Algoritmo para o problema de roteamento dinâmico de veículos com janelas de tempo e tempos de viagem variáveis

(1)

ALGORITMO PARA O PROBLEMA DE ROTEAMENTO

DINÂMICO DE VEÍCULOS COM JANELAS DE TEMPO E

TEMPOS DE VIAGEM VARIÁVEIS

Belo Horizonte

(2)

Instituto de Ciênias Exatas

Programa de Pós-Graduação em Ciênia da Computação

ALGORITMO PARA O PROBLEMA DE ROTEAMENTO

DINÂMICO DE VEÍCULOS COM JANELAS DE TEMPO E

TEMPOS DE VIAGEM VARIÁVEIS

Proposta de dissertaçãoapresentada ao Curso

dePós-GraduaçãoemCiênia daComputação

daUniversidadeFederaldeMinasGeraisomo

requisito parial para a obtenção do grau de

Mestre emCiênia daComputação.

FRANCISCOHENRIQUE DE FREITAS VIANA

Belo Horizonte

(3)

FOLHADE APROVAÇO

Algoritmo para o Problema de Roteamento Dinâmio de Veíulos om

Janelas de Tempo e Tempos de Viagem Variáveis

FRANCISCOHENRIQUE DE FREITAS VIANA

Propostade dissertaçãodefendida e aprovada pelabana examinadoraonstituída por:

D.S. Geraldo Robson MateusOrientador

UniversidadeFederal de MinasGerais

D. S.Guilherme Bastos Alvarenga

Universidade Federal de Lavras(DCC/UFLA)

D.S.Sérgio Riardo de Souza

Centro Federal deEduação Tenológia (DCC/CEFET-MG)

D. S.Sebastian Alberto Urrutia

UniversidadeFederal de MinasGerais (DCC/UFMG)

(4)

É notório queo usto naldas meradorias no omério varejistadeorre, em grande parte,

dos gastos om o transporte de bens. Neste ontexto, surge o problema de roteamento de

veíulosquevisaaotimizarasrotas deumafrotaque temainumbênia deprestar serviços

de oleta ou de entrega em pontos de demanda. Diante da neessidade do atendimento de

requisiçõesefetuadas nodeorrerdoperíododeoperaçãodafrota,surgeoproblemade

rotea-mento dinâmio de veíulos. Este trabalho traz uma abordagem apaz de forneer soluções

de boa qualidadeparaoproblema deroteamento dinâmio deveíulos omjanelasde tempo

e tempos de viagem variáveis. Foi proposto um arabouço, baseado em uma heurístia de

geração de olunas que utiliza um algoritmo evoluionário dinâmio om o intuito de gerar

um onjunto de soluções parao referidoproblema. Assoiado a este algoritmo, foi utilizada

uma formulação matemátia do problema de partição de onjuntos que visa a obter a

mel-hor ombinação de rotas que atendem às restrições do problema, tendo omo base as rotas

pertenentes àssoluções enontradas pelo algoritmo evoluionário. Foram apresentadas três

polítias de roteamento dinâmio para determinar o momento no qual as novas requisições

efetuadas são repassadas ao algoritmo evoluionário dinâmio. A polítia Online repassa as

requisições logo que são geradas. A polítia Por Demanda aramazena as novas requisições

em umalae asrepassaao algoritmodinâmio somentequandoa laatinge o seulimitede

apaidade. Já a polítia Periódia, por sua vez, esperaum período de tempo xo entre os

repasses de novas requisições ao algoritmo evoluionário dinâmio. O arabouço foi testado

atravésdeumaadaptaçãodasinstâniaslássiasdeproblemasderoteamentodeveíulos

pro-postasporSolomon(1987 ). Foramrealizados testesdastrêspolítiasderoteamentodinâmio

(5)

Itiswell-knowthatthenalostofommerialprodutsismostlydueto expenseswiththeir

transport. In this ontext, appears the vehile routing problem that aims to optimize the

routes of a eet whih is responsible of providing pik-up and delivery servies. In fae of

the neessity inattending requests that ome during the eet'soperation time, appears the

dynamivehileroutingproblem. Thisdissertationbringsanapproahtoobtaingoodquality

solutions tothetime-dependentdynamitime-windowvehilerouting problem. Aframework

wasproposedbasedonolumngenerationheuristithatusesaevolutionaryalgorithm aiming

to generate a solution setto the problem. Moreover, theevolutionaryalgorithm generatesa

setofolumns,or asetofroutes thatattends theproblem'sonstraints,for asetpartitioning

problemformulation. Theoptimalsolutionforthesetpartitioningproblemisagoodsolution

for the vehile routing problem. Three dynami poliies were presented to determinate the

moment at whih the new requests are sent to the dynami evolutionary algorithm. The

Online poliysendstherequestassoonastheyaregenerated. TheSizeDemand poliystores

the new requests in a buer and sendthem forward to the dynami evolutionary algorithm

only when the buer is full. While the Periodi poliy waits a xed period of time before

forwardinganewrequeststo thedynamievolutionaryalgorithm. Theframeworkwastested

with thelassiinstanes proposedbySolomon (1987 ). It wasreported testsusingthethree

(6)

à minha tia Teresinha,

por meinentivaremsempre emtodos os momentosda minhavida.

(7)

Em primeiro lugar, agradeço a Deus, pelo domda vida. Agradeço também pela sualuz nos

momentos nosquaistive quetomar deisõesimportantesna minha vida.

Agradeço aos meus pais (Viana e Chaguinha), pelo arinho, pelo amor, por tudo que

semprefazempor mim,desdequeeunasi. Agradeçomuitoporestaremsemprepresentesna

minha vida,por teremaompanhado ada passomeu epor sempreestarem naretaguarda.

AgradeçoàminhatiaTê,peloseuarinho,peloseuamor,pelasuadediaçãoepelassuas

oraçõesdiárias.

Agradeço àVó Lourdes,ao Tio Alvim eà Mazé.

AgradeçoatodososmeusprofessoresdoursodeCiêniadaComputaçãodaUniversidade

Estadual do Ceará-UECE e, em espeial, ao Prof. Maros José Negreiros Gomes que, mais

do queumprofessor,tornou-seumamigo. Sempre quedelepreisamos, eleestápronto anos

atender, apesar de todososseus ompromissose oupações.

Agradeço ao meu orientador, Prof. Geraldo Robson Mateus,pelas instruções, pelas

on-versas,peloapoio,pelaompreensão e peladediação aoorientaro meutrabalho.

Agradeço aosmembros dabana por teremaeitado prontamente o onvite para

partii-parem da omissão examinadoradesta dissertação.

AgradeçoaosamigosdoLaPO-LaboratóriodePesquisaOperaionaldoDepartamentode

Ciênia daComputação- DCC/UFMGpeloonvívio epeloompanheirismo. Agradeço

tam-bémaosamigosda UFMGque nãosãodo LaPO, massãoagregados, omoAlla,Nakamura,

et.

AgradeçoatodososamigosqueznaUECEporteremmeinentivadoavirfazermestrado

naUFMGepor teremmeajudado atomarestadeisãotão difíil. Agradeçoatodos: Diana,

Maros,César, Rosivelt,Joel,Lia, Lisse, Henrique,Jeandro, Alex,Dayvison, Pedro, et.

Agradeço a todos os amigos da Capela São Judas Tadeu (Comunidade Vila

Pery/Maraponga)peloarinho e pelas orações.

Agradeço de um modo espeialà Juliana, ompanheira de sempre, simplesmente por ser

a minharazão deviver,porser aminha maior motivação para tudo quefaço naminha vida,

(8)

1 Introdução 1

1.1 Motivação . . . 1

1.1.1 ProblemaAbordado . . . 2

1.1.2 Objetivodo problema . . . 3

1.2 Estruturadesta dissertação . . . 3

2 Coneitos Básios 5 2.1 Problemade Roteamento deVeíulos . . . 5

2.1.1 Complexidade Computaional . . . 6

2.1.2 Apliabilidade . . . 6

2.2 Ténias deResolução . . . 6

2.2.1 Algoritmos Heurístios . . . 7

2.3 Conlusão . . . 7

3 Trabalhos Relaionados 9 3.1 Problemade Roteamento deVeíulos Capaitado - PRVC . . . 9

3.1.1 Formulação Matemátia . . . 9

3.2 Problema de Roteamento de Veíulos Capaitado om Janelas de Tempo -PRVCJT. . . 11

3.3 Problema de Roteamento Dinâmio de Veíulos Capaitado om Janelas de Tempo - PRDVCJT . . . 13

3.4 Problema de Roteamento Dinâmio de Veíulos Capaitado om Janelas de Tempo e Temposde ViagemVariáveis - PRDVCJTTVV . . . 13

3.5 Conlusão . . . 15

4 Roteamento Dinâmio de Veíulos om Janelas de Tempo e Tempos de Viagem Variáveis 16 4.1 Introdução. . . 16

4.2 Modelo doArabouço . . . 17

4.2.1 Geradorde Requisiçõese Consumidorde Requisições. . . 17

4.2.2 Polítias de Roteamento Dinâmio deVeíulos . . . 18

4.2.3 OAlgoritmoDinâmio . . . 19

(9)

