Introdução à linguagem Prolog

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Introdu¸c˜

ao `

_{a linguagem Prolog}

L´

ogica Computacional – 2

o

ano LCC

2011/2012

1 Preˆ

ambulo

Ao longo do semestre iremos na disciplina de Lógica Computacional fazer uso da linguagem Prolog. O interpretador adoptado será o SWI-Prolog que está dispon´ıvel para para a generalidade das plataformas (MS-Windows, Linux, macOSX). Alguns apontadores úteis:

• P´_{agina web do SWI-Prolog: http://www.swi-prolog.org/}

• Manual do SWI-Prolog: http://www.swi-prolog.org/pldoc/refman/

Ao longo desta ficha s˜_{ao apresentados os conceitos elementares da linguagem Prolog.} São também apresentados alguns exerc´ıcios que se recomenda que realizem e testem com o aux´ılio do interpretador (na aula prática teremos oportunidade de voltar a alguns deles).

2 Apresenta¸

c˜

ao da linguagem Prolog

2.1 Conceitos Preliminares

Termos. _{O Prolog é uma linguagem simbólica que manipula termos que podem ser:} • Variáveis – denotadas por identificadores come¸cados por letras maiúsculas (e.g. X,

Y, Xs, ...);

• Constantes – átomos (identificadores come¸cados por letras minúsculas) ou valores de tipos pré-definidos como inteiros, reais, strings, etc. (e.g. abc, xyz, 32, 3.1415); • Termos Compostos – termos da forma f(t1,...,tn) onde f é designado por functor

(nome da fun¸c˜ao) e t1...tn s˜ao termos (e.g. xyz(X,abc), abc(abc(abc,abc)), +(4,2))

Obs.: como iremos ver adiante, o Prolog permite a declara¸cão de operadores infixos. Assim irá permitir escrever 4 + 2 como alternativa ao termo +(4,2) (o mesmo se aplica a outros operadores infixos que serão apresentados adiante).

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Substitui¸cões e Unifica¸cão. O que caracteriza as variáveis é o facto de elas poderem vir a ser substituidas por outros termos. Considere-se o termo t(X,Y): se substituirmos X por abc(A,3) e Y por Z obtemos o termos t(abc(A,3),Z).

Uma opera¸cão fundamental no modelo de execu¸c˜_{ao do Prolog é o que se designa por} Unifica¸cão de dois termos. A ideia consiste em encontrar uma substitui¸cão que iguale (se poss´ıvel) os termos dados. Vejamos alguns exemplos:

1. X=4, Y=3 é um unificador dos termos abc(3,X) e abc(Y,4); 2. X=4, Y=4 é um unificador dos termos abc(X,X) e abc(Y,4); 3. os termos abc(3,4) e abc(X,X) não dispõe de unificador. 4. X=g(Z), Y=y é um unificador dos termos f(X,y) e f(g(Z), Y). 5. X=g(a), Y=y, Z=a é um unificador dos termos f(X,y) e f(g(Z), Y).

Uma caracter´ıstica partilhada pelos unificadores apresentados nos números (1), (2) e (4) é que se tratam dos unificadores mais gerais (qualquer outra substitui¸cão que unifique os termos pode ser expressa como um refinamento da substitui¸cão dada). Já no caso do unificador apresentado em (5) essa propriedade não se verifica: facilmente se verifica que a substitui¸cão pode ser obtida quando aplicamos a substitui¸cão [Z=a] ao unificador apresentado em (4). Adiante iremos ter oportunidade de aprofundar estes aspectos mais teóricos... Para j´_{a interessa reter que oProlog, quando unificar dois termos, determina} sempre o unificador mais geral (i.e. a substitui¸cão mais simples que iguala os termos). Exerc´ıcio 1 Determine o unificador mais geral para os seguintes pares de termos (se existir... naturalmente): 1. f (X, g(Y )) e g(X, f (Y )) 2. f (X, g(Y )) e Z 3. f (X, g(y)) e f (g(y), X) 4. f (X) e X 5. f (X) e f (3 + 2) 6. f (3) e f (2 + 1) 7. f (3) e A(X)

2.2 Programas em Prolog

Executar um programa em Prolog consiste em interrogar o interpretador sobre a validade de um dado predicado lógico. A resposta mais simples será então true ou fail (se o predicado for válido ou não, respectivamente).

