Matemática Financeira

Matemática Financeira

Profª VERÔNICA MARIA

1 - REVISÃO

Operações com Números Reais

 Existe uma regra para adição e subtração

 Existe uma outra regra para multiplicação e divisão

SOMA OU SUBTRAÇÃO COM NÚMEROS INTEIROS • Os números têm o mesmo sinal = SOMAM-SE

• Os números têm sinais diferentes = SUBTRAEM-SE

NOS DOIS CASOS SEMPRE FICAM O SINAL DO NÚMERO MAIOR

Exercício 1) Calcule as operações a) 5 + 9 = +14 ou 14 b) 5 – 9 = – 4 c) – 5 – 9 = – 14 d) – 5 + 9 = + 4 ou 4 e) – 6 – 10 = f) 100 – 8 = g) 8 + 2 = h) – 1 + 5 =

MULTIPLICAÇÃO OU DIVISÃO DE NÚMEROS

SINAIS IGUAIS = SINAL POSITIVO ( + ) SINAIS DIFERENTES = SINAL NEGATICO ( – ) OU MULTIPLICAÇÃO DIVISÃO – x – = + – : – = + + x + = + + : + = + – x + = – – : + = – + x – = – + : – = – Exercício a) ( +23 ) . (+3 ) = +69 = 69 b) ( + 5 ) . (– 8 ) = – 40 c) (– 200 ) : ( – 100 ) = 2 d) ( –10 ) . ( –5 ) = 50 e) ( –50 ) : ( + 2 ) = – 25 f) ( –1 ) . ( 90 ) .( –2 ) = 180

SOMA E SUBTRAÇÃO DE FAÇÕES Exemplo a) 𝟏 𝟒 + 𝟏 𝟒 + 𝟏 𝟒 = 𝟑 𝟒 b) (𝟔 + 𝟒 −𝟑) 𝟏𝟐 = 𝟕 𝟏𝟐 c) 𝟏 𝟒 − 𝟑 𝟔 = − 𝟑 𝟏𝟐 = − 𝟏 𝟒 𝐝) 𝟏 −𝟗 + 𝟏𝟔 −𝟐𝟒)_𝟏𝟐 = 𝟕 𝟏𝟐 e) 𝟏𝟔 𝟏𝟐 = 𝟒 𝟑 MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES

Para efetuar a multiplicação de frações, deve-se multiplicar os numeradores entre si e os denominadores entre si. Exemplos: a) 𝟏 𝟑 . 𝟒 𝟕 = 𝟏 . 𝟒 𝟑 . 𝟕 = 𝟒 𝟐𝟏 b) ( −𝟐 𝟑 ) . ( − 𝟒 𝟓 ) = �− 𝟐�. (−𝟒) 𝟑 . 𝟓 = 𝟖 𝟏𝟓 c) 3 . ( 𝟐 𝟑 . 𝟏 𝟖 ) = 𝟑. 𝟐 . 𝟏 𝟑 . 𝟖 = 𝟔 𝟐𝟒 = 𝟏 𝟒 DIVISÃO DE FRAÇÕES

Para efetuar a divisão de frações, deve-se multiplicar a fração dividenda pelo inverso da fração divisora.

Exemplos: a) 𝟏 𝟑 : 𝟒 𝟕 = 𝟏 𝟑 . . 𝟕 𝟒 = 𝟕 𝟏𝟐 b) −𝟏 𝟓 : 𝟐 𝟓 = −𝟏 𝟓 . 𝟓 𝟐 = −𝟓 𝟏𝟎 = −𝟏 𝟐 c) 5 : (− 𝟒 𝟕 ) = 𝟏 𝟓 . ( 𝟕 −𝟒 ) = 𝟕 − 𝟐𝟎 Potênciação an = a . a . a. a . a... a n fatores a = base e n = expoente Exemplo a) 23 = 2 . 2 . 2 = 8 b) 52 = 5 . 5 = 25 c) 25 = 2 .2 . 2 . 2 . 2 = 32

