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RESOLUÇÃO PARCIAL DA LISTA DE EXERCÍCIOS 3

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Academic year: 2019

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1

RESOLUÇÃO PARCIAL DA LISTA DE EXERCÍCIOS 3

Para cada uma das funções abaixo calcule os limites pedidos

1) 2

) 1 ( ) (

x x x

f

− =

(a) 2

1

1 (1 )

lim ) ( lim

x x x

f

x

x→+ = →+ −

. Como não é possível aplicar técnicas de fatoração ou

multiplicação pelo conjugado para simplificar o limite, então, usa-se a verificação do limite por meio de valores:

x f(x)

0,00 0

0,50 2

0,75 12

0,90 90

0,99 9900

Pela tabela anterior, quando x tende a 1 pela esquerda o limite de f(x) (f(x) tende) é +∞∞∞∞.

(b) 2

1

1 (1 )

lim ) ( lim

x x x

f

x

x→+ = →+ −

. Como não é possível aplicar técnicas de fatoração ou

multiplicação pelo conjugado para simplificar o limite, então, usa-se a verificação do limite por meio de valores:

x f(x)

2,00 2

1,50 6

1,25 20

1,10 110

1,01 10110

Pela tabela anterior, quando x tende a 1 pela direita o limite de f(x) (f(x) tende) é +∞∞∞∞.

(c) 2

1 1 ( ) lim(1 )

lim

x x x

f

x

(2)

2

(d) 2 2

2 1 lim )

1 ( lim ) ( lim

x x

x x

x x

f

x x

x→+∞ = →+∞ − = →+∞ − + .

Como o valor de x tende a um valor arbitrariamente grande, em princípio não se sabe para qual valor f(x) irá tender, pois tanto o numerador quanto o denominador serão arbitrariamente grandes (temos, portanto, um limite indeterminado). Então, pode-se empregar o seguinte resultado:

Para usar este Teorema verifica-se que a maior potência do denominador é x2 e divide-se tanto o numerador quanto o denominador por esta potência:

(d) 2 2

2 2

2

/ ) 2 1 (

/ ) ( lim 2

1 lim )

1 ( lim ) ( lim

x x x

x x x

x x x

x x

f

x x

x

x→+∞ = →+∞ − = →+∞ − + = →+∞ − +

) (

) ( lim 1 / 2 / 1

/ 1 lim 2

x g

x h x

x x

x x→+∞ − + = →+∞ =

Seja h(x) a função associada ao numerador e g(x) a função associada ao denominador, verifica-se que:

(i) = =

+∞ → +∞

→ ( ) lim(1/ )

limh x x

x x

pelo Teorema = 0

(ii) = − + = − + =

+∞ → +∞

→ +∞

→ +∞

→ +∞

→ ( ) lim(1/ 2/ 1) lim(1/ ) lim(2/ ) lim(1)

lim 2 2

x x

x x

x g x x x x x e pelo Teorema:

1 1 0 0− + = =

Assim, se o limite de g(x) é diferente de zero o limite de f(x) não está mais indeterminado e é possível usar os resultados dos itens (i) e (ii):

= =

+∞ → +∞

( )

) ( lim ) ( lim

x g

x h x

f

x x

se lim ( )≠0 +∞

g x

x 1 0

0 ) ( lim

) ( lim

= = =

+∞ →

+∞ →

x g

x h

(3)

3

(e) 2 2

2 2

2

/ ) 2 1 (

/ ) ( lim 2

1 lim )

1 ( lim ) ( lim

x x x

x x x

x x x

x x

f

x x

x

x→−∞ = →−∞ − = →−∞ − + = →−∞ − +

) (

) ( lim 1 / 2 / 1

/ 1 lim 2

x g

x h x

x x

x x→−∞ − + = →−∞ =

Seja g(x) a função associada ao denominador, verifica-se que:

(i) = =

−∞ → −∞

→ ( ) lim(1/ )

lim h x x

x

x pelo Teorema = 0

(ii) = − + = − + =

−∞ → −∞

→ −∞

→ −∞

→ −∞

→ ( ) lim(1/ 2/ 1) lim(1/ ) lim(2/ ) lim(1)

lim 2 2

x x

x x

x g x x x x x e pelo Teorema:

1 1 0 0− + = =

Assim, se o limite de g(x) é diferente de zero o limite de f(x) não está mais indeterminado e é possível usar os resultados dos itens (i) e (ii):

= =

−∞ → −∞

( )

) ( lim ) ( lim

x g

x h x

f

x

x se xlim→−∞g(x)≠0 1 0

0 ) ( lim

) ( lim

= = =

−∞ →

−∞ →

x g

x h

(4)

4

2) 2

2 1

) 1 ( ) (

x x x f

− + =

(a) 2

2 1

1 1

) 1 ( lim ) ( lim

x x x

f

x

x

+ = +

+

→ . Como não é possível aplicar técnicas de fatoração ou

multiplicação pelo conjugado para simplificar o limite, então, usa-se a verificação do limite por meio de valores:

x f(x)

0,00 1

0,50 3

0,75 7

0,90 19

0,99 199

Pela tabela anterior, quando x tende a 1 pela esquerda o limite de f(x) (f(x) tende) é +∞∞∞∞.

(b) 2

2 1

1 1

) 1 ( lim ) ( lim

x x x

f

x

x

+ = +

+

→ . Como não é possível aplicar técnicas de fatoração ou

multiplicação pelo conjugado para simplificar o limite, então, usa-se a verificação do limite por meio de valores:

x f(x)

2,00 -3

1,50 -5

1,25 -9

1,10 -21

1,01 -201

Pela tabela anterior, quando x tende a 1 pela direita o limite de f(x) (f(x) tende) é -∞∞∞∞.

(c) 2

2 1

1 1

) 1 ( lim ) ( lim

x x x

f

x

x

+ =

→ . Empregando os itens (a) e (b), verifica-se que os limites

(5)

5

(d) 2

2 2

2

1

1 2 lim 1

) 1 ( lim ) ( lim

x x x x

x x

f

x x

x

+ + =

− + =

+∞ → +∞

→ +∞

→ .

Como o valor de x tende a um valor arbitrariamente grande, em princípio não se sabe para qual valor f(x) irá tender, pois tanto o numerador quanto o denominador serão arbitrariamente grandes (temos, portanto, um limite indeterminado). Então, pode-se empregar o seguinte resultado:

Para usar este Teorema verifica-se que a maior potência do denominador é x2 e divide-se tanto o numerador quanto o denominador por esta potência:

(d) 2 2

2 2

2 2 2

2

/ ) 1 (

/ ) 1 2 ( lim 1

1 2 lim 1

) 1 ( lim ) ( lim

x x

x x x x

x x x

x x

f

x x

x

x

+ + =

− + + =

− + =

+∞ → +∞

→ +∞

→ +∞

) (

) ( lim 1

/ 1

/ 1 / 2 1

lim 2

2

x g

x h x

x x

x x→+∞ − = →+∞

+ + =

Seja h(x) a função associada ao numerador e g(x) a função associada ao denominador, verifica-se que:

(i) = + + = + + =

+∞ → +∞

→ +∞

→ +∞

→ +∞

→ ( ) lim(1 2/ 1/ ) lim(1) lim(2/ ) lim(1/ )

lim h x x x2 x x2

x x

x x

x pelo Teorema =

1 + 0 + 0 = 1

(ii) = − = − =

+∞ → +∞

→ +∞

→ +∞

→ ( ) lim(1/ 1) lim(1/ ) lim(1)

lim 2 2

x x

x

x g x x x e pelo Teorema: =0−1=−1

Assim, se o limite de g(x) é diferente de zero o limite de f(x) não está mais indeterminado e é possível usar os resultados dos itens (i) e (ii):

= =

+∞ → +∞

( )

