01/06/16 Prof. Alvaro Augusto. Pag.1

(1)

(2)

Lost in translation...

“Engineering Economics” (Economia da

Engenharia) nasceu nos EUA, em 1877, com o livro

“The Economic Theory of Railway Location”, de

Arthur Wellington;

No Brasil, o termo foi traduzido incorretamente

para “Engenharia Econômica”..., mas já há vários

autores e instituições usando o termo “Economia da

Engenharia” (UFSC, PUC-RJ, UDESC, etc).

(3)

Objetivos da Engenharia Econômica

● Engenharia Econômica é uma ferramenta analítica de auxílio à tomada de decisão.

● O objetivo básico é responder às perguntas: ● O projeto se paga?

● Em quanto tempo?; ● Qual a rentabilidade?

● Qual a melhor alternativa de financiamento? ● Qual o impacto dos impostos e outros

(4)

Resumindo...

“Antes de entrar pelo

cano, tenha certeza que

você passa por ele!”

(5)

Lost in translation 2...

Em inglês, “project” significa muito mais

“empreendimento” do que “projeto”.

Em inglês, “projeto” é “design”...

E “desenho” é “drawing”...

(6)

(7)

Por que existem juros?

Teoria da abstinência (Nassau Sênior, sec. XIX): ● Emprestador deve ser remunerado pela

abstinância da poupança.

Teoria da produtividade do capital (Say, Malthus e Ricardo):

● Tomador se beneficia do empréstimo e deve remunerar o emprestador.

Teoria da depreciação do futuro (Turgot):

(8)

Juros e Risco

Modernamente, os juros são vistos como um prêmio pelo risco. O risco pode ser:

Sistêmico: todos estão sujeitos a ele: Risco-Brasil.

Risco internacional.

Não sistêmico: apenas os empreendedores do projeto estão sujeitos a ele:

Risco próprio do negócio. Lucro cessante.

(9)

Capital Próprio e CMPC

Custo do Capital Próprio (CCP):

Retorno mínimo exigido pelos acionistas (não necessariamente igual ao retorno desejado). Custo do Capital de Terceiros (CCT):

Custo do financiamento junto a instituições financeiras ou bancárias.

Custo Médio Ponderado do Capital (CMPC, ou WACC):

CCT

CT

CCP

CP

(10)

EXEMPLO 1

Uma empresa de fruticultura tem 60% de seu

capital em poder dos acionistas, que exigem

rentabilidade mínima de 20% ao ano. O restante

do capital é repartido igualmente entre FINAME

(TJLP + spread de 6% ao ano) e

PRODEFRUTA (8,75% ao ano).

Determine o CMPC da empresa.

(11)

EXEMPLO 1 - Considerações

FINAME:

Financiamento para aquisição de equipamentos novos;

TJF = TJLP + Custo BNDES + Custo Banco Credenciado = TJLP + Spread;

TJLP – Taxa de Juros de Longo Prazo;

Fixada trimestralmente, sendo definida como o custo básico dos financiamentos do BNDES;

Abril a Junho de 2005: TJLP = 9,75% aa

http://www.bndes.gov.br/produtos/custos/juros/tjlp.asp

PRODEFRUTA

(12)

EXEMPLO 1 - Solução

169 , 0 0875 , 0 20 , 0 ) 06 , 0 0975 , 0 ( 2 , 0 2 , 0 6 , 0         CMPC 8,75% 9,75%+6%=15,75% 20% Custo 20% 20% 60% Participação CT₂(Prodefruta) CT₁ (Finame) CP (Sócios) ITEM CMPC=(%CP)xCCP+(%CT₁)xCCT₁+(%CT₂)xCCT₂

(13)

Taxa Mínima de Atratividade

Taxa Mínima de Atratividade (TMA) é o retorno mínimo que deve ser exigido de um determinado PROJETO.

CCP

Empresa

(14)

Diagrama do Fluxo de Caixa

Permite a representação gráfica de entradas e saídas de capital ao longo do tempo.

-+

0 1 2 3 5 6 7 9 10 4

-+

+

(15)

(16)

Capitalização Simples

Nesse tipo de capitalização, os juros incidem somente sobre o capital inicial da operação.

Os juros se comportam de maneira linear no tempo.

C = Capital inicial ou em um determinado instante. i = taxa de juros, expressa de forma por unidade. n = prazo.

n

i

C

(17)

EXEMPLO 2

Um negociante tomou um empréstimo a uma taxa

de juros de 6% ao mês durante 10 meses, sob

regime de capitalização simples. Ao final deste

período, calculou em $ 290.000,00 o total dos juros

incorridos na operação. Determinar o valor do

(18)

Montante e Capital

Um determinado capital C, quando aplicado a uma

taxa periódica por um prazo determinado, produz

um valor acumulado denominado montante M.

J

C

M





)

1 (

i

n

C

M







(19)

Fatores de Juros Simples

Fator de Capitalização ou Fator de Valor Futuro

n

i

FCS

 1





Fator de Atualização ou Fator de Valor

Presente

n

i

FAS







1

(20)

Representação Gráfica



i n



C FAS C C_t  _t / 1   _t 

C

_t

C

_n

t

n



i n



C FCS C C_n  _t  1   _t 

(21)

EXEMPLO 3

Uma dívida de $ 1 milhão irá vencer em 5 meses. O

credor está oferecendo um desconto de 2% ao mês

caso o devedor antecipe o pagamento para hoje.

Calcule o valor q ue o devedor pagaria caso

(22)

EXEMPLO 3 - Solução

M=$ 1.000.000,00

n= 5 meses

i=2% ao mês (0,02)

C=?



i

n



M

C







1 



1 ,

1

00 ,

000 .

1

5

02 ,

0

1

00 ,

000 .

1 







C

(23)

Equivalência de Capitais

● A equivalência de capitais é o teorema básico da Matemática Financeira.

● Dois ou mais capitais, em certa data, são equivalentes

quando, a uma dada taxa de juros, produzirem resultados iguais em uma data comum.

