Capítulo 1. Funções Reais de Várias Variáveis

Capítulo 1

Funções Reais de Várias

Variáveis

Capítulo 1

Funções Reais de Várias Variáveis

1.1 Funções de várias variáveis

Nos cursos de cálculo 1 e 2, estudamos funções reais de uma va-riável real, isto é, funções da forma y f x= ( ) com . No entanto, em situações reais, frequentemente, temos que lidar com funções com mais de uma variável. Como um primeiro exemplo de tais funções, citamos o volume de um cilindro reto, que é dado por

2

V =r h, onde r é o raio e h é a altura. O volume V, neste caso, é uma

função de duas variáveis, isto é,

( , )

V V r h=

e está definida por

2

( , )

V r h =r h.

Outro exemplo a ser considerado é o de um circuito elétrico como o da figura 1.1,

R₁ R₂ R₃

R₄ R₅ E

onde E representa a tensão da fonte e Ri, i =1,2, ,5 , são os

resisto-res. Podemos dizer que a corrente desse circuito, dada por

1 2 3 4 5 E I R R R R R = + + + + ,

é uma função de cinco variáveis independentes, isto é,

1 2 3 4 5

( , , , , )

I I R R R R R= .

No primeiro exemplo, lidamos com pares ordenados de números reais, isto é, pares ordenados ( , )r h do plano _2 _{= × , conforme} a figura 1.2.

r

h (r,h)

Figura 1.2

No caso de lidarmos com ternas ordenadas do espaço tridimensio-nal _3_{, por exemplo ( , , )x y z , a representação gráfica é feita como} na figura 1.3, z₀ x₀ y0 z y x P Figura 1.3

para um ponto P P x y z= ( , , )_{0 0 0} . Para funções com mais de três vari-áveis (como no segundo exemplo, onde consideramos o espaço _5_), não é possível obter-se uma visualização gráfica.

1.2 Definições básicas

Assim como denotamos um ponto na reta real  por um número real x, um ponto no plano _2 _{por um par de números reais ( , )x y} e um ponto no espaço _3 _{por uma terna ordenada ( , , )x y z ,} repre-sentamos um ponto no espaço n-dimensional _n _{por uma n-upla de}

números reais, a qual é comumente denotada por P=( , , , )x x_{1 2}  xn .

Em particular, se n =1, P x= ; se n =2, P=( , )x y ; se n =5,

1 2 3 4 5

( , , , , )

P= x x x x x , e assim por diante.

Definição 1.1. O conjunto de todas as n-uplas de números reais é chamado de espaço numérico n-dimensional e é denotado por _n_.

Cada n-upla ( , , , )x x1 2  xn é chamada de um ponto no espaço n.

Definição 1.2. Seja A um conjunto do espaço n-dimensional _n_{, isto}

é, os elementos de A são n-uplas ordenadas ( , , , )x x1 2  xn de

núme-ros reais. Se a cada ponto P do conjunto A associarmos um único elemento z ∈, teremos uma função _{f A ⊆}: _n _{→. Essa função é}

chamada função real de n variáveis reais. Denotamos

( )

z f P= ou z f x x= ( , , , )_{1 2}  xn .

O conjunto de todos os valores possíveis de P (no caso, o conjunto A) é chamado de domínio da função. O conjunto de todos os valores possíveis para z é chamado de imagem da função.

Salientamos que, para que tenhamos uma função, cada ponto P do conjunto A deve ser associado a apenas um número real z. Ou seja, se f P( )0 =z1 e f P( )0 =z2, e f é uma função, então obrigatoriamente

1 2

z =z .

Quando uma função f = f(x₁,x₂,...,x_n) é dada através de algu-ma expressão em termos de x₁,x₂,...,x_n e nada é dito sobre seu domínio, entende–se que o domínio é o maior conjunto de \n no qual a expressão dada faz sentido como um nú-mero real.

Exemplo 1.1. Seja A o conjunto de pontos do _2_{, representado na} figura 1.4.

3 x

y

Figura 1.4

Solução. A cada ponto ( , )x y pertencente a _{A ⊂}2_{, podemos fazer} corresponder um número z ∈, dado por

2 2

9

z= −x −y .

Neste caso, estamos diante de uma função de duas variáveis reais

denotada por ₂ 2 2 : ( , ) ( , ) 9 f A x y z f x y x y ⊂ → = = − −    .

Esta função pode representar, por exemplo, a temperatura em uma chapa circular de raio 3. O conjunto _{A ⊂}2_{, isto é, o conjunto de} pontos _{( , )x y ∈}2 _{tais que 9−x}2_−y2_{≥0 ou x}2_+y2 _{≤9 é chamado o} domínio dessa função, e é denotado por

2 2 2

( ) f {( , ) ; 9}

D z =D = x y ∈_ x + y ≤ _.

A imagem dessa função é o conjunto dos números z ∈, tais que 0≤ ≤z 3, e é denotada por

Im( ) Im( ) {z = f = ∈z _;0≤ ≤z 3} ou Im( ) [0,3]z = .

Exemplo 1.2. Fazer uma representação gráfica do domínio da fun-ção f x y( , ) ln(= x y− ).

Solução. A função f x y( , ) ln(= x y− ) é uma função de duas variá-veis. Portanto, o seu domínio é um subconjunto do _2_.

Assim, o domínio da função _{f é {( , )} 2_{; }}

f

D = x y ∈_ x y> .

A figura 1.5 mostra a região do _2 _{que representa graficamente esse} domínio.

x y

Figura 1.5

Exemplo 1.3. Fazer uma representação gráfica do domínio da fun-ção g x y z( , , )= 25−x2−y2−z2 .

Solução. A função g é uma função de três variáveis independentes, logo seu domínio é um subconjunto do _3_.

Para que _{25 x−} 2_−y2_−z2 _{seja um número real, devemos ter que}

2 2 2

25−x −y −z ≥0 ou _x2_+y2_+z2 _≤25. Assim, o domínio da função g é dado por

3 2 2 2

( ) {( , , ) ; 25}

D g = x y z ∈_ x +y +z ≤

e é representado graficamente pela região esférica do _3

de raio r = 5, mostrada na figura 1.6. z y x 5 Figura 1.6

Exercícios

1) Fazer uma representação gráfica do domínio da função

2 2 xy z x y = − . 2) Dada a equação _x2_+y2_+z2 _=a2_{, a} * +

∈_ , que representa uma esfera de raio a (ver figura 1.7), centrada na origem, definir funções de duas variáveis que representem os hemisférios e determinar seus respectivos domínios.

z

y

x

a

Figura 1.7

3) Encontrar uma função de várias variáveis que nos dê:

a quantidade de rodapé, em metros, necessária para se

colo-a)

car em uma sala de largura a e comprimento b. o volume de um paralelepípedo de dimensões

b) x, y e z.

a distância entre dois pontos

c) P=( , , )x y z e Q=( , , )u v w .

4) Determinar o domínio e o conjunto imagem das seguintes funções:

a) z= − −3 x y.

b) _{z= x}2_+y2_−9.

1.3 Curvas de nível e esboços de gráficos

Da mesma forma que no estudo de funções de uma variável, a noção de gráfico desempenha um papel importante no estudo das funções de várias variáveis.