4.3 Conlusão . . . 21

5 Algoritmo Evoluionário Apliado ao ProblemaAbordado 23 5.1 AEstrutura dasRequisições. . . 23

5.2 Representação dosIndivíduos edosCromossomos . . . 24

5.3 Afunção de avaliação . . . 25

5.4 IdéiaGeraldo Algoritmo. . . 26

5.5 População Iniial . . . 28

5.6 Afunção de Aptidão dosIndivíduos . . . 29

5.7 Seleção. . . 30

5.8 Geraçãode novassoluçõesviáveis . . . 30

5.9 Elitismo . . . 31

5.10 Mutação . . . 32

5.10.1 Migração aleatória de Requisição . . . 33

5.10.2 Arésimo Mínimode Custo. . . 33

5.10.3 Troa de RequisiçõesSimilares . . . 34

5.10.4 Troa de RequisiçõesomRedução deCusto . . . 34

5.10.5 Interalação de Rotas . . . 34

5.10.6 Divisãode Rotas . . . 34

5.11 Dependênia deTempo . . . 34

5.12 Inserçãode novasrequisiçõesno AlgoritmoEvoluionário Dinâmio . . . 36

5.13 Conlusão . . . 37

6 Resultados Obtidos 38 6.1 DesriçãodosCenários deTeste . . . 38

6.2 Ageração de requisições . . . 41

6.3 ResultadosObtidos . . . 43

6.3.1 Parâmetros doarabouço . . . 43

6.3.2 Tempo de Exeução . . . 44

6.3.3 Análise Estatístia . . . 45

6.3.4 Resultados . . . 45

6.4 Métriastestadas isoladamente . . . 60

6.4.1 DistâniaPerorrida . . . 62

6.4.2 VeíulosUtilizados . . . 65

6.5 Conlusão . . . 69

7 Considerações Finais e Trabalhos Futuros 70

(10)

4.1 Modelo geral do arabouço. . . 18

4.2 Problema Reduzido. . . 22

5.1 Representação de umindivíduo no ontexto do problema de roteamento estátio de veíulos. . . 25

5.2 Representaçãode umindivíduo noontextodoproblemade roteamento dinâmio de veíulos. . . 26

5.3 Migração Aleatória de Requisições . . . 33

5.4 Divisãode Rotas . . . 35

5.5 Variação dostemposdeviagem nodeorrer dotempo . . . 36

6.1 InstâniaR101 . . . 39

6.2 InstâniaR201 . . . 39

6.3 InstâniaC101 . . . 40

6.4 InstâniaC201 . . . 40

6.5 InstâniaRC101 . . . 41

6.6 InstâniaRC201 . . . 41

6.7 Horáriode registro dasrequisiçõesnodeorrer do tempo omgraude dinamismo de 40% . . . 42

6.8 Horáriode registro dasrequisiçõesnodeorrer do tempo omgrau de dinamismo de 80% . . . 43

6.9 Valoresda função deavaliação- Grausde dinamismo: 20%, 40%, 60%e 80% . . 46

6.10 Valoresda função deavaliação- Grausde dinamismo: 20% e80% . . . 46

6.15 Distâniaperorrida- Grausde dinamismo: 20%, 40%,60% e80% . . . 63

6.16 Distâniaperorrida- Grausde dinamismo: 20%e 80% . . . 63

6.18 Distâniaperorrida- Grausde dinamismo: 20%e 80% . . . 64

(11)

6.23 VeíulosUtilizados - Grausde dinamismo: 20%, 40%, 60%e 80% . . . 67

6.24 VeíulosUtilizados - Grausde dinamismo: 20% e80% . . . 67

6.25 VeíulosUtilizados - Grausde dinamismo: 20%, 40%, 60%e 80% . . . 68

(12)

6.1 Listagem de parâmetros doarabouço usadosnostestes . . . 44

6.2 Polítia: Online - Métria: distânia - Graude Dinamismo: 20% . . . 47

6.3 Polítia : Online - Métria: distânia - Graude Dinamismo: 40% . . . 47

6.4 Polítia: Online - Métria: distânia - Graude Dinamismo: 60% . . . 47

6.5 Polítia : Online - Métria: distânia - Graude Dinamismo: 80% . . . 48

6.6 Polítia : Online - Métria: veíulos - Graude Dinamismo: 20%. . . 48

6.7 Polítia : Online - Métria: Veíulos- Grau de Dinamismo: 40% . . . 48

6.8 Polítia : Online - Métria: Veíulos- Grau de Dinamismo: 60% . . . 49

6.9 Polítia : Online - Métria: veiulos - Graude Dinamismo: 80%. . . 49

6.10 Polítia : Online - Métria: espera- Grau deDinamismo: 20% . . . 49

6.14 Polítia : Online - Métria: atraso - Graude Dinamismo: 20% . . . 50

6.18 Polítia : Por Demanda - Métria: distânia - Graude Dinamismo: 20% . . . 53

6.20 Polítia : por Demanda - Métria: distânia - Graude Dinamismo: 60% . . . 53

6.22 Polítia : Por Demanda - Métria: Veíulos- Grau de Dinamismo: 20% . . . 54

6.26 Polítia : Por Demanda - Métria: espera- Grau de Dinamismo: 20% . . . 55

6.30 Polítia : Por Demanda - Métria: atraso - Grau deDinamismo: 20% . . . 56

6.31 Polítia : Por Demanda - Métria: atraso - Grau deDinamismo: 40% . . . 56

(13)

6.35 Polítia: Periódia - Métria: Distânia- Grau de Dinamismo: 60% . . . 58

6.36 Polítia: Periódia - Métria: distânia - Grau deDinamismo: 40% . . . 59

6.37 Polítia : Periódia - Métria: distânia - Grau deDinamismo: 20% . . . 59

6.38 Polítia : Periódia - Métria: Veíulos -Grau de Dinamismo: 20% . . . 59

6.39 Polítia : Periodi - Métria: veíulos - Graude Dinamismo: 40% . . . 59

6.40 Polítia : Periodi - Métria: Veíulos- Grau de Dinamismo: 60% . . . 60

6.41 Polítia : Periódia - Métria: veíulos - Graude Dinamismo: 80% . . . 60

6.42 Polítia : Periodi - Métria: espera- Grau deDinamismo: 20% . . . 60

6.43 Polítia : Periódia - Métria: espera- Grau de Dinamismo: 40% . . . 61

6.46 Polítia : Periódia - Métria: atraso - Grau deDinamismo: 20% . . . 61

(14)

Introdução

Este apítulo tem por objetivo explanar aera da motivação (seção 1.1) que impulsionou

a realização deste trabalho, bemomo expor, emlinhasgerais, o problema queé abordado

nessa dissertação (subseção 1.1.1 ), om ênfase no objetivo que se pretendeu alançar ao

planejá-la (subseção1.1.2 ). Porm,desreve-se,suintamente, oonteúdodeada apítulo

que sesegue(seção 1.2 ).

1.1 Motivação

Grandepareladoustonaldemeradoriasoudeserviçosdeve-seaogastoomotransporte

desses bensatéo onsumidor nal.

Tantonaetapadotransportedematérias-primasparaafabriaçãodosprodutos,omona

distribuição destasmeradorias paraentros omeriais, bem omo na entrega dosreferidos

produtos aoonsumidor nal, há grandesdespesasrelaionadas aotransporte.

Estes gastos, muitas vezes exessivos por não se adotar um modelo de otimização que

vise a minimizar tais despesas, interferem, de forma bastante signiativa, nos preços das

meradorias noomério varejista.

Esta problemátia tem inentivado tanto os pesquisadores omo as empresas que lidam

om transporte abusarem alternativasquepossamvir amelhorar alogístia detransporte,

no toante ao uso inteligente de frotas de veíulos para o transporte de meradorias, de

passageiros, bemomode lixooletadoem entrosurbanos, dentre outras apliações.

Neste ontexto, surge a idéia do Problema de Roteamento de Veíulos, ujo objetivo

pri-mordialégerarrotasparaosveíulosdeumafrota,visandoaminimizarosustosoperaionais

de transporte, utilizando omo métrias a distânia total perorrida, a quantidade máxima

de veíulos utilizadosemada jornada, dentreoutras.

Em geral,existemrestriçõesoperaionais inerentesaoproblema, quediultam oalane

do seuobjetivo. Estasrestriçõesdevem-sea fatores,omo, por exemplo,anatureza dosbens

quesãotransportadospelafrota, bemomoaqualidadeomqueoserviçodevaserprestado,

seja elede entrega ou deoleta.

