3.1 Introdução. EV1) A soma é uma composição interna em V, isto é, se u,

Espaços Vetoriais

A estrutura de espaço vetorial, que será tratada neste ca-pítulo, é o conceito básico da Álgebra Linear. Um espaço vetorial não é outra coisa que um conjunto de vetores que satisfazem um conjunto de regras (axiomas). Este conceito proporciona unidade e precisão aos assuntos essenciais da Matemática. Após introduzir o sistema axiomático e as propriedades fundamentais, estaremos em condições de entender as idéias mais importantes que se derivam deste conceito.

3.1 Introdução

3.1.1 Definição

Seja V um conjunto não vazio, K um corpo ‘ + ’ e ‘∗ ’, duas opera-ções que chamaremos soma e produto por escalar, respectivamente. Dizemos que o objeto ( , K,' ',' ')V + ∗ é um espaço vetorial (EV) (ou que V é um espaço vetorial sobre o corpo K ) se, e somente se,

verifi-cam-se os seguintes axiomas:

EV1) A soma é uma composição interna em V , isto é, se ,u v∈V ,

então u+ ∈v V.

EV2) A multiplicação de u V∈ por um escalar é uma composi-ção externa em V , isto é, se α é um escalar em K e u∈V ,

então α ∈u V.

EV3) ... ⋮

A esta lista segue uma série de propriedades que completam a defi-nição de espaço vetorial, que omitiremos por enquanto (não se pre-ocupem, elas serão relacionadas depois).

Em álgebra abstrata, um corpo é uma estrutura algébrica na qual estão definidas as operações de adição e multiplicação, que cumprem com as pro-priedades associativa, co-mutativa e distributiva.

Isto é o que você pode esperar, em geral, quando se procura por uma definição de espaço vetorial nos textos de Álgebra Linear. Para o leitor, que está começando com AL, esta definição pode ser formal demais para introduzir a idéia de EV. Em algum momento, deverá valorizar o rigor matemático da forma como a definição está sendo colocada acima, e gradativamente adotá-lo.

Agora, tomaremos um caminho alternativo para entender este con-ceito com maior facilidade. Valer-nos-emos, para isso, de exemplos de conjuntos (que são espaços vetoriais) com os quais você já tem alguma familiaridade.

Consideremos os seguintes conjuntos: o conjunto de vetores

no plano 2

ℝ , o conjunto formado pelas funções f : ℝ→ℝ,

denotado por ( )F ℝ , e o conjunto das matrizes quadradas de ordem m com coeficientes reais, que denotaremos por M_{m m×} .

3.1.2 Vetores no Plano

Vetores não-nulos no plano podem ser representados geometrica-mente por segmentos orientados. Essa representação geométrica nos ajudaram a visualizar como as operações de multiplicação de

um vetor por um escalar e de soma de vetores funcionam em 2

ℝ . Consideremos um ponto ( ,x x1 2) no plano, que não esteja situado na

origem. É possível associar-lhe um segmento orientado com origem em (0,0) e extremo em ( ,x x1 2), que representamos como sendo o

vetor _∈ 2

x ℝ , onde x1 e x2 são as respectivas componentes.

Vamos ao que nos interessa. Consideremos agora dois vetores x e y ,

e um escalar α∈ ℝ . Sabemos que para cada vetor 1

2 x x   =     x e para

cada escalar α , o produto αx é definido por:

1 2 x x α α α   =     x ,

que é um outro vetor que possui a mesma direção que x e que pode ter o sentido e comprimento mudado dependendo do valor de α.

O matemático Hermann Grassmann (1809-1877) é geralmente creditado como o primeiro a introduzir a idéia de EV, em 1844. Porém, uma pessoa que realmente o estudou foi o matemático italiano Giuseppe Peano (1852-1932), que em seu livro Cálculo Geométrico, tornou claro o trabalho anterior de Grassmann e descreveu as propriedades para um EV da maneira como hoje o conhecemos. O livro de Peano é também digno de nota por introduzir operações em conjuntos, cujas anotações são: , e

Por outro lado, a soma de dois vetores e x y é definida como: 1 1 1 1 2 2 2 2 x y x y x y x y +       + =_{  }+ _{ }= _ +       x y .

Esta operação pode ser resolvida graficamente, utilizando a regra do paralelogramo, então x+y (o segmento orientado sobre a

diago-nal do paralelogramo) é representado por outro vetor, cuja origem coincide com a origem de x e extremo com o de y .

Salientamos o fato de que 2

α ∈x ℝ e _{+ ∈} 2 x y ℝ . (0,0) x x+y < x1, x2 > < x1+y1, x2+y2 > y

Figura 3.1 - A soma de x e y e o produto αx.

3.1.3 Funções Reais

A soma de duas funções f e g de ( )F ℝ (funções com domínio nos

reais) é definida como sendo a função (f +g)∈F( )ℝ dada por:

(f +g x)( )= f x( )+g x( ).

Note também que, se α∈ ℝ , podemos multiplicar a função f pelo escalar α , da seguinte forma:

(αf)( )x =α( ( ))f x ,

resultando, por sua vez, num elemento de ( )F ℝ . Mais uma vez, a

y (x,2f(x)) (x,−3f(x)) (x, f(x)) (x,0) f 2f −3f y g f+g f x (x,0) (x, f(x)) (x, g(x)) (x, f(x)+g(x))

Figura 3.2 - A soma de funções e o produto por escalar.

3.1.4 Matrizes

Podemos somar duas matrizes quadradas de ordem n ( Mn n× )

(as quais denotamos como A ( )= aij n n× e B ( )= bij n n× ), colocando

A+ =B (a_ij+b_{ij n n}) _× , que é também uma matriz de M_{n n×} .

Com relação à multiplicação de A ( )= aij n n× por um escalar α∈ ℝ , é

natural definirmos A (α = αa_{ij n n}) _× , que também pertence a M_{n n×} .

Você saberia dizer o que estes conjuntos citados anteriormente, com as operações de adição entre seus próprios elementos, por um lado, e a multiplicação de seus elementos por escalares, têm em comum?

Para começar, você pode ter percebido que: em todos os casos, a soma de um par de elementos do conjunto e/ou a multiplicação de qualquer elemento por um escalar resulta em outro elemento do mesmo conjunto.

Para continuar, vejamos se conseguimos encontrar outras proprie-dades em comum que poderiam ser aplicadas a esses conjuntos. Vetores no Plano - Lembrando do estudado na disciplina Geometria Analítica, não será difícil entender o significado das seguintes igual-dades, (aqui ,α β ∈ ℝ e , ,x y z são vetores no plano).

+ = + x y y x 1) ; ( ) ( ) + + = + + x y z x y z 2) ;

se

3) 0 representa o vetor nulo, então x 0+ =0;

o vetor

4) −x ( o oposto de x ) é tal que x+ − =( x) 0;

( ) ( ) α βx = αβ x 5) ; (α+β)x=αx+βx 6) ; ( ) α x+y =αx+αy 7) ; 1⋅ =x x 8) .

Sugestão. Reproduza estes itens fazendo um esboço dos vetores resultantes em ambos os lados das igualdades e formule as propriedades algébricas cor-respondentes.