Definição 1.3. Se f for uma função de n variáveis, _{f A ⊆}: _n _→,

então o gráfico de f , denotado por Graf f( ), é o conjunto dos pon-tos definidos por

1 1 2 1 2 1 2 ( ) {( , , , , ) n nx ; ( , , , ) com ( , , , ) } n n n Graf f ₌ x x x z _∈ + ₌ z f x x₌ x x x x _∈A       1 1 2 1 2 1 2 ( ) {( , , , , ) n nx ; ( , , , ) com ( , , , ) } n n n Graf f ₌ x x _ x z _∈ + _{= } z f x x_{= } x x x _ x _∈A _.

Usaremos principalmente o caso onde a função tem duas variáveis independentes. O gráfico para essas funções, em geral, representa uma superfície no espaço tridimensional.

Exemplo 1.4. A equação x+3y+3z=3 é a equação de um plano inclinado que corta os eixos coordenados em x =3, y =1 e z =1. Resolvendo essa equação para z em função de ( , )x y , obtemos a fun-ção 1 (3 3 )

3

z= − −x y , cujo domínio é todo o plano xy e cuja imagem é todo o eixo z. A figura 1.8 representa a parte do plano que está no primeiro octante. z y x 1 1 3 Figura 1.8

Neste caso, 3 2 3 3 3 ( ) {( , , ) ; ,( , ) } 3 {( , , ) ; 3 3 3} x y Graf f x y z z x y x y z x y z − − = ∈ = ∈ = ∈ + + =   

Assim, o gráfico de f é o plano anteriormente representado. Resu-midamente, dizemos que o gráfico da função é descrito pela equa-ção x+3y+3z=3.

Exemplo 1.5. Fazer um esboço do gráfico da função

2 2

( , )

f x y =x +y .

Solução. O gráfico de f é uma superfície cuja equação é

2 2

z x= +y . Para se ter noção de como é essa superfície, precisamos identificar as intersecções dessa superfície com os planos coordena-dos xy, xz e yz.

O traço dessa superfície sobre o plano xy é encontrado utilizando-se a equação z =0, juntamente com a equação da superfície. Obtemos

2 2 ₀

x +y = , equação que é satisfeita na origem ( , ) (0,0)x y = . Encontramos os traços sobre os planos xz e yz fazendo y =0 e x =0, respectivamente. Esses traços são, respectivamente, as parábolas

2

z x= e _{z y=} 2_.

A intersecção da superfície com um plano z k= , paralelo ao plano xy, com k >0, é uma circunferência com centro no eixo z e raio k. Com essas informações, obtemos a seguinte superfície, que é chama-da de paraboloide de revolução:

z

y x

Salientamos o fato de que, dada uma superfície S no espaço, nem sempre ela representa uma função z f x y= ( , ). Uma superfície S só representará o gráfico de uma função z f x y= ( , ) se qualquer reta pa-ralela ao eixo z interceptar S no máximo em um ponto. Os exemplos 1.4 e 1.5 mostram superfícies do _3 _{que representam funções,} en-quanto que uma “casca” esférica no _3 _{não representa uma função.} Damos, em seguida, as equações das principais superfícies do_3

:

Plano

•

A equação geral de um plano é Ax By Cz D+ + + =0_,

( , , ) nG A B C z y x Figura 1.10

onde n =( , , )A B C é um vetor normal ao plano. Se D ≠0, o pla-no não passa pela origem. Os plapla-nos x =0, y =0 _e z =0, repre- sentam os planos coordenados do sistema de coordenadas.

Esfera

•

A equação geral de uma esfera de raio a, centrada no ponto 0 ( , , )0 0 0 P = x y z , é 2 2 2 2 0 0 0 (x x− ) (+ y y− ) (+ −z z ) =a . y x z Figura 1.11

Elipsoide

•

A equação geral de um elipsoide (bola de futebol americano) é

2 2 2 0 0 0 2 2 2 (x x ) (y y ) (z z ) ₁ a b c − − − + + = .

Se a b c= = , temos uma esfera de raioa.

Paraboloide Elíptico

•

A equação geral de um paraboloide elíptico, convexo, com “vértice” no ponto P₀ =( , , )x y z_{0 0 0} , é 2 2 0 0 0 2 2 ( ) ( ) ( ) x x y y , 0 c z z c a b − − − = + > . x z y 0 P Figura 1.12

Se x0 =y0 =z0 e a b= , temos um paraboloide circular, com “vértice” na origem, e o eixo em Oz.

Hiperboloide de uma folha

•

A equação de um hiperboloide circular de uma folha, com eixo em Oz, é _x2_+y2_−z2 _=1.

z

y x

Hiperboloide de duas folhas

•

A equação de um hiperboloide circular de duas folhas, com eixo em Oz, é _{− −x}2 _y2_+z2 _=1. z 1 1  y x Figura 1.14 Cone Elíptico •

A equação geral de um cone elíptico, com vértice no ponto 0 ( , , )0 0 0 P = x y z é 2 2 0 0 0 2 2 ( ) ( ) (z z ) x x y y a b − − − = + .

Se x₀ =y₀ =z₀ e a b= , temos um cone circular, com vértice na origem, e eixo em Oz.

Cilindro Elíptico

•

A equação geral de um cilindro elíptico, de raio c, é

2 2 2 0 0 2 2 (x x ) (y y ) _c a b − − + = . c c  z y x Figura 1.15

Se x₀ =y₀ =z₀ e a b= , temos um cilindro circular, com vértice na origem, e eixo em Oz.

Cilindro Parabólico (calha)

•

A equação de um cilindro parabólico, com “vértice” no eixo

Oz  , é y ax a= 2, >0. y z x Figura 1.16 Cilindro Hiperbólico •

A equação de um cilindro hiperbólico, com eixo em Oz_{, é}

2 2 ₁ y −x = . z x y Figura 1.17

Paraboloide Hiperbólico (Sela de cavalo)

•

A equação de um paraboloide hiperbólico com ponto de sela na origem é _{z y=} 2_−x2_.

x

y z

Figura 1.18

Em geral, para desenharmos o gráfico dessas superfícies é ne-cessário apenas desenhar os seus traços no plano x =0, que é o plano yz (ou x x= ₀, plano paralelo ao plano yz), e plano z R=

(ou z z− =₀ R), que é o plano paralelo ao plano xy. Apenas no caso do paraboloide hiperbólico, que é a superfície mais compli-cada para se desenhar, é necessário também que se desenhe o traço no plano y =0_{, que é o plano} xz.

Observamos ainda que as superfícies anteriores poderiam ter os seus eixos nos outros eixos do sistema de coordenadas, ou em eixos paralelos a esses eixos, como no caso do paraboloide circular a seguir: y x= 2+z2

y

x

z

figura 1.19

Neste caso, temos um paraboloide circular convexo, com “vér-tice” na origem e eixo em Oy, e não mais em Oz, como no exemplo do paraboloide circular anterior. Para melhor repre-sentação desta superfície, fazemos uma rotação no sistema de coordenadas e colocamos o eixo Oy, eixo da superfície em questão, apontando para cima.

Outro método similar de representar geometricamente uma função de duas variáveis é a técnica utilizada pelos cartó-grafos para a elaboração de mapas de relevo, que são repre-sentações de paisagens tridimensionais em mapas topoló-gicos bidimensionais. Essa técnica consiste em determinar os conjuntos de pontos do domínio da função para os quais o valor da função permanece constante. Esses conjuntos de pontos são chamados curvas de nível da função.

