1
RESOLUÇÃO PARCIAL DA LISTA DE EXERCÍCIOS 3
Para cada uma das funções abaixo calcule os limites pedidos
1) 2
) 1 ( ) (
x x x
f
− =
(a) 2
1
1 (1 )
lim ) ( lim
x x x
f
x
x→+ = →+ −
. Como não é possível aplicar técnicas de fatoração ou
multiplicação pelo conjugado para simplificar o limite, então, usa-se a verificação do limite por meio de valores:
x f(x)
0,00 0
0,50 2
0,75 12
0,90 90
0,99 9900
Pela tabela anterior, quando x tende a 1 pela esquerda o limite de f(x) (f(x) tende) é +∞∞∞∞.
(b) 2
1
1 (1 )
lim ) ( lim
x x x
f
x
x→+ = →+ −
. Como não é possível aplicar técnicas de fatoração ou
multiplicação pelo conjugado para simplificar o limite, então, usa-se a verificação do limite por meio de valores:
x f(x)
2,00 2
1,50 6
1,25 20
1,10 110
1,01 10110
Pela tabela anterior, quando x tende a 1 pela direita o limite de f(x) (f(x) tende) é +∞∞∞∞.
(c) 2
1 1 ( ) lim(1 )
lim
x x x
f
x
2
(d) 2 2
2 1 lim )
1 ( lim ) ( lim
x x
x x
x x
f
x x
x→+∞ = →+∞ − = →+∞ − + .
Como o valor de x tende a um valor arbitrariamente grande, em princípio não se sabe para qual valor f(x) irá tender, pois tanto o numerador quanto o denominador serão arbitrariamente grandes (temos, portanto, um limite indeterminado). Então, pode-se empregar o seguinte resultado:
Para usar este Teorema verifica-se que a maior potência do denominador é x2 e divide-se tanto o numerador quanto o denominador por esta potência:
(d) 2 2
2 2
2
/ ) 2 1 (
/ ) ( lim 2
1 lim )
1 ( lim ) ( lim
x x x
x x x
x x x
x x
f
x x
x
x→+∞ = →+∞ − = →+∞ − + = →+∞ − +
) (
) ( lim 1 / 2 / 1
/ 1 lim 2
x g
x h x
x x
x x→+∞ − + = →+∞ =
Seja h(x) a função associada ao numerador e g(x) a função associada ao denominador, verifica-se que:
(i) = =
+∞ → +∞
→ ( ) lim(1/ )
limh x x
x x
pelo Teorema = 0
(ii) = − + = − + =
+∞ → +∞
→ +∞
→ +∞
→ +∞
→ ( ) lim(1/ 2/ 1) lim(1/ ) lim(2/ ) lim(1)
lim 2 2
x x
x x
x g x x x x x e pelo Teorema:
1 1 0 0− + = =
Assim, se o limite de g(x) é diferente de zero o limite de f(x) não está mais indeterminado e é possível usar os resultados dos itens (i) e (ii):
= =
+∞ → +∞
→ ( )
) ( lim ) ( lim
x g
x h x
f
x x
se lim ( )≠0 +∞
→ g x
x 1 0
0 ) ( lim
) ( lim
= = =
+∞ →
+∞ →
x g
x h
3
(e) 2 2
2 2
2
/ ) 2 1 (
/ ) ( lim 2
1 lim )
1 ( lim ) ( lim
x x x
x x x
x x x
x x
f
x x
x
x→−∞ = →−∞ − = →−∞ − + = →−∞ − +
) (
) ( lim 1 / 2 / 1
/ 1 lim 2
x g
x h x
x x
x x→−∞ − + = →−∞ =
Seja g(x) a função associada ao denominador, verifica-se que:
(i) = =
−∞ → −∞
→ ( ) lim(1/ )
lim h x x
x
x pelo Teorema = 0
(ii) = − + = − + =
−∞ → −∞
→ −∞
→ −∞
→ −∞
→ ( ) lim(1/ 2/ 1) lim(1/ ) lim(2/ ) lim(1)
lim 2 2
x x
x x
x g x x x x x e pelo Teorema:
1 1 0 0− + = =
Assim, se o limite de g(x) é diferente de zero o limite de f(x) não está mais indeterminado e é possível usar os resultados dos itens (i) e (ii):
= =
−∞ → −∞
→ ( )
) ( lim ) ( lim
x g
x h x
f
x
x se xlim→−∞g(x)≠0 1 0
0 ) ( lim
) ( lim
= = =
−∞ →
−∞ →
x g
x h
4
2) 2
2 1
) 1 ( ) (
x x x f
− + =
(a) 2
2 1
1 1
) 1 ( lim ) ( lim
x x x
f
x
x −
+ = +
+ →
→ . Como não é possível aplicar técnicas de fatoração ou
multiplicação pelo conjugado para simplificar o limite, então, usa-se a verificação do limite por meio de valores:
x f(x)
0,00 1
0,50 3
0,75 7
0,90 19
0,99 199
Pela tabela anterior, quando x tende a 1 pela esquerda o limite de f(x) (f(x) tende) é +∞∞∞∞.
