Uma reformulação mono estágio de um modelo de programação da produção de bebidas dois estágios com sincronia

Deisemara Ferreira

Universidade Federal de São Carlos, UFSCar;

Departamento de Engenharia de Produção

Rod. Washington Luís - Km 235; 13565-905, São Carlos, SP deise@dep.ufscar.br

Alistair R. Clark

University of the West of England, Bristol Institute of Technology, Frenchay Campus, Coldharbour Lane, Bristol, BS16 1QY, England;

alistair.Clark@uwe.ac.uk

Bernardo Almada-Lobo

Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto, Rua Dr. Roberto Frias s/n, Porto 4200-465, Portugal,

almada.lobo@fe.up.pt

Reinaldo Morabito

Universidade Federal de São Carlos, UFSCar;

Departamento de Engenharia de Produção

Rod. Washington Luís - Km 235; 13565-905, São Carlos, SP morabito@power.ufscar.br

Resumo

Apresentamos neste trabalho uma reformulação do modelo P2EMM, proposto por Ferreira et al.

(2009a), que é baseado no modelo GLSP. Nesta reformulação o problema de dimensionamento e sequenciamento da produção de bebidas dois estágios com sincronia e tempos e custos de troca dependentes da sequência é modelado como um problema mono estágio, o que em geral reduz as dimensões do modelo. Os experimentos computacionais realizados com instâncias baseadas em dados reais indicam que o modelo proposto é competitivo quando comparado ao modelo P2EMM e uma estratégia de relaxação apresentados em Ferreira et al. (2009a).

Palavras-chave: Modelos integrados de dimensionamento e sequenciamento da produção.

Planejamento da produção de bebidas. Programação inteira mista. Programação matemática.

Abstract

In this work we present a reformulation of the P2EMM model, proposed by Ferreira et al.

(2009a) which is based on the GLSP model. In this proposed model the soft drink synchronized two-stages lot sizing and scheduling problem with sequence-dependent times and costs is reformulated as a one stage problem. The total number of variables and constraints are reduced with the reformulation. The computational tests with instances based on real data show that the proposed model is competitive when compared to P2EMM model and a relaxation approach proposed by Ferreira et al. (2009a).

Keywords: Integrated lot sizing and scheduling problems. Soft drink production planning. Mixed

integer programming. Mathematical Programming.

1. Introdução

Uma tarefa fundamental para se garantir o bom desempenho de um processo produtivo é a programação da produção. Para defini-la é necessário considerar vários fatores como, por exemplo, demanda dos produtos, capacidades de produção, preparo das máquinas, entre outros.

Em vários processos produtivos, como na produção bebidas, além destes fatores há a necessidade de programar e sincronizar mais de um estágio da produção, o que torna esta tarefa ainda mais complexa. Além disto, é desejável que o sequenciamento e o dimensionamento dos estágios sejam definidos simultaneamente, uma vez que estas decisões são dependentes uma da outra e ambas podem consumir altos índices de capacidade de produção.

Modelos integrados de dimensionamento e sequenciamento da produção têm sido aplicados no estudo da programação da produção de algumas indústrias brasileiras. Alguns exemplos são Araújo et al. (2008), Toso et al. (2009) e Luche et al. (2008) aplicados nos setores de fundição, nutrição animal e grãos eletrofundidos, respectivamente.

Na literatura, os trabalhos de Rangel e Ferreira (2003) e Clark (2003) apresentam modelos de otimização inteira mista para tratar do dimensionamento de lotes no setor de bebidas.

