Econometria Parte II - 2018-2.pptx

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Econometria Parte II

Introdução à Regressão Linear

Métodos Quantitativos Aplicados à

Contabilidade (MQAC)

Premissas

• Voltamos às premissas da regressão linear simples para uma análise mais detalhada.

3 Premissas da Regressão Linear

•  

Os resíduos têm média zero

A variância dos resíduos é constante e finita

Os resíduos são estatisticamente

Exemplo (exercício nº 2)

• _{Regressão com intercepto}

• _{Regressão sem intercepto}

• ;

• _{Conclusão: , logo E(ût)  0 violação da premissa nº 1.}

Exemplo (exercício nº 2)

• Beta sem intercepto – minimização em relação a : •

• 

• Portanto, no exercício 2, sem intercepto: •  

Exemplo (exercício nº 2)

• Gráfico com intercepto x sem intercepto

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0

0.5 1 1.5 2 2.5

f(x) = 0.7 x f(x) = 0.5 x + 0.5

Exemplo (exercício nº 2)

•

_{A omissão do intercepto causou um viés (}

_v

_{) na}

inclinação (

:

•

_Conclusão:

1. A omissão do intercepto pode provocar a violação da premissa nº 1, o que causará um viés em , a menos que , o que só ocorrerá por mera

coincidência.

2. Portanto, nunca se deve omitir o intercepto em uma regressão, mesmo quando ele não for

significativamente diferente de zero! •  

Coeficiente de determinação: R

• A qualidade ou poder explicativo de uma regressão é medido pelo coeficiente de determinação (R2) da

regressão:

• Na formula do R2, o numerador da fração indica quanto da variável dependente não pode ser explicada (resíduos),

portanto a fração indica a relação entre o que não pode ser explicado pelo máximo que pode ser explicado.

• Assim, o R2 determina a relação entre o que pode ser explicado e o máximo que pode ser explicado.

Coeficiente de determinação: R

-

Exemplo

• No exercício 2, temos:

R2 = 0.5833

• _{Isso pode ser interpretado como: a regressão explica} 58.33% das variações na variável dependente.

• _{A regressão não consegue explicar 1 – 58.33% =} 41.67% das variações na variável dependente.

•  

Coeficiente de determinação: R

-

Exemplo

1) Se a regressão fosse perfeita, isto é, todos os pontos situados na reta, os resíduos seriam todos iguais a zero  R2 = 1

2) Se a regressão não indica nenhuma tendência linear, isto é, os pontos formam uma nuvem totalmente aleatória, então R2 = 0

3) Regressões com R2 elevado são boas e as com R2 próximos de zero são

ruins.

4) Entretanto, cuidado!! Regressões com R2 muito elevados (próximos de

1) são fortemente suspeitas de serem regressões espúrias.

5) Para raciocinar: o que acontece se os pontos estiverem situados na reta, mas a reta tem inclinação zero?

Premissa nº 2: Homoscedasticidade

dos resíduos

• Interpretação: a variância dos resíduos é constante e finita  os resíduos são homoscedásticos. Se houver violação, isto é, então os resíduos são

heteroscedásticos.

• _{Consequências: os estimadores de OLS deixam de ser} BLUE, pois a suas variâncias não serão mínimas.

•  

Premissa nº 2: Homoscedasticidade

dos resíduos

• Teste de White: é o teste mais popular para homoscedasticidade dos resíduos.

• _{Procedimento:}

1. Rodar a regressão e salvar os resíduos û_t 2. Rodar a regressão auxiliar:

3. e obter o seu R2

4. A estatística teste W = TxR2 tem distribuição Qui-quadrado _2

com nº de graus de liberdade m = nº de parâmetros exceto o intercepto, m = 2.

5. A distribuição 2 só permite teste unicaudal, pois ela é

assimétrica.

Exemplo: exercício 2 - teste de

White

• _H0:  homoscedasticidade

• _H1:  heteroscedasticidade

• Regressão auxiliar:

R2 = 0.6785; T = 5

TxR2 = 3.3928

Valor crítico (5%, m = 2) = 5.991

Como corrigir o problema de

heteroscedasticidade

• Quando há heteroscedasticidade, os erros-padrão dos coeficientes são viesados para cima, podendo gerar erros de inferência.

• Para corrigir o problema, pode-se utilizar o estimador de White, que gera erros-padrão robustos em caso de

heteroscedasticidade, mas isso não será visto nesse curso.