(15)

veíulo, reai no aso partiular do Problema do Caixeiro Viajante - PCV. Existemdiversas

variantesdeste problema, taisomo Problemade Roteamento deVeíulosCapaitado, quese

araterizaporonsiderarqueosveíulosdafrotapossuemumaapaidadedeargalimitada;

Problema deRoteamento de Veíulos om Janelas de Tempo,que onsidera que ada liente

deve ser servido por um veíulo em um intervalo de tempo pré-estabeleido; Problema de

Roteamento de Veíulos om Múltiplos Depósitos, que trata de asos nos quais há várias

garagens de onde podem partir os veíulos para umprir uma jornada e para onde devem

retornar após tê-la umprido; Problema de Roteamento de Veíulos om Coleta e Entrega

Simultâneas, que onsidera a possibilidade de um veíulo ter que efetuar serviço de oleta

e de entrega na mesma jornada; Problema de Roteamento Dinâmio de Veíulos, que lida

om osasosnosquaisnão setemonheimento detodasasrequisiçõesnoiníio doperíodo

de operação dos veíulos, de modo que requisições efetuadas, enquanto a frota já estiver

realizando a sua jornada, sãoaloadas àsrotas em urso ou àsnovasrotas riadas paraeste

m; Problema de Roteamento Dinâmio de Veíulos om Janelas de Tempo e Tempos de

Viagem Variáveis, que é uma variante do problema de roteamento dinâmio de veíulos, a

qual onsidera que o tempo de viagem entre dois nósde demanda não é onstante, ou seja,

pode variar de aordo om o momento no qual setrafega em umdeterminado treho. Estas

variações nostemposde viagem oorremdevido a ongestionamentos, a huvas, a aidentes

napista,aobrasnasestradaseaoutrosfatores. Esteproblemaonsideratambémumajanela

de tempode atendimento assoiada aada requisição efetuada.

Uma disussão mais detalhada a respeito de algumas das prinipais variações do

Prob-lema de Roteamento de Veíulos, bem omo uma revisão bibliográa mostrando omo este

problema vemsendotratado, é apresentada noapítulo3.

1.1.1 Problema Abordado

Nesta dissertação, o problema tratado é umaombinação de algumas das variações de PRV

aqui itadas. Trata-se do Problema de Roteamento Dinâmio de Veíulos om Janelas de

Tempo e Tempos deViagem Variáveis.

Neste problema, parte-sedasseguintespremissas:

•

há uma frota de

K

veíulos em um depósito entral antes do iníio do período de

operação;

•

há um e somente um depósito entral de onde partem os veíulos e para onde eles

retornam apósa jornada;

•

ao depósito entral é assoiada uma janela de tempo, que orresponde ao período de

operação dosveíulos;

•

há umonjunto de requisiçõesa serem atendidasno iníio doperíodode operação dos

(16)

•

novas requisições podem ser efetuadas a qualquer momento do período de operação

dos veíulos, sendo atendidas no mesmo período, aso sejam efetuadas até um tempo

limiteestabeleidoa priori. Casoontrário, asrequisiçõessãoarmazenadas paraserem

atendidas noperíodo seguinte;

•

adarequisiçãoéaraterizadaporumademanda(arga),queorrespondead unidades

de apaidade (peso, volume)quea referidaarga iráouparnoveíulo;

•

ada requisiçãoé efetuadapor umliente, quepossuiumaloalizaçãonaqual oserviço

de oleta deve ser efetuado por um dosveíulos da frota. Esta loalização foi tratada

omo sendoumpar de oordenadasartesianas (x,y);

•

ada requisição deve seratendida por umesomenteumveíulo;

•

a frotaé homogênea, ouseja, todososveíulos possuemomesmo limitede apaidade

Q

;

•

assoiadaaadarequisição

i

,existeumajaneladetempodeatendimento

[

e

i

, l

i

]

. Ajanela

de tempo impõe que uma requisição deva ser atendida preferenialmente no intervalo

de tempo por ela espeiado. Considera-se que as janelas de tempo são exíveis, ou

seja, soluçõesqueas infringemtambém sãoonsideradas viáveis,todavia,tais soluções

sãopenalizadas proporionalmenteao tempo de atraso eao tempode espera;

•

a adarequisição éassoiadaumaprevisãode tempo deserviço deoleta. Istoonsiste

em umaestimativa dequanto tempo oveíulo, queirá atendera estarequisição, ará

parado no ponto de demanda espeiado pelas oordenadas do liente que efetuou a

referida requisição;

•

otempodeviagemneessárioparaumveíulorealizarumperursoentredoisquaisquer

pontosde demandavariadeaordoomomomento dasuapartidado pontode origem

ao ponto de destino.

1.1.2 Objetivo do problema

O objetivodo problema éenontrar umonjunto de rotas quesatisfaça a todasasrestrições

doproblema,minimizandoadistâniatotalperorrida,onúmerodeveíulosusados,otempo

total deatraso dosveíulosquanto àhegada aosnósdedemanda, bemomominimizandoo

tempo total de esperado veíulo nosnós de demanda quando omomento da hegadaao nó

anteedeoiníioda respetivajaneladetempo. Trata-sedeumproblemamulti-ritério,pois

são onsideradas ,simultaneamente, asquatro métrias aima itadas.

1.2 Estrutura desta dissertação

Esta dissertação está organizada omo se segue. No apítulo 2 são introduzidos alguns

(17)

trabalho,poistratadesituaroproblemaabordadodentrodalassedeproblemasNP-Difíeis

e de apresentar, em linhas gerais, as ténias de resolução utilizadas neste trabalho. Este

apítulo também apresenta alguns oneitosrelaionados àsténias que foramapliadas ao

problema abordado.

No apítulo 3 são apresentadas as prinipais variantes do Problema de Roteamento de

Veíulos -PRV,bemomoomentáriosaerade algunstrabalhosda literaturarelaionados

a ada umadasderivaçõesde PRV listadas.

O apítulo 4 explia detalhadamente a forma omo o problema foi abordado nesta

dis-sertação. É apresentado um gerador de requisições, as polítias de roteamento dinâmio de

veíulos analisadas (Online, Por Demanda e Periódia), o algoritmo evoluionário dinâmio

e omo ele é utilizado omo parte de uma heurístia de geração de olunas para se obter

soluçõesde boaqualidade parao problemaabordado.

Oapítulo 5,por suavez,destina-se a expliar,pormenorizadamente, o algoritmo

evolu-ionário dinâmio proposto nesta dissertação para o Problema de Roteamento Dinâmio de

Veíulos om Janelas de Tempo e Tempos de Viagem Variáveis. Este algoritmo foi

desta-ado neste apítulo por ser onsiderado a etapa mais ruial do proedimento de solução

apresentadono apítulo4.

Oapítulo 6 apresenta osenários de teste aos quaiso proedimento de solução desrito

no apítulo 4 foisubmetido, os resultados obtidos, bem omo uma análise estatístia desses

resultados.

Por m, o apítulo 7 apresenta a onlusão a que se hegou mediante a análise de tais

resultados e as prinipais idéias de trabalhos futuros, bem omo melhorias que podem ser

(18)

Coneitos Básios

Esteapítulotratadeexpliaralgunsoneitoseténias,ujoonheimentoéneessáriopara

ummelhorentendimentodotrabalhodesenvolvidonestadissertação. Naseção2.1,dene-sea

formamaissimplesdoProblemadeRoteamento deVeíulos-PRV.Naseção2.1.1 ,disute-se

a omplexidade omputaional do PRV. Na seção 2.1.2 , são listadas algumas apliações do

mundo real, as quais fazem uso do PRV e de suas variações. Finalmente, a seção 2.2 traz

uma introdução aos oneitos básios das ténias de resolução apliadas ao PRV que são

utilizadas nestadissertação.

2.1 Problema de Roteamento de Veíulos

Dada uma frota de veíulos om

K

veíulos, um onjunto de pontos

V

a serem visitados

por esta frota e um depósito entral no qual estão estaionados os veíulos antes do iníio

da jornada detrabalho, pode-se armar que oProblema de Roteamento de Veíulos onsiste

em denir

k

rotas de veíulos, onde uma rota é denida omo sendo um ilo que iniia

no depósito entral, perorre um subonjunto dos pontos

V

e termina, evidentemente, no

depósito entral. A esolha das

k

rotas se dá de aordo om o ritério de otimização. As

métrias mais omuns que se deseja minimizar são: distânia total perorrida e número de

veíulos, oude umamaneira geral,minimizar osustos.

Esteonjunto de

k

rotasdeveserdenidoonsiderando-seaondiçãode queadaumdos

pontos

v

∈

V

deve pertenera uma,e somenteauma, das

k

rotas.

Esta seria a denição mais básia do problema, pois não onsidera que os veíulos têm

apaidade limitada,nemqueexistedemandadeoletaoudeentregaassoiadaaadaponto.

Esteproblemafoiproposto primeiramenteem (Dantzig eRamser, 1959 ),onde é

apresen-tada umaformulação matemátiapara oreferidoproblema.

Muitas variaçõesdeste problema, entretanto, já foram denidas na literatura, dasquais,

(19)

2.1.1 Complexidade Computaional

O Problema de Roteamento de Veíulos - PRV, bem omo suas variações, são asos mais

genérios do Problema do Caixeiro Viajante - PCV. Como o PCV pertene à lasse

de problemas NP-Difíil, por onseguinte, o PRV também é um problema NP-Difíil

(Thompson e Psaraftis (1993 )). Este fatojustia a apliação de métodosheurístios a este

problema.