Funções reais - Verifica-se facilmente, a partir das propriedades dos números reais, que, com relação a quaisquer funções f , g e h em

( )

F ℝ _{e para todo ,}α β ∈ ℝ, são válidos os seguintes resultados:

f + = +g g f 1) ; ( ) ( ) f + g+h = f +g +h 2) ; se

3) 0 representa a função nula, isto é, 0( ) 0x = para todo x,

então 0+ = ;f 0 a função

4) − definida por (f −f x( ))= −f x( ) para todo x ∈ ℝ é tal que (−f)+ = ;f 0 (αf)=( )α f 5) ; (α+β) f =αf +βf 6) ; (f g) f g α + =α +α 7) ; 1 f⋅ = f 8) .

Matrizes - Agora, com relação a quaisquer matrizes A , B e C em M_{n n×} e para todo ,α β ∈ ℝ , também são válidos os seguintes resulta-dos: A B+ = +B A 1) ; ( ) ( ) A+ B C+ = A B+ +C 2) ; se

3) O representa o função nula, isto é, O=(0 )_{ij n n×} , então

se

4) A=(a_{ij n n}) _× , então a matriz A− definida por − = −A ( a_{ij n n})_× é tal que A+ −( A)= ;O ( A) ( )A α β = αβ 5) ; (α+β) A=αA+βA 6) ; (A B) A B α + =α +α 7) ; 1 A⋅ =A 8) .

Observamos que os conjuntos considerados, quando munidos das operações de soma e multiplicação por escalares, apresentam pro-priedades algébricas comuns.

Na verdade, muitos outros conjuntos munidos das operações, de soma e multiplicação por escalar, apropriadas apresentam proprie-dades semelhantes às anteriores.

Em vez de investigar as propriedades de cada conjunto em parti-cular, consideraremos um conjunto qualquer (desconsiderando a natureza de seus elementos) não vazio, V ( cujos elementos cha-maremos genericamente de vetores), sobre o qual supomos esta-rem definidas uma operação de adição, isto é, para cada ,u v∈V ,

existe um único elemento de V associado, chamado a soma entre u e v e denotado por u+v, e uma multiplicação por escalar, isto é,

para cada u∈V e α∈ ℝ , existe um único vetor associado, chamado

de o produto de u pelo escalar α e denotado por αu .

Estamos agora em condições de introduzir o conceito de espaço vetorial.

3.2 Espaços Vetoriais

3.2.1 Definição

Diremos que um conjunto V , munido de duas operações: uma de adição entre quaisquer elementos do comjunto e outra de multipli-cação de quaisquer elemento do conjunto por escalar, é um espaço

vetorial, se para quaisquer , ,u v w∈V, e para todo escalar ,α β ∈ ℝ, são válidos os seguintes axiomas:

O termo axioma é origi-nado da palavra grega

(axioma), que significa algo que é con-siderado, ajustado ou adequado, ou que tem um significado eviden-te. Entre os filósofos dos gregos antigos, um axio-ma era uaxio-ma reivindicação que podia ser vista para ser verdade sem nenhuma necessidade de prova.

Existe a operação de adição: u+v _{está em V (fechado sob adição).}

Isto significa que a soma de dois elementos quaisquer de V é um único elemento em V .

EV1) u+ = +v v u para quaisquer ,u v∈V. A soma é comutativa

em V .

EV2) u+(v+w)=(u+v)+w para quaisquer , ,u v w∈V. A soma é

associativa em V .

EV3) Existe um elemento 0∈V, chamado vetor nulo tal que 0 +u=u

para todo u∈V.

EV4) Para cada u∈V existe -u∈V tal que u+ − =( u) 0; todo elemen-to de V admite o inverso aditivo ou oposelemen-to em V .

Existe a operação de multiplicação por escalar: αu está em V (fecha-do sob multiplicação por escalar).

EV5) α β( u)=(αβ)u para quaisquer u∈V e ,α β ∈ ℝ. EV6) (α+β)u=αu+βu para quaisquer u∈V e ,α β ∈ ℝ. EV7) α(u+v)=αu+αv para quaisquer ,u v∈V e α∈ ℝ;

distributividade em relação à soma em V . EV9) l =u u para qualquer u∈V.

Observações:

Os elementos de

1) V são chamados de vetores.

Na maioria dos casos, os

2) escalares serão os números reais.

Des-sa maneira, nos referiremos a V como um espaço vetorial real (ou espaço vetorial sobre os números reais). É possível também tomarmos os escalares como números complexos ou perten-centes a ℤ. Os nossos exemplos serão de espaços vetoriais re-ais. Os escalares podem ser tomados de qualquer sistema nu-mérico no qual podemos somar, subtrair, multiplicar e dividir de acordo com as leis habituais da aritmética.

A definição de espaço vetorial não especifica quais elemen-3)

tos formam o conjunto V . Também não especifica o que as operações chamadas “adição” e “multiplicação por escalar” devem ser.

O elemento

4) 0, o vetor nulo , na propriedade EV3 é único, pois

se existisse qualquer outro 0' V∈ satisfazendo a EV3, teríamos:

( por EV3) ( por EV1)

' = +' = + '=

0 0 0 0 0 0, isto é, 0=0'.

5) α+ e αβ é soma e produto de escalares, respectivamente; β

+

u v é a soma de dois vetores em V ; αu é o produto de um

escalar por um vetor.

Outro exemplo de espaço vetorial, além dos apresentados no início

do texto, é o conjunto dos vetores de 3

ℝ (vetores do espaço tridi-mensional), como foram apresentados em Geometria Analítica, mu-nidos da adição e da multiplicação por escalar.

O adjetivo vetorial utilizado na definição acima deve ser entendido de uma forma mais ampla, sendo uma referência aos elementos de

V , independentemente de serem ou não vetores ℝ2 ou 3

ℝ .

3.2.2 Propriedades

Dos oito axiomas que definem um espaço vetorial, podemos deduzir várias outras propriedades. Alguma delas são relacionadas a seguir: Seja u∈V um espaço vetorial. Temos que:

O produto de qualquer escalar pelo vetor nulo é o vetor nulo, 1)

isto é, para qualquer α∈ ℝ, 0 0α = . O produto do escalar

2) 0 por qualquer vetor é o vetor nulo, isto

é, para qualquer u∈V, 0u=0.

Se o produto de um escalar por um vetor é o vetor nulo, então 3)

o escalar é 0 ou o vetor é o vetor nulo, isto é, se α =u 0, então

0

α = ou u=0.

O produto do oposto de um escalar por um vetor é igual ao 4)

oposto de seu produto, isto é, para quaisquer α∈ ℝ e u∈V ,

(−α)u= −(αu). Para quaisquer

5) α β ∈ ℝ, e u∈V, (α β− )u=αu−βu.

Para quaisquer

Para quaisquer 7) α β β, 1, 2,…,β ∈n ℝ e u u1, 2,…,un∈V 1 1 ( ) n n j j j j j j α β αβ = =   =   

∑

∑

10) u v, ∈V, então existe um único w∈V tal que u w+ = v.

A prova de algumas destas propriedades podem ser encontra-das na bibliografia. Qualquer dúvida, procure o tutor de seu pólo!

3.2.3 Exemplos

Talvez o exemplo mais simples de espaço vetorial seja o conjun-to dos números reais com a adição e multiplicação por escalar em forma usual.

Mas geralmente, para cada n ∈ ℕ , podemos transformar o

conjun-to das n -uplas ordenadas de números reais n

ℝ (um vetor de n

ℝ e

uma matriz n ×1 com componentes reais) em um espaço vetorial,

definindo a adição de duas n -uplas ordenadas ( ,1 2, , )

T n x x x = x … e 1 2 ( ,y y , ,yn)T =

y … adicionando-se componente a componente, isto

é, ( 1 1, 2 2, , )

T n n

x y x y x y

+ = + + +

x y … e o produto de uma n -upla

1 2

( , , , )T

n

u u u

=

u … por um escalar α∈ ℝ por ( ₁, ₂, )T

n

u u u

αu= α α …α .

