E: Energia mecânica

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Reforço de Engenharia

Trabalho e Conservação da Energia

RESUMO

 Conceito de Trabalho em Física

http://www.observatoriodelosestrategas.es/2010/05/de-donde-proceden-tus-ideas-las-fuentes.html ...normalmente representado por W, do inglês work, ou pela letra grega 𝜏) é uma medida da energia transferida pela aplicação de uma força ao longo de um deslocamento.

E: Energia mecânica

A unidade SI de trabalho é o joule (J), que se define como o trabalho realizado por uma força de um newton (N) atuando ao longo de um metro (m) na direção do deslocamento. O trabalho pode igualmente exprimir-se em N.m, como se depreende desta definição. Estas são as unidades mais correntes, no entanto, na medida em que o trabalho é uma forma de energia, outras unidades são por vezes empregadas.

 Trabalho de uma Força

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Reforço de Engenharia

É muito comum no ensino médio calcularmos o trabalho de uma força no qual esta se demonstra sempre com o mesmo valor ao longo do deslocamento e ao longo do tempo em que se decorre o evento.

Na natureza, contudo, é muito mais recorrente que as forças variem de intensidade.

Consideremos agora o que acontece quando a força varia à medida que a partícula se desloca, ou seja, depende da posição x ocupada pela partícula:

𝐹⃗ = 𝐹(𝑥)𝑥̂

Onde F(x) pode ser positivo ou negativo.

Para não assustar meninas e meninos, estamos nos restringindo, por enquanto, ao caso unidimensional.

i da partícula em torno de uma posição xi tal que a força permaneça

i), o trabalho realizado pela força sobre a partícula é

∆𝑊_𝑖= 𝐹(𝑥_𝑖)∆𝑥_𝑖

Para calcular o trabalho realizado num deslocamento finito x0  x1, podemos decompô-lo em uma sucessão

i, a cada um dos quais aplicamos a expressão acima, passando depois

i  0:

𝑊_𝑥₀_→𝑥₁ = lim

∆𝑥_𝑖→0∑ 𝐹(𝑥_𝑖)∆𝑥_𝑖

𝑖

Onde a soma se estende de x0 até x1. E finalmente, podemos redigir que:

𝑊_𝑥₀_→𝑥₁= ∫ 𝐹(𝑥)𝑑𝑥

𝑥₁

𝑥₀

O que representa a área compreendida entre o gráfico F(x) e o eixo Ox, na região que vai de x0 até x1.

Se liga!

E se a força F(x) for constante?!

𝑊𝑥₀→𝑥₁= ∫ 𝐹(𝑥)𝑑𝑥

𝑥₁ 𝑥₀

= ∫ 𝐹𝑑𝑥

𝑥₁ 𝑥₀

= 𝐹 ∫ 𝑑𝑥

𝑥₁ 𝑥₀

= 𝐹𝑥 Onde ∫ 𝑑𝑥_𝑥^𝑥¹

0 representa o deslocamento total percorrido pela partícula. Perceba que ganhamos a famigerada e recorrente expressão para o trabalho que usamos muito e muito na época do vestibular.

Se liga!

Por definição:

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Reforço de Engenharia

𝑊_𝐹^𝑥⁰^→𝑥¹ = 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑥⃗⃗⃗⃗⃗

Isto é, o trabalho realizado por uma força F aplicada à partícula para se deslocar de x0 até x1 é dado, matematicamente, pelo produto escalar da força 𝐹⃗ com o deslocamento 𝑑𝑥⃗⃗⃗⃗⃗ (representação unidimensional).

Obs.: Mais tarde, veremos os casos de dimensões superiores e outras aplicações em que as forças são de outra natureza que não mecânica em que as expressões matemáticas ganham outro perfil!

O trabalho é um número real, que pode ser positivo ou negativo. Quando a força atua no sentido do deslocamento, o trabalho é positivo, isto é, existe energia sendo acrescentada ao corpo ou sistema. O contrário também é verdadeiro, uma força no sentido oposto ao deslocamento retira energia do corpo ou sistema. Qual tipo de energia, se energia cinética ou energia potencial, depende do sistema em consideração.

Obs.: Há duas condições para que uma força realize trabalho:

1. Que haja deslocamento;

2. Que haja força ou componente da força na direção do deslocamento.

Obs.: um corpo em movimento circular uniforme (velocidade angular constante) está sujeito a uma força resultante centrípeta. No entanto, esta resultante não realiza trabalho, visto que é perpendicular à trajetória.