2.1.2 Apliabilidade

OProblemadeRoteamentodeVeíulostemsidoutilizadoemdiferentesapliações,namaioria

dasvezesvoltadaspara aáreade transportes,tais omo:

•

Distribuição de bebidasem pontosde venda;

•

Transporte esolar;

•

Distribuição e oleta de dinheiroemaixas eletrnios;

•

Serviços de entregaem geral;

•

Coleta de lixoementros urbanos.

Este trabalho foi projetado para ser apliadoem um projeto de otimização de adeia de

suprimentos, denominadoOTIMAL, desenvolvido no Laboratório de Pesquisa Operaional

-LaPO, vinulado ao Departamento deCiênia da Computação - DCC/UFMG.

2.1.2.1 O Projeto OTIMAL

OProjetoOTIMAL(OtimizaçãoIntegradaemApliações Logístias-Produção eTransporte

- Projeto CT-INFO/CNPq - DCC/UFMG) é um projeto do CT-INFO/CNPq que visa a

otimizar uma adeia de suprimentos de uma indústria. Oobjetivo é otimizar desde a etapa

de planejamento da produção, passando pela otimização do sequeniamento de máquinas,

pela otimização da distribuição dos produtos nos entros distribuidores, pela otimização do

empaotamento dospedidos deentrega e peloroteamento deveíulos.

Este projeto está em vias de desenvolvimento e já existe um protótipo integrando os

módulosde planejamento da produção,sequeniamento e roteamento de veíulos.

Otrabalho apresentadonestadissertaçãoenquadra-senomóduloderoteamento de

veíu-los do projetoOTIMAL.

2.2 Ténias de Resolução

Diversas ténias têm sido apliadas às diversas variações do PRV. Desde formulações

matemátias, algoritmosenumerativos, algoritmosaproximativos,bemomométodos

(20)

2.2.1 Algoritmos Heurístios

Ofoodestetrabalhoéutilizaralgoritmosheurístiosparaoproblemaderoteamentodinâmio

de veíulosomjanelasdetempoetemposdeviagem variáveis. Maisespeiamente, dentre

as diversas opções de algoritmos heurístios, o objetivo é apliar algoritmos evoluionários.

Porisso,valedestaarosoneitosbásiosdealgoritmosgenétios,pois,nodeorrerdotexto,

tais oneitos serão impresindíveis paraumaboaompreensão.

2.2.1.1 Algoritmos Genétios

Algoritmos Genétios - AG são métodos adaptativos que podem ser usados para resolver

problemasdeotimização. Elessãobaseadosnosproessosgenétiosdosorganismosbiológios.

Atravésde várias gerações,populaçõesdeindivíduosevoluemde aordoomosprinípiosda

seleçãonatural,demodoquesobrevivemosindivíduosmaisadaptados,prinípiodenidopor

Charles Darwin emThe Origin of Speies.

Demaneiraanálogaaoproessodeevoluçãodasespéies,algoritmosgenétiossãoaptosa

evoluírem soluções(indivíduos) de problemas ombinatoriais. Os prinípiosbásiosdosAGs

foramdenidosrigorosamentepelaprimeiravez porHolland(1975 )eaprimoradospormuitos

autoresomo: Davis(1987 ),Davis(1991 ),Grefenstette(1986 ),Grefenstette(1990 ),Goldberg

(1989 ) e Mihalewiz (1992 ).

Algoritmos Genétios fazem uma anologia direta om a genétia natural. Tais

algorit-mos trabalhamomumapopulação deindivíduos, adaumrepresentando umasolução(nem

sempre viável) para o problema a ser resolvido. A ada indivíduo é assoiado um valor que

orrespondeà suaaptidão,ou seja, india quãoboaé areferida solução paraoproblema em

estudo.

É dada a oportunidade dos indivíduos se reproduzirem através do operador genétio de

ruzamento. Os novos indivíduos gerados devem possuir araterístias herdadas de seus

anestrais.

Umanova população ompletade possíveissoluçõesé entãoproduzida atravésdaseleção

dosmelhores indivíduosdageração orrentee dosnovosindivíduosgeradosna fasede

ruza-mento. Estanovapopulaçãotrazonsigo umaaltaproporçãodearaterístiasherdadas dos

bem adaptados membros da geração anterior. Dessa maneira, ao longo do tempo, as boas

araterístiasherdadasdegeraçõesanterioresmisturam-se, apontodefazeromqueabusa

por melhores soluçõesatinjaregiõesmaispromissoras do espaçode busa.

Nestetrabalho, optou-seporutilizar umalgoritmo evoluionário,o qualsediferenia dos

algoritmosgenétiospornãopossuirumafaseseruzamentoentreosindivíduosdapopulação.

2.3 Conlusão

Neste apítulo, foi denida a versão mais simples do problema de roteamento de veíulos.

Disutiu-se tambémumpouo aera da omplexidade do problema, sendo este enquadrado

(21)

eonmias o problema tem tido maiorrelevânia e apliabilidade. Por m, foi feito um

o-mentáriopreliminarsobreosoneitosbásiosdealgoritmosgenétios,impresindíveisparao

bomentendimento destetrabalho. Algumasreferêniasforamdestaadas, demodoafailitar

(22)

Trabalhos Relaionados

Este apítulo desreve algumas dasvariações do Problema de Roteamento de Veíulos, bem

omoasténiasealgoritmosapresentadosnaliteraturaquevisamabusarmelhoressoluções

para ada variante doproblema.

3.1 Problema de Roteamento de Veíulos Capaitado - PRVC

Esta variante do problema pode ser denida da seguinte forma: seja um grafo ompleto

G

= (

V, E

)

, onde

V

=

v

0

, v

1

, ..., v

n

é o onjunto de vérties e

E

=

e

0

, e

1

, ..., e

m

é o onjunto

de arestas. Ovértie

v

0

representa o depósito, enquanto queosdemais vérties representam

oslientes queefetuaram requisiçõesde oleta oude entrega.

Ousto deviagementreosvérties

i

e

j

édenotadopor

c

ij

e assume-sequeosustossão

simétrios, ou seja,

c

ij

=

c

ji

∀

(

i, j

)

∈

E

. Se a frotade veíulos tem apaidade idêntia

Q

,o problema édito serhomogêneo; asoontrário, oproblema éheterogêneo.

Cadaliente

i

tem a eleassoiada umademanda

q

i

,onde

0 < q

i

≤

Q

. Cadaliente deve ser visitado por umúnio veíulo e nenhum veíulo pode atender a um onjunto de lientes

uja demanda total exeda asuaapaidade.

Oobjetivodo problemaéenontrar umonjunto derotas deusto mínimo,demodo que

osveíulosiniiem e terminemsuasjornadas no depósito.

3.1.1 Formulação Matemátia

Seja

x

ij

o número de vezes que umveíulo trafega entre os vérties

i

e

j

(onsiderando que

x

ij

e

x

ji

representam a mesma variável). Seja

V

c

=

V

\

0

o onjunto de lientes (igual ao

onjunto de vérties

V

,exetuando-seo depósito).

Dado um onjunto de lientes

S

⊆

V

c

,

q

(

S

)

representa o somatório das demandas dos lientes pertenentes ao onjunto

S

e

δ

(

S

)

é o onjunto de arestas inidentes aos vérties

pertenentes aoonjunto

S

.

Umaformulação parao problemaé apresentadaa seguir:

(23)

Subject

to

: Σ

e

∈

δ

(

i

)

x

e

= 2

∀

i

∈

V

(3.2)

Σ

_e

∈

δ

(0)

x

e

= 2

K

(3.3)

Σ

_e

∈

δ

(

S

)

x

e

= 2

K

(

S

)

∀

S

⊆

V

(3.4)

x

e

≤

1 ∀

e

∈

E

\

δ

(0)

(3.5)

x

e

≥

0 ∀

e

∈

E

(3.6)

Oblooderestrição3.2espeiaqueadalientedeveservisitadoporapenasumveíulo.

Asrestrições do bloo 3.3impõemque

K

veíulos devemsair e retornar ao depósito. O

bloo3.4orresponde àsrestriçõesde eliminaçãode subilos,asquaisespeiam, quepara

qualquer subonjunto

S

de lientes,

K

(

S

)

veíulos devem entrar e sair de

S

. Em outras

palavras, 3.4 impõe que todos ossubonjuntos do onjunto de lientes

V

deve ser atendido

pelaquantidade adequada de veíulos.

Oálulode

K

(

S

)

é umproblema NP-Difíil,haja vistaque implia aresolução de uma

instânia do Bin-Paking Problem (Lysgaard etal.(2003 )).

A função objetivo, mostrada em 3.1, india que o objetivo é minimizar o somatório do

produto dousto assoiado aada aresta

e

∈

E

pela quantidade de vezes que algum veíulo trafega por esta aresta. Uma aresta pode nuna ser utilizada aso não pertença a nenhuma

rota ou serutilizada uma úniavez no aso emque for aloada a alguma rota. Caso o grafo

seja simétrio, uma aresta

e

pode ainda ser utilizada duasvezes na mesma rota, no aso de

se ter,na solução,uma rotaomumúnio liente aser visitado.

