Departamento de Engenharia Química e de Petróleo UFF. Disciplina: TEQ102- CONTROLE DE PROCESSOS

(1)

FXVWR

Profa_{Ninoska Bojorge}

ESTABILIDADE

Método critério de Routh-Hurwitz Método de Substituição direta

Método do lugar geométrico das raízes (Root Locus)

Departamento de Engenharia Química e de Petróleo – UFF Disciplina: TEQ102- CONTROLE DE PROCESSOS

Clique para editar os estilos do texto mestre ¾ Segundo nível

• Terceiro nível – Quarto nível

A estabilidade de um sistema linear malha fechada é determinada pela localização dos pólos da equação característica malha fechada no plano s;

Se qualquer um destes pólos estiver no semi-plano direito do plano s, então, com o decorrer do tempo, eles darão origem ao modo dominante e a resposta transitória aumentará monotonamente ou oscilará com amplitude crescente;

Critérios para a avaliação da estabilidade: ¾ Método critério de Routh-Hurwitz

¾ Método de Substituição direta

¾ Método do lugar geométrico das raízes (Root Locus)

Introdução

(2)

¾ Segundo nível • Terceiro nível

– Quarto nível

• Pode-se definir basicamente 3 comportamentos diferentes em um

sistema a partir do estado inicial: 1) Decrescimento da resposta 2) Crescimento da resposta 3) Comportamento neutro

Introdução

3

DECRESCIMENTO DA RESPOSTA: saída decai após aplicada uma entrada limitada

→ SISTEMA ESTÁVEL

CRESCIMENTO DA RESPOSTA: saída cresce após uma entrada limitada

→SISTEMA INSTÁVEL

• Terceiro nível – Quarto nível Dinâmicas do Processo

FOPDT ao aumentar o Kc o

Time _Time Time

FOPDT: First Order Process Plus Dead Time

Offset Controlador : Proporcional Æ Offset

(3)

Processo malha aberta estável (Auto-regulatório) : processo estável sem controle feedback

Definição de Estabilidade:

Um sistema linear irrestrito é dito ser estável se a resposta de saída é limitada para todas as entradas limitadas. Caso contrário, é dito ser instável.

CRITÉRIO GERAL DE ESTABILIDADE

Exemplo: Sistema de armazenamento de líquidos que não é de auto regulação

Exemplo: Tanque capacitivo puro

q

dt

dh

A

=

_i

−

)

(

)

(

)

(

s

Q

s

Q

s

AsH

=

_i

−

)

(

1

1 )

(

1

1 )

(

Q

s

A

s

Q

s

A

S

H

=

_i

−

∴ q é independente do h Processo de Integração Sistema de nível de líquido com

uma bomba é um processo instável (ou não-auto-regulatório).

A função de transferência que relaciona o nível de liquido h com a vazão de entrada q_ié:

As

s

G

s

Q

s

H

P i

1 )

(

)

(

)

(

=

′

(4)

– Quarto nível

Para, o degrau de magnitude M₀,

2 0

)

(

As

M

s

H

′

=

t

A

M

t

h

′

(

)

=

0

Tomando a transformada inversa de Laplace da uma resposta transiente,

Uma vez que esta resposta é ilimitada, podemos concluir que o sistema de armazenamento de líquidos é instável malha aberta (ou não-auto-regulatório) já que uma entrada limitada produz uma resposta sem limites.

No entanto, se a bomba no sistema do tanque fosse substituída por uma válvula, então o sistema de armazenamento seria de auto-regulação.

7

CRITÉRIO GERAL DE ESTABILIDADE

• Terceiro nível – Quarto nível ESTABILIDADE MALHA FECHADA

O problema de controle envolve a consideração de estabilidade malha fechada.

Conceito Geral:

Estabilidade BIBO (Bounded Input-Bounded Output) :

Um sistema linear (sem restrições) é dito ser estável se, para todo sinal de amplitude limitada aplicado em sua entrada, o sinal de saída é também limitado.

Caso contrário, é instável, ou seja, a amplitude do sinal de saída tenderá a crescer indefinidamente com o passar do tempo.”

Comentários:

• A estabilidade é muito mais fácil para provar que a instabilidade • Isto é apenas um tipo de estabilidade

(5)

Dinâmica da malha fechada

• se G_OLé uma função racional, em seguida, as funções de

malha fechada de transferência são funções racionais e tomam a forma

ou representando em função das FTs malha fechada, temos:

Y s

G G G

G G G G

Y

s

G G G G

D s

c v

p

c v

p m

c v

p m

( )

=

*

( )

+

1

G_OL m m m m

S

b

s

b

s

a

s

a

s

Q

s

H

s

G

+

=

...

