Álgebra Linear

(1)

Sum´

ario

1 Topicos sobre Matrizes e Sistemas Lineares 2

1.1 Opera¸c˜oes entre Matrizes . . . 2

1.1.1 Multiplica¸c˜ao de matriz por matriz . . . 3

1.2 Sistemas lineares . . . 6

1.2.1 Classifica¸c˜ao de sistemas lineares a partir da matriz reduzida a forma escada . . . 9

1.2.2 Matriz inversa . . . 11 2 Espa¸cos Vetoriais 13 2.1 Vetores . . . 13 2.2 Espa¸cos vetoriais . . . 14 2.3 Subespa¸cos vetoriais . . . 15 2.4 Combina¸c˜ao Linear . . . 17

(2)

SUM ´ARIO 2

2.6 Base e dimens˜ao . . . 19

2.7 Mudan¸ca de base . . . 23

3 Transforma¸c˜oes Lineares 28 3.1 Introdu¸c˜ao . . . 28

3.1.1 Transforma¸c˜oes do plano no plano: . . . 29

3.2 Conceitos e Teoremas: . . . 34

3.3 N´ucleo e Imagem de uma Transforma¸c˜ao Linear . . . 36

3.4 Matriz de uma Transforma¸c˜ao Linear . . . 43

3.5 Opera¸c˜oes com Transforma¸c˜oes Lineares . . . 49

3.5.1 Adi¸c˜ao: . . . 49

3.5.2 Multiplica¸c˜ao por escalar: . . . 49

3.5.3 Composi¸c˜ao: . . . 50

3.6 Operadores Lineares . . . 51

4 Autovalores e autovetores 53 4.1 Introdu¸c˜ao e Defini¸c˜ao . . . 53

4.1.1 Autovalores e autovetores associados a uma matriz . . 54

4.2 Polinˆomio Caracter´ıstico . . . 55

(3)

SUM ´ARIO 3

4.3.1 Base de autovetores: . . . 56

4.3.2 Polinˆomio Minimal . . . 60

4.4 Aplica¸c˜ao ao estudo das cˆonicas . . . 64

4.4.1 Formas lineares, bilineares e quadr´aticas . . . 64

4.4.2 Classifica¸c˜ao das Cˆonicas . . . 70

5 Produto Interno 78 5.1 Defini¸c˜ao . . . 78

5.2 Ortogonalidade . . . 80

5.3 Norma e ˆangulo entre vetores . . . 82

5.4 Processo de ortogonaliza¸c˜ao de Gram-Schmidt . . . 86

6 Operadores Auto-adjuntos e Ortogonais 92 6.1 Introdu¸c˜ao . . . 92

6.2 Defini¸c˜ao de operador auto-adjunto e ortogonal . . . 97

6.3 Caracteriza¸cão e Diagonaliza¸cão de operadores Auto-adjuntos 98 6.4 Caracteriza¸cão dos Operadores Ortogonais . . . 100

(4)

Cap´ıtulo 1

Topicos sobre Matrizes e

Sistemas Lineares

1.1 Opera¸c˜

oes entre Matrizes

DEFINI ¸C ˜AO:

i) A soma de duas matrizes de mesma ordem, A = [aij]_m_×ne B = [bij]_m_×n,

´e denotada por A + B, tem mesma ordem de A e B, e elementos que s˜ao as somas dos elementos de A e B.

A+ B = [aij + bij]_m_×n (1.1)

ii) O produto de uma matriz A = [aij]_m_×n por um n´umero real k,

(5)

1.1 Opera¸c˜oes entre Matrizes 5

produto dos elementos de A por k.

kA= [kaij]_m_×n (1.2) Propriedades: i) k (A + B) = kA + kB ii) (k1+ k2) A = k1A+ k2A iii_{) 0 · A = O} iv) k1(k2A) = (k1k2) A

1.1.1 Multiplica¸c˜

ao de matriz por matriz

Suponha que a matriz abaixo fornece as quantidades das vitaminas A, B e C contidas em cada unidade dos alimentos I e II.

Matriz alimento × vitamina:

Alimento I Alimento II A B C    4 3 0 5 0 1    (1.3)

Suponha que um prato P contenha 5 unidades do alimento I e 2 unidades do alimento II.

(6)

Matriz prato × alimento:

prato P I II 5 2 (1.4)

Qual seria a composi¸c˜ao vitam´ınica desse prato?

(prato × alimento) . (alimento × vitamina) = 5 2 ·    4 3 0 5 0 1    (1.5) 5.4 + 2.5 5.3 + 2.0 5.0 + 2.1 = 30 15 2 A B C = (prato × vitamina) (1.6) E se o pre¸co do prato P dependesse exclusivamente do teor vitam´ınico, qual seria o seu pre¸co considerando que os pre¸cos por unidade de vitamina A, B e C s˜ao respectivamente 1,5 , 3 e 5 u.c.p.?

Matriz vitamina × pre¸co:

A B C pre¸co       1, 5 3 5       (1.7)

(7)

(prato × vitamina) . (vitamina × pre¸co) = 30 15 2 ·       1, 5 3 5       (1.8) (prato × pre¸co) . = [100] (1.9)

DEFINI ¸C ˜AO: Multiplica¸c˜ao de matrizes:

Sejam A = [aij]_m_×n e B = [brs]n_×p. Definimos A.B = [cuv]m_×p com

cuv= n X k=1 aukbkv = au1b1v + au2b2v + · · · + aunbnv (1.10) Propriedades: i_{) A.B 6= B.A}

ii) A.I = I.A = A (I =matriz identidade) iii) A (B + C) = AB + AC

iv) (A + B) C = AC + BC v) (AB) C = A (BC) vi) 0.A = A.0 = 0

(8)

1.2 Sistemas lineares 8

1.2 Sistemas lineares

SISTEMA            x+ 4y + 3z = 1 2x + 5y + 4z = 4 x_{− 3y − 2z = 5} (1.11) EXPRESS ˜AO MATRICIAL       1 4 1 2 5 4 1 3 5             x y z       =       1 4 5       (1.12)

MATRIZ ASSOCIADA AO SISTEMA:       1 4 1 2 5 4 1 3 5 | {z }

matriz dos coeficientes

1 4 5       | {z } matriz ampliada (1.13)

DEFINI ¸C ˜AO: Dada uma matriz Am_×n, seja Bm_×n a matriz-linha

redu-zida a forma escada linha equivalente de A. O posto de A, denotado por p, é o número de linhas não-nulas de B. A nulidade, é a diferen¸ca entre as colunas de A e o posto (n − p).

(9)

1.2 Sistemas lineares 9 Exemplo: A =       1 2 1 0 −1 0 3 5 1 _{−2 1 1}       −→ · · · −→ B =       1 0 0 −78 0 1 0 −14 0 0 1 11₈       (1.14) Posto: 3 ; Nulidade: 4 − 3 = 1

Teoremas que associam a Forma escada ao escalonamento de sistemas: i) Dois sistemas que têm matrizes ampliada equivalentes, são equivalentes; ii) Toda matriz é linha equivalente a uma única matriz-linha reduzida a forma escada. ou seja:            x+ 2y + z = 0 −x + 3z = 5 x_{− 2y + z = 1} −→       1 2 1 0 −1 0 3 5 1 _{−2 1 1}       −→       1 0 0 −78 0 1 0 −14 0 0 1 11₈       −→            x_{= −}7₈ y_{= −}1₄ z = 11₈ (1.15) Considere um sistema de m equa¸cões e n incógnitas:

                 a11x1+ a12x2+ · · · + a1nxn= b1 a21x1+ a22x2+ · · · + a2nxn= b2 ... ... ... ... ... am1x1+ am2x2+ · · · + amnxn = bm (1.16)

(10)

com coeficientes aij e constantes bi sendo n´umeros reais (ou complexos).

Esse sistema poderá ter: i) Uma única solu¸cão:

x1 = k1 (1.17)

... (1.18)

xn = kn (1.19)

ii) infinitas solu¸c˜oes iii) nenhuma solu¸c˜ao.

           pa= pc = p - Sistema poss´ıvel      p= n - Sistema determinado p < n- Sistema indeterminado pa6= pc - Sistema imposs´ıvel (1.20)

Matriz linha-reduzida a forma escada (1.21)

           pa= pc = p - Sistema poss´ıvel      p= n - Sistema determinado p < n- Sistema indeterminado pa6= pc - Sistema imposs´ıvel (1.22)

(11)

1.2.1 Classifica¸c˜

ao de sistemas lineares a partir da

matriz reduzida a forma escada

Exemplos: 1)            x_{− 2y + z = 0} x+ 2y + 2z = 3 3x − 2y + 4z = 3 (1.23) , Solution is: x= 3 2 − 3 2z, y = 3 4 − 1 4z 2)            x_{− 2y + z = 0} x+ 2y + 2z = 3 3x − 2y + 4z = 4 (1.24) , No solution found. 3)      x+ 2y + z + t = 0 x_{+ 3y − z + 2t = 0} (1.25) , Solution is: [x = t − 5z, y = 2z − t] Exemplos: 1)            x_{− y + z = 0} x+ 2y + 2z = 3 3x − y + 4z = 4 , Solution is: [x = −7, y = −1, z = 6]

(12)

1.2 Sistemas lineares 12       1 0 0 −7 0 1 0 −1 0 0 1 6       (1.26) pa = pc = p = 3 (1.27) n = p = 3 (1.28) Sistema determinado! 2)                  x_{− y + 3z = 0} x+ 2y + 2z = 3 3x − 2y + 4z = 4 x_{+ 2y − z = 2} , No solution found.          1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1          (1.29) pa = 4; pc = 3 (1.30) pa 6= pc (1.31) Sistema imposs´ıvel 3)            x_{− y + 3z + 2w = 0} x_{+ y − 3z + 3w = 3} 3x − y + 3z + 7w = 3 , Solution is: [w = 6z − 2y + 3, x = 5y − 15z − 6]

(13)