Definição 1.4. Seja k um número real. Uma curva de nível k de uma função z f x y= ( , ) é o conjunto de todos os pontos ( , )x y ∈Df tais

que f x y( , )=k. Denotamos por

{( , ) ; ( , ) }

k f

C = x y ∈D f x y =k _,

Na prática, intersectamos a superfície z f x y= ( , ) com um plano

z k= , paralelo ao plano xy, e projetamos a curva obtida sobre o pla-no xy, isto é, o plapla-no z =0.

Cada ponto da curva de nível corresponde a um ponto na superfície que está k unidades acima, se k for positivo, ou k unidades abaixo, se k for negativo.

Considerando diferentes valores para a constante k, obtemos um conjunto de curvas de nível chamado mapa de contorno. O con-junto de todos os valores possíveis de k é a imagem da função f. Em geral, as curvas de nível são mostradas para valores de z em intervalos constantes. Quando as curvas de nível estão próximas, a superfície é íngreme, e, quando estão afastadas, a elevação da super-fície é obtida considerando-se a distância entre as curvas de nível.

Exemplo 1.6. Para _{f x y( , )= x}2_+y2 _{, as curvas de nível são} circun-ferências com centro na origem. As curvas de nível para z =1,2,3

estão representadas na figura 1.20.

As curvas de nível estão definidas para k >0 e são dadas por

2 2 2

{( , ); }

k

C = x y x +y =k .

Exemplo 1.7. Para a função _{f x y( , )=x}2_+y2_{, as curvas de nível são} circunferências com centro na origem. As curvas de nível para

1,2,3,4,5

z = estão representadas na figura 1.21.

-1 -2 -3 -1 -2 -3 1 2 3 1 2 3 y x z = 1 z = 2 z = 3 -1 -2 -1 -2 1 2 1 2 y x z = 1 z = 2 z = 3 z = 4 z = 5 Figura 1.20 Figura 1.21

Observando os exemplos 1.6 e 1.7, vemos que as curvas de nível de ambas as funções são circunferências com centro na origem. Isso significa que somente com as curvas de nível podemos ter dificulda-des em esboçar um gráfico corretamente. Um recurso para driblar essa dificuldade é determinar a intersecção do gráfico com os pla-nos coordenados xz e yz.

A intersecção do gráfico de _{z= x}2_+y2 _{com os planos xz e yz são} as semirretas z= ±x e z= ±y, respectivamente. Já a intersecção do gráfico de _{z x=} 2_+y2 _{com os planos xz e yz são as parábolas z x=} 2 _e

2

z y= , respectivamente. Com essas informações. podemos ver que o gráfico de _{z x=} 2_+y2 _{é o paraboloide representado na figura 1.9, e} que o gráfico de _{z= x}2_+y2 _{é o cone da figura 1.22.}

A imagem de um cone aparece se observarmos, na figura 1.22, que as curvas estão igualmente espaçadas.

0 -1 _-1 1 ₁ 1 -2 _-2 2 ₂ 2 3 3 3 -3 -3 z = 3 z = 2 z = 1 x z y Figura 1.22

Exemplo 1.8. Considerar a função _{f x y( , ) 8= −x}2_{−2y. Fazer um} mapa de contorno de f mostrando suas curvas de nível em 4, 2, 0 e –2, e esboçar seu gráfico.

Solução. Temos que _{z= −8 x}2_−2y.

Vamos primeiro fazer a intersecção do gráfico da função f com os planos xy, xz e yz.

O traço no plano xy é obtido fazendo z =0, e nos dá a parábola

2 _{2 8}

x + y= . Por outro lado, a intersecção do plano xz com a superfí-cie produz a parábola _x2_{+ =z 8.}

Fazendo x =0, obtemos o traço no plano yz, que é a reta 2y z+ =8. Obtemos também que as curvas de nível, dadas pela intersecção da su-perfície com o plano z k= , são as parábolas 2 _{2 4} 1

2 x = − _y− + k_

 ,

que têm seus vértices sobre a reta 2y z+ =8, no plano yz, e que abrem-se para a esquerda.

As figuras 1.23 e 1.24 mostram, respectivamente, o mapa de contorno solicitado e um esboço gráfico da função f.

y x 1 3 4 5 2 z = -2 z = 0 z = 2 z = 4 Figura 1.23 x z y x 0 -2 4 4 8 6 2 Figura 1.24

Exercícios

1) Suponha que o número de unidades produzidas de certa mer-cadoria seja z e z=6xy, onde x é o número de máquinas uti-lizadas na produção e y é o número de pessoas/hora disponí-veis. A função f x y( , ) definida por f x y( , ) 6= xy é uma função de produção. Traçar o mapa de contorno de f mostrando as curvas de produção constantes para z igual a 6, 12, 18 e 24.

2) Desenhar as curvas de nível, Ck, para as funções e para os

va-lores de k dados: a) _{z x=} 2_−y2_{, k =0,1,2,3;} b) _{z y=} 2_−x2_{, k =0,1,2,3;} c) 1 2 2 2 l = m n+ , k =2,3,4,5.

3) Desenhar algumas curvas de nível e esboçar o gráfico dos se-guintes paraboloides:

a) _z=2x2_+2y2_;

b) _{z= −1 x}2_−y2_;

c) _{z x=} 2_+2y2_.

1.4 Noções de limite e continuidade

Antes de estabelecermos uma definição de limite, precisamos co-nhecer alguns conceitos básicos.

Definição 1.5. Dados ( , , , )_{1 2} n n

x= x x _ x ∈_ e 0 0 0

0 ( , , , )1 2 n n

x = x x _ x ∈_,

define-se a distância entre os pontos x e x₀ como:

0 2 0 2

0 ( 1 1) ... ( n n) .

x x− = x x− + + x x−

Agora, dado um número positivo r, define-se a bola aberta B x r( , )₀ , de centro em x₀ e raio r, como sendo o conjunto de todos os pontos

1 2

( , , , ) n

n

x= x x _ x ∈_ cuja distância até x₀ é menor que r, isto é,

0 0

( , ) { n; }

B x r = ∈x _ x x− <r . Podemos também denotar B x r( , )₀ por B xr( )₀ .

Exemplo 1.9. Em _2_{, para}

0 ( , )0 0

X = x y , a bola B X r( , )₀ é o con-junto de todos os pontos interiores à circunferência com centro em

0 ( , )0 0

X = x y e raio r, conforme a figura 1.25.

x₀ x

y_{0 r}

y

Figura 1.25 Em _3_{, a bola aberta de centro em}

0 ( , , )0 0 0 X = x y z e raio r é dada por 3 2 2 2 0 0 0 0 ( , ) {( , , ) ; ( ) ( ) ( ) } B X r = x y z ∈_ x x− + y y− + −z z <r

e representa o conjunto dos pontos internos à esfera com centro no ponto X0 =( , , )x y z0 0 0 e raio r.

Seja A um conjunto de pontos do _n_{. Dizemos que x A∈ é um}

pon-to interior de A se existir uma bola aberta com centro em x total-mente contida em A. Se todos os pontos de A são pontos interiores, dizemos que A é um conjunto aberto.