Obs.: Esta definição é válida para qualquer tipo de força, independentemente da sua natureza. Assim, pode tratar-se de uma força de atrito, gravitacional, elétrica, magnética, etc.

Obs.:

Trabalho motriz  F e d no mesmo sentido.

Trabalho resistente  F e d em sentidos contrários.

 Força Conservativa e Trabalhos do Peso e da Força Elástica

Uma força é dita conservativa quando o seu trabalho é independente da trajetória. Em outras palavras, ao se mover, sob ação dessa força, uma partícula de um ponto A ao ponto B, o trabalho é independente da trajetória percorrida entre eles.

Ex.:

P1, P0 e P2 são posições h é o desnível Cx representam as trajetórias

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C0: um caminho aleatório.

C1: plano inclinado.

C2: arco de círculo (pêndulo).

C3: queda livre vertical de P1 até P0 seguida do deslocamento horizontal P0P2.

Obs. e Se liga! (Eita! Importante ein!)

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Quando a partícula desce ao longo do plano inclinado ou pelo pêndulo, a força gravitacional não é a única a atuar sobre ela. Atua também num caso a reação de contato N do plano, e no outro e tensão T do fio.

Entretanto, na ausência de atrito, tanto N como T são normais à trajetória da partícula e não realizam trabalho.

Ambas estas forças são exemplos de reações de vínculos: o plano inclinado vincula a partícula a permanecer sobre ele, o fio do pêndulo obriga-a a ficar a uma distância fixa do ponto de suspensão. É um fato geral que as reações de vínculos fixos, sem atrito, não realizam trabalho (são sempre normais aos deslocamentos), de forma que podemos ignorá-las no cálculo do trabalho.

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O termo conservativa vem do fato de que, em se levando, por um caminho arbitrário, um objeto sujeito a essa força de um ponto A ao ponto B, e retornando então ao ponto A por alguma outra trajetória qualquer, não haverá perda da energia total - em qualquer caminho fechado, o trabalho dessa força será nulo.

Quer ver? Tá duvidando ainda? Olha aqui! Olha lá!

Usaremos a seguinte propriedade das integrais curvilíneas:

∫ 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑙^𝑃² ⃗⃗⃗⃗

𝑃₁ (𝐶)

= − ∫ 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑙^𝑃¹ ⃗⃗⃗⃗

𝑃₂ (𝐶)

Ou seja, a integral muda de sinal quando percorremos o caminho de integração em sentido inverso (em cada trecho infinitesimal, 𝑑𝑙⃗⃗⃗⃗ → −𝑑𝑙⃗⃗⃗⃗).

Seja uma força F conservativa e sejam C1 e C2 dois caminhos diferentes ligando P1 a P2 (figura abaixo).

Assim, rabiscamos que

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Reforço de Engenharia

∫^𝑃² 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑙⃗⃗⃗⃗

𝑃₁ (𝐶₁)

= ∫^𝑃² 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑙⃗⃗⃗⃗

𝑃₁ (𝐶₂)

Mas aplicando a propriedade de integrais supracitada, vem que:

∫^𝑃² 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑙⃗⃗⃗⃗

𝑃₁ (𝐶₂)

+ ∫^𝑃¹ 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑙⃗⃗⃗⃗ = 0

𝑃₂ (𝐶₁)

Mas percorrer o caminho C2 de P1 a P2 e depois voltar de P2 a P1 ao longo de C1 equivale a descrever o caminho fechado C da figura acima (b).

Para finalizar o raciocínio, há uma maneira condensada e bonita de escrever isso:

∮ 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑙⃗⃗⃗⃗ = 0

Obs.: É condição necessária e suficiente para que uma força seja conservativa que o trabalho por ela realizado ao longo de qualquer caminho fechado se anule.

