Outline Introdução Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCS. Supercondutividade. Leandro Alexandre

(1)

Outline Introdu¸c˜ao Modelo de Gorter-Casimir Modelo de Ginzburg-Landau BCS

Supercondutividade

Leandro Alexandre

Universidade do Estado do Rio de Janeiro Instituto de F´ısica

Mecˆanica Quˆantica II

27 de fevereiro de 2008

(2)

1 Introdu¸c˜ao

2 _{Modelo de Gorter-Casimir}

3 Modelo de Ginzburg-Landau

(3)

Breve Hist´

orico da Supercondutividade (SC)

1911: Onnes descobre a supercondutividade

1933: Efeito Meissner → fluxo magnético exclu´ıdo do interior do SC, a menos de uma pequena região de penetra¸cão próxima a sua superf´ıcie.

1934: Modelo de Gorter-Casimir → ansatz para a energia livre

de um SC (modelo fenomenol´ogico - abordagem

termodinˆamica)

1935: Modelo dos irm˜aos London (modelo fenomenol´ogico

-abordagem eletromagn´etica)

1950: Teoria de Gizburg-Landau → fun¸c˜ao de onda complexa

como parˆametro de ordem

1957: Teoria BCS → forma¸c˜ao de estado ligado

elétron-elétron (teoria padrão da supercondutividade)

BCS → Bardeen-Cooper-Schrieffer

(4)

Breve Hist´

orico da Supercondutividade (SC)

termodinˆamica)

(5)

Breve Hist´

orico da Supercondutividade (SC)

termodinˆamica)

(6)

Breve Hist´

orico da Supercondutividade (SC)

termodinˆamica)

(7)

Breve Hist´

orico da Supercondutividade (SC)

termodinˆamica)

(8)

Breve Hist´

orico da Supercondutividade (SC)

termodinˆamica)

elétron-elétron (teoria padrão da supercondutividade) BCS → Bardeen-Cooper-Schrieffer

(9)

Fatos Experimentais: Resistividade

ρ(T ) ∼ T2, para f´ermions normais

(10)

Fatos Experimentais: Calor Espec´ıfico

CVn ∼ T CVS ∼ exp − a T

(11)

Fatos Experimentais: Efeito Meissner

Campos magn´eticos suficientemente baixos

(12)

Fatos Experimentais: Efeito Meissner

(13)

Fatos Experimentais: Efeito Meissner

(14)

Fatos Experimentais: Campo Magn´

etico Cr´ıtico H

c

Hc(T ) = Hc(0)

"

1 − T

Tc

!2#

(15)

Fatos Experimentais: Campo Magn´

etico Cr´ıtico H

c

Hc(T ) = Hc(0)

"

1 − T

Tc

!2#

H > Hc(T ) para dada T: amostra volta ao estado normal

(16)

Fatos Experimentais: Efeito Is´

otopo

Troca de um dos is´otopos de uma rede cristalina gera um shift em

alguns observ´aveis.

Tc ∝ M−

1 2

(17)

Fatos Experimentais: Efeito Is´

otopo

Troca de um dos is´otopos de uma rede cristalina gera um shift em

alguns observ´aveis.

Tc ∝ M−

1 2

(18)

Modelo de Gorter-Casimir

Ansatz para a energia livre

F (x , T ) =√x fn(T ) + (1 − x )fS(T )

x ≡ fra¸cão de elétrons no fluido normal (1 − x ) ≡ fra¸cão de elétrons no superfluido

fn(T ) ≡ − γ 2T 2 _C v = −T ∂2F ∂T2 = γT ! fS(T ) ≡ −β = cte

(19)

Modelo de Gorter-Casimir

Ansatz para a energia livre

F (x , T ) =√x fn(T ) + (1 − x )fS(T )

x ≡ fra¸cão de elétrons no fluido normal (1 − x ) ≡ fra¸cão de elétrons no superfluido

fn(T ) ≡ − γ 2T 2 _C v = −T ∂2F ∂T2 = γT ! fS(T ) ≡ −β = cte

(20)

Modelo de Gorter-Casimir

Minimizando a energia em rela¸c˜ao a x :

x = γ

2

16β2T 4

Fazendo x = 1, obtemos a temperatura cr´ıtica: T_c2 = 4β

γ Juntando as express˜oes,

x = T

Tc

!4

(21)

Modelo de Gorter-Casimir

Reescrevendo a energia livre:

FS(T ) = −β " 1 + T Tc !4# Com FS(T )+ H_c2(T )

8π = Fn(T ) → destrui¸c˜ao da SC por um campo cr´ıtico Hc

Temos: Hc(T ) = 8πβ " 1 − T Tc !2#

(22)