Exemplo 1. Consideremos n

V = ℝ com a soma e a multiplicação

por escalar, definidas como anteriormente (as usuais). Para

veri-ficarmos os oito axiomas de EV, consideremos ( ,1 2, , )

T n x x x = x … , 1 2 ( , , , )T n y y y = y … e z=( ,z z_{1 2},…,z_n). Tem-se que: EV1) ( 1 1, 2 2, , ) T n n x y x y x y + = + + + x y … 1 1 2 2 ( , , , )T n n y x y x y x = + + … + = +y x

EV2) 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 ( ) ( ( ), ( ), , ( )) ( , , , ) (( ) , ( ) , , ( ) ) ( ) T n n n T n n n T n n n x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z + + = + + + + + + = + + + + + + = + + + + + + = + + x y z x y z … … … EV3) 1 2 1 2 1 2 (0, 0, , 0) ( , , , ) (0 , 0 , , 0 ) ( , , , ) T T n T n T n x x x x x x x x x + = + = + + + = = 0 x x … … … … EV4) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 ( ) ( , , , ) ( ( , , ) ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) (0, 0, 0) T T n n T T n n T n n T x x x x x x x x x x x x x x x x x x + − = + − = + − − − = − − − = = x x 0 … … … … … … EV5) _{1 2} 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ( , , , ) ) (( , , , ) ) ( , , , ) ( , , , ) ( ) T n T n T n T n x x x x x x x x x x x x α β α β α β β β αβ αβ αβ αβ αβ = = = = = x x … … … … EV6) 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ( ) ( )( , , , ) (( ) , ( ) , , ( ) ) (( ), ( ), , ( )) ( , , , ) ( , , , ) T n T n T n n T T n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x α β α β α β α β α β α β α β α β α α α β β β α β + = + = + + + = + + + = + = + x x x … … … … … EV7) 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 ( ) (( , , , ) ( , , ) ) ( , , , ) ( ( ), ( ), , ( )) T T n n T n n T n n x x x y y y x y x y x y x y x y x y α α α α α α α α + = + = + + + = + + + = + x y x y … … … … EV8) _{1 2} 1 2 1 2 1 1 ( , , ) (1 ,1 , 1 ) ( , , , ) T n T n T n x x x x x x x x x ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = = x x … … …

Nos seguintes exemplos deve-se conferir que os conjuntos são espa-ços vetoriais.

Exemplo 2. Seja V =P2( )ℝ o conjunto formado por todos os

polinô-mios de grau menor ou igual a 2 com coeficientes reais. Definimos a adição e a multiplicação por escalar da seguinte maneira:

Se r
2 0 1 2 ( ) p x =a +a x+a x e q x( )=b₀+b x b x₁ + ₂ 2 estão em P₂, então 2 0 0 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p x +q x = a +b + a +b x+ a +b x é outro polinômio

que tem grau no máximo 2 e, portanto, está em P2. Aqui

dize-mos que a soma entre vetores, ou a soma vetorial é uma ope-ração fechada. Se r
c é um escalar, então 2 0 1 2 ( ) cp x =ca +ca x ca x+ também está

em P2. Também o produto por escalar é uma operação fechada.

Os dois primeiros axiomas são fáceis de verificar. Proceda como foi feito no exemplo anterior.

Você saberia dizer qual é o vetor nulo em P2?

Existe um polinômio cujo valor seja sempre igual a 0 para todo x ? O vetor nulo 0 é o polinômio zero, isto é, o polinômio cujos coefi-cientes são todos nulos: a =0 0, a =1 0 e a =2 0.

Confiramos EV4: o oposto de um polinômio 2

0 1 2 ( ) p x =a +a x+a x é o polinômio 2 2 0 1 2 0 1 2 ( ) ( ) p x a a x a x a a x a x − = − + + = − − − .

A satisfação dos axiomas EV5 ao EV8 se segue das propriedades dos números reais.

Observe que, se mudarmos o enunciado neste exemplo para: “Seja

2( )

V =P ℝ o conjunto formado por todos os polinômios de grau igual

a 2 (e não menor ou igual a 2) com coeficientes reais”, não temos um espaço vetorial. Quais axiomas não são satisfeitos?

Confira se os conjuntos dos seguintes exemplos são espaços vetoriais.

Exemplo 3. O conjunto das funções contínuas definidas num inter-valo I ⊂ ℝ munido das operações de adição e multiplicação usuais.

Exemplo 4. O conjunto das matrizes m n× com coeficientes reais: ( )

m n

M _× ℝ munido de operações análogas àquelas definidas para

ma-trizes quadradas.

Os espaços vetoriais acima citados envolvem operações com as quais você já deve estar familiarizado. O próximo exemplo é um pouco mais sofisticado do que os anteriores, no sentido de que definiremos as operações de adição e multiplicação por escalar em uma forma um pouco artificial (porém, que pode ser apropriada em situações particulares), e por isso mostraremos as oito propriedades.

Exemplo 5. Como conjunto objeto de estudo, escolheremos o inter-valo semi-infinito V =(0, )∞ , (o semi-eixo positivo da reta real). Este conjunto, quando agregado às operações de soma e multiplicação usuais, não é um espaço vetorial, visto que não possui elemento neutro para a adição: 0 V∉ (0 não pertence ao conjunto), logo, EV3 não é satisfeita. No entanto, se para ,x y∈V e α∈ ℝ, definirmos

a soma entre x e y por ⊕ =x y xy (o produto usual entre x e y ) e o produto de x pelo escalar α como α⊙x=x, então V se

tor-na um espaço vetorial. De fato, verifiquemos uma a uma as oito propriedades:

EV1) temos ⊕ =x y xy =yx= ⊕y x para quaisquer ,x y∈V;

EV2) x⊕(y⊕z)=x yz( )=(xy z) =(x⊕y)⊕z para quaisquer

, , ∈V

x y z ;

EV3) se x∈V, então como 1 V∈ , temos 1⊕ =x 1x=x; observe que,

neste caso, 1 é o elemento neutro da adição, o qual denotare-mos por o;

EV4) se x∈V, isto é, x>0, então 1 V − _∈

x e x⊕x−1=xx−1= =1 o; EV5) α⊙(β⊙x)=α⊙xβ =(xβ α) =xβα=xαβ =(αβ)⊙x para

quais-quer x V∈ e ,α β ∈ ℝ; EV6) ( ) (α+β)⊙x=xα β+ =xα⊕xβ =(α⊙x)⊕(β⊙x) para quaisquer V ∈ x e α β+ ∈ ℝ; EV7) α⊙(x⊕y)=α⊙(xy)=(xy)α ( ) ( ) α α α α α α =x y =x ⊕y = ⊙x ⊕ ⊙y para quaisquer ,x y∈V e α∈ ℝ ;

EV8) 1

1x=x− =x para qualquer x∈V .

3.2.4 Uma Definição Mais Formal

Você deve lembrar-se de que no início deste capítulo deixamos a definição de espaço vetorial, que chamamos de “um tanto formal ou

rigorosa” em forma incompleta. Como prometido, essa definição é

colocada em forma íntegra.

