SIMULAÇÃO DE MOAGEM IMPLEMENTADA A PARTIR DO MODELO DE AUSTIN

ENGENHARIA MINERAL

SIMULAÇÃO DE MOAGEM IMPLEMENTADA A

PARTIR DO MODELO DE AUSTIN

AUTOR: ANDRÉ CARLOS SILVA

ORIENTADOR: PROF. DR. JOSÉ AURÉLIO MEDEIROS DA LUZ

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mineral da Escola de Minas da Universidade Federal de Ouro Preto, como parte integrante dos requisitos para a obtenção do título de Mestre em Engenharia Mineral, área de concentração: Tratamento de Minérios.

Catalogação SISBIN/UFOP

Silva, André Carlos.

S586s Simulação de moagem implementada a partir do modelo de Austin. /André Carlos Silva. -- Ouro Preto : UFOP, 2003.

xv, 198p. : il.

Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal de Ouro Preto. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mineral.

1. Cominuição – Moagem. 2. Simulação – Modelamento. 3. Moinhos tubulares. 4. Modelo de Austin. I. Universidade Federal de Ouro Preto. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mineral. II. Título.

Ao meu orientador, professor e amigo José Aurélio Medeiros da Luz, pelo companheirismo, paciência e principalmente pela competência na orientação deste trabalho.

Aos professores e funcionários do Departamento de Engenharia de Minas e do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mineral da UFOP, pela atenção e dedicação com que atenderam às questões e serviços necessários ao trabalho.

À minha esposa Elenice, pela pessoa incrivelmente maravilhosa que ela é, pois não existem palavras suficientes para agradecer tudo que fez por mim durante este trabalho e ao meu filho Luís Felipe, que sempre entendeu quando o papai “precisava trabalhar”. Aos demais membros da minha família e amigos, pela compreensão e pelo incentivo de sempre lutar pelos meus sonhos.

Dentro do contexto do tratamento de minérios, a etapa de cominuição (britagem e moagem) é quase sempre requerida, seja objetivando a liberação das partículas minerais para as etapas subseqüentes de concentração, ou mesmo a simples adequação granulométrica de massas minerais para a comercialização imediata.

Por tratar-se de uma etapa associada a altíssimos custos de investimentos e consumos energéticos, o cálculo e o dimensionamento de moinhos têm sido alvo de pesquisas e estudos por parte de cientistas desde meados do século XIX.

A previsão das características do produto de moinhos industriais é um problema no qual tem-se centrado esforços na tentativa de melhorar a qualidade do produto e reduzir os custos operacionais.

Existem disponíveis na literatura diversos modelos para a cominuição mineral, destaca-se, contudo, o modelo de Austin (2002) para a quebra de partículas por impacto. O presente trabalho teve como objetivo implementar o modelo de Austin de forma a averiguar se este podia ser aplicado na moagem em moinhos tubulares revolventes, tendo ciência que os mecanismos de quebra envolvidos em ambos os casos não são em nada parecidos.

Uma vez que a abordagem inicial do modelo é para processos em batelada, foi criado um artifício para que o modelo pudesse ser aplicado para processos em fluxo contínuo.

Inside the mineral treatment context, the comminution stage (grinding and milling) is almost always required, aim at mineral particle liberation to the subsequent stages of concentration, or even to the simple granulometric adaptation of the mineral mass for the immediate commercialization.

As a stage associated with really high investments costs and energy consumption, the mill calculation and dimensioning has been target of researches and studies of scientists since middle of the XIX century.

The prevision of the industrial mills product characteristics is a problem in which has been concentrated efforts on the tentative of get better product quality and reduce the operational costs.

There are many comminution models in the literature, with emphasis, however, in the Austin's model for mineral impact breakage (2002). The present work has the objective of implement the Austin's model and find out if this model can be applied in the milling in revolving tubular mills, knowing about the differences in the breakage mechanism in the both cases.

Once the initial approaching of the model is for batching process, it was created an artifice for the model be able to be used in continuous process.

O presente trabalho tem como objetivos principais:

Validar o modelo de Austin (2002) para quebra de partículas por impacto em moinhos tubulares revolventes, onde o mecanismo de quebra predominante é a abrasão, tendo como alimentação uma distribuição monodispersa;

Testar a viabilidade do uso do modelo de Austin (2002) em moinhos tubulares revolventes tendo como alimentação uma distribuição polidispersa;

Implementar um programa de computador usando o ambiente de desenvolvimento Borland Delphi 6 para simular a fragmentação em um moinho, utilizando para isso o modelo de Austin (2002);

Averiguar os procedimentos experimentais para a determinação das constantes envolvidas no modelo de Austin (2002).

Destaca-se como relevância deste trabalho:

A moagem ser um fator chave no custo operacional de plantas de tratamento de minérios;

A simulação de qualquer fenômeno pode ser conduzida a custos muito mais baixos que procedimentos experimentais;

1. INTRODUÇÃO ...16

2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ...18

2.1. Generalidades sobre o processo de moagem...18

2.2. Mecanismos de quebra...18

2.3. Escalonamento do trabalho de fragmentação...29

2.4. Energética da fragmentação ...31

2.5. Modelo teórico do processo de fragmentação...40

2.6. O modelo de Austin ...49

2.7. Principais tipos de moinhos revolventes...59

2.8. Modelamento...63

2.9. Simulação...65

3. METODOLOGIA ...68

3.1. Programa para a validação do modelo de Austin ...68

3.2. Validação do programa com dados conhecidos ...68

3.3. Calibração do programa com dados reais de moagem ...69

3.4. Adaptação do modelo para alimentações polidispersas...71

3.5. Calibração do modelo adaptado para alimentações polidispersas...75

4. ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS ...76

4.1. Resultados da validação do modelo de Austin para dados conhecidos ...76

4.2. Resultados da calibração do programa com dados reais de moagem para alimentações monodispersas ...76

4.3. Resultados da validação do programa com dados reais de moagem para alimentações polidispersas...80

5. CONCLUSÕES ...90

6. TRABALHOS FUTUROS ...92

7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...93

8. APÊNDICES...96

A. Caracterização dos materiais utilizados nos ensaios de moagem...96

B. Fotos do moinho tubular revolvente ...100

C. Programa IBPS ...103

D. Algoritmo para a minimização de erros...168

Figura 2.1 – Deformação de um cristal sujeito à compressão e tensão...19

Figura 2.2 – Concentração de esforços em uma fenda...20

Figura 2.3 – Zonas de fraturamento em moinhos revolventes...22

Figura 2.4 – Moagem em regime de cascata. ...24

Figura 2.5 – Moagem em regime de catarata...24

Figura 2.6 – Curvas de queda de bolas para vários tipos de revestimentos. ...25

Figura 2.7 – Escalonamento das operações de fragmentação...31

Figura 2.8 – Determinação da função de quebra. ...45

Figura 2.9 – Distribuição típica de tempo de residência em um moinho de bolas a úmido (Beraldo, 1987)...48