Em Ferreira et al. (2008b, 2009b) foi estudado um problema de dimensionamento e sequenciamento da produção de refrigerantes em uma fábrica de pequeno porte por meio de um modelo de otimização baseado no modelo GLSP (Fleischmann e Meyr, 1997). O modelo considera apenas um estágio de produção, envase da bebida, tratado como gargalo da produção, com uma única linha de envase. Heurísticas do tipo relax and fix foram propostas para resolver o modelo. Um caso mais geral do problema considerando dois estágios de produção (preparo do xarope e envase da bebida) foi estudado em Toledo et al. (2007, 2008). Foi proposto um modelo de otimização inteira mista que considera a sincronia entre os estágios, que é um aspecto importante em fábricas de médio e grande porte, com várias linhas de envase paralelas. Devido à complexidade e dimensão do modelo (que envolve cerca de 65 famílias de restrições), foram propostas abordagens de solução por meio de algoritmos genéticos e meméticos (Toledo et al., 2008).

Em Ferreira et al. (2009a) é proposto um modelo de otimização inteira mista, Modelo Dois Estágios Multi-Máquinas (P2EMM), que considera várias linhas de envase em paralelo, sincronia entre os dois estágios de produção (preparo do xarope e envase da bebida) e tempos e custos de troca dependentes da sequência em ambos os estágios. Este modelo admite hipóteses simplificadoras em relação ao modelo proposto em Toledo et. al. (2007), como a dedicação de linha a tanque. Para resolvê-lo, é então estudada uma abordagem de solução baseada em uma estratégia de relaxação (ER) do modelo, combinada com heurísticas relax and fix. Uma comparação destas abordagens pode ser encontrada em Ferreira et al. (2008).

Neste trabalho é estudada uma reformulação do modelo P2EMM e GLSP para se considerar o problema de programação da produção de bebidas com apenas um estágio, consequentemente o número total de variáveis e restrições do modelo é reduzido.

Na próxima seção deste artigo é descrito resumidamente o processo de produção de refrigerantes. O modelo P2EMM é apresentado na Seção 3. Na Seção 4 é detalhada a reformulação do modelo. Os experimentos computacionais realizados com instâncias baseadas em dados reais são analisados na Seção 5. E finalmente, na Seção 6 apresentamos as considerações finais e propostas de trabalhos futuros.

2. Processo de Produção de Refrigerantes

Conforme mencionado, a produção de bebidas possui dois estágios principais que são o preparo do xarope (sabor) e o envase da bebida pronta. O xarope é preparado em tanques especiais que possuem hélices para agitar o líquido. Uma quantidade mínima de xarope, suficiente para cobrir as hélices, deve ser preparada para garantir a homogeneidade do mesmo.

Há necessidade de preparar o tanque (limpeza) antes de seu uso. Este preparo é dependente da

sequência e ocorre mesmo entre trocas de xaropes de mesmo sabor. O tempo de troca no tanque é então o tempo de limpeza do tanque somado ao tempo de preparar o xarope (mistura dos ingredientes).

Após o preparo, o xarope é enviado para as linhas de envase se estas estiverem prontas.

Independente do número de tanques, cada linha de envase recebe xarope de apenas um tanque por vez, porém um tanque pode enviar xarope para mais de uma linha simultaneamente se elas estiverem envasando o mesmo sabor de bebida. O tempo de troca na linha é considerado o tempo de limpeza da linha, se o novo item a ser produzido for de sabor diferente, e/ou ajuste mecânico se o novo item a ser produzido utilizar um vasilhame de tamanho diferente.

Outro fator fundamental na programação da produção de bebidas, além dos tempos e custos de trocas dependentes da sequência, é a sincronia entre os estágios de preparo de xarope e envase da bebida. Na prática, se o tanque não estiver com o xarope pronto para ser enviado para a linha de envase, esta deve aguardar até que o xarope esteja pronto. Do mesmo modo, o tanque só pode iniciar o envio de xarope para a linha de envase se ela estiver preparada. Assim, podem ocorrer esperas da linha de envase pelo tanque e do tanque pela linha de envase. As Figuras 1 e 2 representam situações onde o tanque e a linha de envase estão seqüenciados, porém na Figura 1 não há sincronia entre os estágios. Os lotes de produção (retângulos) determinam os tamanhos dos lotes e o espaço entre eles define os tempos de troca de um refrigerante para outro na linha de envase, ou troca de um xarope para outro no tanque. Os tipos de refrigerantes são representados por números (1, 2 e 3) e os tipos de xaropes por letras (a e b).

