A Indústria sob controlo

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A Ind´

ustria sob controlo

Manuel Cabral Morais

[email protected]

Departamento de Matem´atica — CEMAT

Instituto Superior T´ecnico — Av. Rovisco Pais, 1049-001 Lisboa — Portugal

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Plano da apresenta¸c˜ao 1. Sobre a Qualidade 2. Fiabilidade

2.1 Conceitos básicos 2.2 Breve nota histórica 2.3 Fun¸cão de estrutura

2.4 Fiabilidade de sistemas com componentes independentes

2.5 Outros t´opicos 3. Controlo de Qualidade

3.1 A melhoria da Qualidade e a Estat´ıstica 3.2 Um pouco de hist´oria

3.3 Cartas de controlo de qualidade

3.4 Aplica¸c˜oes 4. Nota final

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1. Sobre a Qualidade

AQualidadede umproduto constitui umfactor decisivona sua

aquisi¸c˜aoa par do respectivo custo. Qualidade

Significa adequa¸c˜ao do produto ao consumidor: satisfa¸c˜ao de requisitos considerados essenciais para o consumidor (fitness for use: conformance to requirements).

Quando se compra umautom´ovelespera-se que n˜ao tenha

defeitos e que constitua um meio detransporte fi´avele econ´omico.

Um retalhista espera que oempacotamentodosprodutos

que adquire permita umarmazenamento seguroe umaboa

exposi¸c˜aodos mesmos.

Dimens˜oes da Qualidade

Aparˆencia, funcionalidades,fiabilidade,etc.

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2. Fiabilidade

2.1 Conceitos b´asicos Fiabilidade

Probabilidadede um produto/sistema vir a desempenhar

adequadamente (i.e. sem falhas) as fun¸c˜oes a que se prop˜oe, em

certoambientee durante um per´ıodo detempo.

Esta defini¸c˜ao envolve quatro importantes termos/no¸c˜oes: falha; ambiente; tempo; probabilidade.

Falha

Um sistema possui um conjunto espec´ıfico deeventos

indesej´aveis.

Para um rel´ogio pode definir-se como um atraso que exceda 5 segundos durante um per´ıodo de 24 horas.

Para um sistema mecˆanico pode tratar-se de um aumento da vibra¸c˜ao produzida acima de um n´ıvel regulamentar.

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Fiabilidade (cont.) Ambiente

A fiabilidade de um sistema depende crucialmente do ambiente em que este opera.

Condi¸cões térmicas, empacotamento, instala¸cão, tipo de utilizador, etc. Tempo

A fiabilidade decresce com o tempo: quanto maior for o tempo de opera¸cão do sistema maior é a sua probabilidade de falha. O tempo nem sempre é medido nas unidades usuais: pode tratar-se da distância percorrida por um ve´ıculo ou do número de ciclos de rota¸cão. Probabilidade

Uma falha é o resultado da açcão conjunta de diversos factores aleatórios e influências do ambiente em que o sistema opera.

O c´alculo da probabilidade de funcionamento de um sistema

ou da propor¸c˜ao de tempo em que o sistema se encontra em funcionamento faz-se recorrendo `a teoria das Probabilidades.

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2.2 Breve nota hist´orica Anos 30 e 40

Uma das primeiras ´areas de fiabilidade abordadas com alguma

sofistica¸cão matemática foi a damanuten¸cão de máquinas. Ainda nos anos 30 e 40, debru¸cou-se sobre afadiga de materiais, tendo sido fornecidos exemplos da adequa¸cão demodelos

probabil´ısticosà representa¸cão de tempos até fractura/rotura, etc. Anos 60

´

E introduzida a no¸c˜ao defun¸c˜ao de estruturade sistemas coerentes.

Anos 80...

Dá-se particular aten¸cão àfiabilidade de redes de computadores, motivada pela Advanced Research Projects Agency (ARPA), precursora da World Wide Web (www).