(b) 2
2 1
1 1
) 1 ( lim ) ( lim
x x x
f
x
x −
+ = +
+ →
→ . Como não é possível aplicar técnicas de fatoração ou
multiplicação pelo conjugado para simplificar o limite, então, usa-se a verificação do limite por meio de valores:
x f(x)
2,00 -3
1,50 -5
1,25 -9
1,10 -21
1,01 -201
Pela tabela anterior, quando x tende a 1 pela direita o limite de f(x) (f(x) tende) é -∞∞∞∞.
(c) 2
2 1
1 1
) 1 ( lim ) ( lim
x x x
f
x
x −
+ =
→
→ . Empregando os itens (a) e (b), verifica-se que os limites
5
(d) 2
2 2
2
1
1 2 lim 1
) 1 ( lim ) ( lim
x x x x
x x
f
x x
x −
+ + =
− + =
+∞ → +∞
→ +∞
→ .
Como o valor de x tende a um valor arbitrariamente grande, em princípio não se sabe para qual valor f(x) irá tender, pois tanto o numerador quanto o denominador serão arbitrariamente grandes (temos, portanto, um limite indeterminado). Então, pode-se empregar o seguinte resultado:
Para usar este Teorema verifica-se que a maior potência do denominador é x2 e divide-se tanto o numerador quanto o denominador por esta potência:
(d) 2 2
2 2
2 2 2
2
/ ) 1 (
/ ) 1 2 ( lim 1
1 2 lim 1
) 1 ( lim ) ( lim
x x
x x x x
x x x
x x
f
x x
x
x −
+ + =
− + + =
− + =
+∞ → +∞
→ +∞
→ +∞
→
) (
) ( lim 1
/ 1
/ 1 / 2 1
lim 2
2
x g
x h x
x x
x x→+∞ − = →+∞
+ + =
Seja h(x) a função associada ao numerador e g(x) a função associada ao denominador, verifica-se que:
(i) = + + = + + =
+∞ → +∞
→ +∞
→ +∞
→ +∞
→ ( ) lim(1 2/ 1/ ) lim(1) lim(2/ ) lim(1/ )
lim h x x x2 x x2
x x
x x
x pelo Teorema =
1 + 0 + 0 = 1
(ii) = − = − =
+∞ → +∞
→ +∞
→ +∞
→ ( ) lim(1/ 1) lim(1/ ) lim(1)
lim 2 2
x x
x
x g x x x e pelo Teorema: =0−1=−1
Assim, se o limite de g(x) é diferente de zero o limite de f(x) não está mais indeterminado e é possível usar os resultados dos itens (i) e (ii):
= =
+∞ → +∞
→ ( )
) ( lim ) ( lim
x g
x h x
f