1.2 Sistemas lineares 13       1 0 0 5₂ 3₂ 0 1 −3 1 2 3 2 0 0 0 0 0       (1.32) pa = pc = 2 (1.33) n = 4; p = 2 (1.34) n_{− p = 2} (1.35)

Sistema indeterminado com 2 vari´aveis livres

1.2.2 Matriz inversa

Defini¸c˜ao: Dada uma matriz quadrada A de ordem n, chamamos de inversa de A, uma matriz B, tal que A·B = B ·A = In, onde In´e a matriz identidade

de ordem n. Escrevemos A−1 _{para a inversa de A.}

Exemplo: Seja A =    2 3 1 4    . Ent˜ao, A−1 =    4 5 − 3 5 −15 2 5    . TEOREMA:

i_{) Uma matriz A ´e invers´ıvel, se e somente se, det A 6= 0.}

ii) Se A é uma matriz invers´ıvel, então o determinante da matriz inversa, é dado por det A−1 ₌ 1

(14)

1.2 Sistemas lineares 14 Prova: Exemplos: 1) A =       1 1 −1 0 3 3 1 2 −2       , inverse : A−1 ₌       2 _{0 −1} −1 2 1 6 1 2 1 2 1 6 − 1 2       2) B =          1 0 0 4 1 1 1 0 2 −2 0 1 3 −3 −1 0          , inverse: B−1 ₌          1 9 4 9 − 4 9 4 9 2 9 7 18 − 8 9 7 18 −1 3 1 6 4 3 − 5 6 2 9 − 1 9 1 9 − 1 9          3) C =       1 2 1 0 3 6 −1 −5 −7      

C n˜ao ´e invers´ıvel

(15)

Cap´ıtulo 2

Espa¸cos Vetoriais

2.1 Vetores

DEFINI ¸C ÃO: Um vetor ~v é uma classe de equipolência de segmentos ori-entados em E3 _{(ou em E}2_{), ou seja, se ~v =}−→_AB_{, ~v é um conjunto de vetores}

equipolentes a −→AB.

~v=n−−→XY _| −−→XY _∼−→ABo

Propriedades operat´orias:

Dados os vetores ~u, ~v e ~w_{∈ V e os escalares α, β ∈ R :} ai) Associativa: (~u + ~v) + ~w= ~u + (~v + ~w)

aii) Comutativa: ~u + ~v = ~v + ~u

(16)

2.2 Espa¸cos vetoriais 16

aiv_{) Elemento oposto: Dado ~u, existe o oposto −~u, tal que ~u + (−~u) =} (−~u) + ~u = ~0

mi) Distributiva com rela¸cão a adi¸cão de vetores: α (~u + ~v) = α~u + α~v mii) Distributiva com rela¸cão a adi¸cão de escalares: (α + β) ~u = α~u + β~u miii_{) Elemento neutro: 1 · ~u = ~u}

miv) Associativa: (αβ) ~u = α (β~u) = β (α~u)

N˜ao s˜ao apenas os vetores que obedecem a essas propriedades. Aos con-juntos que satisfazem essas oito propriedades nomeamos ESPA ¸COS VETO-RIAIS.

2.2 Espa¸cos vetoriais

DEFINI ¸C ÃO: Espa¸co vetorial real é um conjunto V , não-vazio, munido de duas opera¸cões: soma (V × V → V ) e multiplica¸cão por escalar (R × V+ →· V), tais que para todo e qualquer que sejam ~u, ~v e ~w _{∈ V e α, β ∈ R} as propriedades operatórias dos vetores(de ai) a aiv) e de mi) a miv)) são satisfeitas.

Exemplos:

a) Vetores no plano (R2_{) e no espa¸co (R}3_);

b) Espa¸cos de dimens˜ao finita (Rn_);

(17)

2.3 Subespa¸cos vetoriais 17

d) Espa¸co dos polinˆomios de grau menor ou igual a 3 (V = P3)

e) Espa¸co das fun¸c˜oes cont´ınuas de R em R.

2.3 Subespa¸cos vetoriais

DEFINI ¸C ÃO: Seja V um espa¸co vetorial e S um subconjunto de V.S será subespa¸co de V , se e somente se forem atendidas as seguintes condi¸cões:

i_{) 0 ∈ S}

ii_{) ∀u, v ∈ S ⇒ u + v ∈ S} iii_{) ∀u ∈ S; ∀k ∈ R ⇒ k · u ∈ S}

Exemplos:

1) Um plano em R3_{, que cont´em a origem ´e um subespa¸co do R}3_;

2) Uma reta em R2_{, que não contém a origem, não é um subespa¸co do R}2

3) Seja ̥ (R, R) o conjunto das fun¸cões reais, e seja S (R, R) o conjunto dos polinômios reais. Então S é subespa¸co de ̥.

Prova:

4) Para V = R2_{, S = {(x, x}2_{) ; x ∈ R} n˜ao ´e um subespa¸co.}

Prova:

(18)

2.3 Subespa¸cos vetoriais 18

S que n˜ao ´e subespa¸co do Rn_.

Prova:

TEOREMA: Intersec¸c˜ao e soma de subespa¸cos Dados W1 e W2 subespa¸cos de um espa¸co vetorial V :

i) a interse¸c˜ao W1∩ W2 ´e subespa¸co de V ;

ii) a soma W1+ W2 = {v ∈ V ; v = w1+ w2; w1 ∈ W1 e w2 ∈ W2} ´e um

subespa¸co de V. Dem.: i) (i)0 ∈ W1∩ W2 (ii) Dados x, y ∈ W1∩ W2 =⇒ x, y ∈ W1 e x, y ∈ W2 ⇒ x + y ∈ W1 e x_{+ y ∈ W}2 ⇒ x + y ∈ W1∩ W2 (iii) Dados x ∈ W1 ∩ W2 e k ∈ R =⇒ x ∈ W1 e x ∈ W2 ⇒ kx ∈ W1 e kx_{∈ W}2 ⇒ kx ∈ W1∩ W2 ii) Exerc´ıcios:

1) Verificar se os conjuntos W s˜ao subespa¸cos de V : a) W = {(x, y) ; y = −x} e V = R2

(19)

2.4 Combina¸c˜ao Linear 19 c) W =         a 0 0 a    ; a ∈ R      e V = M (2, 2) d) W = Q e V = R

2) Seja V = M (2, 2). Mostre que W não é um subespa¸co de V , onde: a) W é o conjunto de todas as matrizes de determinante igual a zero. b) W é o conjunto de todas as matrizes A, tais que A2 _{= A.}

2.4 Combina¸c˜

ao Linear

DEFINI ¸C ˜AO: Combina¸c˜ao linear

Sejam v1, v2, ..., vn vetores de um dado espa¸co vetorial V e a1, a2, ..., an

n´umeros reais. Ent˜ao um vetor v tal que

v = a1v1+ a2v2 + ... + anvn

pertence a V e ´e dito combina¸c˜ao linear de v1, v2, ..., vn.

Exemplos:

a) v = (3, 4) ´e combina¸c˜ao linear de v1 = (1, 2) e v2 = (1, 1), pois v =

v1+ 2v2

b) Escrever v = (2, 4, 5) como combina¸c˜ao linear de v1 = (2, −1, 0), v2 =

(20)

2.4 Combina¸c˜ao Linear 20 v = 20 3v1+ 32 15v2− 14 15v3 DEFINI ¸C ˜AO: Subespa¸co vetorial Gerado

Seja V um espa¸co vetorial e v1, v2, ..., vn ∈ V. Suponha W como o

con-junto de todas as combina¸c˜oes lineares poss´ıveis entre v1, v2, ..., vn. Ent˜ao,

W ´e dito subespa¸co vetorial gerado por v1, v2, ..., vn, e ´e denotado por W =

[v1, v2, ..., vn], ou mais formalmente por

W = ( v _{∈ V ; v =} n X i=1 aivi; ai ∈ R ) Exemplos: a) e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) geram o R2.

b) Escrever o espa¸co vetorial gerado pelos vetores v1 = (1, 2, 3) e v2 =

(2, 3, 1) . Resposta:

W _{= {(a + 2b, 2a + 3b, 3a + b) ; a, b ∈ R} ou} W _{= {(x, y, z) ; 7x − 5y + z = 0}}

(21)

2.5 Dependˆencia e Independˆencia Linear 21

2.5 Dependˆ

encia e Independˆ

encia Linear

DEFINI ¸C ˜AO: Vetores LI e LD Considere a equa¸c˜ao:

a1v1+ a2v2+ ... + anvn= 0

com a1, ..., an ∈ R. Os vetores v1, ..., vn ser˜ao ditos:

i) Linearmente independentes (LI ), se, e somente se a única solu¸cão da equa¸cão for a1 = ... = an = 0;

ii) Linearmente dependentes (LD), se, se somente se existir alguma solu-¸c˜ao com ai 6= 0 (i = 1, 2 ou n) Exemplos: 1) Verifique se s˜ao LI ou LD: a) v1 = (1, 0, 2) ; v2 = (2, 0, 1) ; v3 = (1, 3, 1) b) v1 =    2 3 1 5    ; v2 =    1 4 −1 7    ; v3 =    0 0 0 1   

2.6 Base e dimens˜

ao

DEFINI ¸C ˜AO: Base de um espa¸co vetorial

Seja α = {v1, ..., vn}, um conjunto de vetores do espa¸co V. O conjunto α

(22)

2.6 Base e dimens˜ao 22

i) Os vetores v1, ..., vn s˜ao LI

ii) [v1, ..., vn] = V , ou seja, v1, ..., vn geram V

DEFINI ¸C ˜AO: Dimens˜ao de um espa¸co vetorial

Se α = {v1, ..., vn} é uma base do espa¸co V , então a dimensão do espa¸co

V ´e dada pelo n´umero de vetores contidos na base α, ou seja:

dim V = n

Exemplos:

1) {(1, 0) , (0, 1)} ´e uma base do R2

2) {(1, 2) , (−2, −4)} n˜ao ´e uma base do R2

3) Verifique se         1 2 3 4    ,    0 1 0 2    ,    1 0 0 0    ,    1 0 2 5        

´e uma base de V = M (2, 2) .