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2.3 Fun¸c˜ao de estrutura

Em fiabilidade de sistemas constitu´ıdos por diversas componentes tem particular relevo o conceito de...

Fun¸c˜ao de estrutura

Numa perspectiva est´atica pode definir-se a fun¸c˜ao φ(X) =

1, se o sistema est´a a funcionar

0, c.c. (1)

onde X = (X1, . . . , Xn) denota o vector de estado e

Xi =

1, se a componente i est´a a funcionar

0, c.c., (2)

para i = 1, . . . , n.

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Exemplo 2.1

Umsistema em s´eriefunciona sse o mesmo ocorrer com todas as

suas componentes. Logo a sua fun¸c˜ao de estrutura ´e igual a φ(X) = min{X1, . . . , Xn} = n Y i =1 Xi. (3) Exemplo 2.2

Umsistema em paralelofunciona desde que pelo menos uma das

suas componentes funcione. Assim,

φ(X) = max{X1, . . . , Xn} = 1 − n Y i =1 (1 − Xi). (4) Exemplo 2.3

Umsistema k-de-nfuncionar´a sse funcionarem pelo menos k das

suas n componentes. Neste caso φ(X) = 1, se Pn i =1Xi ≥ k 0, c.c. (5) 8 / 30

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Exemplo 2.4

Considere um sistema de alta fidelidade composto por: gravador (componente 1);

CD player (comp. 2); amplificador (comp. 3); altifalante L (comp. 4); altifalante R (comp. 5).

O sistema está a funcionar, caso se ou¸ca música (amplificada) mono ou estéreo, vinda do gravador ou do CD player.

Representa¸cão diagramática do sistema 1 2 3 4 5 Fun¸cão de estrutura φ(X) = [1 − (1 − X1)(1 − X2)] X3[1 − (1 − X4)(1 − X5)] . 9 / 30

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2.4 Fiabilidade de sistemas com componentes independentes Sejam pi= P(Xi= 1) = E (Xi) = 1 − P(Xi= 0), i = 1, . . . , n, a fiabilidade da

componente i e p = (p1, . . . , pn) o vector das fiabilidades das componentes. Fiabilidade do sistema

Ao lidarmos com componentes independentes, a fiabilidade do sistema escreve-se do seguinte modo:

r (p) = P[φ(X) = 1] = E [φ(X)]. (6)

Exemplo 2.5

Os sistemas em s´erie e em paralelo com componentes independentes

possuem fiabilidades iguais a rserie(p) = E n Y i =1 Xi ! indep = n Y i =1 E (Xi) = n Y i =1 pi (7) rparalelo(p) = E " 1 − n Y i =1 (1 − Xi) # indep = 1 − n Y i =1 (1 − pi). (8) 10 / 30

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Exemplo 2.6

Caso pi= p, a estrutura k − de − n com componentes

independentes possui fiabilidade igual a rk−de−n(p) = P n X i =1 Xi≥ k ! = n X i =k n! i ! (n − i )!p i_{(1 − p)}n−i_. ₍₉₎ Exemplo 2.7

Caso as 5 componentes do sistema de alta fidelidade operem de forma independente o sistema possui fiabilidade

rHiFi(p) = E {[1 − (1 − X1)(1 − X2)] X3

[1 − (1 − X4)(1 − X5)]}

= [1 − (1 − p1)(1 − p2)] p3[1 − (1 − p4)(1 − p5)] .

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Exemplo 2.8

Admita que uma aeronave com 3 motores só será capaz de voar se possuir pelo menos 2 dos motores a funcionar. Represente este sistema 2 − de − 3 num diagrama e determine a respectiva fun¸cão de estrutura.

Prove que, caso os motores operem de modo independente e as suas fiabilidades sejam iguais a p1, p2, p3, a fiabilidade ´e dada por p1p2+ p1p3+ p2p3− 2p1p2p3.

