2ª Lista de Exercícios

EEN- 307 Hidrodinâmica Básica II

2ª LISTA DE EXERCÍCIOS

1) Demonstre que as linhas de corrente ψ(r,θ) em coordenadas polares das

equações abaixo são ortogonais às linhas equipotenciais φ(r,θ).

r r v r r v_r ∂ ∂ − = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ψ θ φ θ ψ φ θ 1 1

2) O escoamento permanente da figura tem os componentes de velocidades polares

vθ=Ωr e vr=0. Determine a circulação Γ sobre o caminho mostrado.

3) Usando coordenadas cartesianas, mostre que cada componente de velocidade (u,v,w) de um escoamento potencial satisfaz a equação de Laplace separadamente.

4) A função 1/r é um potencial de velocidade legítimo em coordenadas polares plana? Se for, qual será a função corrente ψ(r,θ) associada?

5) Considere o campo de velocidade bidimensional u=-By, v=Bx, onde B é uma constante. Se esse escoamento tiver uma função corrente, encontre a sua forma. Se tiver um potencial de velocidade, encontre-o também. Calcule a velocidade angular local do escoamento, se houver, e descreva o que esse escoamento pode representar.

6) Um escoamento incompressível tem potencial de velocidade φ=2Bxy, onde B é

uma constante. Determine a função corrente desse escoamento, esboce algumas linhas de corrente e interprete o padrão.

7) Considere o escoamento bidimensional u=-Ax, v=Ay, onde A é uma constante. Calcule a circulação Γ sobre a curva fechada retangular definida por (x,y)=(1,1), (4,1), (4,3) e (1,3). Interprete seu resultado, especialmente diante do potencial de velocidade.

8) Uma relação matemática às vezes usada em mecânica dos fluidos é o teorema de Stokes, onde A é qualquer superfície e C é a curva que envolve tal superfície. O vetor ds é o comprimento de arco diferencial ao longo de C e n é o vetor unitário exterior normal a A. Como essa relação se simplifica para o escoamento irrotacional e como a integral de linha resultante relaciona-se com o potencial de velocidade.

(

)

∫∫

∫

9) Encontre o vetor velocidade resultante induzido no ponto A da figura pela corrente uniforme, pelo vórtice e pela fonte bidimensionais.

10) Considere o escoamento fonte/vórtice simulando um tornado, como na figura. Admita que a circulação em torno do tornado seja Γ=8500 m2/s e que a pressão em r=40 m seja 2200 Pa abaixo da pressão do campo não-perturbado (distante). Considerando escoamento não-viscoso com massa específica ao nível do mar, avalie: (a) a intensidade adequada da fonte – m, (b) a pressão em r=15 m e (c) o ângulo β com o qual as linhas de corrente atravessam o circulo em r=40 m.

11) Um semicorpo de Rankine é formado como mostra a figura. Para a velocidade da corrente e as dimensões do corpo mostradas, calcule (a) a intensidade da fonte m em m2/s, (b) a distância a (c) a distância h e (d) a velocidade total no ponto A.

12) Quando um par fonte-sumidouro com m = 2 m2/s se combina com uma corrente uniforme, ele forma uma oval de Rankine cuja menor dimensão é 40 cm. Se a = 15 cm, quais a velocidade do escoamento livre e a velocidade no ombro? Qual é a maior dimensão?

13) Uma oval de Rankine de 2 m de comprimento e 1 m de altura é imersa em um escoamento com U∞= 10 m/s, como na figura. Avalie (a) a velocidade no ponto

A e (b) a localização do ponto B onde uma partícula que se aproxima do ponto

de estagnação atinge a sua máxima desaceleração.

14) Um cilindro é montado por fixação de dois canais semicilíndricos com pinos internos, como mostra a figura. Existem 10 pinos por metro de largura de cada lado, e a pressão interna é 50 kPa (manométrica). Aplicando a teoria potencial para a pressão externa, calcule a força de tensão em cada pino sabendo que o fluido externo é ar ao nível do mar.

15) Deseja-se simular o escoamento em torno de uma colina ou saliência bidimensional usando uma linha de corrente que passa acima do escoamento sobre um cilindro, como na figura. A saliência deve ter altura igual a a/2, onde a é o raio do cilindro. Qual é a elevação h dessa linha de corrente? Qual é a velocidade máxima sobre a saliência comparada com a velocidade do escoamento livre.

