Universidade do Algarve
Faculdade de Ciências e Tecnologia
A COMUNICAÇÃO ESCRITA NA AULA DE
MATEMÁTICA COM TECNOLOGIAS
Maria Manuela Amorim Teixeira
Dissertação apresentada para obtenção do grau de
Mestre em Didática e Inovação no Ensino das Ciências
Área de Especialização de Matemática
Orientadora: Professora Doutora Nélia Maria Pontes Amado
Faro
Resumo
Este estudo visa conhecer a forma como os alunos comunicam matematicamente, por escrito, quando recorrem às tecnologias na aula de matemática. Em particular, procura conhecer o tipo de representações escritas que são utilizadas pelos alunos quando recorrem às tecnologias. Foram definidas três questões: i) Como é que as tecnologias influenciam e facilitam o desenvolvimento da comunicação escrita na aula de matemática? ii) De que forma os alunos utilizam as tecnologias ao serviço da comunicação matemática? e iii) Será uma das ferramentas tecnológicas, calculadora gráfica ou computador, mais potenciadora da comunicação escrita do que a outra?
O quadro teórico aborda dois temas essenciais para o desenvolvimento deste estudo: a comunicação matemática e a utilização das tecnologias em sala de aula.
A intervenção pedagógica desenvolve-se nas aulas de Matemática A de uma turma do 10.º ano. Foram propostas cinco tarefas e solicitado um relatório final ou uma composição. Na exploração de duas tarefas, os alunos recorreram à calculadora gráfica, em outras duas recorreram ao software matemático Geogebra e na última tarefa foi dada oportunidade aos alunos para escolherem entre a calculadora e/ou o computador.
Neste estudo adotei uma abordagem qualitativa e interpretativa, centrada na análise de dados recolhidos através de observação participante, um questionário aplicado a toda a turma, entrevistas a alguns alunos e documentos produzidos durante as várias sessões.
Os resultados mostram que todos os alunos envolvidos neste estudo privilegiam a representação gráfica como veículo de comunicação matemática. A abordagem gráfica das funções parece ajudar os alunos a compreender os problemas de modo mais claro. Os alunos recorrem às tecnologias para obterem uma primeira representação gráfica da função envolvida. As representações iniciais vão evoluindo, o que mostra uma evolução na comunicação dos raciocínios por parte dos alunos e na compreensão da situação apresentada bem como dos conceitos abrangidos pela tarefa.
Palavras-chave: Comunicação matemática; tecnologias; representações matemáticas;
Abstract
This study intends to know how students communicate mathematically, by writing, when they use technologies in mathematics classes. Particularly, it intends to know the type of written representations that students make use of when they work with technologies. Three research questions were formulated: i) How do technologies influence and facilitate the development of written communication in mathematics classes? ii) How do students use technologies for the purpose of mathematical communication? iii) Comparing the graphing calculator with the computer, is it possible to say if one of the tools tends to stimulate the written communication more than the other?
The theoretical framework that guided the overall development of the study involves two main issues: mathematical communication and the use of technologies in the mathematics classroom.
A teaching experiment was developed with a 10th grade class of students taking the subject of Mathematics A. During the intervention five tasks were proposed and a either a final report or a written essay was requested. Students were asked to use the graphing calculator in two of the tasks and to use the Geogebra mathematical software in two other tasks; in the last task the students were given the opportunity to choose which technological tool they wanted to complete it: the graphing calculator, the Geogebra or both.
This study followed a qualitative and interpretative approach, by means of which I (the researcher) analysed the empirical data collected through participant observation, a questionnaire applied to all the students, interviews to some of the students and the documents produced throughout the several sessions.
The results show that all students involved in this study gave special attention to the graphical representation as a means of engaging in written mathematical communication. The graphical approach seems to have helped students in understanding the tasks in a clearer way. Students usually used technologies to obtain a first graphical representation of the function involved in the task. Students’ initial representations have developed and evolved, revealing how their mathematical communication about their thinking on the given tasks and about the underpinning concepts was improving.
Key words: Mathematical communication, technologies, mathematical representations,
Agradecimentos
À Professora Doutora Nélia Amado, minha orientadora, pelo apoio e incentivo dados.
À Professora Doutora Susana Carreira por estar sempre presente. Ao professor e alunos participantes do estudo.
À minha família.
Índice
CAPÍTULO 1. Das motivações pessoais ao objetivo do estudo e às questões de
investigação…….. ... 1
1.1. Motivações pessoais ... 3
1.2. O problema e as questões do estudo ... 4
1.3. A pertinência do estudo ... 5
CAPÍTULO 2. Enquadramento teórico... 13
2.1. A comunicação matemática ... 15
2.1.1. A comunicação matemática no ensino: breve retrospectiva... 15
2.1.2.A comunicação escrita na Educação Matemática ... 28
Tarefas matemáticas ... 31
Representações na Matemática Escolar ... 36
Representações e funções ... 42
O papel da visualização ... 45
2.2. As tecnologias no ensino e aprendizagem da matemática ... 47
2.2.1. A tecnologia no currículo de Matemática do Ensino Básico e Secundário ... 47
Calculadora Gráfica e Computador ... 49
CAPÍTULO 3. Metodologia ... 57
3.1. Justificação da metodologia ... 59
3.2. A intervenção pedagógica ... 60
3.3. Os participantes ... 65
3.4. Recolha e análise dos dados ... 67
3.4.1. Os instrumentos de recolha de dados ... 67
Observação... 67
Questionário ... 69
Entrevista ... 70
Recolha documental ... 71
Conjugação dos diversos instrumentos ... 72
CAPÍTULO 4. Apresentação e análise dos dados ... 75
4.1. Laboratório ... 77
4.1.1. Apresentação e implementação da tarefa ... 77
4.1.2. A atividade dos alunos ... 78
4.2. À procura do vértice de uma função quadrática ... 85
4.2.1. Apresentação e implementação da tarefa ... 85
4.2.2. A atividade dos alunos ... 86
4.3. Aeromodelismo ... 98
4.3.1. Apresentação e implementação da tarefa ... 98
4.3.2. A atividade dos alunos ... 99
4.4. Um estudo sobre pontos notáveis das funções polinomiais ... 105
4.4.1. Apresentação e implementação da tarefa ... 105
4.4.2. A atividade dos alunos ... 106
4.5. Praga de escaravelhos ... 114
4.5.1. Apresentação e implementação da tarefa ... 114
4.5.2. A atividade dos alunos ... 115
4.6. Opinião dos alunos acerca do trabalho desenvolvido ... 121
CAPÍTULO 5. Considerações finais... 125
5.1. Síntese do estudo ... 127 5.2. Conclusões do estudo ... 128 5.3. Limitações do estudo ... 135 5.4. Recomendações ... 136 Referências bibliográficas ... 139 ANEXOS………….. ... 151
Índice de quadros