Um conjunto V é um espaço vetorial sobre um corpo K , que deno-tamos como ( , K, , )V + ∗ , se dadas duas operações: a soma vetorial

definida em V , que denotamos como v+w para todo ,v w∈V, e o

produto escalar em V , que denotamos como αv para todo v∈V e

K

α ∈ , se cumpre as seguintes 10 propriedades (5 propriedades para

a soma e 5 para o produto escalar).

Para a Soma

V + ∈

v w

1) . A soma vetorial é uma operação fechada em V .

( ) ( )

+ + = + +

u v w u v w

2) . Associatividade da soma vetorial

em V .

Existe um elemento

3) 0 V∈ , tal que para todo v∈V, v+ =0 v.

Existência do elemento neutro da soma vetorial em V . Para todo

4) v∈V, existe um elemento − ∈v V , tal que v+ − =( v) 0. Existência do elemento oposto respeito à soma vetorial em V .

+ = +

v w w v

5) . Comutatividade da soma vetorial em V .

Para o Produto por Escalar

V α ∈v

1) . O produto por escalar é uma operação fechada em V .

( ) ( )

α βv = αβ v

2) . Associatividade do produto entre escalares em

V.

Se

3) 1 denota o elemento neutro da multiplicação do campo

es-calar K , então 1 =v v. Neutralidade do um do campo escalar.

( )

α v+w =αv+αw

4) . Distributividade com respeito à soma

(α+β)v=αv+βv

5) . Distributividade com respeito à soma

escalar.

Exercícios Propostos

Encontre o comprimento de cada vetor. a)

Seja

b) x3 =x1+x2. Determine o comprimento de x3. Qual a

relação entre seu comprimento e a soma dos comprimentos de x1 e x2?

Desenhe um gráfico ilustrando como

c) x3 pode ser

construí-do geometricamente usanconstruí-do x1 e x2. Use esse gráfico para

dar uma interpretação geométrica da sua resposta em (b). 2) Repita o exercício 1 para os vetores x1 (2,1)

T

= e x2 (6, 3)

T

= .

3) Seja C o conjunto dos números complexos. Defina a soma em

C por (a bi+ ) (+ +c di)=(a c+ +) (b d i+ ) e defina a multiplica-ção por um escalar por (α a bi+ )=αa+αbi, para todos os

nú-meros reais α . Mostre que C é um espaço vetorial em relação a essas operações.

Mostre que

4) m n×

ℝ , com as operações usuais de soma e

multi-plicação por um escalar, satisfaz os oito axiomas de espaços vetoriais.

Mostre que

5) C a b[ , ], com as operações usuais de soma e mul-tiplicação por um escalar, satisfaz os oito axiomas de espaços vetoriais.

Seja

6) P o conjunto de todos os polinômios. Mostre que P , com

as operações usuais de soma e multiplicação por um escalar para funções, forma um espaço vetorial.

Sejam

7) x y, e z vetores de um espaço vetorial V . Mostre que, se x+ = + , então y xy x z = .

Seja

8) S o conjunto de todos os pares ordenados de números

re-ais. Defina a multiplicação por um escalar e a soma em S por

1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , 0) x x x x x x y y x y α = α α ⊕ = + ,

usando o símbolo ⊕ para denotar a soma nesse sistema, para evitar confusão com a soma usual de x y+ de vetores linhas. Mostre que S , junto com a multiplicação usual por um escalar e a operação ⊕ , não é um espaço vetorial. Quais dos oito axio-mas não são válidos?

Seja

9) V o conjunto de todos os pares ordenados de números reais

com a soma definida por ( ,x x1 2) ( ,+ y y1 2)=(x1+y x1, 2+y2) e a

multiplicação por um escalar definida por αo( ,x x1 2)=(αx x1, 2).

Como a multiplicação por um escalar é definida de maneira diferente da usual, usamos um símbolo diferente para evitar confusão com a multiplicação usual de um vetor linha por um escalar. V é um espaço vetorial em relação a essas operações? Justifique sua resposta.

Denote por

10) +

ℝ o conjunto dos números reais positivos. Defina

a operação de multiplicação por um escalar por αox=xα para cada x_{∈ ℝ e para cada número real α. Defina a operação de} +

soma por x⊕ = ⋅ para todos ,y x y x y∈ ℝ .+

Então, para esse sistema, o produto do escalar 3− por 1 2 é dado por 3 1 1 3 8 2 2 −   − =_{ } =  

o e a soma de 2 com 5 é dada por

2⊕ = ⋅ =5 2 5 10. ℝ+ é um espaço vetorial em relação a essas operações? Justifique sua resposta.

3.3 Subespaços Vetoriais

Considere o espaço vetorial 2

ℝ formado por todos os pontos ,

com ,x y ∈ ℝ.

À guisa de exemplo, consideremos dois subconjuntos de 2

ℝ : uma

reta que passa pela origem e o primeiro quadrante.

Reta que passa pela origem. Definimos L como sendo um subconjunto

de 2

ℝ formado pelos pontos de uma reta que passa pela origem (0,0) , com equação αx+βy= , ou seja, 0 L={( , )x y ∈ℝ2/αx+βy=0}.

Atenção: aqui mudamos levemente a notação introduzida num exemplo no inicio deste capítulo, e, que um ponto de _ℝ2_foi

Observe que se ( , )( , )x y u v ∈ (dois pontos quaisquer da reta), temos L

que αx+βy= e 0 αu+βv= , então (0 α x u+ )+β(y+v)= , desde que 0 ( , ) ( , )x y + u v =((x u+ ), (y+v))∈ . Portanto, a soma é fechada. L

Vamos para os axiomas de espaço vetorial.

Note, primeiro de tudo, que 0 (0,0) L= ∈ ; assim, os axiomas do nulo e oposto são claramente satisfeitos em L . Também é fácil ver os de associatividade e comutatividade em relação à soma. Agora, se ( , )x y ∈L, então αx+βy=0 e ( , )cx cy ∈L também, desde que

(cx) (cy) 0

α +β = . Podemos concluir que L satisfaz todos os axiomas

de espaço vetorial? Confira. De fato, qualquer reta que passe pela

origem é um espaço vetorial sobre 2

ℝ .

O que fizemos neste exemplo foi “extrair” de um espaço vetorial

2

ℝ outro espaço vetorial L “menor” e dizemos: L é um subespaço de 2

ℝ . Logo, L é fechado em relação à soma e à multiplicação por escalar, isto é, a soma de dois elementos em L é um elemento de

L e a multiplicação de um elemento de L por um escalar também

pertence a L .

O primeiro quadrante. Quando analisamos o conjunto do segundo

caso, o procedimento aparece equivalente ao anterior, no sentido de “extrair” um subconjunto de 2

ℝ . Porém, agora nós afirmamos

que este conjunto 2

{( , ) , , 0}

Q= x y ∈ℝ x y≥ não é um espaço vetorial.

Qual axioma não é satisfeito?

Na próxima seção introduziremos um outro conceito que nos per-mitirá entendermos quando um subconjunto é um espaço vetorial. Esta seção introduz uma das idéias mais importantes desta disci-plina. Começamos com um exemplo, vendo que há uma interação entre geometria e álgebra e que freqüentemente pode ser usada a intuição geométrica e lógica para introduzir propriedades e resolver problemas. Agora, é necessário tornar-nos mais formais, estenden-do este conceito para espaços vetoriais gerais. A noção de subespaço é simplesmente uma generalização algébrica de retas e planos que passam pela origem.

Dado o espaço vetorial V e o conjunto não vazio W ⊂ , se W é um V

espaço vetorial sobre o mesmo corpo K e com as mesmas leis de composição que em V , diremos que W é um subespaço de V .