16) Vento a U∞ e p∞ escoa em torno de uma cabana Quonset, que é um semicilindro de raio a e comprimento L, conforme a figura. A pressão interna é pi. Aplicando a teoria não-viscosa, deduza uma expressão para a força para cima sobre a cabana devida à diferença entre pi e ps. Supondo que seja feito um orifício no teto da cabana no ponto A para fazer pi igual à pressão superficial nesse local. A que ângulo θ deve ser feito o orifício para que a força vertical sobre a cabana devida à diferença entre pi e ps se anule?

17) Um aerofólio bidimensional tem 2% de arqueamento e 10% de espessura. Se

C=1,75 m, avalie a sustentação por metro quando imerso em água a 20°C com α

= 6° e U = 18 m/s.

18) O avião ultraleve Gossamer Condor foi o primeiro a completar, em 1977, o percurso em forma de oito do Kremer Priza sob tração humana. A envergadura da asa era de 29 m, com corda média Cméd = 2,3 m e massa total de 95 kg. O coeficiente de arrasto era aproximadamente 0,05. O piloto era capaz de fornecer ¼ hp para propulsionar o avião. Avalie (a) a velocidade de cruzeiro atingida, (b) o coeficiente de sustentação e (c) a potência em hp necessária para se atingir uma velocidade de 7,65 m/s.

19) Uma asa de 2% de arqueamento, 127 mm de corda e 762 mm de envergadura é testada com certo ângulo de ataque em um túnel de vento com ar em condições padrões ao nível do mar a 61 m/s, medindo-se uma sustentação de 134 N e um arrasto de 6,7 N. Avalie pela teoria da asa (a) o ângulo de ataque, (b) o arrasto mínimo da asa e o ângulo de ataque no qual ele ocorre e (c) a máxima razão sustentação/arrasto.

20) Um avião tem massa de 20000kg e voa a 175 m/s a 5000 m de altura padrão. A asa retangular tem uma corda de 3 m e um aerofólio simétrico a 2,5° de ângulo de ataque. Avalie (a) a envergadura da asa, (b) a razão de aspecto e (c) o arrasto induzido.

21) Um barco fluvial com 400 kg de massa é suportado por um hidrofólio retangular com razão de aspecto 8, 2% de arqueamento e 12% de espessura. Se o barco navega a 8 m/s e α=3,5º, avalie (a) o comprimento da corda, (b) a potência requerida se CD∞=0,01 e (c) a velocidade máxima se o barco for reequipado com um motor que forneça 50 hp para a água.

22) Considere o ar escoando sobre um hemisfério assentado sobre uma superfície plana, como na figura. Se a pressão interna é pi, encontre uma expressão para a força de pressão sobre o hemisfério. Em que ponto A sobre o hemisfério deve-se perfurar um orifício de modo que a força de pressão seja zero segundo a teoria não-viscosa?

23) Uma esfera de 1 m de diâmetro está sendo rebocada à velocidade V em água doce a 20°C, como na figura. Admitindo a teoria não-viscosa, com uma superfície livre não-distorcida, avalie a velocidade V em m/s na qual a cavitação se inicia sobre a superfície da esfera. Onde a cavitação terá início? Para essa condição, qual será a pressão no ponto A sobre a esfera, a 45° acima da direção do deslocamento?

24) Considere um cilindro de raio a movendo-se à velocidade U∞ através de um fluido parado, como na figura. Plote as linhas de corrente da perturbação causada pelo deslocamento do cilindro. Obtenha a energia cinética e a massa hidrodinâmica de um cilindro.

25) O coeficiente de arrasto de um cilindro elíptico 4:1, para escoamento laminar na camada-limite, é 0,35. A massa hidrodinâmica desse cilindro é πρhb/4, onde b é

a largura para dentro do papel e h é a espessura máxima. Use esses resultados para deduzir uma fórmula para a história temporal U(t) do cilindro se ele for acelerado desde o repouso, através de um fluido parado, pela aplicação súbita de uma força constante F.

Viscosidade e massa específica da água a 1 atm

Viscosidade e massa específica do ar a 1 atm

Propriedades de gases comuns a 20ºC e 1 atm