• _{Pode-se usar o estimador de Newey-West, que também} gera erros-padrão robustos em caso de

Premissa nº 3: ausência de

autocorrelação

• _{As covariâncias entre diferentes resíduos de uma}

regressão são iguais a zero, ou seja, todos os resíduos de uma regressão são independentes entre si.

• _{Consequências da violação: as variâncias dos}

coeficientes (e seus erros-padrão) não serão mínimas, isto é os erros-padrão estarão viesados para cima e as estatísticas t estarão viesadas para baixo. Então, os

estimadores não serão BLUE.

• Possivelmente, ocorrerão erros de inferência. •  

Premissa nº 3: ausência de

autocorrelação – Como testar?

• O teste mais simples para autocorrelação é o teste de Durbin-Watson, cuja fórmula é:

• _{A especificação do teste é H0: não há autocorrelação x} H1: há autocorrelação.

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O teste de Durbin-Watson: Interpretação dos resultados

Rejeita H0 Autocorrela ção

positiva

Inconclusi

vo Não rejeita H0:Não há evidência de AC

Inconclusi

Durbin-Watson test exercise

• An OLS regression produced regression residuals given by:

• _{Calculate the DW statistic and perform the Durbin-Watson test. For a}

significance level of 5%, T = 5 and 2 parameters excluding the constant

term use dL = 0.467 and dU = 1.896.

• _{What is the test result at the 5% level?}

• Solution: DW= 1.6; dL=0.467; dU=1.896; 4–dL=3.531; 4–dU=2.103.

• _{The test is inconclusive..}

1 2 2 3 3

t t t

y _{   } x _ x _u

( 2.2 0.5 0.5 1.5 0.7)'

Exercício:

Como corrigir a estimação quando

há AC?

• Quando há AC, os erros-padrão são viesados para cima, podendo gerar erros de inferência.

• _{Se o teste de DW revela indícios de AC, o que fazer para} corrigir o problema?

1. Método de Cochrane-Orcutt (não será abordado)

O estimador de Newey-West

• Esse estimador gera erros-padrão robustos quando há heteroscedasticidade e/ou autocorrelação dos resíduos. • _{Foi desenvolvido por Whitney K. Newey and Kenneth D.}

West em 1987.

• _{Referência: A Simple, Positive Semi-Definite,}

Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent Covariance Matrix, Econometrica, vol. 55, no. 3.

https://core.ac.uk/download/pdf/6894872.pdf

O estimador de Newey-West

• _{Estime a regressão desejada e obtenha ût e os erros-padrão} • _{Estime uma regressão auxiliar de xt em função de apenas}

um intercepto e obtenha os resíduos dessa regressão • Calcule os valores

• _Calcule • Calcule

• _{O fator de correção deve ser incluído em amostras} pequenas.

Exercício: teste de autocorrelação, teste de

heteroscedasticidade, estimador de NW

• Dada uma regressão, verificar a presença de heteroscedasticidade e/ou autocorrelação

• _{Caso exista AC ou HEC}

• Suponhamos a seguinte regressão:

Exercício (cont.)

•

_{Teste de White (a 25%):}

•

_{Regressão auxiliar:}

• _R2 = 0.82

• _{T = 5}

• _{Est. Teste =5*0.82 = 4.10}

• _{Valor crítico} 2 a 25% = 2.773

• _{Resultado: rejeita-se H0}  há evidências de heteroscedasticidade

Exercício (cont.)

• Teste de DW:

• _{Resultado: não se rejeita H0}  não há evidências de AC

Exercício (cont.): não há evidências

de AC, mas sim de HEC (10%)



Estimador de NW

Premissa nº 4:

cov

(

u

,

x

) = 0

• _{A covariância entre os resíduos e a variável explanatória é zero, ou}

seja, os resíduos e a variável explanatória são independentes entre si.

• _{Outra forma: a variável independente xt é não estocástica.} • _{Outra forma: a variável independente xt é exógena.}

• Obs.:

• variáveis endógenas são geradas dentro do sistema (exemplo: lucros, PL, ativo circulante, exigível de LP, ou seja, contas patrimoniais de balanço, DRE, etc)

• variáveis exógenas são geradas fora do sistema (exemplo: PIB, taxa de juros, taxa de câmbio, dívida pública, risco-país, ou seja, variáveis

macroeconômicas)

Premissa nº 4:

cov

(

u

,

x

) = 0 -

violação

• A violação dessa premissa provoca viés nos coeficientes da regressão, isto é, os coeficientes estarão errados em relação aos coeficientes verdadeiros e serão não BLUE. • Se a variável explanatória é endógena, ocorre um

feedback entre a variável dependente e a explanatória. É este feedback que provoca o viés.