Obs.: O trabalho de uma tal força entre dois pontos A e B quaisquer depende apenas do valor que a energia potencial associada assume em A e B. Analisaremos matematicamente essa frase futuramente 😉

Exemplos de forças conservativas:

- Gravitacional

Considerando um corpo de massa m que se desloca de um ponto A (nível mais alto) para um ponto B (nível mais baixo), segundo uma trajetória qualquer:

Sendo o desnível entre A e B igual a h, P o peso do corpo e d o deslocamento entre A e B, o trabalho realizado pela força peso é dado por:

𝑊_𝑃^𝐴→𝐵 = 𝑃𝑑𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 =ℎ

𝑑 𝑒 𝑃 = 𝑚𝑔

𝑊𝑃𝐴→𝐵 = {+𝑚𝑔ℎ (𝑑𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑑𝑜)

−𝑚𝑔ℎ (𝑠𝑢𝑏𝑖𝑛𝑑𝑜) - Elástica

Seja a partícula de massa m presa a uma extremidade de uma mola cuja outra extremidade é fixa.

A figura (b) a seguir mostra a situação de equilíbrio (mola nem comprimida nem esticada), em que a força 𝐹⃗

que atua sobre a partícula se anula.

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Reforço de Engenharia

Seja x o deslocamento da partícula, medido a partir desta posição de equilíbrio.

Verifica-se, empiricamente, que se |x| não for excessivamente grande, a força 𝐹⃗ exercida pela mola sobre a partícula é dada pela seguinte lei de força:

𝐹(𝑥) = −𝑘𝑥 (𝑙𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝐻𝑜𝑜𝑘𝑒)

Onde k é uma constante positiva, chamada constante da mola.

As figuras (a) e (c) ilustram que a força F tende a se opor ao deslocamento da partícula, trazendo-a de volta à situação de equilíbrio, ou seja:

F > 0 para x < 0 (compressão da mola) F < 0 para x > 0 (distensão da mola)

Obs.: Esta força F é, por isso, chamada de força restauradora.

Obs.: A constante da mola k mede-se em N/m.

Como a força elástica é variável, lançamos mão da integral a fim de calcular o trabalho realizado por ela sobre a partícula

𝑊𝑥₀→𝑥₁= −𝑘 ∫ 𝑥𝑑𝑥

𝑥₁ 𝑥₀

A interpretação geométrica do segundo membro é que representa a área sombreada na figura a seguir

Ou seja,

𝑊_𝑥₀_→𝑥₁ = −𝑘

2(𝑥₀+ 𝑥₁)(𝑥₁− 𝑥₀)

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𝑊𝑥₀→𝑥₁ = − (1

2𝑘𝑥₁²−1 2𝑘𝑥₀²)

Isto é,

𝑊𝐹< 0 → |𝑥1| > |𝑥₀|(𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜) 𝑊_𝐹> 0 → |𝑥₁| < |𝑥₀|(𝑑𝑖𝑚𝑖𝑛𝑢𝑖çã𝑜 𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜) Obs.: Com muitíssimo efeito, é de se esperar tal resultado, pois

1º caso: F e d têm MESMOS sentidos.

2º caso: F e d têm sentidos CONTRÁRIOS.

Pode-se analisar isso pelo o ângulo 𝜃 entre F e d

- Elétrica

Veremos sua análise, futuramente!

 Teorema da Energia Cinética

Podemos demonstrar esse teorema da maneira convencional e prática (i) ou da maneira mais rebuscada (ii):

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(i) Sabemos que:

𝑊 = 𝐹𝑑 (1) 𝐹 = 𝑚𝑎 (2)

𝑣²= 𝑣₀²+ 2𝑎𝑑 → 𝑑 =𝑣²− 𝑣₀² 2𝑎 (3) E substituindo (3) e (2) em (1), ganhamos

𝑊 =𝑚𝑎 (2)

𝑣²− 𝑣02

2𝑎 (3)

𝑊 =𝑚(𝑣²− 𝑣₀²) 2

Ou então, para visualizarmos melhor 𝑊 =1

2𝑚𝑣²−1

2𝑚𝑣₀²= 𝐾 − 𝐾₀= ∆𝐾 Agora, façamos, da maneira hardcore!!!

E aqui é válido seja para uma força variável ou constante, no movimento unidimensional!

Consideramos então que o movimento da partícula entre as posições x0 e x1 sejam atingidas nos respectivos instantes t0 e t1. A equação do movimento é dada pela 2ª lei de Newton:

𝐹 = 𝑚𝑎 = 𝑚𝑑𝑣 𝑑𝑡

Onde a e v são a aceleração e velocidade instantâneas da partícula, respectivamente. Se a velocidade v é a velocidade da partícula correspondente a um deslocamento infinitésimo dx, temos

𝑑𝑥 = 𝑣𝑑𝑡 =𝑑𝑥 𝑑𝑡𝑑𝑡

𝑊_𝑥₀_→𝑥₁= ∫ 𝑚𝑣𝑑𝑣 𝑑𝑡𝑑𝑡

𝑡₁ 𝑡₀

Onde

𝑥(𝑡0) = 𝑥₀, 𝑥(𝑡1) = 𝑥₁ Obs.:

--- Do ponto de vista da Física: Isso corresponde a integrar o trabalho realizado ao longo do movimento, considerando a variação das grandezas com o tempo, em lugar da posição ao longo da trajetória, o que é obviamente equivalente.