Figura 2.10 – Diagrama esquemático de um moinho de laboratório (Morrell, 1992). ...57

Figura 2.11 – Diagrama esquemático da forma simplificada do carregamento (Morrell, 1992). ...58

Figura 3.1 – Esquema prático da alimentação do moinho no modelo de Austin, considerando quatro peneiras. ...73

Figura 3.2 – Esquema prático da alimentação dos moinhos na adaptação do modelo, considerando três peneiras. ...74

Figura 4.1 – Análise granulométrica do vidro-3R após moagem durante 1 min...77

Figura 4.2 – Análise granulométrica da areia após moagem durante 1 min...77

Figura 4.3 – Curvas de quebra experimental e teórica para a areia. ...79

Figura 4.4 – Curvas de quebra experimental e teórica para o vidro. ...79

Figura 4.5 – Análise granulométrica dos produtos das moagens do Quartzito Estrada Real. ...81

Figura 4.6 – Análise granulométrica dos produtos das moagens do Vidro-3R. ...82

Figura 4.7 – Análise granulométrica dos produtos das moagens da Areia...83

Figura 4.8 – Curvas de quebra experimental e teórica para a areia, moagem de 4 minutos...84

Figura 4.9 – Curvas de quebra experimental e teórica para a areia, moagem de 8 minutos...84

Figura 4.10 – Curvas de quebra experimental e teórica para a areia, moagem de 16 minutos...85

Figura 4.11 – Curvas de quebra experimental e teórica para o vidro, moagem de 4 minutos...85

Figura 4.12 – Curvas de quebra experimental e teórica para o vidro, moagem de 8 minutos...86

Figura 4.13 – Curvas de quebra experimental e teórica para o vidro, moagem de 16 minutos...86

Figura 4.14 – Curvas de quebra experimental e teórica para o quartzito, moagem de 1 minuto. ...87

minutos...88

Figura 8.1 – Foto do VIDRO-3R utilizado nos ensaios de moagem...97

Figura 8.2 – Foto da AREIA utilizada nos ensaios de moagem. ...98

Figura 8.3 – Foto do QUARTZITO Estrada Real utilizado nos ensaios de moagem...99

Figura 8.4 – Análise granulométrica do QUARTZITO Estrada Real...99

Figura 8.5 – Vista lateral do moinho revolvente e dos corpos moedores...100

Figura 8.6 – Vista superior do moinho revolvente e dos corpos moedores...101

Tabela 2.1 – Valores médios de Wi para alguns minérios. ...35

Tabela 2.2 – Valores dos parâmetros β, γ, Φ e δ para quartzo, coke, clínquer e antracito. ...54

Tabela 2.3 – Especificação química das barras...60

Tabela 2.4 – Especificação química das bolas de aço...61

Tabela 2.5 – Especificação química das bolas de aço de baixa liga. ...61

Tabela 3.1 – Massa produzida após simulação. ...75

Tabela 4.1 – Constantes utilizadas na simulação. ...78

Φ – constante adimensional dependente do material; β – constante adimensional dependente do material;

γ – constante adimensional dependente do material; ρ – densidade da carga total do moinho [t/m3]; ρO – massa específica do minério [kg/m3];

ρB – massa específica dos corpos moedores (no caso bolas) [kg/m3];

ρO ap – massa específica aparente do minério [kg/m3_];

ρB ap – massa específica aparente dos corpos moedores (no caso bolas) [kg/m3];

φ – fração da velocidade crítica do moinho; ρB – densidade das bolas [t/m3];

ρO – densidade do minério [t/m3];

θS – deslocamento angular da posição superior (shoulder) em radianos;

θT – deslocamento angular da posição inferior (toe) em radianos

___

A – constante adimensional do material independente do tamanho das partículas; ai,k – fração mássica cumulada quebrada da classe granulométrica i sob uma energia

específica de impacto k;

1 , ___

i

B – quebra primária acumulada aparente; Bi,j – A distribuição de quebra primária acumulada;

bi,j – fração de produto da classe energética k que cai para a classe granulométrica i; C – constante do material dada em J/kg, cujo significado físico é a energia específica

mínima de impacto necessária para haver a quebra de qualquer partícula do tamanho

x0;

ci,k – fração mássica de partículas que quebra sob a ação da energia da classe k; D – diâmetro do moinho [m];

Emin – energia específica mínima de impacto requerida para que haja a quebra do

material [J/kg];

Ft – fração do volume do moinho ocupada pelo minério e pela carga de bolas (incluindo

os vazios);

g – aceleração da gravidade [m/s2]; i – indexador de classes granulométricas; j – indexador de classes granulométricas; k – indexador de classes energéticas;

K – vetor constante dependente do tamanho das partículas [J/kg]; L – comprimento efetivo do moinho [m];

m – constante adimensional do material; MO – massa de minério a ser moído [t];

MB – massa dos corpos moedores [t];

N – número de classes energéticas consideradas; N – velocidade crítica do moinho;

p’i,k – fração mássica de material que chega no tamanho i e de classe energética k que

pode ser re-quebrada;

Pi – produto final deixando a zona de impacto acumulando a partir do menor tamanho;

pi – produto final deixando a zona de impacto, definido como a soma das frações

remanescentes de material inquebrado que deixa o tamanho i em cada passo; rm – raio efetivo interno do moinho [m];

t – tempo de moagem (s);

x0 – tamanho unitário;

16

1. INTRODUÇÃO

O tratamento de minérios pode ser dividido, de maneira simplificada, em duas fases distintas e interdependentes, que são:

1. Preparação do minério, que inclui a cominuição do minério (britagem e moagem) e a classificação granulométrica do minério (peneiramento);

2. Concentração do minério, que inclui tanto os métodos físicos de separação (métodos densitários, magnéticos, elétricos, etc.), quanto os métodos físico-químicos (flotação, floculação seletiva, etc.).

A presente dissertação inclui-se no contexto da primeira fase, reportando-se especificamente ao modelamento e à simulação computacional da moagem em moinhos revolventes.

Os elevados consumos energéticos destas máquinas de cominuição, associado a uma certa indispensabilidade destes em rotas de tratamento de minérios têm feito dos

moinhos alvos constantes de estudos e pesquisas, tanto por parte de instituições de pesquisa quanto por parte da iniciativa privada.

A indispensabilidade mencionada deve-se ao fato de que os britadores são usados, na

17

O alto consumo energético e esta relativa indispensabilidade dos moinhos para alcançar

finas faixas de fragmentação torna economicamente interessante a possibilidade de se

prever o que ocorrerá durante um processo de moagem, necessitando para isso conhecer

apenas algumas características físicas e químicas do minério a ser cominuído e do moinho utilizado.

Uma vez que se compreende a fundo um processo e que já existe um modelo computacional que o retrata com um grau aceitável de confiabilidade, pode-se testar mudanças operacionais no modelo e, de acordo com os resultados deste, experimentar tais mudanças em escala indutrial.