Capacidade disponível Linha

a b b

1 ^{2 2 3}

Tanque

Subp. 2 Subp. 4

b

Subp. 3 Subp. 1

Figura 1. Programação não sincronizada.

No exemplo da Figura 1, se forem consideradas estas esperas, ou seja, se o tempo de troca for considerado como sendo o maior tempo entre a troca do item na linha e o xarope a ser preparado no tanque, a programação seria como representado na Figura 2 a seguir. Os retângulos de cor preta na Figura 2 são a diferença entre o tempo de troca de produtos da linha e de xarope no tanque.

Capacidade disponível Linha

a b ^b

1

Subp. 1 Subp. 2 Subp. 4

Tanque

b

Subp. 3

3 2

2

Figura 2. Programação sincronizada.

Note que a inclusão dos tempos de espera equivale a considerar na programação o maior

tempo de troca entre produtos na linha e xarope no tanque. Uma programação da produção não

sincronizada, ou seja, sem a consideração das diferenças entre os tempos de troca dos dois

estágios, pode levar a uma programação inviável na prática, uma vez que os tempos de espera

podem consumir parte da capacidade de produção (Ferreira et al., 2009a).

3. Modelo Dois Estágios Multi-Máquinas - P2EMM

Os parâmetros número total de refrigerantes (itens); xaropes; linhas de envase (máquinas) e tanques; períodos; sub-períodos (i.e. número total de preparos em cada período) são designados respectivamente pelas letras maiúsculas J, L, M, T e N.

Sejam os índices definidos como i j , ∈ (1,..., ) J itens; t ∈ (1,..., ) T períodos; s ∈ (1,..., N ) sub-períodos; k l , ∈ (1,..., ) L sabor dos xaropes; m ∈ (1,..., M ) máquinas e tanques; e suponha que os seguintes conjuntos são conhecidos: S

_t

conjunto dos sub-períodos do período t; λ

_j

conjunto de todas as máquinas que podem produzir o item j; α

_m

conjunto de todos os refrigerantes que podem ser produzidos na máquina m; β

_m

conjunto de todos os xaropes que podem ser preparados no tanque m; γ

_ml

conjunto de todos os refrigerantes que podem ser produzidos na máquina m e utilizam o xarope l.

A seguir os dados e variáveis com o sobrescrito I se referem ao estágio de xaroparia do processo de produção e os com o sobrescrito II se referem ao estágio de envase:

Dados

d

jt

= demanda do item j no período t;

h

j

= custo de estocar uma unidade o item j;

g

j

= custo de atrasar a entrega de uma unidade do item j;

II

s

ij

= custo de fazer a troca do item i para j;

I

s

kl

= custo de fazer a troca do xarope k para l;

II

b

ij

= quantidade consumida de tempo para fazer a troca de produção do item i para j;

I

b

kl

= quantidade consumida de tempo para fazer a troca do xarope k para o xarope l;

II

a

mj

= quantidade consumida de tempo para produção de uma unidade do item j na máquina m;

II

K

mt

= capacidade de tempo disponível na máquina m para envase no período t;

I

K

ml

= lote máximo do xarope l no tanque m;

I

q

ls

= quantidade mínima do xarope l a ser preparada nos tanques no sub-período s.

r

lj

= quantidade consumida de xarope l para produção de uma unidade do item j;

Variáveis:

I

⁺jt

= estoque do item j no período t;

I

⁻jt

= quantidade em atraso do item j no período t;

II

x

mjt

= produção da máquina m do item j no sub-período s;

II

v

ms

= tempo que a máquina m no sub-período s ficou aguardando o preparo do tanque;

II

y

mjs

= 1 se a linha m está preparada para produção do item j no sub-período s; 0 caso contrário.

y

_mls^I

=1 se há produção no tanque m do xarope l no sub-período s; 0 caso contrário.

