Cap11 Sec5 2x4

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Capítulo 11

Sequências e Séries

Infinitas

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Os testes de convergência que estudamos até aqui se aplicam apenas a séries com termos positivos.

SEQUÊNCIAS E SÉRIES INFINITAS

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11.5

Séries Alternadas

alternam no sinal.

SEQUÊNCIAS E SÉRIES INFINITAS

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SÉRIES ALTERNADAS

Uma série alternada é aquela cujos termos são alternadamente positivos e negativos.

Aqui estão dois exemplos:

1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 ... 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 ... ( 1) 2 3 4 5 6 7 1 n n n n n n n  f f               

¦

¦

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Vemos desses exemplos que o n-ésimo termo de uma série alternada é da forma

an= (–1)n – 1bn ou an= (–1)nbn

onde bné um número positivo. ƒ De fato, bn= |an|

SÉRIES ALTERNADAS

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O teste a seguir diz que, se os termos de uma série alternada decrescem para 0 em valor absoluto, então a série converge. SÉRIES ALTERNADAS

Se a série alternada

satisfazer:

bn+1 bn para todo n

então, a série é convergente.

1 1 2 3 4 5 6 1

( 1)

...

0

b

b b b b b b

b



     

!

¦

Antes de demonstrar, vamos olhar a figura, que esboça a ideia por trás da demonstração. SÉRIES ALTERNADAS

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Primeiro marcamos s1= b1sobre a reta real.

Para encontrar s2subtraímos b2, assim s2

está à esquerda de s1. SÉRIES ALTERNADAS

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Então, para encontrar s3, adicionamos b3e

assim s3está à direita de s2.

Mas, como b3< b2, s3está à esquerda de s1. SÉRIES ALTERNADAS

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Continuando dessa maneira, vemos que as somas parciais oscilam de um lado para outro.

ƒ Como bn 0, Continuando dessa maneira, vemos

que as somas parciais oscilam de um lado para outro.

SÉRIES ALTERNADAS

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As somas parciais pares s2, s4, s6, . . .

são crescentes.

As somas parciais ímpares s1, s3, s5, . . .

são decrescentes. SÉRIES ALTERNADAS

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Então, parece plausível que ambas estejam convergindo para algum número s, que é a soma da série.

ƒ Portanto, consideramos as somas parciais pares e ímpares separadamente na demonstração a seguir.

SÉRIES ALTERNADAS

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O TESTE DA SÉRIE ALTERNADA - DEMONSTRAÇÃO Primeiro consideramos as somas parciais pares: s2= b1– b2 0 já que b2 b1 s4= s2+ (b3– b4)  s2 já que b4 b3 Em geral s2n= s2n – 2 + (b2n – 1– b2n)  s2n – 2 já que b_2n b_{2n – 1} Então, 0 _{ s2 s4 s6 …  s2n} … O TESTE DA SÉRIE ALTERNADA - DEMONSTRAÇÃO

Mas podemos escrever também:

s_2n= b1– (b2– b3) – (b4– b5) – …

– (b_{2n – 2}– b_{2n – 1}) – b_2n

ƒ Cada termo entre parênteses é positivo, assim,

s2n b1para todo n.

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Dessa forma, a sequência_{s2n} de somas parciais pares é crescente e limitada superiormente.

É, portanto, convergente pelo Teorema da Sequência Monótona.

O TESTE DA SÉRIE ALTERNADA - DEMONSTRAÇÃO

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Vamos chamar esse limite s, isto é,

ƒ Agora, calculamos o limite das somas parciais ímpares:

2 lim n nofs s O TESTE DA SÉRIE ALTERNADA - DEMONSTRAÇÃO

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Como ambas as somas parciais pares e ímpares convergem para s, temos

ƒ Veja o Exercício 80(a) na Seção 11.1. ƒ Assim, a série é convergente.

lim

s

s

O TESTE DA SÉRIE ALTERNADA - DEMONSTRAÇÃO

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A série harmônica alternada

satisfaz:

b_n+1< b_n porque

ƒ Logo, a série é convergente pelo Teste da Série Alternada. EXEMPLO 1 1 1 1 1 1 ( 1) 1 ... 2 3 4 n n n  f _    

¦

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Essa figura ilustra o Exemplo 1, mostrando os gráficos dos termos an_{= (–1)}n – 1_{/n e as}

somas parciais sn.

SÉRIES ALTERNADAS

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Observe como os valores de sn

ziguezagueiam em torno do valor-limite, que parece ser cerca de 0,7.

ƒ De fato, a soma exata da série éln 2  0,693 (veja o Exercício 36).

SÉRIES ALTERNADAS

A série é alternada.

Mas,

ƒ Assim a condição (ii) não é satisfeita.

1 ( 1) 3 4 1 n n n n f _ 

¦

lim lim lim ₁

4 1 ₄ 4 n n n n n b n n of of  of  EXEMPLO 1 SÉRIES ALTERNADAS

Em vez disto, olhamos para o limite do n-ésimo termo da série:

O limite não existe, de modo que a série diverge pelo Teste para Divergência.