) ( lim ) ( lim

x g

x h x

f

x

x se xlim→+∞g(x)≠0 1 1

1 ) ( lim

) ( lim

− = − = =

+∞ →

+∞ →

x g

x h

(6)

6

(e) 2 2

2 2

2 2 2

2

/ ) 1 (

/ ) 1 2 ( lim 1

1 2 lim

1 ) 1 ( lim ) ( lim

x x

x x x x

x x x

x x

f

x x

x

x

+ + =

− + + =

− + =

−∞ → −∞

→ −∞

→ −∞

) (

) ( lim 1

/ 1

/ 1 / 2 1

lim 2

2

x g

x h x

x x

x x→−∞ − = →−∞

+ + =

Seja g(x) a função associada ao denominador, verifica-se que:

(i) = + + = + + =

−∞ → −∞

→ −∞

→ −∞

→ −∞

→ ( ) lim(1 2/ 1/ ) lim(1) lim(2/ ) lim(1/ )

lim h x x x2 x x2

x x

x x

x pelo Teorema =

1 + 0 + 0 = 1

(ii) = − = − =

−∞ → −∞

→ −∞

→ −∞

→ ( ) lim(1/ 1) lim(1/ ) lim(1)

lim 2 2

x x

x

x g x x x e pelo Teorema: =0−1=−1

Assim, se o limite de g(x) é diferente de zero o limite de f(x) não está mais indeterminado e é possível usar os resultados dos itens (i) e (ii):

= =

−∞ → −∞

( )

) ( lim ) ( lim

x g

x h x

f

x

x se xlim→−∞g(x)≠0 1 1

1 ) ( lim

) ( lim

− = − = =

−∞ →

−∞ →

x g

x h

(7)

7 3)

2 1 )

( 2

2 − −

− =

x x

x x

f

(a)

2 1 lim

) (

lim 2

2 1

1 − −

− = +

+

x x

x x

f

x x

. Como não é possível aplicar técnicas de fatoração ou

multiplicação pelo conjugado para simplificar o limite, então, usa-se a verificação do limite por meio de valores:

x f(x)

0,00 0,50

0,50 0,33

0,75 0,20

0,90 0,09

0,99 0,01

Pela tabela anterior, quando x tende a 1 pela esquerda o limite de f(x) (f(x) tende) é 0.

(b)

2 1 lim

) (

lim 2

2 1

1 − −

− = +

+

x x

x x

f

x x

. Como não é possível aplicar técnicas de fatoração ou

multiplicação pelo conjugado para simplificar o limite, então, usa-se a verificação do limite por meio de valores:

x f(x)

1,75 -3,00 1,50 -1,00 1,25 -0,33 1,10 -0,11 1,01 -0,01

Pela tabela anterior, quando x tende a 1 pela direita o limite de f(x) (f(x) tende) é 0.

(c)

2 1 lim

) (

lim 2

2 1

1 − −

− =

x x

x x

f

x

(8)

8 (d)

2 1 lim

) (

lim 2

2 − −

− =

+∞ → +∞

x x

x x

f

x

x .

Como o valor de x tende a um valor arbitrariamente grande, em princípio não se sabe para qual valor f(x) irá tender, pois tanto o numerador quanto o denominador serão arbitrariamente grandes (temos, portanto, um limite indeterminado). Então, pode-se empregar o seguinte resultado:

Para usar este Teorema verifica-se que a maior potência do denominador é x2 e divide-se tanto o numerador quanto o denominador por esta potência:

(d) 2 2

2 2

2 2

/ ) 2 (

/ ) 1 ( lim 2 1 lim

) ( lim

x x

x

x x

x x

x x

f

x x

x − −

− =

− −

− =

+∞ → +∞

→ +∞

) (

) ( lim /

2 / 1 1

/ 1 1

lim 2

2

x g

x h x

x x

x x→+∞ − − = →+∞

− =

Seja h(x) a função associada ao numerador e g(x) a função associada ao denominador, verifica-se que:

(i) = − = − =

+∞ → +∞

→ +∞

→ +∞

→ ( ) lim(1/ 1) lim(1/ ) lim(1)

lim 2 2

x x

x

x h x x x e pelo Teorema: =0−1=−1

(ii) = − + = − + =

+∞ → +∞

→ +∞

→ +∞

→ +∞

→ ( ) lim(1 1/ 2/ ) lim(1) lim(1/ ) lim(2/ )

lim g x x x2 x x2

x x

x x

x pelo Teorema =

1 - 0 + 0 = 1

Assim, se o limite de g(x) é diferente de zero o limite de f(x) não está mais indeterminado e é possível usar os resultados dos itens (i) e (ii):

= =

+∞ → +∞

( )

) ( lim ) ( lim

x g

x h x

f

x x

se lim ( )≠0 +∞

g x

x 1 1

1 ) ( lim

) ( lim

− = − = =

+∞ →

+∞ →

x g

x h

(9)

9

(e) 2 2

2 2

2 2

/ ) 2 (

/ ) 1 ( lim 2 1 lim

) ( lim

x x

x

x x

x x

x x

f

x x

x − −

− =

− −

− =

−∞ → −∞

→ −∞

) (

) ( lim /

2 / 1 1

/ 1 1

lim 2

2

x g

x h x

x x

x x→−∞ − − = →−∞

− =

Seja h(x) a função associada ao numerador e g(x) a função associada ao denominador, verifica-se que:

(i) = − = − =

−∞ → −∞

→ −∞

→ −∞

→ ( ) lim(1/ 1) lim(1/ ) lim(1)

lim 2 2

x x

x

x h x x x e pelo Teorema: =0−1=−1

(ii) = − + = − + =

−∞ → −∞

→ −∞

→ −∞

→ +∞

→ ( ) lim(1 1/ 2/ ) lim(1) lim(1/ ) lim(2/ )

lim g x x x2 x x2

x x

x x

x pelo Teorema =

1 - 0 + 0 = 1

Assim, se o limite de g(x) é diferente de zero o limite de f(x) não está mais indeterminado e é possível usar os resultados dos itens (i) e (ii):

= =

−∞ → −∞

( )

) ( lim ) ( lim

x g

x h x

f

x

x se xlim→−∞g(x)≠0 1 1

1 ) ( lim

) ( lim

− = − = =

−∞ →

−∞ →

x g

x h

(10)

10 4) Calcule os limites abaixo:

(a)

) 1 1 ( lim ) 1 1 (

1 1 lim

1 1

1 1 1

1 lim 1 1 lim

0 0

0

0 + + = + +

− + =

+ +

+ + × − + =

− +

→ →

x x

x x

x x x

x x

x x

x

x x

x

x .

) (

) ( lim ) 1 1 (

1 lim

0

0 g x

x h

x x

x→ + + = →

=

Seja h(x) a função associada ao numerador e g(x) a função associada ao denominador, verifica-se que:

(i)lim ( ) lim(1) 1

0

0 = → =

x

x h x

(ii) = + + = + + =

→ →

→ ( ) lim( 1 1) lim( 1) lim(1)

lim

0 0

0

0 x x x

x g x x x pelo Teorema = 1+ 1 = 2

Assim, se o limite de g(x) é diferente de zero o limite de f(x) não está mais indeterminado e é possível usar os resultados dos itens (i) e (ii):

= =

+ + =

− +

→ →

( )

) ( lim ) 1 1 (

1 lim 1 1 lim

0 0

0 g x

x h

x x

x

x x

x se xlim→−0g(x)≠0 2

1 ) ( lim

) ( lim

0

0 =

=

→ →

x g

x h

x x

(b)

) 1 1 ( lim ) 1 1 (

1 1 lim

1 1

1 1 1

1 lim

1 1 lim

+ + =

+ +

− + =

+ +

+ + × − + =

− +

+∞ → +∞

→ +∞

→ +∞

x x

x

x x

x

x x x

x x

x

x x

x x

.