II

z

mijs

= 1 se há troca na máquina m do item i para o item j no sub-período s; 0 caso contrário.

z

_mkls^I

= 1 se há troca no tanque m do xarope k para o xarope l no sub-período s;

O modelo de otimização inteira mista, chamado simplesmente de modelo Dois Estágios Multi-Máquinas (P2EMM), para a programação da produção de refrigerantes, é então composto pela função objetivo (1) e pelas restrições (2)-(17) apresentadas a seguir.

(1)

J

1 t 1 1 1 1 1

Z= ( )

m m m m

T M N M N

II II I I

j jt j jt ij mijs kl mkls

j m s i j m s k l

Min h I g I s z s z

α α β β

+ −

= = = = ∈ ∈ = = ∈ ∈

+ + +

∑∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑

Sujeito a:

Estágio I (Xaroparia)

(2) ∑

∈ _ml j

II mjs jl

x r

γ

I I

,

ml mls

≤ K y m = 1,..., M l , ∈ β

_m

, s = 1,..., N ;

(3) ∑

∈ _ml j

II mjs jl

x r

γ

≥ q

_ls^I

y

_mls^I

, m = 1,..., M l , , ∈ β

_m

s = 1,..., N ;

(4) ∑ ∑

∈

∈ −

≥

m

m l

I mls l

I s

ml

y

y

β β ^{( 1)}

m = 1,..., M , t = 1,..., , T s ∈ − S

t

{ } P

t

^;

(5) z

_mkls^I

≥ y

_{mk s}^I _{( −1)}

+ y

_mls^I

− 1 m = 1,..., M k l , , ∈ β

_m

, 1,..., s = N ; (6)

_{( 1)}

1

mk

I II I

mkls mj s mls

j

z y y

γ −

∈

≥ ∑ + ⁻ m = ^1,..., M k l ^{, ,} ∈ β

_m

, 2,..., , t = T s = ^P

_t

;

(7) 1

m m

I mkls

k l

z

β β

∈ ∈

∑ ∑ ≤ ^{m = 1,..., M , t = 1,..., , T s ∈ S}

^t

^;

Estágio II (Envase)

(8) I

⁺_j(t−1)

+ I

⁻_jt

+ ∑∑ = + + ,

∈ _j ∈_t

m s S

II

x

mjs λ

+

I

jt

I

⁻_j(t−1)

d

_jt

j = 1 ,..., J , t = 1 ,..., T ; (9)

m t m m t t

II II II II II II

mj mjs ij mijs ms mt

j s S i j s S s S

a x b z v K

α α α

∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈

+ +

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ^≤ , m = 1,..., M , t = 1,..., ; T

(10) ,

m m m m

II I I II II

ms kl mkls ij mijs

k l i j

v b z b

β β α α

∈ ∈ ∈ ∈

≥ ∑ ∑ − ∑ ∑ ^{z m = 1,..., M , s = 1,..., N ;}

(11)

_mjs^II

II j II II mt

mjs

y

a

x ≤ K , m = 1,..., M , j ∈ α

_m

, t = 1,..., T , s ∈ S

_t

;

(12) ∑ = 1 ,

∈ _m j

II

y

mjs α

1,..., , 1,..., ; m = M s = N

(13) z

_mijs^II

≥ y

_mi^II_(s−1)

+ y

_mjs^II

-1, m = 1,..., M , i , j ∈ α

_m

, s = 2,..., N ; (14) ∑ ∑ 1,

∈ _m ∈ _m

i j

II

z

mijs α α

≤ m = 1 ,..., M , s = 1,..., N ;

(15) I

⁺_jt

, I

⁻_jt

≥ 0 , j = 1,..., , 1,..., J t = T ; x

_mjs^II

, v

_ms^II

, z

_mijs^II

, z

_mkls^I

≥ 0 ; y

_mjs^II

, y

_mls^I

= 0 / 1 , ,

,...,

1 M

m = i e , j ∈ α

_m

k e , l ∈ β

_m

t = 1 ,..., T , s ∈ S

_t

.