)

(

)

(

)

(

1 0 1 0

ESTABILIDADE MALHA FECHADA

Clique para editar os estilos do texto mestre ¾ Segundo nível • Terceiro nível – Quarto nível

L

G

R

G

K

C

OL L OL p v c m

+

=

1

∴

G

_OL

= G

_c

G

_v

G

_p

G

_m

Para mudança no set-point, a equação acima se reduz a:

)

(

)

)(

(

)

(

)

)(

(

1

₁ ₂ 2 1 n m OL p v c m

p

s

p

s

p

s

z

s

z

s

z

s

K

G

K

R

C

−

′

=

+

=

∴ m ≤ n : condição para a realizabilidade física

p_n: pólos das raízes da equação característica

1 + G_OL = 0 → desempenha um papel decisivo na determinação da

estabilidade do sistema

EQUAÇÃO CARACTERISTICA

(6)

– Quarto nível

• Assim, um dos pólos é um número real positivo c(t) é ilimitado.

• Se p_k é a_k+ jb_k, uma parte real positiva e com a parte

imaginário faz com que a resposta seja oscilatória, então o sistema é instável.

se Q(s) = 1/s e não há pólos repetidos, em seguida:

n n

p

s

A

p

s

A

p

s

A

s

A

s

C

−

+

−

+

−

+

=

2 2 1 1 0

)

(

)

exp(

)

exp(

)

exp(

)

(

t

A

₀

A

₁

p

₁

t

A

₂

p

₂

t

A

p

t

c

=

+

_n _n cuja solução é: EQUAÇÃO CARACTERISTICA

Critério Geral de Estabilidade

O sistema de controle convencional feedback é estável se e somente se todos os pólos (as raízes) da equação característica são negativas ou têm parte real negativa. Caso contrário, o sistema éinstável.

mais uma vez...

Critério BIBO (Bounded Input, Bounded Output):

• “Um sistema qualquer é estável se e somente se para toda e qualquer entrada limitada, a saída correspondente também for limitada”;

• “Um sistema linear a malha fechada, invariante no tempo, a parâmetros concentrados é estável se e somente se todos os pólos de sua função de transferência de malha fechada estão no semi-plano esquerdo aberto do plano complexo s”

(7)

Critério BIBO (Bounded Input, Bounded Output):

• “Um sistema qualquer é estável se e somente se para toda e qualquer entrada limitada, a saída correspondente também for limitada”;

• “Um sistema linear a malha fechada, invariante no tempo, a parâmetros concentrados é estável se e somente se todos os pólos de sua função de transferência de malha fechada estão no semi-plano esquerdo aberto do plano complexo s”

mais uma vez...

Observação: A mesma equação característica ocorre tanto para as mudanças na carga e no setpoint desde o termo 1 + GOL. Assim, se o sistema de malha fechada é estável para perturbações de carga,

ele também será estável para mudanças de set-point. Parte Imaginária

Parte Real

Região

Estável Região Instável

Regiões de estabilidade no plano complexo das raízes da equação característica

(8)

– Quarto nível Contribuições dos pólos na

resposta malha fechada

x

(b) Raiz real positiva x

x

(c) Raízes complexas (parte real negativa)

x x

(d) Raízes complexas (parte real positiva) (a) Raiz real negativa x

Parte imaginária

Parte Raal

•

Informa sobre a estabilidade absoluta do sistema. Pode-se

dizer se o sistema é estável, marginalmente estável ou

instável.

•

Seja um sistema em malha fechada com uma função de

transferência que o representa:

FTMF(s) = T(s) = P(s) / Q(s)

Q(s) = 1+ FTMA(s) = equação característica = denominador

da malha fechada

CRITÉRIO DE ROUTH

(9)

Conceito: uma técnica analítica para determinar se as raízes do polinômio têm

partes reais positivas Critério de estabilidade de Routh

Método:

Equação Característica: a_nsn+ a

n-1sn-1+ ··· +a1s + a0= 0 (an>0)

1) Todos os coeficientes a_n, a_n-1, ··· a0devem ser positivo.

(se qq coeficiente é negativo ou zero, então o sistema é instável.) 2) Construia a matriz de Routh

1 2 1 3 2 1 3 3 1 4 2

1

4

3

2

1 z

n

c

b

a

Fila

n n n n n n

+

− − − − −

onde, n é a ordem da equação característica

,

1 3 1 5 1 2 1 2 1 3 1 1 1 5 4 1 2 1 3 2 1 1

b

a

b

c

b

a

b

c

a

b

a

b

n n n n n n n n n n n n n n − − − − − − − − − − − −

−

=

−

=

−

=

−

=

Todos os elementos da coluna à esquerda da matriz de Routh são positivos

֜

só será válida se a equação característica é polinomial de s

(sem atraso).