Potência Casos Especiais

a) Toda base a elevada ao expoente 0 é igual a 1. a0 = 1

20 = 1

b) Toda base a elevada ao expoente 1 é igual a base. a1 = a

51 = 5

c) Uma base a elevada a um expoente negativo –n é igual ao inverso da base com expoente positivo a- n =

3-2 = ( 𝟏 𝟑 )

2

a) A potência de um número positivo é sempre positiva a) 23 = 2 . 2 . 2 = 8

b) 52 = 5 . 5 = 25

b)A potência de um número negativo é positiva se o expoente for par

a) (- 2)4 = (-2 ) . (-2) . (-2 ) . ( -2 ) = 16 b) ( - 5 )2 = ( - 5 ) . ( - 5 ) = 25

c) A potência de um número negativo é negativa se o expoente for ímpar a) ( – 5 ) 3 = ( - 5 ) . ( - 5 ) . ( - 5 ) = – 125 b) ( – 2 ) 5 = ( - 2 ). ( - 2 ) ( - 2 ). ( - 2 ) . ( - 2 ) = – 32 𝒅) ( 𝒂_𝒃 ) n = 𝒂3 𝒃3 ( 𝟒 𝟕 ) 3 = 𝟒3 𝟕3 = 𝟔𝟒 𝟑𝟒𝟑 e) (a . b) n = (a) n . (b) n ( 3 . 4) 3 = (3) 3 . (4) 3 = 1728 [(–1) . (5)] 2 = (–1) 2 . (5) 2 = 25 7 Regra de Três Simples

 É um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais

conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

 Importante utilizar uma propriedade da matemática: Produto dos meios é igual ao produto dos

extremos. 𝑨 𝑩 = 𝑪 𝑫 onde: A.D = B.C

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Na padaria Doce Mania, há um cartaz afixado junto ao caixa, com os preços do pão do tipo “Francês”

Número dos pães Preço (R$)

1 0,50

2 1,00

3 1,50

4 2,00

Observe os valores, quando o número de pães dobra, o valor a ser pago também dobra; quando o número de pães triplica, o valor a ser pago também triplica.

EXEMPLO

1) Sabendo que três pães custam R$ 1,50; quanto custará 35 pães?

Note que se aumentarmos a quantidade de pães, aumentará também o seu preço.

Portanto, são grandezas diretamente proporcionais (DP)

PÃES VALOR (R$)

3 1,50

35 x

3 x = 35 . 1,50

3. x = 53,5

x =

x = 17,5

Viajando de carro, à velocidade de 60 km/h, eu gastaria 4 horas para fazer certo percurso. Aumentando a

velocidade para 120 km/h, em quanto tempo farei esse percurso?

Velocidade (km/h) Tempo ( h) 60 4 120 x

120 x = 60 . 4

X =

= 2 horas

EXERCÍCIO

a) Se 8 metros de tecido custam R$ 200,00. Quanto custam 12 metros desse mesmo tecido?

b) Desejo ler um livro de Física de 240 páginas. Nas primeiras duas horas consegui ler 10 páginas. Continuando

nesse ritmo, quantas horas gastarei para ler o meu querido livro de Física?

c) 4 torneiras abertas enchem um tanque em 1 hora e 10 minutos. Quantas torneiras iguais a essas serão

necessárias para enchaer o mesmo tanque em 40 minutos?

d) Um navio partiu do porto do Itaqui para uma viagem em alto mar levando a bordo reservas suficientes para

alimentar seus 20 tripulantes durante 30 dias. Logo após a partida do navio, percebeu-se a presença de 4

tripulantes clandestinos. Nessas condições, quantos dias ainda vão durar as reservas de alimentos?