3.3.1 Definição

Seja V um espaço vetorial. Dizemos que W ⊂V, não vazio, é um

subespaço vetorial de V se forem satisfeitas as seguintes condições:

SE1) 0∈W , o vetor nulo está em W .

SE2) Se ,u v∈W , então u+ ∈v W.

SE3) Se u∈W, então α ∈u W para todo α∈ ℝ.

Alternativamente, poderíamos dizer também que W é um subespa-ço de V se, e somente se, W é um espasubespa-ço vetorial.

Observações:

Note que todo subespaço vetorial

1) W de um espaço vetorial V

é, ele próprio, um espaço vetorial.

O conjunto que consiste apenas no vetor nulo

2) {0} e o próprio

V são chamados de subespaços vetoriais triviais.

Note que SE2 e SE3 podem ser reescritas equivalentemente como:

se ,u v∈W e α∈ ℝ, então u+αv∈W. Assim, as condições para ser

subespaço podem ser resumidas em:

W ∈

0

i) , o vetor nulo está em W .

Se

ii) u v, ∈W e α∈ ℝ então u+αv∈W.

Comentário. De fato, esta definição de subespaço vetorial é um re-sultado bastante útil para mostrar que um conjunto é um espaço vetorial.

Observe que

3) SE3 implica diretamente que W ≠ ∅

Portanto, todo subespaço é um espaço vetorial e todo espaço vetorial é um subespaço (dele mesmo e, possivelmente, de outros espaços vetoriais maiores). O termo subespaço é usado quando pelo menos dois espaços vetoriais estão sendo considerados, um deles incluído no outro.

Desse modo, o “problema dos subespaços” consiste em determinar quando um subconjunto de um espaço vetorial continua satisfazen-do tosatisfazen-dos os axiomas de espaço vetorial. O procedimento padrão para resolver este problema utiliza simplesmente a verificação das regras , dadas anteriormente.

Assim, na prática você deve responder as seguintes questões: o vetor nulo de

i) V está em W ?

W

ii) é fechado em relação a soma de vetores? Isto é, para cada

e ∈W

u v , a soma u + v está em W ?

W

iii) é fechado em relação a multiplicação por escalar? Isto é, para cada v ∈W e cada escalar α , o vetor αv está em W ?

3.3.2 Exemplos

Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 6. Seja o espaço vetorial V = ℝ3 e o conjunto W formado

pe-las trippe-las ordenadas de 3

V = ℝ , tais que a terceira componente é igual

à soma das duas primeiras, isto é, 3

1 2 3 3 2 1

{( , , ) / }

W = x x x ∈ℝ x =x +x .

Afirmamos que W é um subespaço de V , desde que: O vetor nulo i) x=( ,x x x_{1 2}, ₃)=(0, 0, 0) esteja em W : 3 1 2 3 ( ,x x x, ) (0, 0, 0) = = ∈

x ℝ e a condição x₃ =x₂+x₁ seja

satis-feita para este vetor (0 0 0)= + . Sejam

ii) x=( ,x x x1 2, 3) e y=( ,y y y1 2, 3) vetores de W , tais

que x3 =x2+ e x1 y3 =y2+ ; ou seja, y1 x=( ,x x x1 2, 2+x1) e 1 2 2 1

( ,y y y, y)

= +

1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) x x x x y y y y x y x y x y x y z z z z W α α α α α α + = + + + = + + + + + = + ∈ x y .

Então W é subespaço e a equação x1+x2−x3= define um plano 0

que passa pela origem.

Exemplo 7. Seja S o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a n , com a propriedade (0) 0p = . Verifiquemos se S é, de

fato, um subespaço vetorial de Pn.

Se

1) a_j =0, j= (todos os coeficientes nulos), então ( ) 01 p x = e

(0) 0 p = . Se 2) α é um escalar e ( )p x ∈ , então S αp(0)=α0= e p S0 α ∈ . Se 3) p x( )∈ e ( )S q x ∈ , então (S p+q)(0)= p(0)+q(0)= + = 0 0 0 e, portanto, p q S+ ∈ .

Exemplo 8. Em qualquer espaço vetorial V , o vetor nulo forma o subespaço zero {0}.

Exemplo 9. ( )C ℝ (o espaço das funções contínuas) é um subespaço

de ( )F ℝ porque a adição e multiplicação por escalar de funções

contínuas são ainda contínuas. Em geral, C ℝk( ) (o espaço das fun-ções com k -ésima derivada contínua) é também um subespaço de

( )

F ℝ .

Exemplo 10. O subconjunto H ={f ∈F( ) : (2)ℝ f =0} é também um subespaço de ( )F ℝ ; se (2)f =g(2)= , então:0

(f +g)(2)= f(2)+g(2)= e ( )(2)0 cf =c f( (2))= .0

Exemplo 11. O subconjunto K ={f ∈F( ) : ( )ℝ f t = f(−t)} das fun-ções pares é também um subespaço de F ℝ( ); se f t( )= f(− e t)

( ) ( )

g t =g − , então:t

(f +g t)( )= f t( )+g t( )= f(− +t) g(− =t) (f +g)(− e t) (cf t)( )=c f t( ( ))=c f( (−t))=cf(− . t)

Por outro lado, o subconjunto H ={f ∈F( ) : (2) 1}ℝ f = não é um su-bespaço de ( )F ℝ pois não contém a função nula, que é o vetor zero do espaço vetorial ( )F ℝ .

Exemplo 12. P3 é um subespaço de P5. Por outro lado, H (conjunto

de polinômios de grau maior ou igual a 3 e menor ou igual a 5) não é um subespaço de P5. Um contra-exemplo servirá para mostrar que

não é subespaço. Sejam 4

( ) 1

p t = + e t 4

( )

q t = − . Temos que ,t p q∈H, porém (p+q t)( ) 1= ∉H .

Exemplo 13. As soluções T ={( ,x x x1 2, 3) /x1+x2+x3=0} da equação

homogênea são um subespaço de ℝ . Se 3 ( ,x x x1 2, 3) e ( ,y y y1 2, 3)∈ , T

então x1+x2+x3 = e 0 y1+y2+y3 = ; somando ambas igualdades, 0

temos (x1+y1) (+ x2+y2) (+ x3+y3)= , que satisfaz a equação homo-0

gênea e, então, pertencem a T . E também temos que

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

( ,x x x, ) ( x, x , x ) x x x ( x) ( x ) ( x ) 0

α = α α α ⇒α +α +α = α + α + α =

que satisfaz a equação homogênea e, portanto, pertence a T .

As soluções de T ={( ,x x x1 2, 3) /x1+x2+x3 = (os pontos de um pla-1}

no que não passam pela origem) da equação não-homogênea não é

um subespaço de 3

ℝ , já que não contém o zero (0, 0, 0). O primeiro quadrante T={( ,x x1 2) / x1≥0,x2≥0} de

2

ℝ não é um subespaço, desde que (1,1) T∈ , porém ( 1)(1,1) ( 1, 1) T− = − − ∉ .

Os seguintes casos mostram outros conjuntos que não são

subespa-ços de 2 ℝ . T u u vS S v u
v u
vT uT T T 1 vS 2

O gráfico seguinte mostra uma reta passando pela origem como sendo um subespaço; entretanto, uma reta que não passa pela ori-gem não é um subespaço.

2x 0 x x x+v x+v v v Não é subespaço É subespaço T S 0.5x

Figura 3.4 - Retas no plano.