Lysgaardetal.(2003 ) apresentam umnovoalgoritmo branh-and-ut paraoPRVC.Este

algoritmousaumavariedadedeplanosdeortee,paraadaumadaslassesdedesigualdades,

é desrito um algoritmode separação. Também sãodesritosimportantes proedimentos do

branh-and-ut,omoasregras debranhing,aestratégiadeseleçãodenóseogereniamento

dos ortes. Resultados omputaionais mostram que o algoritmo é ompetitivo. Em

par-tiular, foram resolvidas (no ótimo), pela primeira vez, três instanias de Augerat a saber:

B-n50-k8, B-n66-k9 andB-n78-k10.

Moghaddama etal.(2006 )abordamumPRVC noqualademandadeumnópodeser

divi-didaemváriosveíulos. Oobjetivoéminimizaroustorelaionado àfrotaeàdistâniatotal

viajada. Ousto relaionado à frota depende do número de veíulos utilizados e da

apai-dade total não utilizada. Moghaddamaetal. (2006 )apresentam ummodelode Programação

LinearInteira Mistaparaesteproblema. Émostradatambémumameta-heurístiaSimulated

Annealing (SA) para resolvê-lo. A análise apresentada no artigo sugere que o modelo dado

onsegue atender àquantidade delientesestabeleida, usandoomínimo número deveíulos

e a máxima apaidade. O SA pode alançar soluções ótimas ou próximas da ótima para

problemas de pequeno porte. Para instânias de grande porte, o gap médio entre a solução

enontrada pela meta-heurístia SA e o limiteinferior obtido pelaformulação matemátia é

de 25%.

Toth e Vigo(2002 )fazumarevisãoliteráriasobre algoritmosexatosbaseadosem

(24)

onseguem resolver instânias de PRVC bem maiores em relação aos problemas que eram

resolvidosporabordagensanteriores. Alémdisso,pelomenosparaosasosnosquaisamatriz

de ustos é assimétria, mostra-se que algoritmos baseados na ténia de branh-and-bound

ainda representam oestado da arte no queque sereferea soluçõesexatasparao PRVC.

Lewise Sexton (2007 ) propõem uma heurístia para o PRVC om demanda unitária.

Assume-se que exista uma frota de veíulos ilimitada,de modo que, sea frota for xa, essa

heurístia podeproduzir soluçõesinviáveis.

Longo etal. (2006 ) resolvem o Capaitated Ar Routing ProblemCARP usando uma

transformação deste problema para o PRVC. É apresentado um algoritmo branh-and-ut

para resolver o PRVC e os resultados foram signiativamente melhores do que os obtidos

por métodos exatos apliados ao próprio CARP. Foram melhorados os limites inferiores de

quase todas as instânias que estão ainda em aberto na literatura e, para algumas dessas

instânias, enontrou-se asolução ótima.

Tarantilis (2005 ) desenvolve ummétodo de programaçãode memória adaptativapara

re-solveroPRVC.EstemétodofoidenominadoSolutionsElite PArtsSearh SEPAS.Trata-se

de ummétodoiterativoquegeraumasoluçãoiniial atravésde umaténiadediversiação

sistemátiaearmazenasuasrotasemumamemóriaadaptativa. Posteriormente, uma

heurís-tiaonstrutivafazumajunçãodeomponentesdessasrotasqueestãonamemóriaadaptativa.

Porm,umproedimentodeBusa Tabu tentamelhorarasolução onstruídapelaheurístia

e amemóriaadaptativaéadequadamente atualizada. SEPASfoitestadoemdoisbenhmarks

e obteve soluções de boa qualidade em tempo omputaional razoável. Comparações om

outras meta-heurístias mostram que SEPAS é umdos métodos maisbem suedidos

aplia-dos ao PRVC,alançando resultados quedesviam menos do que 0.2% dasmelhores soluções

enontradas na literatura.

3.2 Problema de Roteamento de Veíulos Capaitado om

Janelas de Tempo - PRVCJT

Além dasaraterístias já enumeradas na seção 3.1 , esta variação do PRV pressupõe que,

assoiadaaadarequisição,existeumajaneladetempodeatendimento,quepodeser

interpre-tadaomosendoointervalodetemponoqualarequisiçãodeveserservidapreferenialmente.

Soluçõesquenão atendem aumaoumaisjanelas de tempopodemsertratadasde diferentes

formas, de aordo om aspeuliaridades da apliação. Eis alguns dos tratamentos possíveis

para taissoluções:

•

podem seronsideradas inviáveis,quandoosrequisitosda apliaçãoimpõemquetodos

osatendimentosdevemrespeitar asjanelas de tempo;

•

podem ser onsideradas viáveis, mas penalizadas proporionalmente ao somatório do

tempo deatraso de todososatendimentosque iniiaramposteriormenteao términoda

(25)

•

podem ser onsideradas viáveis, mas penalizadas proporionalmente ao somatório do

tempo de espera de todos os veíulos que hegaram ao loal de atendimento

anterior-mente aoiníio darespetivajanela de tempo;

•

podemseronsideradasviáveis,maspenalizadas proporionalmentetanto aosomatório

do tempode atraso omoao somatório do tempo deesperanospontosde demanda;

Dondoe Cerda(2007 )apresentamumaheurístiadetrêsfasesparaoProblemade

Rotea-mentodeVeíulosomJanelasde Tempo PRVJT,onsiderandomúltiplos depósitosefrota

heterogênea. Foi introduzido um modelo de Programação Linear Inteira Mista, que é apaz

de enontrar asolução ótimaparaasosom eradevinteeino nósdedemanda. Na fase

I, sãoenontrados oslusters viáveis eientesemtermos de usto.

NafaseII,umaformulaçãomatemátiaéutilizadaparaatribuiroslustersaosrespetivos

veíulos,bemomoparadenir aordemdevisitação deadarota. Na faseIII,outromodelo

matemátio determina o tempo de hegada dos veíulos em ada nó de demanda. Várias

instânias da literatura, tanto lusterizadas omo aleatórias (em termos de loalização dos

lientes), onsiderando janelas de tempo,foram utilizadas paratestes e foram resolvidas em

temposomputaionais aeitáveis.

Alvarenga etal.(2007 ) propuseram umaheurístiarobusta para o PRVJT usandoa

dis-tânia total perorrida pela frota omo métria prinipal. Trata-se de uma heurístia de

geraçãodeolunas apliadaaoPRVJT quefazusodeumAlgoritmoGenétio -AG edeuma

formulaçãomatemátiaparaoProblemadePartiçãodeConjuntos. Osresultados obtidossão

muito expressivos,estabeleendo melhores soluçõesparaalgumasinstânias daliteratura.

Bent e Hentenryk(2006 ) apresentam umaheurístia híbrida de duasfases para o

Prob-lema de Roteamento de Veíulos om Coleta e Entrega e Janelas de Tempo. A primeira

fase utiliza uma heurístia baseada em Simulated Anealing para reduzir o número de rotas,

enquantoasegundafaseusaLargeNeighborhood Searh-LNS,parareduzirustodeviagem.

Mautorae Naudina (2007 ) apresentam vários modelos aro-estados que podem ser

apli-ados a numerosos problemas de roteamento de veíulos, dentre os quais o Problema de

Roteamento de Veíulos om Janelasde Tempo. Nesses modelos, as variáveis orrespondem

aos estados dosveíulos quando eles trafegam através de um aro. Uma relaxação do

prob-lema fornee umlimite inferior,que éutilizado no algoritmo Branh-and-Bound,apliado na

resolução exata do problema, todavia, para utilizar um número de variáveis e de restrições

pseudo-polinomial, geração de linhas e de olunas foram utilizadas. Geralmente, em

algo-ritmos Branh-and-Bound, é neessário que se tenha um limite inferior muito eiente para

minimizar o tamanho da árvore de soluções. Nessa abordagem, todavia, embora os limites

inferiores tenhamderesido, otempoomputaional reduziu signiativamente.

Kallehaugea etal. (2006 ) onsideram um PRVJT ao qual se aplia uma relaxação da

restrição que impõe que ada liente deve servisitado por um e somente um veíulo. Dessa

forma, obtém-se umsubproblema de aminho mínimo restrito. É apresentado um algoritmo

de plano de orte estabilizado dentro de umframework de programação linear, resolvendo o

(26)

om 400 e1000 lientes respetivamente. Até opresentemomento, sãoasmaiores instânias

do problemaparaasquais foramenontradas suas soluçõesótimas.

3.3 Problema de Roteamento Dinâmio de Veíulos

Capaitado om Janelas de Tempo - PRDVCJT

No PRDVCJT, háapossibilidadede algumasrequisiçõessurgiremno deorrerdoperíodode

operaçãodosveíulos. Destaforma,faz-se neessáriorealizar umreajustederotas,omo

in-tuito deinluir,nasrotaspreviamenteestabeleidas,visitasaoslientesquezeram asnovas

requisições. Estasnovasdemandas sãoaeitasaqualquer momento, entretanto, serão

atendi-das no atual período de operação somente asrequisições quehegarem atéum determinado

momento - deadline - estabeleido a priori.

