⎤

_{− α}

_{− α}

_{− αϕ}

⎪

⎣

⎦

⎩

(5)

, .

(5) ё «

», ξ = −x Vt.

V

.

, ,

c

_τ

=

μ

ρ

,

c

2

J

γ + ε

=

– ,

, ,

3

c

=

α

ρ

,

c

t

μ + α

=

ρ

.

(5)

.

.

(5)

ξ

, du3 _{U ,}

dξ = ё :

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(

)

2 2

1 2 2 2

2

8 1

2 2

,

V V

U

V

ρ − μ + α ρ − μ + α α μ + α

= ± − ϕ

μ + α μ + α _{ρ − μ + α}

« »,

, ё

« », ,

α < μ

.

(

)

(

)

(

₂

)

2 2 8

1

V

α μ + α

− ϕ

ρ − μ + α

( )

2

O x ,

:

2

2 2

2 2

2

0

d

a

b

d

ϕ

+ ϕ + ϕ =

ξ

(6)

(

)

(

)

[

]

2 2

2 2 2 2

2

4 t

V c

a

J

V c V c

τ

α −

=

− −

[

] [

]

4 3 2

2 2 2 2

2

8 t

c b

J V c V c

α =

− −

. ,

a

<

0

b

>

0

a

<

0

b

<

0

.

3

const du

dξ = ,

3

const

u

=

⋅ξ

. ,

,

, ,

( , ), .

.

a

b

.

1.

a

<

0

, b

>

0

. ,

: 2

,

t

,

v

>

c

v

<

c

v

>

c

_τ. [4],

( ) 2 3

2 2

a b

f U = U + U

f

min

=

0

U

=

0

3

max 2

6

a

f

b

=

U

a

b

= −

.

( )

0 0

,

(

U ,U

ξ

)

" ", a,0 b

−

⎛

⎞

⎜

⎟

⎝

⎠

– " ".

( )

E

−

f U

E

. . 1 )

.

.1

[5]

, ё ( ),

, " ",

.

, .

(5) :

( )

(

)

(

(

)

)

(

)

(

)

(

)

(

(

)

)

2 2

2

2 2

2 2

3 ₁

4

ch

V V

V

J V V

ρ − μ ρ − μ + α

ξ = −

α _{α ρ − μ}

ξ −

ρ − μ + α ρ − γ + ε

⎛

⎞

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

ϕ

(

)

(

)

(

)

(

)

(

(

)

)

2 2

3 2 2

3

th const

2

V V

u

J V V

ρ − μ α ρ − μ

= − ξ − +

α ρ − μ + α ρ − γ + ε

⎛

⎞

⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠

(7)

,

ё ё

, ( ).

A

– ё ,

A

–

ё ,

Δ

– ё .

:

(

2 2

)(

2 2

)

4 3

3 3

2 4

t

v c v c

a A

b c

τ

− −

= − = −

,

(

)

(

2 2

)

4 3

2

2 2

3

3 4 t

v c

c

A A

c

v c

τ

−

= = −

−

(

)(

)

(

)

2 2 2 2

2

2 2

t

J v c v c

v c_τ

− −

Δ = −

ё , : 0< A <10−4.

ё :

2 2 2 2 4

3

4

10

3

c

_τ

<

v

<

c

_τ

+

c

⋅

− (8)

,

2

2

c

v

τ _ё

:

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

4 4 4

3 3 3

3

1

1

3

3

4

4

4

t t

t

c

c

c

v

v

v v

v

v

v

v c

A

c

c

c

τ

⎛

⎞ ⎛

⎞

⎛

⎞

−

−

−

⎜

⎟ ⎜

⎟

⎜

⎟

⎝

⎠ ⎝

⎠

⎝

⎠

= −

≈ −

≈

(

)

2 2

2 2 _{2 2}

2 2 2

3 3 3

3

1

3

₃

4

4

4

c

v

v

c

v

v

A

c

c

c

τ τ

⎛

⎞

−

⎜

⎟

−

_⎝

_⎠

= −

= −

≈ −

, 2

v

,

v

2.

ё (8) .

2.

a

<

0

, b

<

0

. ,

.

( №12-08-00888, №12-08-90032- )

1. . . .: , 1975. 872 .

2. . ., . .

. // . . . . 2009.

№ 6 (1). .159-162

3. . .

. //

- « ». :

-, 2011. .31-32

4. . ., . ., . . . .

. .: , 2002. 208 .

и :

и Ю и –

, . . . ,

- . .: +7-960-185-96-32. E-mail: yuvinog@gmail.com

и и ич – .- . , , .

. . . .: +7(831)-432-05-76. E-mail: erf04@sinn.ru