Novo grupo de renormalização de campo medio com cadeias linear e dupla

N ovo G rupo de R enorm alização de C am po M éd io com C adeias Linear e D u p la

Dóris de A ndrade Paes

N o v o G r u p o d e R e n o r m a liz a ç ã o d e C a m p o M é d io c o m

C a d e ia s L in ear e D u p la

DORIS DE AN D RA D E PAES

O rientador: Prof. Jõao Antônio Plascak

D issertação apresentada à U N IV ERSID AD E FE D ER A L DE SANTA CATARINA, como requisito parcial p ara a obtenção do grau de M EST R E EM FÍSICA.

NOVO GRUPO DE RENORMALIZAÇÃO DE CAMPO MÉDIO COM CADEIAS LINEAR E DUPLA

Doris de Andrade Paes

Esta dissertação foi julgada adequada para obtenção do Grau de Mestre em Física, com especialização em Física Teórica, e aprovada em sua forma final pelo

orientador e demais membros da Banca Examinadora.

Banca Examinadora:

n-jO

Df. DrJ João Antônio Plascak '(Orientador/UFMG)

i//A y (f U/â

Prpf. Dr/Jiirgen Fritz Stilck /Coordenador

Í Ôm c^ia

Plrfof. DrJJoão Antônio Plascak - (UFMG) Prof. Dr. irédo - (UFSC)

K.

Aos meus queridos pais, à m inha irm ã gêm ea Ceres e ao Eduardo.

A g r a d e c im e n to s

Ao m eu orientador, Prof. João Antônio Plascak, pela paciência, incentivo à conclusão deste trab alh o e pela grande influência intelectual que exerceu sobre mim.

A m in h a querida m ãe, pelo encorajam ento nos m om entos difíceis.

Ao m eu pai, m eu grande m estre.

A Sônia que com sua am izade e com preensão tornou essa cam inhada mais fácil e m ais agradável.

Ao M arcelo S tem m er pelo carinho, atenção e incentivo.

Ao Diego, Jaqueline, W aguinho e Luiz Them ystoklis pela valiosa aju d a n a p a rte com pu­ tacional.

Aos professores Paulo César D ’ajello e W agner Figueiredo pela am izade, apoio e interesse pela m in h a form ação científica. E m p articu lar, ao Prof. W agner Figueiredo pela leitu ra c rítica do m anuscrito.

Ao Prof. Osiel Bonfim pelas valiosas discussões com respeito a p a rte num érica.

Ao Prof. Michel Spira pela a ju d a em algum as partes desse trabalho.

S u m ário

R E S U M O v

A B S T R A C T vi

1 IN T R O D U Ç Ã O 1

2 M o d e lo d e Isin g e D esigu ald ad e de B o g o liu b o v 5

2.1 M odelo de I s i n g ... 5

2.2 D esigualdade de B o g o liu b o v ... ... 7

3 A p roxim ação de cam p o m éd io para o M od elo de Ising 9 3.1 H0 com spins l i v r e s ... 9

3.2 H0 com pares de spins . ; ... 11

3.3 H0 com cadeias lineares ... 13

3.4 H0 com cadeias d u p l a s ... ... 16

3.5 R esultados tip o C am po M é d io ... 19

4 G ru p os de R en orm alização de C am p o M éd io 21 4.1 G rupo de R e n o r m a liz a ç ã o ... 21

4.2 G rupo de Renorm alização de C am po M é d i o ... 22

5 G rupos de R en orm alização de C am po M éd io aplicados ao M od elo de

Isin g 26

5.1 G rupo de R enorm alização de Cam po M é d i o ... 26

5.1.1 Blocos de 1 e 2 s p in s ... 26

5.1.2 Cadeias linear e d u p l a ... 28

5.2 Novo G rupo de R enorm alização de Cam po M é d i o ... 29

5.2.1 Blocos de 1 e 2 s p i n s ... 29

5.2.2 Cadeias linear e d u p l a ... 30

5.3 R esultados e C o n c lu s õ e s ... 31

L ista de F igu ras

1.1 (a): Esboço do diagram a de fases de um fluido simples no plano p x T , e (b): D iagram a de fases de um ferrom agneto simples no plano H x T . . . . 2

3.1 C adeia dupla de Ising... 16

5.1 Blocos de um e dois spins. b e b ’ são as m agnetizações dos spins das fro n teiras... ... 27 5.2 Cadeias linear e dupla com as respectivas magnetizações das fronteiras

L ista d e T ab elas

3.1 Valores de K c p a ra o M odelo de Ising d-dim ensional (d = 1,2,3) hipercúbico. 20

5.1 Valores de K c e v p a ra o modelo de Ising em d = 2 e d = 3 segundo o GRCM e o N G RCM p ara diferentes blocos... 31

R esu m o

0 novo grupo de renorm alização de cam po médio (NGRCM ) foi recentem ente proposto p a ra o estudo das transições de fases de segunda-ordem . Com o p arâm etro de ordem obtido através d a teo ria de cam po m édio para blocos finitos, bons resultados foram obtidos quando se aplicou o NGRCM ao modelo de Ising d-dim ensional ( d = 1,2,3). N este trab alh o nós usam os o N G RCM no estudo do modelo de Ising calculando o p arâm etro de ordem p a ra a cadeia linear e a cadeia dupla. Neste caso, resultados melhores foram obtidos m esm o quando com parados a outros m étodos.

A b str a c t

T h e new m ean field renorm alization group (N M FRG ) has been recently proposed in th e stu d y of second-order phase transitions. By com puting the order p a ra m ete r for finite clusters thro u gh m ean field theory, quite good results have been obtained w hen applying th e N M FR G to th e Ising m odel in d-dim ensions ( d = l ,2,3). In this work we use the N M FR G to study th e Ising m odel by com puting th e order param eter for linear and double chain clusters. In this case, b e tte r results are obtained even when com pared to o th e r approaches.

C a p ítu lo 1

IN T R O D U Ç Ã O

É fato conhecido que as substâncias encontradas n a n atu reza apresentam várias fases, as quais podem ser representadas em um diagram a. No caso de um fluido sim ples, como a água, o diagram a de fases no plano tem peratura-pressão está esquem atizado n a figura l(a ). As linhas grossas neste diagram a são linhas de coexistência de fases sendo que, n a passagem de u m a fase p a ra o u tra, certas quantidades term odinâm icas envolvidas (como volum e e entropia) apresentam descontinuidades [veja, por exemplo, referência 1].

Além das transições de fases em fluidos, um dos fenômenos m ais interessantes n a Física do E stado Sólido é o ferrom agnetism o. Em alguns m etais como o Fe e o Ni, u m a fração finita de spins dos átom os tornam -se espontaneam ente polarizadas na m esm a direção , dando origem a um cam po m agnético macroscópico [2]. E sta fase, cham ada ferrom agnética, a- contece som ente à baixas tem p eratu ras. Em altas tem p eratu ras, os spins estão orientados desordenadam ente, não produzindo p o rtan to nenhum cam po m agnético, dando origem à . cham ad a fase param agnética. A figura l(b ) ilu stra o diagram a de fases de um ferrom ag- neto sim ples no plano H x T. A linha cheia neste diagram a é um a linha de coexistência d^ ^m W as^s^rro m tag n étrcas^o n d e-n u m a^efas^s^fiiiis^èstào -o rien ted o s^m ^T im a^tlireção -e“

n a o u tra , os spins possuem orientação oposta. Ao cruzarm os esta linha observamos u m a descontinuidade na m agnetização do sistema.

