Eletromagnetismo e Ótica (MEAer/LEAN) Circuitos Corrente Variável, Equações de Maxwell

Eletromagnetismo e Ótica (MEAer/LEAN)

Circuitos Corrente Variável, Equações de Maxwell

11ª Semana

Probl. 1) (Revisão) Mostre que a pressão (força por unidade de área) na superfície entre dois meios de permeabilidades diferentes μ1 e μ2 depende da direção de B e H nos dois meios analisando separadamente os casos em que, assumindo μ2> μ1,

a) os campos são perpendiculares à superfície de separação entre os dois meios,

b) os campos são paralelos à superfície de separação entre os dois meios. Respostas:

R. 1-a) ⊥=1₂μ_μ2-μ1 1μ2 B⊥

2 _{no sentido do meio de menor permeabilidade.}

R. 1-b) ∥=1₂(μ2- μ1) H∥2 no sentido do meio de menor permeabilidade.

Probl. 2) (Revisão) Uma fita condutora de condutividade σc e espessura b desloca-se com velocidade uniforme v entre os

pólos circulares de um magnete permanente. Os pólos têm raio a muito pequeno comparado com a largura da fita. Assumindo que o campo magnético B é aproximadamente constante entre os pólos e que a densidade de corrente induzida aí é Jc=1₂σ v× B, determine a força que actua sobre a fita.

Respostas:

R. 2-a) F = -1

2π a2b σ B2v

Probl. 3) Um circuito RLC em série com R = 50 Ω, L = 150 mH e C = 100 μF está ligado a uma tensão V (t) = Vosin (ω t),

onde Vo= 50 V e ω = 300 rad s-1.

R

V(t) L

C

Circuito RLC em série

a) Escreva as equações do circuito.

b) Determine as reactâncias indutivas e capacitativas XL e XC e a impedância Z do circuito.

c) Determine a amplitude máxima da corrente I (t) no circuito assumindo que já não existem transientes.

d) Qual é o desfasamento ϕ entre a corrente e a tensão?

e) Calcule a amplitude máxima das quedas de potencial através de cada elemento do circuito.

f) Calcule a diferença de potencial máxima através do par LC.

g) Determine a frequência de resonância ωr do circuito.

h) Determine a amplitude da corrente e da tensão através da indutância na resonância.

i) Determine a potência instantânea  (t) e a potência média 〈〉 fornecida pela fonte de tensão. Respostas R. 3-a) LⅆIc ⅆt + R Ic+ Q C= Voⅇⅈ ω t⟺ L ⅆ2Ic ⅆt2 + R ⅆIc ⅆt + 1 CIc= ⅈ ω Voⅇⅈ ω t

I (t) = Im (Ic(t)) = Vo Z sin (ω t - ϕ) R. 3-b) XL= ω L = 45 (Ω) ; XC=_{ω C}1 = 33.33 (Ω) Z = R + ⅈ (XL- XC) ; Z = R2+ ω L - _{ω C}1  2 = 51.34 (Ω) R. 3-c) Io=Vo Z = 0.974 (A) R. 3-d) ϕ = tan-1XL-X_R C = 0.23 R. 3-e) VRmax = IoR = 48.7 (V) VLmax = IoXL= 43.8 (V ) VCmax = IoXC= 32.5 (V ) R. 3-f) VLC= Io(XL- XC) = 11.3 (V ) R. 3-g) ωr= 1 LC = 258.2 rad s -1_ R. 3-h) (Io)r= 1.0 (A) (V_Lmax )r= 38.7 (V ) R. 3-i)  (t) = I (t) V (t) = Vo2

Z sin (ω t - ϕ) sin (ω t) ; cos(ϕ) =

R Z ; 〈〉 = 1 2 Vo2 Zcos(ϕ) (t) = 48.7 sin (300 t) sin (300 t - ϕ) ; ϕ = 0.23 ; 〈〉 = 23.7 (W)

Note que 〈sin (ω t - ϕ) sin (ω t)〉 = cos (ϕ) sin2(ω t) -1₂sin (ϕ) sin (2 ω t) = 1₂cos(ϕ) Probl. 4) No circuito RLC em paralelo representado na figura a tensão é V (t) = Vosin (ω t).