x
x se xlim→+∞g(x)≠0 1 1
1 ) ( lim
) ( lim
− = − = =
+∞ →
+∞ →
x g
x h
6
(e) 2 2
2 2
2 2 2
2
/ ) 1 (
/ ) 1 2 ( lim 1
1 2 lim
1 ) 1 ( lim ) ( lim
x x
x x x x
x x x
x x
f
x x
x
x −
+ + =
− + + =
− + =
−∞ → −∞
→ −∞
→ −∞
→
) (
) ( lim 1
/ 1
/ 1 / 2 1
lim 2
2
x g
x h x
x x
x x→−∞ − = →−∞
+ + =
Seja g(x) a função associada ao denominador, verifica-se que:
(i) = + + = + + =
−∞ → −∞
→ −∞
→ −∞
→ −∞
→ ( ) lim(1 2/ 1/ ) lim(1) lim(2/ ) lim(1/ )
lim h x x x2 x x2
x x
x x
x pelo Teorema =
1 + 0 + 0 = 1
(ii) = − = − =
−∞ → −∞
→ −∞
→ −∞
→ ( ) lim(1/ 1) lim(1/ ) lim(1)
lim 2 2
x x
x
x g x x x e pelo Teorema: =0−1=−1
Assim, se o limite de g(x) é diferente de zero o limite de f(x) não está mais indeterminado e é possível usar os resultados dos itens (i) e (ii):
= =
−∞ → −∞
→ ( )
) ( lim ) ( lim
x g
x h x
f
x
x se xlim→−∞g(x)≠0 1 1
1 ) ( lim
) ( lim
− = − = =
−∞ →
−∞ →
x g
x h
7 3)
2 1 )
( 2
2 − −
− =
x x
x x
f
(a)
2 1 lim
) (
lim 2
2 1
1 − −
− = +
+ →
→ x x
x x
f
x x
. Como não é possível aplicar técnicas de fatoração ou
multiplicação pelo conjugado para simplificar o limite, então, usa-se a verificação do limite por meio de valores:
x f(x)
0,00 0,50
0,50 0,33
0,75 0,20
0,90 0,09
0,99 0,01
Pela tabela anterior, quando x tende a 1 pela esquerda o limite de f(x) (f(x) tende) é 0.
(b)
2 1 lim
) (
lim 2
2 1
1 − −
− = +
+ →
→ x x
x x
f
x x
. Como não é possível aplicar técnicas de fatoração ou
multiplicação pelo conjugado para simplificar o limite, então, usa-se a verificação do limite por meio de valores:
x f(x)
1,75 -3,00 1,50 -1,00 1,25 -0,33 1,10 -0,11 1,01 -0,01
Pela tabela anterior, quando x tende a 1 pela direita o limite de f(x) (f(x) tende) é 0.
(c)
2 1 lim
) (
lim 2
2 1
1 − −
− =
→
→ x x
x x
f
x
8 (d)
2 1 lim
) (
lim 2
2 − −
− =
+∞ → +∞
→ x x
x x
f
x
x .