E ste processo de m udança de fase ordinário, cham ado transição de prim eira ordem , podé ser entendido tra ta n d o as várias fases como entidades separadas cada qual com sua pró p ria energia livre de Gibbs que, na transição , tornam - se iguais.

Nas figuras l(a ) e l(b ) tem os linhas de coexistência de duas fases as quais term in am a b ru p ta m en te num ponto crítico, caracterizado por u m a te m p e ratu ra crítica Tc. A tra n ­ sição neste ponto é conhecida como transição de segunda ordem e é caracterizada por u m a variação contínua das grandezas term odinâm icas como a entropia e volum e (p a­ ra os fluidos) e m agnetização (ferrom agneto). Os pontos críticos ocorrem num grande núm ero de sistem as como fluidos, m istu ra de fluidos, ligas, m ateriais ferrom agnéticos e ferroelétricos,etc.

No caso de ferrom agnetos, que é o assunto do presente trabalho, a m agnetização é o cham ado p a râ m etro de ordem do sistem a, u m a vez que a passagem por Tc causa ao sistem a u m a m udança em seu estado de organização. Neste caso, n a ausência de cam po m agnético, o sistem a passa da fase ferrom agnética (fase ordenada p ara T < Tc) p a ra a fase p aram ag n ética (fase desordenada p a ra T > Tc).

( a ) (b )

F ig u ra 1.1: (a) Esboço do diagram a de fases de u |n fluido simples no plano P x T. As linhas grossas indicam transição de p rim eira ordem . Tt e Tc designam as te m p e ratu ras dos pontos trip lo e crítico, respectivam ente, (b) D iagram a de fases de um ferrom agneto sim ples no plano H x T.

Nas proxim idades do ponto crítico, podem os descrever o com portam ento de u m a série de grandezas term odinâm icas através dos ” expoentes críticos” [3]. Assim, o expoente /? da m agnetização M é definido pela relação:"

M ^ B \ t f , ( i . i )

onde t = ( T — Tc) / T c e B um a constante. 0 expoente 7 está relacionado à susceptibilidade X = {-Qjj)T,n=o, isto e:

X » C + | < r

T

>

Tc,

x « C -\A ~ r T < T c. (1.2)

0 expoente 6 e stá associado à isoterm a crítica, sendo dado pela relação:

H « \ M ( T = TC, H ) \ \ (1.3)

e o expoente a, que está relacionado ao calor específico, é definido por:

Ch=o ~ -'4+1^1 a T > Tc,

CH=o « A . \ t \ - a' T < T C. (1.4)

O problem a n a descrição dos fenômenos críticos é ju stam en te a determ inação dos valores assum idos por estes expoentes. Tais expoentes não são independentes e relacionam -se en tre si através das cham adas relações de escala. Estas relações podem ser obtidas de um esquem a m ais geral, conh ecido como hipótese de escala, que supõe que na vizinhança do ponto crítico a p a rte singular d a energia livre é um a função hom ogênea generalizada de seus p arâm etro s [4]. D entre estas relações podemos citar:

a + 2/3 + 7 = 2 Rushbrooke, a + f3( I + 7) = 2 G r i f f i t h s ,

7 = 0(6 — 1) W i d o m ,

onde os expoentes p a ra T > Tc são iguais aos expoentes p ara T < Tc. Em geral, expoentes críticos acurados só podem ser obtidos em poucos modelos estatísticos não triviais que podem ser resolvidos exatam en te. Daí a necessidade de se elaborar m étodos aproxim a- ,dos.„Dentre, eles.estão as__teorias .de,cam po médio,.que foram oportunas .qualitativam ente, -

prevendo u m a série de propriedades dos diagram as de fases, entre elas a existência de um ponto crítico, bem como a validade das leis de escala. Contudo, falharam q u a n tita tiv a ­ m ente, pois além de fornecer expoentes críticos em franco desacordo-com os resultados experim entais e com os poucos resultados exatos, fornecem tam bém os mesmos expoen­ tes in dependentem ente da dim ensão do espaço e da dim ensão do p arâm etro de ordem . E bem sabido que vários sistem as diferentes apresentam os mesmos expoentes críticos, indicando a sua independência das características microscópicas. Na realidade, de acordo com a universalidade do ponto crítico, som ente algumas quantidades d eterm inam o seu com portam ento como: a dim ensão espacial (d); a dim ensão do parâm etro de ordem (n) e o alcance das interações .

A teo ria do grupo de renorm alização (GR) [5] veio form ar um a base conceituai p a ra as idéias de universalidade e p a ra as relações de escala. Pode-se dizer que o esquem a do G R form a as bases microscópicas que estavam faltando nas teorias de escala. A lém disso, ele

proporciona u m a técnica m uito eficiente p ara calcular valores p a ra os expoentes críticos e nisto reside todo o seu sucesso.

D entre os vários m étodos de grupo de renorm alização existem os cham ados grupos de renorm alização fenomenológicos, onde a inform ação da criticalidade de sistem as infinitos é o b tid a através do conhecim ento de grandezas físicas de sistem as equivalentes finitos. Assim , tem os o grupo de renorm alização de cam po m édio (G R C M )[6] e o novo grupo de renorm alização de cam po m édio (NGRCM)[7], que são os m étodos de G R estudados neste trab alh o . Eles foram aplicados a vários modelos estatísticos e bons resultados foram obtidos m esm o ao se considerar sistem as finitos bem pequenos. Em particular, o N G RCM foi aplicado no estudo do M odelo de Ising d-dim ensional considerando blocos de L d spins (L é a a resta de cad a bloco) e resultados m elhores (tan to p a ra Tc quanto p ara os expoentes) foram obtidos se com parados ao GRCM utilizando blocos de m esm o tam anho [7].

O objetivo do presente trabalh o é aplicar o NGRCM no estudo do Modelo de Ising u tili­ zando os resultados obtidos p a ra a cadeia linear e cadeia dupla, de form a análoga ao já realizado com o GRCM .

C a p ítu lo 2

M o d e lo de Isin g e D esig u a ld a d e de

B o g o liu b o v

N este capítulo tratarem o s, de form a sucinta, do Modelo de Ising e d a D esigualdade de Bogoliubov, sendo esta ú ltim a u m m étodo variacional elegante onde aproxim ações de cam po m édio, cada vez m elhores, podem ser obtidas de um modo sistem ático.