TEOREMA:

Sejam v1, ..., vn vetores n˜ao-nulos que geram V. Ent˜ao, dentre esses n

vetores, podemos extrair uma base de V. Dem.:

(23)

ii) Se v1, ..., vn não são LI, existe solu¸cão não-nula para a equa¸cão:

a1v1+ a2v2+ ... + anvn= 0

Suponha que há solu¸cão xn não nula. Podemos então escrever:

vn = − x1 xn vi− ... − xn₋₁ xn vn₋₁

ou seja, vn pode ser escrito como combina¸c˜ao linear dos outros vetores da

base.

Se os vetores que sobram, v1, ..., vn−1, ainda s˜ao LD, repita-se o processo

para xn₋₁.

O processo se repete r vezes (r < n), at´e que sobre o conjunto {vi1, vi2, ..., vir}

que ´e uma base de V , pois ´e LI, e gera V .

Exemplos:

1) Extrair uma base para G (A), sendo A = {(1, 2, 3) , (3, 2, 1) , (1, 0, 4) , (−1, 1, 1)} . 2) Escrever uma base e dar a dimens˜ao de W = {(x, y, z) ; x + 2y = 0; z − x = 0} TEOREMA (da Dimens˜ao Finita)

(24)

finita. Ent˜ao:

dim U ≤ dim V dim W ≤ dim V Al´em disso:

dim (U + W ) = dim U + dim W − dim (U ∩ W )

Dem.:

Sejam U = [u1, u2, ..., un] e W = [w1, w2, ..., wm] . Temos, ent˜ao dim U =

n; dim W = m. O espa¸co U +W ser´a gerado pelos vetores u1, ..., un, w1, ..., wm,

dentre os quais, escolher-se-a um conjunto de vetores LI. Se dim (U + W ) = k, significa que podem ser exclu´ıdos m+n−k vetores dentre os que geram U +W , e que esses vetores formam uma base de U ∩ W.

Ent˜ao:

m_{+ n − k = (m + n) − k}

(25)

2.7 Mudan¸ca de base 25

3) Sejam

W1 = {(x, y, z) ; 2x − y + z = 0}

W2 = {(x, y, z) ; x = 2y; z = y}

subespa¸cos do R3_.

a) Determine W1∩ W2, sua dimens˜ao e uma de suas bases.

b) Determine W1+ W2, sua dimens˜ao e uma de suas bases

c) Considere a seguinte defini¸c˜ao: DEFINI ¸C ˜AO: Soma direta

Seja V um espa¸co vetorial, e W1 e W2 subespa¸cos de V. A express˜ao

W1⊕ W2 ´e dita soma direta , e ´e dada por W1⊕ W2 = W1+ W2, se e somente

se W1+ W2 = V e W1∩ W2 = {0}

Agora responda:

A soma da letra ”b”pode ser dita soma direta? Justifique.

2.7 Mudan¸ca de base

A escolha de uma base conveniente β pode facilitar muito a solu¸c˜aio de um problema. No entanto, o problema pode vir expresso em uma base diferente β′_{, o que torna ´}_{util saber como se faz para a mudan¸ca de base (no caso de β}′

(26)

Sejam β = {~u1, ..., ~un} e β′ = { ~w1, ..., ~wn} bases distintas de um mesmo

espa¸co V.

Dado v ∈ V , podemos escrever:

~v = x1~u1+ x2~u2+ ... + xn~un (2.1a) ~v = y1w~1+ y2w~2+ ... + ynw~n (2.1b) ou ent˜ao [~v]_β =          x1 x2 .. . xn          e [~v]_β′ =          y1 y2 .. . yn         

Nosso objetivo ´e, partindo das coordenadas do vetor na base β′_{, obter as}

coordenadas desse mesmo vetor na base β.

Ent˜ao, escrevamos os vetores da base β′ _{como combina¸c˜ao linear dos}

vetores da base β :                  ~ w1 = a11~u1+ a21~u2+ ... + an1~un ~ w2 = a12~u1+ a22~u2+ ... + an2~un ... ~ wn= a1n~u1+ a2n~u2+ ... + ann~un (2.2) Substituindo (2.2) em (2.1b):

(27)

2.7 Mudan¸ca de base 27 ~v = y1w~1+ y2w~2 + ... + ynw~n ~v = y1(a11~u1+ a21~u2+ ... + an1~un) + +y2(a12~u1+ a22~u2+ ... + an2~un) +... + +yn(a1n~u1+ a2n~u2+ ... + ann~un) ~ w1 = (a11y1+ a12y2+ ... + a1nyn) ~u1+ + (a21y1+ a22y2 + ... + a2nyn) ~u2+ +... + + (an1y1+ an2y2+ ... + annyn) ~un

Comparando com (2.1a):

~v = x1~u1+ x2~u2+ ... + xn~un temos: _                 x1 = a11y1+ a12y2+ ... + a1nyn x2 = a21y1+ a22y2+ ... + a2nyn xn = an1y1+ an2y2+ ... + annyn

(28)

que ´e um sistema linear que pode ser expresso matricialmente por:          x1 x2 ... xn          =          a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n ... ... ... ... an1 an2 · · · ann          | {z }

[I]β′_β - matriz de mudan¸ca de base (β′_→β)

         y1 y2 ... yn          [~v]_β = [I]β_β′[~v]_β′

A matriz [I]β_β′ ´e dita matriz de mudan¸ca da base β′ _{para a base β}_{, e suas}

colunas s˜ao as coordenadas dos vetores ~w1, ..., ~wn (da base β′) colocados na

base β (em fun¸c˜ao de ~u1, ..., ~un).

Exemplos:

1) Sejam β = {(1, 2) , (2, 1)} e β′ _{= {(0, 2) , (1, 3)} .}

a) Determine [I]β_β′ e [I]β_β′.

b) Verifique que [I]β_β′ =

[I]β_β′−1 c) Suponha que [v]_β′ =    3 −2   . Determine [v]β. Resposta: a) [I]β_β′ =    4 3 5 3 −23 − 1 3    ; [I ] β β′ =    −12 − 5 2 1 2   

(29)

2.7 Mudan¸ca de base 29 b) [v]_β = [I]β_β′[v]_β′ =    4 3 5 3 −2 3 − 1 3       3 −2    =    2 3 −4 3    2) Prove o teorema:

TEOREMA: Inversa da matriz de mudan¸ca de base

[I]β_β′ =

(30)

Cap´ıtulo 3

Transforma¸c˜

oes Lineares

3.1 Introdu¸c˜

ao

DEFINI ¸C ˜AO: Transforma¸c˜ao Linear

Sejam V e W dois espa¸cos vetoriais. Uma transforma¸cão (aplica¸cão) linear, é uma fun¸cão de V em W (T : V → W ) que satisfaz às seguintes condi¸cões:

(i) ∀u, v ∈ V ⇒ T (u + v) = T (u) + T (v) (ii) ∀u ∈ V ; ∀k ∈ R ⇒ T (k.u) = k.T (u) Exemplos:

1) T (x) = 3x

(31)

3.1 Introdu¸c˜ao 31

3) T (x, y, z) = (2x + z, x + z, z + 3)

3.1.1 Transforma¸c˜

oes do plano no plano:

3.1.1.1 Expans˜ao ou contra¸c˜ao uniforme:

T : R2 _{→ R}2 _{, α}_{∈ R} v _{7−→ αv} Exemplo: T : R2 _{→ R}2 _{, α}_{∈ R} v _{7−→ 2v} T(x, y) = 2 (x, y) = (2x, 2y)    x y    → 2    x y    ou    x y    →    2 0 0 2       x y   

(32)

3.1.1.2 Reflex˜ao em torno do eixo x:

T : R2 _{→ R}2 (x, y) 7−→ (x, −y) T _{(x, y) = (x, −y)}    x y    →    x −y    ou    x y    →    1 0 0 −1       x y    3.1.1.3 Reflex˜ao na origem: T : R2 _{→ R}2 v _{7−→ −v} T _{(x, y) = (−x, −y)}    x y    →    −x −y    ou    x y    →    −1 0 0 ₋₁       x y   

(33)

3.1.1.4 Rota¸cão de um Ângulo θ : Admita a seguinte nota¸cão:

v = (x, y) Rθ(v) = (x′, y′)

(34)

Observando a geometria da figura, temos:

x = r cos α y = r sin α

x′ _{= r cos (α + θ) = r cos α cos θ − r sin α sin θ} x′ _{= x cos θ − y sin θ}

y′ = r sin (α + θ) = r sin α cos θ + r cos α sin θ y′ = y cos θ + x sin θ

Ent˜ao:

Rθ(x, y) = (x cos θ − y sin θ, y cos θ + x sin θ)

ou matricialmente:    x y    →    x_{cos θ − y sin θ} ycos θ + x sin θ    =    cos θ − sin θ sin θ cos θ    | {z } Matriz de rota¸c˜ao    x y   

(35)

3.1 Introdu¸c˜ao 35 3.1.1.5 Cisalhamento horizontal: T : R2 _{→ R}2 , α_{∈ R} (x, y) 7−→ (x + αy, y) Exemplo: T(x, y) = (x + 2y, y)    x y    →    x+ 2y y    ou    x y    →    1 2 0 −1       x y    3.1.1.6 Transla¸c˜ao: T (x, y) = (x + a, y + b)    x y    →    1 0 0 1       x y    +    a b   

(36)

3.2 Conceitos e Teoremas: 36

3.2 Conceitos e Teoremas:

TEOREMA: Unicidade de uma transforma¸c˜ao linear

Dados dois espa¸cos vetoriais reais, V e W e uma base de V, {v1, ..., vn} ,

sejam w1, ..., wn ∈ W. Então existe uma única aplica¸cão linear T : V → W ,

tal que T (v1) = w1, ..., T (vn) = wn. Dado v ∈ V , com

v = a1v1+ ... + anvn

a transforma¸c˜ao linear do vetor v ´e dada por:

T(v) = a1w1+ a2w2+ ... + anwn

Demosntra¸c˜ao:

(i) Inicialmente, mostremos que a transforma¸cão de uma combina¸cão li-near de n vetores é igual a combina¸cão lili-near de transforma¸cão desses n vetores.

v = a1v1+ ... + anvn

T (v) = T (a1v1+ ... + anvn)

(37)

3.2 Conceitos e Teoremas: 37

T(v) = T (a1v1) + ... + T (anvn)

T(v) = a1T (v1) + ... + anT (vn)

mas T (v1) = w1, ..., T(vn) = wn, logo:

T (v) = a1w1+ ... + anvn

(ii) Agora mostremos que T ´e ´unica:

Suponha, por absurdo que existe uma outra transforma¸c˜ao T′_{, tal que}

T′(v1) = w1, ..., T′(vn) = wn. Ent˜ao:

T′(v) = T′(a1v1+ ... + anvn)

= a1w1+ ... + anvn

⇒ T′(v) = T (v) ou seja, T ´e ´unica.