Dizemos que _{x ∈}n _{é um ponto de fronteira de A se toda bola}

aber-ta centrada em x contiver pelo menos um ponto de A e pelo menos um ponto que não está em A. Se todos os pontos de fronteira de A pertencem a A, dizemos que A é um conjunto fechado.

Definição 1.6. Sejam A um subconjunto do _n _e

1 2

( , , , ) n

n

x= x x _ x ∈_ .

Dizemos que x é um ponto de acumulação de A se toda bola aberta com centro em x contiver pelo menos um ponto de A diferente de x, isto é, se, para todo r >0, tivermos ( ( )B x { })r x ∩ ≠ ∅A .

Observe que, se x é um ponto de acumulação de A, podemos tomar pontos de A tão próximos de x quanto quisermos.

Uma noção oposta à de ponto de acumulação é a de ponto isolado. Dizemos que x A∈ é um ponto isolado de A se não pudermos apro-ximar x por pontos de A diferentes de x, isto é, x é um ponto isolado de A se existir r >0, tal que B xr( )∩ =A { }x .

O conjunto dos pontos de acumulação de A, que às ve-zes chamamos de derivado de A, é denotado por A'. Assim,

' { n; é um ponto de acumulação de }

A = ∈ x x A . Gostaríamos de

ob-servar que todos os pontos interiores de um conjunto A são também pontos de acumulação do conjunto A. Além disso, um ponto de acu-mulação de A não precisa estar em A.

Exemplo 1.10. Seja a bola aber-ta do _2_{, de raio 1, centrada e com um furo na origem. Então, o} conjunto dos pontos de acumulação de A é a bola fechada do _2 de raio 1, centrada na origem, ou seja, A B'= ₁((0,0)). Além de to-dos os pontos interiores de A estarem em A', gostaríamos de ob-servar que os pontos da circunferência C₁(0,0) e a origem (0,0)

também estão, apesar destes últimos não pertencerem a A. Aqui .

Exemplo 1.11.

Toda bola aberta é um conjunto aberto. Também a união de

a)

abertos é um conjunto aberto. A interseção finita de abertos é um conjunto aberto. São abertos de b) : (0,1), ( 1,1)− , 20,1 2 ₋     , ( ,3)−∞ , (3,+∞), ( , 3) (2,5)−∞ − ∪ etc. São fechados de c) : [0,1], [ 1,1]− , 20,1 2 ₋     , ( ,3]−∞ , [ 3,− +∞), ( , 3] [2,5]−∞ − ∪ etc.

Não são nem abertos, nem fechados:

d) [ 3,5)− , [ 2,0) (2,3]− ∪ ,

[ 2,0) [2,3)− ∪ etc.

Em todos os exemplos anteriores os pontos das extremidades

e)

dos intervalos são de acumulação. Os pontos interiores tam-bém. O interior de um intervalo é o intervalo aberto.

O único ponto de acumulação do conjunto f) 1, , , ,1 1 1 2 3 4       é o

ponto x =0 de . Todos os pontos desse conjunto são isolados. O conjunto

g) 0,1, , , ,1 1 1

2 3 4

 

 

  tem só um ponto de acumulação

que é x =0. Os demais pontos são isolados. O retângulo

h) é um

conjun-to fechado de _2_{. Um retângulo aberto do }2 _{é da forma} . O conjunto i) _{R= ( , )x y ∈ }2 2 2 ₁ 2 4 x y   + <     é o interior da elipse 2 2 1 2 4

x ₊ y _{= e é, portanto, um conjunto aberto. Sua fronteira é}

formada pelos pontos da elipse.

Enunciaremos agora a definição de limite de uma função O conceito de limite é um dos mais impor-tantes da matemática e dá origem aos conceitos de derivada e integral.

Definição 1.7. Sejam _{f A ⊂}: _n _{→ e}

0 '

x ∈A . Dizemos que o limite de f x( ), quando x se aproxima de x₀ em A, é o número real b, se, para todo  >0, existe  >0 tal que f x b ( )− < , sempre que x A∈ e 0< −x x₀ <. Neste caso, denotamos

0

lim ( )

x x→ f x =b.

Observação 1.8. Deve-se notar que  depende de  e possivelmen-te de x₀.

A figura 1.26 ilustra, no caso de uma função _{f A ⊂: }3 _{→, a} defi-nição de limite.

x z y w δ x₀ x f (x) b − ε b + ε b = lim f (x)_{x → x} 0 f Figura 1.26

Exemplo 1.12. Usando a definição de limite, mostre que

3 ( , ) (3,1) 1 lim(2 3 ) lim (2 3 ) 9 x x y y x y x y → → → + = + = .

Solução. Devemos mostrar que ∀ > 0, ∃ > 0 tal que f x y( , ) 9− <, sempre que ( , ) (3,1)x y − <, isto é,

2 2

(x−3) (+ y−1) <.

Com o objetivo de encontrar o  desejado, trabalharemos com a de-sigualdade que envolve . Assim, usando propriedades do valor abso-luto, temos: ( , ) 9 2 3 9 f x y − = x+ y− ( , ) 9 2 6 3 3 f x y − = x− + y− ( , ) 9 2( 3) 3( 1) f x y − = x− + y− ( , ) 9 2 3 3 1 f x y − ≤ x− + y− 2 2 ( , ) 9 5 ( 3) ( 1) f x y − ≤ x− + y− ( , ) 9 5 f x y − < , uma vez que _{x− ≤3 (x−3) (}2_{+ y−1)}2 _e Portanto, se tomarmos 5   = , obteremos ( , ) 9 5 5 f x y − < ⋅ =  sempre que _{(x−3) (}2_{+ y−1)}2 _<.

Assim, de acordo com a definição de limite, demonstramos que ( , ) (3,1)x ylim (2→ x+3 ) 9y = .

2 2

1 ( 3) ( 1)

Exemplo 1.13. Usando a definição, mostre que ( ) ( ), 0,0 2 2 2 lim 0 x y xy x y → ₊ = .

Solução. Devemos mostrar que ∀ > 0, ∃ > 0 tal que, se

2 2

x +y <, então

2 2

2xy

x +y <.

Como _{x ≤ x}2_+y2 _{e y ≤ x}2_+y2 _{, para ( , ) (0,0)x y ≠ , temos}

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2xy x y x y x y _{2 x y} x y x y x y + ⋅ + = ≤ = + + + + . Assim, tomando 2   = , temos que sempre que _x2_+y2 _<. Logo, ( ) ( ), 0,0 2 2 2 lim 0 x y xy x y → ₊ = .

Observamos que, nesse exemplo, o ponto (0,0) não pertence ao do-mínio da função. Porém, (0,0) é um ponto de acumulação do domí-nio da função, conforme exigido na definição de limite.

Daqui pra frente, sempre que nos referirmos ao limite , fica explícito que é um ponto de acumulação do domínio de f.

Para que o limite de f x( ) exista, f x( ) deve-se aproximar do mes-mo valor b, seja qual for a forma pela qual nos aproximarmes-mos de x₀

através de pontos de A. Temos a seguinte proposição:

Proposição 1.9. (Existência do Limite) Sejam A₁ e A₂ dois subcon-juntos distintos de A, ambos tendo x₀ como ponto de acumulação. Se f x( ) tem limites diferentes quando x tende a x0 através de pon-tos de A₁ e de A₂, então 0 lim ( ) x x→ f x não existe. 2 2 2 2 2 _{2 2} 2 xy _{x y} x y   ≤ + < ⋅ = +

Demonstração. Essa demonstração será feita por contradição.