A literatura existente aera do Problema de Roteamento Dinâmio de Veíulos

está mais voltada para o Problema do Caixeiro Viajante Dinâmio (Psaraftis, 1988 ),

(Bertsimas eRyzin, 1991 ), (Regan etal., 2002 ), Dynami Traveling Repairman Problem

(Bertsimas eRyzin, 1991 ) (BertsimaseRyzin, 1993), (Xu , 1994 ), Dynami dial-a-ride

prob-lem e Dynami Vehile Alloation Problem (Powell, 1986 ), (Powell, 1987 ), (Powell, 1988 ),

(Regan etal.,1996 ), (Reganetal.,1998 ), (Cheung ePowell.,1996 ).

Haghanie Jung (2005) apresenta uma formulação para o Problema de Roteamento de

Veíulos Dinâmio de Veíulos om Janelas de Tempo e Tempos de Viagem Variáveis. É

também mostrado um algoritmo genétio para resolver o referido problema. Trata-se de

um problemade roteamento de veíulos (entrega ou oleta)om janelade tempo,no qual se

onsideraumafrotaommúltiplosveíulosomdiferentesapaidades,requisiçõesdeserviços

em tempo real, bem omo variações em tempo real dos tempos de viagem entre os nós de

demanda.

3.4 Problema de Roteamento Dinâmio de Veíulos

Capaitado om Janelas de Tempo e Tempos de Viagem

Variáveis - PRDVCJTTVV

Nestavariante doproblema,otempoqueumveíuloneessitaparaperorrerumtrehoentre

dois pontos de demanda quaisquer varia de aordo om o momento da partida. Este tipo

de modelagem visaa busaruma maioraproximação do queoorreno mundo real,devido a

ongestionamentos, aidentes, obras na pista, dentre outros fatoresque podem interferir no

tempo deviagem entredois pontosde demanda.

Enquanto muitos pesquisadores têm sedediado a propor melhores soluções paraas

ver-tentes mais genérias do Problema do Caixeiro Viajante e do Problema da Roteamento de

Veíulos, pesquisas a respeito do Problema de Roteamento de Veíulos om Tempos de

Vi-agem Variáveis,no qual os tempos de viagem variam de aordo omo momento da partida,

(27)

ArazãodaesassezdereferêniasaeradoProblemadeRoteamentoDinâmiodeVeíulos

om Janelas de Tempo e Tempos de Viagem Variáveis deve-se ao fato de que este enário é

maisdifíil de modelar ede resolver(Ihoua etal. ,2003 ).

Na literatura, os artigos que fazem referênia a este problema (Malandraki , 1989 ),

(Malandraki e Daskin, 1992 ), (Hill eBenton, 1992 ), (Malandraki e Dial , 1996), examinam

tanto o Problema de Roteamento de Veíulos om Tempos de Viagem Variáveis -PRVTVV

omo oProblema doCaixeiro Viajante Dependente deTempo PCVDT,que setratade um

asoespeialdePRVTVV quandoafrotaéompostadesomenteumveíulo. Estestrabalhos

mostram também formulações de Programação Linear Inteira Mista que inluem restrições

de janela de tempo, bem omo restriçõesde apaidade dosveíulos. Os tempos de viagem

são omputadosusandostep funtions.

Heurístias gulosas, tais omo a heurístia do vizinho mais próximo, são propostas para

resolver tanto o PCVDT dinâmio omo o PCVDT estátio. No aso estátio, não surgem

novospontos aserem visitadosapósoiníio doperíodo de operação.

Quando se têm pouos nós de demanda (entre 10 e 25 nós), pode-se utilizar uma

abor-dagem exata, apliando-se ténias omo o algoritmo branh-and-ut. Malandraki e Dial

(1996 ) propõem um algoritmo de programação dinâmia para resolver o PCVDT.

Malandraki e Daskin (1992 ),onsideram umPRVDT sem janela de tempo e é proposto um

modelobaseado na veloidade da viagem. São reportados resultados omputaionais de

ex-emplos depequeno porte(ino nósdedemanda).

Apesar da dependênia de tempo ter sido, até então, pouo estudada no ontexto do

Problema deRoteamento deVeíulos -PRV,estaabordagem temsido amplamente apliada

a problemas semelhantes, tais omo o problema do menor aminho dependente de tempo

(Hill e Benton ,1992 ), oproblema daesolhadoaminho dependentede tempo eo problema

do aixeiroviajante (Hadley, 1964 ).

Muitospesquisadorestêmadotadoregras simplesparaintegraromponentes dependentes

detempoaosseusmodelos. Elesutilizamfatoresmultipliadorespararepresentarvariaçõesno

tempodeviagem(Shene Potvin,1995 ). Emgeral,trabalha-seomvariaçõesnasveloidades

médias dos veíulos a ada fatia de tempo do período de operação. Claramente, trata-se de

uma aproximaçãonão muito eiente dasondições reaisdetráfego.

Neste tipo de formulação, o horizonte de interesse é disretizado empequenos intervalos

de tempo. O tempo de viagem e a função usto para ada link são alulados em função

do tempo em que ada veíulo parte do nó de origem (Ihouaet al., 2003 ). Esta estratégia

tem sido amplamente apliada em muitos tipos de problemas de transporte dependentes de

tempo (Chabini , 1997 ). Entretanto, sabe-se que, no mundo real, o tempo de viagem varia

ontinuamente ao longo do tempo. Por outro lado, destaam-se algumas limitações para a

abordagem queutiliza funçõesde tempo de viagemontínuas, a saber:

•

estasfunçõessãoainda aproximações doqueé observado nomundo real;

•

geralmente são feitas suposições para que se obtenha modelos mais fáeis de se lidar

(28)

Ihoua etal.(2003 )propõemumametodologiadesoluçãodoPRVJT,usandoTabuSearh.

Resultados experimentais mostram que a modelagem dependente do tempo implia ganhos

signiativos se omparados om os modelos que utilizam step funtions e om os modelos

que nãoonsideram a dependênia detempo.

Haghanie Jung (2005) apresenta umaformulação para o PRDVJTTVV. Étambém

pro-posto umalgoritmogenétio pararesolveroproblema. Étratado um problemade oleta ou

entrega om janelas de tempo exíveis. Considera-se, também, umafrota omdiferentes

a-paidades, requisiçõesdeserviço emtemporeale variaçõestambémemtemporealdo tempo

de viagem gastoentreosnósde demanda.

Chenetal.(2006 )formulamumproblemaderoteamentodeveíulosdependentedotempo

om janelas de tempo através de uma sériede modelos de programação linear inteira mista,

que onsideram temposdeviagens variando emtemporeal, bemomo demandas soliitadas

tambémemtemporeal. Nestanovavariantedoproblema,nãosetemoonheimentodetodas

asinformaçõesneessáriasparaoplanejamentoderotas,noiníiodoperíododeoperaçãodos

veíulos.

A função que dene a variação do tempo de viagem em função do momento da partida

tambémvariaemtemporeal. Estaestratégiaéumaformadesimularaoorêniadeinidentes

inesperados,omoaidentes, huvasfortes,dentreoutros. Sãodenidos váriossubmodelosde

ProgramaçãoInteiraMista,sendoadaumdessessubmodelosumasoespeialdeumPRVJT

em um determinado momento em que ostemposde viagens e/ou as demandas tiverem sido

alteradas.

Estadissertação tratadesta variante do problemadisutida nesta seção.

3.5 Conlusão

Nesta revisão bibliográa, observou-se que existem na literatura soluçõesde boa qualidade

paradiversasvariaçõesdoproblemaderoteamento deveíulos,bemomopara suasvariantes

que onsideram apaidade limitada dosveíulos e janelas de tempo. Veriou-se que ainda

há uma launa noque serefere a variaçõesdo problema quelidam omo aspeto dinâmio,

nasquaisnãosetemtodasasinformaçõesparaaresoluçãodoproblemano iníiodoperíodo

de operaçãoda frota. São esassos, também, materiais aerade abordagens queonsiderem

ostemposde viagemvariáveis.

Consegue-se pereber, entretanto, que soluções que obtiveram bons resultados, quando

apliadas ao problema estátio, podem ser adaptadas ao ontexto do problema dinâmio e

(29)

Roteamento Dinâmio de Veíulos

om Janelas de Tempo e Tempos de

Viagem Variáveis

Esteapítulo tempor objetivodesreveroarabouço desenvolvidoparaserapliadoao

prob-lema deroteamentodinâmiodeveíulosomjanelasdetempoetemposdeviagemvariáveis,

mostrando todas asetapas queintegram o proedimento de solução proposto. Na seção 4.1,

apresenta-se em linhasgeraisoarabouço.

Em seguida, mostra-se o seu modelo de funionamento (seção 4.2 ). Nas subseções

seguintes, o modeloé detalhado. Asubseção4.2.1 explia omo funionaa apliaçãoliente,

que geraas requisiçõesem tempo real parao algoritmo dinâmio. A subseção4.2.2 trata de

explanar aera das polítias de roteamento dinâmio propostas. Em seguida, é desrita a

entidade denominada Otimizador, responsável pelo ontrole do funionamento do arabouço

(subseção 4.2.3 ).