Representa¸c˜ao diagram´atica do sistema

1 2 1 3 2 3 Fun¸c˜ao de estrutura φ(X) = 1, se P3 i =1Xi≥ 2 0, c.c. = 1 − (1 − X1X2)(1 − X1X3)(1 − X2X3). 12 / 30

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Exemplo 2.8 (cont.) Importante

r2−de−3(p) = E [1 − (1 − X1X2)(1 − X1X3)(1 − X2X3)]

6= 1 − (1 − p1p2)(1 − p1p3)(1 − p2p3)

já que (1 − X1X2), (1 − X1X3), (1 − X2X3) não são v.a. independentes. Fiabilidade

De modo a calcular r (p) ´e necess´ario: multiplicar todos os termos de φ(X); tirar partido do facto de Xi

indep

∼ Bernoulli (pi) e Xik=stXi, k ∈ IN e

reescrever φ(X);

calcular os valores esperados de todas as parcelas de φ(X). Logo r2−de−3(p) = E (X1X2+ X1X3+ X2X3− X12X2X3 −X1X22X3− X1X2X32+ X 2 1X 2 2X3) = E (X1X2+ X1X3+ X2X3− 2X1X2X3) = p1p2+ p1p3+ p2p3− 2p1p2p3. 13 / 30

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2.5 Outros t´opicos

Outros t´opicos de interesse em fiabilidade e abordados nas disciplinas de Complementos de Probabilidades e Estat´ıstica (LMAC) ou Fiabilidade e Controlo de Qualidade (LMAC, MMA):

fun¸cão de fiabilidade (perspectiva não estática); associa¸cão e limites para a (fun¸cão de) fiabilidade; envelhecimento estocástico e fun¸cão taxa de falha; inferências sobre modelos para diferentes tipos de ensaio.

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3. Controlo de Qualidade

3.1 A melhoria da Qualidade e a Estat´ıstica

Não há processos de produ¸cão sem variabilidadepor mais cuidado que tenhamos no seu planeamento e na sua manuten¸cão... Deteçcão vs. preven¸cão

Um processo de produ¸cão que assente na deteçcão (e posterior separa¸cão) de produtos acabados que não respeitem as

especifica¸cões conduz a desperd´ıcios de mão de obra e matéria prima.

Melhorar a qualidade passa por técnicas de preven¸cão que conduzam àredu¸cão sistemáticadavariabilidade(maior uniformidade do produto) e elimina¸cão de defeitos (até que o produto não possua defeitos).

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3.2 Um pouco de hist´oria

Um facto curioso que escapa à maioria dos consumidores: as preocupa¸cões com a qualidade datam, por exemplo, dos tempos do império da Babilónia

(1830AC–539AC) e da civiliza¸c˜ao fen´ıcia (1550AC–300AC), de acordo com Gitlow et al. (1989, pp. 8–9).

C´odigo de Hammurabi (c. 1772AC)

Consiste em 282 leisque regiam contratos, transaçcões e aspectos que dizem respeito a questões de fam´ılia como heran¸cas, divórcio, paternidade e comportamento sexual.

Lei 229If a builder builds a house for a man and does not make its construction firm, and the house which he has built collapse and cause the death of the owner of the house, that builder shall be put to death.

Esta e outras leis do c´odigo de Hammurabi provam que aqualidadeera

levadamuitoa s´eriopelos babil´onios.

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O in´ıcio do sec. XX ´

E marcado pela inclusão dano¸cão de processonas práticas de qualidade.

Um processo ´e definido por um grupo de actividades que, tendo

como ponto de partida mat´eria-prima (input), valoriza-a e transforma-a num produto acabado (output).

Walter A. Shewhart, um estat´ıstico dosBell Laboratories,

reconhece que os processos industriais produzem dados.