V(t) R L C

Circuito RLC em paralelo

a) Determine as correntes IR(t), IL(t) e IC(t) através da resistência, indutância e capacidade, respectivamente.

b) Determine a corrente total I (t) no circuito e a sua amplitude.

c) Determine o desfasamento ϕ entre a corrente total e a tensão V (t).

d) Escreva a expressão para potência instantânea  (t) e para a potência média 〈〉 fornecida pela fonte de tensão. Respostas: R. 4-a) IR(t) =V (t) R = Vo R sin (ω t) R. 4-b) VL(t) = V (t) = L ⅆ IL(t) ⅆ t ⇒ IL(t) = Vo XL sin ω t -π 2 VC(t) = V (t) = Q (t) C ⇒ IC(t) = ⅆ Q (t) ⅆ t = Vo XC sin ω t +π 2 I (t) = I_R(t) + I_L(t) + I_C(t) Io= I_oR2 + I_oC2 - I_oL2  = Vo 1 R2 + 1 XC - 1 XL 2 =Vo Z R. 4-c) ϕ = tan-1 ICo- ILo I_Ro = tan -1 _R 1 X_L -1 X_C ; cos(ϕ) = R Z

R. 4-d) 〈〉 = 〈IR(t) V (t)〉 =Vo 2 R sin (ω t) 2_{ =} Vo2 2 R = Z Vrms 2 _cos(ϕ)

Probl. 5) Determine as correntes através de cada resistência no circuito da figura nas seguintes condições:

L _R 3 R2 V _R 1

A

a) No instante em que o interruptor A é fechado.

b) Muito depois de fechar o interruptor.

c) Imediatamente após abrir o interruptor quando o circuito já se encontrava em regime estacionário.

d) Muito depois de abrir o interruptor.

e) Escreva as equações do circuito quando o interruptor está fechado. Respostas: R. 5-a) I1=I2=_R V 1+R2 R. 5-b) I1=_R V 1+Req ; I2= V Req R₂(R1+Req) ; I3= V Req R₃(R1+Req) onde Req= R2R3 R₂+R3 R. 5-c) I1= 0 ; I2=_R V Req 3(R1+Req)= -I3 R. 5-d) I1=I2=I3= 0 R. 5-e) I1=I2+I3 V - LⅆI3 ⅆt = R1I1+ R3I3 V = R1I1+ R2I2 ⟹ I1[t] =V+I3[t] R2 R₁+R2 I2[t] =V-I3[t] R1 R₁+R2 I3[t] = 1-ⅇ -t τ V R_eq R₃(R1+Req) onde τ =_RL (R1+R2) Req 2R3(R1+Req)

Probl. 6) No circuito seguinte o interruptor que fecha o circuito em A há muito tempo é súbitamentente aberto e faz contacto com B.

R

V C L

A B

a) Escreva as equações do circuito LC e determine a sua frequência de oscilação.

b) Qual é a carga máxima que aparece no condensador?

c) Qual a corrente máxima na indutância?

d) Qual é a energia armazenada no circuito em qualquer instante? Respostas: R. 6-a) LⅆI ⅆt = -Q C ⟹ ⅆ2I ⅆt2 = -1 L CI = -ωo 2_{I com ω} o 2₌ 1 L C, donde f = ωo 2 π= 1 2 π L C R. 6-b) Qmax = C V

R. 6-c) A solução da equação do circuito dá (a parte real de) I (t) = Imax ⅇⅈ ωo t-π

2, pelo que a tensão máxima

na indutância é V = L ⅆI

ⅆt = L ωoImax . Assim Imax =

V L ωo= V

C L

R. 6-d) A energia inicial está toda no condensador, e não havendo dissipação a energia total armazenada em cada instante no condensador e na indutância é constante, Uem =1₂C V2=1₂L Imax2 .

Probl. 7) No circuito representado na figura a fonte de tensão aplicada fornece uma onda quadrada como indicado na figura. O regime livre do circuito extinge-se num tempo muito inferior a T₂. Determine a tensão à saída dos terminais da resistência R2 em função do tempo.

R₁ L V(t) R₂ -T -T 2 T 2 T t ⟶ -VM 0 VM V(t) ⟶ Resposta

R. 7-a) A equação do circuito é V (t) - LⅆI (t) ⅆ t = (R1+ R2) I (t) ⟹ L ⅆI (t) ⅆ t = -(R1+ R2) I (t) ± VM ⅆI (t) ⅆ t = -R1+ R2 L I (t) ∓ VM R1+ R2 ⟹ I (t) ∓ VM R1+ R2= A ⅇ -R1+R_L 2t-nT₂

As condições iniciais em cada intervalo em que V (t) = ±VM são dadas por I nT₂  = ∓_RVM

1+R2, pelo que A = ∓2 VM R1+R2 donde I (t) = ± VM R1+ R2 1 - 2 ⅇ -R1+R_L 2t-nT₂

A tensão de saída é proporcional a I (t), com n = 2 t_T .