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Objectivo (Goal). _{Quando se invoca o SWI-Prolog, surge o prompt ?- que assinala} que o interpretador aguarda a introdu¸c˜ao de um objectivo (tamb´em designado por query, ou goal ).

Calvin:~ jba$ /opt/local/bin/swipl

SWI-Prolog comes with ABSOLUTELY NO WARRANTY. This is free software, and you are welcome to redistribute it under certain conditions. Please visit http://www.swi-prolog.org for details.

For help, use ?- help(Topic). or ?- apropos(Word).

?-Como referimos, o objectivo será um predicado lógico. Iremos ter oportunidade de definir novos predicados mas, para já, concentremo-nos na utiliza¸cão do predicado pr´ e-definido =/2 (o /2 significa que o predicado espera dois argumentos). Este predicado será válido precisamente quando os termos que forem passados como argumentos unificarem. Assim podemos introduzir:

?- =(3,3). true. ?- 3=3. true. ?- 3=2. fail. ?- 3=X. X = 3. ?- 3+2=X. X = 3+2. ?- 3 + X = Y * 2. fail.

?-Os exemplos apresentados revelam-nos duas coisas: (1) podemos utilizar a nota¸cão infixa e, (2) quando no objectivo estão envolvidas vari´_{aveis o Prolog retorna uma} subs-titui¸cão dessas variáveis que verifiquem o predicado (ou falha, se não existir nenhuma substitui¸cão nessas condi¸cões) — podemos então dizer que, intuitivamente, as variáveis dos objectivos estão quantificadas existencialmente.

Exerc´ıcio 2 Interrogue o interpretador de Prolog por forma a ele retornar os unifica-dores mais gerais atr´as solicitados.

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2.3 Base de Conhecimento

Referimos que executar um programa em Prolog consiste em interrogar o interpreta-dor relativamente a um objectivo. Mas, em que ´_{e que consiste um programa Prolog?.} Um programa em Prolog ser´a a base de conhecimento que o interpretador utiliza para determinar a validade do objectivo pedido. Essa base de conhecimento ser´a consitu´ıda por:

• Factos: que estabelecem a validade imediata (de instˆancias) de predicados; • Regras: que condicionam a validade de predicados `a validade de sub-objectivos.

Factos. Comecemos pelos primeiros. Como exemplos de factos podemos ter:

pai(joao,manuel). pai(cristina, jose). pai(joaquim,manuel). pai(francisco,joao). pai(helena,joao)

Com base nestes factos, diriamos que pai(joaquim,manuel) é válido mas pai(joaquim,jose) já não o ´_{e (porque nada estabelece a sua validade). Para verificar isso com o Prolog,} necessitamos de carregar a base de conhecimento no interpretador. Para tal devemos:

1. gravar um ficheiro com os factos apresentados (normalmente d´a-se a extens˜ao ”.pl”aos ficheiros Prolog, e.g. ”pai.pl”);

2. carregar o ficheiro no interpretador por interm´edio do predicado pr´e-definido consult (e.g. ”consult(pai.pl)”).

Exerc´ıcio 3 Verifique a validade de alguns objectivos com a base de conhecimento apre-sentada. O que acontece quando se inclui vari´aveis?

Por vezes, o interpretador retorna uma substitui¸cão de resultado sem voltar ao prompt inicial. Isso assinala que a solu¸cão apresentada é uma de várias poss´ıveis, podendo o utilizador:

• digitar . (ponto) e retornar ao prompt inicial;

• digitar ; (ponto e v´ırgula) para solicitar outra solu¸c˜ao.

Exerc´ıcio 4 Introduza um predicado na base de conhecimento que permita determinar todos os filhos de ”manuel”. O que aconteceria se incluisse na base de conhecimento o facto pai(X,carlos)? Experimente... (verifique o impacto de o incluir no in´ıcio e no fim da base de conhecimento).

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O exerc´ıcio anterior permite concluir que, nos factos, devemos entender as vari´aveis que ocorrem nos factos como quantificadas universalmente.

Se as quest˜_{oes colocadas ao interpretador de Prolog são predicados lógicos, é natural} perguntarmo-nos como construir predicados à custa de conectivas lógicas (como “e”, “ou”, etc.). O Prolog tem definido os operadores:

conjun¸c˜ao: denotado por uma v´ırgula (,) disjun¸c˜ao: denotado por um ponto e v´ırgula (;)

(As restantes conectivas l´ogicas proposicionais ser˜ao introduzidas mais tarde.)