2.1

M o d e lo d e Isin g

0 m odelo de Ising tem sido generalizado e am plam ente estudado. 0 ham iltoniano desse m odelo pode ser escrito como:

H = - j ' £ S tS j - h J 2 Si, (2.1)

<i,j>

onde a p rim eira soma se estende sobre os pares vizinhos mais próxim os, sendo que cada p ar e n tra u m a só vez n a soma; J é a correspondente energia de interação ou co n stante de acoplam ento; h é o cam po externo e Si = ± 1 . Em ta l modelo, a disposição dos spins delineia u m a e stru tu ra geom étrica cham ada rede. P a ra um a dimensão, os spins estão uniform em ente espaçados e alinhados ao longo de um a reta. Em duas dim ensões, um arran jo possível é aquele cuja célula u n itá ria da rede seja quadrada, estando os vértices ocupados por spins. No caso tridim ensional um a possibilidade é a rede ser cúbica, com os spins ocupando os seus vértices. N ote que p ara J > 0 e h = 0 os spins tendem a se alinhar no m esm o sentido e obtem os o m odelo ferrom agnético. Um par de vizinhos m ais próxim os, quando paralelos, contribui com -J p ara a energia to ta l do sistem a, proporcionando u m a grande m agnetização .Um p ar de vizinhos próximos quando antiparalelos, contribui com + J p a ra a energia to ta l do sistem a. J á p a ra J < 0 há um a tendência dos spins a se alinharem antiparalelam ente de m odo que obtem os o modelo antiferrom agnético.

H á dois estados possíveis que apresentam m enor energia (te m p e ra tu ra nula) no caso fer­ rom agnético, ou todos os spins valendo + 1 ou com todos os spins valendo -1. M as se alterarm os o sentido de alguns spins, terem os estados de m aior energia, ocorrendo u m a dim inuição n a m agnetização espontânea (te m p e ra tu ra não nula).

P a ra te m p e ra tu ra s suficientem ente baixas, esta estabilização levará a um fenôm eno coo­ perativ o cham ado m agnetização espontânea. E m bora cada spin in teraja apenas com os seus vizinhos m ais próxim os, um dado m om ento m agnético pode influenciar o alin h am en ­ to dos spins que estão separados por distâncias macroscópicas. Sendo assim , os spins são ditos estarem correlacionados. A m áxim a distância p ara a qual tal correlação pode ser d e tec ta d a é cham ad a com prim ento de correlação . Regiões que estão separadas por u m a distân cia m aior que este com prim ento são independentes. As correlações de longo alcance en tre spins estão associadas com u m a ordem de longo alcance que produz u m a m agnetização líquida n a rede, mesmo n a ausência de cam po m agnético.

Tanto p a ra altas, q u anto p a ra baixas tem p eratu ras, o com prim ento de correlação é ap ro ­ xim ad am ente zero, ao passo que para T — Tc quaisquer dois spins estão correlacionados, não im p o rtan d o a d istân cia en tre eles.

v

A m edida que a te m p e ra tu ra se eleva, a m agnetização espontânea decresce e a te m p e ­ ra tu ra n a qual não h á m ais m agnetização espontânea é cham ada te m p e ra tu ra crític a ou te m p e ra tu ra de Curie. Com o aum ento da te m p e ratu ra, se Tc > 0 há um a tran sição de fase de ordem p a ra desordem .

Resolver este m odelo significa calcular a função partição , ou seja,

Z = ^ T / e x p ( - f 3 H ) , (2.2)

{s.}

onde f3 = l/fc ^ T , k s é a constante de B oltzm ann, T a te m p e ratu ra e a som a se estende sobre to d as as configurações possíveis dos spins 5,-. De posse da função partição obtem -se a energia livre de Gibbs:

G 7 —k g T l n Z (2-3)

e, por conseguinte, to d a a term odinâm ica do sistem a.

A solução e x ata da versão unidim ensional [8] o b tid a por Ising em 1925 não ap resen ta qualquer singularidade nas funções term odinâm icas, resultando na inexistência de u m a transição a um estado ordenado p ara qualquer te m p e ratu ra diferente de zero, ou seja, n enhum a transição é observada p ara T ^ 0. P a ra duas dimensões, a solução a n alítica ex ata a cam po externo nulo foi encontrada por Onsager [9], apresentando u m a transição de fase de segunda ordem , cuja característica é a singularidade apresentada po r certas

quan tid ad es term odinâm icas, tais como o calor específico e a susceptibilidade, n a te m p e ­ ra tu ra crítica. No modelo tridim ensional, a dificuldade de se obter u m a solução exata, devido às dificuldades inerentes ao próprio modelo, que leva em conta um grande núm ero de interações , levou ao aprim oram ento de inúm eras técnicas aproxim adas, as quais po­ dem os citar: o cam po m olecular de Weiss (ou aproxim ação de cam po m édio), que é a m ais ru d im en tar; de B ethe-Peierls, que reproduz o resultado exato do m odelo de Ising em u m a dim ensão a cam po nulo [10]; e expansões em série de altas e baixas te m p e ratu ras, fornecendo a localização m ais precisa da te m p e ra tu ra de transição [11].

2.2

D e sig u a ld a d e d e B o g o liu b o v

A solução de problem as em geral quando existe interações entre spins só se conhece p a ra alguns poucos modelos se o cam po externo é nulo. Podemos, en tretan to , obter u m a solução aproxim ada usando os princípios variacionais, sendo um deles baseado na desigualdade de Bogoliubov [12]. Ilustrarem os aqui o caso clássico em bora os mesm os resultados podem ser obtidos ao se estu d ar modelos quânticos. P ara facilitar, definimos o operador:

V = H - H 0, (2.4)

onde H é o ham iltoniano que se quer estu d ar e H0 é o ham iltoniano te n ta tiv a do qual conhecem os a solução exata. Ele é p aram etrizado e deve ser o mais próxim o possível de H.

A função p artição e a m édia térm ica em relação ao ham iltoniano te n ta tiv a H0 são dadas, respectivam ente por:

Zo = ] T e x p ( - / ^ 0), (2.5)

{S}

< A >o= ( l / Z 0) ^ T A e x p (- /? # „ ) . (2.6) {s}

N otam os que:

Z0 < exp —/3V >o = ^ 2 exp ( - W exP( - p H 0) = ^ exp( - 0 H ) (2.7)

{S}

{S}

ou seja:

U sando a relação m atem ática:

x2

tx >

1 + x + — + ... (2.9)

e sabendo que x2 > x 2, podemos escrever:

< e

6V

> „ = < 1 -

0V +

+ - >„, (2.10)

< e -* y > „ = 1 - fi < 1/ >„ + 0 1 + .... (2.11)

Logo terem os:

< e_/,v > 0> e~P<v>°. (2.13)

M ultiplicando por Z0 e usando a relação (2.8) terem os:

Z = Z0 < e - pv >0> Z0e ' p<v>°. (2.14)

Tom ando o logaritm o e m ultiplicando am bos os lados por —k g T temos p a ra a energia livre de Gibbs:

G < G 0+ < H - H0 > 0= (2.15)

que é conhecida como desigualdade de Bogoliubov. A energia livre de cam po m édio é d a d a pelo lado direito desta desigualdade quando m inim izada em relação aos p arâm etro s do ham iltoniano H 0. Assim, quanto mais próxim o H0 estiver de H, melhor será a aproxim ação de cam po médio. Aproximações p ara o modelo de Ising com diferentes ten tativ as H0 serão discutidas no próxim o capítulo.