O critério de otimização (1) é minimizar os custos de estoque, atraso e troca. As

restrições (2) junto com as restrições (3) garantem os lotes máximos e mínimos respectivamente

do xarope l. A restrição (4) ordena a produção em sub-períodos consecutivos dentro de cada

período. A restrição (5), equivalente à restrição (14) do estágio II, controla a troca de xarope no

tanque. Porém esta restrição não controla as trocas entre períodos se o último sub-período do período anterior for ocioso, sendo então necessárias as restrições (6) para contabilizar estas trocas. A restrição (7) é semelhante a (14), e limita o número de trocas por sub-período.

A restrição (8) diz respeito ao balanceamento entre estoque e produção. A restrição (9) garante que o tempo de produção mais o tempo gasto para as trocas de refrigerantes, e o tempo de espera da máquina não excederão a capacidade de tempo do período t da máquina m. Sendo que o tempo de espera da máquina é a diferença entre o tempo de troca na máquina e troca do tanque, restrição (10). A restrição (11) garante que não haverá produção caso a máquina m não esteja preparada. A restrição (12) estabelece que a máquina sempre estará preparada para produzir exatamente um refrigerante por sub-período. A restrição (13) controla a troca de refrigerantes.

Pode ocorrer apenas uma troca por sub-período, restrição (14). As restrições (15) definem o domínio das variáveis.

Um outro método de solução do problema, Estratégia de Relaxação (ER), baseado no modelo P2EMM foi testado em Ferreira et al.( 2009a) que combinado com uma heurística do tipo relax and fix obteve as melhores soluções para o problema da programação de bebidas. Este método se baseia na solução de um modelo denominado P1EMM, Um Estágio Multi Máquinas, obtido pela eliminação de todas as variáveis do estágio I, exceto a variável de preparo, , e todas as restrições, exceto as restrições de quantidade mínima e máxima de xarope no tanque (2) e (3) do modelo P2EMM; a variável de espera da máquina pelo tanque, que garante a sincronia entre os dois estágios, também é eliminada. Assim, a restrição que calcula o tempo de espera do estágio II, (10), é removida e a restrição de capacidade, (9), é modificada para:

I

y

mls

II

v

ms

(9a)

m t m m t

II II II II II

mj mjs ij mijs mt

j s S i j s S

a x b z K

α α α

∈ ∈ ∈ ∈ ∈

+ ≤

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ^{, m = 1 ... M , t = 1 ... T .}

O modelo Um Estágio Multi Máquinas (P1EMM), composto então pela função objetivo (1a):

(1a)

J

1 t 1 1 1

Z ( )

m m

T M N

II II

j jt j jt ij mijs

j m s i j

Min h I g I s z

α α

+ −

= = = = ∈ ∈

= ∑∑ + + ∑∑ ∑ ∑ ^,

e pelas restrições (2), (3), (8), (9a), (11)-(15).

O algoritmo ER descrito na Figura 3 a seguir resume a estratégia de relaxação.

Algoritmo ER

Passo 1 - Resolva o modelo P1EMM.

Passo 2 - Se P1EMM é viável, então

para todo m = 1 ... M , j ∈ α

_m

, s = 1 ... N faça se x

_mjs^II

> 0 então

Fixe as variáveis de preparo no modelo P2EMM de acordo com:

y

_mjs^II

= 1 e y

_mls^I

= 1 , ∀ l ∈ σ

_j

Passo 3 - Resolva o modelo P2EMM obtido na Passo2.

( σ

_j

é o xarope necessário para a produção do item j)

Figura 3 – Algoritmo ER. Fonte: Ferreira et al. (2009a).