Quadro 1 – Objetivos do Plano Tecnológico da Educação ... 5 Quadro 2 – Importância relativa das finalidades ... 20 Quadro 3 – Objetivos no Ensino Básico e Secundário ... 21 Quadro 4 – Importância relativa dos objetivos gerais dada por professores dos 2.º e 3.º ciclos ... 22 Quadro 5 – Importância relativa dos objetivos gerais dada por professores do ensino secundário ... 22 Quadro 6 – Utilidade, vantagens e desvantagens das representações ... 39 Quadro 7– Conteúdos, tecnologia utilizada e produto final analisado de cada tarefa .... 64 Quadro 8 – Contributo dos instrumentos de recolha de dados nas respostas às questões ... 72
Índice de figuras
Figura 1 – Desenvolvimento da cognição matemática mediante a escrit ... 31
Figura 2 – Diferentes tipos de tarefas, consoante o seu grau de desafio e de estrutura .. 32
Figura 3 – Diferentes tipos de tarefas, quanto à duração ... 33
Figura 4 – Diferentes tipos de tarefas, quanto ao contexto ... 33
Figura 5 – As cinco representações e as suas conexões ... 40
Figura 6 – Modelo de análise das representações na resolução de problemas ... 42
Figura 7 – Equivalência entre as diferentes representações ... 43
Figura 8 – Janela de visualização do aluno 1 ... 78
Figura 9 – Janela de visualização do aluno 19 ... 79
Figura 10 – Composição do aluno 1 ... 80
Figura 11 – Composição do aluno 4 ... 81
Figura 12 – Página Moodle da disciplina de Matemática da turma participante ... 82
Figura 13 – Composição do aluno 11 ... 82
Figura 14 – Excerto de uma resposta de um aluno ao inquérito... 83
Figura 15 – Composição do aluno 8 ... 83
Figura 16 – Composição do aluno 17 ... 84
Figura 17 – Excerto de uma resposta de um aluno ao inquérito... 84
Figura 18 – Excerto de uma resposta de um aluno ao inquérito... 85
Figura 19 – Excerto de uma resposta de um aluno ao inquérito... 85
Figura 20 – Excerto de uma resposta de um aluno ao inquérito... 88
Figura 21 – Excerto de uma resposta de um aluno ao inquérito... 88
Figura 22 – Relatório dos alunos 8 e 10 ... 89
Figura 23 – Relatório do aluno 22 ... 90
Figura 24 – Relatório do aluno 26 ... 91
Figura 25 – Introdução do aluno 12 ... 92
Figura 26 – Introdução do aluno 1 ... 92
Figura 27 – Desenvolvimento do aluno 1 ... 93
Figura 28 – Desenvolvimento dos alunos 7 e 20 ... 94
Figura 29 – Excerto do desenvolvimento do aluno 4 ... 95
Figura 30 – Excerto do desenvolvimento do aluno 12 ... 95
Figura 32 – Conclusão do aluno 4 ... 96
Figura 33 – Excerto da conclusão do aluno 1... 97
Figura 34 – Excerto de uma resposta de um aluno ao inquérito... 97
Figura 35 – Excerto de uma resposta de um aluno ao inquérito... 97
Figura 36 – Composição dos alunos 10 e 25 ... 100
Figura 37 – Composição dos alunos 5, 14 e 23 ... 100
Figura 38 – Composição do aluno 1 ... 101
Figura 39 – Composição dos alunos 8 e 15 ... 102
Figura 40 – Composição do aluno 20 ... 103
Figura 41 – Excerto de uma resposta de um aluno ao inquérito... 104
Figura 42 – Excerto de uma resposta de um aluno ao inquérito... 104
Figura 43 – Excerto de uma resposta de um aluno ao inquérito... 104
Figura 44 – Introdução do aluno 20 ... 107
Figura 45 – Introdução do aluno 4 ... 107
Figura 46 – Excerto do desenvolvimento do aluno 12 ... 108
Figura 47 – Excerto do desenvolvimento dos alunos 1 e 13 ... 108
Figura 48 – Excerto do desenvolvimento do aluno 22 ... 109
Figura 49 – Excerto do desenvolvimento do aluno 20 ... 110
Figura 50 – Excerto do desenvolvimento dos alunos 4 e 7 ... 110
Figura 51 – Excerto da conclusão do aluno 1... 110
Figura 52 – Conclusão do aluno 22 ... 111
Figura 53 – Conclusão do aluno 20 ... 111
Figura 54 – Excerto da conclusão do aluno 1... 112
Figura 55 – Excerto da conclusão do aluno 4... 112
Figura 56 – Excerto da conclusão do aluno 4... 113
Figura 57 – Excerto de uma resposta de um aluno ao inquérito... 113
Figura 58 – Excerto da conclusão do aluno 4... 113
Figura 59 – Excerto da conclusão do aluno 1... 114
Figura 60 – Excerto de uma resposta de um aluno ao inquérito... 115
Figura 61 – Excerto de uma resposta de um aluno ao inquérito... 115
Figura 62 – Composição do aluno 6 ... 116
Figura 64 – Composição do aluno 20 ... 117
Figura 65 – Composição do aluno 4 ... 117
Figura 67 – Composição do aluno 15 ... 119 Figura 68 – Composição do aluno 1 ... 120 Figura 69 – Excerto da composição do aluno 21 ... 120
Índice de fotografias
Fotografia 1. Sala de aula onde decorreram as atividades com calculadora gráfica ... 61
Fotografia 2. Sala de aula onde decorreram as atividades com computador ... 62
Fotografia 3. Projecção do guião para a elaboração de um relatório ... 86
Fotografia 4 – Elaboração de uma composição, de um grupo de trabalho ... 98
CAPÍTULO 1
Das motivações pessoais ao
objetivo do estudo e às questões
Neste capítulo começo por apresentar as minhas motivações para a realização deste estudo, o problema e as questões que irão orientar a investigação. Apresento ainda a pertinência do estudo.
1.1. Motivações pessoais
O desejo de não parar, de querer fazer mais e melhor, levou-me desde 2002, data em que concluí a licenciatura em Ensino da Matemática, a continuar a procurar um enriquecimento da minha formação.
Com a perspetiva de não conseguir um lugar como professora de Matemática, decidi continuar a estudar, desta vez, a concluir a licenciatura em Informática de Gestão, visando a lecionação na área da Informática, área que também me agradou desde sempre. No entanto, nunca cheguei a lecionar disciplinas na área da Informática, uma vez que em 2006 consegui o tão desejado lugar no Quadro de Zona do Baixo Alentejo e Alentejo Litoral. Os conhecimentos que adquiri no domínio da Informática não foram desperdiçados, uma vez que foram sempre colocados ao serviço do ensino, em particular, do processo de ensino/aprendizagem da Matemática.
Em 2008, mais uma vez, continuando o meu desejo e vontade de aprofundar os meus conhecimentos, optei por me inscrever no mestrado em Didática e Inovação no Ensino das Ciências (especialização de Matemática). Procurei com este novo desafio encontrar algumas respostas para os problemas e as dúvidas que nos assolam no dia-a-dia na sala de aula. Neste curso contactei com novas realidades e metodologias que me fizeram repensar a minha visão sobre a Matemática e o ensino/aprendizagem desta disciplina. Ao refletir sobre as minhas práticas fui ganhando consciência de aspetos que não valorizava devidamente. Um dos temas que foi despertando o meu interesse e o desejo de aprofundar foi o da comunicação matemática.
Uma dificuldade que encontro nos alunos é a de comunicar as suas ideias e raciocínios, tanto oralmente, como por escrito, pois esta capacidade exige a organização e clarificação do próprio pensamento (Boavida, Paiva, Cebola, Vale & Pimentel, 2008). Segundo Almiro (2008), este tema também não é fácil para os professores, o que naturalmente se reflete nos alunos. Este autor considera que uma das razões para esta dificuldade tem origem na formação inicial.
No entanto, a importância da comunicação matemática é cada vez maior. Assim, o desenvolvimento da capacidade de comunicar é apresentado como uma das finalidades para o ensino da Matemática no Ensino Secundário (Silva, Fonseca, Martins, Fonseca & Lopes, 2001, p. 3). Em Portugal, desde a realização do Seminário de Vila Nova de Milfontes, em 1988, que se defende a necessidade de desenvolver esta capacidade. Em 2000, os Princípios e Normas para a Matemática Escolar vêm fortalecer a importância da comunicação matemática em todos os níveis de ensino. Finalmente, em 2001, a comunicação matemática surge explicitamente nos Programas de Matemática para o Ensino Secundário e, em 2007, no novo Programa de Matemática para o Ensino Básico.