e) Para transportar certo volume de minério foram utilizados 30 minivagões carregados com 10 metros cúbicos

de minério cada um. Adquirindo-se minivagões com capacidade para 12 metros cúbicos de minério, quantos

vagões destes seriam necessários para fazer tal serviço?

f) Um relógio atrasa 27 segundos em 72 horas. Quanto segundos atrasará em 8 dias?

g) Quero ampliar uma foto 3 x 4 (3 cm de largura e 4 cm de comprimento) de forma que a nova foto tenha 10,5

cm de largura. Qual será o comprimento da foto ampliada?

h) Com 4 latas de tinta pinta-se 280 m

_{de parede. Quantos metros quadrados podem}

ser pintados com 11 latas dessa tinta?

i) Com certa quantidade de fio, um tear produz 35 m de tecido com 50 cm de largura.

Quantos m de tecido com 70 cm de largura esse tear pode produzir com a mesma

quantidade de fio?

j) Com 10 kg de trigo podemos fabricar 7kg de farinha. Quantos quilogramas de trigo

sãonecessários para fabricar 28 kg de farinha?

k) Em um banco, constatou-se que um caixa leva, em média, 5 minutos para atender 3

clientes. Qual é o tempo que esse caixa vai levar para atender 36 clientes ?

A matemática financeira visa o estudo do valor do dinheiro no tempo, nas aplicações e no pagamentos de empréstimos. É uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa.

As operações de aplicações e empréstimos são geralmente realizadas por meio da intermediação de uma

instituição financeira que capta recursos de um lado e os empresta de outro. A captação é feita a uma taxa

menor que a de empréstimo, e a diferença é a remuneração da instituição. São vários opções de aplicação (também chamado de investimentos) que um investidor tem à sua disposição. Por exemplo: Caderneta de poupança, Certificado de Depósito Bancário (CDB), etc.

Cada opção tem sua taxa, em função do prazo da aplicação e dos riscos envolvidos. Analogicamente, os tomadores de empréstimos têm várias opções de financiamento (instrumentos) cujas taxas variam em função dos

prazos de pagamento e das garantias oferecidas.

De um modo geral, quando as taxas sobem, os aplicadores tendem a aumentar a oferta de capitais, mas os tomadores tendem a diminuir a demanda por crédito. Na determinação das taxas de juros, o Governo tem uma grande influência, seja regulamentando o funcionamento das instituições financeiras, ou comprando ou vendendo títulos públicos, cobrando impostos, etc.

Os fundos de investimentos ou fundos de pensão e previdência também tem um importante papel na intermediação financeira. O dinheiro dos investidores captados pelos fundos de investimentos é utilizado para compra de títulos públicos e privados ou ações. Por meio dos ganhos oferecidos por esses papeis, o investidor recebe a remuneração. Quando um investidor aplica em um fundo de investimentos, ele adquire um certo número de cotas desse fundo e a valorização da cota é decorrente da rentabilidade de seus papeis. Comportamento analógico com os fundos de previdência e pensão, em que o aplicador visa ao recebimento de uma renda por ocasião de sua aposentadoria.

Quando se trata de dinheiro e tempo alguns elementos básicos devem ser levados em conta, tais como: . Risco - Os juros produzidos, de uma certa forma, compensam riscos do investimentos

ou o tomador do empréstimo terá como pagar a dívida, etc.

. Inflação – A administração do poder aquisitivo da moeda num determinado período.

. Oportunidade – Será que vão surgir outros investimentos mais lucrativos no decorrer desse tempo?

Tendo em vista que o emprestador abstém-se de usar o valor emprestado, e ainda, em função da perda do poder aquisitivo do dinheiro pela inflação e do risco de não-pagamento, surge o conceito de juros.

Juros Simples ou Capitalização Simples

VOCÊ SÓ CALCULA JUROS SOBRE O CAPITAL INICIAL Exemplo:

Se você tem um capital inicial de R$ 100,00, qual os juros e montante?