A seguir, dene-se o oneitode ilhas de evolução, bemomo o seu funionamento

(sub-seção 4.2.4 ). Na subseção 4.2.5 é disutido o Problema de Partição de Conjuntos e omo

este problema enquadra-se noarabouço apresentado. Em seguida,apresenta-se a fasedeste

proedimento de solução que faz uso de um problema reduzido e justia-se o porquê de se

ter riado esta etapa (4.2.6 ). Por m, apresenta-se uma onlusão quetraz onsigo algumas

onsideraçõesnais aera doarabouço abordadoneste apítulo.

4.1 Introdução

Este apítulo desreve um arabouço desenvolvido para obter-se soluções de boa qualidade

para o Problema de Roteamento Dinâmio de Veíulos om Janelas de Tempo e Tempos de

Viagem Variáveis- PRDVJTTVV.

O arabouço é parametrizável, podendo ser utilizado para resolver outras variantes de

PRVquenãoonsiderem janelas detempo,temposdeviagemvariáveis,bemomoo aspeto

(30)

Viagem Variáveis 17

Para quesejam relaxadas asrestriçõesde janelas de tempo dasrequisições, pode-se

on-gurar as janelas de tempo de todas as requisições omo sendo igual à janela de tempo do

depósitoentral,ouseja,igualaoperíododeoperaçãodosveíulosqueiniianotempozero(0)

e perduraatéo términoda janelade tempodo depósito.

Para que o aráter dinâmio do prolema seja relaxado, ou seja, para que todas as

req-uisições sejam previamente onheidas, basta que se ongure o parâmetro

α

(grau de

di-namismo) para 0%. Deste modo, o algoritmo dinâmio não irá reeber novas requisições

duranteo períodode operação dafrotaeirá tratar oproblemaomoumProblema de

Rotea-mento deVeíulos Estátio.

Existe um modelo de tráfego, aoplado ao arabouço, responsável por regular ostempos

de viagens entrequaisquer dois pontos de demanda

i

e

j

, onde ospontos

i

e

j

indiam duas

loalizações de lientes que efetuaram requisições. O modelo de tráfego utilizado nostestes

apresentados neste trabalho édesrito no apitulo5 .

4.2 Modelo do Arabouço

Nesta seção,desreve-se,emalto nível, ofunionamentogeral destearabouço, ujadesrição

mais detalhada deada uma de suasfases é apresentada nasseçõessubsequentesdeste

apí-tulo.

Para exeutar-se umasimulação de otimizaçãode rotas de uma frota, faz-se neessárioo

desenvolvimento deumaapliaçãoliente,quegereasrequisiçõesemtemporeal,nodeorrer

doperíododeoperaçãodosveíulos. Esteperíodoorrespondeàjaneladetempododepósito

entral, ouseja, é operíodo queomeça no instanteem queo primeiroveíuloouo primeiro

onjuntodeveíulospartedodepósitoatéotempolimitequeelestêmpararetornaràgaragem.

A Figura 4.1 mostra o arabouço desenvolvido para resolver o Problema de Roteamento

Dinâmio de Veíulos om Janelas de Tempo e Tempos de Viagem Variáveis.

4.2.1 Gerador de Requisições e Consumidor de Requisições

Para efeito de teste, neste trabalho é apresentada uma apliação que faz uso das instânias

lássiasde PRVpropostasporSolomon (1987 ). Entretanto,oarabouço podeserfailmente

utilizado por uma apliação de uma empresa de transportes real, que reeba requisições de

oleta no deorrerdo período deoperação dafrota.

Ofunionamento daapliaçãopodeserompreendidoomoumproblemalássiode

Pro-dutor X Consumidor. O Produtor é representado por uma Thread, que gera requisições em

tempo real emumalaompartilhada por estae por outra Thread, a qual representa o

on-sumidor. O Consumidor pertene ao arabouço e, exeutando em paralelo om o Produtor,

veria periodiamente se há novas requisições na la. Em aso armativo, a Thread

on-sumidora repassaasnovasrequisiçõesparaaPolítia de RoteamentoDinâmio deVeíulos e

esvaziaa la.

Éimportante destaarqueo aessoàladenovasrequisiçõesé ontrolado por semáforo,

(31)

Figura4.1: Modelo geral doarabouço.

rítia, simultaneamente.

O repassedas novas requisições ao Otimizador não pode ser feito diretamente pela

apli-ação liente,que geraasrequisições, pois estarealimentação oorreno momento emquehá

umreajustederotaseestemomentoédenidopelapolítiaderoteamentodinâmiode

veíu-los adotada. Ao Otimizador abe o papel de gerente ou oordenador de todo o proesso de

otimização. Tais polítiaspertenem aoarabouço eserão desritasnasubseçãosubsequente

(4.2.2 ).

4.2.2 Polítias de Roteamento Dinâmio de Veíulos

Nesta seção, são desritas polítiasque determinam o momento no qual o Otimizador deve

reeberasnovasrequisiçõesqueporventuratenhamsidoefeutadase,apartirdeentão,

prou-rar soluções para o PRV, onsiderando, evidentemente, as novas requisições reebidas. O

(32)

Istoimpliaumreajustenografodoproblema,poisfaz-seneessária,noinstanteemqueas

no-vasrequisiçõessãorepassadasaoalgoritmo dinâmio, ainserção denovasarestasonetando

as novas requisições (vérties) aos vérties já existentes no grafo. Assim, ao término deste

ajuste,tem-se umgrafoompleto.

Caso já houvesse umalista de lientes previamente adastrados,quando surgissem novas

requisiçõesefetuadas por taislientes, não serianeessáriorealizara operação dereajustedo

grafo a ada vez quese adiionaumanovarequisição ao problema. Todavia,neste trabalho,

não se onsidera que já existem lientes adastrados, daí a neessidade deste reajuste. Em

umprimeiromomento,não serianeessárioqueseriassemarestasonetando onovovértie

(lientequeefetuouumanovarequisição)atodososdemaisvérties,paraqueanovarequisição

fosse inserida no problema. Entretanto, optou-se por trabalhar om grafo ompleto para

failitar asoperaçõesde troa inter-rotas e intra-rotas que sãoefetuadas pelosalgoritmos de

mutação e deruzamento.

4.2.2.1 Online

Nesta polítia, todas as requisições que são efetuadas são imediatamente repassadas ao

Otimizador. Este, por sua vez, trata de realizar a inorporação das novas requisições ao

onjunto de requisições doalgoritmodinâmio.

4.2.2.2 Por Demanda

Nesta polítia, as requisições são repassadas ao Otimizador somente quando a la que

ar-mazena asnovasrequisiçõesatinge umaquantidade de requisiçõesdenidaa priori nas

on-guraçõesdo arabouço.

4.2.2.3 Periódia

Esta polítia onsiste em armazenar as novas requisições na la durante um período de

tempo pré-estabeleido. Ao término do período, as requisições armazenadas são repassadas

ao Otimizador etem iníioumnovo round.

4.2.3 O Algoritmo Dinâmio

O Algoritmo Dinâmio iniia sua exeução a partir do momento que se onhee o depósito

entral e umonjunto iniial de requisiçõesa serematendidas emumdado período de

oper-ação.

Por serumalgoritmodinâmio,eleenontraumasolução iniial viávelparaoproblemae

ontinua prourandopormelhoressoluções,aopassoqueasoluçãoiniialjáérepassadapara

osaminhoneiros.

Obviamente, queo primeiro destinode ada veíulo da frota, denido na solução iniial,

será mantido, hava vista queosveíulos jádeixaram o depósito viajando nesta direção.

O algoritmo parte do pressuposto de que o tempo disponível para ele enontrar uma

(33)

em quea frotaparte do depósito até oinstanteem queumdosveíulos tenhaonluído sua

primeira visita. Neste instante, o algoritmo atualiza as rotas, aso tenha enontrado uma

solução demelhorqualidadedoqueasoluçãoorrente,epassaaonsiderarqueasrotasestão

xas até o segundo lientea ser visitado. Oproesso repete-seaté quese onlua o período

de operação.

4.2.4 As ilhas de Evolução

Com o intuito de atingir uma maiorregião do espaço de busade soluçõese sabendo-se que

a aleatoriedade inui na região que é explorada pelo algoritmo evoluionário, foi utilizada

a estratégia de submeter a mesma instânia do problema a

n

i

ilhas de evolução. Cada ilha

de evolução onsiste em gerar uma solução para o PRDVJTTVV através de um algoritmo

evoluionário.

CadailhaorrespondeaumaThread, hajavistaquesãoproessosindependentes,ouseja,

umaevoluçãonãointerferenaoutra. Emadaumadessasilhasdeevolução, pode-seexeutar

uma meta-heurístia. Neste trabalho, foiutilizado o algoritmo evoluionário apresentado no

5.

Aotérmino daexeução detodasasilhasde evolução, tem-se

n

i

soluções.

4.2.5 Problema de Partição de Conjuntos - PPC

Todas as rotas das

n

i

soluções enontradas pelas ilhas de evolução são adiionadas a um

onjunto global de rotas

RouteSet

.

Utiliza-se então ummodelo matemátio do Problema de Partição de Conjuntos para

se-leionar o subonjunto de

RouteSet

que atendea todasasrequisiçõesom ustomínimo.

Aunião doalgoritmo evoluionário dinâmio, que gerarotas (olunas) deboa qualidade,

om o PPC que utiliza as rotas geradas pelo AE e enontra a melhor ombinação delas, é

denominada heurístia de geração de olunas para o problema de roteamento dinâmio de

veíulos.