) (

) ( lim ) 1 1 (

1 lim

x g

x h

x x

x→+∞ + + = →+∞ =

(11)

11 Para usar este Teorema verifica-se que a maior potência do denominador é x1/2 e divide-se tanto o numerador quanto o denominador por esta potência:

= +

+ =

+ + =

+ + =

+∞ → +∞

→ +∞

x x x

x x

x x

x x x

x ( 1)/ 1/

/ 1 lim

/ ) 1 1 (

/ 1 lim

) 1 1 (

1 lim

) (

) ( lim /

1 ) / 1 1 (

/ 1 /

1 ) / 1 / (

/ 1 lim

x g

x h x

x x x

x x x

x

x

x→+∞ + + = + + = →+∞

=

Seja h(x) a função associada ao numerador e g(x) a função associada ao denominador, verifica-se que:

(i) lim ( )= lim(1/ )=0

+∞ → +∞

h x x x

x

(ii) = + + = + + =

→ +∞

→ +∞

→ +∞

→ +∞

→ ( ) lim( 1 1/ 1/ ) ( lim(1) lim(1/ )) lim(1/ )

lim

0 x

x x

x x

g

x x

x x

x pelo

Teorema = 1+0+0 = 1 + 0 = 1

Assim, se o limite de g(x) é diferente de zero o limite de f(x) não está mais indeterminado e é possível usar os resultados dos itens (i) e (ii):

= =

+ + =

− +

+∞ → +∞

→ +∞

( )

) ( lim ) 1 1 (

1 lim

1 1 lim

x g

x h x

x x

x x

x

se lim ( )≠0 ∞

+ −

g x

x 1 0

0 ) ( lim

) ( lim

= = =

+∞ →

+∞ →

x g

x h

(12)

12 (c)

) (

) ( lim 1 2 lim

1 2

1 g x

x h x

x x

x

x→− − + = →− .

Seja h(x) a função associada ao numerador e g(x) a função associada ao denominador, verifica-se que:

(i)lim ( ) lim( ) 1

1

1 = →− =−

h x x x

x

(ii)

4 1 2 1 1 ) 2 ( 1 ) 1 ( lim ) 2 ( lim ) ( lim ) 1 2 ( lim ) ( lim

1 1

2 1 2

1

1 = →− − + = →− − →− + →− = − − + = + + =

x x x x

x g x x x x x

Assim, se o limite de g(x) é diferente de zero o limite de f(x) não é indeterminado e é possível usar os resultados dos itens (i) e (ii):

4 1 4

1 ) ( lim

) ( lim

) (

) ( lim 1 2 lim

1 1 1

2

1 =−

− = =

= + −

− →

− → −

→ −

g x

x h

x g

x h x

x x

x x x

x

(d)

1 2 lim 2

+ −

+∞

x x

x

x .

Como o valor de x tende a um valor arbitrariamente grande, em princípio não se sabe para qual valor f(x) irá tender, pois não se sabe o comportamento do denominador. Então, pode-se empregar o seguinte resultado:

(13)

13

1 2 lim 2

+ −

+∞

x x

x

x ( )

) ( lim /

1 / 2 1

/ 1 lim

/ ) 1 2 (

/

lim 2 2 2

2

x g

x h x

x x x

x x

x x

x x

x→+∞ − + = →+∞ − + = →+∞ =

Seja h(x) a função associada ao numerador e g(x) a função associada ao denominador, verifica-se que:

(i) lim ( )= lim(1/ )=0 +∞

→ +∞

h x x x

x

(ii) lim g(x) lim(1 2/x 1/x2) lim(1) lim(2/x) lim(1/x2) x

x x

x

x→+∞ = →+∞ − + = →+∞ − →+∞ + →+∞ =pelo Teorema = 0

0

1− + = 1

Assim, se o limite de g(x) é diferente de zero o limite de f(x) não está mais indeterminado e é possível usar os resultados dos itens (i) e (ii):

1 2 lim 2

+ −

+∞

x x

x

x = →+∞ ( ) =

) ( lim

x g

x h

x se x→lim−+∞g(x)≠0 1 0

0 ) ( lim

) ( lim

= = =

+∞ →

+∞ →

x g

x h

x x

(e)

1 2 lim 2

+ −

−∞

x x

x

x .