Modelo de Gorter-Casimir

Calor Espec´ıfico: Cv = −T ∂2F (T ) ∂T2 Cvn = γT CvS = 3γTc T Tc !3

(23)

Modelo de Gorter-Casimir

(24)

Considera¸c˜

oes Iniciais

Energia livre (F ) como um funcional de um campo ψ

ψ deve descrever as poss´ıveis fases do sistema

ψ → parˆametro de ordem do sistema:

ψ = 0 na fase de alta temperatura (T > Tc)

ψ 6= 0 para T < Tc F [ψ] = Fn[ψ] + 1 V Z d3x " aT − Tc Tc |ψ(~x)|2+b 2|ψ(~x)| 4₊ + . . . + } 2 2m|∇ψ(~x)| 2 #

(25)

Considera¸c˜

oes Iniciais

Energia livre (F ) como um funcional de um campo ψ ψ deve descrever as poss´ıveis fases do sistema

(26)

Considera¸c˜

oes Iniciais

Energia livre (F ) como um funcional de um campo ψ ψ deve descrever as poss´ıveis fases do sistema

(27)

Ginzburg-Landau sem campo magn´

etico

Considerando |ψ(~x )| ≡ |ψ| uma fun¸c˜ao homogˆenea:

F [ψ] = Fn[ψ] + V (|ψ|) V (|ψ|) = aT − Tc Tc |ψ|2₊ b 2|ψ| 4 Minimizando V em rela¸c˜ao a ψ: ψ1 = 0 ψ2 = i r a b T − Tc Tc ψ3 = −i r a b T − Tc Tc

(28)

Ginzburg-Landau sem campo magn´

etico

Considerando |ψ(~x )| ≡ |ψ| uma fun¸c˜ao homogˆenea:

F [ψ] = Fn[ψ] + V (|ψ|) V (|ψ|) = aT − Tc Tc |ψ|2₊ b 2|ψ| 4 Minimizando V em rela¸c˜ao a ψ: ψ1 = 0 ψ2 = i r a b T − Tc Tc ψ3 = −i r a b T − Tc Tc

(29)

Ginzburg-Landau sem campo magn´

etico

Considerando |ψ(~x )| ≡ |ψ| uma fun¸cão homogênea: F [ψ] = Fn[ψ] + V (|ψ|) V (|ψ|) = aT − Tc Tc |ψ|2₊ b 2|ψ| 4 Minimizando V em rela¸cão a ψ: ψ1 = 0 ψ2 = i r a b T − Tc Tc ψ3 = −i r a b T − Tc Tc

(30)

Ginzburg-Landau sem campo magn´

etico

Considerando |ψ(~x )| ≡ |ψ| uma fun¸cão homogênea: F [ψ] = Fn[ψ] + V (|ψ|) V (|ψ|) = aT − Tc Tc |ψ|2₊ b 2|ψ| 4 Minimizando V em rela¸cão a ψ: ψ1 = 0 ψ2 = i r a b T − Tc Tc ψ3 = −i r a b T − Tc Tc

(31)

Ginzburg-Landau sem campo magn´

etico

Caso T > Tc: T − Tc → |T − Tc| d2V d ψ2 ψ1 = 2a|T − Tc| Tc > 0 ∴ ψ1 ´ e m´ınimo

h|ψ|i = 0 (valor esperado)

(32)

Ginzburg-Landau sem campo magn´

etico

Caso T < Tc: T − Tc → −|T − Tc| d2V d ψ2 ψ1 = −2a|T − Tc| Tc < 0 ∴ ψ1 é máximo d2_V d ψ2 ψ2 > 0 ∴ ψ2 é m´ınimo d2V d ψ2 ψ3 > 0 ∴ ψ3 é m´ınimo

(33)

Ginzburg-Landau sem campo magn´

etico

h|ψ|i = ± q a b |T −Tc| Tc (valor esperado)

Escolhendo um dos v´acuos, a

simetria ´e quebrada...

(34)

Ginzburg-Landau sem campo magn´

etico

h|ψ|i = ± q a b |T −Tc| Tc (valor esperado)

Escolhendo um dos v´acuos, a

(35)

Ginzburg-Landau sem campo magn´

etico

(36)

Ginzburg-Landau sem campo magn´

etico

Temos ent˜ao:

Parˆametro de Ordem nulo → sistema na fase normal

(F (T ) = Fn(T ))

Parˆametro de Ordem n˜ao-nulo → sistema na fase

supercondutora Expoente Cr´ıtico:

Parˆametro de ordem ∼|T −Tc|

Tc β |ψ| = s a b |T − Tc| Tc

(37)

Ginzburg-Landau sem campo magn´

etico

Temos ent˜ao:

(F (T ) = Fn(T ))

supercondutora

Expoente Cr´ıtico:

∴ β = 1₂ → expoente cr´ıtico do modelo de G.L

(38)

Ginzburg-Landau sem campo magn´

etico

Temos ent˜ao:

(F (T ) = Fn(T ))

supercondutora Expoente Cr´ıtico:

(39)

Ginzburg-Landau sem campo magn´

etico

Calor Espec´ıfico: CV = −T ∂2F ∂T2 C_VS = −T ∂ 2 ∂T2 " Fn(T ) − a |T − Tc| Tc |ψ|2+b 2|ψ| 4 # C_VS = a 2 bT2 c ! T + C_Vn (T < Tc) C_VS = C_Vn = CV (T > Tc)

(40)

Ginzburg-Landau sem campo magn´

etico

(41)

Ginzburg-Landau sem campo magn´

etico

(42)

Ginzburg-Landau com campo magn´

etico

~ F = e~E +~v c × ~B ~ E = −∇φ −1 c ∂~A ∂t, B = ∇ × ~~ A

For¸ca generalizada para potenciais que dependem do tempo:

Qk = − ∂U ∂qk + d dt ∂U ∂ ˙qk ! Problema: U =??? ~ F = e − ∇φ −1 c ∂~A ∂t + ~v c × (∇ × ~A) !

(43)

Ginzburg-Landau com campo magn´

etico

~ F = e~E +~v c × ~B ~ E = −∇φ −1 c ∂~A ∂t, B = ∇ × ~~ A

For¸ca generalizada para potenciais que dependem do tempo:

Qk = − ∂U ∂qk + d dt ∂U ∂ ˙qk ! Problema: U =??? ~ F = e − ∇φ −1 c ∂~A ∂t + ~v c × (∇ × ~A) !

(44)

Ginzburg-Landau com campo magn´

etico

Depois de algumas manipula¸c˜oes, ~ F = −∇eφ − e c~v .~A + d dt " ∇_veφ − e c~v .~A # L = m 2v 2_{− eφ +} e c~v .~A H = 1 2m ~p − e c~A !2 + eφ

Eliminando o campo el´etrico → φ = 0, ∂~_∂tA = 0:

H = 1

2m ~p −

e c~A

(45)

Ginzburg-Landau com campo magn´

etico

H = 1

2m ~p −

e c~A

!2

(46)

Ginzburg-Landau com campo magn´

etico

H = 1

2m ~p −

e c~A

(47)

Ginzburg-Landau com campo magn´

etico

F [ψ] = Fn[ψ] + 1 V Z d3x " aT − Tc Tc |ψ(~x)|2+b 2|ψ(~x)| 4₊ + 1 2m − i }∇ −e cA(~~ x ) ψ(~x ) 2 + 1 8πB~ 2 #

(48)

Ginzburg-Landau com campo magn´

etico

Derivada Funcional: d d F [f + σ] ! =0 ≡ Z dnx σ(x ) δF δf (x ) Ex.: F [~A] =R d3x ~A(~x ) F [~A + ~σ] = Z d3x (~A(~x ) + ~σ(x )) = Z d3x ~A(~x ) + Z d3x~σ(x ) dF [~A + ~σ] d = Z d3x~σ(x ) δF δ~A(~x ) = 1

(49)

Ginzburg-Landau com campo magn´

etico

Variando a energia em rela¸c˜ao a ~A:

1 4π∇ × ~B = }e 2mc " ψ∗ 1 i∇ − e }c ~ A ! ψ + ψ − 1 i∇ − e }c ~ A ! ψ∗ # ∇ × ~B = 4π c~j Densidade de Supercorrente: ~jS = }e 2m " ψ∗ 1 i∇ − e }c ~ A ! ψ + ψ −1 i∇ − e }c ~ A ! ψ∗ #

(50)

Ginzburg-Landau com campo magn´

etico

Variando a energia em rela¸c˜ao a ~A:

1 4π∇ × ~B = }e 2mc " ψ∗ 1 i∇ − e }c ~ A ! ψ + ψ − 1 i∇ − e }c ~ A ! ψ∗ # ∇ × ~B = 4π c~j Densidade de Supercorrente: ~jS = }e 2m " ψ∗ 1 i∇ − e }c ~ A ! ψ + ψ −1 i∇ − e }c ~ A ! ψ∗ #

(51)

Ginzburg-Landau com campo magn´

etico

Variando a energia em rela¸c˜ao a ψ:

1 2m } i∇ − e c~A !2 ψ + aT − Tc Tc ψ + b|ψ|2ψ = 0

Equa¸c˜oes de Ginzburg-Landau

(52)

Ginzburg-Landau com campo magn´

etico

Variando a energia em rela¸c˜ao a ψ:

1 2m } i∇ − e c~A !2 ψ + aT − Tc Tc ψ + b|ψ|2ψ = 0 Equa¸c˜oes de Ginzburg-Landau

(53)

Corrente Cr´ıtica

Supercondutor fino, com dependˆencia espacial unidimensional:

ψ = ψ0eiqx

Assumindo ~A = 0, da segunda eq. de G.L:

}q2 2m + a T − Tc Tc ! ψ0+ bψ03= 0 ψ0 = 0 ψ0 = ± s a b |T − T_c| Tc − }q 2 2mb

(54)

Corrente Cr´ıtica

Supercondutor fino, com dependˆencia espacial unidimensional:

ψ = ψ0eiqx

Assumindo ~A = 0, da segunda eq. de G.L:

}q2 2m + a T − Tc Tc ! ψ0+ bψ03= 0 ψ0 = 0 ψ0 = ± s a b |T − Tc| Tc − }q 2 2mb

(55)

Corrente Cr´ıtica

Da equa¸c˜ao de supercorrente: jS = e }q m ! |ψ0|2 jS = evSρS

Como pela segunda eq de G.L, ψ0 pertence aos Reais,

ψ0 = ± s a b |T − T_c| Tc − }q2 2mb a b (Tc− T ) Tc ≥ }q 2 2mb

A Scorrente pode assumir um valor m´aximo jC. Acima desse valor,

o metal possui condu¸c˜ao normal

(56)

Corrente Cr´ıtica

(57)

Corrente Cr´ıtica

o metal possui condu¸c˜ao normal

(58)

Efeito Meissner

SC homogˆeneo, tal que a densidade de superfluido possa ser

considerada constante no espa¸co: ψ = ψ0ei φ(~x )

Inserindo na eq. de supercorrente: ~jS = }e mρS " ∇φ(~x) − e }c ~ A #

Aplicando ∇× na eq. anterior:

∇ ×~j_S = −e 2 mcρS ~ B 4π c ∇ ×~jS = − 4πe2 mc2ρSB~

(59)

Efeito Meissner

∇ ×~j_S = −e 2 mcρS ~ B 4π c ∇ ×~jS = − 4πe2 mc2ρSB~

(60)

Efeito Meissner

∇ ×~jS = − e2 mcρS ~ B 4π ∇ ×~j_S = −4πe 2 2ρSB~

(61)

Efeito Meissner

Lembrando que 4π_c~j = ∇ × ~B, temos:

∇2B =~ 1 λ2_L ~ B Onde λL≡ s mc2 4πe2_ρ S

→ Profundidade de penetra¸c˜ao de London

Solu¸c˜ao 1D simples:

B(x ) = B0e −x

λL

→ Quanto menor λ_L, mais “r´apido” cai o valor de B dentro da

amostra.

(62)

Efeito Meissner

B(x ) = B0e −x

λL

(63)

Efeito Meissner

B(x ) = B0e −x

λL

amostra.

(64)

Revis˜

ao: BEC

Revis˜ao da id´eia de BEC →

g´as ideal de Bose }2k2 2m ln Z(T , V , µ) = −X j ln 1 − exp h − βj− µ i < nj >= 1 exp [β(j − µ)] − 1 N =X j < nj > U =X j j < nj >

(65)

Revis˜

ao: BEC

Revisão da idéia de BEC → gás ideal de Bose }2k2 2m ln Z(T , V , µ) = −X j ln 1 − exp h − βj− µ i < nj >= 1 exp [β(j − µ)] − 1 N =X j < nj > U =X j j < nj >

(66)

Revis˜

ao: BEC

Revisão da idéia de BEC → gás ideal de Bose }2k2 2m ln Z(T , V , µ) = −X j ln 1 − exp h − βj− µ i < nj >= 1 exp [β(j− µ)] − 1 N =X j < nj > U =X j j < nj >

(67)

Revis˜

ao: BEC

Revisão da idéia de BEC → gás ideal de Bose }2k2 2m ln Z(T , V , µ) = −X j ln 1 − exp h − βj− µ i < nj >= 1 exp [β(j− µ)] − 1 N =X j < nj > U =X j j < nj >

(68)

Revis˜

ao: BEC

µ kT = ln " 1 γ 2π}2 mk !3₂# + ln N V −3 2ln T

(69)

Revis˜

ao: Estat´ıstica de Bose-Einstein

fazendo µ = 0 no limite termodinˆamico:

T0 = } 2 2mk " 4π2 γΓ(3₂)ζ(3₂) #2₃ N V 2 3 T0 → Temperatura de Bose-Einstein N0 = N " 1 − T T0 !2₃#

N0 → N´umero de part´ıculas no condensado de Bose-Einstein

(70)

Revis˜

ao: Estat´ıstica de Bose-Einstein

(71)