Como o valor de x tende a um valor arbitrariamente grande, em princípio não se sabe para qual valor f(x) irá tender, pois tanto o numerador quanto o denominador serão arbitrariamente grandes (temos, portanto, um limite indeterminado). Então, pode-se empregar o seguinte resultado:
Para usar este Teorema verifica-se que a maior potência do denominador é x2 e divide-se tanto o numerador quanto o denominador por esta potência:
(d) 2 2
2 2
2 2
/ ) 2 (
/ ) 1 ( lim 2 1 lim
) ( lim
x x
x
x x
x x
x x
f
x x
x − −
− =
− −
− =
+∞ → +∞
→ +∞
→
) (
) ( lim /
2 / 1 1
/ 1 1
lim 2
2
x g
x h x
x x
x x→+∞ − − = →+∞
− =
Seja h(x) a função associada ao numerador e g(x) a função associada ao denominador, verifica-se que:
(i) = − = − =
+∞ → +∞
→ +∞
→ +∞
→ ( ) lim(1/ 1) lim(1/ ) lim(1)
lim 2 2
x x
x
x h x x x e pelo Teorema: =0−1=−1
(ii) = − + = − + =
+∞ → +∞
→ +∞
→ +∞
→ +∞
→ ( ) lim(1 1/ 2/ ) lim(1) lim(1/ ) lim(2/ )
lim g x x x2 x x2
x x
x x
x pelo Teorema =
1 - 0 + 0 = 1
Assim, se o limite de g(x) é diferente de zero o limite de f(x) não está mais indeterminado e é possível usar os resultados dos itens (i) e (ii):
= =
+∞ → +∞
→ ( )
) ( lim ) ( lim
x g
x h x
f
x x
se lim ( )≠0 +∞
→ g x
x 1 1
1 ) ( lim
) ( lim
− = − = =
+∞ →
+∞ →
x g
x h
9
(e) 2 2
2 2
2 2
/ ) 2 (
/ ) 1 ( lim 2 1 lim
) ( lim
x x
x
x x
x x
x x
f
x x
x − −
− =
− −
− =
−∞ → −∞
→ −∞
→
) (
) ( lim /
2 / 1 1
/ 1 1
lim 2
2
x g
x h x
x x
x x→−∞ − − = →−∞
− =
Seja h(x) a função associada ao numerador e g(x) a função associada ao denominador, verifica-se que:
(i) = − = − =
−∞ → −∞
→ −∞
→ −∞
→ ( ) lim(1/ 1) lim(1/ ) lim(1)
lim 2 2
x x
x
x h x x x e pelo Teorema: =0−1=−1
(ii) = − + = − + =
−∞ → −∞
→ −∞
→ −∞
→ +∞
→ ( ) lim(1 1/ 2/ ) lim(1) lim(1/ ) lim(2/ )
lim g x x x2 x x2
x x
x x
x pelo Teorema =
1 - 0 + 0 = 1
Assim, se o limite de g(x) é diferente de zero o limite de f(x) não está mais indeterminado e é possível usar os resultados dos itens (i) e (ii):
= =
−∞ → −∞
→ ( )
) ( lim ) ( lim
x g
x h x
f
x
x se xlim→−∞g(x)≠0 1 1
1 ) ( lim
) ( lim
− = − = =
−∞ →
−∞ →
x g
x h
10 4) Calcule os limites abaixo:
(a)
) 1 1 ( lim ) 1 1 (
1 1 lim
1 1
1 1 1
1 lim 1 1 lim
0 0
0
0 + + = + +
− + =
+ +
+ + × − + =
− +
→ →
→
→ x x
x x
x x x
x x
x x
x
x x
x
x .
) (
) ( lim ) 1 1 (
1 lim
0
0 g x
x h
x x
x→ + + = →
=
Seja h(x) a função associada ao numerador e g(x) a função associada ao denominador, verifica-se que:
(i)lim ( ) lim(1) 1
0
0 = → =
→ x
x h x
(ii) = + + = + + =
→ →
→
→ ( ) lim( 1 1) lim( 1) lim(1)
lim
0 0
0
0 x x x
x g x x x pelo Teorema = 1+ 1 = 2
Assim, se o limite de g(x) é diferente de zero o limite de f(x) não está mais indeterminado e é possível usar os resultados dos itens (i) e (ii):
= =
+ + =
− +
→ →
→ ( )
) ( lim ) 1 1 (
1 lim 1 1 lim
0 0
0 g x
x h
x x
x
x x
x se xlim→−0g(x)≠0 2
1 ) ( lim
) ( lim
0
0 =
=
→ →
x g
x h
x x
(b)
) 1 1 ( lim ) 1 1 (
1 1 lim
1 1
1 1 1
1 lim
1 1 lim
+ + =
+ +
− + =
+ +
+ + × − + =
− +
+∞ → +∞
→ +∞
→ +∞
→ x x
x
x x
x
x x x
x x
x
x x
x x
.