֜ se o sistema contém atrasos usar a aproximação de Padé.

Nota: A análise da estabilidade do sistema contendo os

atrasos serão tratados na análise de frequência.

.

(10)

– Quarto nível

• O critério de R-H consiste em

escrever a equação característica sob a forma de um arranjo.

• O número de trocas de sinal na

primeira coluna do arranjo fornece o número de pólos no semi-plano direito → o sistema é estável se a primeria coluna for composta apenas de números positivos ou negativos. • Ex.: FTMF(s) = T(s) = N(s) / [a₄s4_{+ a} 3s3 + a2s2+ a1s + a0] CRITÉRIO DE ROUTH

Critério de Routh

Clique para editar os estilos do texto mestre ¾ Segundo nível • Terceiro nível – Quarto nível ) s ( D ) s ( N a s a ... s a s a b s b ... s b s b ) s ( R ) s ( Y n 1 n 1 n 1 n 0 m 1 m 1 m 1 m 0 ₌ + + + + + + + + = − − − − sn a3 b2 b3 b4 c2 c3 d2 d3 : e1 e2 f1 g1 sn sn sn sn s s s a a a a a a a b c c d d − − − − 1 2 3 4 2 1 0 0 2 4 6 1 5 7 1 1 4 1 4 : ... ... ... ... : 1 3 0 2 1 1 a a a a a b = − 1 5 0 4 1 2 a a a a a b = − 1 7 0 6 1 3 a a a a a b = − 1 2 1 3 1 1 b b a a b c = − 1 3 1 5 1 2 b b a a b c = − 1 4 1 7 1 3 b b a a b c = − 1 2 1 2 1 1 c c b b c d = − 1 3 1 3 1 2 c c b b c d = −

¾ O número de raízes da equação característica com partes real positiva é igual ao número de mudanças de sinal dos coeficientes da 1ª coluna da tabela

Critério de Routh

(11)

1o. Caso) Nenhum elemento da 1a. Coluna é zero →

avalia-se a estabilidade pelo resultado do arranjo.

2o. Caso) Existe um zero na 1a. Coluna → substitui-se o

zero por um valor ε (épsilon) e faz-se a análise da

estabilidade pelo arranjo.

3o. Caso) Todos os elementos de uma linha são zeros →

substitui-se esta linha pelos coeficientes oriundos da

derivação da linha anterior e faz-se a análise da

estabilidade pelo arranjo.

Critério de Routh

CRITÉRIO DE ROUTH

22

Exemplo

Determinar a estabilidade de um sistema que tem a equação

característica:

4 3 2

5

3

1

0 (11-98)

s

+

s

+

s

+ =

Solução

Como o termo s está faltando, o seu coeficiente é zero. Assim, o sistema é instável. Lembre-se que uma condição necessária para a estabilidade é que todos os coeficientes da equação característica deve ser positivo.

(12)

– Quarto nível CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH (cont)

23

Solução:

• Repare que o polinômio atende à condição necessária • usando o Matlab, obtém-se os seguintes pólos:

Exemplo 2: Indique quantos pólos fora do semiplano esquerdo tem o seguinte polinômio:

s

6

_{+ 4s}

5

_{+ 3s}

4

_{+ 2 s}

3

_{+ 4s + 4}

• Terceiro nível – Quarto nível CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH (cont)

24

Solução:

o arranjo triangular de Routh assume a forma:

De fato, o critério de Routh indica a existência de 2 pólos fora do semiplano esquerdo.

Exemplo 2: Indique quantos pólos fora do semiplano esquerdo tem o seguinte polinômio:

s

6

_{+ 4s}

5

_{+ 3s}

4

_{+ 2 s}

3

_{+ 4s + 4}

0 0 0 4 0 0 0 15 76 -0 0 4 3 0 0 2,4 -2 0 4 0 5 , 2 0 4 2 4 4 1 3 1 s 0 1 2 3 4 5 6 s s s s s s

(13)

qualquer linha pode ser multiplicada por uma constante positiva

apropriada, sem alterar os cálculos para as linhas seguintes.

as 2 últimas linhas sempre terão um único elemento diferente

de zero.

25

Casos Especiais Observações:

1) Linha com primeiro elemento igual a zero

• substitua este elemento por um İ > 0 e prossiga na construção do arranjo.

• Na análise de estabilidade, faça İĺ0.

26

Casos Especiais ... (Cont)

2) Linha com todos os elementos iguais a zero

• este caso ocorre quando há raízes complexas conjugadas que são espelhos em relação ao eixo imaginário, ou seja, têm a parte real idêntica em valor absoluto e a mesma parte imaginária.