Exemplo:

(38)

3.3 N´ucleo e Imagem de uma Transforma¸c˜ao Linear 38

2) Determinar T : R3 _{→ R}3_{, tal que T (1, 0, 1) = (3, 4, 1) , T (0, 2, 0) =}

(1, 1, 0) e T (1, 2, 3) = (1, 0, 0) .

3.3 N´

ucleo e Imagem de uma

Transforma¸c˜

ao Linear

DEFINI ¸C ÃO: Núcleo e Imagem de uma Transforma¸cão Linear

Sejam V e W espa¸cos vetoriais e seja T : V → W , uma transforma¸c˜ao linear.

(i) O Núcleo _{de T é o conjunto de vetores v ∈ V , tais que T (v) = 0 e é} denotado por ker (T ) ou N (T ) .

ker (T ) = {v ∈ V ; T (v) = 0}

(ii) A Imagem de T ´e um conjunto de vetores w ∈ W , tais que w = T (v) para algum v ∈ V , e ´e denotada por Im(T ):

Im_{(T ) = {w ∈ W ; w = T (v) para algum v ∈ V }}

Exemplo:

1) Determinar n´ucleo e imagem de T , sendo T definida por T (x, y) = (x + y, x − y)

(39)

Resp.: ker (T ) = {(0, 0)} ; Im(T ) = R2

2) Determinar n´ucleo e imagem de T , sendo T definida por T (x, y, z) = (x + z, 3y − z, 2x + 3y + z)

Resp.: ker (T ) = x,₋1₃x,_−x, x_{∈ R} ; Im(T ) =2 _{{(x, y, z) ∈ R}3_{; 2x + 3y = z}}

DEFINI ¸C ˜AO:

Seja T : V → W , uma transforma¸c˜ao linear:

(i) T ´e dita injetora, se dados u, v ∈ V tais que u 6= v, tivermos que T _{(u) 6= T (v) .}

(ii) T ´e dita sobrejetora, se Im(T ) = W. Em s´ıntese:

Uma transforma¸cão é dita injetora quando cada elemento da imagem está associado a apenas um elemento do dom´ınio. E a transforma¸cão linear é dita sobrejetora, quando todos os elementos do contradom´ınio fazem parte da imagem.

(40)

Seja T : V → W uma transfoma¸cão linear. Então ker (T ) e Im(T ) são subespa¸cos vetoriais de V e W respectivamente.

Dem.:

(i) ker (T ) ´e subespa¸co de V : Dados v, w ∈ ker (T ) e k ∈ R - 0 ∈ ker (T ), pois T (0) = 0

- T (v + w) = T (v) + T (w) = 0, ou seja v + w ∈ ker (T ) ; - T (kv) = kT (v) = 0, ou seja v + w ∈ ker (T ) .

Logo, ker (T ) ´e subespa¸co de V. (ii) Im(T ) ´e subespa¸co de W :

Dados v1, v2 ∈ V , tais que T (v1) = w1 e T (v2) = w2, e k ∈ R temos

- 0 ∈ Im(T ), pois T (0) = 0

- w1+ w2 = T (v1) + T (v2) = T (v1+ v2) ∈ Im(T ), pois v1+ v2 ∈ V ;

- kw1 = kT (v1) = T (kv1) ∈ Im(T ), pois kv1 ∈ V.

Logo, Im(T ) ´e subespa¸co de W.

TEOREMA: Transforma¸c˜ao injetora

Seja T : V → W uma transforma¸cão linear. Então, ker (T ) = {0} se e somente se T é injetora.

(41)

(i) ker (T ) = {0} ⇒ T ´e injetora

Sejam u, v ∈ V tais que T (u) = T (v) . Ent˜ao: T_{(u) − T (v) = T (u − v) = 0}

denota que u − v ∈ ker (T ), e como 0 é suposto o único elemento do núcleo, temos u − v = 0 ⇒ u = v, o que prova que T é injetora.

(ii) T ´e injetora ⇒ ker (T ) = {0}

Seja v ∈ ker (T ), ou seja, T (v) = 0. Como sendo T linear implica em T (0) = 0, se T ´e injetora, deve-se ter que v = 0. Ent˜ao prova-se que ker (T ) = {0} .

(42)

TEOREMA: Teorema da Dimensão Finita Seja T : V → W uma transforma¸cão linear. Então:

dim V = dim (ker (T )) + dim (Im(T ))

Prova:

Seja v1, ..., vn uma base de ker (T ) . Sendo ker (T ) um subespa¸co de V ,

podemos completar o conjunto v1, ..., vn de forma a obter uma base de V.

Seja ent˜ao v1, ..., vn, w1, ..., wm uma base de V. Devemos mostrar ent˜ao

que T (w1) , ..., T (wm) ´e uma base de Im(T ), ou seja, deve-se mostrar que:

(i) T (w1) , ..., T (wm) geram Im(T )

(ii) T (w1) , ..., T (wm) s˜ao LI

(i) Seja w = T (u) ∈ Im(T ) (com, obviamente, u ∈ V ). Temos: u= a1v1+ ... + anvn+ b1w1+ ... + bmwm

Aplicando T a equa¸c˜ao acima, temos:1

T(u) = b1T (w1) + ... + bmT(wm)

o que significa que T (w1) , ..., T (wm) geram Im(T ).

(ii) v1, ..., vn, w1, ..., wm s˜ao uma base de V. Esses vetores, s˜ao portanto,

1_{note que T (v}

(43)

LI, ou seja, a equa¸c˜ao:

a1v1+ ... + anvn+ b1w1+ ... + bmwm = 0

tem como ´unica solu¸c˜ao a1 = ... = an = b1 = ... = bm = 0.

Por outro lado, w1, ..., wm s˜ao LI, e ent˜ao:

b1w1+ ... + bmwm = 0

tem b1 = ... = bm = 0 como solu¸c˜ao ´unica.

Aplicando a transforma¸cão linear T à equa¸cão acima:

T (b1w1+ ... + bmwm) = T (0)

b1T(w1) + ... + bmT (wm) = 0

Como a aplica¸cão de T não altera a solu¸cão da equa¸cão, b1 = ... = bm = 0

é solu¸cão única e T (w1) , ..., T (wm) são LI.

Da´ı, temos:

v1, ..., vn, w1, ..., wm uma base de V e dim V = n + m

v1, ..., vn uma base de ker (T ) e dim (ker (T )) = n

T(w1) , ..., T (wm) ´e uma base de Im(T ) e dim (Im(T )) = m

(44)

Desse teorema, decorrem dois corol´arios:

COROL ´ARIO: Isomorfismo

Se dim V = dim W, então uma transforma¸cão linear T é injetora, se e somente se T for sobrejetora.

Prova:

(i) T ´e injetora ⇒ T sobrejetora.

Seja T injetora. Ent˜ao ker (T ) = {0} e por conseguinte dim (ker (T )) = 0.Logo dim V = dim (Im(T )) , o que denota que T ´e sobrejetora.

(ii) T sobrejetora ⇒ T ´e injetora.

Seja T sobrejetora. Ent˜ao Im(T ) = V ⇒ dim V = dim (Im(T )) de onde decorre que dim (ker (T )) = 0 e ker (T ) = {0} , ou seja, T ´e injetora

COROL ´ARIO: T transforma base em base.

Seja T : V → W uma transforma¸c˜ao linear injetora. Se dim V = dim W , ent˜ao T leva de base em base.

(Forma alternada para o corol´ario: Seja T : V → W um isomorfismo. Ent˜ao T leva de base em base.)

Prova:

Considere v1, ..., vn como uma base de V. Ent˜ao, T (v1) , ..., T (vn) ∈ W e

s˜ao LI (Prove!). Como dim W = dim V = n, T (v1) , ..., T (vn) ´e uma base de

(45)

3.4 Matriz de uma Transforma¸c˜ao Linear 45

DEFINI ¸C ˜AO: Isomorfismo.

Quando uma transforma¸cão linear T : V → W é injetora e sobrejetora, T é dito isomorfismo, e os espa¸cos V e W são ditos isomorfos. Dois espa¸cos isomorfos, necessariamente, têm mesma dimensão.

3.4 Matriz de uma Transforma¸c˜

ao Linear

Uma transforma¸cão linear pode ser representada por uma matriz,de sorte que a seguinte analogia é válida:

Seja T : V → W uma transforma¸c˜ao linear, α uma base de V e β uma base de W. Ent˜ao:

T : V _→ W

[v]_α _{→ [T (v)]}_β = [T ]α_β[v] Podemos ter dois tipos de situa¸c˜ao:

(i) Dada a matriz, determinar a transforma¸c˜ao linear associada:

Sejam α = {(1, 0) , (0, 1)} e β = {(1, 2) , (3, 4)} bases do R2 _{e a matriz}

A=    2 1 0 2    . Seja [v]_α =    x y    = X.