) (
) ( lim ) 1 1 (
1 lim
x g
x h
x x
x→+∞ + + = →+∞ =
11 Para usar este Teorema verifica-se que a maior potência do denominador é x1/2 e divide-se tanto o numerador quanto o denominador por esta potência:
= +
+ =
+ + =
+ + =
+∞ → +∞
→ +∞
→ x x x
x x
x x
x x x
x ( 1)/ 1/
/ 1 lim
/ ) 1 1 (
/ 1 lim
) 1 1 (
1 lim
) (
) ( lim /
1 ) / 1 1 (
/ 1 /
1 ) / 1 / (
/ 1 lim
x g
x h x
x x x
x x x
x
x
x→+∞ + + = + + = →+∞
=
Seja h(x) a função associada ao numerador e g(x) a função associada ao denominador, verifica-se que:
(i) lim ( )= lim(1/ )=0
+∞ → +∞
→ h x x x
x
(ii) = + + = + + =
→ +∞
→ +∞
→ +∞
→ +∞
→ ( ) lim( 1 1/ 1/ ) ( lim(1) lim(1/ )) lim(1/ )
lim
0 x
x x
x x
g
x x
x x
x pelo
Teorema = 1+0+0 = 1 + 0 = 1
Assim, se o limite de g(x) é diferente de zero o limite de f(x) não está mais indeterminado e é possível usar os resultados dos itens (i) e (ii):
= =
+ + =
− +
+∞ → +∞
→ +∞
→ ( )
) ( lim ) 1 1 (
1 lim
1 1 lim
x g
x h x
x x
x x
x
se lim ( )≠0 ∞
+ −
→ g x
x 1 0
0 ) ( lim
) ( lim
= = =
+∞ →
+∞ →
x g
x h
12 (c)
) (
) ( lim 1 2 lim
1 2
1 g x
x h x
x x
x
x→− − + = →− .
Seja h(x) a função associada ao numerador e g(x) a função associada ao denominador, verifica-se que:
(i)lim ( ) lim( ) 1
1
1 = →− =−
−
→ h x x x
x
(ii)
4 1 2 1 1 ) 2 ( 1 ) 1 ( lim ) 2 ( lim ) ( lim ) 1 2 ( lim ) ( lim
1 1
2 1 2
1
1 = →− − + = →− − →− + →− = − − + = + + =
−
→ x x x x
x g x x x x x
Assim, se o limite de g(x) é diferente de zero o limite de f(x) não é indeterminado e é possível usar os resultados dos itens (i) e (ii):
4 1 4
1 ) ( lim
) ( lim
) (
) ( lim 1 2 lim
1 1 1
2
1 =−
− = =
= + −
− →
− → −
→ −
→ g x
x h
x g
x h x
x x
x x x
x
(d)
1 2 lim 2
+ −
+∞
→ x x
x
x .
Como o valor de x tende a um valor arbitrariamente grande, em princípio não se sabe para qual valor f(x) irá tender, pois não se sabe o comportamento do denominador. Então, pode-se empregar o seguinte resultado:
13
1 2 lim 2
+ −
+∞
→ x x
x
x ( )
) ( lim /
1 / 2 1
/ 1 lim
/ ) 1 2 (
/
lim 2 2 2
2
x g
x h x
x x x
x x
x x
x x
x→+∞ − + = →+∞ − + = →+∞ =
Seja h(x) a função associada ao numerador e g(x) a função associada ao denominador, verifica-se que:
(i) lim ( )= lim(1/ )=0 +∞
→ +∞
→ h x x x
x
(ii) lim g(x) lim(1 2/x 1/x2) lim(1) lim(2/x) lim(1/x2) x
x x
x
x→+∞ = →+∞ − + = →+∞ − →+∞ + →+∞ =pelo Teorema = 0
0
1− + = 1
Assim, se o limite de g(x) é diferente de zero o limite de f(x) não está mais indeterminado e é possível usar os resultados dos itens (i) e (ii):
1 2 lim 2
+ −
+∞
→ x x
x
x = →+∞ ( ) =
) ( lim
x g
x h
x se x→lim−+∞g(x)≠0 1 0
0 ) ( lim
) ( lim
= = =
+∞ →
+∞ →
x g
x h
x x
(e)
1 2 lim 2
+ −
−∞
→ x x
x
x .