A maior vantagem em se utilizar uma simulação reside no fato desta poder ser conduzida com custos irrisórios quando comparada a um ensaio experimental de escala industrial, sendo que a simulação se mostra cada vez mais confiável.

O presente trabalho implementa e valida o modelo de Austin (2002) para a moagem em moinhos tubulares revolventes.

A metodologia geral para a elaboração da dissertação abrangeu nove fases distintas, a saber:

• Revisão da literatura;

• Elaboração de um programa para a validação do modelo de Austin;

• Validação do programa com dados conhecidos (fornecidos pelo próprio Austin);

• Validação dos modelos escolhidos com dados reais de moagens realizadas no

Laboratório de Tratamento de Minérios do Departamento de Engenharia de Minas da Universidade Federal de Ouro Preto;

• Implementação do modelo, considerando agora uma alimentação polidispersa; • Revalidação do modelo implementado;

18

2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

A fragmentação, ou cominuição abrange o conjunto de operações responsáveis pelo fraturamento de massas minerais, que têm seus tamanhos reduzidos, a partir de tamanhos ditos grosseiros dos run-of-mine (ROM) provenientes das frentes de lavra, até

aqueles exigidos pela liberação das partículas para as etapas posteriores de concentração, ou mesmo pela simples adequação granulométrica destas massas minerais para a comercialização imediata.

2.1. Generalidades sobre o processo de moagem

De acordo com Machado (1985), em termos de tecnologia atual, o tamanho da alimentação dos moinhos tende cada vez mais a ser inferior a 1”, ficando freqüentemente na faixa de ¼” a ¾”, ao passo que os tamanhos dos produtos da moagem situam-se, em geral, na faixa de 296 a 148 µm, podendo alcançar valores da ordem de 105 ou mesmo 74 µm.

Assim sendo, o grau de redução da moagem situa-se na faixa de 10 a 20 (moinhos de barras-preparadores), podendo atingir a faixa de 30 a 100 (moinhos de bolas) e, excepcionalmente até mais que 200, no caso de minérios extremamente friáveis.

2.2. Mecanismos de quebra

A maioria dos minerais são materiais cristalinos, onde os átomos estão arranjados regularmente em arranjos tridimensionais. A configuração dos átomos é determinada pelo tamanho e pelos tipos de ligações físicas e químicas que os mantém unidos na rede cristalina dos minerais. Essas ligações interatômicas são eficientes a pequena distância, e podem ser quebradas se tensionadas por forças externas, conforme pode ser visto na

19

Figura 2.1 – Deformação de um cristal sujeito à compressão e tensão.

O fraturamento, ou quebra, das partículas minerais se dá pelo rompimento de suas forças internas de coesão, com a geração de novas superfícies, importando assim num certo trabalho cedido ao sistema fragmentador, ou seja, na aplicação de uma certa quantidade de energia “em proporção com a energia de coesão rompida” (Silva, 1983).

No campo da ciência dos materiais as falhas microscópicas denominam-se

deslocamentos e em mecânica das rochas gretas de Griffith. A existência dessas falhas

nos materiais explica sua baixa resistência mecânica. A teoria da fratura estuda a formação de gretas a partir de falhas e a sua propagação no sólido.

20

Figura 2.2 – Concentração de esforços em uma fenda.

Dentre as diversas formas de energia que, em tese, se poderiam aplicar às partículas a serem fragmentadas, incluem-se a térmica, a elétrica, a acústica e a mecânica. Em que pese a potencialidade futura de algumas energias não-mecânicas, notadamente a

acústica (quebra por ultra-som). Ainda utiliza-se hoje em dia, industrialmente, somente a energia mecânica.

Assim, a maneira pela qual as partículas minerais se fraturam depende fundamentalmente de sua natureza intrínseca, bem como do modo como as forças mecânicas de fragmentação são aplicadas.

Existem três principais tipos de mecanismos de quebra, que são:

1. Quebra por compressão (ou esmagamento); 2. Quebra por choque (ou impacto);

3. Quebra por atrito (ou abrasão ou cisalhamento);

2.2.1. Quebra por compressão

21

Em geral as forças de compressão aplicadas são pouco superiores à resistência dos blocos e partículas a serem fraturados, resultando deste mecanismo de fraturamento um número relativamente pequeno de fragmentos, os quais, individualmente, apresentam tamanhos relativamente grandes.

Este tipo de quebra ocorre preferencialmente em britadores de mandíbula, giratórios e cônicos, sendo que nos moinhos revolventes ele está associado às partículas comprimidas entre os corpos moedores e/ou partículas maiores.

2.2.2. Quebra por choque

Este tipo de fraturamento ocorre quando as forças fragmentadoras são aplicadas de forma rápida e em intensidade muito superior à resistência das partículas a serem fragmentadas.

Geralmente faz-se uso da energia cinética de massas girantes ou cadentes, resultando deste tipo de quebra uma distribuição granulométrica rica em partículas relativamente finas.

Sua ocorrência preferencial dá-se nos britadores de impacto e nas zonas de queda de corpos moedores dos moinhos revolventes.

2.2.3. Quebra por atrito

Neste caso as forças aplicadas são insuficientes para provocar fraturas ao longo de toda a partícula, considerada individualmente.

Prevalece uma concentração de esforços, o que provoca o aparecimento de pequenas fraturas e o surgimento de uma distribuição granulométrica onde partículas finas convivem com as partículas originais, cujos diâmetros são pouco diminuídos.

22

contrários, ou, ainda, por atrito entre partículas, ou mesmo entre estas e os corpos moedores.

Os moinhos verticais de mesa giratória (Bowl Mills) consubstanciam as máquinas de

fragmentação onde prevalece o fraturamento por atrito ou abrasão.

Em geral, seja na britagem ou na moagem, os três mecanismos de ruptura estão sempre presentes, prevalecendo o efeito de um deles sobre os demais.

Assim sendo, no caso dos moinhos revolventes, ou tubulares, (Tumbling Mills ou Tube Mills), ocorrem simultaneamente os diversos tipos de quebra, estando a predominância

de um ou outro tipo condicionada às variáveis de operação e de processo.

A figura 2.3, extraída de Beraldo (1987), apresenta um esquema simplificado de prevalência dos diversos mecanismos de quebra em moinhos tubulares.

23

Na ZONA A os corpos moedores movem-se uns sobre os outros em camadas praticamente concêntricas, produzindo fraturamentos preferenciais por atrito e por compressão, e subsidiários por choque dos corpos moedores sobre as partículas.

Na ZONA B os corpos moedores rolam de cima para baixo produzindo uma intensa moagem preferencial por choque e por compressão.

Entre as zonas A e B existe uma pequena região onde não se observa nenhuma quebra, chamada de ZONA MORTA.

Nos casos em que a velocidade de rotação do moinho excede determinado limite, ele deixa de operar no chamado regime de cascata (existência somente das zonas A e B), passando a operar no regime de catarata, com o surgimento de duas novas zonas.