Nos últimos anos, as provas de aferição do Ensino Básico, os exames finais de ciclo do Ensino Básico e os do Ensino Secundário apelam, cada vez mais, a questões que exigem a organização e clarificação do próprio pensamento.
1.2. O problema e as questões do estudo
Procurando desenvolver esta capacidade transversal nos alunos e beneficiando das potencialidades das tecnologias surge, como objeto deste estudo, a comunicação escrita na aula de matemática.
A opção pela comunicação escrita prende-se com o facto de esta tornar mais visível o pensamento do que a comunicação oral, exigindo maior reflexão (Almiro, 2008). O ato de escrever obriga a refletir e a clarificar pensamentos sobre as ideias desenvolvidas, exigindo uma maior precisão na expressão dos raciocínios (Almiro, 2008; Boavida et al., 2008). Também Sá e Zenhas (2004) defendem que escrever textos, com vocabulário matemático, ajuda a clarificar os conceitos estudados.
Assim, surge como questão principal deste estudo conhecer a forma como os alunos comunicam matematicamente por escrito, quando recorrem às tecnologias na aula de Matemática. Em particular, pretende-se conhecer o tipo de representações escritas que são utilizadas pelos alunos quando recorrem às tecnologias na aula de Matemática.
Para melhor orientar o desenvolvimento desta investigação, foram formuladas as seguintes questões:
1) Como é que as tecnologias influenciam e facilitam o desenvolvimento da comunicação escrita na aula de Matemática?
2) De que forma os alunos utilizam as tecnologias ao serviço da comunicação matemática?
3) Comparando a calculadora gráfica com o computador, será possível dizer se uma das duas ferramentas tende a ser mais potenciadora da comunicação escrita do que a outra?
1.3. A pertinência do estudo
Vivemos atualmente tempos de mudança rápida e acentuada. Estas mudanças afetam, por exemplo, a forma como trabalhamos e como tomamos conhecimento do que se passa à nossa volta. As tecnologias constituem hoje um potente motor de mudança nas nossas vidas. A Escola deve acompanhar este desafio, num momento em que se criaram condições para a utilização das tecnologias na sala de aula.
Em 24 de Novembro de 2005 foi aprovado, pelo Conselho de Ministros, um documento visando a aplicação duma estratégia de crescimento e competitividade baseada no conhecimento, na tecnologia e na inovação. O Plano Tecnológico visa modernizar Portugal e, em particular, instituições como a Escola.
O Governo aprovou, em Agosto de 2007, o Plano Tecnológico da Educação (PTE). Este plano pretende reforçar as infraestruturas tecnológicas das escolas, disponibilizar conteúdos e serviços em linha e reforçar as competências TIC de alunos, docentes e não docentes.
No sítio oficial do PTE podemos encontrar os objetivos a que este Plano se propõe:
Objetivos Média UE15
(2006)
Portugal (2007)
Portugal (2010) Ligação à Internet em banda larga de alta
velocidade 6 Mbps 4 Mbps ≥ 48 Mbps
Número alunos por PC com ligação à
Internet 8,3 12,8 2
Percentagem de docentes com certificação
em TIC 25% - 90%
Este Plano Tecnológico vem ao encontro de necessidades anteriormente identificadas pelos educadores matemáticos em Portugal no tocante à importância de reforçar o equipamento tecnológico nas Escolas. Por exemplo, no relatório Matemática
2001. Diagnóstico e Recomendações para o Ensino e Aprendizagem da Matemática,
publicado pela Associação de Professores de Matemática (APM), em 1998, pode ler-se algumas das recomendações sobre as condições de trabalho a alcançar:
As escolas devem ser equipadas com recursos diversificados para o ensino-aprendizagem da Matemática (…) os grupos de Matemática devem dispor de recursos tecnológicos específicos para a sua atividade, nomeadamente calculadoras e computadores. (APM, 1998b, p. 68)
Presentemente, e em parte fruto do investimento previsto pelo Plano Tecnológico, muitas das situações identificadas no Relatório referido estão ultrapassadas em inúmeras escolas. Portanto, estão criadas neste momento condições para concretizar as recomendações curriculares atuais no domínio da integração das tecnologias na aula de Matemática no Ensino Secundário.
No Programa de Matemática do Ensino Secundário para a disciplina de Matemática A pode ler-se:
Não é possível atingir os objetivos e competências gerais deste programa sem recorrer à dimensão gráfica, e essa dimensão só é plenamente atingida quando os estudantes trabalham com uma grande quantidade e variedade de gráficos com apoio de tecnologia adequada (calculadoras gráficas e computadores). (Silva et al., 2001, p. 15)
Estes autores apresentam algumas razões para a sua utilização: facilita uma participação ativa do estudante na sua aprendizagem; as calculadoras gráficas … meios incentivadores do espírito de
pesquisa;
a calculadora gráfica dará uma contribuição positiva para a melhoria
o computador … permite atividades não só de exploração e pesquisa
como de recuperação e desenvolvimento, pelo que constitui um valioso apoio a estudantes e professores, devendo a sua utilização considerar-se obrigatória neste programa. (Silva et al., 2001, p. 16).
Uma das preocupações do Ministério da Educação ao apresentar a utilização da tecnologia como obrigatória é “…também preparar os estudantes para uma sociedade em que os meios informáticos terão um papel considerável na resolução de problemas de índole científica” (Silva et al., 2001, p. 10).
Esta obrigatoriedade surgiu, segundo Amado (2007), em 1997 e levou a que a utilização da calculadora gráfica se tornasse também obrigatória nos exames nacionais de Matemática do 12.º ano, a partir do ano letivo de 1999/2000. Como afirma esta investigadora, “era inconcebível que uma ferramenta utilizada diariamente na sala de aula fosse interdita num exame de Matemática” (Amado, 2007, p. 80).
Quesada (1999) reconhece que o ensino da Matemática e até os conteúdos matemáticos têm sofrido modificações como consequência da presença das tecnologias. As alterações vão no sentido de favorecer a conceptualização e o estudo de aplicações realistas ao mundo que nos rodeia, ao mesmo tempo que áreas tais como análise de dados, combinatória e teoria de grafos ganham maior relevo em resposta à importância e variedade dos problemas que as calculadoras gráficas permitem resolver. Como consequência, os currículos sofreram alterações em vários países.
A alusão ao uso das tecnologias na aula de Matemática encontra-se em vários documentos de referência para o ensino. No Currículo Nacional do Ensino Básico pode ler-se:
Os alunos devem, frequentemente ter a oportunidade de utilizar recursos de natureza diversa: utilização das tecnologias na aprendizagem da Matemática…. (ME, 2001, p. 71)
De entre os seis princípios para a Matemática Escolar publicados pelo National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), os quais “descrevem características de uma educação matemática de elevada qualidade” (NCTM, 2007, p. 11), salienta-se o Princípio da Tecnologia, segundo o qual:
A tecnologia é essencial no ensino e na aprendizagem da matemática; influencia a matemática que é ensinada e melhora a aprendizagem dos alunos. (NCTM, 2007, p. 11)
De acordo com o Programa de Matemática para o Ensino Básico:
A aprendizagem da Matemática inclui sempre vários recursos. …. Ao longo de todos os ciclos, os alunos devem usar calculadoras e computadores …. (Ponte et al., 2007, p. 9).