Como o valor de x tende a um valor arbitrariamente grande, em princípio não se sabe para qual valor f(x) irá tender, pois não se sabe o comportamento do denominador. Então, pode-se empregar o seguinte resultado:
14 1 2 lim 2 + − −∞
→ x x
x
x ( )
) ( lim / 1 / 2 1 / 1 lim / ) 1 2 ( /
lim 2 2 2
2 x g x h x x x x x x x x x x
x→−∞ − + = →−∞ − + = →−∞ =
Seja h(x) a função associada ao numerador e g(x) a função associada ao denominador, verifica-se que:
(i) lim ( )= lim(1/ )=0 −∞
→ −∞
→ h x x x
x
(ii) lim g(x) lim(1 2/x 1/x2) lim(1) lim(2/x) lim(1/x2) x
x x
x
x→−∞ = →−∞ − + = →−∞ − →−∞ + →−∞ =pelo Teorema = 0
0
1− + = 1
Assim, se o limite de g(x) é diferente de zero o limite de f(x) não está mais indeterminado e é possível usar os resultados dos itens (i) e (ii):
1 2 lim 2 + − +∞
→ x x
x
x = →+∞ ( ) =
) ( lim x g x h
x se x→lim−+∞g(x)≠0 1 0
0 ) ( lim ) ( lim = = = +∞ → +∞ → x g x h x x (f) x x x 2 4 lim 3 0 − + → . ) 2 4 ( lim ) 2 4 ( 4 4 lim 2 4 2 4 2 4 lim 2 4 lim 3 3 0 3 3 0 3 3 3 0 3
0 + + = + +
− + = + + + + × − + = − + → → →
→ x x
x x x x x x x x x x x x x x ) ( ) ( lim 2 4 lim 0 3 2
0 g x
x h x
x
x
x→ + + = →
=
Seja h(x) a função associada ao numerador e g(x) a função associada ao denominador, verifica-se que:
(i)lim ( ) lim( 2) 0 0
0 = → =
→ h x x x
x
(ii) lim ( ) lim( 4 2) lim( ) lim(4) lim(2) 0 4 2 2 2 4
0 0 3 0 3 0
0 = → + + = → + → + → = + + = + =
→ x x x x
x g x x x
Assim, se o limite de g(x) é diferente de zero o limite de f(x) não está mais indeterminado e é possível usar os resultados dos itens (i) e (ii):
x x x 2 4 lim 3 0 − + → = → ( ) = ) ( lim
0 g x x h
x se limx→0g(x)≠0 4 0
0 ) ( lim ) ( lim 0
0 = =
15 (g)
x x
x
2 4 lim
3+ −
+∞
→ .