C a p ítu lo 3

A p ro x im a çã o d e ca m p o m éd io p ara

o M o d elo de Isin g

Neste capítulo vamos determ inar, n a aproxim ação de cam po médio, a energia livre do m odelo de Ising dado por:

N

H = - J Y , S i S j - h J ^ S i , (3.1) <í,j> i = 1

definido n u m a rede hipercúbica de coordenação q. Utilizarem os o m étodo variacional baseado n a desigualdade de Bogoliubov, descrito na seção anterior, com ham iltonianos te n ta tiv a H0 com postos por somas de spins livres, pares de spins, cadeias lineares e, * finalm ente, cadeias duplas. M uitos dos cálculos realizados neste capítulo serão u tiliza­ dos posteriorm ente dentro do esquem a dos grupos de renorm alização de cam po m édio (capítulo 5).

3.1

H 0 co m sp in s livres

A escolha m ais simples p a ra o ham iltoniano ten tativ a consiste num a soma de spins não interagentes

H0 = J 2 h u ■ (3.2)

spins

sendo H\ o ham iltoniano p a ra um spin

onde T) rep resen ta o p a râ m etro variacional. Tem-se nesse caso

Zo = Z f , (3.4)

onde N é o núm ero to ta l de spins e

Zi = ePnSl = 2cosh/fy. (3.5)

S\ = ± 1

O valor m édio < S\ > 0= m é dado por:

1 , d l n Z \ .

m = ]g( drj ) = ta n h f a - (3.6)

N um a rede hipercúbica de N spins tem os ( - ^ ) pares de spins m ais próxim os de m odo que podem os escrever:

N

< H - H 0 >0= ~ j Y j < SiSj > o - ( h - r j ) Y J < Si >o, (3.7)

<i,j> i=1

< H — H0 >o= — N m ( h — rç). (3.8)

Temos en tão p a ra o lado d ireito d a equação (2.15)

$ = G0 - J ^ — rrí1 - N m ( h - r/), (3.9)

onde

G0 = —k s T l n Z o = —NkBTln[2cosh/3rj}. (3.10)

A energia livre aproxim ada é o b tid a pelas equações (3.6),(3.9),(3.10) e (3.12), de onde todas as propriedades term odinâm icas podem ser calculadas. Em particular, p a ra cam po externo nulo (h = 0 ) as equações (3.6)^e (3.12) fornecem u m a equação auto-consistente p a ra se d eterm in ar m.

P e rto d a transição (h = 0 ,T < Tc) a m agnetização m é m uito pequena, e como 77 = J q m tem os 77 « 0 de m odo que podemos expandir (3.6) em série de Taylor p ara obter:

™ = PV ~ ^ ( P v) 3 (3-13) ou m = p j q m — - ( p j q m )3, O (3.14) m 3 ( P J q ~ 1 ) { P J q f 1/2 (3.15)

D a equação acim a obtem -se a te m p e ra tu ra crítica Tc quando m = 0, ou seja, PcJ q = 1. C ham ando p j = K , temos:

Iic = 1/? , (3.16)

e, d a equação (3.15), vemos que o expoente crítico da m agnetização é 1/2.

3.2

H 0 co m pares d e sp in s

Com o in tu ito de se levar em conta algum as interações no ham iltoniano ten tativ a, podem os to m a r H0 como u m a soma de pares desconexos de spins, isto é:

(3.17)

pares

onde H2 é o ham iltoniano de um par de spins,

e tem os N /2 pares desconexos no ham iltoniano ten tativ a. Temos nesse caso (já utilizando a relação K = /3J) N Zo = z * , (3.19) onde Z i = ^ 2 eKSlS2+l3r,(Sl+S2\ (3.20)

Si,S2=±l

Z2 = 2e K + 2eK cosh 2/3r), (3.21)

G0 = ^ --- ln[2e ^ + 2eK cosh 2^7/]. (3.22)

A m agnetização com relação a H 0, isto é, m = < S\ > 0=< S2 > 0 é d ada por:

1 d l n Z2 ( s in h2/3í7 \

m ~ 20 dr) ~ \c o s h 2(3r) + e~2K) ' (3‘23)

P a ra o valor m édio < H — H0 > 0 temos:

N a N

< H — H0 > 0= - J — m2 + ~ h N m + rjNm, (3.24)

N J

< H - H0 >o= — — (q - 1 )m2 - h N m + rjNm, (3.25)

de m odo que a função $ pode ser escrita como:

N J

$ = G0 ---— (q - 1 )m2 - N h m + •qNm. (3.26)

ou seja,

T] = J m ( q — 1) + h. (3.28)

As equações (3.22),(3.23),(3.26) e (3.28) fornecem agora a energia livre do sistem a sendo a m agnetização d ad a pelas equações (3.23) e (3.28). P a ra h = 0 e próxim o d a transição tem os m R í O e í / P á O d e m odo que a equação (3.23) pode ser expandida em potências de

r) resu ltand o em:

1 4 (e~2K — 2)

m ~ i _|_ e- 2 3 ("g-2K _|_ ’ (3.29)

e lem brando que rj — J m ( q — 1) temos:

1 4 (e~2K — 2^1

m = T T ^ 2K( q “ 1)m + 3 ( U + i ) 3 ^ - ^ l 3™3- <3-30)

A te m p e ra tu ra crítica n e sta aproxim ação é obtid a quando o coeficiente de ordem m do lado direito d a equação acim a for igual a um , isto é,

2 K c( q - l ) = l + e~2K% (3.31)

e u m a análise sem elhante à feita nas equações (3.14) e (3.15) m o stra que o expoente crítico da m agnetização continua sendo 1/2.

-3.3 ; - H () co m ca d eia s lin eares

E sta aproxim ação consiste em considerar o ham iltoniano te n ta tiv a como som a de cadeias lineares paralelas [13] e fazer uso do m étodo da m atriz de tranferência p ara se o b ter a solução e x ata do m odo unidim ensional [14]. Assim temos:

Ho = Hl’ (3-32)

cadeiaslineares

sendo o ham iltoniano p a ra u m a cadeia linear dado por:

N N

onde r) é o p arâm etro variacional, N ' é o núm ero de spins n a cadeia e adm itim os condições periódicas de contorno S\ = S

N'-A função partição para Hl pode ser desenvolvida p ara obtermos:

Z l = Y e~PHL = e K ^ = 1 Sl5t+1+/3r?£f= i 5i, (3.34)

{S.} {5,}

1 L - Y ^ eKSlS2+^ Sl+S3')eKS3S3+^ S3+S3\ . . e KSN,Sl + ^ sif,+Sl\ (3.35)

{ * }

Z L = Y , T ( S u S2) T ( S2, S3). . .T (S n ,, S 1), (3.36)

{Si,52,...5jv'}

onde, pelo fato de Si = ±1, a m atriz T(5,-, Si+1) pode ser escrita como:

t v o c ) _ ( ^ ( + > + ) ^ ( + > - ) \ - í e-KAr0ri e K

1 •’ !+l j “ V T ( - + ) r ( - - ) /

V e _ "

K

e

K-Pv

(3.37) A som a sobre um determ inado Si equivale agora a u m produto m atricial de form a que a equação (3.36) resu lta em:

Zl = J 2 T n ' (S i, 5 X) = 7V T n ' = A"' + A f', (3.38)

íSi}

onde T r é o traço d a m atriz e Ac e Ai são os autovalores de T . Sendo A0 o m aior autovalor é considerando 3V’ —> oò tem os: ... "" ’ ... . ’

+ (3.39)

ou seja, a função partição é d ad a sim plesm ente, no lim ite term odinâm ico, pelo m aior autovalor elevado ao núm ero de spins. No caso da m atriz (3.37) é fácil obter:

A0 = eK cosh /3r] + [e2K sinh2 (3r) + e-2A ]1/í2, (3.40)

(o autovalor Ax é dado pela expressão acim a com o sinal ” + ” trocado por

Se no ham iltoniano H tem os N spins, no ham iltoniano ten tativ a tem os (jV1/ ^ -1 cadeias lineares cada u m a com N l / d spins ( o que equivale tam bém a term os N 1^ = N

pares de spins cujas interações foram levadas em conta no H 0). Assim obtemos:

G0 = —N k BT l n \ 0, (3.41) 1 d l n\ 0 m =< Si > 0= j j p - Q j - , (3-42) sinh Bri / m “ [sinh2 f3ri + e -4Ky / 2' ^3’43^ e então: N a < H — H0 >o= —J - p r™ 2 + J N m2 + Nr)m — N h m , (3-44) Lj

de m odo que podem os escrever:

J N

$ = G0 — (q — 2 )m? + Nrjm — N h m . (3.45)

A m inim ização de $ em relação a j) resulta em:

V = J(q ~ 2)m + h, (3.46)

e a energia livre é agora d ad a pelas equações (3.40),(3.41),(3.43),(3.45) e (3.46) sendo a m agnetização d ad a por (3.43) e (3.46).

P a ra h = 0 e próxim o d a transição podem os expandir (3.43) em potências de rj p a ra obter:

m = e2K/3r] + i ( e2K - 3e6K )(/3rj) 3 + ... (3.47)

e como agora rj = J( q — 2)m temos:

m = e2KI<(q - 2)m + ^ { e 2K - 3e6K )[I<(q - 2)m ]3, (3.48)

de onde obtem os, n a aproxim ação com cadeias lineares, a te m p e ratu ra crítica:

e2KcI<c{ q - 2) = 1, (3.49)

3 .4

H 0 co m ca d eia s d u p las

U m a extensão im ed iata d a aproxim ação d a seção anterior é to m ar o ham iltoniano te n ­ ta tiv a como som a de cadeias duplas paralelas onde a técnica da m atriz de transferência pode novam ente ser utilizada[13]. Temos então:

H 0 =

Y1 H

d

’

(3-50)

cadeiasduplas sendo n' n' Hd = - j + s js ? ,., + s ; s t ) - , £ ( s y + s? ), (3.51) i=l i=1

o ham iltoniano p a ra u m a cadeia dupla de spins (conforme a figura 3.1) consistindo de

2N ' spins (N ' = N 1/ d) com condições periódicas de contorno ( £ “ = S ^ i +1, S i = S ^ , ). H0 possui agora { N 1^d)d~l / 2 cadeias duplas, cada um a com 2iV1/ <i spins sendo que as interações de (jV1/,d)d-1 /2 x S N1 / ' 1 = 3 N / 2 pares de spins são levadas em conta no ham il­ toniano te n ta tiv a.

Figura 3.1: C adeia dupla de Ising.

A energia livre G 0, associada a i í 0, pode ser ob tid a utilizando a técnica d a m a triz de transferência de m odo análogo ao utilizado no caso de cadeias lineares. O btem -se então:

- N k BT ,

G0 = ---g---lnA °’ (3-52)

onde À0 é o m aior autovalor da m atriz de transferência definida por:

T ( S f , S?; S “+1, S-+1) = e ^5?5“+i+5?5Hi + 2(s?5?+5?+is .>i)]+^(®f+s “+i+s ?+5_{H-i },(3.53;}

ou seja: ( e3K +20r, ePv e ~ K ePv _{eK e ~ 3 K} e ~0V ePv e - 3K e K e ~0V K e ~ K e -P v e -P v ç3K —2(3ri

U m a diagonalização parcial de T é o b tid a através d a m atriz:

( ° 1

1

0 ^

1

1 0

0

1

y/2

1 0

0 -1

^0 1 -1

0 J

resu ltan d o em:

onde:

A3 = 2e~K sinh 2K ,

e M é u m a m atriz 3x3 cujos elem entos são dados por:

M n = 2e~K cosh 2/if,

M22 = e~K + e3K cosh 2f3rj,

M33 = — e~k + e3h cosh 2/3rj,

M\2 = = 2 cosh /3rj,

M i 3 = M31 = 2 sinh 0 ri,

M23 = M32 = e3K sinh 2/9??.

Os três autovalores restantes são então obtidos da m atriz M através d a solução equação cúbica e podem ser escritos analiticam ente como:

An = ^ a1/2c o s [ i a r c c o s ( ^ a 3/2) + y n ] -(3.54) (3.55) (3.56) (3.57) (3.58) de u m a (3.59)

onde n = 0,1 ou 2 e

a — p2 — 3s,

6 = 2 p3 — 9 ps + 27 r,

p = — (M n + + M33), (3.60)

3 = ( M1 1M2 2 + M2 2M3 3 + AÍ33ÍW11) — ( M1 2 “I- ^2 3 "I" M31),

r = M n M223 + M2 2M1 3 + M3 3M1 2 — M n M2 2M3 3 — 2M12-M23M31.

(3.61)

(3.62)

(3.63)

(3.64)

A energia livre é então ob tid a de (3.62-64) com Go e A0 dados pelas equações (3.52),(3.59) e (3.60).

Podem os n o ta r que, n e sta aproxim ação , não é possível obter a te m p e ra tu ra crítica de u m a m an eira tã o sim ples como nos casos anteriores, pois a equação auto-consistente p a ra m é m u ito com plicada. Podem os, en tretan to , p a ra h = 0 e perto d a transição onde m « 0 Dos q u a tro autovalores (A0, Ai, A2eA3) notam os qué A0 e sem pre o maior.

Temos então: A/o 37V < H - H o > 0= —J —^ - m2 + J —- m2 + Nrjm - N h m , z z onde ^ 1 lnA0 m = < Si Tff — '

de m odo que p a ra a função $ obtemos:

J N

$ = G0 ---— (9 — 3)m2 + Nrjm — N h m ,

cuja m inim ização com relação a 77 resulta em:

1

7? = J(q — 3 ) m + h.

e 77 ~ 0, ex p an d ir o m aior autovalor em potências de 77 e calcular num ericam ente as derivadas de A0 a té a ordem desejada. Assim temos:

Ao = a : + +

...

(3.65)

a2 A0 d(ßrj)

7)=0

, 0 4 = ₉d* \ 0_(07])*

7J—0 e as derivadas de ordem ím pares onde X° = X(rj - 0), D2 =

p a ra 77 = 0 são todas nulas. As derivadas de segunda e q u a rta ordem , D2 e D4, são obtidas n u m ericam en te (convém ressaltar que é possível expandir a m atriz (3.53) em potências de 77 e o b te r, através d a teoria de pertubações , o term o D2 analiticam ente sem grandes problem as [13]).