Ponte (1988) defende ainda que:
(…) o conhecimento verdadeiramente importante não se apoia na memorização de grandes quantidades de dados, mas na capacidade de utilizar eficazmente informação. Por isso, o que é essencial é saber-se procurar e selecionar a informação de que se necessita. (p. 83)
Ainda para este autor, os alunos devem usar o computador como um “consultor” nas suas investigações. Também, segundo o NCTM (2007), as tecnologias permitem aos alunos analisar mais exemplos ou formas de representação de modo a formular e explorar conjeturas mais facilmente. Outra vantagem na utilização das tecnologias é defendida por Amado e Carreira (2008) que destacam o papel da visualização:
(…) que faz atenuar a necessidade de abstração e de idealização, tornando as ideias menos herméticas e mais percetíveis. (p. 287)
Não há dúvida de que as novas tecnologias estão presentes no dia-a-dia de qualquer cidadão e, em particular, no dos nossos alunos. É comum verificar-se que alguns estudantes estão mais à frente no domínio de técnicas e de competências informáticas que alguns dos seus professores. Será desejável que os professores utilizem a tecnologia ao serviço do ensino, tentando assim cativar os alunos com algo de que eles gostam. As tecnologias podem ser um bom aliado do professor pois podem, por si só, suscitar uma reação favorável nos alunos. No entanto, não se deve cair no erro de pensar que estas resolvem todos os problemas com que um professor se depara na sala de aula.
Muitas vezes os alunos têm receio de responder erradamente às perguntas do professor, especialmente quando não se sentem à vontade num determinado assunto. O computador pode ser um aliado nesta situação pois, como afirma Ponte (1988)
A relação entre o computador e o aluno é totalmente impessoal…um erro deixa de ser um motivo de grande embaraço que é preciso evitar a todo o custo e passa a ser algo que serve para aprender. (p. 127)
Durante uma aula em que se usa tecnologia, enquanto os alunos trabalham, o professor tem oportunidade de os observar e concentrar-se nos seus raciocínios, podendo analisar os processos utilizados durante as suas investigações, bem como os resultados obtidos. A divulgação/comunicação dos dados é um momento muito importante no processo educativo pois “(…) dá unidade e consistência a toda a atividade” (Ponte, 1988, p. 99).
A relação entre a tecnologia e a comunicação é destacada nos Princípios e
Normas para a Matemática Escolar, segundo os quais “a tecnologia é um bom apoio
para a comunicação” (NCTM, 2007, p. 66). E acrescentam que “a comunicação é uma parte essencial da matemática e da educação matemática” (NCTM, 2007, p. 66) pois permite clarificar a compreensão matemática. A comunicação escrita, objeto deste estudo, “poderá ajudar os alunos a consolidar o seu pensamento, uma vez que os obriga a refletir sobre o seu trabalho e a clarificar as suas ideias acerca de noções desenvolvidas na aula. Mais tarde, poderão considerar útil a consulta dos registos dos seus próprios pensamentos” (NCTM, 2007, p. 67).
O Programa de Matemática para o Ensino Básico (Ponte et al., 2007) destaca as várias capacidades transversais ao ensino da Matemática a serem trabalhadas durante todo o Ensino Básico: a resolução de problemas; o raciocínio matemático e a comunicação matemática.
A comunicação matemática é uma outra capacidade transversal a todo o trabalho na disciplina de Matemática a que este programa dá realce. A comunicação envolve as vertentes, oral e escrita, incluindo o domínio progressivo da linguagem simbólica própria da Matemática. O aluno deve ser capaz de expressar as suas ideias, mas também de interpretar e compreender as ideias que lhe são apresentadas e de participar de forma
construtiva em discussões sobre ideias, processos e resultados matemáticos. A comunicação oral tem lugar tanto em situações de discussão na turma como no trabalho em pequenos grupos, e os registos escritos, nomeadamente no que diz respeito à elaboração de relatórios associados à realização de tarefas e de pequenos textos sobre assuntos matemáticos, promovem a comunicação escrita.(Ponte et al., 2007, p. 8)
Do mesmo modo, o programa de Matemática em vigor no Ensino Secundário realça esta capacidade transversal:
A comunicação matemática (oral ou escrita) é um meio importante para que os estudantes clarifiquem o seu pensamento, estabeleçam conexões, reflitam na sua aprendizagem, aumentem o apreço pela necessidade de precisão na linguagem, conheçam conceitos e terminologia, aprendam a ser críticos (Silva et al., 2001, p. 11).
Por outro lado, destaque-se que a comunicação matemática aparece também, neste Programa, aliada ao uso da tecnologia:
Um estudante deverá registar por escrito, com os comentários julgados adequados, as observações que fizer ao usar a calculadora gráfica, o computador ou outro material, descrevendo com cuidado as propriedades constatadas e justificando devidamente as suas conclusões relativamente aos resultados esperados (desenvolvendo-se assim tanto o espírito crítico como a capacidade de comunicação matemática). (Silva et al., 2001, p.22)
Também no Currículo Nacional do Ensino Básico – Competências Essenciais, se pode ler:
Nos diversos tipos de experiências vividas pelos alunos, devem ser considerados aspetos transversais da aprendizagem da matemática, nomeadamente: comunicação matemática… (ME, 2001, p. 70)
Para Ponte et al. (2007) a comunicação que ocorre na sala de aula de Matemática marca de forma decisiva a natureza do processo de ensino e de aprendizagem desta disciplina, permitindo a promoção de novas aprendizagens. Esta ideia parece ser partilhada por outros investigadores como Ana Boavida e Helena Martinho. A este propósito, Boavida afirma:
(…) as aprendizagens matemáticas dos alunos são função das características da comunicação e das interações em que participam no processo de aprendizagem. (Boavida, 2005, p. 98)
E Martinho defende que:
(…) aprender a comunicar matematicamente bem como aprender Matemática comunicando são perspetivas que podem ser trabalhadas na sala de aula. (Martinho, 2007, p. 35)
Em suma, tanto no plano curricular como na investigação em educação matemática, trabalhar em sala de aula a comunicação matemática aliada à utilização das tecnologias é um desafio pertinente e atual. Neste momento, é oportuno estudar qual o contributo que as ferramentas tecnológicas (computador e calculadora) podem dar ao desenvolvimento de uma capacidade transversal (comunicação matemática) ao currículo de matemática, sendo por isso útil estudar experiências concretas realizadas em sala de aula.
CAPÍTULO 2
Este capítulo encontra-se dividido em duas partes. Na primeira irei abordar a temática da comunicação matemática e na segunda a utilização das tecnologias no ensino e aprendizagem da Matemática.
2.1. A comunicação matemática
2.1.1. A comunicação matemática no ensino: breve
retrospetiva
Desde sempre que o homem comunicou. A comunicação faz parte do dia-a-dia e as formas de comunicar são tão variadas que até em silêncio se comunica. Para Fiske (1999, referido por Menezes, 2004), a comunicação é reconhecidamente uma atividade humana, que não se consegue definir com clareza.
Não é meu objetivo fazer uma abordagem exaustiva deste complexo conceito. Procurarei apenas apresentar algumas definições propostas por diversos autores para definir o conceito de comunicação.
Segundo Watzlawick et al (1967, citado em Anastácio, 2006),
A comunicação é uma condição sine qua non da vida humana e da ordem social. Desde o início da sua existência, um ser humano está envolvido no complexo processo de aquisição das regras de comunicação, apenas com uma noção mínima daquilo em que consiste esse corpo de regras, esse calculus da comunicação humana (p. 13).
Anastácio (2006), a partir de uma leitura de diversos autores, apresenta a seguinte definição para este conceito:
A comunicação humana é o processo no qual a intencionalidade é criada, dado que a natureza consequencial da comunicação é o lugar da ação, onde a consequencialidade se exprime por diversas conexões que emergem, para serem criticadas, mudadas e/ou abandonadas pelos indivíduos que ao comunicarem realizam as suas intenções (p. 21).
Martinho (2007) define comunicação “como um processo social onde os participantes interagem trocando informações e influenciando-se mutuamente” (p. 15).