4.2.5.1 Formulação Matemátia

Esta seção apresenta a formulação matemátia do Problema de Partição de Conjuntos

uti-lizada na heurístiade geração deolunas que éapliada aoproblema abordado.

min

Σ

r

∈

RouteSet

c

r

x

r

Subjet to: (4.1)

Σ

r

∈

RouteSet

σ

ir

x

r

= 1

∀

i

∈

C

(4.2)

x

r

∈

0 ,

1

(4.3)

No qual:

(34)

• c

r

éoustototalassoiadoaumarota. Esteustoonsideraadistâniatotalperorrida,

o tempode atraso eo tempo de esperadosveíulos nospontosde demanda;

• x

r

é umavariável de deisão. Se a rota

r

faz parte da solução, esta variávelassume o

valor 1(um). Caso ontrário, ovalorassumido é 0(zero);

• σ

ir

india as requisições aloadas à rota

r

. Este parâmetro tem valor igual a 1 (um)

se a requisição

i

está ontida na rota

r

. Nesta fase, já sesabe quais requisições estão

ontidas emada rota, poisesta informaçãoé gerada peloalgoritmo evoluionário;

• RouteSet

éo onjunto derotas viáveis geradas peloalgoritmo evoluionário dinâmio.

Pode-se pereber que, se estivessem ontidas em

RouteSet

todasas rotas viáveis parao

problema, atravésdaapliaçãodoproblemadepartiçãodeonjuntos,tería-seasoluçãoótima

para oproblema.

4.2.6 O Problema Reduzido

Objetivando diversiar o onjunto de rotas de

RouteSet

, ria-se um problema reduzido a

partir doproblemaoriginal.

Oproblemareduzido(Figura4.2)temumonjunto derequisiçõesaserematendidas,

ger-ado apartirde esolhaaleatóriade umsubonjunto dasrequisiçõesatendidaspelo problema

original. Deformaanáloga àresolução doproblema original,o problemareduzido tambémé

submetido a

n

i

ilhasde evolução e amelhor ombinação das rotas enontradas por todasas

ilhasé obtida atravésda exeuçãodo Problema dePartição deConjuntos.

Oobjetivo desta fasedo arabouço é enontrar rotas quenão ontenham todosas

requi-sições queexistem no problemaoriginal. Isto pode ser útil na fasedo Problema de Partição

de Conjuntos, vistoquea tendêniaé quese tenhamenos interseçõesde requisiçõesentre as

rotas geradas, ontribuindo paraquehaja ummaior númerode ombinaçõesentreelas.

4.3 Conlusão

Neste apítulo, foram apresentadas todas asetapas que ompõemo arabouço desenvolvido.

Conlui-sequeoarabouçoestásubdivididoemfasesbemdenidasquepodemserfailmente

substituídas, aso haja o desejo de estendê-lo. A frequênia, a quantidade, bem omo a

distribuiçãodasrequisiçõesgeradasaolongodotempopodemserdenidasporumaapliação

real de uma empresa que faz uso de transporte para oleta ou para entrega de bens. O

algoritmo evoluionário pode ser substituído também por uma outra abordagem heurístia,

omoBusa Tabu,ouatémesmopor umaabordagemexata,utlizandoténiasomo

(35)

(36)

Algoritmo Evoluionário Apliado ao

Problema Abordado

O algoritmo evoluionário dinâmio desenvolvido tem omo objetivo minimizar uma função

que onsidera métrias diversas. Para difereniá-lo do algoritmo evoluionário tradiional,

o mesmo será denominado de Algoritmo Evoluionário Dinâmio. O arabouço é exível a

ponto de permitir que o usuário priorize a minimização da distânia ou da quantidade de

veíulos. São penalizadas as soluções que não respeitam as janelas de tempo assoiadas às

requisições.

Aseção5.1detalhaaestruturadeumarequisição. Aseção5.2mostraumparaleloentrea

representaçãodeumindivíduodoAlgoritmoEvoluionárioDinâmio omumarepresentação

voltadaparaoasoestátio. Aseção5.3destaa afunçãodeavaliaçãodoproblema. Aseção

5.4 dá uma noção geral do funionamento do algoritmo evoluionário dinâmio. A seção

5.5 explia omo foi implementado o algoritmo que gera a população iniial do algoritmo

evoluionáriodinâmio. Aseção5.6tratadafunçãoquemedeaadaptaçãodosindivíduos. As

demaisfasesdoalgoritmo(seleção,geração denovassoluçõesviáveis,elitismoemutação) são

desritasnasseções5.7 ,5.8 , 5.9e 5.10 . A seção5.11disutea formaomo foiimplementada

a dependêniade tempo. Aseção 5.12disuteainserção denovasrequisiçõesemtemporeal

e a seção5.13 apresenta uma onlusãoobjetivasobre oalgoritmo evoluionário dinâmio.

5.1 A Estrutura das Requisições

Asrequisiçõespodemserentendidasomopedidosdeoletaquesãoefetuadosaumaempresa,

queatuadiretaouindiretamentenaáreadetransporte. Assume-sequeumarequisiçãopossui

osseguintes atributos:

•

umidentiador

id

;

•

umtempo noqual arequisição foiefetuada

registrationT ime

;

(37)

•

um par ordenado deoordenadas artesianas

(

x, y

)

,que india a loalização do liente

que efetuoua requisição;

•

umajanela de tempo de atendimento

[

e

,

l

i

]

;

•

umaprevisão de tempode serviço.

OProblemaérepresentadoomo umgrafoompleto bi-direionado

G

(

V, E

)

,noqual

V

e

E

resemdinamiamente, àmedida quenovasrequisiçõessãoefetuadase inorporadaspelo

algoritmo.

5.2 Representação dos Indivíduos e dos Cromossomos

Adaptandoaestruturadosalgoritmosevoluionáriosaoproblemaderoteamentode veíulos,

pode-semapear suasrespetivasentidadesda seguinte forma:

•

umasolução doproblemade roteamento deveíulos é mapeada paraumindivíduo;

•

umapopulação podeserompreendida omosendoumonjuntode indivíduos,ouseja,

umonjunto de soluções;

•

ada indivíduo é omposto por um onjunto de romossomos, onde ada romossomo

representa umarota, quefaz partede umasolução;

•

ada romossomoontémumonjunto degenesquerepresentamasrequisiçõesaserem

atendidas emumadeterminada rota.

Odepósito entral é omitidodesta representação, haja vista queo problemaem sijá

de-terminaquetodasasrotasiniiemeterminemnodepósito. Assim,poreonomiadeestrutura

de armazenamento, odepósito não érepresentadoemada romossomo.

Para adaptar esta estrutura ao ontexto dinâmio do problema, são neessários alguns

ajustes:

1. A partirdeum erto tempo,pode-se terumaestimativada loalizaçãode ada veíulo

em trânsito, uma vez que as distânias entre quaisquer dois pontos de demanda são

onheidas e pode-se estimar o tempo de viagem entre os referidos pontos através de

uma função que retorna o tempo de viagem, utilizando, omo parâmetros, o tempo de

partida, oponto de origem

i

,o ponto de destino

j

ea distânia

d

ij

;

2. De posse da loalização estimada de ada veíulo, assume-se que o novo depósito ou

depósito artiial de ada rota passa a ser o próximodestino de ada veíulo, ou seja,

seumveíuloestáentreosnós

i

e

j

,onsidera-se queonovodepósitodesta rotaéonó

j

. Foidada a estelientea nomenlatura de novo depósito por ele sero novo ponto de

(38)

3. As requisições a serem atendidas por uma rota que, na representação dos

romosso-mos, estão loalizadas após o novo depósito, podem ser troadas de posição dentro

da mesma rota ou, até mesmo, podem ser atribuídas a outras rotas. As requisições

posiionadas anteriormente ao novo depósito de ada rota, todavia, sãotidas omo já

atendidas e,evidentemente, não podemsermaistroadasnem deposiçãonem derota.

Opróprio novo depósito tambémnãopode sofreralteraçãonoseuposiionamento

den-tro da rota nem ser troado de rota, porque parte-se do pressuposto de que já há um

veíulo loomovendo-se na suadireção.

A Figura 5.1 ilustra omo seria a representação de um indivíduo no ontexto estátio,

na qual são exibidas três rotas (romossomos) que ompõem uma solução (indivíduo). Na

primeira rota, são visitados os lientes 3, 11, 7, 2 e 9. Pela segunda rota, sãoatendidos os

lientes 12,8, 13, 5 e 10. Por m, na tereira rota oslientes servidossão: 4, 14,6, 15 e 1.

A Figura5.2mostraumaadaptaçãoda representaçãodo indivíduodo problemaestátio que

se adequa ao ontexto dinâmio do problema. Asrequisiçõesque estão maradas om a or

inza representam as requisições que já foram atendidas pelarespetiva rota (romossomo).

Asrequisiçõesmaradasem pretoorrespondem aosnovos depósitos oudepósitos artiiais.

Figura 5.1: Representação de umindivíduo no ontexto doproblema de roteamento estátio