No 1° mês J1 = 10% de 100 = 10,00 M1 = 100 + 10 = 110,00 No 2° mês J2 = 10% de 100 = 10,00 M2 = 110 + 10 = 120,00 No 3° mês J3 = 10% de 100 = 10,00 M3 = 120 + 10 = 130,00 FÓRMULAS J = 𝒄 . 𝒊 . 𝒏 𝟏𝟎𝟎 M = c + j M = C . ( 1 + i . n) ONDE:

c = Capital é todo valor monetário que uma pessoa empresta a outro por um certo tempo. i = taxa é o valor do juros em uma certa unidade de tempo, expressa como uma porcentagem do capital. Ex. 2 % ao ano, 1,5% ao mês, etc.

n = tempo é o tempo decorrido desde o inicio até o final de uma operação financeira. m = montante é o capital mais juros

Cuidado

A taxa e o tempo deverão ser sempre considerados na mesma unidade de tempo.

TAXAS EQUIVALENTES

São taxas que, aplicadas ao mesmo capital, durante o mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo mantante. Exemplo:

3% a.m. = 36% a.a. ( 3 x 12 meses) 42% a.a. = 3,5% a.m. (42 ÷ 12 meses)

Baseado em 1 ano = 12 meses

PORCENTAGEM

FORMA PORCENTUAL TRANSFORMAÇÃO FORMA UNITÁRIA

12 % a. a 𝟏𝟐 𝟏𝟎𝟎 0,12 a. a 6 % a. s 𝟔 𝟏𝟎𝟎 0,06 a. s 100 % a. d 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎 1 a. d Nomenclatural de taxas

15% a.m. Quinze por cento ao mês 5% a.d. Cinco por cento ao dia

10% a.a. Dez por cento ao ano 7% a.s. Sete por cento ao semestre 8% a.t. Oito por cento ao trimestre

EXERCÍCIO PORCENTAGEM

1)Se um imóvel for vendido por R$ 45.000,00; então minha comissão de 5 % será calculada da seguinte forma:

Portanto, a questão quer: 5 % de 45.000 𝟓 𝟏𝟎𝟎 x 𝟒𝟓.𝟎𝟎𝟎 𝟏 = 𝟐𝟐𝟓.𝟎𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎 = 2.250,00

2) Um apartamento que custava R$ 65.000,00 passou a custar R$ 75.000,00, qual foi o aumento em porcentagem deste imóvel?

Regra de três simples valor porcentagem (%) 65.000 100 10.000 x 65 000 . X = 10 000 . 100 x = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟔𝟓𝟎𝟎𝟎 = 15,39 % OBS. (75.000 - 65.000) = 10.000,00

JUROS EXATO E COMERCIAL Juros Comercial 

Ano = 360 dias Mês = 30 dias Juros Exato 

Ano = 365 ou 366 dias (ano bissexto) Mês = Calendário

Ex.: Fevereiro = 28 ou 29 dias Julho = 31 dias

Identificar se 30 ou 31 com os ossos da mão

EXERCÍCIO DE JUROS

1) Qual o valor do juros simples e montante de um empréstimo de R$ 10.000,00; à taxa de 3% a.m.,

pelo prazo de 3 meses?

j = ? c = 10.000,00 i = 3% a.m. = 𝟑 𝟏𝟎𝟎 = 0,03 a.m. n = 3 meses j = 𝒄 . 𝒊 . 𝒏 𝟏𝟎𝟎 M = C + J j = 𝟏𝟎.𝟎𝟎𝟎. 𝟑. 𝟑 𝟏𝟎𝟎 M = 10.000,00 + 900,00 j = 100 . 9 M = 10.900,00 j = 900,00 EXERCÍCIO

