Sumário
1 Partições da unidade 1
Lista de Figuras
Capítulo 1
Partições da unidade
Uma ferramenta técnica fundamental quando se pretende globalizar resulta-dos locais em variedades é dada pela partição da unidade.
1.1 Definição. Chamamos de função bossa (ou auxiliar) uma aplicação
diferen-ciável λ :Rn → [0, 1] tal que dados b > a > 0:
1. λ(x) = 1, se|x| ≤ a,
2. 1 > λ(x) > 0, se a <|x| < b, 3. λ(x) = 0, se|x| ≥ b.
1.2 Proposição. Se 0 < a < b, então existe uma função C∞λ : Rn → [0, 1] tal que
1. λ(x) = 1, se|x| ≤ a, 2. λ(x) = 0, se|x| ≥ b.
Demonstração. Defina α :R → R por α(t) = { 0 se t≤ 0 exp(−1 t) se t > 0 Logo, α é C∞.
Agora, seja β :R → R, β(t) = α(b − t)α(t − a). 1
2 CAPÍTULO 1. PARTIÇÕES DA UNIDADE Por fim, defina δ :R → R,
δ(t) = ∫b t β ∫t aβ e λ :R → [0, 1], λ(t) = δ(∥x∥). FAZER FIGURAS.
1.3 Proposição. Se M é uma variedade, então existe uma sequência de
subconjun-tos compacsubconjun-tos K1 ⊂ K2 ⊂ · · · tais que
1. ∪∞i=1Ki = M;
2. Ki está contido no interior de Ki+1.
Demonstração. Observe que qualquer cobertura aberta{Uλ, λ ∈ Λ} de M
ad-mite uma subcobertura enumerável: de fato, seja Bn, n ∈ N uma base
enumerá-vel de abertos de M . Se x ∈ M, com x ∈ Uλ, existe n tal que x ∈ Bn ⊂ Uλ.
Temos assim uma cobertura enumerável de M , Bni tal que cada elemento está
em algum Uλ. Para cada i, escolhemos λital que Uλi ⊃ Bni. Temos, então, uma
cobertura enumerável.
Para cada x ∈ M tome uma vizinhança compacta Vx de x e considere a
co-bertura de M dada pelo interior dos Vx. Tome uma subcobertura enumerável
{Vn}n∈N
Seja K1 = V1. Como K1é compacto e os interiores dos Vjcobrem K1
pode-se encontrar uma subcobertura finita. A união de K1 com os elementos dessa
cobertura finita de K1é um compacto K2cujo interior contém K1. Por indução,
constrói-se a sequência desejada.
1.4 Definição. Seja f : M → R uma função contínua. O suporte de f é o conjunto
Supp(f ) ={x ∈ M; f(x) ̸= 0}.
A seguir definimos partição da unidade.
1.5 Definição. SejaV = {Vi}i∈I uma cobertura aberta de M . Uma partição da
unidade subordinada aV é uma coleção {λi : M → [0, 1]} de funções C∞tal que
1. Supp(λi)⊂ Vi;
2. {Supp(λi)} é uma família localmente finita, ou seja, todo ponto de M tem
3 3. ∑i∈Iλi(x) = 1.
Note que a soma em 3 é finita para cada x∈ M pelo item 2.
Dizemos que uma coberturaW refina uma cobertura V se existe uma função l : Λ→ I tal que para todo λ vale Wλ ⊂ Vl(λ).
1.6 Lema. Seja W = {Wλ, λ ∈ Λ} uma cobertura aberta de M que refina a
cobertura V = {Vi, i ∈ I}. Se existe uma partição da unidade {ϕλ, λ ∈ Λ}
subordinada aW, então existe uma partição da unidade {ψi, i∈ I} subordinada
aV. Demonstração. Tome ψi = ∑ l(λ)=i ϕλ.
Vamos mostrar que o suporte de ψiestá contido em Vi.
Seja x∈ Vc
i , um ponto no complementar de Vi.
Já que a família dos suportes de ϕλé localmente finita, existe uma vizinhança
U0de x que intersecta apenas um número finito de elementos dessa família.
Se I(λ) = i e Supp(ϕλ)∩ U0 =∅, definimos Uλ = U0. Caso contrário, já que
Supp(ϕλ)⊂ Wi, existe uma vizinhança Uλde x disjunta de Supp(ϕλ).
A interseção U da família finita Uλ é uma vizinhança de x na qual ψié
iden-ticamente nula.
Podemos, então provar que uma variedade admite uma partição da unidade subordinada.