Neste regime, uma parcela dos corpos moedores projeta-se a partir do topo da ZONA B, formando uma verdadeira catarata (ZONA C), que cai sobre uma pequena região do moinho (ZONA D, ou pé da catarata), onde prevalece o fraturamento por choque ou

24

Figura 2.4 – Moagem em regime de cascata.

25

Nota-se que na ZONA C (catarata) nenhum fraturamento é efetivamente levado a cabo, razão pela qual ela deve ser minimizada.

Deve-se observar que o regime de operação do moinho não depende só da velocidade. Revestimentos mais rugosos favorecem a operação em regime de catarata, enquanto que revestimentos mais lisos favorecem a cascata, propiciando em um ou outro caso em maior ou menor importância a moagem por choque (vide figura 2.4, fonte: Beraldo, 1987). Da mesma forma, uma maior carga de bolas favorece o regime de catarata, o mesmo acontecendo com a utilização de bolas maiores. Por outro lado, a utilização de barras como corpos moedores em lugar de bolas também favoreceria o regime de catarata, se a velocidade do moinho fosse mantida, o que não acontece em moinhos de barras, que são sempre mais lentos que o de bolas. Com efeito, “cataratear” as barras poderia provocar danos estruturas ao moinho e, inclusive, facilitar o emaranhamento das barras, com graves conseqüências.

26

Finalmente, no âmbito desta breve revisão da literatura sobre os mecanismos de quebra, são mencionadas a seguir as principais funções contínuas definidoras da distribuição granulométrica dos fragmentos produzidos pela quebra de blocos e partículas.

2.2.4. Funções de quebra

Fagerholt (1945), um dos pioneiros no assunto, propôs que as funções contínuas definidoras da distribuição granulométrica dos fragmentos produzidos pela quebra de blocos e partículas poderiam ser vistas como casos particulares da seguinte função geral:

(

)

(

)

bx

ax

x

w

(

)

=

.

exp

−

Onde:

w(x) é o peso dos fragmentos (partículas) de tamanho x e a, b, m e n são parâmetros.

Gilvarry (1961) demonstrou teoricamente que para fraturamentos por choque em partículas individuais vale a seguinte expressão:

( ) ( )

( )

[

]

exp

1

ax

bx

cx

y

=

−

−

−

−

Onde:

y é a fração acumulada passante no tamanho x e a, b e c são, respectivamente, as

medidas das densidades linear, superficial e volumétrica das fraturas.

Quando se considera como dominante o efeito da densidade linear das fraturas, a Equação de Gilvarry (equação 2.2) reduz-se à seguinte forma:

(

)

kx

y

=

1

−

exp

−

27

No caso de partículas finas (pequenos valores de x) a Equação de Gilvarry (equação 2.2)

reduz-se à seguinte forma:

m

k

x

y

=

A equação 2.4 é também conhecida como equação de Gaudin-Schumann.

Em 1962, Gaudin (1939), usando uma aproximação estatística propôs a seguinte expressão, conhecida como Equação de Gaudin-Meloy, para a distribuição granulométrica dos maiores fragmentos gerados a partir de fraturamentos por choque:

r

a

x

y

=

1

−

1

−

Onde:

y é a fração acumulada passante no tamanho x;

a é o tamanho original da partícula e

r é o número de fissuras provocadas pelo choque.

Verifica-se assim que a Equação de Gilvarry (equação 2.2) pressupõe o conhecimento das medidas associadas às densidades linear, superficial e volumétrica das fraturas, e a Equação de Gaudin-Meloy (equação 2.5) requer a determinação do número de micro-fissuras que atravessam um comprimento unitário.

Cumpre registrar que o trabalho teórico pioneiro de Bennett (1936), também levava em consideração a conhecimento de micro-fissuras geradas.

28 c b a k x k x k x

y= − − − −

3 2 1 . 1 . 1

1 (2.6)

Onde:

y e x são as mesmas variáveis definidas indistintamente nas Equações de Gilvarry e de Gaudin-Meloy;

a, b e c são os parâmetros da Equação de Gilvarry e

k é o módulo de tamanho da Equação de Gaudin-Schumann.

No caso de granulometrias grosseiras onde relativamente poucos fragmentos são produzidos pela quebra, a Equação de Klimpel-Austin reduz-se a:

c

k x y= − −

3

1

1 (2.7)

Finalmente, cabe observar que foram mencionados apenas os principais marcos dos estudos das funções contínuas de quebra, uma vez que vários autores têm se dedicado a este assunto, ainda relativamente incipiente, como é o caso de Broadbent e Callcott (1956a,b) e Callcott (1964) que derivaram da equação de Rosin-Rammler uma equação para representar a distribuição granulométrica discreta, que tem sido bastante usada na análise matemática de operações de cominuição, dada por:

(

)

( )

1

exp

1

exp

1

−

−

−

−

=

kx

y

Onde:

29

2.3. Escalonamento do trabalho de fragmentação

O trabalho de fragmentação de massas minerais é realizado através de máquinas genericamente denominadas de máquinas de fragmentação, abrangendo os diversos

tipos de britadores e moinhos.

No caso de blocos e partículas relativamente grandes é elevada a energia a ser aplicada a cada partícula, embora seja reduzida a energia por unidade de massa: a aplicação mecânica da energia se faz praticamente de forma individualizada.

No caso de partículas finas, a energia aplicada a cada partícula é pequena, embora seja elevada a energia por unidade de massa: a energia neste caso é aplicada de forma distribuída.

Este fato condiciona a diferença conceitual entre britadores e moinhos, isto é, os britadores devem ser estruturalmente reforçados, de maneira a estarem aptos à aplicação de elevados esforços localizados, ao passo que os moinhos devem ser capazes de distribuir uma grande energia sobre um elevado número de partículas.

Assim sendo, pode-se concluir que as principais limitações das máquinas de fragmentação são de natureza energética, mecânica e geométrica. Essas limitações têm levado a tecnologia moderna a consagrar o escalonamento do trabalho de fragmentação, que é levado a cabo em etapas, de acordo com a faixa de tamanhos em

que se opera.

Cada etapa é realizada por máquinas com características adequadas ao atendimento dos fatores energéticos, mecânicos e geométricos prevalecentes em cada faixa.

De maneira geral a fragmentação pode ser dividida em três etapas:

30

2. Fragmentação secundária (ou redução intermediária), quando se opera na faixa do decímetro (~ 4”) ao centímetro (~ ½”);

3. Fragmentação terciária, quando se opera abaixo do centímetro até o micrômetro.

As etapas de fragmentação primária e secundária correspondem às operações de britagem, ao passo que a fragmentação terciária corresponde à moagem.

A britagem, por sua vez, pode ser escalonada em britagem primária, secundária, terciária e até quaternária, existindo quase sempre os controles intermediários de tamanho (classificações granulométricas).

No caso da moagem, que também pode ser escalonada, o principal requisito é a existência de uma enorme superfície de contato com os grânulos, embora sejam relativamente pequenas as forças para fraturar cada grânulo isoladamente.