Suponhamos que exista um número real b tal que 0

lim ( )

x x→ f x =b. Então ∀ > 0, ∃ > 0 tal que, se x A∈ e x x− ₀ <, então

( )

f x b − < .

Resulta daí que o limite de f x( ) é igual ao valor b quando x tende a 0

x através de pontos de A₁ e através de pontos de A₂. Isso contraria a hipótese de que f x( ) possui limites diferentes quando x tende a

0

x através de pontos de A₁ e de A₂. Portanto, concluímos que

0

lim ( )

x x→ f x não existe se f x( ) possui li-mites diferentes quando x tende a x₀ através de pontos distintos do domínio A.

Exemplo 1.14. Mostre que _{2 2} ( , ) (0,0) 2 lim x y xy x y → + não existe.

Solução. Vamos nos aproximar do ponto _(0,0)∈2 _{através de} pon-tos do eixo x e através de pontos da reta y x= .

Aproximando-nos pelo eixo x, temos

2 2 2 2 2

0 0 0 0

0

2 2 0 0

lim lim lim lim0 0

0 x x x x y xy x x y x x → → → → → ⋅ = = = = + + ,

e nos aproximando pelos pontos da reta y x= , temos 2

2 2 2 2 2

0 0 0 0

0

2 2 2

lim lim lim lim1 1

2 x x x x y xy x x x x y x x x → → → → → ⋅ = = = = + + . Logo, ( ) ( )_{, 0,0} 2 2 2 lim x y xy x y → + não existe. Exemplo 1.15. Seja f x y( , ) x y₄2 ₂ x y ⋅ =

+ uma função definida em todos

os pontos do _2_{, exceto em (0,0). Mostre que}

( , )x ylim→(0,0) f x y( , ) não existe.

Solução. Vamos nos aproximar do ponto _(0,0)∈2 _{através de} pon-tos do eixo x e através de ponpon-tos da parábola _{y x=} 2_.

Aproximando-nos pelo eixo x, temos 2 4 2 4 0 0 0 0 lim lim 0 x x y x y x y x → → → = = + ,

e nos aproximando pelos pontos da parábola, temos 2 2 2 4 4 4 2 4 2 4 4 4 0 0 0 0 0 1

lim lim lim lim

( ²) 2 2 x x x x y x y x x x x x y x x x x x → → → → → ⋅ = = = = + + + . Logo,

( ) ( )x y,lim→0,0 f x y( , ) não existe, para

2 4 2 ( , ) x y f x y x y ⋅ = + .

Para que possamos operar com limites, é necessário conhecer algu-mas propriedades. Nesse sentido, temos o seguinte resultado:

Proposição 1.10. (Propriedades do Limite) Sejam _{f g A ⊂}, : _n _→

e x₀∈A'. Se 0 lim ( ) x x→ f x =b e x xlim ( )→ ₀g x =c, então: a) 0 lim[ ( ) ( )] x x→ f x g x+ = +b c; b) 0 lim ( ) x x→ ⋅ f x = ⋅ b; c) 0 lim ( ) ( ) x x→ f x g x⋅ = ⋅b c; d) 0 ( ) lim ( ) x x f x b g x c → = , desde que c ≠0; e) 0 lim[ ( )]n n

x x→ f x =b , para qualquer inteiro positivo n;

f)

0

limn ( ) n

x x→ f x = b, se b ≥0 e n inteiro positivo, ou b qualquer se n inteiro positivo ímpar.

Demonstração. Demonstraremos o item (a) desta proposição com o sinal positivo. Sejam 0 lim ( ) x x→ f x =b e lim ( )x x→ 0g x c = , e  >0 arbitrário. Va-mos Va-mostrar que existe  >0 tal que f x g x( )+ ( ) (− +b c) <, sempre que x A∈ e x x− ₀ <.

Como 0

lim ( )

x x→ f x =b, ∃ >1 0 tal que f x b ( )− < 2, sempre que

x A∈ e x x− ₀ <₁. Também, como 0 lim ( ) x x→ g x =c, ∃ >2 0 tal que ( ) 2 g x c − < , sempre que x A∈ e x x− ₀ <₂. Seja =min{ , } _{1 2} . Então, ( )

2

f x b − < e ( )

2 g x c − < , se

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2

(

)

[

]

A aplicação desta proposição nos permite transformar o li-mite de uma função de várias variáveis em uma expressão envolvendo limites de uma variável.

Exemplo 1.16. Calcule

( , )x ylim→(2, 1)− f x y( , ), para

2 3

( , ) 2 4

f x y =x y − xy+ .

Solução. Podemos escrever

2 3 2 3

2 2 1 2 1

1

lim( 2 4) lim lim 2lim lim 4 4 ( 1) 2 2 ( 1) 4 4

x x y x y y x y xy x y x y → → →− → →− →− − + = ⋅ − ⋅ + = ⋅ − − ⋅ ⋅ − + = 2 3 2 3 2 2 1 2 1 1

lim( 2 4) lim lim 2lim lim 4 4 ( 1) 2 2 ( 1) 4 4

x x y x y y x y xy x y x y → → →− → →− →− − + = ⋅ − ⋅ + = ⋅ − − ⋅ ⋅ − + = .

Falaremos agora do limite de funções compostas. Sejam

: n

f A ⊆_ →_ e g B ⊂ →:   com f A( )⊂B, duas funções. Para que possamos calcular

0

lim( )( )

x x→ g f x , é necessário supor uma condi-ção a mais sobre a funcondi-ção g.

Proposição 1.11. Suponha que g seja uma função de uma va-riável contínua num ponto a, e suponha que f seja uma fun-ção tal que

0 lim ( ) x x→ f x =a, então lim(x x→0 g f x)( ) g a( ) =  , ou ainda, 0 0 lim ( ( )) (lim ( ))

x x→ g f x =g x x→ f x , onde (g f x )( ) é a função composta de g e f, isto é, (g f x_ )( )=g f x( ( )).

Demonstração. Seja  >0. Como g é contínua em A, existe 1= 1( ),

1 0  > , tal que u D g∈ ( ) e u a− <1⇒ g u g a( )− ( ) <. (1.1) Como 0 lim ( ) x x→ f x =a e  >1 0, ∃ >2 0 tal que x D f∈ ( ) e x x− 0 <2, implica que f x a ( )− < ₁.

Assim, se x D f∈ ( ) e x x− ₀ <₂, temos que u f x= ( ) satisfaz a condição dada em (1) e, consequentemente, g f x( ( ))−g a( ) <. Portanto, 0 lim( )( ) ( ) x x→ g f x =g a . Exemplo 1.17. Calcular 0 2 lim sen( ) x y x y  → → + .

Solução. Usando a proposição anterior, podemos escrever

0 0

2 2

lim sen( ) sen lim( ) sen 1

2 x x y y x y x y    → → → →     _{ } + = _ + _= _{ }=       .