01) O capital de R$ 530,00 foi aplicado á taxa de juros simples de 3% ao mês. Qual o valor do montante após 5 meses de aplicação? R - R$ 609,50

j = 𝒄 . 𝒊 . 𝒏

j = 𝟓𝟑𝟎 . 𝟑 . 𝟓

𝟏𝟎𝟎 M = 530 + 79,50 M = 530 ( 1 + 0,03 . 5) j = 𝟓𝟑 . 𝟑 . 𝟓

𝟏𝟎 M = 609,50 M = 530 . 1,15 j = 79,50 M = 609,50

02) Um capital de R$ 600,00, aplicado a uma taxa de juros simples de 20% ao ano, gerou um montante de R$ 1080,00 depois de certo tempo. Qual foi esse tempo? R - 4 anos

ou

03) Qual foi o capital que, aplicado à taxa de juros simples de 1,5% ao mês, rendeu R$ 90,00 em um trimestre? R - R$ 2000,00 j = 𝒄 . 𝒊 . 𝒏 𝟏𝟎𝟎 90 = 𝑪 . 𝟏,𝟓 . 𝟑 𝟏𝟎𝟎 9000 = 4,5 C c = 𝟗𝟎𝟎𝟎 𝟒,𝟓 c = 2000,00

04) A que taxa devemos aplicar o capital de R$ 4500,00, no sistema de capitalização simples, para que depois de 4 meses, o montante seja de R$ 5040,00? R - 3% a.m.

M = C + j j = 𝒄 . 𝒊 . 𝒏 𝟏𝟎𝟎

ou

05) Quanto rendeu a quantia de RS 600,00, aplicado a juros simples, com taxa de 2,5 % ao mês, no final de 1 ano e 3 meses? R - R$ 225,00 j = 𝒄 . 𝒊 . 𝒏 𝟏𝟎𝟎 j = 𝟔𝟎𝟎 . 𝟐,𝟓 . 𝟏𝟓 𝟏𝟎𝟎 j = 225,00

06) Um capital de R$ 800,00, aplicado a juros simples com uma taxa de 2% ao mês, resultou um montante de R$ 880,00 após certo tempo. Qual foi o tempo da aplicação? R - 5 meses

j = 𝒄 . 𝒊 . 𝒏 𝟏𝟎𝟎

ou

07) Uma dívida de RS 750,00 foi paga 8 meses depois de contraída e os juros pagos foram de R$ 60,00. Sabendo que o cálculo foi feito usando juros simples, qual foi a taxa de juros? R - 1% ao mês.

j = 𝒄 . 𝒊 . 𝒏 𝟏𝟎𝟎 600 = 600 . i 60 = 𝟕𝟓𝟎 . 𝒊 . 𝟖 𝟏𝟎𝟎 i = 𝟔𝟎𝟎 𝟔𝟎𝟎 = 1 % ao mês

08) Um capital aplicado a juros simples rendeu, à taxa de 25% ao ano, juros de R$ 110,00 depois de 24 meses. Qual foi esse capital? R - R$ 220,00

j = 𝒄 . 𝒊 . 𝒏 𝟏𝟎𝟎 c = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟓𝟎 110 = 𝑪 . 𝟐𝟓 . 𝟐 𝟏𝟎𝟎 C = 220,00 11000 = 50 . c

09) Em 1º de março de 2004 uma pessoa emprestou a quantia de R$ 4000,00, a juros simples, com taxa de 4% ao mês. Qual era o montante da dívida em 1º de julho de 2004? R - R$ 4640,00 j = 𝒄 . 𝒊 . 𝒏 𝟏𝟎𝟎 M = C + J j = 𝟒𝟎𝟎𝟎 . 𝟒 . 𝟒 𝟏𝟎𝟎 M = 4000 + 640 j = 640,00 M = 4640,00

10) Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado para que seu valor dobre, no sistema de juros simples, a taxa de 2% ao mês. R - 50 meses

Suponha que o capital seja R$ 100,00 j = 𝒄 . 𝒊 . 𝒏 𝟏𝟎𝟎 n = 𝟏𝟎𝟎 𝟐 n = 50 meses 100 = 𝟏𝟎𝟎 . 𝟐 . 𝒏 𝟏𝟎𝟎 100 = 2 . n