Revis˜

ao: Estat´ıstica de Bose-Einstein

N0 → N´umero de part´ıculas no condensado de Bose-Einstein

(72)

Revis˜

ao: Estat´ıstica de Bose-Einstein

(73)

Revis˜

ao: Estat´ıstica de Fermi-Dirac

ln Z(T , V , µ) =X j ln 1 + exp h − βj − µ i < nj >= 1 exp [β(j− µ)] + 1 N =X j < nj > U =X j j < nj >

(74)

Revis˜

ao: Estat´ıstica de Fermi-Dirac

(75)

Revis˜

ao: Estat´ıstica de Fermi-Dirac

(76)

Revis˜

ao: Estat´ıstica de Fermi-Dirac

G´as de Fermi completamente degenerado: β → ∞

Energia de Fermi = potencial qu´ımico em T = 0

F = } 2 2m 6π2 γ !2₃ N V !2₃ F = kbTF TF = } 2 2mkb 6π2 γ !2 3 N V !2 3

(77)

Revis˜

ao: Estat´ıstica de Fermi-Dirac

(78)

Revis˜

ao: Estat´ıstica de Fermi-Dirac

(79)

Revis˜

ao: Estat´ıstica de Fermi-Dirac

G´as de Fermi degenerado: T TF

Alguns el´etrons abaixo da F s˜ao excitados para estados com

energia > F U = γVC " 2 5µ 5 2+π 2 4 (kbT ) 2_µ1₂_{+. . .} # µ = F " 1 −π 2 12 T Tc !2 + . . . #

(80)

Revis˜

ao: Estat´ıstica de Fermi-Dirac

(81)

Revis˜

ao: Estat´ıstica de Fermi-Dirac

(82)

Acoplamento el´

etron-Fˆ

onon

Efeito isótopo dá pistas de que os fônons da rede cristalina

tˆem importante papel na SC. Hamiltoniana de Fr¨olich: HF = He+ Hp+ Hep He = X k (~k)f_~† kf~k Hp= X q }ω~q b_~†_qb~q+ 1 2

(83)

Acoplamento el´

etron-Fˆ

onon

Efeito isótopo dá pistas de que os fônons da rede cristalina

tˆem importante papel na SC. Hamiltoniana de Fr¨olich: HF = He+ Hp+ Hep He = X k (~k)f_~† kf~k Hp= X q }ω~q b_~†_qb~q+ 1 2

(84)

Acoplamento el´

etron-Fˆ

onon

Consideramos que os fônons produzem uma altera¸cão local na densidade iônica e que se acoplam à densidade de elétrons

Mudan¸ca no potencial iˆonico → descrito pelo campo D(~x ) Hep =

Z

d3x ˆψ_α†(~x )D(~x ) ˆψα(~x )

Mudan¸ca na densidade iônica → campos de deslocamento ~u(~x ): D(~x ) = ∇.~u(~x ) dilata¸cões e contra¸cões locais

∇2− 1 c2 ∂2 ∂t2 ! ~ u(~x ) = 0

(85)

Acoplamento el´

etron-Fˆ

onon

Consideramos que os fônons produzem uma altera¸cão local na densidade iônica e que se acoplam à densidade de elétrons Mudan¸ca no potencial iônico → descrito pelo campo D(~x )

Hep =

Z

∇2− 1 c2 ∂2 ∂t2 ! ~ u(~x ) = 0

(86)

Acoplamento el´

etron-Fˆ

onon

Consideramos que os fônons produzem uma altera¸cão local na densidade iônica e que se acoplam à densidade de elétrons Mudan¸ca no potencial iônico → descrito pelo campo D(~x )

Hep =

Z

∇2− 1 c2 ∂2 ∂t2 ! ~ u(~x ) = 0

(87)

Acoplamento el´

etron-Fˆ

onon

Em analogia à quantiza¸cão do campo de Klein-Gordon: ˆ φ(~x , t) = Z d3p p2ωp(2π)3 ˆ apei (px −ωpt)+ âp†e −i (px−ωpt) [âp, â†p] = δ(~p − ~p0) Na caixa: Z _d3_p p(2π)3 → 1 L3 X l [âpl, â † pl 0] = δll0

(88)

Acoplamento el´

etron-Fˆ

onon

Em analogia à quantiza¸cão do campo de Klein-Gordon: ˆ φ(~x , t) = Z d3p p2ωp(2π)3 ˆ apei (px −ωpt)+ âp†e −i (px−ωpt) [âp, â†p] = δ(~p − ~p0) Na caixa: Z d3p p(2π)3 → 1 L3 X l [âpl, â † pl 0] = δll0

(89)

Acoplamento el´

etron-Fˆ

onon

~u(~x ) = √1 N X ~ q ~q |~q| } 2mω~q !1₂ ˆb~qeiqx + ˆb † ~qe −iqx

O campo D ´e entao dado por (com ωq= vSq):