Passaremos agora a trabalhar o conceito de continuidade de funções de várias variáveis. Definição 1.12. Sejam _{f A ⊂}: _n _{→ e} 0 ' x ∈ ∩A A . Dizemos que f é contínua em x₀ se 0 0 lim ( ) ( )

x x→ f x = f x . Mais precisamente, f é contí-nua em x0, se, para todo  >0, existe  = ( , )x0  tal que, se x A∈ e

0

x x− <, então f x( )− f x( )₀ <.

Notamos que o número , da definição de continuidade, depende de e possivelmente de . Observamos que, pela definição de continuidade, uma função f será contínua se o limite de existir quando x se aproximar de algum pon-to de acumulação e se esse limite for igual a . Isto significa que o limite de , em todas as direções e atra-vés de qualquer curva, é sempre o mesmo, e igual a .

Ainda observamos que, se '

0 \

x ∈A A, isto é, x₀ é um ponto isolado de A, então também se diz que f é contínua em x0.

Exemplo 1.18. Verificar se é contínua em (0,0) a função

2 2 2 _{, ( , ) (0,0)} ( , ) 0, ( , ) (0,0) xy _{x y} f x y x y x y  _≠  = +  ₌  .

Solução. No exemplo 1.12, mostramos que _{( ) ( )} 2 2 , 0,0 2 lim 0 x y xy x y → ₊ = .

Logo, a função dada é contínua em (0,0), pois ( ) ( ), 0,0 2 2 2 lim (0,0) x y xy _f x y → ₊ = .

Das propriedades sobre limites decorrem algumas propriedades das funções contínuas, que são dadas no seguinte resultado:

Proposição 1.13. Sejam _{f g A ⊂}, : _n _{→ duas funções contínuas}

em x₀∈A, e seja ∈. Então:

a) f g± é contínua em x₀;

b) f g⋅ é contínua em x₀;

c) f é contínua em x₀; e

d) f

g é contínua em x0, desde que g x ≠( ) 00 .

Esta proposição permite-nos concluir que uma função polino-mial de n variáveis é contínua em _n_{, isto é, toda função que}

possa ser expressa como soma de termos da forma 1 2 1m 2m nmn

cx x x ,

onde c ∈ e m_i, i=1,2, ,_ n, é um inteiro não negativo.

Proposição 1.14. Sejam _{f A ⊂}: _n _{→ e g B ⊂ →:   tais que}

( )

f A ⊂B. Seja x₀∈A, e suponhamos que f seja contínua em x₀ e que g seja contínua em f x( )0 . Então, a função composta (g f ) é contínua em x₀.

Demonstração. Como g é contínua em f x( )0 , dado  >0, existe 1 1( )

 =  ,  >₁ 0, tal que

y B∈ e y f x− ( )0 <1⇒ g y g f x( )− ( ( ))0 <. (1.2) Como f é contínua em x0, para esse 1, existe  >0 tal que

x A∈ e x x− 0 < ⇒ f x( )− f x( )0 <1. (1.3) Usando (2) e (3), podemos escrever

x A∈ e x x− ₀ < ⇒ g f x( ( ))−g f x( ( ))₀ <. Assim, (g f ) é contínua em x₀.

Exercícios

1) Calcular o limite que se pede:

a) 2 2

( , )x ylim (3→(2,3) x +xy−2 )y . b) ( , ) (0,0)lim cos sen

x y x y e e x x → − + . c) ( , ) (2, 1) 3 2 lim 4 x y x y x y → − − + .

2) Encontrar um  >0 correspondente a qualquer  >0, de forma que a definição de limite seja válida:

a) ( , ) (3,2)x ylim (3→ x−4 ) 1y = . b) 2 2 ( , ) (1,1)x ylim (→ x +y ) 2= . c) 2 2 2 2 ( , , ) ( 2,1,4)x y zlim→ − (4x y−3xyz +7y z ).

3) Mostrar que os seguintes limites não existem:

a) ₂2 ₂ ( , ) (0,0)x ylim x y x y → + + . b) ₄ 3 ₂ 2 ₄ ( , , ) (0,0,0)x y zlim x yz x y z → + + + .

4) Determinar todos os pontos onde a função é contínua:

a) ( , ) ₂ 2 1 x f x y y = − . b) f x y( , ) sen y x   = _{ }  . c) _{f x y( , )=x y x y}2 ₋ 3 3_{−x y}4 4_. d) ( , ) 2 ( 2 2)( 1) x f x y xy x y y − = − − + + .

5) Verificar se as funções dadas são contínuas nos pontos indica-dos: a) 1 sen , 0 ( , ) , (0,0) 0, 0 x y f x y y P y    ≠    =     ₌  . b) ( , ) 3 2 , ( , ) (0,0), (0,0) 1, ( , ) (0,0) x y x y f x y P x y − ≠  =  ₌  .

c) ( , ) 3 3₂ 2 2, (1,2) 2 1 x xy f x y P xy − + = − .

6) Calcular o valor de a para que a função dada seja contínua em

(0,0). Qual o domínio de f ? a) 2 2 2 , y 0 ( , ) 1 1 4, y 0 x y f x y y a  ≠  = + −  − =  . b) 2 2 2 2 sen( + ) ,( , ) (0,0) ( , ) + ,( , ) (0,0) x y _{x y} f x y x y a x y  ≠  =   ₌  .

1.5 Derivadas parciais

Apresentamos aqui o conceito de derivada parcial para uma função com mais de uma variável. A ideia é considerar apenas uma variável por vez, deixando as outras fixas, ou seja, tratamos uma função de n variáveis como uma função de uma só variável, n vezes, consideran-do a cada vez uma variável diferente. Desse procedimento resulta a definição de uma derivada para cada uma das variáveis indepen-dentes. Essas derivadas são chamadas de derivadas parciais.

Definição 1.15. Seja : ( ) n f A x z f x ⊆ → =   

uma função de n variáveis, e seja x=( , , , )x x_{1 2}  xn ∈A. Definimos a

derivada parcial de f no ponto x em relação a x_i por

1 1 0 ( , , , , ) ( , , , , ) ( ) lim i n i n h i f x x h x f x x x f x x → h + − ∂ ₌     ∂       _,

quando esse limite existir.

Exemplo 1.19. Aplicar a definição para achar f

x ∂ ∂ e f y ∂ ∂ para 2 ( , ) 3 2 f x y = x − xy.

Solução. 2 2 0 0 ( , ) ( , ) 3( ) 2( ) 3 2 lim lim h h f f x h y f x y x h x h y x xy x → h → h ∂ ₌ + − ₌ + − + − + ₌ ∂ 2 2 2 2 0 0 3 6 3 2 2 3 2 6 3 2 lim_h x xh h xy hy x xy lim_h xh h hy h h → → + + − − − + + − = = = 0 lim6 3 2 6 2 h→ x h y x y = + − = − e 2 2 0 0 ( , ) ( , ) 3 2 ( ) 3 2 lim_h lim_h f f x y h f x y x x y h x xy y → h → h ∂ + − − + − + = = = ∂ 2 2 0 0 3 2 2 3 2 lim lim 2 2 h h x xy xh x xy _{x x} h → → − − − + = = − = − .