--- Do ponto de vista da Matemática: o que fizemos foi uma mudança de variável, tomando t em lugar de x como variável independente.

Podemos calcular imediatamente a integral do W logo acima fazendo outra mudança de variável de integração, que consiste em tomar a velocidade v como variável independente

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Reforço de Engenharia

𝑑𝑣 =𝑑𝑣 𝑑𝑡𝑑𝑡

Sejam

𝑣(𝑡0) = 𝑣₀, 𝑣(𝑡1) = 𝑣₁

as velocidades nas posições inicial e final, respectivamente. Então a integral do W fica 𝑊_𝑥₀_→𝑥₁= ∫ 𝑚𝑣𝑑𝑣

𝑣₁ 𝑣₀

Que é uma integral do mesmo tipo da

𝑊_𝑥₀_→𝑥₁= −𝑘 ∫ 𝑥𝑑𝑥

𝑥₁ 𝑥₀

Com k  -m.

Nada mais justo que o resultado ser análogo, ora pois!

𝑊_𝑥₀_→𝑥₁ = ∫ 𝐹(𝑥)𝑑𝑥

𝑥₁ 𝑥₀

=1

2𝑚𝑣₁²−1

2𝑚𝑣₀² = 𝐾₁− 𝐾₀= ∆𝐾 Ou seja,

O trabalho realizado por uma força qualquer sobre uma partícula é igual à variação da energia cinética da partícula entre as posições inicial e final.

 Teorema da Conservação da Energia Mecânica

Antes de diferenciarmos os casos em que somente há forças conservativas atuando no sistema dos que há forças dissipativas também atuando, primeiro vos lanço a seguinte pergunta do internauta!

Pelos vários cálculos no material acima, percebe-se facilmente que sabemos como obter a energia potencial U(x) dado a força F(x), mas será que é possível obtermos F(x) dado U(x)?

Lembrex!

𝑑

𝑑𝑥∫ 𝑓(𝑥^′)𝑑𝑥^′

𝑥 𝑥₀

= 𝑓(𝑥)

Ou seja, a derivada em relação a um limite superior de integração é a função integrando tomada neste limite.

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Reforço de Engenharia

Ok, de novo com um pouco mais de didática!

Aaaah sim, Oh yeah!

Assim, reescrevemos U(x):

𝑈(𝑥) = ∫ 𝐹(𝑥^′)𝑑𝑥^′

𝑥 𝑥₀

= − ∫ 𝐹(𝑥^′)𝑑𝑥^′

𝑥₀ 𝑥

(𝑝𝑟𝑜𝑝𝑟𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑗á 𝑣𝑖𝑠𝑡𝑎 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒)

Derivando ambos os lados,

𝑑𝑈(𝑥) 𝑑𝑥 = − 𝑑

𝑑𝑥∫ 𝐹(𝑥^′)𝑑𝑥^′

𝑥₀ 𝑥

→𝑑𝑈(𝑥)

𝑑𝑥 = −𝐹(𝑥)

Logo,

𝐹(𝑥) = − 𝑑 𝑑𝑥𝑈(𝑥)

Vamos agora associar o trabalho entre as posições x1 e x2 com a energia potencial.

Sabe-se que 𝑊1→3= 𝑊1→2+ 𝑊2→3, ou seja, o trabalho para ir de 1 até 3 é a soma de 1 até 2 com 2 até 3.

Por esta propriedade, podemos rabiscar

𝑊𝑥₁→𝑥₂= 𝑊𝑥₁→𝑥+ 𝑊𝑥→𝑥₂

Só que 𝑊_𝑥₁_→𝑥= 𝑈(𝑥₁)

E usando a propriedade 𝑊𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙→𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 = −𝑊𝑓𝑖𝑛𝑎𝑘→𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 no segundo termo do lado direito, vemos que:

𝑊_𝑥₁_→𝑥₂= 𝑈(𝑥₁) + 𝑊_𝑥₂_→𝑥 E aí vemos que 𝑊𝑥₂→𝑥= 𝑈(𝑥2)

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Reforço de Engenharia

Portanto,

𝑊_𝑥₁_→𝑥₂ = −∆𝑈

Very good!