A nível de tecnologia atual, os moinhos (sejam estes revolventes ou do tipo fixed path)

são as máquinas de fragmentação que, de maneira mais adequada e funcional, atendem a tal requisito.

31

Figura 2.7 – Escalonamento das operações de fragmentação.

2.4. Energética da fragmentação

A energética da fragmentação, que é o estudo das leis associadas aos cálculos dos consumos energéticos e à conseqüente determinação das potências das máquinas de fragmentação, tem atraído a atenção de pesquisadores de todas as partes do mundo desde meados do século XIX.

Tal preocupação deve-se, conforme já ressaltado anteriormente, aos excepcionais níveis de consumos energéticos destas máquinas, os quais oneram seus respectivos custos operacionais.

2.4.1. Lei de Rittinger

32

−

=

D

d

E

E

3

1

1

Onde:

E é a energia gasta na cominuição;

E0 é o coeficiente unitário de trabalho (referido ao volume);

D e d são, respectivamente, o tamanho da alimentação e do produto da fragmentação.

2.4.2. Lei de Kick

Kick (1885) desenvolveu uma segunda lei sobre o consumo energético nos processos de moagem, chamada de 2a Lei, que pressupunha que o trabalho necessário para realizar a fragmentação de um corpo era proporcional ao seu peso ou ao seu volume. A lei de Kick é dada por:

0

log

log

.

N

N

j

E

=

Onde:

j é o coeficiente unitário de trabalho (também referido ao volume);

N e N0 são, respectivamente, o grau de redução no n-ésimo estágio da fragmentação e o grau de redução unitário.

Blanc (1937) mostrou que as duas leis não se superpõem, aplicando-se a faixas granulométricas diferentes: a Lei de Kick se aplica à faixa de granulometria grossa e de a Lei de Rittinger à de granulometria fina.

Entretanto Blanc não conseguiu formular uma expressão analítica para a chamada faixa intermediária (alimentação de 4 a 125 mm), que era a faixa em que nem a Lei de Kick

33

2.4.3. Lei de Bond

Bond (1951) supre a lacuna preconizada por Blanc, formulando a 3a Lei ou lei intermediária, que diz que o trabalho despendido por unidade de volume ou de peso é proporcional ao comprimento médio das fissuras iniciais criadas. A Lei de Bond é dada por:

−

=

D

d

E

E

1

1

Onde:

E é a energia gasta na cominuição; E0 é o coeficiente unitário de trabalho;

D e d são, respectivamente, o tamanho da alimentação e do produto da fragmentação.

Bond convencionou que os tamanhos D e d fossem dados em micrômetros e referidos

como sendo o tamanho das malhas que deixam passar 80% dos respectivos produtos. Assim sendo, a notação D passou a ser conhecida como F80 (feed – 80%) e d passou a

ser P80 (product – 80%).

Adicionalmente Bond propôs que o coeficiente unitário de trabalho fosse chamado de

work index (Wi), definindo-o como o trabalho necessário para reduzir a unidade de

massa (tonelada curta = 907 kg), desde um tamanho inicial infinito (D = ∞) até o

tamanho final de 100 µm (d = 100 µm).

Aplicando-se as proposições de Bond à sua equação matemática esta assume a seguinte forma mundialmente conhecida:

(

)

−

(

)

=

1 2

1

80

80

.

.

10

Wi

P

F

34

Bond ainda especificou procedimentos padronizados para a determinação do Wi de um material, tanto para as operações de britagem quanto para as de moagem (moinhos de barras e de bolas).

Nota-se que a unidade de Wi é kWh/st, e que o Wi é correlacionável com outros coeficientes unitários de trabalho de fragmentação (“britabilidades” e/ou “moabilidades”).

A título de ilustração registra-se a Equação de Smith apresentada por Hochdahl (1982) para correlacionar o Wi com o índice Hardgrove (Hardgrove Grindability Index – HGI),

dada por:

91 , 0

480

HGI

Wi

=

Kelly e Spottiswood (1982) apresentam uma tabela de valores típicos de Wi, ao passo que Rowland (1978) apresenta faixas e valores médios de Wi-Britagem e Wi-Moagem.

35

Tabela 2.1 – Valores médios de Wi para alguns minérios.

Material Peso específico (g/m3) Wi (kWh/907 kg)

Baritina 4,50 4,73

Calcário 2,65 12,54

Dolomita 2,74 11,27

Esmeril 3,48 53,70

Feldspato 2,59 10,80

Fluorita 3,01 8,91

Gipsita 2,69 6,73

Grafita 1,75 43,56

Granito 2,66 15,05

Magnetita 3,88 9,97

Minério de Cobre 3,20 12,73

Minério de Ouro 2,81 14,93

Minério Hematítico 3,56 12,93

Minério Pb-Zn 3,54 10,57

Minério Piritoso 4,06 8,93

Quartzito 2,68 9,58

36

2.4.4. Lei de CHARLES

Charles (1957) estabeleceu a chamada Lei Geral, que engloba as três leis anteriores e é dada por:

n

x

dx

C

dE

=

−

E é a energia gasta na cominuição;

C é o coeficiente energético (2C = 10 Wi para a Lei de Bond);

x e dx são, respectivamente, a dimensão do tamanho da alimentação e a sua variação elementar;

n é um número real.

Ou seja, o trabalho elementar dE necessário para realizar uma variação elementar dx

numa dimensão x de um dado corpo é diretamente proporcional à variação dx e

inversamente proporcional a uma certa potência n da dimensão x.

Resolvendo a equação (2.3) para n = 1 obtêm-se a Lei de Kick, utilizada para faixas

granulométricas grosseiras, sendo o coeficiente unitário de trabalho (j) e o grau de redução unitário (N0) dados por:

3

C

j

=

e

N

=

Onde:

e é a base dos logaritmos naturais.

Para n = 1,5 obtêm-se a Lei de Bond, utilizada para faixas granulométricas

37

5

C

Wi

=

Para n = 2 obtêm-se a Lei de Rittinger, utilizada para faixas granulométricas finas,

sendo o coeficiente unitário de trabalho (E0) dado por:

3

C

E

=

A partir de então, o instrumental matemático, tanto a nível analítico como empírico-experimental, sofre um crescimento vertiginoso, incorporando às expressões para cálculo energético diversas fórmulas e leis associadas aos parâmetros geométricos, mecânicos, construtivos e operacionais das máquinas de fragmentação em geral e dos moinhos em particular.

Dentre os diversos pesquisadores que têm contribuído para tal desenvolvimento destacam-se o próprio Bond, Rowland (1981 e 1982), Lynch (1977), Austin (1984) e Hukki (1977), o qual, em 1961, generalizou ainda mais a Lei Geral de Charles propondo a seguinte lei:

) (

.

x

dx

C

dE

=

−

Isto é, a constante n da Lei de Charles passa a ser considerada como uma função da

dimensão original x.