● No regime de capitalização simples, os prazos não

podem ser fracionados, sem alterar o valor final dos juros pagos. Logo, não há equivalência de capitais para

(24)

EXEMPLO 4

Um capital de $ 100.000,00 foi emprestado a uma taxa de juros simples de 20% ao ano. Determine:

a) O valor total da dívida após 2 anos;

b) O valor total da dívida após 2 anos, considerando-se que esta tenha sido integralmente paga após o

primeiro ano e reemprestada com os juros capitalizados incorporados.

(25)

EXEMPLO 4 - Solução

2 M $ 100.000

0

1

2

1 M M₂

(26)

EXEMPLO 4 - Solução

“Non-stop”



1

0 ,

2

2 

$

140 .

000 ,

00

000 .

100

2











M

Fracionando o período



1

0 ,

2

1 

$

120 .

000 ,

00

000 .

100

1











M



1

0 ,

2

1 

$

144 .

000 ,

00

000 .

120

2











M

(27)

EXERCÍCIO 1

Em quanto tempo um capital de $ 4.000,00 aplicado a 29,3% ao ano renderá $ 1.940,00, pelo regime linear ?

(28)

EXERCÍCIO 1 - Solução

Em quanto tempo um capital de $ 4.000,00 aplicado a 29,3% ao ano renderá $ 1.940,00, pelo regime linear ? C=$ 4.000,00 i=29,3% aa (0,293) J=$ 1.940,00 anos 65529 , 1 940 . 1    J n

n

i

C

J





meses 20  n

(29)

2) Uma TV em cores é vendida nas seguintes condições:

●Preço a vista: $ 1.800,00;

●Condições a prazo: 30% de entrada e $ 1.306,00 em 30 dias.

●Determine a taxa de juros simples cobrada na venda a prazo.

EXERCÍCIO 2

(30)

EXERCÍCIO 2 - Solução

Uma TV em cores é vendida nas seguintes condições: ● Preço a vista: $ 1.800,00;

● Condições a prazo: 30% de entrada e $ 1.306,00 em 30 dias.

M=$ 1.306 n= 1 mês

(31)

EXERCÍCIO 2 - Solução







1 1



260 . 1 306 . 1 1         i n i C M

0365

,

1

260 .

1

306 .

1

1  i



0365

,

0 

i



i



3,65%

ao

mês

(32)

EXERCÍCIO 3

Uma aplicação rende juros simples de 64,8% aa. Investindo-se $ 400.000,00, quanto tempo será

necessário para se ter $ 194.400,00 a mais do que o investido?

(33)

EXERCÍCIO 3 - Solução

C = $ 400.000; i= 64,8 aa = 5,4 % am M = $ 194.400 + C; n = ?



i

n



C

M





1 





n



C C     1 0,054 400 . 194 n    0,054 400.000 400 . 194

n



9 meses

(34)

EXERCÍCIO 4

Um investimento rende juros simples de 230%

aa. No ato da retirada, é cobrado imposto de

renda, com alíquota de 9%, sobre a rentabilidade.

Qual a taxa de rentabilidade líquida?

(35)

EXERCÍCIO 4 - Solução

i= 230% aa ( simples)

IR = 9% sobre valor nominal dos rendimentos



in



C

i

C

R

C

M





1 







1 



C i C R   1  2,3 C R IR  0,09  0,09 2,3 C IR  2070,  M  C  2,3C  0,207C  3,093C

 

(36)

Taxas de Juros Variáveis

Quando um capital é aplicado durante um

certo prazo, com diferentes taxas para

períodos desse prazo, teremos

n n

n

i

C

n

i

C

n

i

C

M







₁



₁





₂



₂



...







i n i n i_n n_n



C M   1 ₁  ₁  ₂  ₂ ... 















C

1 

n

M

i

n

(37)

EXEMPLO 5

Um capital de $ 2.300 foi emprestado

durante seis meses com as seguintes taxas:

● 2% am para o primeiro mês;

● 2,5% am para o segundo e terceiro meses; ● 3% am para o restante do prazo.

● Determine a taxa equivalente de juros ao final do prazo de empréstimo.

(38)

EXEMPLO 5 - Solução





668 .

2 $

3

03 ,

0

2

025 ,

0

1

02 ,

0

1

300 .

2 

















M



1

6 

2 .

668

300 .

2 







i

M

1

300 .

2

668 .

2

6 





i

(39)

Juros Simples e PAs

Suponha que alguém empresou $ 1.000,00

durante cinco anos a uma taxa de 10% aa.

Ano Saldo no início

de cada ano Juros anuais

Saldo ao final de cada ano 1 - - $ 1.000,00 2 $ 1.000,00 0,1 x 1.000 = $ 100,00 $ 1.100,00 3 $ 1.100,00 0,1 x 1.000 = $ 100,00 $ 1.200,00 4 $ 1.200,00 0,1 x 1.000 = $ 100,00 $ 1.300,00 5 $ 1.300,00 0,1 x 1.000 = $ 100,00 $ 1.400,00

O saldo evolui de acordo com uma

Progressão Aritmética (PA).

(40)

(41)

Notação

A notação para Juros Compostos é um pouco diferente:

VP = Capital (Valor Presente); VF = Montante (Valor Futuro).

Assim:

J

VP

(42)

Formulação

No final do primeiro ano:

00 , 210 . 1 $ ) 1 , 0 1 ( 100 . 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 2  VF   i  VP  i   i     VF

No final do segundo ano: Generalizando: 00 , 100 . 1 $ ) 1 , 0 1 ( 000 . 1 ) 1 ( 1  VP  i     VF n i VP VF  (1 )

(43)

Fatores de Juros Compostos

Fator de Capitalização ou Fator de Valor Futuro,

a Juros Compostos

Fator de Atualização ou Fator de Valor

Presente, a Juros Compostos





n i FAC   1 1





n i FCC  1

(44)

Cálculo dos Juros Compostos

Considerando que

n

i

VP

VF





(

1 

)

E que

J

VP

VF





Teremos



(1 ) 1



  _VP _i n J

(45)

Comparação

1.000,00 2.000,00 3.000,00 4.000,00 5.000,00 6.000,00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Saldo Juros Compostos Saldo Juros Simples

Juros compostos evoluem de acordo com uma Progressão Geométrica (PG).