Como o valor de x tende a um valor arbitrariamente grande, em princípio não se sabe para qual valor f(x) irá tender, pois não se sabe o comportamento do denominador. Então, pode-se empregar o seguinte resultado:

(14)

14 1 2 lim 2 + − −∞

x x

x

x ( )

) ( lim / 1 / 2 1 / 1 lim / ) 1 2 ( /

lim 2 2 2

2 x g x h x x x x x x x x x x

x→−∞ − + = →−∞ − + = →−∞ =

Seja h(x) a função associada ao numerador e g(x) a função associada ao denominador, verifica-se que:

(i) lim ( )= lim(1/ )=0 −∞

→ −∞

h x x x

x

(ii) lim g(x) lim(1 2/x 1/x2) lim(1) lim(2/x) lim(1/x2) x

x x

x

x→−∞ = →−∞ − + = →−∞ − →−∞ + →−∞ =pelo Teorema = 0

0

1− + = 1

Assim, se o limite de g(x) é diferente de zero o limite de f(x) não está mais indeterminado e é possível usar os resultados dos itens (i) e (ii):

1 2 lim 2 + − +∞

x x

x

x = →+∞ ( ) =

) ( lim x g x h

x se x→lim−+∞g(x)≠0 1 0

0 ) ( lim ) ( lim = = = +∞ → +∞ → x g x h x x (f) x x x 2 4 lim 3 0 − + → . ) 2 4 ( lim ) 2 4 ( 4 4 lim 2 4 2 4 2 4 lim 2 4 lim 3 3 0 3 3 0 3 3 3 0 3

0 + + = + +

− + = + + + + × − + = − + → → →

x x

x x x x x x x x x x x x x x ) ( ) ( lim 2 4 lim 0 3 2

0 g x

x h x

x

x

x→ + + = →

=

Seja h(x) a função associada ao numerador e g(x) a função associada ao denominador, verifica-se que:

(i)lim ( ) lim( 2) 0 0

0 = → =

h x x x

x

(ii) lim ( ) lim( 4 2) lim( ) lim(4) lim(2) 0 4 2 2 2 4

0 0 3 0 3 0

0 = → + + = → + → + → = + + = + =

x x x x

x g x x x

Assim, se o limite de g(x) é diferente de zero o limite de f(x) não está mais indeterminado e é possível usar os resultados dos itens (i) e (ii):

x x x 2 4 lim 3 0 − + → = → ( ) = ) ( lim

0 g x x h

x se limx→0g(x)≠0 4 0

0 ) ( lim ) ( lim 0

0 = =

(15)

15 (g)

x x

x

2 4 lim

3+

+∞

→ .

) 2 4 (

lim ) 2 4 (

4 4 lim

2 4

2 4 2

4 lim

2 4 lim

3 3 3

3 3

3 3

3

+ + =

+ +

− + =

+ +

+ + × − + =

− +

+∞ → +∞

→ +∞

→ +∞

x x

x x

x x x

x x

x x

x

x x

x x

2 4 lim

3 2

+ + =

+∞

x

x

x

Como o valor de x tende a um valor arbitrariamente grande, em princípio não se sabe para qual valor f(x) irá tender, pois não se sabe o comportamento do numerador e do denominador já que ambos serão arbitrariamente grandes. Então, pode-se empregar o seguinte resultado:

Para usar este Teorema verifica-se que a maior potência do denominador é x3/2 e divide-se tanto o numerador quanto o denominador por esta potência:

) / 2 / 4 / (

/ lim

/ ) 2 4 (

/ ) ( lim 2 4 lim

3 3

3 3

2 4 3 2 3

3

2 3 2 3

2

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x + + = + + = + +

=

+∞ → +∞

→ +∞

) / 2 / 4 1 ( lim

3 3

2

x x

x

x + +

=

+∞ →

Seja h(x) a função associada ao numerador e g(x) a função associada ao denominador, verifica-se que:

(i) = =+∞

+∞ → +∞

→ ( ) lim( )

limh x x

x

x

(ii) lim g(x) lim( 1 4/x3 2/x3) lim(1) lim(4/x3) lim(2/x3) x

x x

x

(16)

16 1

0 0 1+ + = =

Assim, se o limite de g(x) é diferente de zero o limite de f(x) não está mais indeterminado e é possível usar os resultados dos itens (i) e (ii):

x x

x

2 4 lim

3 + −

+∞

→ = →+∞ ( ) =

) ( lim

x g

x h

x se xlim→+∞g(x)≠0 = = =+∞

+∞ →

+∞ →

+∞ →

1 ) ( lim

) ( lim

) (

lim h x

x g

x h

x x

x

(h) 2

2 3

2 lim

x x x

x

− −

−∞

→ .

Como o valor de x tende a um valor arbitrariamente grande, em princípio não se sabe para qual valor f(x) irá tender, pois não se sabe o comportamento do numerador e do denominador já que ambos serão arbitrariamente grandes. Então, pode-se empregar o seguinte resultado:

Para usar este Teorema verifica-se que a maior potência do denominador é x2 e divide-se tanto o numerador quanto o denominador por esta potência:

2 2

3 2

2 3 2

2

2 2

3 2

2 3

/ ) 2 (

lim 1

/ ) 2 (

lim /

/ ) 2 (

lim 2

lim x x x x x x

x x

x x

x x

x x

x x

x

x = − −

− − =

− − =

− −

−∞ → −∞

→ −∞

→ −∞

= −

− =

−∞ → −∞

→ ( 1) lim(2/ )

lim x x2

x

(17)

17

(i)lim , 0

0 ≠

− +

x a

a x a

x .

Quando o x tende a zero o limite da função está indeterminado tal que:

) (

lim lim

lim

0 0

0 x a x a

a x a a

x a

a x a x

a x a x

a x a

x x

x + +

− + =

+ +

+ + × − + =

− +

→ →

) (

lim

) 1 ( lim

) (

1 lim

) (

lim

0 0 0

0 x a x a a x a a x a

x

x x x

x + + = + + = + +

=

→ → →

a a

a a

x a

x x

x 2

1

0 1

) ( lim )

( lim ) ( lim

1

0 0

0

= + + = +

+ =

→ →

(j)

x a x a x

− +

+∞ →

lim .

Quando o x tende a zero o limite da função está indeterminado tal que:

) (

lim lim

lim

a x a x

a x a a

x a

a x a x

a x a x

a x a

x x

x + +

− + =

+ +

+ + × − + =

− +

+∞ → +∞

→ +∞

) (

1 lim

) (

lim

a x a a

x a x

x

x

x + + = + +

=

+∞ → +∞

(18)

18 Para usar este Teorema verifica-se que a maior potência do denominador é x e divide-se tanto o numerador quanto o denominador por esta potência:

x a x a x − + +∞ → lim x a x a x a x a x

x ( )/

/ 1 lim ) ( 1 lim + + = + + = +∞ → +∞ → ) / ( lim ) 1 / ( lim ) / 1 ( lim ) / 1 / ( / 1 lim ) / / / ( / 1 lim x a x a x x a x a x x a x x x a x x x x x x +∞ → +∞ → +∞ → +∞ → +∞ → + + = + + = + + =

Pelo Teorema: 0

1 0 0 1 0 = = + = (k) x a x a x 1 1 lim 0 − + → .

Quando o x tende a zero o limite da função está indeterminado tal que:

(19)

19 (l)

x a x a

x

3 3 0

) (

lim + −

→ .