Shewhart entende que estesdadospodem ser analisados usando

técnicas de Estat´ısticade modo a averiguar se oprocessoestá estável ousob controlo, ou se pelo contrário, estáfora de controlopor estar a ser afectado por causas assinaláveis.

Ao fazˆe-lo, Shewhart crioua carta de controlo,uma ferramenta

essencial para a ind´ustria.

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O pai do controlo estat´ıstico de qualidade

Walter A. Shewhart(1891–1967)

Ao propor um dispositivo gr´afico, acarta de controlo,num famoso

memorandum, no dia 16 Maio de1924,Shewhart:

alterou o curso hist´oria da ind´ustria;

ao celebrar aquilo que se pode considerar umcasamento

perfeitoentreEstat´ıstica, Engenharia e Economia;

tornou-se o pai do controlo de qualidade moderno.

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3.3 Cartas de controlo de qualidade

Qualquer produto possui pelo menos umacaracter´ıstica de qualidade

que descreve a sua adequa¸c˜ao ao consumidor. Ela pode ser, por ex., do tipo:

f´ısico — voltagem, viscosidade, peso e diˆametro; sensorial — gosto, cor e aparˆencia;

temporal — fiabilidade.

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O acompanhamento de processos de produ¸c˜ao pressup˜oe de um modo geral:

a escolha decaracter´ıstica de qualidade → no. de defeitos

por amostra aleat´oria;

a seleçcão deparâmetro(s) a controlar → no. esperado de defeitos por amostra aleatória;

a recolha regular deamostras→ de hora em hora;

oregisto sequencialdo no. de defeitos por amostra, em gr´afico comlimites apropriados — um limite inferior de controlo (LCL) e um limite superior de controlo (UCL). O dispositivo (gr´afico) resultante denomina-secarta de controlo.

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Emiss˜ao e tipos de sinal

Somos alertados para a poss´ıvel perda de controlo do processo assim que se registar observa¸c˜ao para al´em dos limites de controlo. Podem ocorrer:

falsos alarmes

emissão de sinal na ausência de desvio num parâmetro da caracter´ıstica de qualidade;

sinais v´alidos

emiss˜ao de sinal na presen¸ca de desvio (shift, drift, etc.) no parˆametro.

Os limites de controlo (LCL e UCL) s˜ao escolhidos de modo a que:

osfalsos alarmes sejam emitidos compouca frequˆencia;

a emiss˜ao desinal v´alidoocorra com amaior brevidade.

Analogia com testes de hip´oteses repetidos...

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Exemplo 3.1

Suspeita-se que um processo de enchimento de saquetas de produto qu´ımico, que conduziu ao conjunto de resultados (em gramas), esteja fora de controlo. Para o efeito, usar-se-˜ao duas cartas de controlo de qualidade...

Carta ¯X (Shewhart) para µ

Destina-se a controlar o valor esperado (µ) de uma caracter´ıstica de qualidade com distribui¸c˜ao normal com variˆancia conhecida e igual a σ2

0. Estat´ıstica ¯ XN=n1 Pn i =1XiN, N ∈ IN Limites de controlo LCL = µ0− γ × q σ2 0 n UCL = µ0+ γ × q σ2 0 n,

onde: a) µ0representa o valor alvo de µ; b) γ ´e uma constante

real positiva, escolhida tendo em vista o desempenho que se pretende para carta sob e fora de controlo; c) n a dimens˜ao comum das amostras.

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Exemplo 3.1 (cont.) Carta EWMA para µ Mesma utilidade que a carta ¯X .

Estat´ıstica WN= µ0, N = 0 (1 − λ) × WN−1+ λ × ¯XN, N ∈ IN, Limites de controlo LCLa= µ0− γa q λ σ2 0 (2−λ) n UCLa= µ0+ γa q λ σ2 0 (2−λ) n,

onde: a) λ ∈ (0, 1] é uma constante que representa o peso atribu´ıdo à informa¸cão mais recente acerca do processo condensada em ¯XN; b) γaé uma constante real positiva que, cuja seleçcão é

feita a par da de λ, tendo sempre em vista o desempenho que se pretende para carta sob e fora de controlo.