(46)

Equivalência de Juros

 2 2 VP 1 im VF   



i_m



VP VF₁   1

 

iq VP VF₂   1

0

1

2 VP

VF2

(47)

Equivalência de Juros

Para que as duas operações sejam equivalentes, devemos ter ) 1 ( ) 1 ( ou ) 1 ( ) 1 ( 2 2 2 q m q m i i i VP i VP VF          1 1   i_m i_q

Generalizando para m meses dentro de um período

1

1 





m q m

i

ou



1 





1 

m m q

i

(48)

EXEMPLO 6

A taxa Selic é a taxa de juros média dos financiamentos diários com lastro em títulos federais, apurados por um sistema de liquidação diária dos títulos públicos,

chamado de Sistema Especial de Liquidação e Custódia (Selic), e é fixada nas reuniões do Copom (Comitê de Política Monetária). Em junho de 2005, a taxa Selic era de 1,4924% ao mês. Considerando que esta taxa

permaneça constante durante os próximos 12 meses, determine:

(49)

EXEMPLO 6 - Solução

Taxa semestral equivalente



1

0 ,

8614

/

100 

1

0 ,

05281

i

_s





6





Taxa anual equivalente



1

0 ,

86144

/

100 

1

0 ,

1084

i

_a





12





% 28 , 5 i_s  % 84 , 10 i_a 

(50)

EXEMPLO 7

Um título vence daqui a 4 meses, apresentando

um valor nominal (resgate) de $ 403.621,45. É

proposta a troca desse título por outro de valor

nominal de $ 480.000,00, vencível daqui a 8

meses. Sabendo que a rentabilidade exigida pelo

aplicador é de 5% ao mês, pede-se analisar se a

troca é vantajosa.

(51)

EXEMPLO 7 - Solução

Uma maneira simples de resolver o problema é calcular o valor presente do título que vence em 8 meses no

momento do vencimento do outro título.

0 4 8

VP

V$480.000,00

 

1,05 $394.897,20 00 , 000 . 480 4   VP Como o VP é inferior ao valor nominal do título, a troca não é

(52)

EXEMPLO 8

Para um empréstimo de $ 12.000,00, um

banco exige o pagamento de duas

prestações mensais e consecutivas de $

7.000,00 cada. Determinar o custo mensal

da operação.

(53)

EXEMPLO 8 - Solução

O Valor Presente das prestações deve igualar o valor do empréstimo em uma data qualquer. Supondo que seja a data inicial, teremos

000 .

12 $

(54)

EXEMPLO 8 - Solução

O VP será: ₁₂_.₀₀₀_,₀₀ ) 1 ( 00 , 000 . 7 ) 1 ( 00 , 000 . 7 2    i i ou 7 12 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 2    i i

Multiplicando por (1+i)2, vem

0 ) 1 ( 7 12 1 ) 1 ( _ _i _ _ _ _i 2 _

(55)

Observações

● O cálculo anterior foi possível analiticamente porque há apenas duas saídas de capital. Para mais de duas saídas, a solução analítica é muito difícil ou

simplesmente impossível. Nesse caso, deve-se usar uma calculadora financeira ou uma planilha

eletrônica;

● A taxa de juros que iguala os fluxos de entrada e de saída, em uma mesma data, é denominada Taxa

Interna de Retorno, ou TIR. A TIR é bastante usada para se avaliar a atratividade de projetos.

(56)

EXEMPLO 9

Um devedor emprestou $ 100 em uma

financeira. Devido a vários problemas, só

conseguiu saldar a dívida dois anos depois.

Considerando que a taxa de juros mensal da

financeira é de 12% ao mês:

Qual o valor da dívida?

Qual a taxa anual de juros cobrada pelo

banco?

(57)

EXEMPLO 9 - Solução

a) O valor da dívida será

n i VF 100(1 ) 86 , 517 . 1 $  VF 24 ) 12 , 0 1 ( 100   VF

b) A taxa de juros anualizada será



1



1  m m a i i



1 0,12



12 1  a i ia  289,6%

(58)

EXEMPLO 10

Um empresário irá necessitar de $

35.000,00 em 11 meses e $ 48.000,00 em

14 meses. Quanto ele deverá depositar hoje

em uma conta de investimento que oferece

rentabilidade efetiva de 17% ao ano?

(59)

EXEMPLO 10 - Solução

A rentabilidade mensal é 01317 , 0 1 17 , 0 1 12     m i

O Valor Presente da primeira aplicação é

36 , 308 . 30 $ ) 01317 , 0 1 ( 000 . 35 11 1    VP

O Valor Presente da segunda aplicação é

82 , 965 . 39 $ ) 01317 , 0 1 ( 000 . 48 14 2  _  VP

(60)

Observações

Os devedores sempre reclamam da aplicação de juros compostos, mas há várias situações em que o sistema de “capitalização exponencial” é usado de forma natural. Por exemplo:

● Reajustes salariais.

● Cálculo da inflação annual. ● Reajustes tarifários.

(61)

EXEMPLO 11

Considerando a tabela abaixo, dos IGPMs mensais, calcule o IGPM acumulado dos últimos 12 meses.

(62)

EXEMPLO 11 - Solução

IGMP_a=10,0131∗10,0122∗10,0069∗10,0039∗10,0082 10,0074∗10,0039∗10,0030∗10,0085 10,0086∗1−0,0022∗1−0,0044−1 IGMP =7,12 % a.a.

(63)

EXERCÍCIOS

● Para um poupador que deseja ganhar 2,5% ao mês, o que é mais vantajoso: a) receber $ 18.500,00 daqui a 4 meses ou; b) receber $ 25.500,00 daqui a 12 meses? ● Uma pessoa deve uma importância de $12.400. Para

a liquidação da dívida, propõe-se os seguintes pagamentos: $3.500,00 ao final de 2 meses;

$4.000,00 ao final de 5 meses; $1.700,00 ao final de 7 meses e o restante em 12 meses. Considerando que a taxa efetiva de juros é 3% ao mês, calcule o valor do último pagamento.