Premissa nº 4:

cov

(

u

,

x

) = 0 – teste

e soluções possíveis

• Existe o teste de endogeneidade de Hausman, que é usado para testar se a variável independente é

endógena, mas esse teste está fora do escopo desta disciplina, pois teríamos que usar regressão múltipla, com matrizes.

• _{Mesmo que a variável independente seja endógena,} ainda é possível estimar a regressão, através de

métodos diferentes dos mínimos quadrados, tais como mínimos quadrados em 2 estágios, método dos

momentos generalizados (GMM) ou máxima

verossimilhança, que também estão além do nível desta

Premissa nº 4:

cov

(

u

,

x

) = 0 –

solução para a violação

• No âmbito desta disciplina, a solução é evitar criar um modelo em que a variável independente seja endógena. • _{Como fazer isso? Através do conhecimento prévio da}

Premissa nº 5:

u



N(0,



)

• Interpretação: os resíduos da regressão devem ter distribuição de probabilidades normal (gaussiana).

• _{Isso permite que se possa fazer inferências estatísticas,} isto é, realizar testes de hipóteses com as distribuições t-Student, F e 2. Caso contrário, não é possível fazer essas inferências.

Premissa nº 5: Teste de normalidade dos resíduos

• Um dos testes mais utilizados é o teste de normalidade de Jarque-Bera • A estatística-teste é , onde

= coeficiente de assimetria; = coeficiente de curtose

• A estatística teste tem distribuição 2 com 2 graus de liberdade.

• A especificação do teste é: H0: os resíduos têm distribuição normal x H1: os resíduos não têm distribuição normal. • Se a estatística-tese < valor crítico, não se rejeita H0; caso contrário rejeita-se H0.

 

b₁ E u3

2 3 2

 [ ]_/



 

b₂ E u

4 2 2  [ ]      2 2 2 2

1 3 _{~ 2}

6 24

b b

W T     

 

Exemplo do teste de Jarque-Bera

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O que fazer se houver não-normalidade dos resíduos

• Consequências de não-normalidade dos resíduos: não é possível fazer

testes de significância usando as distribuições t, F, 2

• Como corrigir:

• _{Usar variáveis dummy para eliminar outliers} • Utilizar amostras grandes

• Outliers são observações atípicas com pontos muito afastados da reta, ou seja, resíduos muito grandes (positivos ou negativos)

• Variáveis dummy são variáveis que assumem valor de 1 no ponto onde

Usando

dummies

para eliminar

outliers

:

. . .

• O gráfico mostra 2 outliers

• A tabela à direita mostra a construção das variáveis dummy 1 e 2 com o valor de 1 nas datas dos

outliers 1 e 2, respectivamente, e zero nas demais datas.

• A equação de regressão ficaria:

•   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Outlier 2 Outlier 1

Usando

dummies

para eliminar

outliers

:

• _{As variáveis dummy 1 e 2 irão eliminar os outliers 1 e 2,}

respectivamente e, se forem esses outliers os responsáveis pela não normalidade dos resíduos, a distribuição dos mesmos deverá tornar-se normal (é necessário testar novamente com o Bera-Jarque após rodar a nova regressão)

• Se houver mais do que 2 ou 3 outliers significativos, é melhor não fazer nada, pois é possível que o modelo seja ruim e não esteja

explicando satisfatoriamente os dados

Regressões espúrias

• Regressões espúrias são regressões sem sentido, pois ocorre quando não há relação entre a variável dependente e a independente.

• Por mero acaso estatístico, essas regressões podem gerar R2 muito

elevado, próximo de 1.

• Com base em simulações, Granger e Newbold fizeram um trabalho que permitiu criar uma regra prática para descartar regressões

espúrias.

• Regra de Granger e Newbold: numa regressão, se R2 > DW, há fortes

indícios de regressão espúria.

• Ref.: C.W.J. Granger and P. Newbold. Spurious Regressions in Econometrics. Journal of Econometrics 2 (1974) 111-120.

https://wolfweb.unr.edu/~zal/STAT758/Granger_Newbold_1974.pdf

Regressões espúrias

Regressões espúrias

Regressões espúrias: como corrigir

• Para corrigir regressões espúrias, é necessário aplicar o operador de 1ª diferença nas duas variáveis da

regressão, y e x.

• Operador de 1ª diferença: e

• _{Portanto, a regressão transforma-se em}

• _{Geralmente, essa transformação elimina o problema de} regressão espúria.

•  

Exemplo de correção de regressão