• seja i o índice da linha com elementos todos nulos. Neste caso, tome a linha que a antecede, cujo índice é i+1 e com coeficientes

dj, e defina o seguinte polinômio:

• Agora, substitua a linha nula pelos coeficientes da derivada deste polinômio e prossiga na construção do arranjo de Routh.

• Cuidado: neste caso especial, após concluir a análise do arranjo de Routh, é necessário analisar as raízes do polinômio acima, pois elas também serão raízes da equação característica original.

(14)

• Conceito:

Substituindo s = jw

ĺ

na equação característica e

encontrar uma unidade de estabilidade, tais como o valor

máximo de Kc (K

_CM

).

Quanto mais o ganho Kc aumenta, as raízes da equação

característica cruzam o eixo imaginário quando Kc = K

_CM

.

Método Substituição Direta

28

Exemplo

Use o método de substituição direta para determinar K

_CM

para

o sistema com a equação característica dada por :

10s

3

_{+ 17s}

2

_{+ 8s + 1 + K}

c

= 0 (8)

Solução

Substituia

_s

=

_j

Ȧ

e K

_c

= K

_cm

na Eq. 8:

3 2

10 Ȧ

j

17Ȧ

8 Ȧ 1

j

K

_cm

0 −

−

+

+ +

=

ou

(9)

(

2

) (

3

)

1 +

K

_cm

−

17Ȧ

+

j

8Ȧ 10Ȧ

−

=

0

(15)

29

A equação (9) é satisfeita se ambas as partes real e imaginária de

(9) são identicamente nula:

2

1 +

K

_cm

−

17Ȧ

=

0 (11-106a)

(

)

3 2

8Ȧ 10Ȧ

₋

₌

Ȧ

_{8 10Ȧ}

₋

₌

₀

_(11-106b)

Assim,

2

Ȧ

₌

_0.8

Ȧ

_{= ±}

_0.894

_(11-107)

e por tanto,

12.6

cm

K

=

• Assim, conclui-se que K

_c

< 12.6 para estabilidade.

• ω

= ±0,894 indica que o limite de estabilidade (onde K

_c

=

K

_cm

= 12,6), uma oscilação sustenido acontece, com uma

frequência de

ω

= 0,894 radians/min se a constante de

tempo tem unidades de minutos.

(Lembre-se que um par de raízes complexas no eixo

imaginário, resulta em uma oscilação não amortecida de

frequência

ω

.)

(16)

Diagrama de Lugar das Raízes

No projeto e análise de sistemas de controle, é instrutivo saber como as raízes da equação característica mudar quando um parâmetro do sistema particular, como mudanças ganho do controlador.

O diagrama do lugar das raízes fornece uma exibição

gráfica conveniente desta informação.

)

3 )(

2 )(

1 (

2 )

(

+

=

s

K

s

G

c OL Exemplo

Considere um sistema de controle feedback que tem a seguinte função de transferência malha aberta.

Plote o diagrama lugar das raízes para 0 ≤ K_c≤ 40

Figure 11.5. Root locus diagram for third-order system (Seborg).

A partir do diagrama acima lugar das raízes:

• O sistema em malha fechada é subamortecido para K_c > 0,2. • O sistema de malha fechada é instável para K_c > 30.

Desvantagem da análise do lugar das raízes

• não consegue lidar com atraso de tempo. Assim, usa-se a aproximação de Padé.

• requer soluções iterativa da eq. característica não linear e não racional (complexo!).

(17)

Tempo Morto

Presente em grande parte dos processos; Pode provocar problemas de instabilidade; Exemplo: sistema de nível

Considerando como entrada a percentagem de abertura na válvula v₁, quando ocorre uma mudança na mesma, a vazão de entrada do tanque só variará algum tempo depois, dependendo da distância da válvula da entrada de líquido no tanque;

Chamado também de atraso de transporte;

Por exemplo, se a válvula está localizada a 20 metros da entrada do tanque e a velocidade do líquido na tubulação for de 10 metros por segundo, o tempo morto do processo será de 2 segundos.

τ_m

Tempo Morto

Função de Transferência: G(s)= e-sTm

Aproximação de Padé: aproxima o atraso por uma função racional;

Matlab: pade(Tm,n). Ex: Tm=1, n=3

( ) ( ) ( ) ( ) + + + + + − + − = − 48 8 2 1 48 8 2 1 3 2 3 2 Tms Tms Tms Tms Tms Tms e Ts

(18)

Aproximação de Padé n=1, 2, 3

FLUXOGRAMA PARA A ANÁLISE DE

36 Modelo do Processo

não linear

Aplica análise de estabilidade para sistema não linear

Obter função de transferência do modelo

Aplica critério de Estabilidade de Routh

Substituía s =jw ou aplicar critério de estabilidade por frequência não não não sim Linearizar? Modelo contem tempo morto? Aprox. e-θs sim sim