(46)

3.4 Matriz de uma Transforma¸c˜ao Linear 46 Temos: AX =    2 1 0 2       x y    =    2x + y 2y    = [TA(v)]_β Ent˜ao: TA(v) = (2x + y) (1, 2) + 2y (3, 4) TA(v) = (2x + 7y, 4x + 10y) O processo geral:

Seja T : V → W uma transforma¸c˜ao linear, α = {v1, ..., vn} uma base de

V _{e β = {w}1, ...wm} uma base de W. A matriz da transforma¸c˜ao linear A

deve ser m × n. X =       x1 ... xn       AX =       a11 ... a1n .. . . .. ... am1 ... amn             x1 ... xn       =       y1 ... ym       = Y = [T (v)]_β Ent˜ao: T(v) = y1w1+ ... + ymwm

(47)

(ii) Dada a transforma¸c˜ao linear, determinar a matriz associada:

Seja T : V → W uma transforma¸c˜ao linear, α = {v1, ..., vn} uma base

de V e β = {w1, ...wm} uma base de W. Temos que T (v1) , ..., T (vn) ∈ W e

portanto:

T(v1) = a11w1 + ... + am1wm

...

T (vn) = a1nw1+ ... + amnwm

A matriz da transforma¸cão T em rela¸cão às bases α e β é a transposta da matriz dos coeficientes do sistema acima, ou seja:

[T ]α_β =       a11 ... a1n ... ... ... am1 ... amn       Exemplos:

1) Seja T : R3 _{→ R}2_{tal que T (x, y, z) = (x + y, 3x − z), α = {(1, 1, 1) , (1, 2, 0) , (3, 1, 0)}}

e β = {(1, 2) , (2, 1)} . (i) Fa¸camos T (α) :

T (1, 1, 1) = (2, 2) T (1, 2, 0) = (3, 3) T (3, 1, 0) = (4, 3)

(48)

(ii) Escrevendo esses vetores na base β :

[T (1, 1, 1)]_β =    2 3 2 3    ; [T (1, 2, 0)]β =    1 1    ; [T (3, 1, 0)]β =    2 3 5 3   

(iii) A matriz de T ´e dada por:

[T ]α_β =    2 3 1 2 3 2 3 1 5 3   

2) Fa¸ca o mesmo para T : R3 _{→ R}3_{tal que T (x, y, z) = (2x + y, y − x, x − z) .}

(Usando a base canˆonica).

TEOREMA: Express˜ao matricial das transforma¸c˜oes lineares

Sejam V e W espa¸cos vetoriais, α base de V , β base de W e T : V → W um aplica¸cão linear. Então, vale a expressão:

[T (v)]_β = [T ]α_β _{· [v]}_α Demonstra¸c˜ao: Considere α = {v1, ..., vn} e β = {w1, ...wm} . Seja v ∈ V. Ent˜ao, [v]α =       x1 ... xn       e [T (v)]_β =       y1 ... ym       . Temos que:

(49)

3.4 Matriz de uma Transforma¸c˜ao Linear 49            T (v1) = a11w1+ ... + am1wm T (vn) = a1nw1+ ... + amnwm ⇒ [T ]αβ =       a11 ... a1n .. . . .. ... am1 ... amn      

Como T ´e linear, podemos escrever:

v = x1v1+ ... + xnvn

T (v) = x1T (v1) + ... + xnT(vn)

dos sistema linear acima:

T(v) = x1(a11w1+ ... + am1wm) + ...

+xn(a1nw1+ ... + amnwm)

T (v) = (a11x1+ ... + a1nxn) w1+ ...

(50)

3.4 Matriz de uma Transforma¸c˜ao Linear 50 Ent˜ao:            y1 = a11x1 + ... + a1nxn ym = am1x1+ ... + amnxn ⇒       y1 .. . ym       =       a11 ... a1n .. . . .. ... am1 ... amn             x1 .. . xn       ou seja: [T (v)]_β = [T ]α_β _{· [v]}_α

TEOREMA: Rela¸c˜ao entre posto nulidade n´ucleo e imagem

Seja T : V → W uma aplica¸c˜ao linear, com α e β bases de V e W. Ent˜ao: dim [Im(T )] = posto de [T ]α_β

dim [ker (T )] = nulidadade de [T ]α_β = n´_{umero de colunas − posto de [T ]}α_β

Exemplo:

1) Seja o operador T , cuja matriz na base canˆonica ´e dada por       1 2 ₋₁ −2 0 1 1 ₋₂ 2      

a) Determine a forma alg´ebrica para T b) Determine ker (T ) e dim [ker (T )] c) Determine Im(T ) e dim [Im(T )]

(51)

3.5 Opera¸c˜oes com Transforma¸c˜oes Lineares 51

3.5 Opera¸c˜

oes com Transforma¸c˜

oes Lineares

3.5.1 Adi¸c˜

ao:

Sejam T1 : V → W e T2 : V → W aplica¸c˜oes lineares. Ent˜ao:

(T1+ T2) : V → W

v _{→ (T}1+ T2) (v) = T1(v) + T2(v) , ∀v ∈ V

Matricialmente (sendo α e β bases de V e W ):

[T1+ T2]αβ = [T1] α β + [T2]

α β

3.5.2 Multiplica¸c˜

ao por escalar:

Seja T : V → W uma aplica¸c˜ao linear e seja k ∈ R. Ent˜ao:

(kT ) : V _→ W

v _{→ (kT ) (v) = kT (v) , ∀v ∈ V} Matricialmente (sendo α e β bases de V e W ):

[kT ]α_β = k [T ]α_β

Exemplos:

(52)

3.5 Opera¸c˜oes com Transforma¸c˜oes Lineares 52 [T2] =    1 0 2 −1   :

a) Determine a matriz de T1 e a forma alg´ebrica de T2.

b) Determine a forma alg´ebrica e a matriz na base canˆonica para: T1+ T2

e 3T1

3.5.3 Composi¸c˜

ao:

Sejam T1 : V → W e T2 : W → U aplica¸c˜oes lineares. A composta de T1

com T2, denotada por T2◦ T1, ´e dada por:

(T2◦ T1) : V → W

(53)

3.6 Operadores Lineares 53

Matricialmente (sendo α, β e γ bases de V ,W e U):

[T2◦ T1]αγ = [T2] β γ· [T1] α β Exemplos: 1) Sejam T1 : R2 → R3, T1(x, y) = (x + y, x − y, y) e T2 : R3 → R2, T2(x, y, z) = (x + y, y + z) . Determine [T2◦ T1] e [T1◦ T2] .

2) Considere que T1 seja uma transforma¸c˜ao de expans˜ao no plano, que

duplica o m´odulo do vetor mantendo sua dire¸c˜ao e sentido, e que T2 provoca

no vetor, uma rota¸cão de 30o _{no sentido anti-horário. Determine a fórmula}

que representa essa seqüência de transforma¸cões.

3.6 Operadores Lineares

DEFINI ¸C ˜AO: Operador linear

Operador linear ´e a transforma¸c˜ao linear de um espa¸co nele mesmo.

T _{: V → V}

Como os operadores lineares são um tipo espec´ıfico de aplica¸cão linear, todas as propriedades das transforma¸cões lineares são válidas para os operado-res. Além dessas, os operadores têm propriedades exclusivas (estão associados a matrizes quadradas).

(54)

3.6 Operadores Lineares 54

DEFINI ¸C ˜AO: Operadores inversos

Seja T : V → V um operador linear, que associa v ∈ V a w ∈ V (w = T (v)). Se existir um operador tal que associe w a v, o operador T ´e

dito invers´ıvel, o operador inverso de T , e ´e denotado por T−1 _{(v = T}−1_(w)).

PROPRIEDADES:

Sejam T : V → V um operador linear invers´ıvel e I : V → V o operador identidade (I (v) = v, ∀v ∈ V ). S˜ao v´alidas as propriedades:

(i) T ◦ T−1_{= T}−1_{◦ T = I} (ii) ker (T ) = {0} (iii) [T−1_]α α = ([T ] α α) −1

(iv) Se α é base de V , então, T (α) também será.

Exemplos:

1) Determine, se existir, o operador inverso: a) T : R2 _{→ R}2_{, T}_{(x, y) = (−x + 2y, 3x − 4y)} b) [T ] =       1 0 1 2 −1 1 0 0 ₋₁       Resposta: a) T−1_{(x, y) =} 2x + y,3x + y 3 b)       1 0 1 2 −1 1 0 0 ₋₁      

(55)

Cap´ıtulo 4

Autovalores e autovetores

4.1 Introdu¸c˜

ao e Defini¸c˜

ao

DEFINI ¸C ˜AO: Autovalores e autovetores

Seja T : V → V um operador linear, e considere a express˜ao T (v) = λ.v,

com v 6= 0 e λ ∈ R. Ao valor de λ nomeamos autovalor de T , e a cada vetor v associado, chamamos autovetor associado a T.

Exemplos:

1) Determine os autovalores e autovetores dos operadores seguintes: a) T : R2 _{→ R}2_{; T (x, y) = (3x − y, −2x + 2y)}

(56)

4.1 Introdu¸c˜ao e Defini¸c˜ao 56

b) T : R3 _{→ R}3_{; T (x, y, z) = (x − y, y − z, x − z)}

4.1.1 Autovalores e autovetores associados a uma

matriz

Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Sabe-se que a matriz A est´a asso-ciada a um operador linear T : V → V , onde dim V = n. Ent˜ao:

T _{(v) = λ.v =⇒ A. [v] = λ. [v]}

Exemplo:

2) Determine os autovalores e autovetores associados a matriz A =    1 2 3 4    λ1 = 5₂−1₂ √ 33; v1 =    −16 √ 33 − 12 1    e λ2 = 1₂ √ 33+5₂; v2 =    1 6 √ 33 −12 1   

OBS.: O autovalor associado a um determinado autovalor λ, ´e um subes-pa¸co vetorial de V , e ´e denominado autoessubes-pa¸co do autovalor λ.