Agora, podemos diferenciar cada caso!

a) Sem forças dissipativas

... somente há forças conservativas agindo sobre o sistema considerado.

Vimos que o trabalho de uma força conservativa entre as posições x1 e x2 pode ser expresso de duas formas equivalentes:

𝑊_𝑥₁_→𝑥₂ = ∆𝐾 =1

2𝑚𝑣₂²−1

2𝑚𝑣₁², 𝑣₂²= 𝑣²(𝑥₂) 𝑒 𝑣₁²= 𝑣²(𝑥₁) 𝑊𝑥₁→𝑥₂ = −∆𝑈 = −𝑈(𝑥2) + 𝑈(𝑥₁)

1

2𝑚𝑣₂²−1

2𝑚𝑣₁²= −𝑈(𝑥₂) + 𝑈(𝑥₁) 𝑜𝑢, 𝑟𝑒𝑒𝑠𝑐𝑟𝑒𝑣𝑒𝑛𝑑𝑜

1

2𝑚𝑣₂²+ 𝑈(𝑥₂)1

2𝑚𝑣₁²=1

2𝑚𝑣₁²+ 𝑈(𝑥₁)

Como x1 e x2 são posições genéricas, vemos que há uma conservação de uma determinada quantidade (a soma da energia cinética com a energia potencial) em todas as posições. A esta soma daremos o nome de energia mecânica E como já vimos também. Assim,

𝐸 =1

2𝑚𝑣²+ 𝑈(𝑥) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 Como não muda ao longo do tempo,

𝑑𝐸

𝑑𝑡 = 0 → 𝐸 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒

b) Com forças dissipativas

𝑊𝑓𝑜𝑟ç𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑠𝑖𝑝𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠= ∆𝐸𝑚𝑒𝑐â𝑛𝑖𝑐𝑎

Ora, já que há forças que não conservam a energia mecânica ao longo do tempo, podemos dizer em outras palavras que ela está, na verdade, variando.

Cabe nesses casos analisar qual é a lei de força de cada força dissipativa que atua sobre a partícula!

 Potência

Potência média (P)

...grandeza que determina a quantidade de energia concedida por uma fonte a cada unidade de tempo.

𝑃 = 𝐸

∆𝑡

Onde E pode ser qualquer forma de energia: mecânica, potencial gravitacional, potencial elástica, potencial elétrica, cinética, calor, etc.

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Unidade: W (watt)

Obs.: não confundir W (watt) com W (trabalho). Pelo amor!

Potência instantânea (Pi)

𝑊 = 𝑃∆𝑡 𝑊 = ∫ 𝑃𝑑𝑡

𝑡₂ 𝑡₁

Pela relação existente entre energia E e trabalho W, tem que 𝑃 =𝑊

∆𝑡=𝐹𝑑𝑐𝑜𝑠𝜃

∆𝑡 = 𝐹𝑣𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑑

∆𝑡= 𝑣

...é a rapidez com a qual uma certa quantidade de energia é transformada ou é a rapidez com que o trabalho é realizado.

Obs.:

Se for velocidade média, estaremos calculando a potência média.

Se for a velocidade instantânea, estaremos calculando a potência instantânea.

Pensando em você Engenheiro!

a compreensão sobre o assunto potência é de grande relevância, dado que quando um engenheiro vai projetar uma máquina, na ótica da engenharia, é importante definir o tempo mínimo no qual a máquina irá produzir trabalho, dando assim maior credibilidade do que se apenas a quantidade de trabalho que ela poderá realizar fosse especificada.

Rendimento (η)

O que eu estou utilizando de um total que me foi dado?

𝜂 = Ú𝑡𝑖𝑙

𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙= 𝑃_{ú𝑡𝑖𝑙} 𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

= 𝐸ú𝑡𝑖𝑙

⁄∆𝑡 𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

⁄∆𝑡= 𝐸_{ú𝑡𝑖𝑙} 𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

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Reforço de Engenharia

http://cemiteriodosfisicos.blogspot.com.br/2012/09/potencia-definicao-e-relacao-com.html