2.4.5. Abordagem fractal à fragmentação mineral

38

1. Em um espaço Euclidiano, a divisão de uma dada massa (M) aumenta em dS a

superfície externa acessível Se desta mesma massa;

2. Este incremento de área dS requer uma energia dW (que pode ser um trabalho de

forças externas e/ou a liberação de energia potencial);

3. dW aumenta, em média, com dS, de acordo com uma lei que, próximo a cada

ponto, depende das condições mecânicas locais (tensões e reologia);

4. A fragmentação de uma partícula mineral é obtida através da coalescência de um sistema de descontinuidades, sendo a maioria destas descontinuidades fraquezas superficiais genuínas, adicionalmente conectadas por um conjunto de elementos de ruptura criados pela fragmentação;

5. As descontinuidades genuínas são quase sempre o caminho de separação energeticamente mais “barato”;

6. As rupturas criadas também seguem caminhos energéticos mais baratos, mas dentro dos volumes isolados pelas aberturas das descontinuidades genuínas prévias.

7. As descontinuidades naturais do material, que induzem primeiramente a distribuição granulométrica dos fragmentos, podem ser cortadas em conjuntos de elementos quase planos, que representam uma arquitetura escalonada, definida por uma lei fractal de auto-similaridade;

8. A morfologia de cada um destes elementos superficiais é definida por uma lei fractal de auto-afinidade, observada em uma escala mais precisa.

39

Thomas e Filippov chegaram à seguinte equação para o consumo energético de um processo de fragmentação:

+

=

c b

h

a

x

E

log 2

.

a, b e c são constantes;

A derivação da equação 2.20, segundo Thomas e Filippov, resulta na seguinte equação:

( − )+

=

x

c

a

dx

dE

.

.

.

2

1

Nota-se na equação acima que realmente existe uma correlação entre a lei de Hukki e a equação 2.21. Entretanto, Thomas e Filippov não conseguiram concluir o modelo fractal de modo que este apresentasse um bom ajuste aos dados práticos. Contudo, cabe aqui uma observação a respeito da derivação da equação 2.20 que, a princípio, não seria a derivada da equação 2.20. A equação 2.22, cuja integração bate com a equação 2.20, o que não ocorre com a equação 2.21, é a equação proposta pelo autor como sendo uma possível causa do não-ajuste do modelo elaborado por Thomas e Filippov.

(

+

)

+

=

c b

h

_a

_b

c

_x

_x

dx

dE

.

log

1

.

2

.

Assim sendo, existe a possibilidade do modelo proposto por Thomas e Filippov se ajustar aos dados práticos, uma vez que este seja devidamente corrigido. Porém, tal correção confronta-se com lei de Hukki, pois, assim sendo, ter-se-ia que o termo C da

lei de Hukki não seria uma constante, conforme a lei afirma, e sim uma função logarítmica de x. Assim sendo, os termos C (aqui representado por K) e f(x) da lei de

40

(

+

)

+

−

=

a

b

c

x

K

.

1

log

2

.

f

( )

x

b

c

log

x

2

1

+

−

=

Thomas e Filippov determinaram ainda quais deveriam ser os valores das constantes a, b e c da equação 2.20 de modo que esta se ajustasse à curva média experimental da lei

de Hukki, dada por Lynch, obtendo, segundo afirmado por eles próprios, um “bom ajuste”.

A idéia de que a constante C possa ser uma função f(x) é exposta pelos mesmos autores

(Thomas e Filippov, 1999) quando estes afirmam que: “o gasto energético por unidade de massa obviamente aumenta quando o tamanho do produto diminui”. Thomas e Filippov sugerem que a constante C seria uma função exponencial de x, sendo que este

expoente seria então uma dimensão fractal.

2.5. Modelo teórico do processo de fragmentação

Atualmente tem-se procurado estudar o processo de cominuição pela cinética de fraturamento das partículas, buscando-se desenvolver modelos desses processos e também estudar a relação entre os parâmetros desses modelos e as variáveis operacionais envolvidas no processo. Esse modelamento do processo de cominuição poderá ser utilizado em trabalhos de otimização e de controle de processo, e ainda ser de grande utilidade no dimensionamento de instalações.

Beraldo (1987) preconizou em seu livro que: “É de se esperar que gradativamente a aplicação de modelagem matemática dos processos de cominuição venha complementar ou mesmo substituir o enfoque sob o ponto de vista exclusivo da energia consumida. É de se notar que, dada a sua base teórica, contrariamente ao ponto de vista energético totalmente empírico, o método cinético poderá propiciar uma oportunidade muito mais ampla para o desenvolvimento de novas tecnologias do processo de cominuição”.

41

1. Função de seleção e velocidade específica de quebra; 2. Função de quebra;

3. Função de classificação.

2.5.1. Função de seleção e velocidade específica de quebra

Se uma amostra de massa Wj(F) de material graduado granulometicamente é submetida

a um processo de cominuição, pode-se observar que uma fração da amostra sofre redução, enquanto que o restante, Wj(P), permanece sem ter sido cominuído. Chama-se

função de seleção a probabilidade que uma certa partícula tem de sofrer cominuição, sendo esta probabilidade (S) expressa pela relação entre a massa que sofreu cominuição

e a massa inicial de material, dada por:

( )

( )

( )

F

W

P

W

F

W

S

j j j

j

−

=

A função de seleção pode ser determinada em ensaio pela velocidade de desaparecimento de material na granulometria de alimentação. Essa definição da função de seleção serve para qualquer processo de cominuição. No caso de cominuição em moinhos tubulares, a função de seleção tem uma característica cinética e pode ser caracterizada por uma velocidade de quebra, pois é uma função crescente do tempo a que a amostra foi submetida à moagem. Considerando-se a velocidade de quebra proporcional à massa de material, define-se como velocidade específica de quebra (Sj) a

relação entre a velocidade de quebra e a massa existente, ou seja:

j j

j

W

dt

dW

S

−

=

Integrando a expressão 2.25, considerando a função de seleção constante, tem-se que:

( )

t

W

( )

(

S

t

)

42

A velocidade específica de quebra e a função de seleção dependem do diâmetro da partícula. Em casos em que o diâmetro das bolas é bem maior que o diâmetro das partículas xi, é usual a função de seleção ser proporcional a uma função-potência do

diâmetro, usualmente dada por:

α

=

0

.

x

x

a

S

i (2.27)

Onde:

xi e x0 são dados em mm e a em min-1.

O fato de as velocidades de quebra serem uma simples função-potência do diâmetro da partícula não tem sido adequadamente explicado em bases teóricas, mas amplamente demonstrado experimentalmente. A velocidade específica de quebra é menor para os tamanhos menores, porque é mais difícil transmitir esforços a uma massa unitária quando por partículas menores. O valor de α é positivo, normalmente variando entre 0,5 e 1,5, sendo uma constante característica do material. O valor de a varia com mudanças

nas condições operacionais do moinho. Os valores de a mostram uma grande variação

de materiais moles a materiais duros.