~ D(~x ) = √i N X ~q }q 2MvS !1₂ hˆb_~_qeiqx − ˆb_~_q†e−iqx i

Operadores de campo eletrˆonico em termos de estados de Bloch:

ˆ ψα(~x ) = X k f~_kαu~_k(~x )eikx ˆ ψβ(~x )† = X k f~_kβu~_k(~x )∗e−ikx

(90)

Acoplamento el´

etron-Fˆ

onon

~u(~x ) = √1 N X ~ q ~q |~q| } 2mω~q !1₂ ˆb~qeiqx + ˆb † ~qe −iqx

O campo D ´e entao dado por (com ωq= vSq):

~ D(~x ) = √i N X ~q }q 2MvS !1₂ hˆb_~_qeiqx − ˆb_~_q†e−iqx i

Operadores de campo eletrˆonico em termos de estados de Bloch:

ˆ ψα(~x ) = X k f~_kαu~_k(~x )eikx ˆ ψβ(~x )† = X k f~_kβu~_k(~x )∗e−ikx

(91)

Acoplamento el´

etron-Fˆ

onon

Hep = Z d3x X k f~_kαu~_k(~x )eikx ! × × √i N X ~ q }q 2MvS !1₂ hˆb~qeiqx − ˆb_~_q†e−iqx i ! × × X k0 f~_k0_βu~_k0(~x ) ∗_e−ik0_x !

(92)

Acoplamento el´

etron-Fˆ

onon

Hep = = √i N X ~q }q 2MvS !1₂" X kk0 f~_k0_αf † ~ k0_α Z d3x u~_k(~x )u~_k0(~x ) ∗_ei (q+k+k0)x_b ~q # + −√i N X ~ q }q 2MvS !1₂" X kk0 f~_k0_αf † ~_k0_α Z d3x u~_k(~x )u~_k0(~x ) ∗_e−i (q−k+k0_)x b_~_q† #

(93)

Acoplamento el´

etron-Fˆ

onon

Fun¸c˜oes de Wannier:

fun¸c˜ao de Wannier ← ˆ φR(r ) = 1 √ N X k e−ikRψˆk(r ) → fun¸c˜ao de Bloch φR(r ) = φR+R0(r + R0) φ(r − R) ≡ φR(r )

(94)

Acoplamento el´

etron-Fˆ

onon

Fun¸c˜oes de Wannier:

fun¸c˜ao de Wannier ← ˆφR(r ) = 1 √ N X k

e−ikRψˆk(r ) → fun¸c˜ao de Bloch

φR(r ) = φR+R0(r + R0)

(95)

Acoplamento el´

etron-Fˆ

onon

Reescrevendo a hamiltoniana: Hep = i X ~ k,~q D~q b~qf † ~ k+~q,αf~k,α− b † ~ qf † ~_k−~_q,αf~k,α

Definindo o operador densidade eletrˆonica: ρ~q X ~_k f_~† k−~q,αf~k,α= ρ † −~q HF = X k (~k)f_~† kf~k+ X q }ω~q b_~†_qb~q+ 1 2 + iX ~ k,~q D~q b~qρ † ~q− b † ~qρ~q

(96)

Intera¸c˜

ao El´

etron-El´

etron Efetiva

Extrair intera¸cão elétron-elétron da intera¸cão elétron-fônon Definindo um operador anti-unitário S , para que eS seja unitário, e a transforma¸cão

˜

HF = e−SHFeS

seja unit´aria.

Expandindo: ˜ HF = HF + [HF, S ] + 1 2![[HF, S ], S ] + 1 3![[[HF, S ], S ], S ] + . . .

(97)

Intera¸c˜

ao El´

etron-El´

etron Efetiva

Extrair intera¸cão elétron-elétron da intera¸cão elétron-fônon Definindo um operador anti-unitário S , para que eS seja unitário, e a transforma¸cão

˜

HF = e−SHFeS

seja unit´aria. Expandindo: ˜ HF = HF + [HF, S ] + 1 2![[HF, S ], S ] + 1 3![[[HF, S ], S ], S ] + . . .