11) Comprei um novo computador, mas como não tinha o dinheiro todo, fiz um empréstimo para pagá-lo. Ao final do empréstimo terei pago R$ 4.300,00. Só de juros pagarei R$ 1.800,00. A taxa foi de 3% a.m. Por quantos anos pagarei pelo empréstimo? Qual o preço do computador sem os juros? R – 2 anos

M = c + j j = 𝒄 . 𝒊 . 𝒏 𝟏𝟎𝟎 transformar mês em ano 4300 = c + 1800 1800 = 𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎 . 𝟑. 𝒏 𝟏𝟎𝟎 24 meses = 2 anos 4300 – 1800 = c 1800 = 75 . n c = 2500,00 n = 𝟏𝟖𝟎𝟎 𝟕𝟓 = 24 meses

12) Comprei o material para a reforma da minha casa, pelo qual pagarei um total de R$ 38.664,00. O seu valor à vista era de R$ 27.000,00 e a taxa de juros é de 2,4% a.m. Por quantos anos eu pagarei por este material? R – 1,5 ano

M = c + j j = 𝒄 . 𝒊 . 𝒏

𝟏𝟎𝟎 transformar 18 meses em anos

38664 = 27000 + j 11664 = 𝟐𝟕𝟎𝟎𝟎 . 𝟐,𝟒 . 𝒏

𝟏𝟎𝟎 ano mês 38664 – 27000 = j 11664 = 648 n 1 12 j = 11664,00 n = 𝟏𝟏𝟔𝟔𝟒

𝟔𝟒𝟖 = 18 meses x 18

x = 1,2 = 1,5 ano (um ano e meio, ou seja 18m)meses) 13) Aninha retirou de uma aplicação o total R$ 74.932,00, após decorridos 3,5 semestres. O valor dos juros obtidos foi de R$ 22.932,00. Qual a taxa de juros a.b.? R – 4,2% ab

Transformar semestre em bimestre

Sem bim M = c + j j = 𝒄 . 𝒊 . 𝒏 𝟏𝟎𝟎 1 3 74932 = c + 22932 22932 = 𝟓𝟐𝟎𝟎𝟎 . 𝒊. 𝟏𝟎,𝟓 𝟏𝟎𝟎 3,5 x 74932 – 22932 = c 22932 = 5460 . i x = 10,5 bimestre c = 52000,00 i = 4,2 ao bimestre

14) O valor principal de uma aplicação é de R$ 2.000,00. Resgatou-se um total de R$ 2.450,00 após 1 mês. Qual o valor da taxa de juros a.d.? R – 0,75% ad

M = c + j j = 𝒄 . 𝒊 . 𝒏

𝟏𝟎𝟎 transformar 22,5% am em ad 2450 = 2000 + j 450 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 . 𝒊 . 𝟏

2450 - 2000 = j 450 = 20 . i 22,5 30

i = 22,5 % a m x 1

x = 0,75% ao dia

15) Timóteo pagou mensalmente, pelo período de 1 ano, por um curso que à vista custava R$ 1.800,00. Por não ter o dinheiro, financiou-o a uma taxa de juros simples de 1,3% a.m. Qual o valor total pago pelo curso? Qual o valor dos juros R – 280,80 ; 2080,80

j = 𝒄 . 𝒊 . 𝒏 𝟏𝟎𝟎 M = C + J M = 1800 + 280,80 j = 𝟏𝟖𝟎𝟎. 𝟏,𝟑 . 𝟏𝟐 𝟏𝟎𝟎 M = 2080,80 j = 280,80

16) Um aplicador investiu R$ 35.000,00 por 1 semestre, à taxa de juros simples de 24,72% a.a. Em quanto o capital foi aumentado por este investimento? R – 4.326,00 transformar