(64)

(65)

Fluxo de Caixa

Um fluxo de caixa representa uma série de pagamentos ou recebimentos que se estima ocorrer em determinado

intervalo de tempo;

Os pagamentos são genericamente representados por PMT, sendo que as demais variáveis já foram abordadas:

VP – Valor Presente. VF – Valor Futuro.

n – número de períodos. i – taxa de juros.

(66)

Fluxos de Caixa - Classificação

Quanto ao período de ocorrência:

Postecipados; Antecipados; Diferidos. Quanto à periodicidade: Periódicos; Não periódicos. Quanto à duração: Limitados (finitos); Indeterminados (indefinidos).

Quanto aos valores:

Constantes; Variáveis.

(67)

O “Modelo Padrão”

Postecipado: Os pagamentos ou recebimentos começam a

ocorrer no final do primeiro intervalo de tempo. Não há carência.

Limitado: O prazo total do fluxo de caixa é conhecido a priori.

Constante: Todos os termos (pagamentos ou recebimentos) são

iguais entre si.

Periódico: Os intervalos de tempo entre os termos são idênticos entre si.

(68)

O “Modelo Padrão”

PMT _PMT PMT _PMT _PMT _PMT 1 2 3 4 n−1 n 0 VP VP= PMT 1i  PMT 1i2 PMT 1i 3... PMT 1in VP=PMT∗FVP i , n

(69)

O Fator de Valor Presente

O Fator de Valor Presente é uma Progressão Geométrica de n termos, com primeiro termo (a₁) e razão (q) iguais a (1+i)-1_{, e}

enésimo termo (a

n) igual a (1+i) -n_.

A soma dos termos de uma PG é:

FVP i , n=a1−an∗q 1−q FVP i , n=1i  −1 −1i −n∗1i −1 −1 FVP i , n=1−1i −n

(70)

EXEMPLO 15

Um software é vendido em 7 pagamentos mensais, iguais e consecutivos de $ 3.000,00. Considerando que a taxa de juros é 3,6% am, até que preço compensa adquirir o produto a vista?

(71)

EXEMPLO 15 - Solução

PMT = $ 3.000,00; i = 2,6% am = 0,026; n = 7 meses; VP = ? VP=PMT∗FVP i , n=3.000,00∗FVP i , n VP=3.000,00[1−1,026 −7  0,026 ] VP=$ 18.975,88 VP=3.000,00∗6,325294

(72)

Usando o Excel ou o Calc

O Microsoft Excel e o Open Office Calc têm funções financeiras para cálculo direto do PMT e do VP:

VP (Taxa, NPER, PGTO); PGTO (Taxa, NPER, VP); PGTO = PMT;

NPER = número de períodos; Taxa = taxa de juros unitária.

(73)

EXEMPLO 16

Um empréstimo de $ 20.000,00 é concedido

para pagamento em 5 prestações mensais,

iguais e sucessivas de $ 4.300,00. Determine

o custo mensal do empréstimo.

(74)

EXEMPLO 16 - Solução

VP = $ 20.000,00;

PMT = $ 4.300,00;

n = 5;

VP=PMT∗FVP i , n 20.000=4.300∗FVP i , n 20.000=4.300∗1−1i −5  i

(75)

Valor Futuro

PMT _PMT PMT _PMT _PMT _PMT 1 2 3 4 n−1 0 n VF VF =PMT PMT∗1iPMT ∗1i 2... PMT∗1in

VF =PMT [11i1i 21i 3...1in] VF =PMT ∗FVF i , n

(76)

O Fator de Valor Futuro

O Fator de Valor Futuro é uma Progressão Geométrica de n termos, com primeiro termo a₁ = 1 e razão q = (1+i), e

enésimo termo a_n = (1+i)n_.

A soma dos termos de uma PG é:

FVF i , n=a1−an∗q 1−q FVF i , n=1−1i n ∗1i 1−1i __{1i }n −1

(77)

EXEMPLO 17

Uma pessoa irá necessitar de $ 22.000,00

daqui a 12 meses. Para tanto, está fazendo

uma poupança mensal de $ 1.250,00, com

tyaxa de juros compostos de 4% am

Determine se esta pessoa terá acumulado o

montante necessário.

(78)

EXEMPLO 17 - Solução

PMT = $ 1.250,00

n = 12 meses;

i = 4,0 % am;

VF = ?

VF =PMT ∗FVF FVF i , n=1i n −1 i = 10,0412−1 0,04 =15,025805

(79)

EXEMPLO 18

Um jovem executivo de 25 anos deseja se

aposentar aos 55 anos com um patrimônio

de $ 1.000.000,00. Qual valor mensal ele

deve depositar em uma conta-investimento

que rende 1,2% am?

(80)

EXEMPLO 18 - Solução

PMT = ? n = 55 - 25 = 30 anos = 360 meses; i = 0,012 am; VF = $ 1.000.000,00 VF =PMT ∗FVF FVF i , n=1i n −1 i = 10,012360−1 0,012 =6.023,32 ou PMT = VF FVF

(81)

EXEMPLO 19

Uma empresa contraiu um empréstimo de $ 100.000,00 para ser pago em 6 prestações mensais uniformes de $ 18.094,33. Após o pagamento da segunda prestação, a empresa solicita ao banco o refinanciamento do saldo da dívida em 12 prestações mensais, iguais e sucessivas,

sendo que a primeira vence 30 dias a partir dessa data. Sabendo que a taxa de juros cobrada pelo banco é de 3,5% aa, determine o valor da prestação do

(82)

EXEMPLO 19 - Solução

A taxa de juros do empréstimo original é

VP=PMT∗FVP=18.094,33∗FVP i ,6

Resolvendo-se com uma calculadora financeira ou planilha eletrônica:

i=2,4 % a.m.