4. Reformulação do modelo P2EMM

Nas soluções ótimas dos modelos P2EMM e GLSP as máquinas (linhas de envase do segundo estágio) se mantém preparadas em sub-períodos ociosos, restrições (12), com o último item produzido. Tendo em vista que os tempos e custos de troca de um item para ele mesmo são nulos nas linhas, este estado de preparo não gera tempos de troca ou custos adicionais para máquinas. No caso do primeiro estágio da produção de bebidas, não é possível fazer o mesmo para os tanques, pois os tempos de troca de um xarope para ele mesmo são sempre positivos.

Assim, é necessário ou não mantê-los preparados, como é feito no modelo P2EMM, ou anular os tempos e custos de troca que seriam considerados nos sub-períodos ociosos. Esta é a razão pela qual não é possível sincronizar os dois estágios tomando apenas o máximo entre os tempos de troca de itens nas linhas e tanques. Na reformulação proposta neste trabalho, os tempos e custos são anulados nos sub-períodos ociosos com o auxílio de um novo conjunto de variáveis, o que permite tomar o máximo entre o tempo de troca de bebida na linha e o do xarope utilizado para produzir esta bebida no tanque. Com isto, é possível formular o modelo com apenas um estágio, o que em geral reduz o número total de variáveis e restrições. O modelo reformulado denominado P2EMM-R1 é descrito a seguir.

Considere que as variáveis de produção, estoque, atraso, set up e troca do estágio II são as mesmas do modelo P2SEMM. Portanto, o sobrescrito II é removido. Defina uma variável binária, que assume valor 1 para algum item j em sub-períodos ociosos e 0 para todos os outros itens nos sub-períodos onde há produção. Esta variável é utilizada para anular as variáveis de set up e troca em períodos onde não há produção, ou seja, em períodos onde os tempos de set up e troca não devem ser contabilizados. Os parâmetros de lotes máximos e mínimos dos xaropes são transformados em termos de bebida pronta. Desta forma, é o lote máximo de refrigerante j que se pode envasar com um tanque cheio do xarope, q

v

mjt

UB

mj

mj

é o mínimo de bebida que se envasa com o lote mínimo de xarope que deve ser preparado, ^max { b

ij^II

^, b

kl^I

^{: ,} i j ∈ α

m

^{, ( )} k ∈ σ i ^{e ( )} l ∈ σ j } , onde σ ( ) i é o conjunto do xarope utilizado para preparar a bebida i . O parâmetro

b_ij

é o máximo entre o tempo de troca da linha e o tempo necessário para o preparo do xarope a ser envasado. Este pré-processamento dos dados de tempos de troca garante a sincronia entre os estágios, pois sempre o maior tempo é considerado evitando que a linha (ou o tanque) comece a envasar (ou enviar xarope) antes que o outro estágio esteja pronto. O modelo P2EMM-R1 é dado a seguir:

(16)

J

1 t 1 1 ,

Z= ( ) ( ( ))

t m m m

T M

j jt j jt ij mijs jj mjjs mjs

j m s S i j i j j

Min h I g I c z c z v

α α α

+ −

= = = ∈ ∈ ∈ ≠ ∈

+ + + −

∑∑ ∑∑ ∑ ∑ ∑

Sujeito a:

(17) I

⁺_j(t−1)

+ I

⁻_jt

+ ∑∑ = + + ,

∈ _j ∈_t

m s S

II

x

mjs λ

+

I

jt

I

⁻_j(t−1)

d

_jt

j = 1,..., , J t = 1 ,..., T ; (18) x

_mjs

≤ UB

_mj

( y

_mjs

− v

_mjs

), m = 1,..., M , j ∈ α

_m

s = 1,..., N ; (19) x

_mjs

≥ q

_mj

( y

_mjs

− v

_mjs

) , m = 1,..., M , j ∈ α

_m

s = 1,..., N ;

(20) ( ( )

m t t m m m

mj mjs ij mijs jj mjjs mjs mt

j s S s S i j j

j i

a x b z b z v K

α α α α

∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈

≠

+ + − ≤

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ^{) , m = 1,..., M , t = 1,..., ; T}