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Exemplo 3.1 (cont.)

µ0= 10 (valor esperado alvo), σ02= 1 (variˆancia)

20 amostras de dimens˜ao n = 5 com µ = 10.5.

Os valores obs. da estat´ıstica de uma carta EWMA padr˜ao para o controlo do valor esperado do peso de cada saqueta s˜ao, para w0= µ0,

λ = 0.134 e γa' 2.8891, iguais a: N M´edia (¯xN) EWMA (wN) N ¯xN wN 1 11.2 10.1608 11 10.5 10.2367 2 10.8 10.2465 12 10.9 10.3256 3 10.4 10.2670 13 11.0 10.416 4 10.9 10.3518 14 10.6 10.4406 5 10.5 10.3717 15 10.0 10.3816 6 9.5 10.2549 16 10.5 10.3975 7 10.8 10.3279 17 10.6 10.4246 8 10.0 10.2840 18 10.1 10.3811 9 10.2 10.2727 19 11.0 10.4640 10 9.7 10.1960 20 10.0 10.4019

Os limites das cartas ¯X e EWMA s˜ao LCL = 8.62 UCL = 11.38 LCLa' 9.65 UCLa' 10.35.

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Exemplo 3.1 (cont.)

Carta ¯X Carta EWMA

5 10 15 20 N 8 9 10 11 12 13 xN 5 10 15 20N 9.5 10.0 10.5 11.0 wN

Acarta EWMAemitiudez sinais (válidos)ao passo que acarta Shewhart não emitiu qualquer sinal,apesar do valor esperado estar fora de controlo. Desempenho das cartas de controlo de qualidade Mede-se, por ex., à custa deAverage Run Length (ARL).

ARL(θ) ´e no. esperado de amostras recolhidas at´e sinal na presen¸ca de desvio de magnitude θ = µ−µ0

σ0/ √

n no valor esperado.

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Carta ¯X vs. carta EWMA

Ao substituir-se a carta ¯X (Shewhart) por carta do tipo EWMA, com o mesmo ARL sob controlo, obt´em-se a seguinteredu¸c˜ao percentual em ARL,

h 1 −ARLE(θ) ARLX¯(θ) i × 100%: 2 4 6 8 10 Θ "50 50 Redução percentual

Confirma-se que, em média, a cartaEWMAémais rápida queacarta ¯X a detectar shifts de pequena e média magnitude em µ,deixando o seu uso de ser vantajoso caso tenham ocorrido shifts de grande magnitude (e.g. θ > 2.6).

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3.4 Aplica¸c˜oes

A utiliza¸cão das cartas de controlonão se confina à indústria: administra¸cão(Hawkins e Olwell, 1998, p. v —

preenchimento incorrecto de documentos);

epidemiologia(Blacksell et al., 1994 — diagn´ostico de doen¸cas veterin´arias);

deteçcão de fraudes(Johnson, 1984 — roubo sistemático pelos caixas de supermercado);

gestão de pessoal(Olwell, 1997 — avalia¸cão do número de casos de assédio sexual em ambiente laboral);

atletismo, biologia, ciˆencias do ambiente, gen´etica (Hawkins e Olwell, 1998; Stoumbos et al., 2000);

finan¸cas (Golosnoy, 2007; Golosnoy e Schmid, 2007 —

controlo dos pesos ´optimos dos diversos t´ıtulos de uma carteira).

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4. Nota final

Neste seminário debru¸cámo-nos sobre duas áreas importantes da Estat´ıstica Industrial:

Fiabilidade

Controlo de Qualidade.

Esperamos que estaapresenta¸cão desperteo vossointeressepara estas duas áreas e para as suas aplica¸cões.

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