Tom ando o logaritm o de (3.65) e expandindo m ais um a vez obtemos:

1 D 2 l nA0 = l n AS + - — (/?77)2 + ] _ D i _ í ( D 2 \ ‘ 4! Ag 8 \ A° / { ß v Y + •••, (3-66) De (3.62) e (3.66) temos: 1 ( D2 m = 2 í Ã F '3 , + 1 D4 6 Ã f 1 ( D r y2

2 UJ

m 3+

(3.67)

e lem brando que agora 77 = J( q — 3)m, tem os finalmente:

1D2 r, . 1

m = I < ( q - 3) m + - \ m _ 1 í m \

6 A °o 2 V A l ) [.K ( q - Z ) m ] (3.68) A equação acim a é análoga às anteriores, donde se obtem para a te m p e ra tu ra crítica n e sta aproxim ação :

1 D2

2Ã ^ - 3> = 1- (3.69)

3.5

R e s u lta d o s tip o C a m p o M éd io

A ta b e la 3.1 abaixo ilu stra os valores obtidos p a ra K c do modelo de Ising d-dim ensional hipercúbico (d = l,2 ,3 ), de acordo com as qu atro aproximações discutidas neste capítulo, em com paração com os resultados exatos ou obtidos por expansões em séries.

N ota-se que valores cada vez melhores são obtidos ao se levar em conta m ais interações no ham iltoniano ten tativ a. Em particular, as aproximações com blocos finitos (CM e Pares) fornecem um K c finito no modelo unidim ensional em desacordo com o resultado exato T = 0 . J á a aproxim ação de cadeia linear (ACL) fornece o resultado exato em u m a dim ensão.

Convém ressaltar que, em bora h a ja um a m elhora n a obtenção da te m p e ratu ra crítica com ham iltoniano te n ta tiv a que levam em conta um m aior núm ero de interações en tre pares de spins, os expoentes críticos são sem pre os mesm os e independem da dim ensionalidade da rede.

T abela 3.1: Valores de K c p a ra o Modelo de Ising d-dim ensional (d = 1,2,3) hipercúbico de acordo com as aproxim ações discutidas neste capítulo. Na discrim inação dos vários m étodos denom inam os:

• CM - C am po M édio Usual, Equação (3.16); • Pares - A proxim ação de Pares, Equação (3.31);

® ACL - A proxim ação de C adeia Linear, E quação (3.49); • ACD - A proxim ação de C adeia D upla, Equação (3.69).

Kc d = 1 d = 2 d = 3 CM 0,5 0,25 0,167 PARES 0,639 0,265 0,171 ACL[13] 00 0,284 0,176 ACD[13] - 0,317 0,182 Exato oo 0,441 [9] 0,222[11] 20

C a p ítu lo 4

G ru p os de R en orm alização de

C a m p o M éd io

E ste capítulo tra ta , em linhas gerais, do grupo de renorm alização , mais especificam ente do grupo de renorm alização de cam po m édio (GRCM ) e do novo grupo de renorm alização de cam po m édio (N G R C M ). D iscutirem os suas hipóteses básicas bem como suas relações de recorrência, através das quais informações sobre a criticalidade do sistem a em estudo podem ser obtidas.

4.1

G ru p o d e R en o rm a liza çã o

D evido a dificuldade de se caracterizar a transição de fases de segunda ordem surgiram várias abordagens que te n ta m explicar o que acontece no ponto crítico. D entre estas destacam -se a aproxim ação de cam po médio, pela sua sim plicidade, e a teo ria de grupo de renorm alização , pelo seu êxito.

Se a teo ria fornece a função partição p ara todas as tem p eratu ras, m uito bem , porém , o principal é a determ inação da função partição n a região crítica, isto é, p ara T próxim o a Tc

0 grupo de renorm alização foi introduzido por W ilson baseado n a construção de blocos de K adanoff [15], p a ra solucionar problem as com m uitos graus de liberdade. Essa técn ica p e rm ite reduzir, passo a passo, os graus- de liberdade ao se estu d ar um determ inado sistem a sem a p erd a de identidade com o sistem a original. D esta m aneira, podem os obter um problem a com um m enor núm ero de graus de liberdade e de solução m ais fácil que a do problem a original. Ao invés de se considerar todos os spins do sistem a, utiliza-se da técn ica de blocos de spins por u m bloco representativo com um só spin, cujo objetivo é elim inar do sistem a flutuações de m agnitude m enor que as dimensões do bloco de spins considerado. Devemos conhecer todas as configurações dos spins em todos os blocos

n a rede original p a ra assim term os a probabilidade da configuração do bloco de spin correspondente.

P a ra cada transform ação , tem os um sistem a diferente do original e assim, um novo acoplam ento K ' em função de K, sendo K inversam ente proporcional à te m p e ra tu ra (K =

J/ íc bT) . O s pontos fixos são associados aos pontos críticos do sistem a devido à invariância

por escala ap resen tad a pelo sistem a n a criticalidade.

Nesse processo de transform ação , o com portam ento de longo alcance d a nova rede é equivalente ao com portam ento que é observado n a rede original p a ra u m a te m p e ra tu ra diferente.

Nas proxim idades do ponto crítico, o com prim ento de correlação £ é m uito grande, ou em o u tras palavras, m uito m aior que a distância m ínim a representada pelos parâm etros de rede. Isto é um indício de que os fenômenos críticos [16] são um problem a de grande d istância, que envolvem m uitos graus de liberdade. Kadanoff [17], ao dividir o sistem a em blocos de ld spins (/ <C £, sendo l um m últiplo do espaçam ento de rede a e d a dim ensão do sistem a) supôs que cada bloco se com portava como um spin efetivo com interações sim ples, de ta l m an eira que po d ia se escrever um ham iltoniano efetivo tip o Ising p a ra blocos de spin.

As idéias de K adanoff deram origem ao cham ado grupo de renorm alização no espaço real.

4 .2

G ru p o d e R e n o r m a liz a çã o d e C a m p o M éd io

0 m éto d o de grupo de renorm alização tipo cam po médio [6] é um a técnica recente, simples e eficiente que p erm ite calcular as propriedades críticas de um sistem a de spins. 0 m étodo de G R CM surgiu dentro do espírito cham ado grupo de renorm alização fenomenológico, que se baseia n a com paração das magnetizações de sistem as de diferentes tam anhos fini­ tos, onde se supõe u m a lei de escala entre as magnetizações desses sistem as. O m étodo consiste em com parar dois aglomerados finitos de spin de diferentes tam anhos, tra ta n d o as interações en tre os spins de cada aglom erado exatam ente e os spins do restan te d a rede são sim ulados por um cam po efetivo sem elhante ao que é feito na aproxim ação de cam po m édio.

A m agnetização do aglom erado finito e o cam po efetivo têm significado físico de m agne­ tizações e, p o rtan to , ambos representam o p arâm etro de ordem do sistem a.

P a ra dois aglomerados finitos N ' e N (N ' < N ) as magnetizações m Ni e mn e os cam pos efetivos b e b de cada aglom erado são supostos terem a m esm a relação de escala, sem e­ lh an te à do grupo de renorm alização , resultando assim num a relação do tip o K ' = f ( K ) en tre as constantes de acoplam ento K ' e K dos aglomerados de spin N ' e N,

m ente. Assim, im pondo u m a relação de escala p a ra as magnetizações temos:

m N' ( K ' , b') = 6m N(I<, 6), (4.1)

onde 6 e stá relacionado com o fator de escala e, em geral, depende de algum expoente crítico.