(98)

Intera¸c˜

ao El´

etron-El´

etron Efetiva

Fˆonon criado ou aniquilado no espalhamento

Fˆonon criado interage com

outro elétron Processo ocorre apenas em segunda ordem na intera¸cão elétron-fônon → Eliminar contribui¸cões de primeira ordem

(99)

Intera¸c˜

ao El´

etron-El´

etron Efetiva

outro el´etron

Processo ocorre apenas em segunda ordem na intera¸cão elétron-fônon → Eliminar contribui¸cões de primeira ordem

(100)

Intera¸c˜

ao El´

etron-El´

etron Efetiva

outro el´etron

Processo ocorre apenas em segunda ordem na intera¸cão elétron-fônon → Eliminar contribui¸cões de primeira ordem

(101)

Intera¸c˜

ao El´

etron-El´

etron Efetiva

HF = H0+ λHep

˜

HF = H0+ λHep+ [H0, S ] + λ[Hep, S ] +

1

2[[H0+ λHep, S ], S ] + . . . Impondo λHep+ [H0, S ] = 0, e calculando os elementos de matriz

nos autoestados |mi de H0:

λ hn| Hep|mi = hn| [S, H0] |mi

hn| S |mi = λhn| Hep|mi Em− En

(102)

Intera¸c˜

ao El´

etron-El´

etron Efetiva

(103)

Intera¸c˜

ao El´

etron-El´

etron Efetiva

(104)

Intera¸c˜

ao El´

etron-El´

etron Efetiva

(105)

Intera¸c˜

ao El´

etron-El´

etron Efetiva

(106)

Intera¸c˜

ao El´

etron-El´

etron Efetiva

considerando estados com zero f˜onons (fenˆomeno de baixa temperatura): hn| HepS |mi → h0| H_ep|1qi h1q| H_ep|0i (Em− El) = = D_q2X kk0 f_k†0f_k0_−qf† k0_−qf_k 1 k − k−q− }ωq hn| SH_ep|mi = D_q2X kk0 f_k†0fk0_−qf† k0_−qfk 1 k − k−q+ }ωq

(107)

Intera¸c˜

ao El´

etron-El´

etron Efetiva

considerando estados com zero f˜onons (fenˆomeno de baixa temperatura): hn| HepS |mi → h0| H_ep|1qi h1q| H_ep|0i (Em− El) = = D_q2X kk0 f_k†0f_k0_−qf† k0_−qf_k 1 k − k−q− }ωq hn| SH_ep|mi = D_q2X kk0 f_k†0fk0_−qf† k0_−qfk 1 k − k−q+ }ωq

(108)

Intera¸c˜

ao El´

etron-El´

etron Efetiva

Somando todas as contribui¸c˜oes: Hep = X ~q,~k,~k0 W~_k~_qf † ~_k0f~k0_−~_qf † ~ k0_−~_qf~k W~_k~_q= D_q2}ω~q (~_k − ~_k+~_q)2− }2ω_~_q2

significa que para uma pequena regi˜ao ao redor da energia de Fermi com |~_k − ~_k+~_q| < }ω~q uma intera¸c˜ao atrativa entre

el´etrons ocorre.

(109)

Intera¸c˜

ao El´

etron-El´

etron Efetiva

el´etrons ocorre.

Novo estado ligado entre f´ermions surge → Pares de Cooper.

(110)

Intera¸c˜

ao El´

etron-El´

etron Efetiva

el´etrons ocorre.

(111)

Intera¸c˜

ao El´

etron-El´

etron Efetiva

el´etrons ocorre.

Novo estado ligado entre f´ermions surge → Pares de Cooper.

(112)

Teoria BCS

Ordem de grandeza do par de cooper: ≈ 10−4cm = 104

ˆ

angstrons

estimativa do espa¸co ocupado por um el´etron: ≈ (2A)3 ≈ 1011 _el´_etrons

´

E inviável construir fun¸cões de onda para cada par de elétrons.

HBCS =X ~_k,σ f_~† k,σf~k,σ+ 1 2 X ~ k,~k0 Wkk0f† kf † −kf−k0fk0 Wkk0 < 0 para |(~k) − _F| < δ 2 e |(~k 0 ) − F| < δ 2

(113)

Teoria BCS

ˆ

angstrons

´

Wkk0 = 0 para todos os outros casos

(114)

Teoria BCS

ˆ

angstrons

´

(115)

Teoria BCS

ˆ

angstrons

´

Wkk0 = 0 para todos os outros casos

(116)

Teoria BCS

ˆ

angstrons

´

(117)

Teoria BCS

Para simplificar os c´alculos com a hamiltoniana de intera¸c˜ao: f−kfk = hf−kfki + (f−kfk − hf−kfki)

f_k†f_−k† = hf_k†f_−k† i + (f_k†f_−k† − hf_k†f_−k† i)

ψk ≡ hf−kfki

Aproxima¸cão: desprezar termos quadráticos na flutua¸cão

HBCS−µ ˆN ≈X k [(~k)−µ]f_k†fk+ 1 2 X kk0 Wkk0(f† kf † −kψk0+ψ_k∗f_−k0f_k0−ψ_k∗ψ_k0)

(118)

Teoria BCS

ψk ≡ hf−kfki

(119)