(57)

4.2 Polinˆomio Caracter´ıstico 57

4.2 Polinˆ

omio Caracter´ıstico

Considere a express˜ao matricial que calcula autovalores e autovetores:

An_×n.[v]_n_×1 = λ. [v]_n_×1

An×n.[v]n_×1− λ. [v]n_×1 = 0

An×n.[v]n_×1− λ.In.[v]n_×1 = 0

(An_×n− λ.In) . [v]_n_×1 = 0

Essa expressão resuilta em um sistema homogêneo que tem v como solu-¸cão. Como v 6= 0, o sistema deve ser indeterminado, ou seja:

det (An×n− λ.In) = 0

Essa última expressão recebe o nome de equa¸cão caracter´ıstica e o polinômio P (λ) = det (An_×n− λ.In) é denominado polinômio caracter´ıstico.

Exemplo:

3) Determine o polinˆomio caracter´ıstico, os autovalores e autovetores da

matriz A =       1 2 3 0 1 2 3 2 1       . RESPOSTA: λ1 = 0; v1 = (1, −2, 1); λ2 = −2; v2 = −5₉,−2₃,1 e λ3 = 5; v2 = 1,1₂,1

(58)

4.3 Diagonaliza¸c˜ao de Operadores 58

4.3 Diagonaliza¸c˜

ao de Operadores

4.3.1 Base de autovetores:

TEOREMA: Base de autovetores

Autovetores associados a autovalores distintos s˜ao L.I. Dem.:

Sejam v1, v2 autovetores associados aos autovalores λ1, λ2 (distintos)

res-pectivamente. Mostremos que a equa¸c˜ao

a1v1+ a2v2 = 0

tem como solu¸c˜ao ´unica a1 = a2 = 0.

(i) Aplicando (T − λ2.I) em ambos os membros:

(T − λ2.I) (a1v1+ a2v2) = (A − λ.I) .0 a1T (v1) − a1λ2v1+ a2T (v2) − a2λ2v2 | {z } 0 = 0 a1(λ1v1− λ2v1) = 0 a1(λ1− λ2) v1 = 0

Como λ1 6= λ2 ⇒ λ1− λ2 6= 0 e v1 6= 0, tem-se obrigatoriamente a1 = 0.

(ii) Aplicando (T − λ1.I) em ambos os membros, usando um

(59)

Conclus˜ao: Os autovetores v1, v2 s˜ao LI.

COROL ´ARIO:

Se V é um espa¸co vetorial de dimensão n e T : V → V é um operador linear com n autovalores distintos, então é poss´ıvel escrever uma base de V usando autovalores de T.

Exemplos:

4) Escreva uma base do espa¸co vetorial citado usando os autovetores dos operadores seguintes: a)T : R2 _{→ R}2_{; T (x, y) = (2y, x)} b) T : R3 _{→ R}3_{; T (x, y, z) = (2x, 2y + 5z, z)} c) T : R2 _{→ R}2_{; T (x, y) = (3x − 2y, 2x − y)} Respostas: a) λ1 =√2; v1 = √2, 1 e λ2 = −√2; v2 = −√2, 1 b) λ1 = 1; v1 = (0, −5, −1) e λ2 = 2; v2 = (x, y, 0) = x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) c) λ1 = 1; v1 = (1, 1)

Agora, dos exemplos (a) e (b), determinemos a matriz [T ]β_β (onde β ´e a base constru´ıda a partir dos autovetores):

a) T : R2 _{→ R}2_{; T (x, y) = (2y, x)} λ1 = √ 2; v1 = √ 2, 1 e λ2 = − √ 2; v2 = − √ 2, 1

(60)

4.3 Diagonaliza¸c˜ao de Operadores 60 T (v1) = λ1v1 = λ1v1+ 0v2 = √ 2v1+ 0v2 T (v2) = λ2v2 = 0v1+ λ2v2 = 0v1− √ 2v2 [T ]β_β =    √ 2 0 0 ₋√2    b) T : R3 _{→ R}3_{; T (x, y, z) = (2x, 2y + 5z, z)} λ1 = 1; v1 = (0, −5, −1) e λ2 = 2; v2 = (x, y, 0) = x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) T(v1) = λ1v1 = λ1v1+ 0v2+ 0v3 = 1v1+ 0v2+ 0v3 T(v2) = λ2v2 = 0v1+ λ2v2+ 0v3 = 0v1+ 2v2+ 0v3 T(v3) = λ3v3 = 0v1+ 0v2+ λ3v3 = 0v1+ 0v2+ 2v3 [T ]β_β =       1 0 0 0 2 0 0 0 2      

Nota-se a partir dos dois exemplos que a matriz ´e diagonal!

No caso geral: Suponha dim V = n.

(61)

dis-4.3 Diagonaliza¸c˜ao de Operadores 61

tintos. Sejam w1, ..., wm os autovetores associados a esses autovalores

respec-tivamente. Suponha que k desses autovetores possam ser decompostos, de forma que seja poss´ıvel construir uma base de V usando os autovalores de T , com β = {v1, ..., vn} . Ent˜ao:                  T(v1) = λ1v1 = λ1v1+ 0v2+ ... + 0vn T(v2) = λ2v2 = 0v1+ λ2v2+ ... + 0vn ... T (vn) = λnvn = 0v1 + 0v2+ ... + λnvn ⇒ [T ]ββ =          λ1 0 · · · 0 0 λ2 · · · 0 .. . ... . .. ... 0 0 0 λn          Da´ı a defini¸c˜ao:

DEFINI ¸C ˜AO: Operador diagonaliz´avel

Seja T : V → V um operador linear. T é diagonalizável se existir uma base de V , composta de autovetores. Caso essa base não exista, o operador T não é diagonalizável. Além disso, a matriz diagonal [T ]β_β tem na diagonal principal, os autovalores de T (na mesma ordem em que os autovetores são citados na base).

Exemplos:

5) Diagonalize as matrizes, se poss´ıvel:

a) A =       1 2 1 −1 3 1 0 2 2       RESPOSTA: Sim       1 0 0 0 2 0 0 0 3      

(62)

4.3 Diagonaliza¸c˜ao de Operadores 62 b) B =       1 0 0 −2 3 ₋₁ 0 ₋₄ 3       RESPOSTA: N˜ao

4.3.2 Polinˆ

omio Minimal

DEFINI ¸C ˜AO: Polinˆomio Minimal

Seja A uma matriz quadrada. O polinˆomio minimal de A ´e:

m(x) = xk_{+ a}

k₋₁xk−1+ ... + a1x+ a0

tal que:

(i) m (A) = 0

(ii) m (x) ´e o polinˆomio de menor grau dentre os que anulam A.

TEOREMA: Polinômio Minimal e Diagonaliza¸cão de Operadores Seja T : V → V um operador linear e dim V = n.T é diagonalizável se, e somente se, o polinômio minimal de T for da forma:

m_{(λ) = (x − λ}1) (x − λ2) ... (x − λr)

com λ1, ..., λr distintos.

(63)

As ra´ızes do polinômio minimal são as mesmas (distintas) do polinômio caracter´ıstico.

TEOREMA: de Cayley-Hamilton

Sejam T : V → V um operador linear, α uma base (qualquer) de V e P (λ) o polinˆomio carcter´ıtico de T . Ent˜ao P ([T ]α_α) = 0.

Dem.: (Caso 2 × 2) Seja [T ]α_α =    a b c d    P(λ) = det ([T ]α_α_{− λI) = (a − λ) (b − λ) − bc} P ([T ]α_α) = (aI2− [T ] α α) (bI2− [T ] α α) − bcI2 =   a    1 0 0 1    −    a b c d         b    1 0 0 1    −    a b c d       − bc    1 0 0 1    P ([T ]α_α) =    0 0 0 0   

Esses teoremas em conjunto garantem que o polinômio caracter´ıstico é um dos candidatos a polinômio minimal.

(64)

po-4.3 Diagonaliza¸c˜ao de Operadores 64 linˆomio minimal: P1(λ) = (λ + 3) (λ − 2) P2(λ) = (λ + 3) (λ − 2)2 P3(λ) = (λ + 3) (λ − 2)3 P4(λ) = (λ + 3)2(λ − 2) P5(λ) = (λ + 3)2(λ − 2)2 P6(λ) = (λ + 3)2(λ − 2)3

Para verificar qual deles ´e o minimal, basta verificar dentre esses o de menor grau que se anula para [T ]α_α.

Além disso, conforme o primeiro dessa bateria de teoremas, T será diago-nalizável se, e somente se o polinômio minimal for P1.

Exemplos:

6) Verifique se as matrizes a seguir são diagonalizável usando os últimos teoremas apresentados: a) A =    2 2 0 4    RESPOSTA: Sim b) B =       2 3 −1 0 1 −4 0 0 3       RESPOSTA: Sim;       1 0 0 0 2 0 0 0 3      

(65)

4.3 Diagonaliza¸c˜ao de Operadores 65 c) C =       3 _{0 −2} −5 1 5 2 _{0 −1}       RESPOSTA: N˜ao d) D =       1 −2 −2 0 1 0 0 2 3       RESPOSTA: Sim;       1 0 0 0 1 0 0 0 3      

Um outro m´etodo de diagonaliza¸c˜ao

Seja uma matriz quadrada A diagonaliz´avel. Se P for uma matriz cons-tru´ıda a partir dos autovetores de A (que devem ser LI), a matriz diagonal correspondente pode ser obtida pela express˜ao:

D= P−1_{· A · P}

E se A não for diagonalizável, ou não será poss´ıvel construir P (por não haver a quantidade suficiente de autovetores LI), ou então, P será singular (ou seja, não invers´ıvel).