Após o pagamento da segunda prestação, faltam ainda quatro. O valor presente destas, a uma taxa de juros de 2,4% am será

(83)

EXEMPLO 19 - Solução

O fluxo de 12 prestações a uma taxa de 3,5% am deve ser equivalente ao valor presente das prestações faltantes:

68.234,68=PMT∗FVP 3,5 , 12 PMT =68.234,68 9,663334 68.234,68= PMT∗[1−1,035 −12 ] 0,035 PMT =$ 7.061,19

(84)

Fluxo com Carência

O valor presente na data 1 será

VP=PMT∗FVP 1, n

Na data zero, teremos

VP=PMT∗FVP 1, n∗ 1

1i  ou VP=PMT∗FVP 1, n∗FAC 1,1

Generalizando para um período de carência c

PMT PMT PMT PMT PMT

1 2 3 4 n−1

0 n

(85)

Perpetuidade

VP= PMT 1i  PMT 1i2 PMT

1i 3... PMT1i ∞=PMT∗FVP i ,∞

Considerando que a_n = 0, a soma da PG será FVP=lim n ∞ a₁−a_n∗q 1−q = a₁ 1−q VP= PMT PMT _PMT PMT _PMT _PMT _PMT 1 2 3 4 ∞ 0 VP 1i−1 1

(86)

EXEMPLO 20

Um pequeno investidor têm um apartamento que rende aluguel mensal constante de $ 720,00. Determine o Valor Presente dos aluguéis, avaliado pela taxa da poupança e considerando:

Prazo de 10 anos; Prazo de 40 anos; Perpetuidade.

(87)

EXEMPLO 20 - Solução

n = 10 anos = 120 meses VP=720∗FVP 0,5% ,120=$ 64.852,89 n = 40 anos = 480 meses VP=720∗FVP 0,5% ,480=$ 130.858,26 n = ∞ VP= 720 0,005=$ 144.000,00

(88)

EXEMPLO 21

Um determinado fluxo de caixa consiste de

12 prestações mensais de $ 120.000,00.

Determine o fluxo de caixa equivalente para

5 prestações trimestrais iguais, considerando

que a taxa de juros seja 1,5% am

(89)

EXEMPLO 21 - Solução

Dois fluxos de caixa são equivalentes quando produzem o mesmo valor em um mesmo momento. Este momento é frequentemente denominado “data focal”. Admitindo o momento atual como data focal, teremos:

VP=PMT∗FVP i , n 1.200 1.200 1 2 3 4 12 0 VP 1.200 1.200 1.200 1.200 11 (meses)

(90)

EXEMPLO 21 - Solução

O fluxo trimestral será:

i=1,0153−1=0,0457 PMT = VP

FVP 4,57% , 5=

13.89,00 4,381427

A taxa de juros trimestral será

i=4,57% a.t. PMT PMT 1 2 3 4 0 $ 13.089 PMT PMT PMT 5 (trimestres)

(91)

EXERCÍCIO 8

Um empréstimo no valor de $ 12.500,00 deve ser pago em 4 parcelas trimestrais de valores linearmente crescentes na razão de 12%. A primeira parcela vence em 3 meses, e as demais sequencialmente. A taxa de juros efetiva contratada é 27 % ao ano. Determine o

valor de cada pagamento.

PMT₁ = $ 3.091,80

PMT₂ = $ 3.462,80

PMT₃ = $ 3.833,80

(92)

(93)

Métodos de Análise

Valor Presente Líquido (VPL):

Fácil de entender, fácil de calcular;

Depende do conhecimento prévio de uma taxa de desconto.

Taxa Interna de Retorno (TIR): Difícil de calcular;

Não depende de uma taxa de desconto;

Sensível ao ritmo de desembolso do projeto;

(94)

Métodos de Análise

Índice de Lucratividade (IL):

Relação entre o valor presente das receitas e o valor presente dos desembolsos;

Também conhecido como Return On Investment (ROI); Bastante usado em projetos de informática.

Taxa de Rentabilidade (TR):

Relação entre o Valor Presente Líquido e o valor presente dos desembolsos;

(95)

Métodos de Análise

Pay Back

Bastante usado, mas frequentemente de maneira errada; Índice intuitivo e fácil de entender;

Possui grande apelo, especialmente junto aos donos do capital.

Valor Uniforme Anual Equivalente (VAUE)

Corresponde à série uniforme (Modelo Padrão) que tem o mesmo valor presente do fluxo original;

(96)

Valor Presente Líquido - VPL

O VPL é o valor líquido de todas as receitas e

desenbolsos de capital, trazidos a valor

presente por meio de uma taxa de desconto.

n _FC VPL=−I_o FC1 1i FC₂ 1i 2... FC_n 1i n

(97)

EXEMPLO 27

Determine o VPL do fluxo de caixa abaixo, para

taxas de juros de 20% aa e 30% aa.

1 2 ₃ 4

0

$ 750.000,00

(98)

EXEMPLO 27 - Solução

i = 20% aa

VPL=−I_o

∑

j =1 n _FC j 1i j VPL=−750.000[ 250.000 1,2  320.000 1,22  380.000 1,23  280.000 1,24 ] VPL=−750.000785.493,82

(99)

EXEMPLO 27 - Solução

i = 30% aa

VPL=−I _o

∑

j =1 n _FC j 1i j VPL=−750.000[ 250.000 1,3  320.000 1,32  380.000 1,33  280.000 1,34 ] VPL=$ 97.344,29 VPL=−750.000652.655,71

(100)

EXEMPLO 27 - Solução

A taxa de desconto para o qual o VPL é nulo é denominada Taxa Interna de Retorno - TIR.

