TESTE: POLIEDROS – PRISMAS E CILINDROS (Vale 1,5 ponto)

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COLÉGIO PEDRO II – UNIDADE ESCOLAR SÃO CRISTÓVÃO III PRIMEIRA ETAPA LETIVA / 2009

MATEMÁTICA II – 3ª SÉRIE

PROFESSOR: WALTER TADEU DATA: ____________

NOTA:

NOME: GABARITO

www.professorwaltertadeu.mat.br TESTE: POLIEDROS – PRISMAS E CILINDROS

(Vale 1,5 ponto)

QUESTÃO 1: Um poliedro convexo tem 3 faces pentagonais e algumas faces triangulares. Qual o número de faces desse poliedro, sabendo-se que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares?

Solução. De acordo com as informações, temos:

i) Número de faces pentagonais: 3 ii) Número de faces triangulares: x iii) Número de arestas: 4x

Expressando o número de arestas em função do número de faces e suas arestas, vem:

. 3 15

5 8 3 2 15

) 3 ( ) 5 ( 4 3

2          

 x x x x x

nF x

A O total de faces é 3 + 3 = 6.

QUESTÃO 2: Um poliedro convexo de 33 arestas possui faces triangulares e hexagonais. Sendo 6840º a soma dos ângulos internos das faces, o número de faces triangulares e hexagonais é, respectivamente:

Solução. A soma dos ângulos internos das faces é calculada com S

_i

 ( V  2 ). 360 º . Com essa fórmula,

calculamos o número de vértices: 19 19 2 21

º 360

º 2 6840 º

360 ).

2 ( º

6840  V   V     V    .

O número de faces é calculado como: A  2  V  F  33  2  21  F  F  35  21  14 . Considerando “x”

o número de faces triangulares e “y” o de hexagonais, temos o sistema:

222 8 14 222

)1(14 2 33

63 14

 

 



 

 







 

 



 



yx y yx yx

yx yx yx

Logo, x = 14 – 8 = 6. O poliedro possui, então 6 faces triangulares e 8 faces

hexagonais.

QUESTÃO 3: A figura abaixo corresponde à planificação de um prisma regular hexagonal de altura 2a e perímetro da base igual a 3a. Determine a distância entre os pontos P e Q no prisma. (UFRJ – 2006).

Solução. No prisma planificado e montado marcamos um ponto R na aresta que contém P e a mesma distância da base que o ponto Q.

a) Se o perímetro da base vale 3a,

então cada lado do hexágono mede

(3a)/6 = a/2. Como o raio do hexágono

inscrito possui a mesma medida do

lado, r = a/2.

(2)

b) PR é perpendicular a RQ.

c) O valor de PQ pedido no problema não é o mostrado na planificação, mas no prisma montado.

d) P e Q estão em arestas opostas cuja distância é o diâmetro “a” da circunferência que circunscreve a base.

Logo, RQ = a.

e) Os triângulos pintados na planificação são semelhantes, logo: a PR a PR a PR

a a

a     

2 3 6

2 / 3 2

3

²

.

f) No prisma o triângulo PRQ é isósceles e ^PQ

²

 ^PR

²

 ^RQ

²

 ^PQ

²

 ^a

²

 ^a

²

 ² ^a

²

 ^PQ  ^a ²

QUESTÃO 4: Sabe-se que de um prisma hexagonal regular o apótema da base mede 3 3 cm e a aresta lateral, 10cm. Calcule:

Solução. Observando a figura, identificamos o triângulo retângulo que permite calcular aresta e conseqüentemente a área da base.

a) A medida da aresta da base: Do triângulo temos:

. 6 36

108 3

108 4 4

2 27 ) 3 3 (

2

2 2

2 2 2



















 



 



 



x x

x x x x

x

b) Área total: A área da base é dada pelo sêxtuplo da área do triângulo eqüilátero de lado 6cm. Temos:

2 2

2

3 4 54

3 216 4

3 ) 6 ). ( 6 4 ( ). 3 6

( l cm

A

_b

    . A área lateral é calculada pelo sêxtuplo da área de

cada retângulo de lados 6cm e 10cm: A

_l

 ( 6 ).( 10  6 )  ( 6 ).( 60 )  360 cm

²

Logo a área total será: ² ^. ^A

b

 ^A

l

 ² ^.( ⁵⁴ ³ ⁾  ³⁶⁰   ¹⁰⁸ ³  ³⁶⁰  ^cm

²

c) Volume do prisma: O volume é calculado pelo produto da área da base pela altura. Como o prisma é reto, a altura é a aresta lateral: V  A

_b

 h  54 3  10  540 3 cm

³

QUESTÃO 5: A figura mostrada representa uma pedra de moinho chamada mó. A peça possui 60cm de altura, raio interior de 20cm e exterior de 50cm. Calcule o volume da mó.

Solução. Considerando V

T

o volume total e V

i

o volume interior, o volume

da mó, V

mó

= V

T

– V

i

:

3 3

2

3 2

126000 24000

150000

24000 60

) 20 )(

(

150000 60

) 50 )(

(

cm V

V V

cm h

A V

cm h

A V

i T mó

b i

b T





























QUESTÃO 6: A figura representa um prisma quadrangular regular com dimensões em centímetros.

Solução. Se o prisma é quadrangular regular, então as bases são quadradas.

a) Encontre a expressão algébrica A(x) da área total.

Há duas bases quadradas de lado (x) e quatro faces com dimensões

(2x + 4) e (x):

x x

A

x x