Quando o x tende a zero o limite da função está indeterminado tal que:

x x h x

a x a

x x

) ( lim )

( lim

0 3 3

0 →

→ =

− +

Onde:

h(x) = (a+x)3 – a3 = [(a+x)(a+x)(a+x)] – a3 = [(a+x)(a2 + 2ax +x2)] – a3

= [a(a2 + 2ax +x2)+ x(a2 + 2ax +x2)] – a3 = [(a3 + 2a2x +ax2)+ (xa2 + 2ax2 +x3)] – a3

= [(a3 + 3a2x +3ax2+x3)] – a3 = 3a2x +3ax2+x3 = x(3a2 + 3ax + x2) Assim:

) x ax a

( x

) x ax a x( x

x h x

a x a

x x

x x

2 2

0 2

2 0 0

3 3

0 lim 3 3

3 3 lim ) ( lim )

(

lim + − = = + + = + +

→ →

→ →

2 2

2 0 0

2

0 3 ) lim 3 ) lim 3 0 0 3

lim( a ( ax (x ) a a

x x

x + + = + + =

=

→ →

(m)

x a x a

x

3 3 ) (

lim + −

+∞

→ .

Quando o x tende a zero o limite da função está indeterminado tal que:

x x h x

a x a

x x

) ( lim )

( lim

3 3

+∞ → +∞

→ =

− +

Onde:

h(x) = (a+x)3 – a3 = [(a+x)(a+x)(a+x)] – a3 = [(a+x)(a2 + 2ax +x2)] – a3

= [a(a2 + 2ax +x2)+ x(a2 + 2ax +x2)] – a3 = [(a3 + 2a2x +ax2)+ (xa2 + 2ax2 +x3)] – a3

= [(a3 + 3a2x +3ax2+x3)] – a3 = 3a2x +3ax2+x3 = x(3a2 + 3ax + x2) Assim:

) x ax a

( x

) x ax a x( x

x h x

a x a

x x

x x

2 2

2 2

3 3

3 3 lim 3

3 lim ) ( lim )

(

lim + − = = + + = + +

+∞ → +∞

→ +∞

→ +∞

(20)

20 )

3 ( lim ) 3

lim( a2 (x a x)

x

x + +

=

+∞ → +∞

Quando x cresce o limite da função cresce e será arbitrariamente grande por conta do fator x)

a

x(3 + , dois fatores arbitrariamente grandes e com sinal positivo ( a é uma constante e valor pode ser desprezado no segundo fator, isto é 3a+x), isto é:

+∞ =

(n)

x a x a

x

3 3 ) (

lim + −

∞ − +

→ .

Quando o x tende a zero o limite da função está indeterminado tal que:

x x h x

a x a

x x

) ( lim )

( lim

3 3

−∞ → −∞

→ =

− +

Onde:

h(x) = (a+x)3 – a3 = [(a+x)(a+x)(a+x)] – a3 = [(a+x)(a2 + 2ax +x2)] – a3

= [a(a2 + 2ax +x2)+ x(a2 + 2ax +x2)] – a3 = [(a3 + 2a2x +ax2)+ (xa2 + 2ax2 +x3)] – a3

= [(a3 + 3a2x +3ax2+x3)] – a3 = 3a2x +3ax2+x3 = x(3a2 + 3ax + x2)

Assim:

) x ax a ( x

) x ax a

x( x

x h x

a x a

x x

x x

2 2

2 2

3 3

3 3 lim 3

3 lim ) ( lim )

(

lim + − = = + + = + +

−∞ → −∞

→ −∞

→ −∞

) 3 ( lim ) 3

lim( a2 (x a x)

x

x + +

=

−∞ → −∞

Quando x cresce o limite da função cresce e será arbitrariamente grande por conta do fator

x) a

x(3 + , pois quando x é grande, o fator x será grande módulo, porém com sinal negativo, e o mesmo pode ser dito do fator (3a +x ). Dessa forma o produto dos dois fatores será:

x a x a

x

3 3 ) (

lim + −

−∞

Referências

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