-R$ 300.000,00 -R$ 250.000,00 -R$ 200.000,00 -R$ 150.000,00 -R$ 100.000,00 -R$ 50.000,00 R$ 0,00 R$ 50.000,00 R$ 100.000,00 R$ 150.000,00 R$ 200.000,00 R$ 250.000,00 R$ 300.000,00 R$ 350.000,00 VPL

(101)

Observações

O método do VPL é frequentemente denominado

“Fluxo de Caixa Descontado”;

Este método pode ser usado para analisar:

Atratividade de investimentos;

Viabilidade de empreendimentos;

Valor de uma empresa para fins de venda

ou investimento;

(102)

Vantagens do VPL

Fácil de calcular, mesmo com uma

calculadora de quatro operações;

Leva em consideração o valor do dinheiro no

tempo;

(103)

Desvantagens do VPL

Necessita o conhecimento prévio de uma taxa

de desconto;

Não é uma medida muito intuitiva. Sabemos

que projetos com VPL negativo não podem

ser aceitos, mas o que significa um projeto

com VPL de $ 120.000,00? O projeto é

(104)

Custo do Capital Próprio

Uma estimativa para a taxa de desconto é o CMPC (Custo Médio Ponderado do Capital), como já visto;

O Custo do Capital de Terceiros é razoavelmente fácil de estimar, pois depende de contratos de financiamento previamente assinados;

O Custo do Capital Próprio, por outro lado, é difícil de

estimar. Poucas empresas no Brasil conhecem seu custo de capital.

(105)

CCP – Método Rápido

Quando uma empresa abre seu capital,

emitindo ações no mercado, ela passa a ser

valorizada por estas ações;

O valor de uma ação, determinado pelo

mercado, é também o valor presente de

todos os dividendos futuros esperados, e a

taxa de desconto destes dividendos é o

(106)

CCP – Método Rápido

Sendo D

₁

o valor dos dividendos esperados,

P

_o

o valor atual das ações e g a taxa de

crescimento dos dividendos, o Custo do

Capital Próprio será:

CCP= D1

(107)

EXEMPLO 28

Uma empresa tem hoje 100 milhões de ações e pagará, dentro de um semestre, dividendos de R$ 0,20/ação. Estima-se que os dividendos totais que a empresa pagará no futuro devem cerscer geometricamente à taxa de 2% ao semestre. Sabendo-se que o preço da ação hoje é $ 4,00, determine:

O Custo do Capital Próprio;

Considerando que 30% do capital total da empresa

encontra-se financiado à taxa de 25% aa, determine o Custo Médio Ponderado do Capital.

(108)

EXEMPLO 28 - Solução

CCP=0,20 4 0,02 CCP=0,07 CCP=7% a.s. CCP=10,072−1=0,1449 CCP=14,49% a.a. CMPC=0,7∗0,14490,3∗0,25

(109)

EXEMPLO 29

Considere que a empresa do exemplo anterior pretende implantar um projeto com o fluxo de caixa líquido

mostrado abaixo. Calcule o VPL usando como taxa de desconto: a) o CCP; b) o CMPC.

1 2 ₃ 4

0

(110)

EXEMPLO 29 - Solução

VPL=−75.000,00[ 20.000,00 1i  25.000,00 1i 2  30.000,00 1i3  35.000,00 1i4 ] a) i = CCP = 14,49% aa VPL=$ 1.901,74 b) i = CMPC = 17,64% aa VPL=−$ 3.232,64

(111)

Taxa Interna de Retorno - TIR

A TIR é a taxa de desconto que iguala, em determinado momento do tempo, o valor presente das entradas e das saídas de caixa. Geralmente adota-se a data de início de operação, o momento zero, como a data focal para

comparação dos fluxos de caixa;

A TIR pode ser considerada como a rentabilidade média

ponderada geometricamente, de acordo com o critério

(112)

EXEMPLO 30

Um projeto exige investimento de $ 80.000,000 e promete rendimentos de $ 21.000,00, $ 41.000,00, $ 46.000,00 e $ 31.000,00, respectivamente, ao final dos próximos

quatro anos. Determine: A TIR;

A rentabilidade total;

O Valor Futuro das receitas;

(113)

EXEMPLO 30 - Solução

1 2 3 4 0 $ 80.000,00 $ 21.000,00 _{$ 41.000,00} _{$ 46.000,00} $ 31.000,00 −80.000,00[ 21.000,00 1i   41.000,00 1i 2  46.000,00 1i 3  31.000,00 1i 4 ]=0

Resolvendo em uma planilha eletrônica ou calculadora financeira:

TIR=24,54% a.a.

(114)

EXEMPLO 30 - Solução

Rentabilidade=1TIRn−1

c) Valor Futuro das receitas - VF(R):

Rentabilidade=140,55%

b) A Rentabilidade total nada mais é do que a TIR calculada para todas a vida útil do projeto:

Rentabilidade=1,24544−1=1,4055

VF  R=

(115)

EXEMPLO 30 - Solução

VF R VP I  = 192.439,07 70.000 =2,4055

Não por coincidência:

VF  R=VP  I ∗1TIR

d) Relação entre VP(I) e VF(R):

VF R

VP I  =TIR1

Assim, a TIR é também a taxa de juros que transforma o investimento inicial na riqueza VF(R) ao final da vida útil. Mas esse valor futuro só existirá se todas as receitas forem reaplicadas a uma taxa igual à TIR!

(116)

EXEMPLO 31

No exemplo 28, considere que a taxa de

reinvestimento é 15%, e que a taxa de

financiamento é 24,54%. Determine a

MTIR.

(117)

EXEMPLO 31 - Solução

O Valor Presente do Investimento é $ 80.000, pois a

taxa de desconto é a própria TIR;

O Valor Futuro das Receitas é:

VF  R=21.000∗1,15341.000∗1,15246.000∗1,1531.000 VF R=$ 170.060,88 MTIR=VF  R

VP I  −1=

170.060,88

80.000 −1=1,1258 (para toda a vida útil) MTIR=11,12581/4−1=0,2075

(118)

Considerações sobre a MTIR

O MS Excel e o Open Office Calc têm a função MTIR (valores, taxa

de financiamento, taxa de reinvestimento), que permite o cálculo

da MTIR;

Por causa disso, o uso da TIR e da MTIR multiplicou-se nos últimos 10 anos. Mas quando usar a MTIR?

Em uma palavra: NUNCA!