( 1) 3 lim lim 4 1 n n n n n a n of of  

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Teste a série

quanto a convergência ou divergência.

ƒ A série dada é alternada; assim, tentamos verificar as condições (i) e (ii) do Teste da Série Alternada.

2 1 3 1

( 1)

1

n

n





¦

SÉRIES ALTERNADAS EXEMPLO 3

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Ao contrário da situação no Exemplo 1, não é óbvio que a sequência dada por

bn= n2/(n3+ 1) seja decrescente.

Contudo, se considerarmos a função associada f(x) = x2_/(x3_{+ 1), descobriremos} que: 3 3 2 (2 ) '( ) ( 1) x x f x x  

SÉRIES ALTERNADAS EXEMPLO 3

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Como estamos apenas considerando x positivo, vemos que f’(x) < 0 se 2 – x3_{< 0,}

isto é, x > .

Então, f é decrescente no intervalo ( , ). 3₂

3₂

SÉRIES ALTERNADAS EXEMPLO 3

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Isso significa que f(n + 1) < f(n) e, portanto,

bn+1< bnquando n  2.

ƒ A desigualdade b2< b1pode ser verificada

diretamente, mas o que realmente importa é que a sequência{bn} é eventualmente decrescente.

SÉRIES ALTERNADAS EXEMPLO 3

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A condição (ii) é prontamente verificada:

ƒ Então, a série dada é convergente pelo Teste da Série Alternada.

2 3

3 1

lim lim lim ₁ 0

1 ₁ n n n n n _n b n n of of  of 

SÉRIES ALTERNADAS EXEMPLO 3

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ESTIMANDO SOMAS

Uma soma parcial s_nde qualquer série convergente pode ser usada como uma aproximação para a soma total s, porém isso não é de muita utilidade, a menos que possamos estimar a precisão da aproximação.

ƒ O erro envolvido usando s  sné o resto

Rn= s – sn.

O próximo teorema diz que, para séries que satisfazem as condições do Teste da Série Alternada, o tamanho do erro é menor que

b_n+1, que é o valor absoluto do primeiro termo negligenciado.

ESTIMANDO SOMAS TEOREMA DA ESTIMATIVA DE SÉRIES ALTERNADAS

Se s =  (–1)n-1_b

nfor a soma de uma série

alternada que satisfaz 0  bn+1 bn

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Sabemos pela demonstração do Teste da Série Alternada que s está entre duas somas parciais consecutivas quaisquer sne sn+1.

Segue que:

|s – s_n|  |sn+1– sn| = bn+1

TEOR. DA EST. DE SÉRIES ALTERNADAS Demo

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Você pode ver geometricamente por que o este Teorema é verdadeiro olhando a figura (na página 674).

ƒ Observe que s – s4< b5, |s – s5| < b6, e assim por

diante. Observe também que s está entre duas somas parciais consecutivas quaisquer.

TEOREMA DA ESTIMATIVA DE SÉRIES ALTERNADAS

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ESTIMANDO SOMAS

Encontre a soma da série

com precisão de três casas decimais.

ƒ Por definição, 0! = 1. EXEMPLO 4 0

( 1)

!

n

_

¦

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Primeiro observamos que a série é

convergente pelo Teste da Série Alternada, porque:

i.

ii. de modo que quando

1 1 1 (n1)! n n!( 1)n! 1 ₀ ! n o ESTIMANDO SOMAS n o f 1 1 0 0 ! n n   o EXEMPLO 4

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Para termos uma ideia de quantos termos precisamos usar em nossa aproximação, vamos escrever os primeiros termos da série:

1 1 1 1 1 1 2 6 24 120 720 5040

1 1 1 1 1 1 1 1 ...

0! 1! 2! 3! 4! 5! 6! 7!

1 1

...

s        

    







ESTIMANDO SOMAS EXEMPLO 4

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ƒ Observe que e 1 1 7 5040 5000 0.0002 b  1 1 1 1 1 6 1 1 2 6 24 120 720 0.368056 s       | 1 1 1 1 1 1 2 6 24 120 720 5040

1 1 1 1 1 1 1 1 ...

0! 1! 2! 3! 4! 5! 6! 7!

1 1

...

s        

    







ESTIMANDO SOMAS EXEMPLO 4

Pelo Teorema da Estimativa da Série Alternada, sabemos que:

| s – s6|  b7< 0,0002

ƒ Esse erro menor que 0,0002 não afeta a terceira casa decimal.

ƒ Assim temos s  0.368 com precisão de três casas decimais.

ESTIMANDO SOMAS EXEMPLO 4 OBSERVAÇÃO

A regra de que o erro (ao usar sn para aproximar s) é menor que o primeiro termo negligenciado é, em geral, válida apenas para séries alternadas que satisfazem as condições do Teorema da Estimativa da Série Alternada.