No Dicionário da Língua Portuguesa da Porto Editora do ano de 2006, comunicação é entendida como:
Comunicação s.f. 1 acto ou efeito de comunicar; 2 troca de informação entre indivíduos através da fala, da escrita, de um código comum ou do próprio comportamento; 3 o facto de comunicar e de estabelecer uma relação com algo ou alguém; relação; correspondência; 4 o que se comunica; mensagem; informação; aviso; anúncio; 5 meio técnico usado para comunicar; transmissão; 6 capacidade de entendimento entre as pessoas através do diálogo; 7 passagem de um local a outro; acesso; via; órgãos de ~ social conjunto dos jornais, revistas e dos meios audiovisuais que têm como missão principal informar o público (Do lat. communicatione, «ação de participar»).
A comunicação é, por outro lado, reconhecida como essencial na Educação Matemática.
A comunicação na sala de aula é, também, uma rede complexa de interações linguísticas e não linguísticas, e é vista por muitos como um campo muito rico para o estudo das relações sociais. A importância que tem sido reconhecida às interações na sala de aula está intimamente relacionada com a importância que tem sido dada à comunicação.
(Almiro, 1997, p. 10).
Para Sá e Zenhas, (2004, p. 6,7) “os alunos que leem, escrevem e falam sobre o que estudam são os que aprendem melhor.” Esta capacidade tem vindo a assumir cada vez mais destaque nos programas de Matemática.
No entanto, a investigação sobre este tema é recente, tanto internacionalmente como em Portugal (Menezes, 2004; Nacarato & Lopes, 2009). Powell e Bairral (2006) afirmam que estudos sobre a linguagem, a escrita e interações de vários tipos têm sido objeto de investigação e reflexão há pelo menos duas décadas. Façamos então uma retrospetiva de vinte anos para analisar a importância dada a este tema.
Em Portugal, esta temática é abordada com alguma ênfase no Seminário de Milfontes, que teve lugar em 1988, e do qual foi publicado um documento intitulado
Renovação do Currículo de Matemática, onde se concluía que:
O panorama atual do ensino da Matemática nas nossas escolas é marcado por um domínio quase absoluto dos objetivos cognitivos de níveis mais baixos (memorização de factos, algoritmos e técnicas de resolução de tipos pré-estabelecidos de exercícios) (APM, 2009, p. 9).
O fundamental da aprendizagem da Matemática era “dominar” questões formais da linguagem e essencialmente técnicas destinadas a resolver exercícios-tipo, descontextualizados do mundo real. O ensino não estava “orientado para desenvolver e avaliar os processos e estratégias de raciocínio, nem as capacidades necessárias para enfrentar e resolver problemas novos, designadamente os hábitos de consultar, cooperar, comunicar, discutir, investigar ou produzir (APM, 2009, p. 9).
Os participantes neste seminário defendiam a necessidade de uma revolução na Matemática escolar, sendo “imperioso considerar como prioritários fatores que sempre foram negligenciados” (APM, 2009, p. 13).
As orientações metodológicas propunham, de entre outros aspetos, “estimular a comunicação oral e escrita, a discussão e reflexão, a troca e confronto de ideias, experiências e processos de trabalho” (APM, 2009, p. 24).
Concluíam então que a Matemática escolar renovada deveria contemplar a resolução de problemas, o desenvolvimento de modelos matemáticos, atividades de exploração, investigação ou descoberta, formulação de conjeturas, discussão e comunicação, argumentação e demonstração e construção de conceitos. Os investigadores presentes defendiam ainda que o computador e a calculadora deveriam ser utilizados como facilitadores da aprendizagem da Matemática.
Em 1991, o NCTM publica Normas Profissionais para o Ensino da Matemática, traduzido em 1994 pela APM, com o objetivo de fornecer orientações para o ensino da Matemática. Referindo vários estudos (Case & Bereit 1984; Cobb & Steffe, 1983; Davis, 1984; Hiebert, 1986; Lampert, 1986; Lesh & Landau, 1983; Schoenfeld, 1987) afirmam que a aprendizagem acontece quando os alunos apreendem ativamente nova informação e constroem os seus próprios significados. Os professores devem ser responsáveis por selecionar e elaborar atividades que “exigem dos alunos que
raciocinem e comuniquem matematicamente” (NCTM, 1998, p. 26). Consideram que “o raciocínio matemático, a resolução de problemas, a comunicação e as conexões devem ser centrais no ensino da Matemática” (NCTM, 1998, p. 21). De entre as seis normas apresentadas para o ensino da Matemática, três delas dizem respeito ao discurso ali referido como “formas de representar, pensar, falar, concordar ou discordar…” (NCTM, 1998, p. 22).
Para aperfeiçoar o discurso, o professor deve encorajar a utilização de vários instrumentos tais como:
computadores, calculadoras e outras tecnologias; materiais concretos usados como modelos; figuras, diagramas, tabelas e gráficos;
termos e símbolos inventados ou convencionados; metáforas, analogias ou histórias;
hipóteses, explicações ou argumentos escritos;
apresentações orais ou dramatizações (NCTM, 1998, p. 55).
Escrever é uma componente importante do discurso pois os alunos aprendem a usar as “ferramentas do discurso matemático” (NCTM, 1998, p. 36).
Todas estas orientações vão ao encontro do preconizado no documento
Renovação do Currículo de Matemática (APM, 2009).
Também publicado em 1991, em Portugal, o Currículo de Matemática do Ensino Básico refere a necessidade de adaptar esta disciplina a alunos heterogéneos e criar condições para a sua inserção num mundo em mudança. O ensino da Matemática passou a ter “uma dupla função: Desenvolvimento de capacidades e atitudes. Aquisição de conhecimentos e técnicas para a sua mobilização” (ME, 1991, p. 171). As finalidades da Matemática, específicas e transversais, passaram a ser:
desenvolver a capacidade de utilizar a Matemática como instrumento de interpretação e intervenção no real, promover a estruturação do indivíduo no campo do pensamento (…), desenvolver as capacidades de raciocínio e resolução de problemas, de comunicação, bem como a memória, o rigor, o espírito crítico e criatividade, facultar processos de aprender a aprender e condições que despertem o gosto pela
aprendizagem permanente, promover a realização pessoal mediante o desenvolvimento de atitudes de autonomia e cooperação (ME, 1991, p.
175).
Os objetivos gerais são definidos em termos de valores/atitudes, capacidades/aptidões e conhecimentos, e esta foi a alteração essencial relativamente aos programas anteriores. Metodologicamente propõe-se que os conceitos sejam construídos a partir da experiência de cada aluno e de situações concretas e abordados sob pontos de vista diferentes, com progressivos níveis de rigor e formalização. A resolução de problemas, o desenvolvimento do raciocínio e da comunicação, a aquisição de conhecimentos e o papel da História da Matemática devem ser situações de aprendizagem constantes numa sala de aula de Matemática. Sugere-se a utilização de materiais do quotidiano, de desenho e medição, manipuláveis, escritos, calculadoras, meios audiovisuais e informáticos.
Conforme se pode constatar, há uma aproximação entre as propostas elaboradas em 1988 (APM, 2009) e o Currículo de Matemática de 1991 (ME, 1991).
Estavam criadas as condições para uma profunda alteração no ensino e aprendizagem da Matemática. No entanto, um processo de mudança está longe de se operar de imediato.
O relatório Matemática 2001: Diagnóstico e Recomendações para o Ensino e
Aprendizagem de Matemática, publicado em 1998, apresenta uma panorâmica do
ensino da Matemática a nível nacional como suporte para elaborar um conjunto de recomendações. Segundo os autores deste relatório, muitas coisas tinham mudado nos últimos doze anos, principalmente em termos de orientações curriculares, mas esta mudança não tinha sido acompanhada na formação de professores, nem na criação nas escolas das condições que os novos programas solicitavam.
Neste relatório é apresentada uma análise às conceções e perspetivas dos professores no que diz respeito às finalidades e objetivos dos programas, aos seus conteúdos e ao sistema de avaliação. Foquemo-nos nas finalidades e objetivos dos programas.