Deve-se observar que a equação 2.27 é válida para condições de moagem em que a abrasão seja pouco importante. Para partículas muito grandes em relação ao diâmetro dos corpos moedores, tem-se demonstrado que a velocidade de quebra não segue uma cinética de primeira ordem, parecendo consistir em uma velocidade inicial mais rápida seguida de uma velocidade mais lenta. Algumas das partículas são muito grandes para serem fraturadas pela ação das bolas e, além disso, a acumulação de finos parece servir de colchão para impedir a ação das bolas sobre as partículas maiores.

A velocidade de quebra de primeira ordem das partículas menores é referida como

43

Então, a velocidade de quebra pode passar por um máximo, o que é lógico se houver partículas grandes cuja velocidade de quebra seja abnormal; dessa forma, as partículas maiores que o ponto de máximo apresentam velocidade de quebra menor, devido à ineficiência do moinho em transmitir esforços que sejam capazes de fraturá-las.

A função de seleção ou velocidade de quebra é função do material e das condições de moagem, em especial da energia do moinho.

2.5.2. Função de quebra

Quando o material de tamanho j se quebra, é produzida uma distribuição granulométrica

completa de partículas menores, sendo que estas se misturam à carga do moinho, sendo submetidas a novas quebras posteriores. Define-se como função de quebra a distribuição granulométrica das partículas provenientes da quebra primária de uma partícula maior. Na forma de distribuição granulométrica acumulada, defini-se a função de quebra Bij,

que é a fração de material do tamanho j que se quebrou, indo aparecer em tamanhos

menores que xi, que é o tamanho superior do intervalo i.

Uma determinação razoável da função de quebra pode ser feita experimentalmente partindo-se de uma amostra graduada no tamanho j. Faz-se um ensaio de curta duração

(no máximo de 20 a 30% do material quebrado) e determina-se a distribuição granulométrica do material quebrado. Os valores de Bij podem ser estimados através da

seguinte equação:

( )

( )

( )

( )

−

−

−

−

=

t

P

P

t

P

P

B

1

0

1

ln

1

0

1

ln

A equação 2.28 corrige, aproximadamente, o efeito da quebra secundária, desde que esta não tenha sido muito intensa. Pode-se calcular bij, ou seja, a quantidade de material

44 j i j i

ij

B

B

b

=

−

Os valores de Bij parecem ser independentes das condições de moagem, desde que

45

46

Para muitos materiais, a função de quebra é normalizada, isto é, esta é convertida em

uma função apenas da relação de tamanhos, sendo independente do tamanho inicial. Para a quebra normal, a função de quebra pode ser expressa por uma das relações apresentadas no item 2.4 (Energética da fragmentação) para representar a distribuição

granulométrica do produto de um evento de quebra. Têm sido amplamente usadas as expressões de Gaudin-Schumann (Equação 2.4) e a de Callcott e Broadbent (Equação 2.8). Para materiais que apresentem quebra abnormal, a função de quebra é muito mais complexa.

2.5.3. Função de classificação

Um processo de cominuição é constituído por uma série de eventos de quebra, nos quais se aplicam as funções de seleção e de quebra. Entretanto, pode ocorrer que o produto de cada evento de quebra seja submetido a uma operação de classificação que retenha as partículas mais grossas e impeça a sua passagem para o evento de quebra subseqüente. Esse efeito de classificação existe, praticamente, em qualquer processo de cominuição. É pouco importante em moinhos de barras, nos quais há uma pronunciada quebra preferencial dos grossos devido a um “peneiramento” do material, efetuado pelas

barras. Assim, à medida que o material vai caminhando ao longo do moinho de barras, este vai sendo cominuído e as partículas mais grossas vão sendo impedidas de prosseguir em seu fluxo pelo efeito de “peneiramento” realizado pelas barras. Nota-se

que a “abertura da peneira” vai diminuindo na direção do fluxo devido à inclinação das

barras. Dessa forma, o efeito de classificação vai se aplicando a partículas cada vez menores à medida que se caminha na direção do fluxo.

2.5.4. Tempo de residência

Se todas as partículas da alimentação tivessem exatamente a mesma velocidade ao longo do eixo do moinho, todas teriam exatamente o mesmo tempo de residência no moinho, sem que houvesse a mistura de partículas no sentido axial. O fluxo neste caso é denominado fluxo pistonar (plug-flow). Se houver a mistura de material no sentido

axial, o fluxo se afastará fluxo pistonar. O processo em batelada (batch) de moagem é

47

moinhos apresentam certo efeito misturador, o que leva o seu fluxo a se afastar do fluxo pistonar. O resultado final é que o produto de um moinho em processo contínuo contém materiais com distintos tempos de residência. A distribuição do tempo de residência (DTP) é importante na avaliação do resultado de uma moagem.

A maneira mais usada, segundo Beraldo (1987), para se determinar a DTP de um moinho é a injeção instantânea de um material de traço na alimentação do moinho e determinar a evolução do teor desse elemento no produto do moinho com o decorrer do tempo. A partir de tais dados a DTP é dada por:

( )

( )

( )

∞

=

0

c

t

.

dt

t

c

t

φ

Onde:

c(t) é a concentração do elemento no instante t.

O tempo médio de residência (τ) é dado por:

( )

( )

∞ ∞

=

0 0

.

.

.

dt

t

c

dt

t

t

c

τ

48

Há diversas conclusões dos testes para a determinação da DTP em moinhos de bolas, destacando-se:

1. A DTP é independente do tamanho da partícula na alimentação, sendo esta talvez a conclusão mais importante.

2. A DTP pode ser normalizada em relação ao tempo médio de residência (τ);

3. A DTP normalizada é aproximadamente a mesma, independente do tamanho do moinho;

4. A DTP para a água e para os sólidos tem a mesma forma, porém o tempo médio de residência dos sólidos é cerca de 10 a 15% maior que o da água.

A figura 2.9 mostra uma DTP típica para moinhos de bolas.

Figura 2.9 – Distribuição típica de tempo de residência em um moinho de bolas a úmido (Beraldo, 1987).

Para fluxo pistonar, a DTP resume-se a 100% no tempo τ. Para um fluxo decorrente de

49

( )

=

−

δ

δ

φ

t

1

exp

t

Tem-se observado que a distribuição do tempo de residência é intermediária entre essas suas leis. Para procurar representá-la, diversos autores têm procurado equações matemáticas que se aproximem da distribuição real e que facilitem a sua aplicação em trabalhos de simulação.

2.6. O modelo de Austin

O modelo escolhido para a realização do presente trabalho foi o modelo proposto por Austin (2002), pois este foi proposto para fragmentação mineral em geral, porém com ajustes em determinadas constantes do modelo este pode ser utilizado para a simulação de moinhos tubulares revolventes.