1.7 Teorema. Dada uma coberturaA = {Aλ, λ ∈ Λ} de M, existe uma partição
da unidade subordinada aA.
Demonstração. Considere uma sequência de compactos Kitais que
∪∞
i=1Ki = M
e
Ki ⊂ int Ki+1.
Para cada x ∈ M seja Wxuma vizinhança de x e φx : Wx → B(0, 3) uma carta
4 CAPÍTULO 1. PARTIÇÕES DA UNIDADE 1. φx(x) = 0;
2. Wxestá contido em algum elemento da coberturaA;
3. Se x∈ int Ki+1\Ki, então Wx ⊂ int Ki+2\Ki−1( se x∈ K1, Wx ⊂ int K2
e se x∈ K2 \ int K1, Wx ⊂ int K3).
Seja λx : M → [0, 1] uma função C∞ que vale 1 em Ux = φ−1x (B(0, 1)) e
vale 0 fora de Vx = φ−1x (B(0, 2)). Para obtê-la, basta fazer λx = λ◦ φx, onde
λ :Rm → [0, 1] é uma função C∞valendo 1 em B(0, 1) e 0 fora de B(0, 2).
Considere a cobertura{Ux, x∈ M}. Tome uma subcobertura finita de cada
compacto Ki+1\ Ki, obtendo assim uma cobertura{Ui}i∈Ne funções λi : M →
[0, 1], C∞, que valem 1 em Uie 0 fora de Vi.
Além disso, cada Wiestá contido em algum elemento da coberturaA.
Por construção, a cobertura{Wi} é localmente finita.
Defina, então, φi : M → [0, 1] por
φi(x) =
λi(x)
∑∞
j=1λj(x)
.
Uma vez que a cobertura é localmente finita, a soma no denominador é finita em uma vizinhança compacta de cada ponto e não se anula. Daí, cada ϕi é C∞ e
a coleção{φi} é uma partição da unidade subordinada à cobertura {Wi}. Pelo
Lema1.6, existe uma partição da unidade subordinada aA.
1.8 Corolário. Se K ⊂ V ⊂ M, K fechado, V aberto, então existe uma função
C∞, λ : M → [0, 1] tal que λ(x) = 1 para x ∈ K e λ(x) = 0 se x ∈ M \ V . Demonstração. Basta considerar uma partição da unidade subordinada à cober-tura{V, M \ K}.
Aplicações da partição da unidade
Uma das inúmeras aplicações desta ferramenta é a garantia de que toda admite uma métrica riemanniana.
Começamos com alguns fatos sobre campos de vetores em variedades. Relembramos que um campo de vetores de classe Ckem um aberto U ⊂ Rm
é uma aplicação Ck, X : U → Rm.
Um curva integral de X é uma curva diferenciável α : [a, b] → U tal que α′(t) = X(α(t)), para todo t∈ [a, b].
5 Quando k ≥ 1, o teorema de existência e unicidade de soluções de equações diferenciais ordinárias nos garante que duas curvas integrais com um ponto em comum coincidem na interseção de seus domínios. Além disso, pela dependência diferenciável com respeito às condições iniciais, para todo x ∈ U existem uma vizinhança V ⊂ U de x, um número ϵ = ϵ(x) e uma função φ : (−ϵ, ϵ)×V → U de classe Cktais que
1. φ(0, y) = y,∀y ∈ V ;
2. A aplicação t7→ φ(t, y) é uma curva integral de X.
1.9 Definição. Considere dois campos de vetores Ck, X : U → Rm, Y : W →
Rm, onde U, W ⊂ Rmsão abertos, e seja f : U → W é um difeomorfismo Ck+1.
Então, para toda curva integral α de X, f◦α é curva integral de Y se, e somente se, X = f∗Y, onde
(f∗Y )(x) = (Df (x))−1· Y (f(x)). Diz-se que X é o pull-back de Y pelo difeomorfismo f .
Definimos a seguir campos de vetores em variedades.
1.10 Definição. Seja Φ = {φi : Ui ⊂ M → eUi ⊂ Rm, i∈ I} um atlas Cr, r ≥
k +1, numa variedade M . Um campo de vetores X em M é uma coleção de campos de vetores Ck, eX
i : eUi → Rm, tais que
(φj ◦ φ−1i )∗(Xj|φj( eUi∩ eUj)) = Xi|φi( eUi∩ eUj).
Denotamos por Xk(M )o conjunto de campos de vetores Ckem M .
1.11 Observação. Note que, pela definição acima,
(Dφi(x))−1(Xi(φi(x))) = (Dφj(x))−1(Xj(φj(x))),∀x ∈ Ui∩ Uj.