Foi pedido aos professores que hierarquizassem, de acordo com o grau de importância que lhe atribuíam, as finalidades para o ensino da Matemática em vigor nos programas. Estas eram as seguintes:
A – Desenvolver a capacidade de utilizar a Matemática como instrumento de interpretação e de intervenção no real.
B – Promover a estruturação do indivíduo no campo do pensamento, desenvolvendo os conceitos de espaço, tempo e quantidade, ou estabelecendo relações lógicas, avaliando e hierarquizando.
C – Desenvolver as capacidades de raciocínio e resolução de problemas, de comunicação, bem como a memória, o rigor, o espírito crítico e criatividade.
D – Facultar as capacidades de aprender a aprender e condições que despertem o gosto pela aprendizagem permanente.
E – Promover a realização pessoal mediante o desenvolvimento de atitudes de autonomia e cooperação. (APM, 1998b, p. 22)
O programa do Ensino Secundário propõe três das finalidades do ensino básico (A, C e E) e acrescenta mais duas:
F – Promover o aprofundamento de uma cultura científica, técnica e humanística que constitua um suporte cognitivo e metodológico tanto para o prosseguimento de estudos como para a inserção na vida ativa. G – Contribuir para uma atitude positiva face à Ciência. (p. 22)
Foi apresentado um quadro com a informação obtida, em que é mostrada a percentagem de professores que classificou a finalidade com um dos dois valores mais elevados.
Como se pode constatar, a finalidade C é a que aparece com maior importância para os professores. No entanto, o foco de interesse deste estudo aparece aqui associado a outras finalidades.
No que concerne aos objetivos gerais dos programas, os professores foram inquiridos de forma semelhante, de modo a pontuar cada objetivo de acordo com a sua importância. Apresenta-se, de seguida, um quadro onde figuram os objetivos em vigor, no Ensino Básico e Secundário.
Quadro 3 – Objetivos no Ensino Básico e Secundário (APM, 1998b, p. 24)
As respostas dadas pelos professores constam dos quadros 4 e 5 onde se apresenta a percentagem de professores que o classifica com um dos dois valores mais elevados.
Quadro 4 – Importância relativa dos objetivos gerais dada por professores dos 2.º e 3.º ciclos (APM, 1998b, p. 25)
Quadro 5 – Importância relativa dos objetivos gerais dada por professores do ensino secundário (APM, 1998b, p. 26)
Pela observação das tabelas, verifica-se que o objetivo D – Desenvolver a capacidade de comunicação, obteve percentagens entre 28% e 34%, sendo um objetivo pouco valorizado.
As recomendações do Matemática 2001 vão no sentido de clarificar as finalidades propostas no currículo, articulando-as com os objetivos gerais, “proporcionando maior integração dos diversos domínios (conhecimentos, capacidades e atitudes e valores) e maior ênfase nos objetivos dos domínios das atitudes e valores relacionados com a Matemática”. (APM, 1998b, p. 31).
Sendo assim, as recomendações do Matemática 2001 voltavam a ter como referência “o conjunto de grandes orientações traçadas no documento ‘Renovação do Currículo de Matemática’” (APM, 1998b, p. 5).
Em 2000, o NCTM lança Princípios e Normas para a Matemática Escolar, cuja tradução foi publicada em 2007 pela APM. Este documento propõe seis princípios para a matemática escolar: equidade, currículo, ensino, aprendizagem, avaliação e tecnologia e dez normas: números e operações, álgebra, geometria, medida, análise de dados e probabilidades, resolução de problemas, raciocínio e demonstração, comunicação, conexões e representação.
Segundo as normas para a comunicação, os programas de ensino deveriam habilitar os alunos para:
organizar e consolidar o seu pensamento matemático através da
comunicação;
comunicar o seu pensamento matemático de forma coerente e clara
aos colegas, professores e outros;
analisar e avaliar as estratégias e o pensamento matemático usado
por outros;
usar a linguagem da matemática para expressar ideias matemáticas
com precisão. (NCTM, 2007, p. 66).
A comunicação é considerada “uma parte essencial da matemática e da educação matemática” (NCTM, 2007, p. 66) pois através desta “as ideias tornam-se objetos de reflexão, aperfeiçoamento, discussão e correção” (p. 66). Quando os alunos falam, escrevem, lêem e ouvem beneficiam de duas formas: “comunicam para aprender matemática e aprendem a comunicar matematicamente” (NCTM, 2007, p. 66). Especificamente sobre a comunicação escrita, esta “deverá ser encorajada” (NCTM, 2007, p. 68). Este tipo de comunicação pode ajudar os alunos a consolidar o seu pensamento pois obriga-os a reflectir sobre o seu trabalho. Como em qualquer outro tipo de escrita, a sua prática orientada é importante, assim como são “os pormenores relativos à elaboração de argumentos matemáticos, incluindo a utilização e os significados particulares da linguagem matemática, as representações e as regras de justificação e de demonstração” (NCTM, 2007, p. 68).
Um ano após o lançamento de Princípios e Normas para a Matemática Escolar, em Portugal, é publicado o Currículo Nacional do Ensino Básico – Competências
Essenciais onde são definidas dez competências gerais que o aluno deve ter
desenvolvido à saída do Ensino Básico. Estas constituem um elemento de trabalho central no processo de desenvolvimento do Currículo e devem ser operacionalizadas transversal e especificamente. O seu desenvolvimento pressupõe que todas as áreas curriculares actuem em convergência. No que diz respeito ao ensino da Matemática, apontam-se como principais finalidades
Proporcionar aos alunos um contacto com as ideias e métodos fundamentais da matemática que lhes permita apreciar o seu valor e a sua natureza e desenvolver a capacidade e confiança pessoal no uso da matemática para analisar e resolver situações problemáticas, para raciocinar e comunicar. (ME, 2001, p. 58).
Reforça-se esta ideia quando se afirma que:
A “predisposição” (para procurar regularidades ou para fazer e testar conjecturas), a “aptidão” (para comunicar ideias matemáticas ou para analisar os erros cometidos e ensaiar estratégias alternativas) ou a “tendência” (para procurar ver a estrutura abstracta subjacente a uma situação) são componentes nucleares de uma cultura matemática básica que todos devem desenvolver… (ME, 2001, p. 58).
A Matemática é vista como uma disciplina que pode dar um forte contributo para o desenvolvimento das competências gerais pois constitui uma área de saber plena de potencialidades para a realização de projetos transdisciplinares e atividades interdisciplinares dos mais diversos tipos.
Também em 2001, é homologado o Programa de Matemática do Ensino Secundário, atualmente em vigor. Este está organizado por grandes temas onde devem ser trabalhadas competências fundamentais para a aprendizagem matemática e por temas transversais. São considerados temas transversais:
Comunicação Matemática,
História da Matemática;
Lógica e Raciocínio Matemático;
Resolução de Problemas e Atividades Investigativas; Tecnologia e Matemática.
São dadas indicações para que estes temas transversais sejam abordados à medida que forem sendo necessários e à medida que a compreensão sobre os assuntos vá aumentando, não devendo ser localizados temporalmente na leccionação nem num determinado ano de escolaridade.