Exemplo 14. 2

ℝ não é um subespaço de 3

ℝ . Em verdade, 2

ℝ está

definido por uma dupla de números reais, sendo que 3

ℝ são triplas

de números, assim 2

ℝ não está contido em 3

ℝ . Defina um plano coordenado do espaço tridimensional como sendo um subespaço

de 3

ℝ .

Exemplo 15. O conjunto Sym n( ) das matrizes simétricas é um su-bespaço do espaço vetorial M2 2× das matrizes n n× . A matriz que

resulta da soma de matrizes simétricas é simétrica. Por outro lado, a matriz nula é simétrica e então pertence a Sym n( ).

Exemplo 16. Seja V =M2 2× e W ={matrizes inversíveis 2 2}× .

Deter-mine se W é um subespaço de M2 2× . Se W fosse um subespaço, a

matriz nula deveria estar nele. Porém, 0 0 0

0 0

 

=  

  não é inversível e,

por isso, não pode estar em W . Logo, W não é um subespaço. Em alguns dos nossos exemplos, vimos que subespaços aparecem como sendo exemplos de espaços vetoriais. De fato, temos que um subespaço, com as operações herdadas da soma e multiplicação por escalar, é um espaço vetorial. A prova consiste em conferir as oito propriedades, a maior parte destas são herdadas de um espa-ço vetorial maior.

3.3.3 Soma e Intersecção de Subespaços

Sejam H e K subespaços de um espaço vetorial V . Definimos a soma de dois subespaços como H+K ={u+v u/ ∈H,v∈K} e a in-tersecção como H

∩ =

Figura 3.5 - Soma e intersecção de subespaços.

Observamos que a soma e a intersecção de espaços vetoriais são adaptações da união e intersecção de subconjuntos de espaços veto-riais. Enquanto a intersecção permanece sendo a mesma, a soma é diferente da união, já que, em geral, a união de dois subespaços não é um subespaço.

3.3.3.1 Intersecção de dois Subespaços Vetoriais

Sejam H e K dois subespaços vetoriais de V . A intersecção S de

H e K, que se representa por S =H

∩

Teorema

A intersecção S de dois subespaços vetoriais H e K de V é um su-bespaço vetorial de V . De fato:

Se , , então Se , , então Logo: H H K K S H K ∈ + ∈ ∈ + ∈ + ∈ =

∩

Para qualquer : Se , então ; Se , então . Logo: . H H K K S H K α α α α ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ =

∩

Exemplo 17. Seja V o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem 2: ; , , , a b V a b c d c d    =_{ } ∈ _    ℝ . Considere: ; , 0 0 a b H =__ _ a b∈ _    ℝ 0 ; , 0 a K a c c    =_{ } ∈ _    ℝ . Então, S H=

∩

Exemplo 18. Seja o espaço vetorial ℝ3 ={(a, b, c); a, b, c∈ℝ e os su-} bespaço H ={(a, b, c); a, b, c∈ ℝ} e K ={(0, 0, c); c∈ ℝ}. A intersec-ção H

∩

3.3.3.2 Soma de dois subespaços vetoriais

Sejam H e K dois subespaços vetoriais de V . A soma S de H e K, que se representa por S =H+K, é o conjunto de todos os vetores

+

u v de V tais que u∈H e v∈K_.

Teorema

A soma S de dois subespaços vetoriais H e K de V é um subespa-ço vetorial de V . De fato:

Se , , então Se , , então H H K K ∈ + ∈ ∈ + ∈ 1 2 1 2 1 2 1 2 u u u u v v v v 1)

Por outro lado: S S + ∈ + ∈ 1 1 2 2 u v u v . Logo: (u₁+v₁) (+ u₂+v₂)=(u₁+u₂) (+ v₁+v₂)∈H+K =S. Para qualquer 2) α ∈ ℝ; Se , então Se , então H H K K α α ∈ ∈ ∈ ∈ 1 1 1 1 u u v v .

Por outro lado:

S + ∈ 1 1 u v . Logo: ( ) H K S α u₁+v₁ =αu₁+αv₁∈ + = .

Exemplo 19. Sejam os subespaços vetoriaisH ={(a, b, 0); a, b∈ℝ} e e K ={(0, 0, c); c∈ℝ} {(a, b, 0); a, b } e {(0, 0, c); c }

H = ∈ℝ K = ∈ℝ do espaço vetorial ℝ3={(a, b, c);a, b, c∈ℝ .}

A soma H +K é o subespaço vetorial S ={(a, b, c); a, b, c∈ ℝ}, que no caso, é o próprio 3

ℝ .

3.3.3.3 Soma direta de dois subespaços vetoriais

Sejam H e K dois subespaços vetoriais de V .

Diz-se que V é a soma direta de e H K e representa-se por V =H⊕ . K

Se V =H+K e H

∩

Isto é, se o único vetor comum a ambos os subespaços H e K for o vetor nulo.

Os símbolos e ⊕⊙ são utilizados para indicar que a adição e a mul-tiplicação por escalar não são as usuais.

Exemplo: {(a, 0, c, 0); a, c } {(0, b, 0, d); b, d } H K = ∈ = ∈ ℝ ℝ Então: 4 {(a, b, c, d); a, b, c, d } {(0, 0, 0, 0) 0} H K H K  + = ∈ =  = = 

∩

Exercícios Propostos

Prove que os conjuntos são subespaços vetoriais. a)

Diga, justificando, se a união dos conjuntos é um espaço b)

vetorial. Determine

c) F+G e F

∩

2) Se um sistema linear não for homogêneo, o que acontece com

seu conjunto solução? Considere o exemplo:

2 4 1 2 1 3 0 x y z A x y z x y z + + =   =_ + + =  + − =  .

Provar que a soma de dois vetores solução nem sempre é um vetor solução, e assim o conjunto solução não é um subespaço vetorial. A soma direta de subespaços tem conseqüências importantes, uma vez que nos permite “decompor” os espaços vetoriais em termos de subespaços, dos quais se espera que sejam de natureza mais sim-ples. De fato, a maioria dos teoremas de decomposição tem suas ra-ízes conceituais nesta idéia.

3.3.4 O espaço Nulo de A

Introduziremos agora um dos mais importantes subespaços de

associado a uma matriz.

Suponhamos que A seja uma matriz m n× . As soluções do sistema

0

A =x determinam um subespaço de n

ℝ chamado de espaço nulo

de A , que denotaremos por ( ) { n / 0}

espnul A = x∈ℝ Ax= .

Consideremos agora alguns exemplos que são de fácil resolução. Exemplo 20. Determine _{espnul A para cada uma das seguintes ma-}( ) trizes. 2 0 A 4 10   = ₋    a) 1 7 B 3 21 −   = ₋    b)

Solução. a) Para achar o espaço nulo de A , podemos escalonar a matriz ou resolver um sistema de duas equações com duas incógnitas. Neste caso, a última opção é a mais direta e temos que x1=x2 = é a 0

solução. Em termos de vetores, a nossa solução consiste em um único vetor {0}, e então espnul A =( ) {0}.

b) Aqui temos infinitas soluções da forma x1 =7 ,α x2 = , onde α é α

um escalar. Assim, já que o espaço nulo de B está formado por todas as soluções de B =x 0 da forma x=(7 , )α α T =α(7,1)T, sendo α um

número real, então ( ) 7

1

espnul B = α_{ } _  

 .

Veremos na próxima seção uma forma mais adequada de escrever este último resultado.