Vs(t) = R2I (t) = ± R2VM R1+ R2 1 - 2 ⅇ -R1+R2 L t-nT 2 -4 -2 0 2 4 -VM 0 VM -VM R 0 VM R V (t ) I( t)

Probl. 8) Considere o circuito elétrico representado na figura.

a) Escreva a equação diferencial para a corrente I (t) que atravessa a indutância L.

C R L

ℰ(t) Vs(t)

Probl. 9) Determine o comportamento da tensão de saída Vs(t) em função da frequência ω da fonte ℰ para as seguintes configurações de componentes. L ℰ C Vs(t) C ℰ L Vs(t) a) b) L C ℰ R Vs(t) R ℰ L C Vs(t) c) d) R ℰ L C Vs(t) L C ℰ L C Vs(t) e) f ) Respostas: R. 9-a) Passa-Baixas

A análise qualitativa destes circuitos assenta no reconhecimento que, para baixas frequências ω → 0, a reactância

indutiva XL= ω L → 0, ou seja o segmento indutivo comporta-se como um curto-circuito (não há queda de tensão).

Por outro lado a reactãncia capacitativa XC=_{ω C}1 → ∞, ou seja o segmento capacitativo comporta-se como um circuito aberto (não passa corrente). No limite inverso, para altas frequências ω → ∞, é o segmento indutivo que se

comporta como um circuito aberto e o capacitativo que se comporta como um curto-circuito.

Assim, no circuito a) a tensão à saída Vs(t) é proporcional à queda de tensão no condensador, e para baixas frequências Vs(t) ≈ ℰ (t), já que na indutância a queda de tensão tende a ser pequena, enquanto para altas frequências não há práticamente tensão à saída Vs(t) ≈ 0 porque esta cai principalmente na indutância. O circuito deixa assim passar preferencialmente sem grande atenuação as componentes de baixas frequências dos sinais de tensão ℰ (t) à entrada e filtra as componentes de alta frequência desse sinal. Para uma fonte de tensão com

resistência interna Ri R. 9-b) Passa-Altas R. 9-c) Passa-Banda

R. 9-d) Rejeita-Banda R. 9-e) Passa-Banda

R. 9-f) Passa-Banda

Probl. 10) Uma tensão V = Vosin (ω t) é aplicada no centro das armaduras de um condensador de placas paralelas de raio R e separação d ≪ R. Determine em função da distância r ao eixo do condensador:

a) A densidade de corrente de deslocamento Jd.

b) A intensidade de campo magnético H. Respostas: R. 10-a) Jd= εo ∂E ∂t = εo ω Vo d cos(ω t) ez R. 10-b) H = εoω r Vo 2 dcos(ω t) eθ H = εoω r Vo 2 dcos(ω t) eθ

Probl. 11) Num fio de 2 m de comprimento e secção circular com 1 mm de raio passam 5 A. O fio é homogéneo com resistividade eléctrica ρe= 2 π × 10-7Ω m .

a) Calcule o campo magnético B à superfície do fio (sug.: use a Lei de Ampére).

b) Calcule a resistência do fio.

c) Calcule a densidade de corrente e o campo eléctrico E no condutor junto à superfície do fio.

d) Calcule o vector de Poynting S junto ao fio.

e) Calcule, usando o resultado anterior, a energia de radiação trocada entre o fio e o exterior por unidade de tempo. Para onde vai essa energia?

f) Calcule a potência dissipada no fio por efeito de Joule (calor de Joule). Respostas: R. 11-a) B = 10-3eθ (T) R. 11-b) R = 0.4 (Ω) R. 11-c) E = 1 ez_mV  R. 11-d) S = -795.8 er  W m 2 R. 11-e) P = 10 (W) R. 11-f) Pd= 10 (W)

Probl. 12) Um condutor cilíndrico oco, muito comprido, com condutividade elétrica σe e raios interior R1 e exterior R2, transporta uma corrente I uniformemente distribuída em qualquer secção tranversal. Assumindo que a sua permeabilidade magnética é μo: R2 R1 σe εo I ⊙ ez ⊙ μo

a) Determine os campos E e B no interior do condutor.

b) Qual é a potência dissipada por unidade de comprimento neste condutor?

c) Determine o vetor de Poynting S à superfície do condutor (interior e exterior).