Daí, um campo de vetores Ckem M é uma seção Ckdo fibrado tangente, ou seja,
uma aplicação Ck, X : M → T M, tal que π ◦ X é a identidade em M.
Uma curva integral de um campo X em M é uma curva diferenciável α : (a, b)→ M tal que α′(t) = X(α(t)),∀t ∈ (a, b).
Como no caso euclideano, toda curva integral se estende a uma outra definida no intervalo maximal δ : (ω−, ω+)→ M.
6 CAPÍTULO 1. PARTIÇÕES DA UNIDADE
1.12 Proposição. Se ω+ < ∞, então para todo compacto K ⊂ M existe τ > 0
tal que se t > ω+ − τ, entçao δ(t) /∈ K. Analogamente, se ω− > −∞, então
δ(t) /∈ K, para todo t perto o suficiente de ω−.
Demonstração. Suponha que não é verdade. Então, existe uma sequência tn →
ω+ tal que δ(tn) ∈ K. Como K é compacto, a menos de uma subsequência,
podemos supor que δ(tn)→ x ∈ K.
Por outro lado, existem ϵ > 0, uma vizinhança V de x e uma função Ck,
φ : (−ϵ, ϵ) → M tais que, para todo y ∈ V , a aplicação t 7→ φ(t, y), t ∈ (−ϵ, ϵ) é uma curva integral de X com φ(0, y) = y.
Fixe n de modo que ω+ − tn < ϵ, e seja y = δ(tn) ∈ V . Daí, a aplicação
eδ : (tn− ϵ, tn+ ϵ)→ M, eδ(t) = φ(t − tn, y)é uma curva integral de X tal que
eδ(tn)− δ(tn).
Logo, δ = eδ no intervalo (tn − ϵ, ω+), donde estendemos δ a uma curva
integral em (ω−, tn+ϵ)que contém estritamente (ω−, ω+), uma contradição.
1.13 Observação. Se M é compacta, pela Proposição1.12, ou X se anula fora de um compacto de M ou o intervalo maximal de toda curva integral de X éR. Neste último caso, dizemos que X é completo.
Assim, se X é completo, está bem definida a aplicação φ : R × M → M φ(0, y) = y,∀y ∈ M; ∂φ
∂t(t, y) = X(φ(t, y)),∀t ∈ R, y ∈ M.
1.14 Proposição. Seja X um campo de vetores Cr sobre uma variedade M de
classe Cr+1. Seja φ : R × M → M tal que para cada x ∈ M, t 7→ φ(t, x) é a
curva integral de X que em t = 0 passa por x. Então: 1. φ é Cr;
2. As aplicações Xt : M → M, Xt(x) = φ(t, x)são difeomorfismos Cr, para
cada t ∈ R. E t 7→ Xt ∈ Diffr(M )é um homorfismo de grupo dos
difeo-morfismos Crde M com a operação de composição:
X0é a identidade em M ;
Xt+s = Xt◦ Xs.
7
1.15 Observação. Mesmo que M não seja compacta, podemos usar campos de
vetores para construir famílias a um parâmetro de mergulhos em regiões com fecho compacto de M .
De fato, se U ⊂ M é aberto com fecho compacto, existe ϵ > 0 e uma família de mergulhos Xt : U → M, t ∈ (−ϵ, ϵ) tais que, para cada x ∈ U, a aplicação
t7→ Xt(x)é uma curva integral de X.
Além disso, Se V ⊂ V ⊂ U tem fecho compacto, então existe ) < δ < ϵ
2 tal
que Xs+t|V = Xt◦ Xs|V,∀s, t ∈ (−δ, δ).
Com efeito, basta pegar compactos K1 ⊂ int K2com U ⊂ K1, e considerar o
campo Y que é o produto de X por uma função que vale 1 em K1e 0 fora de K2.
O campo Y é completo e seu fluxo Yt restrito a U é igual a Xt, se t é pequeno o
bastante.
1.16 Lema. Sejam M uma variedade diferenciável conexa e x ̸= y ∈ M. Então,
existe uma curva mergulhada em M passando por x e por y. Demonstração. Fixe x∈ M e seja
A ={z ∈ M; existe um arco mergulhado em M passando por x e z}. Já que x tem uma vizinhança aberta difeomorfa a uma bola, A contém essa vizi-nhança.
1 Afirmação. A é aberto.
De fato, se z0 ∈ A e V é uma vizinhança de z difeomorfa a uma bola convexa,
podemos interromper o arco que liga Z0a x em um ponto de V , e continuar o arco
ligando-o a qualquer outro ponto de uma vizinhança menor de z0 contida em V
por um arco na bola de raio maior.