Exemplo: 7) Diagonalizar A =    1 0 3 2    . RESPOSTA: D =    1 0 0 2   

(66)

4.4 Aplica¸c˜ao ao estudo das cˆonicas 66

4.4 Aplica¸c˜

ao ao estudo das cˆ

onicas

4.4.1 Formas lineares, bilineares e quadr´

aticas

Forma Linear

DEFINI ¸C ˜AO:

Seja V um espa¸co vetorial real. Uma forma linear é uma transforma¸cão linear f : V → R. Exemplos: a) f : R 2 _→ _R (x, y) → x + 2y ou em forma matricial    x y    →    1 2    x y b) f : R 4 _→ _R (x, y, z, t) → x + 3y − z + 3t ou em forma matricial          x y z t          →          1 3 −1 −3          x y z t Forma Bilinear DEFINI ¸C ÃO:

(67)

linear do tipo:

B _{: V × V →} R

(v, w) _{→ B (v, w)} tal que:

(i) Para w fixo, B (v, w) ´e linear em v, ou seja:

B(v1+ v2, w) = B (v1, w) + B (v2, w)

B(k.v, w) = k.B (v, w) _{(k ∈ R)}

(ii) Para v fixo, B (v, w) ´e linear em w, ou seja:

B(v, w1+ w2) = B (v, w1) + B (v, w2)

B(v, k.w) = k.B (v, w) _{(k ∈ R)}

Exemplos:

a) Produto de dois n´umeros, ou seja, p: R × R → R (x, y) _{→ x.y} b) B : R2_{× R}2 _{→ R; B ((x}

(68)

4.4 Aplica¸cão ao estudo das cônicas 68 c) A matriz M =       −2 0 0 4 2 0 0 0 2       está associada a: [B ((x1, x2, x3) , (y1, y2, y3))] = x1 x2 x3       −2 0 0 4 2 0 0 0 2             y1 y2 y3      

Matriz de uma forma bilinear

Sejam V um espa¸co vetorial e B : V × V → R uma forma bilinear. Dada α _{= {v}1, ...vn} base de V , associa-se a B a matriz [B]α_α (matriz bilinear B na

base α) da seguinte maneira: Se

v = x1v1+ ... + xnvn

(69)

4.4 Aplica¸cão ao estudo das cônicas 69 então: B(v, w) = B (x1v1+ ... + xnvn, y1v1 + ... + ynvn) = x1B(v1, y1v1+ ... + ynvn) + ... + xnB(vn, y1v1+ ... + ynvn) = n X i=1 xiB(vi, y1v1+ ... + ynvn) = n X i=1 xi[y1B(vi, v1) + ... + ynB(vi, vn)] B(v, w) = n X i=1 xiyjB(vi, vj) [B (v, w)] = x1 ... xn       B(v1, v1) ... B(v1, vn) .. . . .. ... B(vn, v1) ... B(vn, vn)             y1 .. . y3       ⇒ [B (v, w)] = [v]′α· [B] α α· [w]α Exemplos: a) B : R2 _{× R}2 _{→ R; B ((x} 1, y1) , (x2, y2)) = −x1y1− 2x2y1 + 5x2y2 com α _{= {e}1, e2} (base canônica). [B]α_α =    B(e1, e1) B (e1, e2) B(e2, e1) B (e2, e2)    =    −1 0 2 5    [B (v, w)] = x1 y1 ·    −1 0 2 5    ·    x2 y2   

(70)

A forma bilinear B : V × V → R ´e sim´etrica, se e somente se B (v, w) = B(w, v) .

Exemplo:

a) B : R2_{× R}2 _{→ R; B ((x}

1, y1) , (x2, y2)) = −x1x2− 2y2y1

TEOREMA:

B _{é simétrica ⇔ [B]}α_α é simétrica. Dem.: (−→) B é simétrica ⇒ B (vi, vj) = B (vj, vi) [B]α_α =       B(v1, v1) ... B(v1, vn) .. . . .. ... B(vn, v1) ... B(vn, vn)       =       B(v1, v1) ... B(vn, v1) .. . . .. ... B(vn, v1) ... B(vn, vn)       ⇒ [B]αα (←−) é trivial.

Formas quadr´aticas DEFINI ¸C ˜AO:

Seja V um espa¸co vetorial real e B : V × V → R uma forma bilinear simétrica. A fun¸cão Q : V → R, definida por Q (v) = B (v, v) é uma forma quadrática associada a B, ou seja:

(71)

onde [B]α_α ´e uma matriz sim´etrica. Exemplos: a) Q : R2 _{→ R; Q (x, y) = x}2_{− 4xy + 3y}2 Resp.: Q(x, y) = x y    1 2 2 3       x y    b) Q : R2 _{→ R; Q (x, y) = Ax}2_{+ Bxy + Cy}2 Resp.: Q(x, y) = x y    A B₂ B 2 C       x y   

TEOREMA: Diagonaliza¸c˜ao da forma quadr´atica

Seja Q (v) = B (v, v) uma forma quadr´atica em V. Existe uma base orto-normal β de V tal que

[v]_β =       y1 ... yn       ent˜ao Q (v) = λ1y12+ ... + λny2n. Exemplos: a) Q (v) = x2_{− 4xy + 3y}2

(72)

4.4 Aplica¸cão ao estudo das cônicas 72 Solu¸cão: Q(v) = x y    1 2 2 3    | {z } A    x y    det (A − λI) = 1 − λ 2 2 _{3 − λ} = 0 λ1 = 0; λ2 = 4

Seja β uma base ortonormal composta pelos autovetores. Ent˜ao:

[v]_β =    y1 y2    Logo: Q (v) = y1 y2    0 0 0 4       y1 y2    = 0 4y2 ou seja: Q (v) = 4y2 2

4.4.2 Classifica¸c˜

ao das Cˆ

onicas

Dada a equa¸c˜ao geral do 2o _grau

Ax2+ Bxy + Cy2+ Dx + Ey + F = 0 _{(A, B ou C 6= 0)}

(73)

1o_{) Escrever a equa¸c˜ao na forma matricial:}

Ax2+ Bxy + Cy2

| {z }

Forma Quadr´atica

+ Dx + Ey | {z } Forma Linear + F = 0 x y    A B₂ B 2 C       x y    + D E    x y    + F = 0

2o_{) Diagonalizar a forma quadr´atica, a fim de eliminar os termo misto de}

2o _grau.

Ter-se-´a, ent˜ao, a matriz diagonal    λ1 0 0 λ2  

, que corresponde a forma

diagonal de    A B₂ B 2 C  

. A matriz diagonal ´e constru´ıda segundo uma nova base, formada pelos autovetores, que denotaremos por β = {v1, v2} e as

coordenadas de um vetor qualquer v ∈ R2_{, s˜ao dadas por [v]} α =    x y    e [v]_β =    x1 y1  

 (onde α ´e a base canˆonica).

3o_{) Relacionar}    x y    e    x1 y1  

, e converter a equa¸c˜ao da base α (canˆo-nica), para β.

(74)

4.4 Aplica¸c˜ao ao estudo das cˆonicas 74    x y    = [I] β α |{z} Matriz de mudan¸ca de base    x1 y1   

4o_{) A nova equa¸c˜ao fica:}

x1 y1    λ1 0 0 λ2       x1 y1    + D E [I]β_α    x1 y1    + F = 0

5o_{) Desenvolvendo a equa¸c˜ao acima, encontra-se a equa¸c˜ao}

correspon-dente, ap´os a rota¸c˜ao de eixos.

Exemplo: 1) 3x2_{+ 2xy + 3y}2₋√_{2x = 0} 1o _passo: x y    3 1 1 3       x y    + −√2 0    x y    + F = 0

(75)

4.4 Aplica¸c˜ao ao estudo das cˆonicas 75 2o _passo:    3 1 1 3    →    4 0 0 2    v1 = 1 √ 2, 1 √ 2 v2 = 1 √ 2,− 1 √ 2 3o _passo: [I]β_α =    √ 2 2 √ 2 2 √ 2 2 − 1 2    4o _passo: x1 y1    4 0 0 2       x1 y1    + −√2 0    √ 2 2 √ 2 2 √ 2 2 − 1 2       x1 y1    + F = 0 4x2₁+ x1 − y1 = 0

Agora, fazendo uma transla¸c˜ao de eixos:

y1+ 1 16 = 4 x1 + 1 8 2

(76)

4.4 Aplica¸c˜ao ao estudo das cˆonicas 76 fazendo      y2 = y1+₁₆1 x2 = x1+ 1₈ , temos: y2 = 4x22

com a mudan¸ca da origem para −1 8,−16

.

CONCLUS ˜AO: A equa¸c˜ao 3x2_{+ 2xy + 3y}2₋√_{2x = 0, representa a}

pará-bola y2 = 4x22,após a mudan¸ca da base canônica para β =

n 1 √ 2, 1 √ 2 ,√1 2,− 1 √ 2 o , e a mudan¸ca da origem para o ponto −18,−16

.

Para apenas saber qual tipo de cˆonica a equa¸c˜ao geral do 2o _grau

repre-senta, sigamos o esquema:

Ax2+ Bxy + Cy2+ Dx + Ey + F = 0

Ap´os a diagonalizar a forma quadr´atica:

λ1x21 + λ2y12+ D1x1+ E1y1+ F = 0

Ap´os transla¸c˜ao:

λ1x22+ λ2y22+ f = 0

Analisando a equa¸c˜ao: (i) se λ1λ2 >0 :

(77)

4.4 Aplica¸cão ao estudo das cônicas 77 f <_{0 → elipse} f _{= 0 → um ponto} f >_{0 → conjunto vazio} (ii) se λ1λ2 <0 : f _{6= 0 → hipérbole}

f _{= 0 → par de retas paralelas} (i) se λ1λ2 = 0 :

a) Quando λ1 = 0 :

A equa¸c˜ao final fica:

λ2y22+ ax2+ f = 0

Ent˜ao:

a_{6= 0 → par´abola}

a_{= 0 → par de retas paralelas} b) Quando λ2 = 0 (fica como exerc´ıcio)

TEOREMA: Classifica¸c˜ao a partir de autovalores

(i) se λ1λ2 >0 trata-se de uma elipse ou uma de suas degenera¸c˜oes (ponto

ou conjunto vazio);

(ii) se λ1λ2 <0 trata-se de uma hip´erbole ou uma de suas degenera¸c˜oes

(78)

(iii) se λ1λ2 = 0 trata-se de uma par´abola ou uma de suas degenera¸c˜oes

(par de retas paralelas, um ponto ou conjunto vazio).