Teoria BCS

ψk ≡ hf−kfki

(120)

Teoria BCS

Diagonaliza¸c˜ao: transforma¸c˜ao de Bogoliubov

fk = ukγk + vkγ † −k fk = ukγk + vkγ−k† com uk = u−k vk = −v−k u2_k + v_k2 = 1 {γ_k, γ_k†0} = δkk0 {γ_k, γk0} = {γ† k, γ † k0} = 0

(121)

Teoria BCS

HBCS−µN =X k [(~k)−µ](u2_k−v_k2)−2X k0 Wkk0ψ_k0u_kv_k ! γ_k†γk+ +X k [(~k) − µ]ukvk+ 1 2 X k0 Wkk0ψ_k0(u2_k− v_k2) ! (γ_k†γ_−k† + γ−kγk) Definindo [(~k) − µ]ukvk ≡ − 1 2 X k0 Wkk0ψ_k0(u2 k − vk2)

o termo n˜ao-diagonal ´e eliminado.

(122)

Teoria BCS

HBCS−µN =X k [(~k)−µ](u2_k−v_k2)−2X k0 Wkk0ψ_k0u_kv_k ! γ_k†γk+ +X k [(~k) − µ]ukvk+ 1 2 X k0 Wkk0ψ_k0(u2_k− v_k2) ! (γ_k†γ_−k† + γ−kγk) Definindo [(~k) − µ]ukvk ≡ − 1 2 X k0 Wkk0ψ_k0(u2 k − vk2)

(123)

Teoria BCS

Definindo ∆k = − X k0 Wkk0ψ_k0

Temos que resolver o sistema

[(~k) − µ]ukvk = ∆k(uk2− vk2) u_k2+ v_k2 = 1 Para facilitar, uk = cos φk vk = sin φk cos 2φk = uk2− vk2= ± (~k) − µ Ek sin 2φk = ukvk = ± ∆k Ek Ek = q [(~k) − µ]2_{+ ∆}2 k

(124)

Teoria BCS

(125)

Teoria BCS

(126)

Teoria BCS

cos 2φk = uk2− vk2= ± (~k) − µ Ek sin 2φk = ukvk = ± ∆k Ek Ek = q [(~k) − µ]2_{+ ∆}2 k Finalmente, ˜ H =X k Ekγ † kγk

(127)

Teoria BCS

cos 2φk = uk2− vk2= ± (~k) − µ Ek sin 2φk = ukvk = ± ∆k Ek Ek = q [(~k) − µ]2_{+ ∆}2 k Finalmente, ˜ H =X k Ekγ † kγk

Portanto o espectro das quase-part´ıculas possui um gap ∆k.

(128)

Teoria BCS

No estado fundamental: γk|0i = 0 ψk = hf−kfki = ∆k Ek ∆k = − 1 2 X k0 Wkk0∆ 0 k E_k0

(129)

Teoria BCS

Definindo ξk ≡ (~k) − µ, Wkk0 = −λ Vθ(}ωD − |ξk|)θ(}ωD − |ξ 0 k|) ∆k = λ 2V X k0 θ(}ωD − |ξk|)θ(}ωD− |ξk0|) ∆k0 Ek0

com uma solu¸c˜ao ∆k = ∆θ(}ωD − |ξk|),

1 = λ 2V X k θ(}ωD − |ξk|) q ∆2_{+ ξ}2 k

(130)

Teoria BCS

Usando o limite cont´ınuo: 1 V X k → Z d ξN(ξ) ≈ N(0) Z d ξ (}ωD F)

N → densidade de estados de part´ıcula ´unica dispon´ıvel para as part´ıculas do sistema. 1 = λN(0) 2 Z _}ωD −}ωD d ξq 1 ∆2_{+ ξ}2 k = = λN(0) ln " }ωD+p(}ωD)2+ ∆2 ∆ # ≈ λN(0) ln2}ωD ∆

(131)

Teoria BCS

∆ = 2}ωDexp − 1 λN(0) usando u_k2+ v_k2 = 1, u2_k = 1 2 " 1 +q ξk ∆2_{+ ξ}2 k # v_k2 = 1 2 " 1 −q ξk ∆2_{+ ξ}2 k #

hf_k†fki = vk2 → número de ocupa¸cão dos férmions originais no novo estado fundamental

Para ∆ = 0, v_k2= 1 2 " 1 − ξk |ξ_k| # = θ[(~k) − µ], o que ´e esperado para f´ermions livres.

(132)

Teoria BCS

hf_k†fki = v_k2 → Número de ocupa¸cão dos férmions originais no

novo estado undamental Para ∆ = 0, v_k2= 1 2 " 1− ξk |ξ_k| # = θ[(~k)−µ],

o que ´e esperado para f´ermions livres.