Ora, seja α : [0, 1] → Rn um arco mergulhado contido na bola de centro 0
e raio 1, cuja imagem não contém o ponto 0, e tal que d(α(1), 0) < d(α(0), 0). Então, a função ρ : [0, 1] → R que a cada t associa o quadrado da distância de α(t)a 0 é C∞.
Seja r0 um valor regular desta função entre ρ(0) e ρ(1). Seja t0 = sup{t ∈
(0, 1); ρ(t) ≥ r0}. Temos que α([0, t0])∩ B0 = B(0, r0)e a derivada de ρ em t0
é negativa. Logo, α(t0)pertence ao bordo desta bola e o vetor tangente a α neste
ponto aponta para o interior de B0.
Seja L a reta que liga α(t0)a 0 e E o espaço tangente à esfera de raio r0e centro
0passando por α(t0).
8 CAPÍTULO 1. PARTIÇÕES DA UNIDADE Já que tanto α(t0 − ϵ, t0 + ϵ)como L1 são transversais a E, para ϵ pequeno
o suficiente, tanto a imagem desta curva quanto a reta L1 são gráficos de funções
definiddas numa vizinhança U ⊂ L numa vizinhança V ⊂ E de α(t0):
β, γ : U → V, C∞,
tais que graf(β) = graf(α(t0− ϵ, t0+ ϵ))e graf(γ)⊂ L1.
Tome uma função λ : U → [0, 1] diferenciável tal que λ(s) = 1, se s ∈ U está no exterior da bola B0e λ(s) = 0, se s está no interior de uma bola de raio r1 < r0.
Por fim, toma-se gráfico da função δ(s) = λ(s)β(s) + (1− λ(s))γ(s) unido a α([0, t0])e um segmento da reta L1 e obtém-se o arco mergulhado ligando α(0) a
z1.
Similarmente, prova-se que A é fechado. Portanto, A = M .
1.17 Definição. Dizemos que uma subvariedade S⊂ M de codimensão 1 é
trans-versal a um campo de vetores X se, para cada x∈ S, X(x) ̸= 0 e X(x) /∈ TxS.
Denotaremos por ∂
∂to campo de vetores que em cada (s, x)∈ R×S é o vetor
tangente à curva t7→ (s + t, x) em t = 0.
1.18 Teorema (Fluxo tubular). Seja α : [0, l] → M uma curva integral
mergu-lhada do campo diferenciável X (α′(t)̸= 0, ∀t e α é injetiva).
Seja B = B(0, 1) ⊂ Rm−1a bola unitária. Então, existe uma vizinhança W
de α([0, 1]) e um difeomorfismo ψ : (−ϵ, l + ϵ) × B → W tal que ψ∗X = ∂ ∂t.
Demonstração. Exercício.
1.19 Corolário. Seja M variedade diferenciável e um mergulho diferenciável γ :
[0, 1] → M. Existe uma carta local φ : U → Rm tal que a imagem de γ está
contida em U e sua imagem por φ é [0, 1]× {0} ⊂ [0, 1] × Rm−1.
Demonstração. Como a imagem de γ é compacta, podemos tomar uma famílila finita de cartas locais φi : Wi → (−3, 3) × Bm−1(0, 3)tais que Dφiγ′(t) = ∂t∂ e
a imagem de γ esteja contida em∪iφ−1i ((−1, 1) × Bm−1(0, 1)).
Seja Xio campo de vetores em M que é nulo fora de Wie, em Wicoincide com
φ∗(λ∂t∂), onde λ é uma função não negativa diferenciável que vale 1 em (−1, 1)× Bm−1(0, 1)), e vale 0 em (−2, 2) × Bm−1(0, 2)).
O campo X =∑iXié nulo fora de um compacto e X(γ(t)) é um múltiplo
positivo de d
dtγ(t). Daí, a curva integral de X pelo ponto γ(0) contém a imagem
9
Métricas Riemannianas
Uma métrica Riemanniana Ck em um aberto U ⊂ Rm é aplicação que a cada
x∈ U associa um produto interno
⟨·, ·⟩x :Rm× Rm → R
tal que para todo par de campo de vetores Ck(ou seções de um fibrado vetorial)
X, Y : U → Rma função
x7→ ⟨X(x), Y (x)⟩x ∈ R
é de classe Ck.
Sejam ∂x∂
i : U → R
m os campos de vetores x 7→ (0, · · · , 1, · · · , 0), cuja
i-ésima coordenada é igual a 1 e as outras são nulas.