Outra característica do Programa de Matemática do Ensino Secundário, apresentada como fundamental, é a subdivisão dos objetivos e competências gerais em valores/atitudes, capacidades/aptidões e conhecimentos. No que diz respeito à capacidade de comunicar, o Programa apresenta os aspetos que devem ser desenvolvidos:
Comunicar conceitos, raciocínios e ideias, oralmente e por escrito, com
clareza e progressivo rigor lógico;
Interpretar textos de Matemática;
Exprimir o mesmo conceito em diversas formas ou linguagens; Usar correctamente o vocabulário específico da Matemática; Usar a simbologia da Matemática;
Apresentar os textos de forma clara e organizada. (Silva et al, 2001, p. 5)
Ainda na apresentação do Programa, aquando das sugestões metodológicas gerais, reforça-se a ideia de que o professor, ao aplicá-lo, deve contemplar equilibradamente o desenvolvimento de atitudes, capacidades e a aquisição de conhecimentos e técnicas para a sua mobilização. Para tal destaca-se a importância das atividades a selecionar, as quais deverão proporcionar o desenvolvimento do pensamento científico, conduzindo o aluno “a intuir, conjecturar, experimentar, provar, avaliar e ainda para o reforço das atitudes de autonomia e de cooperação” (Silva et al, 2001, p. 10). Nas atividades deve ter-se em conta a correcção da comunicação oral e escrita dada a estreita dependência entre os processos de estruturação do pensamento e da linguagem. O estudante deve ser capaz de verbalizar os seus raciocínios e discutir
processos, confrontando-os com outros. Deve também conseguir argumentar com lógica e recorrer, sempre que tal for aconselhável, à linguagem simbólica da Matemática. Assim, deve ser incentivada com alguma regularidade a realização de trabalhos tais como composições matemáticas, relatórios, monografias e, na medida do possível, apresentados oralmente perante a turma e discutidos com os colegas e o professor. O trabalho de grupo e em pares é apontado como um factor favorável à comunicação matemática pois permite a partilha de métodos de resolução ou a justificação de raciocínios.
A comunicação matemática é considerada um tema transversal importante pois permite que:
Os estudantes clarifiquem o seu pensamento, estabeleçam conexões, reflictam na sua aprendizagem, aumentem o apreço pela necessidade de precisão na linguagem, conheçam conceitos e terminologia, aprendam a ser críticos (Silva et al, 2001, p. 11).
Dada a importância dos temas transversais neste Programa é apresentado, na secção do desenvolvimento do programa, um ponto com as indicações metodológicas para cada um destes temas. Na comunicação matemática, estas indicações reforçam o descrito anteriormente recomendando a realização regular de composições matemáticas, a exposição de um tema preparado ou a resolução de um problema, assim como pequenos relatórios ou monografias. Indicam o trabalho em pares ou grupo como potenciador desta capacidade.
Constituindo um reajustamento ao programa anterior, é homologado em Dezembro de 2007, o Programa de Matemática do Ensino Básico. Como afirmam Canavarro, Tudella e Pires (2009), este programa é visto por muitos não apenas como um reajustamento do programa antigo, mas como um novo programa sendo muitas vezes adoptada a sigla NPMEB. Segundo estas autoras, tal é justificado pelos temas novos, pelo estatuto que confere às capacidades transversais e pelo apelo que faz à experiência matemática dos alunos.
Neste programa começa-se por apresentar as finalidades e objetivos gerais para o ensino da Matemática, ao longo dos três ciclos. O ensino deve ser orientado pelas seguintes finalidades fundamentais:
a) Promover a aquisição de informação, conhecimento e experiência em Matemática e o desenvolvimento da capacidade da sua integração e mobilização em contextos diversificados
b) Desenvolver atitudes positivas face à Matemática e a capacidade de
apreciar esta ciência (Ponte et al, 2007, p. 3).
Estas finalidades são concretizadas através de nove objetivos, formulados em termos do que é esperado dos alunos:
1. Os alunos devem conhecer os factos e procedimentos básicos da Matemática.
2. Os alunos devem desenvolver uma compreensão da Matemática. 3. Os alunos devem ser capazes de lidar com ideias matemáticas em
diversas representações.
4. Os alunos devem ser capazes de comunicar as suas ideias e interpretar as ideias dos outros, organizando e clarificando o seu pensamento matemático.
5. Os alunos devem ser capazes de raciocinar matematicamente usando os conceitos, representações e procedimentos matemáticos. 6. Os alunos devem ser capazes de resolver problemas.
7. Os alunos devem ser capazes de estabelecer conexões entre diferentes conceitos e relações matemáticas e também entre estes e situações não matemáticas.
8. Os alunos devem ser capazes de fazer Matemática de modo autónomo.
9. Os alunos devem ser capazes de apreciar a Matemática. (Ponte et al, 2007, p. 4-6)
Segue-se a apresentação dos Temas matemáticos e Capacidades transversais que são trabalhados nos três ciclos de escolaridade. Os temas matemáticos: Números e operações, Álgebra, Geometria e Organização e tratamento de dados, acompanham de perto a estrutura do Currículo Nacional. Dá-se destaque a três grandes capacidades transversais a toda a aprendizagem: a Resolução de problemas, o Raciocínio matemático e a Comunicação matemática, sendo apresentadas num espaço próprio com a
explicitação de objetivos gerais e específicos de aprendizagem relativos a cada uma dessas capacidades.
Metodologicamente, as orientações vão no sentido da diversidade de experiências matemáticas tais como a resolução de problemas, atividades de investigação, projetos, jogos e prática de exercícios prevendo momentos para confronto de resultados, discussão de estratégias e institucionalização de conceitos e representações matemáticas.
O desenvolvimento das capacidades de resolução de problemas e a promoção do raciocínio e da comunicação matemáticos, para além de constituírem objetivos de aprendizagem centrais neste programa, constituem também importantes orientações metodológicas para estruturar as atividades a realizar em aula. A diversidade de representações, a exploração de conexões, o uso de recursos, o cálculo mental e aspetos da História da Matemática e do papel da Matemática no mundo atual constituem também orientações metodológicas neste programa.
Apesar do destaque dado nos últimos anos, em Portugal e internacionalmente, à comunicação matemática, ainda há um longo caminho a percorrer dentro da sala de aula para que esta capacidade seja plenamente desenvolvida nos nossos alunos.
2.1.2. A comunicação escrita na Educação Matemática
Smole e Diniz (2001) consideram que “analisar o papel das representações pictóricas e da escrita como recursos de ensino permite vislumbrar uma nova dimensão para a prática escolar em sintonia com as pesquisas sobre a aquisição do conhecimento e da aprendizagem” (p. 15).
Powell e Bairral (2006) afirmam que “a utilização da escrita … deve ser vista como um processo que transforma continuamente a cognição e a aprendizagem de quem a produz” (p. 12). Acrescentam ainda que a linguagem escrita nas aulas de Matemática actua como mediadora, integrando as experiências individuais e colectivas na busca da construção e apropriação dos conceitos abstractos estudados.
Smole e Diniz (2001) apresentam duas características que distinguem a escrita das demais formas de comunicação. A primeira é que “a escrita auxilia o resgate da memória, uma vez que muitas discussões orais poderiam ficar perdidas sem o registo
em forma de texto” (p. 23) A segunda é “a possibilidade da comunicação à distância no espaço e no tempo e, assim, de troca de informações e descobertas com pessoas que, muitas vezes, nem conhecemos” (p. 23). A possibilidade de consulta, em qualquer momento, dos registos dos pensamentos dos alunos é apontada, por vários autores, como uma mais-valia da comunicação escrita (NCTM, 2007; Pimm, 1987; Powell & Bairral, 2006; Sá & Zenhas, 2004)
Várias vantagens têm sido apontadas a este tipo de comunicação. Masingila e Wisniowska (1996, referidos por Almiro, 2008) consideram que a escrita ajuda os alunos a tornar o seu conhecimento mais explícito, permitindo-lhes um segundo olhar e a reflexão sobre o que escreveram, ajudando-os a consolidar a sua compreensão sobre a Matemática. Para Pimm (1987) a escrita torna mais visível o pensamento pois exige uma maior precisão na expressão das ideias. Smole e Diniz (2001) observaram que escrever ajuda os alunos no sentido de encorajar a reflexão, clarificar ideias e é um catalisador para as discussões em grupo.