% ao ano em semestre j = 𝒄 . 𝒊 . 𝒏 𝟏𝟎𝟎 % a a % s 24,72 2 j = 𝟑𝟓𝟎𝟎𝟎 . 𝟏𝟐,𝟑𝟔 . 𝟏 𝟏𝟎𝟎 x 1 j = 4326,00 x = 12,36 % ao semestre

17) Em uma aplicação recebi de juros R$ 141,75. O dinheiro ficou aplicado por 45 dias. Eu tinha aplicado R$ 3.500,00. Qual foi a taxa de juros a.a. da aplicação? R – 32,4% a.a

18) Maria Gorgonzola realizou uma aplicação por um período de 1 bimestre. Em tal período o capital de R$ 18.000,00 rendeu a ela R$ 1.116,00 de juros. Qual foi a taxa de juros a.a. utilizada? R – 37,2% a.a

19) Maria recebeu R$ 5.000,00 de juros, por um empréstimo de 1 mês. A taxa de juros aplicada foi de 37,5% a.a. Quanto Maria havia emprestado? R – 160.000,00

20) Ambrózio recebeu R$ 1.049,60 de juros ao aplicar R$ 8.200,00 à taxa de 19,2% a.s. Qual foi o prazo da aplicação em meses? R – 4 meses

DESCONTO COMERCIAL OU BANCÁRIO OU POR FORA DESCONTO SIMPLES

A ideia de desconto está associada com um abatimento dado a um valor monetário em determinada condição.

Desconto simples a taxa de desconto incide sempre sobre o valor futuro.

FÓRMULAS

D = VF – VP

D = VF . i .n

VP = VF ( 1 – i . n)

VARIÁVEIS:

VP - Valor presente quanto o cliente recebe hoje pelo seu título.

VF - Valor futuro (valor nominal, valor de face, valor de resgate) é o valor que está escrito no título e só

poderá ser sacado no prazo.

n - Prazo de vencimento do título.

I - Taxa de desconto utilizado na operação, em porcentagem por teríodo por período.

D - Desconto comercial ou bancário

EXERCÍCIO

1) Qual o valor do desconto, cuja valor futuro é de R$ 100,00 quando é quitado 3 meses antes do vencimento, à

taxa de desconto comercial de 2% ao mês?

D = VF – VP

D = 100 - 94

D = 6,00

2)Uma duplicata de R$ 20.000,00 foi descontada 2 meses antes de seu vencimento, á taxa de 30% ao ano.

CALCULE O VALOR PRESENTE E O DESCONTO COMERCIAL.

D = VF . i . N Trannsformar taxa ano para mês

D= 20000 x (0,30/12)m x 2m i = 0,30/12 = 0,025 ao mês

D= 20.000 x 0,025m x 2m

D= 20.000 x 0,05

D= R$ 1.000,00→ Desconto Comercial

D = VF – VP

VP = VF - D

VP = 20000 - 10000

VP = 19.000,00

3) Um título de R$ 4.800,00 foi descontado antes de seu vencimento por R$ 4.476,00. Sabendo que a taxa de

desconto comercial é de 32,4% ao ano, calcule o tempo de antecipação do resgate?

VF = 4800

VP = 4476

i = 32,4%a.a = 0,324/12 = 0,027 ao mês)

D = VF - VP

D = 4800 - 447 = 324,00

D = VF . i . N

324 = 4800 . 0,027 . n

324 = 129,6 . n

n = 324/129,6

n = 2,5 meses

OBS. n = 2,5 meses são 2 meses e a metade de um mês = 30 + 30 + 15

n = 75 dias

4) Qual a diferença entre "taxa de juros simples" e "taxa de descontos"?

Taxa de Juros simples incide sobre o capital inicial e Taxa de Desconto incide sobre o montante (valor futuro)

5) Qual valor do desconto comercial simples concedido a um título com valor nominal de R$ 10.000,00, à taxa de

3% ao mês, resgatado 3 meses antes do seu vencimento?