Como det       A B₂ B 2 C       = det       λ1 0 0 λ2     

 , o sinal de λ1λ2´e o mesmo

que o de −∆ = − (B2 _{− 4AC) (onde ∆ ´e apelidado de ”discriminante”).}

As-sim, podemos reescrever o teorema acima:

TEOREMA: Classifica¸c˜ao a partir dos coeficientes (i) elipse ou suas degena¸c˜oes: ∆ < 0;

(ii) hipérbole ou suas degena¸cões: ∆ > 0; (iii) parábola ou suas degena¸cões: ∆ = 0.

Exerc´ıcio:

1) Dadas as equa¸c˜oes:

(I) Identifique o tipo de cˆonica;

(II) Aplique, se necess´ario, uma rota¸c˜ao, eliminando o termo misto de 2o

grau;

(III) Aplique, se necessário uma transla¸cão; (IV) Descreva a cônica.

a) 3x2_{+ 2xy + 3y}2_{− 4 = 0}

b) 2x2_{+ 4xy + 2y}2_{− 16 = 0}

(79)

4.4 Aplica¸cão ao estudo das cônicas 79 Respostas: a) Elipse; x2 1+ y2 1 2 = 1 b) Duas retas: y1 = 2; y2 = −2 c) Parábola: y2 2 = 4x2

(80)

Cap´ıtulo 5

Produto Interno

5.1 Defini¸c˜

ao

DEFINI ¸C ˜AO: Produto Interno

Seja V um espa¸co vetorial real. Um produto interno sobre V é uma fun¸cão que associa cada par de vetores v1, v2 ∈ V a um número real, denotado por

hv1, v2i, que obedece `as seguintes condi¸c˜oes:

(i) hv, vi ≥ 0 ∀v ∈ V e hv, vi = 0 ⇔ v = 0 (ii) hαv1, v2i = α hv1, v2i ∀α ∈ R

(iii) hv1+ v2, v3i = hv1, v3i + hv2, v3i

(iv) hv1, v2i = hv2, v1i

(81)

5.1 Defini¸c˜ao 81

1) Produto interno usual em R2 _:

h(x1, y1) , (x2, y2)i = x1x2+ y1y2

Da mesma forma ocorre para o produtos internos usuais do R3_{, ..., R}n_.

2) V = R2_{; h(x}

1, y1) , (x2, y2)i = αx1x2+ βy1y2 (α, β ∈ R) ´e um produto

interno.

3) V = R2_{; h(x}

1, y1) , (x2, y2)i = x1x2+ 2x1y1− 3x2y2+ y1y2

Esse não é um produto interno, pois não obedece à propriedade (iv):

hv1, v2i = h(x1, y1) , (x2, y2)i = x1x2+ 2x1y1− 3x2y2+ y1y2

hv2, v1i = h(x2, y2) , (x1, y1)i = x2x1+ 2x2y2− 3x1y1+ y2y1

⇒ hv1, v2i 6= hv2, v1i

4) No espa¸co das fun¸c˜oes cont´ınuas em [0, 1], (∁0_{[0, 1]), se f}

1, f2 ∈ ∁0[0, 1] , ent˜ao: hf1, f2i = Z 1 0 f1(t) f2(t) dt

´e um produto interno. PROVA:

(i) hf, fi =R01f

2_{(t) dt ≥ 0, pois f}2_{(t) ≥ 0 ∀t ∈ R}

hf, fi = 0 ⇒ R01f

(82)

5.2 Ortogonalidade 82 R1 0 0dt = 0 (ii) hαf1, f2i = R1 0 αf1(t) f2(t) dt = α R1 0 f1(t) dt + R1 0 f2(t) dt = α hf1, f2i (iii) hf1 + f2, f3i = R1 0 [f1(t) + f2(t)] f3(t) dt = R1 0 f1(t) f3(t) dt+ R1 0 f2(t) f3(t) dt = hf1, f3i + hf2, f3i (iv) hf1, f2i = R1 0 f1(t) f2(t) dt = R1 0 f2(t) f1(t) dt = hf2, f1i

5.2 Ortogonalidade

DEFINI ¸C ˜AO: Vetores Ortogonais

Seja V um espa¸co vetorial munido do produto interno h, i . Dois vetores v, w _{∈ V s˜ao ortogonais se e somente se hv, wi = 0 e escrevemos v ⊥ w se} isso ocorrer.

Exemplos:

5) Os vetores (1, 3) e (−3, 1) s˜ao ortogonais para V = R2 _{munido do}

produto interno usual.

6) Suponha V = R2 _{munido do produto interno}

h(x1, y1) , (x2, y2)i = 3x1x2+ 5y1y2.

Para esse espa¸co vetorial euclidiano, os vetores (5, −3) , (2, 2) s˜ao ortogonais. Propriedades:

(83)

5.2 Ortogonalidade 83 (i) 0 ⊥ v, ∀v ∈ V (ii) v ⊥ w ⇔ w ⊥ v (iii) v ⊥ w, ∀w ∈ V ⇒ v = 0 (iv) v ⊥ w ⇒ λv ⊥ w, ∀λ ∈ R. Prova:

(i) com efeito pois h0, vi = hv, 0i = 0; (ii) com efeito, pois hv, wi = hw, vi ;

(iii) com feito, pois h0, wi = hw, 0i = 0 ∀w ∈ V ;

(iv) com efeito, pois λv ⊥ w ⇒ hλv, wi = 0 ⇒ λ hv, wi = 0 ⇒ hv, wi = 0. TEOREMA: Vetores ortogonais s˜ao LI

Seja {v1, v2, ..., vn} um conjunto de vetores dois a dois ortogonais, ou seja:

hvi, vji = 0; i 6= j

Ent˜ao, {v1, v2, ..., vn} ´e LI.

Demonstra¸c˜ao: Seja a equa¸c˜ao

(84)

5.3 Norma e ˆangulo entre vetores 84

Tomemos o produto interno dos membros da equa¸c˜ao por vi :

ha1v1 + a2v2+ ... + anvn, vii = h0, vii

a1hv1, vii + ... + aihvi, vii + ... + anhvn, vii = 0

como hvi, vji = 0; i 6= j

aihvi, vii = 0

e como vi 6= 0 ⇒ hvi, vii 6= 0 temos obrigatoriamente ai = 0.

Portanto, {v1, v2, ..., vn} s˜ao LI.

DEFINI ¸C ˜AO: Base ortogonal

Diz-se que uma base {v1, v2, ..., vn} de V ´e ortogonal quando hvi, vji =

0; i 6= j, ou seja, quando os vetores s˜ao dois a dois ortogonais.

5.3 Norma e ˆ

angulo entre vetores

DEFINI ¸C ˜AO: Norma de um vetor

Seja V um espa¸co vetorial munido do produto interno h, i . Define-se norma do vetor v ∈ V por

kvk =phv, vi Se kvk = 1, v ´e dito unit´ario (ou normalizado).

(85)

7) Seja V = R3 _{e v = (1, 3, 2)}

a) se o produto interno for usual, a norma de v ser´a:

kvk =√1.1 + 3.3 + 2.2 =√14 b) se o produto interno for

h(x1, y1, z1) , (x2, y2, z2)i = 2x1x2+ 3y1y2+ z1z2

temos:

kvk =√2.1.1 + 3.3.3 + 2.2 =√33

8) Seja V = M (2, 2) munido do produto interno *   a b c d    ,    a′ b′ c′ _d′    + = aa′+ bb′+ cc′+ dd′. Calcule a ”distˆancia”entre A =    1 3 2 5    e B =    2 4 0 2    .

Propriedades: Seja V um espa¸co vetorial munido do produto interno h, i . ∀v, w ∈ V e α ∈ R s˜ao v´alidas as propriedades:

(i) kvk ≥ 0 e kvk = 0 ⇔ v = 0 (ii) kα.vk = |α| . kvk

(86)

(iv) kv + wk ≤ kvk + kwk (Desigualdade triangular) Prova:

(iii)

a) se v = 0, temos: |hv, wi| = |h0, wi| = 0 = kvk . kwk b) se v, w 6= 0, tomemos a seguinte rela¸c˜ao:

htv + w, tv + wi ≥ 0 (t ∈ R) hv, vi t2+ 2 hv, wi t + hw, wi ≥ 0

Para que o trinˆomio acima seja maior ou igual a zero para todo t, al´em de o coeficiente de t2 _{ser positivo, deve se ter:}

∆ = [2 hv, wi]2− 4 hv, vi hw, wi ≤ 0

4 hv, wi2− 4 kvk kwk ≤ 0 |hv, wi| ≤ kvk . kwk

(iv) Desenvolvendo o quadrado do primeiro membro:

kv + wk2 = hv + w, v + wi

= hv, vi + 2 hv, wi + hw, wi kv + wk2 = kvk2+ 2 hv, wi + kwk2

(87)

mas de (iii), podemos concluir: kvk . kwk ≥ |hv, wi| ≥ hv, wi kv + wk2 ≤ kvk2 + 2 kvk . kwk + kwk2 kv + wk2 ≤ (kvk + kwk)2

kv + wk ≤ kvk + kwk

DEFINI ¸C ˜AO: ˆAngulo entre vetores

Seja V um espa¸co vetorial munido do produto interno h, i . Define-se θ como o ângulo entre os vetores v, w ∈ V , e é válida a rela¸cão

cos θ = |hv, wi| kvk kwk

Observa¸c˜ao: Note que independente do tipo de espa¸co vetorial e de pro-duto interno, temos:

|hv, wi| ≤ kvk . kwk ⇒ 0 ≤ |hv, wi| kvk . kwk ≤ 1

de forma que existe algum θ para o qual cos θ = _kvkkwk|hv,wi| al´em de n˜ao ser contrariada a ortogonalidade entre vetores, pois v ⊥ w ⇒ hv, wi = 0 ⇒ cos θ = _kvkkwk|hv,wi| _{= 0 ⇒ θ =} π

2.

Exemplo:

9) Calcule o ˆangulo entre as retas r :      x= 1 + 2t y = 1 + 3t e s :      x_{= 3 − t} y= 2 + 3t , pertencentes ao espa¸co R2 _{munido do produto interno h(x, y) , (x}′_{, y}′_{)i =}