(21) ∑ = 1 ,

∈ _m j

II

y

mjs α

1,..., , 1,..., ; m = M s = N

(22) v

_mjs

≤ v

_{mj s( +1)}

m = 1,..., M , j ∈ α

_m

t = 1,..., , T s ∈ S

t

^/ { } L

t

^;

(23) z

_mjjs

≥ v

_mjs

, m = 1,..., M , j ∈ α

_m

s = 1,..., N ; (24) z

_mijs

≥ y

_{mi s( −1)}

+ y

_mjs

-1, m = 1,..., M , i , j ∈ α

_m

, s = 1,..., N ; (25) 1,

m m

mijs

i j

z

α α

∈ ∈

∑ ∑ ^{≤ m = 1,..., M , s = 1,..., N ;}

(26) I

⁺_jt

, I

⁻_jt

≥ 0 ; x

_mjs

, z

_mijs

≥ 0 ; v

_mjs

, y

_mjs

= 0 / 1 , m = 1 ,..., M , i e j ∈ α

_m

t = 1,..., T , s ∈ S

_t

. A função objetivo (16) minimiza os custos de estoque, atraso e troca. A restrição (17) é a restrição de balanceamento de estoque. As restrições (18) e (19) definem os lotes mínimos e máximos de produção da linha. Se não há produção no sub-período o lote é nulo, porém pela restrição (21) para algum item j a variável de set up é 1, o que implica que a variável deve assumir valor 1 para que o termo ( seja nulo. O mesmo ocorrerá com o termo

que será nulo evitando a contabilização do tempo de troca na restrição de capacidade (20) e fazendo com que o custo de troca na função objetivo neste sub-período ocioso também seja nulo. A restrição (22) faz com que os sub-períodos ociosos ocorram no fim do período e que a linha sempre esteja preparada para um mesmo item. Esta restrição combinada com a restrição (23) garante que a linha é mantida preparada com o último item produzido. Note que nos sub- períodos ociosos a variável de setup assume valor 1 exatamente para o item j relacionado a variável de troca , pois é permitida apenas uma troca por sub-período (restrição (25)), então o único item j que satisfará as restrições (21) e (24) é o item j da troca . As restrições (24), (25) e (26) são similares às restrições (13), (14) e (15), respectivamente.

y

mjs

v

_mjt

) )

mjs mjs

y − v ( z

_mjjs

− v

_mjs

y

mjs

z

mjjs

z

mjjs

O modelo P2EMM-R1 possui 10 restrições, 6 conjuntos de restrições a menos que o modelo P2EMM. Apesar do conjunto de variáveis ter sido incluído, o número total de variáveis em geral é menor, uma vez que as variáveis de set up e troca do estágio I foram removidas.

v

mjt

5. Experimentos Computacionais

Para comparar o desempenho do modelo P2EMM-R1 com o modelo P2EMM e a estratégia ER foram utilizados 14 exemplares baseados em dados reais de uma empresa de bebidas, envolvendo, porém um número menor de itens e linhas de envase (exemplares relativamente pequenos). A motivação para esta simplificação é comparar as soluções ótimas dos modelos. Resulta-se que em exemplares realistas é difícil encontrar soluções ótimas com estes modelos em tempos aceitáveis. Estes exemplares possuem 2 linhas de envase, para 4 bebidas, com 2 xaropes diferentes. A programação é para 3 períodos que possuem 6 sub-períodos em cada período. As sete últimas instâncias são baseadas nas sete primeiras instâncias, mas a capacidade das linhas foi reduzida. O número de variáveis e restrições de cada modelo é dado na Tabela 1.

Os modelos foram implementados na linguagem de modelagem AMPL 100 (Fourer et al., 1993)

e resolvidos pelo sistema de otimização CPLEX versão 9.0 (ILOG, 2006).

Tabela 1. Número total de variáveis e restrições dos modelos propostos.