Probl. 13) Assuma agora que no problema anterior a corrente I (t) = Iocos(ω t) ainda segundo o eixo ez.

a) Desprezando a corrente de deslocamento, determine o campo magnético no interior e exterior do condutor.

b) Determine a densidade de corrente de deslocamento Jd no interior e exterior do condutor em função de I (t).

Resposta:

R. 13-a) Assumindo que a corrente de deslocamento é desprezável comparada com a corrente de condução podemos usar a Lei de Ampére aproximada para circulos de raio r coaxiais com o cilindro

 Γ H ·ⅆr ≃ Iint (r) ⟹ Hθ(r, t) ≃ Iint (r, t) 2 π r = 0 (0 ≤ r ≤ R1) Ior2-R₁2 2 π r R₂2_-R 1 2_cos (ω t) (R1≤ r ≤ R2) Io 2 π rcos (ω t) (R2≤ r ≤ ∞)

A partir de B = μ H ou B = μoH obtém-se o campo magnético em todas as regiões. R. 13-b) Para o cálculo da corrente de deslocamento é necessário utilizar a Lei de Faraday

∇ × E = -∂ B ∂ t = +

μω Iint (r)

2 π r sin (ω t) eθ

onde Iint(r) apenas depende de r, e μ é igual a μ dentro do cilindro e μo fora dele. Uma vez que E não deve depender de z devido à simetria de translação na direção ez, nem as suas componentes devem depender de θ

devido à simetria azimutal em torno do eixo ez, obtemos em coordenadas cilíndricas

∇ × E =1 r ∂ Ez ∂ θ -∂ (rEθ) ∂ z er+ ∂ Er ∂ z -∂ Ez ∂ r eθ+ 1 r ∂ (rEθ) ∂ r -∂ Er ∂ θ ez= -∂ Ez ∂ r eθ+ 1 r ∂ (rEθ) ∂ r ez ou seja -∂ Ez ∂ r = μω Iint (r) 2 π r sin (ω t) ; 1 r ∂ (rEθ) ∂ r = 0 ⟹ Eθ(r) = k r

Contudo, nesta última equação podemos ver que Eθ(r) = 0 (ou k = 0) porque, para um círculo horizontal de raio r

coaxial com ez,

  S∇ × E · ⅆ S = ∂S E·ⅆr = Eθ(r, t) 2 π r = 0 = -   ∂ B ∂ t · ⅆ S ⟹ Eθ(r, t) = 0

Assim resta integrar, tendo em conta que Ez deve ser contínua nas superfícies de transição,

ⅆ Ez(r) ⅆ r = -μ  ω sin (ω t) 2 π Iint (r) r ⟹ Ez(r, t) = 0 (0 ≤ r ≤ R1) Ez(r, t) =μ ω Josin (ω t) 2  r2_-R 1 2 2 - R1 2_{log } r R1 (R1≤ r ≤ R2) Ez(r, t) = Ez(R2, t) +μoω Jo₂sin (ω t)R22- R12 log _Rr 1 (R2≤ r ≤ ∞)

Como D = εoE obtemos, tendo em conta que εoμo= c-2,

Jd=∂ D ∂ t = εo ∂ Ez ∂ t ez⟹ Jdz(r, t) = 0 (0 ≤ r ≤ R1) Jdz(r, t) = μr ω 2 2 c2Josin (ω t)  r2_-R 1 2 2 - R12log  r R₁ (R1≤ r ≤ R2) Jdz(r, t) = Jdz(R2) + ω 2 2 c2Josin (ω t) R22- R12 log  r R₁ (R2≤ r ≤ ∞) Note-se que Jo= Io

π R₂2-R₁2 no interior do tubo, pelo que Jdo= ω2

c2 α (r) Jo≪ Jo se ω2α (r) ≪ c2.

Probl. 14) Um solenóide ideal de raio R e n espiras por unidade de comprimento, com eixo segundo ez, é percorrido por

uma corrente variável de intensidade I (t). Determine o campo elétrico induzido no interior e exterior do solenóide e mostre que verifica a equação de Maxwell ∇ ×E = -∂B

∂t. (NB: Em coordenadas cilíndricas ∇ ×E =1_r

er r eθ ez ∂ ∂r ∂ ∂θ ∂ ∂z Er r Eθ Ez )