) 2 4 (
lim ) 2 4 (
4 4 lim
2 4
2 4 2
4 lim
2 4 lim
3 3 3
3 3
3 3
3
+ + =
+ +
− + =
+ +
+ + × − + =
− +
+∞ → +∞
→ +∞
→ +∞
→ x x
x x
x x x
x x
x x
x
x x
x x
2 4 lim
3 2
+ + =
+∞
→ x
x
x
Como o valor de x tende a um valor arbitrariamente grande, em princípio não se sabe para qual valor f(x) irá tender, pois não se sabe o comportamento do numerador e do denominador já que ambos serão arbitrariamente grandes. Então, pode-se empregar o seguinte resultado:
Para usar este Teorema verifica-se que a maior potência do denominador é x3/2 e divide-se tanto o numerador quanto o denominador por esta potência:
) / 2 / 4 / (
/ lim
/ ) 2 4 (
/ ) ( lim 2 4 lim
3 3
3 3
2 4 3 2 3
3
2 3 2 3
2
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x + + = + + = + +
=
+∞ → +∞
→ +∞
→
) / 2 / 4 1 ( lim
3 3
2
x x
x
x + +
=
+∞ →
Seja h(x) a função associada ao numerador e g(x) a função associada ao denominador, verifica-se que:
(i) = =+∞
+∞ → +∞
→ ( ) lim( )
limh x x
x
x
(ii) lim g(x) lim( 1 4/x3 2/x3) lim(1) lim(4/x3) lim(2/x3) x
x x
x
16 1
0 0 1+ + = =
Assim, se o limite de g(x) é diferente de zero o limite de f(x) não está mais indeterminado e é possível usar os resultados dos itens (i) e (ii):
x x
x
2 4 lim
3 + −
+∞
→ = →+∞ ( ) =
) ( lim
x g
x h
x se xlim→+∞g(x)≠0 = = =+∞
+∞ →
+∞ →
+∞ →
1 ) ( lim
) ( lim
) (
lim h x
x g
x h
x x
x
(h) 2
2 3
2 lim
x x x
x
− −
−∞
→ .
Como o valor de x tende a um valor arbitrariamente grande, em princípio não se sabe para qual valor f(x) irá tender, pois não se sabe o comportamento do numerador e do denominador já que ambos serão arbitrariamente grandes. Então, pode-se empregar o seguinte resultado:
Para usar este Teorema verifica-se que a maior potência do denominador é x2 e divide-se tanto o numerador quanto o denominador por esta potência:
2 2
3 2
2 3 2
2
2 2
3 2
2 3
/ ) 2 (
lim 1
/ ) 2 (
lim /
/ ) 2 (
lim 2
lim x x x x x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x = − −
− − =
− − =
− −
−∞ → −∞
→ −∞
→ −∞
→
= −
− =
−∞ → −∞
→ ( 1) lim(2/ )
lim x x2
x
17
(i)lim , 0
0 ≠
− +
→ x a
a x a
x .
Quando o x tende a zero o limite da função está indeterminado tal que:
) (
lim lim
lim
0 0
0 x a x a
a x a a
x a
a x a x
a x a x
a x a
x x
x + +
− + =
+ +
+ + × − + =
− +
→ →
→
) (
lim
) 1 ( lim
) (
1 lim
) (
lim
0 0 0
0 x a x a a x a a x a
x
x x x
x + + = + + = + +
=
→ → →
→
a a
a a
x a
x x
x 2
1
0 1
) ( lim )
( lim ) ( lim
1
0 0
0
= + + = +
+ =
→ →
→
(j)
x a x a x
− +
+∞ →
lim .
Quando o x tende a zero o limite da função está indeterminado tal que:
) (
lim lim
lim
a x a x
a x a a
x a
a x a x
a x a x
a x a
x x
x + +
− + =
+ +
+ + × − + =
− +
+∞ → +∞
→ +∞
→
) (
1 lim
) (
lim
a x a a
x a x
x
x
x + + = + +
=
+∞ → +∞
→
18 Para usar este Teorema verifica-se que a maior potência do denominador é x e divide-se tanto o numerador quanto o denominador por esta potência:
x a x a x − + +∞ → lim x a x a x a x a x
x ( )/
/ 1 lim ) ( 1 lim + + = + + = +∞ → +∞ → ) / ( lim ) 1 / ( lim ) / 1 ( lim ) / 1 / ( / 1 lim ) / / / ( / 1 lim x a x a x x a x a x x a x x x a x x x x x x +∞ → +∞ → +∞ → +∞ → +∞ → + + = + + = + + =
Pelo Teorema: 0
1 0 0 1 0 = = + = (k) x a x a x 1 1 lim 0 − + → .
Quando o x tende a zero o limite da função está indeterminado tal que:
19 (l)
x a x a
x
3 3 0
) (
lim + −
→ .