Justificativa: A MTIR exige o conhecimento prévio de duas taxas de juros. Já é difícil determinar uma delas. Determinar duas taxas,

(119)

Conclusão

Só se pode dizer que um projeto apresenta TIR de X% se todos os fluxos de caixa do projeto forem reaplicados, em uma

outra aplicação, a uma taxa de juros igual à TIR do projeto

Mas por que um investidor investiria em um projeto se existisse uma aplicação com a mesma rentabilidade?

Isso mostra que o conceito da TIR é tecnicamente confuso e de difícil aplicação, embora seja usado rotineiramente,

especialmente para vender o projeto;

(120)

EXEMPLO 32

Uma distribuidora decidiu instalar um novo depósito de produtos acabados. Para isso, alugou um galpão por 15 anos, pagando anualmente $ 120.000,00, e

comprometeu-se a realizar uma reforma estimada em $ 300.000,00 após 5 anos. As reduções de custos de

distribuição do produto foram estimadas em $

144.000,00 anuais. Faça uma análise do VPL para taxas de desconto variando de 0% a 50% aa

(121)

EXEMPLO 32 - Solução

Fluxo de Caixa (em mil $)

-10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 V P L (m il $)

(122)

Observações

O fluxo de caixa anterior não é usual, pois a única saída líquida de capital ocorre no quarto ano;

Quando isso acontece, ou quando há mais de uma inversão de capital, o VPL pode ter mais de uma raiz. Consequentemente, o projeto terá mais de uma TIR;

No caso em questão, temos:

TIR₁ = 8,43% aa

TIR₂ = 33,57% aa

Nesse caso, o uso da TIR é inviável. A MTIR resolveria o problema das raízes múltiplas, mas cairíamos de novo no problema de conhecer duas

(123)

EXERCÍCIO 11

Dado o fluxo de caixa abaixo, determine o VPL, a TIR e a MTIR, para uma taxa de desconto de 12% aa Considere que as taxas de financiamento e de reinvestimento também são iguais a 12% aa

(124)

EXERCÍCIO 11 - Respostas

VPL = $ 55.194,28

TIR = 16,33% aa

MTIR = 14,78% aa

(125)

TIR e ritmo de desembolso

Considere as duas alternativas de investimento a seguir, com taxa de desconto de 12 % aa

É fácil concluir que os VPLs de ambas as alternativas são

idênticos: $ 78.912,59

Contudo, as TIRs são diferentes: TIR₁ = 28,65% aa

TIR₂ = 32,99% aa Isso acontece porque a TIR é

(126)

TIR e ritmo de desembolso

0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 -50.000,00 -25.000,00 0,00 25.000,00 50.000,00 75.000,00 100.000,00 125.000,00 150.000,00 175.000,00 200.000,00 VPL 1 VPL 2

Taxa de desconto anual (% a.a.)

V

P

L

(

(127)

VPL x TIR

O VPL está associado ao conceito de

maximização da riqueza;

A TIR está associada ao conceito de

maximização da lucratividade;

Projetos com o mesmo VPL podem ter TIRs

diferentes.

(128)

Índice de Lucratividade

O IL é uma maneira um pouco diferente de

expressar o VPL. Em vez de ser uma

subtração, como o VPL, o IL é uma divisão

entre os valores presentes das entradas e das

saídas de capital:

IL= VP  Receitas VP  Desembolsos

(129)

Taxa de Rentabilidade - TR

A TR é a a divisão entre o VPL e o valor

presente dos desembolsos de capital:

TR%= VPL

(130)

Tempo de Retorno

- Payback

_{- Payback}

O Tempo de Retorno do Capital, ou Payback,

mede o tempo que o projeto leva para pagar o

investimento inicial;

A forma mais correta de calcular o Payback é

levando-se em conta o valor do dinheiro no

tempo. O método resultante é denominado

Paybak descontado;

O Payback é aquele tempo para o qual o VPL

acumulado se torna zero.

(131)

EXEMPLO 33

Para o fluxo abaixo, calcule o Payback descontado considerando taxa de desconto de 12% aa

(132)

EXEMPLO 33 -Solução

O VPL no primeiro ano é: VPL₁=−100.00 15.000 10,12=−$86.607,00 No segundo ano: VPL₂=−100.00 15.000 10,12 20.000 10,122=−$ 66.607 No terceiro ano: VPL =−100.00 15.000  20.000  30.000 =−$11.607

(133)

EXEMPLO 33 -Solução

Desenhando-se o gráfico VPL=f(tempo), o Payback resultando é aproximadamente 4,4 anos. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -100.000 -75.000 -50.000 -25.000 0 25.000 50.000 75.000 100.000 125.000 150.000 175.000 200.000 225.000 Variação do VPL Acumulado V P L A cu m u la d o ( $ )

(134)

Valor Uniforme Anual Equivalente - VAUE

O VAUE, Valor Uniforme Anual Equivalente,

consiste na série uniforme de pagamentos

que são equivalentes ao fluxo de caixa

original do projeto;

O VAUE é também denominado:

SUL – Série Uniforme Líquida;

(135)

CÁLCULO DO VAUE

Para calcular o VAUE, basta calcular o VPL e, a partir

deste, usar o Modelo Padrão para obter os

pagamentos equivalentes:

VAUE=PMT = VPL FVP i , n VAUE= i∗VPL 1−1i−n VAUE= i 1−1i−n∗VPL

(136)

EXEMPLO 34

Calcule o VAUE para o fluxo de caixa abaixo,

considerando taxa de desconto de 12% aa

(137)

EXEMPLO 34 - Solução

VPL=−200.000−250.000 1,12  100.000 1,122  120.000 1,23  200.000 1,24  300.000 1,25 VPL=$39.250,40 VAUE= i∗VPL 1−1i−n= 0,12∗39.250,40 1−1,12−6 VAUE=$ 9.546,71

(138)

EXEMPLO 34 - Solução

0 0,01 0,03 0,05 0,07 0,090,10,11 0,13 0,15 0,17 0,190,20,21 0,23 0,25 -100000 -75000 -50000 -25000 0 25000 50000 75000 100000 125000 150000 175000 200000 225000 250000 275000 VPL VAUE

Os gráficos do VPL e do VAUE em função da taxa de desconto mostram que o VAUE é mais “comprimido”, sendo mais fácil de analisar.