A t´ıtulo de exemplo, poder´ıamos interrogar o Prolog com o seguinte goal composto: ?- pai(X,manuel), pai(X,manuel).

X = joao ; X = joana.

?-Regras. _{A expressividade do Prolog resulta do facto de permitir incluir, na base de} conhecimento, regras que condicionam a validade de um predicado (colocado no lado es-querdo do operador :-, e designado por cabe¸ca da regra) `a validade de um conjunto de outros predicados (designados por corpo da regra). A t´ıtulo de exemplo, temos que a regra: avo(X,Y) :- pai(X,Z), pai(Z,Y).

Esta regra diz-nos que o predicado avo(X,Y) será válido quando for válido pai(X,Z) e simultaneamente for também válido pai(Z,Y) (para quaisquer instâncias de X, Y, Z). Quando acrescentada `_{a base de conhecimento apresentada acima, permite que o} Pro-log responda afirmativamente ao predicado avo(francisco,manuel) — o interpretador de Prolog será capaz de encontrar instâncias que verificam o corpo da regra (no caso, pai(francisco,joao) e pai(joao,manuel)).

Note que nas regras, as variáveis que ocorrem na cabe¸ca da regra devem ser entendidas como quantificadas universalmente (como nos factos). Já as que só ocorrem no corpo da regra devem ser entendidas como quantificadas existencialmente (como nos objectivos). Exerc´ıcio 5 Estenda a base de conhecimento para exprimir outros graus de parentesco, como ”irmão”, ”tio”, etc.

3 Manipula¸

c˜

ao de listas

Um exemplo de um tipo estruturado muito utilizado em Prolog são as listas. A sintaxe pré-definida das listas é [] para denotar a lista vazia e [H|T] que denotar a lista com cabe¸ca H e cauda T.

Como um exemplo de um predicado envolvendo listas, considere-se o predicado que verifique se um dado elemento ´e a cabe¸ca de uma lista:

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head(X,[X|_]).

Claro está que, tratando-se as listas de um tipo recursivo, a defini¸cão de predicados “in-teressantes” sobre listas passa por se definirem predicados recursivos. A t´ıtulo de exemplo, vamos considerar a defini¸cão do predicado member/2 que verifique se um dado elemento pertence a uma lista.

member(X,[X|_]).

member(X,[_|T]) :- member(X,T).

Este predicado foi definido de forma análoga à fun¸cão recursiva elem do Haskell: um elemento pertence a uma lista se for a cabe¸ca dessa lista, ou se pertencer à cauda. Um exemplo da utiliza¸cão deste predicado seria:

?- member(2,[1,2,3]). true .

?- member(4,[1,2,3]). fail.

Mas em Prolog podemos também utiliza-lo com variáveis não instanciadas com o objectivo de determinar quais os elementos de uma lista:

?- member(X,[1,2,3]). X = 1 ;

X = 2 ; X = 3 ; fail.

Ou até para determinar solu¸cões a questões mais complicadas, como quais os elementos pares de uma lista:

?- member(X,[3,5,4,6,5,7]), X mod 2 =:= 0. X = 4 ;

X = 6 ; fail.

Exerc´ıcio 6

1. Defina o predicado concat/3 que verifique quando uma lista ´e a concatena¸c˜ao de outras duas. Verifique o resultado quando o invoca com diferentes listas instanciadas.

4 Opera¸

c˜

oes aritm´

eticas

J´_{a vimos que o Prolog aceita termos que representem expressões matemáticas, como} 3+4*2. Mas quando manipulamos esses termos estamos normalmente interessados em avaliar essas express˜_{oes (i.e. calcular o seu resultado). O Prolog disponibiliza para o} efeito o predicado is que avalia o segundo argumento e unifica o resultado com o primeiro. Alguns exemplos (onde se utiliza a nota¸cão infixa para o predicado):

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?- X is 3+2. X = 5. ?- 3+2 is 2+3. fail. ?- 5 is 3+2. true. ?- 5 is X+2.