A lei de escala p a ra os cam pos efetivos b e b é suposta ser a m esm a, isto é:

b' = 6b. (4.2)

As relações acim a devem ser válidas perto d a transição e, p o rtan to, rriN e b (m N/eb') devem ser pequenos. Como para b = 0(b' = 0), = 0(7? ^ / = 0), podemos expandir as m agnetizações p a ra ambos os blocos e escrever:

m N. (K ', b ') = CN>(K')b\ (4.3)

m N { K , b) = CN (I<)b, (4.4)

onde Cn( K ) = e ° m esm o p a ra o bloco N ' . Assim das equações (4.1-4) obtemos:

Cn.( K ') = Cn(K ) , (4.5)

que é independente de fator de escala e expoente crítico. A equação acim a é v ista como u m a relação de recorrência de onde se obtem o ponto fixo nao trivial (ponto crítico)

K = K — K* = K c. Estim ativas do expoente crítico v são obtidas através de:

d K ’

d K K' = A = L l ' \ (4.6)

onde L é o fato r de escala, o qual, p ara blocos finitos é dado por L = ( N / N ' ) 1^ . E ste m étodo já foi aplicado a um a variedade de sistem as e bons resultados foram obtidos m esm o ao se considerar blocos pequenos [6].

4 .3

N o v o G ru p o d e R en o rm a liza çã o d e C a m p o M é d io

As m agnetizações o btidas no capítulo anterior, em suas várias aproxim ações , podem ser escritas n u m a form a co m p acta e geral como:

m N = f N (I<)mN + gN ( K ) m zN , (4.7)

onde N aqui designa o núm ero de spins p ara blocos finitos ( N = l spins livres, N = 2 pares de spins) ou a larg u ra d a cadeia ( N = l linear, N = 2 dupla). A equação acim a é equivalente a:

m N = 1 - M K )

sw ( K )

a qual pode ser reescrita n a forma:

1 / 2 (4.8)

( í - M K )

K

y

, 2 ( k ~ k cv /2

m N ~ { m k ) ~k - kJ { — — ) ' ( 4 ' 9 ) m N = aN (K)e]^2, (4-10) onde: K - K ? eN = K e , (4.12)

e Kç é a te m p e ra tu ra crítica de cam po m édio p ara o bloco considerado obtido de 1 — / a t ( / ^ ) = 0. Estas expressões são gerais e se aplicam a qualquer aproxim ação de tip o cam po médio.

Com as m agnetizações assim obtidas para dois blocos diferentes N e N ' podem os im por u m a relação de escala d a d a por (4.1) e supor tam b ém que as tem p eratu ras reduzidas e] ^ 2 e e^,2 satisfaçam a m esm a relação , isto é:

e^ ,2 = 6eN, (4.13)

Com as equações (4.1),(4.10) e (4.13) obtemos:

aN'(I<’) = aN (I<), (4.14)

que é a relação de recorrência segundo o novo grupo de renorm alização de cam po m édio [7], onde pontos críticos e expoentes podem ser obtidos de m aneira análoga ao discutido na seção anterior. E ste esquem a foi aplicado com bons resultados, ao problem a de percolação dirigida e no m odelo de Ising [7] e, mais recentem ente, foi estendido ao m odelo de Ising diluido via teo ria de cam po efetivo [18]. O em prego destas duas técnicas de grupo de renorm alização será discutido no próxim o capítulo.

C a p ítu lo 5

G ru p os de R en orm alização de

C a m p o M éd io ap licad os ao M o d elo

d e Isin g

U tilizarem os aqui alguns resultados obtidos no capítulo 3, aliados às técnicas de grupo de renorm alização discutidas no capítulo anterior, no estudo das propriedades críticas do m odelo de Ising. E m bora vários dos resultados aqui discutidos já foram relatados na lite ra tu ra , ênfase deve ser d ad a à utilização das cadeias linear e dupla no N G RCM , que, como dito n a introdução , é o objetivo do presente trabalho.

5.1

G ru p o d e R en o rm a liza çã o d e C a m p o M éd io

A plicarem os prim eiram ente o GRCM , exposto n a seção 4.2, utilizando blocos finitos e cadeias.

5 .1 .1

B lo c o s d e 1 e 2 sp in s

O ham iltoniano p a ra o bloco de 1 spin, figura 5.1 (a), é dado por:

i / i = —q J b S i , (5.1)

o qual é idêntico ao dado pela equação (3.3) com rj = q j ' b ' . Como b' é pequeno, tem os d iretam en te de (3.13) a m agnetização :

(5.2)

mi =

C\(K )b

,

onde:

cL(I<') = ql<‘ (5.3)

F ig u ra 5.1: Blocos de um e dois spins. b e b ’ são as m agnetizações dos spins das fronteiras.

P a ra o bloco de 2 spins, figura 5.1(b), temos:

H2 = - J S XS2 ~ { q - l ) J b { S1 + S2), (5.4)

que é idêntico ao dado pela equação (3.18) com rj — (q — l)Jb. P ara b pequeno, a equação (3.29) nos fornece:

m2 = c2(K)b, (5.5)

onde:

< * (*) = T T p £ " (5'6)

A relação de recorrência, de acordo com (4.5), é então:

, 2(q - 1 )K

de onde se obtem , além dos pontos fixos triviais K ' = K — 0 e K ' = K = oo, o ponto crítico:

K = K = K , = i ln(q/q - 2). (5.8)

Vemos claram ente que com estes blocos pequenos já obtemos o resultado exato T c = 0 p a ra o m odelo unidim ensional (q = 2 ). Valores de K c e expoentes críticos p a ra outras dim ensionalidades encontram -se n a tab ela 5.1. Em particular, p ara d = 2 tem -se K c = 0,346, u m valor bem m elhor que K c = 0,25 e K c = 0,265 (veja tab ela 3.1) obtidos p a ra cada bloco separadam ente. Com relação aos expoentes críticos, vemos agora sua. dependência com a dim ensionalidade da rede, como era de se esperar.

5 .1 .2

C a d e ia s lin ea r e d u p la

E fácil verificar que o ham iltoniano p a ra a cadeia linear d a figura 5.2(a) é dado po r (3.33) com T) = (q — 2) j ' b ' . ? o 9 o b ' ( a ) d

T

0 (b) d b

F igura 5.2: Cadeias linear e du p la com as respectivas magnetizações das fronteiras n u m a rede p lan a q u ad rad a (condições periódicas na horizontal).

c1(K ') = e2K\ q - 2 ) K ' . (5.9)

Como o ham iltoniano p ara a cadeia dupla, figura 5.2(b) é dado por (3.51) com 77 = (ç — 3) Jb, a equação (3.67) nos fornece:

P o rta n to , da equação (3.47) tem os:

1 D2

W = 2 ^ ( í - 3 ) , (5.10)

de m odo que a relação de recorrência p a ra estas cadeias é dada por:

e1K' ( q - 2 ) K ' = 1- ^ K ( q - 3 ) , (5.11)

cujos resultados encontram -se tam b ém n a tab ela 5.1. Devemos n o ta r que agora o fator de escala é dado por L =2 p a ra a rede plana e que o fator de escala fica indefinido ao se considerar a rede cúbica (em bora, neste caso, o valor para a te m p e ra tu ra crítica possa ser obtid o sem restrições [19]).