(139)

EXERCÍCIO 12

Para o fluxo de caixa abaixo, calcule o VPL, a

TIR, a MTIR, o IL, a TR, o Payback e o

VAUE. Considere taxa de desconto de 16%

aa

(140)

(141)

Alternativa Única

A seleção de um único projeto diz respeito à

viabilidade econômica do mesmo. Trata-se de decidir

se o projeto deve ser implementado ou não

Na prática, não existe projeto com alternativa única,

pois sempre existe a opção de não se fazer nada;

Assim, a pergunta a ser feita é: devemos investir no

(142)

Critérios de Seleção

Os critérios para seleção de projetos de

alternativa única são:

VPL: o projeto é aceito se VPL>0;

TIR: o projeto é aceito se TIR>TMA; IL: o projeto é aceito se IL > 1;

Os métodos do Payback, VAUE e TR não

permitem conclusões sobre um projeto de

alternativa única.

(143)

Alternativas Múltiplas

Os projetos de alternativas múltiplas se

dividem em dois tipos:

Alternativas de mesma duração;

(144)

Alternativas de mesma duração

Os métodos que podem ser usados para se

comparar duas os mais alternativas de

mesma duração de um projeto são:

VPL, VAUE, Payback, IL e TR.

A TIR não deve ser usada nesses casos, pois,

como já vimos, alternativas de mesmo VPL

podem ter TIRs diferentes.

(145)

EXEMPLO 35

Uma empresa enfrenta sérios problemas de produtividade em uma determinada etapa de produção. Estudos técnicos evidenciaram duas alternativas para solucionar o problema, expostas abaixo. Supondo os investimentos concentrados na data zero, determine a alternativa mais viável.

(146)

EXEMPLO 35 - Solução

Alternativa A

Receita Líquida=Receita Operacional−CustoOperacional−Custo de Manutenção Receita Líquida=27.500−12.500−2.000=$13.000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0

(147)

EXEMPLO 35 - Solução

Alternativa B

Receita Líquida=Receita Operacional−CustoOperacional−Custo de Manutenção Receita Líquida=38.500−19.800−2.600=$16.100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0

$16.100,00 $ 20.000,00

(148)

EXEMPLO 35 - Solução

A alternativa B é mais atrativa, pois tem VPL maior, quando calculado com TMA=12%aa;

Contudo, para se fazer uma melhor avaliação da atratividade das alternativas, deve-se fazer uma análise de sensibilidade, variando-se a TMA e calculando-se os VPLs;

A análise de sensibilidade mostra que ambas as alternativas são igualmente atrativas para TMA=13,6%aa;

(149)

EXEMPLO 35 - Solução

8,0% 10,0% 12,0% 14,0% 16,0% 18,0% 20,0% 22,0% 24,0% 26,0% 28,0% 30,0% 0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 80000 Análise de Sensibilidade TMA (%)

(150)

Durações diferentes

Quando as alternativas em análise têm durações (vidas úteis) diferentes, não podemos fazer a comparação dos VPLs, ILs, etc, diretamente, pois isto violaria o princípio da equivalência dos capitais.

Nesse caso, um método que pode ser usado consiste em repetir os fluxos de caixa das alternativas, de maneira que as

durações resultantes coincidam;

Por exemplo, se a alternativa A tem duração m, e a alternativa B tem duração n, as alternativas resultantes deverão ter duração

(151)

EXEMPLO 36

Uma fábrica está precisando de um novo grupo motor-gerador e está em dúvida entre as marcas General

Failure e La Bomba. Os custos de operação e

manutenção são iguais, de modo que as econominas geradas pelas duas alternativas são idênticas. A única diferença é que o gerador da General Failure dura o dobro e custa o dobro. Sabendo que o valor residual de ambas as alternativas é desprezível, apresente uma

(152)

EXEMPLO 36 - Solução

Alternativa A: General Failure

I _A=2x

n E

VPL_A=−2xE∗FVP i , n

(153)

EXEMPLO 36 - Solução

Alternativa B: La Bomba I _B=x n E

VPL_B=−x−x∗FAC i , n/ 2E∗FVP i , n VPL =−x− x E∗1−1i

−n

n 2 I _B=x

(154)

EXEMPLO 36 - Solução

VPL_A=−2xE∗1−1i −n i VPL_B=−x− x 1i n/2E∗ 1−1i−n i VPL_B−VPL_A=−x− x 1i n/22x VPL_B−VPL_A=x− x 1in/2=x∗ 1i n/2−1 1in/2 VPL_B−VPL_A0

(155)

EXEMPLO 36 – Calculando o VAUE

VPL_A=−2xE∗1−1i −n i VPL_B=−x− x 1i n/2E∗ 1−1i−n i VAUE_A= i 1−1i−n∗VPLA=−2x[ i 1−1i−n]E VAUE_B= i 1−1i−n∗VPLB=−[x x 1in/2 ]∗[ i 1−1i −n ]E VAUE −VAUE =x∗1i

n/2

−1

(156)

EXEMPLO 36 – Calculando o VAUE

Comparando as expressões do VPL e do VAUE, concluímos que:

VAUE_B−VAUE_A=VPL_B−VPL_A∗[ i

1−1i −n ]

Como esperado, as receitas intermediárias se cancelam, de modo que a comparação dos VPLs e dos VAUEs conduz ao mesmo resultado.

De maneira geral, é mais fácil comparar os VAUEs, pois isso evita o trabalho de repetir os fluxos de caixa.

(157)

EXEMPLO 37

Para taxa de juros de 12% aa, determine qual das

alternativas abaixo é melhor.

(158)

EXEMPLO 37 - Solução

Alternativa A 18.000 10.600 1 6.600 2 3 4 5 0 VPL_A=−18.000 6.600 1,12 6.600 1,122 6.600 1,123+ + 6.600 1,124 10.600 1,125 VPL_A=$ 8.061,23 VAUE_A= i∗VPLA 1−1i−n VAUE =0,12∗8.061,23