No entanto, também são apontadas desvantagens/problemas à comunicação escrita. Pimm (1987) considera que este tipo de comunicação tende a ser mais impessoal, sendo difícil para o seu autor negociar os seus significados ou reter o seu controlo sobre eles, não havendo possibilidade na maioria das vezes para clarificar ou fazer adaptações do que foi escrito. Para Sá e Zenhas (2004) a utilização da escrita, na aula de Matemática, causa angústia a professores e a alunos. Sendo a escrita uma prática ainda pouco usual na aula de Matemática, os professores sentem insegurança ao analisar os trabalhos escritos e na forma de os avaliarem. Para os alunos, as atividades de escrita exigem uma maior autonomia e hábitos de reflexão, sendo obrigados a fazer um esforço maior de clarificação de ideias. Neste sentido, Almiro (2008) menciona vários autores (Pimm, 1987; Pinto & Santos, 2006; Ponte, Brocardo & Oliveira, 2003; Sá & Zenhas, 2004; Schoen et al., 1996) que afirmam que a escrita não é muito usual na aula de Matemática, apresentando os alunos alguma resistência às primeiras atividades de escrita propostas. Segundo este autor, os alunos, estando habituados a escrever respostas sintéticas ou apresentando os cálculos usados para obtê-las, não vêem a escrita como Matemática. Para Smole e Diniz (2001), o acto de escrever não possui a mesma rapidez e maleabilidade da oralidade, pois quando se escreve não é possível ir para tantos lados como quando se fala, a ordem da escrita determina a coerência e a lógica do texto e a correcção não é imediata.
A dificuldade dos alunos na escrita é identificada no recente relatório Testes
Intermédios 2010. Na disciplina de Matemática, os piores desempenhos verificaram-se,
entre outros, em itens que “exigiam comunicação escrita de conceitos ou de raciocínios” (Ferreira, Castanheira, Pereira & Lourenço, 2010, p. 13). Mas esta dificuldade não é exclusiva na disciplina de Matemática. De um modo geral, os alunos revelam “mais dificuldades nos itens de construção, que resultam das limitações observadas no domínio da escrita … é comum a constatação de dificuldades recorrentes na resposta a itens que mobilizam a construção de textos explicativos, quando estamos em presença da descrição dos raciocínios desenvolvidos e da explicitação das estratégias de resolução adoptadas” (Ferreira et al, 2010, p. 41). Este relatório recomenda que a tarefa de escrita seja alvo de atenção por parte dos professores, alunos e famílias.
Powell e Bairral (2006), investigando a escrita como suporte da aprendizagem, distinguem duas abordagens sobre os objetivos e modos de implementação da escrita no ensino: produto e processo-produto. Na primeira, “a escrita é usada como um recurso para declarar conhecimento” (p. 51) onde os educandos são envolvidos em atividades escritas incidentes mais na Matemática. Na segunda, a escrita “é considerada um meio de conhecimento” (p. 51) onde as atividades escritas propostas incidem mais nos próprios alunos. O tipo de escrita esperado em cada uma destas abordagens é diferente. Assim, numa abordagem produto espera-se que os aprendizes usem uma escrita transacional. Este tipo de escrita “usa uma linguagem que faz cumprir recomendações que informam as pessoas, … que aconselha, persuade ou instrui essas mesmas pessoas. É usada sempre que uma referência exacta e específica ao que se sabe sobre a realidade é necessária” (p. 51). Neste tipo de abordagem as atividades escritas são usadas sobretudo para avaliação e diagnóstico. Tal leva a que se peça aos aprendizes que registem todos os passos de procedimentos matemáticos.
Numa abordagem processo-produto a escrita usada é do tipo expressivo-transacional. A escrita expressiva “é como pensar alto no papel. Tem a função de revelar o falante, verbalizando a sua consciência submete-se ao fluir livre de ideias e sentimentos” (p. 51,52). Quando usada com característica transacional, inclui crítica e revisão. Assim, a reflexão e a reflexão crítica são os focos pedagógicos numa abordagem processo-produto. Através de uma escrita exploratória e especulativa, os aprendizes procuram exteriorizar conteúdos das suas mentes, sendo estas produções usadas como meio de aprendizagem matemática e de conhecimento da pessoa que escreve e não para medir a quantidade de informação adquirida.
Para Powell e Bairral (2006) a escrita pode então surgir de um contexto reflexivo de carácter mais livre e expressivo e o conhecimento matemático deve ser inserido num contexto de produção que envolva reflexão crítica e inclua processos colaborativos de diferentes dimensões e de tomada de consciência sobre as experiências individuais ou colectivas. A figura seguinte ilustra esta perspectiva.
Figura 1 – Desenvolvimento da cognição matemática mediante a escrita (Powell & Bairral, 2006, p. 53)
Tarefas matemáticas
Para potenciar a aprendizagem da Matemática através da escrita, ou outro meio de comunicação, são apontados factores como a natureza das tarefas utilizadas (APM, 1998b; APM, 2009; ME, 2001; NCTM, 1998; NCTM, 2007; Ponte, 2005; Powell & Bairral, 2006; Silva et al, 2001; Smole & Diniz, 2001) e a reflexão sobre as mesmas (Ponte, Brocardo & Oliveira, 2003; Ponte, 2005; Powell & Bairral, 2006; Segurado, 2002).
Conforme referido aquando do percurso da comunicação matemática, muitos documentos de referência para o ensino da Matemática fazem alusão à natureza/diversidade das tarefas. Por exemplo, em 1988, no Seminário de Milfontes (APM, 2009) concluía-se que a matemática escolar deveria contemplar a resolução de problemas, o desenvolvimento de modelos matemáticos, atividades de exploração, investigação ou descoberta. No Programa de Matemática do Ensino Secundário atualmente em vigor (Silva et al, 2001) destaca-se a importância das atividades a selecionar, as quais deverão proporcionar o desenvolvimento do pensamento científico,
conduzindo o aluno “a intuir, conjecturar, experimentar, provar, avaliar e ainda para o reforço das atitudes de autonomia e de cooperação” (p. 10). No Programa de Matemática do Ensino Básico (Ponte et al, 2007), nas orientações metodológicas, pode ler-se “…o professor deve propor aos alunos a realização de diferentes tipos de tarefas, dando-lhes uma indicação clara das suas expectativas em relação ao que espera do seu trabalho, e apoiando-os na sua realização” (p. 8).
Ponte (2005) distingue os diferentes tipos de tarefas em termos do seu grau de desafio e de estrutura ou da sua duração e contexto.
O grau de desafio está relacionado “… com a percepção da dificuldade de uma questão …varia entre os pólos de desafio reduzido e elevado.” (p. 17). Quanto ao grau de estrutura, “varia entre os pólos aberto e fechado. Uma tarefa fechada é aquela onde é claramente dito o que é dado e o que é pedido e uma tarefa aberta é a que comporta um grau de indeterminação significativo no que é dado, no que é pedido, ou em ambas as coisas.” (p. 17). Os tipos de tarefas são situados no cruzamento destas duas dimensões, conforme se pode observar na figura 2. Este autor alerta para o facto de, entre as tarefas de exploração e os exercícios, nem sempre ser nítida a linha de demarcação devendo-se tal facto aos conhecimentos prévios dos alunos.
Figura 2 – Diferentes tipos de tarefas, consoante o seu grau de desafio e de estrutura (Ponte, 2005, p. 17)
No que concerne à distinção das tarefas quanto à sua duração e contexto, relativamente à primeira dimensão esta pode ser curta ou longa, havendo tarefas que se inserem numa situação intermédia (Figura 3). As tarefas de longa duração podem permitir aprendizagens mais profundas, mas também podem levar os alunos a