Considere a matriz G(x) = (gij(x))ij, com gij(x) =⟨∂x∂i,∂x∂j⟩x.
Pensando um vetor v ∈ Rmcomo uma matriz m× 1, temos
∗ {
gij(x) = gji(x) ∀x ∈ U
vt· G(x) · v > 0 ∀x ∈ U, v ∈ Rm
Por outro lado, se a matriz de funções G = (gij)satisfaz às condições acima,
então define uma métrica Riemanniana pela fórmula ⟨v, w⟩x = vt· G(x) · w.
Considere uma curva C1por partes α : [0, 1]→ U e defina seu comprimento
por l(α) = ∫ 1 0 ∥d dtα(t)∥α(t)dt, onde ∥d dtα(t)∥ 2 α(t)t =⟨ d dtα(t), d dtα(t)⟩α(t).
Uma métrica riemanniana induz uma distância d : U × U → R dada por d(x, y) = inf{l(α); α : [0, 1] → U, C1por partes α(0) = x, α(1) = y}. É fácil ver que
10 CAPÍTULO 1. PARTIÇÕES DA UNIDADE 1. d(x, x) = 0;
2. d(x, y) > 0, x̸= y; 3. d(x, y) = d(y, x);
4. d(x, z)≤ d(x, y) + d(y, z).
Se x ∈ U e V ⊂ U, por continuidade das funções gij, existe uma constante
C > 0tal que 1
C∥v∥x ≤ ∥v∥y ≤ C∥v∥x,∀y ∈ V, ∀v ∈ R m.
Assim, a topologia definida por d é a mesma de U como subconjunto deRm
e a função (x, y)7→ d(x, y) é contínua. Logo, dado um compacto K ⊂ U, existe uma constante CK ≥ 1 tal que
1
Ck∥x − y∥ ≤ d(x, y) ≤ C
K∥x − y∥.
Sejam x ∈ U 7→ ⟨·, ·⟩x e y ∈ V 7→ ⟨·, ·⟩y duas métricas riemannianas Ck
e d, edas funções distância correspondentes. Dizemos que um difeomorfismo f : U → V é uma isometria se ∥Df(x)v∥f (x) =∥v∥x,∀v ∈ Rm. Nesse caso, ⟨Df(x)v, Df(x)w⟩f (x) =⟨v, w⟩x,∀x ∈ U, ∀v, w ∈ Rm. e e d(f (x), f (y)) = d(x, y),∀x, y ∈ U.
Analogamente, uma métrica riemanniana Ck em M é definida como uma
aplicação que a cada x∈ M associa um produto interno ⟨·, ·⟩x : TxM × TxM → R
tal que para todo par de campos de vetores Ck, X, Y em M , a função x 7→
⟨X(x), Y (x)⟩xé Ck.
Se{φi : Ui ⊂ M → eUi ⊂ Rm} é um atlas Ck+1em M , um métrica
rieman-niana em M pode ser identificada com uma família de métricas riemanrieman-nianas em cada eUide modo que as mudanças de coordenadas são isometrias.
11 Em geral, uma forma bilinear simétrica de classe Ck em M é uma função
B que associa a cada x ∈ M uma forma bilinear simétrica B(x) : TxM ×
TXM → R tal que para todo par de campos de vetores X, Y , Ck, a aplicação
x7→ B(x)(X(x), Y (x)) é Ck.
Logo, uma métrica riemanniana é uma forma bilinear simétrica Ckpositiva
definida: B(x)(v, w) > 0 se v ∈ TxM \ {0}.
1.20 Proposição. Toda variedade M de classe Ck+1admite uma métrica
rieman-niana de classe Ck.
Demonstração. Seja φi : Wi → B(0, 3) uma família de cartas locais tais que
1. Wi é família localmente finita;
2. ∪∞i Ui = M, com Ui = φ−1i (B(0, 1)).
Seja λ :Rm → [0, 1] uma função diferenciável que vale 1 em B(0, 1) e 0 fora
de B(0, 2).
Definimos uma forma bilinear simétrica Bi em M pondo para cada x ∈ M
e v, w ∈ TxM
Bi(x)(v, w) =
{
0 se x /∈ Wi
λ(φi(x)· ⟨Dφi(x)v, Dφi(x)w⟩ se x ∈ Wi,
onde⟨·, ·⟩ é o produto interno usual de Rm.
Se v ∈ TxM \ {0}, então
Bi(x)(v, v) ≤ 0, ∀x ∈ M
Bi(x)(v, v) > 0,∀x ∈ Ui.
Daí,
⟨v, w⟩ := Bi(x)(v, w)