Podemos observar que o espaço nulo está descrito por todos os veto-res associados aos pontos localizados na reta que passa pela origem com equação x1−7x2 = .0

Voltemos agora aos nossos exemplos anteriores. O espaço nulo para a primeira matriz foi {0}. Para a segunda matriz, o espaço nulo foi uma reta passando pela origem. Lembrando os conceitos menciona-dos previamente, podemos ver que em ambos os casos,

obtiveram-se subespaços de 2

ℝ .

Veremos outros exemplos de espaços nulos na seção de Bases de um espaço vetorial.

Outros subespaços associados a uma matriz serão estudados em seções posteriores.

De fato, isso acontecerá sempre, como estabelece o teorema a seguir.

Teorema. Seja A uma matriz m n× , então o espaço nulo de A será um subespaço de n

ℝ .

Prova. Sabemos que este subespaço está formado por todas as solu-ções do sistema homogêneo A =x 0. Primeiro, deveríamos conferir que o vetor zero ( 0 ), que está em n

ℝ é solução do sistema, e então deduziremos que o espaço nulo não é vazio, o que, neste caso, é tri-vial (qual é o produto que deve ser feito para mostrar isto?). Logo, ao saber que o espaço nulo tem, no mínimo, um vetor, escolheremos dois vetores e x y do espaço nulo e um escalar α, e conferiremos as leis de composição interna.

Começamos pela soma.

( ) 0 0 0

A x+y =Ax+Ay= + =

A soma z= +x y é a solução para A =z 0, então a soma está no espaço nulo. Portanto, o espaço nulo é fechado sob a soma.

Logo, testamos a multiplicação por escalar.

( ) 0 0

A αx =αAx=α =

Se x está no espaço nulo, todo múltiplo de x também está e o espa-ço nulo é fechado sob multiplicação por escalar.

Então o espaço nulo é um subespaço de n

ℝ . Para verificar se um vetor de V está no espaço nulo de A , basta calcular Ax e ver se

0 A =x .

Exercícios Propostos

Determine se cada conjunto a seguir é ou não um subespaço 1) de 2 ℝ . 1 2 1 2 {( ,x x ) /T x +x =0} a) 1 2 1 2 {( ,x x ) /T x x⋅ =0} b) 1 2 1 2 {( ,x x ) /T x =3 }x c) 1 2 1 2 {( ,x x ) /T x =3x +1} d)

2) Determine se cada conjunto a seguir é ou não um subespaço de 3 ℝ . 1 2 3 1 3 {( ,x x x, ) /T x +x =1} a) 1 2 3 1 2 3 {( ,x x x, ) /T x =x =x} b) 1 2 3 3 1 2 {( ,x x x, ) /T x =x +x } c) 2 2 1 2 3 3 1 2 {( ,x x x, ) /T x =x +x } d)

3) Determine se cada conjunto a seguir é ou não um subespaço

de ℝ2 2× .

O conjunto de todas as matrizes diagonais

a) 2 2× .

O conjunto de todas as matrizes triangulares inferiores a b)

2 2× .

O conjunto de todas as matrizes

c) 2 2× , tais que a =12 1.

O conjunto de todas as matrizes

d) 2 2× , tais que b =11 0.

O conjunto de todas as matrizes simétricas

e) 2 2× .

O conjunto de todas as matrizes singulares

f) 2 2× .

4) Determine o núcleo de cada uma das matrizes a seguir.

2 1 3 2       a) c) 1 3 4 2 1 1 1 3 4 −    _{− −}    _{− −}    1 2 3 1 2 4 6 3 − −   _{− −}    b) d) 1 1 1 2 2 2 3 1 1 1 0 5 −    ₋    _{− − −}   

5) Determine se cada conjunto a seguir é ou não um subespaço

de P4 . (Cuidado!)

O conjunto dos polinômios em

a) P4 de grau par.

O conjunto dos polinômios de grau 3. b)

O conjunto dos polinômios

c) _{p x em} ( ) P₄, tais que (0) 0p = .

O conjunto dos polinômios em

d) P4 que tem pelo menos uma

6) Determine se cada conjunto a seguir é ou não um subespaço de [ 1,1]C − .

O conjunto das funções

a) f em [ 1,1]C − , tais ( 1)f − = f(1).

O conjunto das funções ímpares em

b) C −[ 1,1].

O conjunto das funções não decrescentes em

c) [ 1,1]− .

O conjunto das funções em

d) f em [ 1,1]C − , tais ( 1) 0f − = e

(1) 0

f = .

O conjunto das funções

e) f em C −[ 1,1], tais ( 1) 0f − = ou

(1) 0

f = .

7) Determine se cada conjunto a seguir é ou não um conjunto

gerador para 2 ℝ . 2 3 , 1 2               a) d) 1 , 1 , 2 2 2 4  −        ₋  ₋          2 4 , 3 6               b) e) 1 , 1 2 1   −            2 1 2 , , 1 3 4  −                    c)

8) Quais dos conjuntos a seguir são ou não conjuntos geradores

para 3

ℝ ? Justifique suas respostas. {(1, 0, 0) , (0,1,1) , (1, 0,1) }T T T a) {(1, 0, 0) , (0,1,1) , (1, 0,1) , (1, 2, 3) }T T T T b) {(2,1, 2) , (3, 2, 2) , (2, 2, 0) }₋ T ₋ T T c) {(2 , 1 , -2)T, (-2 , -1 , 2 )T, (4 , 2 , -4)T} d) {(1,1, 3) , (0, 2,1) }T T e) 9) Sejam 1 1 2 3 x −     =       , ₂ 3 4 2 x     =       , 2 6 6 x     =       , 9 2 5 y −     = −_{ }     . 1 2 [{ , }] x∈ x x a) ? 1 2 [{ , }] y∈ x x b) ?

10) Quais dos conjuntos a seguir são conjuntos geradores para P3?

Justifique suas respostas.

2 2 {1,x x −, 2} a) 2 {2,x , 2x +3} b) 2 {x+2,x+1,x −1} c) 2 {x+2 ,x x −1} d) 11) Em 2 2× ℝ , sejam 11 12 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 E E E E     =_{ } =_{ }         = = 21 22 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 E E         =_{ } =_{ }    

Mostre que E11,E12,E21,E22 geram 2 2×

ℝ .

3.4 Espaços Gerados

O tópico da seção anterior nos permite introduzir um conceito cha-ve desta disciplina. Voltemos para o item (b) do exemplo 20. Neste exemplo, vimos que o espaço nulo está formado por todos os vetores da forma ₌(7 , )_{α α} T _=α(7,1)T

x (onde α é um número real).

Para expressar este resultado em uma forma mais compacta e ade-quada, revisaremos um conceito que foi introduzido em um capí-tulo anterior. Quando foram estudadas as operações com matrizes, calculamos combinações lineares de linhas das matrizes e combina-ções lineares das colunas de uma matriz.

Podemos também considerar uma combinação linear de vetores.

Definição. Dizemos que o vetor w de um espaço vetorial V é uma combinação linear dos vetores v v1, 2,…,vn∈V se

exis-tirem escalares c c1, 2,…,cn, tal que w possa ser escrito como

1 2 n

c c c

= 1+ 2+ + n

w v v … v .

Podemos observar que o espaço nulo mencionado acima pode ser visto, de fato, como todas as combinações lineares do vetor (7,1)T_.

único vetor, porém, de acordo com a definição, não há impedimento para considerá-lo desta forma.