D = R$ ?

VF = 10.000,00

i = 3% a.m. = 0,03 a.m.

n = 3 meses

D = VF . i . N

D = 10.000 . 0,03 . 3

D = 900,00

JUROS COMPOSTOS OU CAPTALIZAÇÃO COMPOSTA

FÓRMULAS

Montante

M = C . (1 + i)

Juros compostos

J = C . [ 1 + i)

_{- 1]}

EXERCÍCIO

1)Rose aplicou R$ 300,00 em um investimento que rende 2% ao mês no regime de juros compostos. Qual valor juros nesses dois meses?

2) Calcule o juros e montante de uma aplicação financeira a juros compostas, nas seguintes condições: a)Capital: R$ 300,00; taxa: 2% a.m.; prazo: 4 meses

b) Capital: R$ 2.500,00; taxa: 5% a.m.; prazo: 1 ano c) Capital: R$ 100,00; taxa: 16% a.a.; prazo: 3 anos

3) Um capital de R$ 5.000,00 é aplicado durante 5 anos, à taxa de juros compostas de 10% ao ano. a) Qual o montante da aplicação após esse período?

b) Qual seria o montante da aplicação se o regime estabelecido fosse de juros simples?

4)Um investidor aplicou R$ 14.000,00 a juros compostos de 2% ao mês. Quanto reais terá após 3 meses de aplicação?

5) Cláudia aplicou R$ 5.000,00; à taxa de 3% ao mês, durante 5 meses. Que montante esse capital irá gerar, se o regime for de juros compostos? Quantos reais de juros obterá nessa operação?

6)Calcule o juros compostos que será obtido na aplicação de R$ 25.000,00 a 25% ao ano por 60 meses.

7) Qual o valor do juro composto de um empréstimo de R$ 10.000,00, à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de 3 meses?

Exercício desconto simples

1) Uma duplicata de R$ 20.000,00 foi descontada 2 meses antes de seu vencimento, á taxa de 30% ao ano. CALCULE O VALOR PRESENTE E O DESCONTO COMERCIAL.

2) Um título de R$ 4.800,00 foi descontado antes de seu vencimento por R$ 4.476,00. Sabendo que a taxa de desconto comercial é de 32,4% ao ano, calcule o tempo de antecipação do resgate?

4) Qual valor do desconto comercial simples concedido a um título com valor nominal de R$ 10.000,00, à taxa de 3% ao mês, resgatado 3 meses antes do seu vencimento?

Exercício juros compostos

1)Rose aplicou R$ 300,00 em um investimento que rende 2% ao mês no regime de juros compostos. Qual valor ela terá no final de dois meses?

2) Calcule o juros e montante de uma aplicação financeira a juros compostas, nas seguintes condições: a)Capital: R$ 300,00; taxa: 2% a.m.; prazo: 4 meses

b) Capital: R$ 2.500,00; taxa: 5% a.m.; prazo: 1 ano c) Capital: R$ 100,00; taxa: 16% a.a.; prazo: 3 anos

3) Um capital de R$ 5.000,00 é aplicado durante 5 anos, à taxa de juros compostas de 10% ao ano. a) Qual o montante da aplicação após esse período?

b) Qual seria o montante da aplicação se o regime estabelecido fosse de juros simples?

4)Um investidor aplicou R$ 14.000,00 a juros compostos de 2% ao mês. Quanto reais terá após 3 meses de aplicação?

5) Cláudia aplicou R$ 5.000,00; à taxa de 3% ao mês, durante 5 meses. Que montante esse capital irá gerar, se o regime for de juros compostos? Quantos reais de juros obterá nessa operação?

6)Calcule o juros compostos que será obtido na aplicação de R$ 25.000,00 a 25% ao ano por 60 meses.

7) Qual o valor do juro composto de um empréstimo de R$ 10.000,00, à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de 3 meses?