Modelo Variáveis Var. Binárias Restrições

P2EMM 1140 216 1184

P1EMM 888 144 775

P2EMM-R1 1032 288 936

Pela Tabela 1 é possível observar que o número total de variáveis e restrições do modelo P2EMM-R1 é menor que do modelo P2EMM, embora o número de variáveis binárias seja maior.

O modelo P1EMM possui os menores números totais de variáveis e restrições, porém nos testes é visto que esta estratégia não conseguiu obter os valores ótimos das instâncias resolvidas.

A Tabela 2 a seguir apresenta o valor das soluções obtidas. Nos modelos P2EMM e P2EMM-R1 foram obtidas as soluções ótimas para todos os exemplares. A Tabela 3 apresenta o tempo para obtenção das soluções, os valores em negrito são os menores tempos obtidos de cada exemplar.

Tabela 2: Soluções obtidas. Tabela 3: Tempos de solução.

*n.i.f. não obteve solução inteira factível.

Instância P2SMM ER P2SMM_R1 1 257,70 366,03 257,70 2 264,33 492,70 264,33 3 275,28 416,03 275,30 4 278,20 439,80 278,20 5 260,90 335,78 260,90 6 271,00 394,20 271,00 7 215,30 450,75 215,30 8 257,70 n.i.f. 257,70 9 264,30 n.i.f. 264,33 10 345,38 n.i.f. 345,38 11 336,03 n.i.f. 336,03 12 272,46 n.i.f. 272,46 13 354,37 n.i.f. 354,37 14 215,28 n.i.f. 215,28

P2SMM ER P2SMM_R1

1 1692,63 3,00 207,15

2 2564,98 2,50 199,92

3 492,59 6,00 117,30

4 1294,26 5,70 150,30

5 4309,90 5,50 126,10

6 4695,65 6,00 109,40

7 3361,38 3,00 60,70

8 146,50 n.i.f. 430,30 9 571,40 n.i.f. 137,50

10 91,50 n.i.f. 157,20

11 741,50 n.i.f. 423,40 12 218,50 n.i.f. 250,90

13 575,50 n.i.f. 82,70

14 72,50 n.i.f. 67,90

A Tabela 3 mostra que apesar do número de variáveis binárias do modelo P2SMM-R1 ser maior, ele obteve as soluções ótimas com tempos muito inferiores aos do modelo P2SMM.

Nos 7 primeiros exemplares que possuem capacidade de produção folgada o modelo P2SMM- R1 obteve soluções com tempos de até 4586,25 segundos a menos que o modelo P2SMM. Nos 7 últimos exemplares, onde a capacidade é restrita, embora as diferenças de tempos sejam menores, o modelo P2SMM-R1 continua sendo melhor, tendo obtido os menores tempos em 4 dos 7 exemplares.

Pela Tabela 2 é possível observar que a estratégia ER não consegue encontrar a solução

ótima dos exemplares, pois fixa variáveis na solução do modelo P1EMM. Para as sete últimas

instâncias que possuem capacidade restrita, esta estratégia não encontra soluções inteiras

factíveis.

6. Conclusões e perspectivas futuras

Neste trabalho foi apresentada uma reformulação do modelo P2EMM de Ferreira et al.

(2009a), em que um problema de programação de bebidas dois estágios com sincronia foi modelado como um problema um estágio. O número total de variáveis e restrições do modelo nos exemplos testados é reduzido, e estes testes preliminares mostram que o desempenho do modelo em geral é superior ao do modelo P2EMM.

Como perspectiva futura pretende-se testar instâncias de diferentes dimensões, incluindo exemplares realistas de empresas, para os quais é difícil obter soluções ótimas em tempos aceitáveis. Também se pretende realizar testes comparando este modelo a um algoritmo genético implementado em outro trabalho apresentado neste evento.

Agradecimentos: Os autores agradecem à FAPESP (processo 2008/05372-5) pelo apoio financeiro.

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