Segundo Austin (2002), a fração acumulada de massa impactante de um dado tamanho que quebra quando impactada sob uma energia de impacto específica (E) é dada por:

1 0

, ln

. ___

___ ___

≤ ≤

= m

K E A

m (2.33)

Onde: ___

A é uma constante adimensional do material independente do tamanho das partículas; K é um vetor constante em J/kg, dependente do tamanho das partículas, dado por:

0 , .

0

> =

−

m x

x C K

m i

i (2.34)

Onde:

x0 é o tamanho unitário, tomado como 1 mm;

50

C é uma constante do material dada em J/kg, cujo significado físico é a energia

específica mínima de impacto necessária para haver a quebra de qualquer partícula do tamanho x0;

m é uma constante adimensional do material.

Alguns autores (YILDIRIM, CHO e AUSTIN, 1999) adotam a seguinte equação em substituição à equação (2.34):

α −

=

0 .

x x a S_{i T} i

Sendo que ambas equações são idênticas. Os mesmos autores mostraram que a constante C da equação 2.33 deve ser igual a 0,103 para a moagem a seco de quartzo

usando bolas cerâmicas como corpos moedores, 0,148 para cilindros cerâmicos e 0,0965 para seixos.

Para qualquer tamanho dado, as equações 2.33 e 2.34 mostram que a energia específica mínima de impacto requerida para que haja a quebra do material (___m >0) é dada por:

K

E_min = (2.35)

A energia específica máxima de impacto requerida para se obter uma quebra total das partículas (___m=1) é dada por:

= _{___}

max

1 exp .

A K

E (2.36)

Considerando as partículas alimentadas com tamanho xi impactadas com uma energia

específica de impacto E, o incremento energético de cada classe energética será dado

51

N E

dE= (2.37)

Onde N é o número de classes energéticas consideradas.

Assim sendo, a energia específica de impacto para cada uma das N classes energéticas

consideradas será dada por:

N k dE k

E_k = . , 0≤ ≤ (2.38)

Assim sendo, das equações 2.35 e 2.36 temos que:

i

i K

E_min = (2.39)

= _{___}

max

1 exp .

A K

E _i

i (2.40)

Onde Ki é dado pela equação 2.34.

Para a determinação da energia de impacto específica (E) foi usado um algoritmo

matemático criado por Morrell (1992), mostrado no capítulo 2.6.1 e implementado no

software descrito no Apêndice E.

52 < < ≥ ≤ ≤ ≤ = ≤ ≤ = = i k i i k i k i k k i E E E K E A E E E E N k n i n i k a max min ___ max min , , ln , 1 , 0 0 ; , 0 1 ; 0 , 0 (2.41)

A equação 2.41 é válida desde que não haja quebra de nenhum tamanho para a classe energética zero e nenhuma quebra além do intervalo granulométrico pré-estabelecido.

Assumindo que os fragmentos de tamanho i formados pela quebra tenham a mesma

distribuição de tensões do tamanho i testado (desconsiderando se sua fonte era uma

partícula forte ou fraca), a fração mássica de partículas que quebra sob a ação da energia da classe k é dada por:

≤ ≤ ≤ < − ≤ ≤ = =

− k N i n

a a n i k c k i k i k

i _{, 0 ;1}

1 ; 0 , 0 1 , ,

, (2.42)

Assumindo que a verdadeira distribuição de quebra primeira acumulada tem a forma proposta por Austin e Luckie (1972), dada por:

(

)

Onde ΦΦΦΦ, ββββ e γγγγ são constantes adimensionais dependentes do material, sendo que a constante Φj é dada por:

δ Φ = Φ j j x x₁

53

Onde δδδδ é uma constante adimensional dependente do material.

Deniz e Onur (2002) realizaram um estudo baseado nas equações de Austin e Luckie e mostraram que:

Quando os valores de Bi,j independem da distribuição inicial, isto é, são

dimensionalmente normalizados, a constante δ é igual a zero;

Os valores de α, β e γ não são significantemente diferentes para diferentes níveis de preenchimento de finos durante uma moagem, mas os valores de Φ tendem a crescer quando crescem os níveis de preenchimento;

A constante γ está ligada inversamente à produção de finos. Assim sendo,

valores de γ = 0,71 indicam uma menor produção de finos, já valores de γ = 0,67

indicam uma maior produção de finos.

Ainda segundo os autores, os valores de Bi,j podem ser determinados experimentalmente

através da seguinte expressão:

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

Onde Pi(t) é a fração mássica na descarga do moinho de tamanho menor que xi no

tempo t.

Já KOKA e TRASS (1987) mostram que:

54

maiores que um para a moagem a seco e menores que um para moagens a úmido;

A velocidade de rotação do moinho tem algum efeito nos valores de Bi,j, mas

este não é considerável.

AUSTIN, BAGGA & CELIK (1981) determinaram as constantes β, γ, Φ e δ para quatro materiais, conforme mostrado na tabela 2.2 abaixo.

Tabela 2.2 – Valores dos parâmetros ββββ, γγγγ, ΦΦΦΦ e δδδδ para quartzo, coke, clínquer e

antracito. Materiais Parâmetros

Coke de petróleo Quartzo Clínquer Antracito

γ 0,85 1,10 0,75 1,05

β 4,80 5,40 4,00 4,00

Φ 0,40 0,52 0,37 0,50

δ 0,00 0,00 0,23 0,00

YILDIRIM, CHO e AUSTIN (1999) mostraram que para a moagem a seco de quartzo, os valores das constantes devem ser β = 4,00, γ = 1,05, Φ = 0,45 e δ = 0.

A fração de produto da classe energética k da equação 2.42 que cai para a classe

granulométrica i é dada por:

0 ;

, 1,

, 1 ,

,j = i j − i+ j ≤ ≤ n+ j =

i B B j i n B

b (2.45)

Denomina-se p’i,k a fração mássica de material que chega no tamanho i e de classe

energética k que pode ser re-quebrada, nota-se que a soma de p’i,k não é igual a 1 porque

55 ≤ ≤ > ≥ = = ≤ ≤ = = − = = − 1

1 , , ,

, 0 ; 1 ' . . ; 1 , 1 0 ; 1 , 0 ' i t k N u u t k u t t i k i N k i n p c b N k i N k i

p (2.46)

A soma das frações remanescentes de material inquebrado que deixa o tamanho i em

cada passo é o produto final deixando a zona de impacto, dada matematicamente por:

(

)

i a p

p

0

, , . '

1 _(2.47)

Acumulando a partir do menor tamanho a fração mássica menor que o tamanho xi,

tem-se: = = i n j j i p P (2.48)

Como parte do material de alimentação no tamanho unitário 1 pode permanecer inquebrado, o valor da quebra primária acumulada aparente é dado por:

1 , 1 1 1 , ___ < ≤ −

= n i

p p

Bi i (2.49)

Segundo Austin, as equações 2.33 a 2.49 podem ser usadas em um programa de computador para calcular a distribuição cumulativa de quebra real do material. Em um algoritmo repetitivo, onde se varia a energia (E) a cada iteração do programa pode-se