Quando o x tende a zero o limite da função está indeterminado tal que:
x x h x
a x a
x x
) ( lim )
( lim
0 3 3
0 →
→ =
− +
Onde:
h(x) = (a+x)3 – a3 = [(a+x)(a+x)(a+x)] – a3 = [(a+x)(a2 + 2ax +x2)] – a3
= [a(a2 + 2ax +x2)+ x(a2 + 2ax +x2)] – a3 = [(a3 + 2a2x +ax2)+ (xa2 + 2ax2 +x3)] – a3
= [(a3 + 3a2x +3ax2+x3)] – a3 = 3a2x +3ax2+x3 = x(3a2 + 3ax + x2) Assim:
) x ax a
( x
) x ax a x( x
x h x
a x a
x x
x x
2 2
0 2
2 0 0
3 3
0 lim 3 3
3 3 lim ) ( lim )
(
lim + − = = + + = + +
→ →
→ →
2 2
2 0 0
2
0 3 ) lim 3 ) lim 3 0 0 3
lim( a ( ax (x ) a a
x x
x + + = + + =
=
→ →
→
(m)
x a x a
x
3 3 ) (
lim + −
+∞
→ .
Quando o x tende a zero o limite da função está indeterminado tal que:
x x h x
a x a
x x
) ( lim )
( lim
3 3
+∞ → +∞
→ =
− +
Onde:
h(x) = (a+x)3 – a3 = [(a+x)(a+x)(a+x)] – a3 = [(a+x)(a2 + 2ax +x2)] – a3
= [a(a2 + 2ax +x2)+ x(a2 + 2ax +x2)] – a3 = [(a3 + 2a2x +ax2)+ (xa2 + 2ax2 +x3)] – a3
= [(a3 + 3a2x +3ax2+x3)] – a3 = 3a2x +3ax2+x3 = x(3a2 + 3ax + x2) Assim:
) x ax a
( x
) x ax a x( x
x h x
a x a
x x
x x
2 2
2 2
3 3
3 3 lim 3
3 lim ) ( lim )
(
lim + − = = + + = + +
+∞ → +∞
→ +∞
→ +∞
20 )
3 ( lim ) 3
lim( a2 (x a x)
x
x + +
=
+∞ → +∞
→
Quando x cresce o limite da função cresce e será arbitrariamente grande por conta do fator x)
a
x(3 + , dois fatores arbitrariamente grandes e com sinal positivo ( a é uma constante e valor pode ser desprezado no segundo fator, isto é 3a+x), isto é:
+∞ =
(n)
x a x a
x
3 3 ) (
lim + −
∞ − +
→ .
Quando o x tende a zero o limite da função está indeterminado tal que:
x x h x
a x a
x x
) ( lim )
( lim
3 3
−∞ → −∞
→ =
− +
Onde:
h(x) = (a+x)3 – a3 = [(a+x)(a+x)(a+x)] – a3 = [(a+x)(a2 + 2ax +x2)] – a3
= [a(a2 + 2ax +x2)+ x(a2 + 2ax +x2)] – a3 = [(a3 + 2a2x +ax2)+ (xa2 + 2ax2 +x3)] – a3
= [(a3 + 3a2x +3ax2+x3)] – a3 = 3a2x +3ax2+x3 = x(3a2 + 3ax + x2)
Assim:
) x ax a ( x
) x ax a
x( x
x h x
a x a
x x
x x
2 2
2 2
3 3
3 3 lim 3
3 lim ) ( lim )
(
lim + − = = + + = + +
−∞ → −∞
→ −∞
→ −∞
→
) 3 ( lim ) 3
lim( a2 (x a x)
x
x + +
=
−∞ → −∞
→
Quando x cresce o limite da função cresce e será arbitrariamente grande por conta do fator
x) a
x(3 + , pois quando x é grande, o fator x será grande módulo, porém com sinal negativo, e o mesmo pode ser dito do fator (3a +x ). Dessa forma o produto dos dois fatores será:
x a x a
x
3 3 ) (
lim + −
−∞