5.2

N o v o G ru p o d e R en o rm a liza çã o d e C a m p o M é d io

A plicarem os agora o N G RCM , exposto na seção 4.3, no estudo d a criticalidade do m odelo de Ising utilizando blocos finitos e cadeias linear e dupla.

5 .2 .1

B lo c o s d e 1 e 2 sp in s

P a ra 1 spin, as equações (3.14),(4.7) e (4.11) nos fornecem:

fTy s ( (1 - q K ' ) K ’ \1/2

a i ( ) - ( - 1 / 3 ( q K ' )3 K ' - K l ) ’ (5-12)

onde K ] = l / q . Por outro lado, p a ra 2 spins tem os de (3.30),(4.7) e (4.11):

, ,,n f l - f 2(I<) K Y /2

onde K 2 e stá dado n a ta b ela 3.1 (aproxim ação de Pares) e:

h { K ) 2 ( 9 - 1 ) *

1 + e~2K ' (5.14)

4 (e~2K — 2) 2

(5.15)

D a relação de recorrência a \ ( K ' ) = a2( K ) obtem -se os valores listados na ta b e la 5.1 para

K = K = K c e v do m odelo de Ising. Note que neste caso novam ente se o btem o

resu ltad o ex ato p a ra Tc no m odelo unidim ensional.

5 .2 .2

C a d e ia s lin e a r e d u p la

U tilizarem os agora os resultados obtidos p ara as cadeias linear e dupla dentro do contexto do N G RC M . P a ra a cadeia linear, de acordo com as equações (3.48),(4,7) e (4.11) tem os:

1 - f i ( K ' ) K '

9 l (K ') K ' ~ K l

1 / 2

(5.16)

com K l dado no ta b ela 3.1 (ACL) p ara d = 2 e d = 3 e:

M I C ) = K ' e 1K (q - 2), (5.17)

S l ( K ' ) = i ( e 2K' - 3e6K' ) ( K ' f ( q - 2)3. (5,18)

C onsiderando a cadeia du p la obtemos:

1 ~ W < ) K g2(I<) K - I Q

1 / 2

(5.19)

com K2 listado n a ta b e la 3.1 (ACD) e:

1 D2

M K ) = 2^r(< ? - W , (5.20)

92 ( K ) = 1 D4: 1 / D 2 V

6A° 2 { J [ ) (5.21)

onde os term os que aparecem nas equações (5.20) e (5.21) estão todos definidos n a seção 3.4 do capítulo 3. Lem bram os que os term os D2 e D4 foram obtidos num ericam ente. A ta b e la 5.1 contém resultados obtidos através da relação de recorrência a \ ( K ' ) — a2( K ) p a ra os dados acim a. N ovam ente aqui, p ara d = 3 tem os somente K c u m a vez que o fator de escala fica indefinido ao se considerar cadeias desse tipo.

5.3

R e s u lta d o s e C o n clu sõ es

Os valores de K c e do expoente crítico v, obtidos através do GRCM e do N G RC M p ara os vários sistem as finitos aqui considerados, estão sumarizados n a tab ela 5.1, ju n ta m e n te com os valores exatos ou de expansões em série. Como em todos os casos se o b tem o valor esperado p ara Tc no m odelo unidim ensional, a tab ela contém som ente os dados p a ra d= 2

e d = 3 .

A través de u m a análise da ta b ela 5.1, vemos que o uso de cadeias m elhora os resultados em am bos m étodos, ta n to no GRCM com no NGRCM , como e ra de se esperar. Vemos tam b ém que o N G RCM apresenta sem pre m elhores resultados que o G RCM , se conside­ rarm os os mesmos sistem as finitos em cada um .

E m p articu lar, o N G RCM em pregando cadeias é o que produz m elhores resultados, sendo estes com paráveis aos valores obtidos utilizando-se blocos com N =16 e N ' = 9, donde se o b tem K c = 0,420 e v — 1,15 (veja referência).

Concluím os, p o rtan to , que o uso de tiras infinitas segundo o esquem a do N G RC M pode ser prom issor, inclusive no estudo de outros sistem as estatísticos onde o m étodo d a m atriz de transferência possa ser em pregado. R essaltam os, en tretan to , que p a ra tiras m ais largas (por exem plo, a cadeia trip la) os resultados analíticos dificilmente podem ser obtidos e, neste caso, devemos tr a ta r o problem a de u m a form a num érica, a p a rtir d a obtenção d a m a triz de transferência.

T abela 5.1: Valores de K e e v p ara o modelo de Ising em d = 2 e d = 3 segundo o G R CM e o N G RC M p a ra diferentes blocos. d = 2 d = 3 K c V K c V GRCM - Blocos[6] 0,346 1,667 0,203 1,537 GRCM - Cadeias[19] 0,388 1,527 0,208 -N GRCM - Blocos[7] 0,380 1,477 0,215 1,258 N GRCM - Cadeias 0,419 1,421 0,217 -E xato 0,441 [9] 1,0[9] 0,222[11] 0,637[11]

B ib lio g ra fia

1] H. E. Stanley, ’’In tro d uctio n to Phase Transitions and C ritical Phenom ena” , C laredon Press, Oxford (1971), C apítulo 1

2] R. Eisberg and R. Resnick, ’’Q uantum Physics” , John W iley and Sons, New York (1974), capítulo 14

3] H. E. Stanley, ’’In tro d u ctio n to Phase Transitions and C ritical Phenom ena” , C laredon Press, Oxford (1971), C apítulo 3

4] H. E. Stanley, ’’In tro du ctio n to Phase Transitions and C ritical Phenom ena” , C laredon Press, O xford (1971), C apítulo 11

5] D. J. W allace and R. K. Zia, Rep. Progr. Phys., Vol.41 (1978) 1

6] J. 0 . Indekeu, A. M aritan and A. L. Stella, J. P hys.A : M ath. G en .15 (1982) L291 7] J. K am phorst Leal da Silva, R. A. Nogueira, J. A. Plascak and M. Droz, J. P hys.A :

M ath. G en.27 (1994) 1495

8] D. C handler, ’’In tro d u ctio n to M odern S tatistical M echanics” ,(Oxford U niversity Press 1987), C apítulo 5

9] L. O nsager, Phys. R ev.65 (1944) 117

10] H. A. B ethe, Proc. Roy. Soc. (London) A 1 5 0 (1935) 552 and R. E. Peierls, Proc. C am bridge Phil. Soc.32 (1936) 477

11] C. Domb, ’’P hase T ransitions and C ritical Phenom ena” , Vol.3, ed. C. Domb and M. S. G reen (London A cadem ic 1974)

12] H. Falk, Am. J. P h y s.38 (1970) 858

13] J. A. Plascak e N. P. Silva, Phys. Stat. S olid.B110 (1982) 669

14] H. E. Stanley, ’’In tro d u ctio n to Phase Transitions and C ritical Phenom ena, C laredon Press, Oxford (1971), C apítulo 8

[15] K. G. W ilson and J. K ogut, Phys. R ep .17 (1975) 75

[16] M. E. Fisher, Rep. Prog. Phys.30 (1967) 615

[17] C. J. Thompson, ’’Mathematical Statistical Mechanics”, Princeton University Press (1979)

[18] F. O. Coelho, Tese de Mestrado, Universidade Federal de Minas Gerais (1994) - não publicado