Assim, obtemos que f 6x 2y x ∂ _{= −} ∂ e 2 f _x y ∂ _{= −} ∂ . Definição 1.16. Seja : ( ) n f A x z f x ⊂ → =   

uma função de n variáveis, e seja B A⊆ o conjunto formado por to-dos os pontos x tais que ( )

i

f x x ∂

∂ existe. Definimos a função derivada

parcial de 1ª ordem de f em relação a x_i como a função que a cada

x B∈ associa o número ( ) i f x x ∂ ∂ dado por 1 1 0 ( , , , , ) ( , , , , ) ( ) lim i n i n h i f x x h x f x x x f x x → h + − ∂ ₌     ∂       _.

Observamos que outras notações costumam ser usadas para as deriva-das parciais de 1ª ordem. É comum representar a derivada ( )

i f x x ∂ ∂ tam-bém por i f x ∂ ∂ , D f xxi ( ), D f xi ( ), f xxi( ), xi , xi e se ( ). i z f D f z f x x ∂ ∂ = ∂

Observação 1.17. Na prática, podemos obter as derivadas parciais usando as regras de derivação das funções de uma variável. Des-se modo, para calcularmos

i

f x ∂

como se fossem constantes. Os exemplos que se seguem ilustram esse procedimento. Exemplo 1.20. Seja 5 _{, se ( , ) (0,0)} 2 3 ( , ) 0, se ( , ) (0,0) xy _{x y} x y f x y x y  _≠  ₊ =   ₌  , calcular f x ∂ ∂ e f y ∂ ∂ .

Solução. Nos pontos ( , ) (0,0)x y ≠ , podemos aplicar as regras de de-rivação. Assim, temos

2 2 2 2 2 5 (2 3 ) 5 (2) 10 15 10 15 (2 3 ) (2 3 ) (2 3 ) f y x y xy xy y xy y x x y x y x y ∂ ₌ ⋅ + − ⋅ ₌ + − ₌ ∂ + + + 2 2 2 5 (2 3 ) 5 (3) 10 (2 3 ) (2 3 ) f x x y xy x y x y x y ∂ ₌ ⋅ + − ⋅ ₌ ∂ + + .

Para calcularmos as derivadas de f na origem, usamos a definição de derivada parcial, como no exemplo 1.18.

0 0 5 0 0 (0 ,0) (0,0) ₂ (0,0) lim lim 0 h h h f f h f _h x → h → h ⋅  ₋    ∂ ₌  + − _{= =}     ∂   _{ }   0 0 5 0 ₀ (0,0 ) (0,0) ₃ (0,0) lim lim 0 h h h f f h f _h y → h → h ⋅ ⋅  ₋    ∂ ₌  + − _{= =}     ∂   _{ }   .

Assim, obtivemos as derivadas parciais da função f com relação a x e com relação a y em todos os pontos ( , )x y do domínio.

Exemplo 1.21. Achar f x yx( , ) e f x yy( , ) para

2 2 2 2

( , ) 3 4 3 sen( )

f x y = x − x y+ xy + xy .

Solução. Tratando f como uma função de x e mantendo y constante, obtemos _{( , ) 6 8 3} 2 2_cos( 2₎

x

f x y = x− xy+ y +y xy .

Considerando f como uma função de y e mantendo x fixo, temos

2 2

( , ) 4 6 2 cos( )

y

f x y = − x + xy+ xy xy .

Gostaríamos agora de obter uma visualização do comportamento das derivadas parciais, isto é, gostaríamos de propor uma

interpre-tação geométrica das derivadas parciais. Para isso, vamos nos ater ao caso n =2. Suponhamos que 2 : ( , ) ( , ) f A x y z f x y ⊂ → =   

possua derivadas parciais em ( , )x y0 0 ∈A. O gráfico dessa função é uma superfície cuja equação é z f x y= ( , ).

Se y for mantido constante, digamos y y= 0, então f x y( , )0 é uma função de uma variável cujo gráfico é uma curva C_y0, contida no plano _y0: y y= ₀. Logo, a curva C_y0 pode ser representada pelas equações y y= 0 e z f x y= ( , ).

Desse modo, f x y_x( , )_{0 0} é a inclinação da reta tangente à curva C_y0

no ponto P x y f x y( , , ( , ))0 0 0 0 que é dada por f x y( , ) tg( )_{0 0}

x 

∂ ₌

∂ , onde

 pode ser visualizado na figura 1.27.

y₀ x₀ Cx_{0 Cy} 0 y z x _α β Figura 1.27

De maneira análoga, a inclinação da reta tangente à curva C_x0,

re-sultante da intersecção da superfície do _3_{, z f x y= ( , ), com o plano} 0

x

 : x x= ₀, é dada por tg f x y( , )_{0 0} y

= ∂

∂ , onde  também pode ser

Exercícios

1) Calcular as derivadas de 1ª ordem, usando a definição:

a) _{f x y( , ) 5= xy x−} 2_.

b) _{f x y( , )=x}2_+y2_−10.

c) z= xy.

2) Encontrar as derivadas parciais de 1ª ordem:

a) _{f x y( , ) 2= x}2_+3xy2_−4x. b) _{g x y( , )= x}2_+y2_−2. c) h x y( , ) sen(2= x y+ ). 3) Calcular f x ∂ ∂ e f y ∂ ∂ para 2 2 2 _{, se ( , ) (0,0)} 3 5 ( , ) 0, se ( , ) (0,0) xy _{x y} x y f x y x y  _≠  ₊ =   ₌  .

4) Calcular a derivada que se pede:

a) ( , ) x y2 , ( , ) x f x y =e f x y . b) f x y( , )=xcos(y x f x y− ), ( , )x . c) _{( )} x 2y_{, ( , )} y z₌ x y e₊ + z x y _.

5) Determinar a inclinação da reta tangente à curva de intersec-ção da superfície _{z x=} 2_+y2 _{com o plano y =1, no ponto}

(

)

Resumo

Vimos, neste capítulo, o importante e delicado conceito de limite de uma função real de várias variáveis. Conceito este que dá origem a um outro importante conceito, o de derivada parcial de uma função real de várias variáveis, com consequências significativas e variadas aplicações.

Capítulo 2

Diferenciabilidade

de Funções de Várias

Variáveis

Capítulo 2

Diferenciabilidade de Funções de

Várias Variáveis

Neste capítulo, estudaremos a noção de diferenciabilidade de funções reais de várias variáveis, com a qual está re-lacionada a existência de um plano tangente à superfície definida por tal função. Essa noção tem consequências im-portantíssimas tanto no cálculo de várias variáveis como na diferenciação de sistemas dados implicitamente, assim como nas aplicações ao cálculo de máximos e mínimos lo-cais de funções de várias variáveis.

2.1 Aproximação linear

Vamos iniciar o estudo da diferenciabilidade das funções reais de n variáveis, isto é, funções _{f A ⊂}: _n _{→. Entretanto, para uma}

me-lhor visualização das aplicações geométricas, de início nos ateremos ao caso n= 2. Para isso, precisamos entender o significado geométri-co das derivadas parciais de uma função de duas variáveis. Assim, suponha que 2 : ( , ) ( , ) f A x y z f x y ⊆ → → =  

possua derivadas parciais em ( , )x y_{0 0} ∈A.

Para y y= ₀, f x y( , ) é uma função de uma variável cujo gráfico é uma curva C_y0, resultante da intersecção das superfícies do _3_,

: ( , )

S z f x y= e o plano y₀ :y y= 0.