ERROR: is/2: Arguments are not sufficiently instantiated

Um aspecto importante na utiliza¸cão do predicado is é a assimetria induzida: o se-gundo argumento deve ser sempre uma expressão completamente instanciada. Assim, se definirmos o predicado:

soma(X,Y,Z) :- X is Y + Z.

devemos considerar o segundo e o terceiro argumentos como ”argumentos de entrada”, que necessitam estar devidamente instanciados. Uma forma compacta de se exprimir esse facto (normalmente utilizada na documenta¸cão) é através da assinatura soma(-X,+Y,+Z) — assim identifica-se o argumento Y e Z como de entrada e X como de sa´ıda. Esta mesma conven¸cão ´_{e utilizada no manual do SWI-Prolog, como se pode confirmar invocando o} predicato apropos(is) (ou, alternativamente, help(is)).

Exerc´ıcio 7

1. Defina o predicado fact(-R,+X) que suceda quando R for o factorial de X.

2. Uma forma alternativa de lidar com números naturais consiste em considerar termos zero, suc(zero), suc(suc(zero)), etc. (i.e. utilizar nota¸cão unária para os naturais). Defina o predicado nat2int/2 que sucede quando o primeiro argumento é a representa¸cão unária do segundo.

3. No predicado definido na al´ınea anterior, verifique: que argumentos tem de ser utili-zados como entrada e como sa´ıda?; o que acontece quando solicita ao interpretador v´arias respostas?

4. Verifique, com o aux´ılio do mecanismo de help do SWI-Prolog (ou da documenta¸c˜ao on-line, se preferir) qual a funcionalidade oferecida pelos operadores: =:=, =\=, <, =<, ==, @<

5 Inferˆ

encia do Prolog

Um objectivo em Prolog consiste numa lista de predicados. O resultado da ”execu¸cão”desse objectivo no interpretador consiste numa substitui¸cão que verifique esses predicados. O processo constru¸cão da substitui¸cão é normalmente designado por inferência, e pode ser justificado construindo uma árvore como se descreve:

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Na raiz da árvore, coloca-se a lista de predicados. _{O Prolog irá processar cada} predicado dessa lista por ordem. Para cada predicado, o Prolog irá procurar encontrar na base de conhecimento uma instância dum facto ou duma regra cuja cabe¸ca unifique com esse predicado. Esta procura processa-se também pela ordem pela qual as defini¸cões ocorrem na base de conhecimento. Quando é encontrada uma regra nas condi¸cões referidas, cria-se um descendente na árvore contendo a lista já afectada pela substitui¸cão resultante da unifica¸cão (relembre que o resultada na unifica¸cão é uma substitui¸cão das variáveis) e onde o predicado em análise é substitu´ıdo pelo lado direito da regra (ou simplesmente desaparece, no caso dos factos). E habitual anotarmos os arcos da ´´ arvore com as substitui¸cões resultantes das unifica¸cões. Quando existe mais do que uma possibilidade para a referida unifica¸cão (e.g. várias regras são aplicáveis), traduz-se por uma ramifica¸cão da árvore de inferência. Operacionalmente, o Prolog trata esta ramifica¸cão pelo mecanismo de backtracking (travessia depth-first da árvore). Quando a lista de predicados fica vazia, cria-se uma folha na árvore denotada como true — representa um resultado apresentado ao utilizador (a substitui¸cão calculada ao longo do caminho). Quando não existe qualquer regra na base de conhecimento que unifique com o primeiro predicado da lista, cria-se uma folha denotada por fail. A árvore de deriva¸cão para o objectivo ”member(X,[1,2]), X mod 2 =:= 0 ”será: member(X,[1,2]), X mod 2 =:= 0 1 mod 2 =:= 0 fail X = 1 member(X,[2]), X mod 2 =:= 0 2 mod 2==0 yes (X = 2) X = 2 member(X,[]), X mod 2 =:= 0 fail

Exerc´ıcio 8 Considere o predicato fact/2 definido no exerc´ıcio 7. 1. Apresente a ´arvore de inferˆencia para o objectivo fact(R,2).

Exerc´ıcio 9 Considere a seguinte defini¸c˜ao para o predicado nat2int/2 (c.f. exerc´ıcio 7).

nat2int(zero,0).

nat2int(suc(X),N) :- nat2int(X,N2), N is N2+1.

1. Apresente a árvore de inferência para o objectivo nat2int(suc(suc(zero)),X). 2. Apresente a árvore de inferência para o objectivo nat2int(X,2).

3. Comente os resultados obtidos. Consegue propor alguma forma de ultrapassar os problemas detectados?