A inclinação ou coeficiente angular da reta tangente à curva C_y0 no ponto P x y f x y( , , ( , ))_{0 0 0 0} é dado por

0 0 ( ) f ( , ) tg x y x  = ∂ ∂

z y x α x₀ y0 P S : z = f (x,y)

(

)

(

)

De maneira análoga, a inclinação da reta tangente à curva C_x0, resultante da intersecção da superfície S z f x y: = ( , ) com o plano

0: 0 x x x  = , é 0 0 ( ) f ( , ) tg x y y  =∂ ∂ .

Intuitivamente, percebemos que as retas tangentes às curvas Cx₀ e

0

y

C no ponto P x y f x y( , , ( , ))_{0 0 0 0} devem estar contidas no plano tan-gente à superfície S nesse ponto P.

Assim, se o plano

:z h x y= ( , ) (2.1) tangente à superfície Sno ponto P, for dado por

z ax by c= + + ,

conforme a equação geral de um plano, deveremos ter que:

a inclinação do plano tangente na direção do eixo x coincida

a)

com a inclinação da reta tangente à curva C_y0, isto é, ( , )0 0 f a x y x ∂ = ∂ ; (2.2)

a inclinação do plano tangente na direção do eixo

b) y coincida

com a inclinação da reta tangente à curva C_x0, isto é, ( , )0 0 f b x y y ∂ = ∂ ; (2.3) o ponto

c) P x y f x y( , , ( , ))_{0 0 0 0} satisfaça, simultaneamente, a equa-ção do plano tangente (2.1) e a equaequa-ção da superfície S, uma vez que P S ∈ ∩ , ou seja,

h x y( , )0 0 = f x y( , )0 0 . (2.4) Agora, substituindo (2.2) e (2.3) em (2.1), obtemos

h x y( , ) f ( , )x y x_{0 0} f ( , )x y y c_{0 0}

x y

∂ ∂

= + +

∂ ∂ . (2.5)

Aplicando em ( , ) ( , )x y = x y_{0 0} e usando (2.4), temos

0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) f ( , ) f ( , ) f x y x y x x y y c x y ∂ ∂ = + + ∂ ∂ , ou, ainda, ( , )0 0 ( , )0 0 0 ( , )0 0 0 f f c f x y x y x x y y x y ∂ ∂ = − − ∂ ∂ . (2.6)

Finalmente, substituindo (2.6) em (2.5), resulta que

( , ) ( , )0 0 ( , ) [0 0 0] ( , ) [0 0 0] f f z h x y f x y x y x x x y y y x y ∂ ∂ = = + ⋅ − + ⋅ − ∂ ∂ . (2.7)

Assim, se existir um plano tangente à superfície S no ponto

0 0 0 0

( , , ( , ))

P x y f x y , ele será dado pela equação (2.7).

Exemplo 2.1. Determine o plano tangente ao paraboloide elíptico

2 2

2

z= x +y no ponto (1,1,3).

Solução. Seja _{f x y( , ) 2= x}2_+y2_{. Então,}

( , ) 4 (1,1) 4 x x f x y = x⇒ f = , ( , ) 2 (1,1) 2 y y f x y = y⇒ f = .

Portanto, por (2.7), temos que a equação do plano tangente no ponto

(1,1,3) é dada por

3 4( 1) 2( 1)

z= + x− + y−

4 2 3

Assim, a função linear de duas variáveis g x y( , ) 4= x+2y−3 é uma boa aproximação de f x y( , ) quando ( , )x y está próximo de (1,1). Por exemplo, no ponto (1,1;0,95), a aproximação linear fornece

(1,1;0,95) 4(1,1) 2(0,95) 3 3,33

g = + − =

que é bastante próximo do valor verdadeiro de f, que é

2 2

(1,1;0,95) 2(1,1) (0,95) 3 3,3225

f = + − = .

Convém observar que g x y( , ) é uma boa aproximação de f x y( , )

apenas para ( , )x y próximos de (1,1). Se tomarmos um ponto longe de (1,1), como (2,3), teremos g(2,3) 11= e f(2,3) 17= , ou seja, g não é mais uma boa aproximação de f.

2.2 Diferenciabilidade

Introduzimos, agora, o conceito de função diferenciável. Uma fun-ção f será diferenciável em ( , )x y0 0 quando o plano tangente, dado pela equação (2.7), propiciar-nos uma “boa aproximação” para

( , )

f x y em uma “vizinhança” de ( , )x y_{0 0} . Temos, então, a seguinte definição.

Definição 2.1. Diremos que a função f x y( , ) é diferenciável em 0 0

( , )x y quando as derivadas parciais f x y( , )_{0 0} x ∂ ∂ e f x y_y( , )0 0 ∂ ∂ exis-tirem e se 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) lim 0 ( , ) ( , ) x x y y f f f x y f x y x y x x x y y y x y x y x y → →  ∂ ∂  −_ + ⋅ − + ⋅ − _ ∂ ∂  _{ =} −

onde _{( , )x y = x}2_+y2 _{representa a norma euclidiana e} 0 0

( , ) ( , )x y − x y representa a distância de ( , )x y a ( , )x y_{0 0} .

Diremos que f é diferenciável num conjunto A D⊂ f , se f for

di-ferenciável em todos os pontos de A. Temos que o conceito de dife-renciabilidade caracteriza funções que possuem gráfico suave. Isto pode ser visto na seguinte proposição:

Proposição 2.2. Se f é diferenciável em ( , )x y_{0 0} , então f é contínua nesse ponto.

Demonstração. Mostraremos que

0 0 0 0

( , ) ( , )x ylim→x y f x y( , )= f x y( , ).

Com efeito, da definição de diferenciabilidade, segue que

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , )x ylimx y ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) 0 f f f x y f x y x y x x x y y y x y →  ∂ ∂  − − ⋅ − − ⋅ − =  _{∂ ∂}   

e daí resulta que

0 0 0 0

( , ) ( , )x ylim→x y

(

)

0 0 0 0 0 0

( , ) ( , )x ylim (→x y x x− )=( , ) ( , )x ylim (→ x y y y− ) 0= .

Exemplo 2.2. Provar que a função _{f x y( , )=x}2_+y2 _{é diferenciável} em _2_{, usando a definição.}

Solução. A função dada possui derivadas parciais em todos os pontos

2 0 0

( , )x y ∈ , e elas são dadas por

0 0 0 ( , ) 2 f x y x x ∂ ₌ ∂ e f x y_y( , ) 20 0 y0 ∂ ₌ ∂ .

Assim, para mostrarmos que f é diferenciável em _2_{, basta verificar,} para qualquer 2

0 0

( , )x y ∈ , se o limite dado na equação (2.8) é zero. Temos 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 ( 2 [ ] 2 [ ]) lim ( ) ( ) x x y y x y x y x x x y y y x x y y → → + − + + − + − = − + − 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 0 0 2 2 lim ( ) ( ) x x y y x xx x y yy y x x y y → → − + + − + = = − + − 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 ( ) ( ) lim ( ) ( ) x x y y x x y y x x y y → → − + − = = − + − 0 0 2 2 0 0 lim ( ) ( ) 0 x x y y x x y y → → = − + − = . Logo, f é diferenciável em _2_.

Exemplo 2.3. Verifique se a função _{f x y( , )= x}2_+y2 _{é diferenciável} na origem.

Solução. Vamos verificar se a função dada tem derivadas parciais