Provavelmente, não é a primeira vez que tenha encontrado uma combinação linear de vetores. Na disciplina Geometria Analítica, foi introduzido o espaço euclidiano junto com o que chamamos de

vetores canônicos. O conjunto de vetores canônicos para n

ℝ foi de-finido como ₌(1, 0, , 0)T 1 e … _{, =}(0,1, , 0)T 2 e … _{, ⋯, =}(0, 0, ,1)T n e … .

Vimos que qualquer vetor ( ,1 2, , )

T n n

u u u

= ∈

u … ℝ pode ser escrito

como u=u1e1+u2e2+…+unen.

Em outras palavras, poderíamos ver o vetor u como uma combina-ção linear dos vetores da base canônica , , ,e e1 2 … en.

Exemplo 21. Determine, em cada caso, se o vetor w é uma combina-ção linear dos vetores v1 e v2.

( 12, 20) ,T ( 1, 2) ,T (4, 6)T = − ₁ = − ₂ = − w v v a) (4, 20) ,T (2,10) ,T ( 3, 15)T = 1 = 2 = − − w v v b) (1, 4) ,T (2,10) ,T ( 3, 15)T = − 1= 2 = − − w v v c)

Solução. Em cada um destes casos, precisamos resolver w=c₁v₁+c₂v , ₂ isto é, achar c1 e c2. a) 1 2 1 2 1 2 4 12 ( 12, 20) ( 1, 2) (4, 6) 2 6 20 T T T c c c c c c − + = −  = − = − + − _{→ } − =  w .

Se o sistema for consistente (isto é, possuir no mínimo uma solução), então w é uma combinação linear de dois vetores; se não existir so-lução, então w não é uma combinação linear.

Deixamos para você verificar que a solução do sistema é c =1 4 e 2 2

c = − .

Logo, w é uma combinação linear de v1 e v2 e pode ser escrito

como w=4v₁−2v₂.

b) Repetindo o procedimento que fizemos no item anterior e resol-vendo o sistema, obtemos como solução 1

3 2

2

c = + t e c2 = , onde t t

2

v e pode ser escrita em um número infinito de diferentes combina-ções lineares. Algumas delas são, por exemplo:

1 2 1 2 1 2 1 2 4 2 (0) , 8 4 , (0) , 2 3 v v v v v v v v = + = + = − = − w w w w .

c) Neste último caso, não temos solução, e então w não pode ser escrito como uma combinação linear de v1 e v2.

Embora estes exemplos sejam muito simples, o procedimento para um número maior de vetores continua sendo o mesmo.

Neste ponto, podemos dizer que sabemos como funciona uma com-binação linear e responder quando um vetor é comcom-binação linear de outro conjunto de vetores, e dessa forma, estamos em condições de avançar para o principal conceito desta seção.

Definição. Seja S ={ ,v v_{1 2},…,v_n} um conjunto de vetores em um espaço vetorial V e seja W o conjunto de todas as combina-ções lineares dos vetores v v₁, ₂,…,v_n. Dizemos que W é o espa-ço gerado pelos vetores , , ,v v1 2 … vn e escrevemos W =span( )S ou

span{ , , , }

W = v v_{1 2} … v_n ou W =[{ ,v v_{1 2},…,v_n}]. Também dizemos que , , ,v v_{1 2} … v_n gera W.

Com esta notação, voltando ao exemplo do espaço nulo, temos

sim-plesmente que ( ) 7

1

espnul A =  _{ }_

 

 .

Temos o seguinte teorema:

Teorema. Sejam v v₁, ₂,…,v_n vetores de um espaço vetorial V e

[{ , , , }]

W = v v_{1 2} … v_n o espaço gerado, então temos que:

W

a) é um subespaço de V.

W

b) é o menor subespaço de V que contém todos os vetores

, , ,

1 2 n

v v … v .

Exemplo 22. Descreva o espaço gerado pelos seguintes conjuntos de vetores. (1, 0, 0) ,T (0,1, 0)T = = 1 2 v v a) (1, 0,1, 0) ,T (0,1, 0, 1)T = = − 1 2 v v b)

, 0 0 0 1 =_{ } =_{ }     1 2 v v c) 3 1, x, x = = = 1 2 3 v v v d)

Solução. a) O espaço gerado, [v , v ]1 2 é o conjunto de todas as

combinações lineares de v v₁, ₂ que podem ser escritas como: ( , 0, 0)T (0, , 0)T

av₁+bv₂ = a + b , sendo a e b escalares.

Logo, o espaço gerado são todos os vetores da forma 3

( , , 0)a b T∈ ℝ ,

sendo a e b escalares arbitrários.

b) Este caso é muito similar ao anterior. A combinação linear geral é:

1 2

v v ( , 0, , 0)T (0, , 0, )T ( , , , )T

a +b = a a + b −b = a b a −b .

Assim, [ ,v v_{1 2}] são todos os vetores de 4

ℝ da forma ( , , ,a b a −b)T para quaisquer escalares a e b .

c) Escrevemos a combinação linear destes vetores

0 0 0 0 0 0 0 0 a a a b b b       + =_{  }+ _{ }= _       1 2 v v .

O espaço gerado, W =span{ ,v v_{1 2}} , é o subespaço das matrizes dia-gonais das matrizes M2 2× .

d) A combinação linear geral, neste caso, é av1+bv2+cv3 = +a bx cx+ 3

3

v v v

a +b +c = +a bx cx+ . Aqui, [{ ,v v v_{1 2}, ₃}] é o subespaço dos polinômios de P3

que não têm o termo quadrático.

Vejamos agora se conseguimos determinar o conjunto de vetores que geram os espaços dos exemplos anteriores, de tal forma que qualquer vetor possa ser escrito como uma combinação linear dos vetores do conjunto.

Exemplo 23. Determine um conjunto de vetores que gerem exata-mente cada um dos seguintes espaços vetoriais.

n V = ℝ a) 2 2 V =M _× b) n V =P c)

Solução. Necessitamos achar um conjunto de vetores, tal que o es-paço gerado por este conjunto seja exatamente o eses-paço dado. Em outras palavras, devemos mostrar que o espaço gerado do nosso con-junto seja, de fato, o mesmo que o espaço vetorial dado.

Atenção! Neste item, o procedimento é análogo aos itens a) e b), apenas com a diferença que não estamos trabalhando em .

Pense no que realmente precisa ser verificado!

O que deve ser feito para mostrar isso? Suponhamos que queremos mostrar que A e B são dois conjuntos iguais. Para isto, primeiro de-vemos mostrar que cada a em A também está em B, e então mostra-remos que B, no mínimo, conterá totalmente o A. Analogamente, se cada b em B está em A, B está contido em A. Portanto, se temos que A contém B e B contém A, podemos concluir que A e B são o mesmo conjunto.

Assim, para os nossos exemplos, em cada caso, necessitamos exibir um conjunto de vetores geradores, tal que cada vetor do espaço ve-torial dado V esteja nesse conjunto, para depois mostrar que cada vetor do conjunto gerador deve estar no espaço vetorial dado.

a) Já mostramos que cada vetor de n

ℝ pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores canônicos, , ,e e_{1 2} …,e_n, e assim os ve-tores canônicos geram um espaço que, no mínimo, contém todo ℝ . n Por outro lado, já que qualquer combinação linear dos vetores canô-nicos deve ser um vetor de n

ℝ , podemos concluir que n

ℝ deve conter o espaço gerado pelos vetores canônicos.

Logo, o espaço gerado pelo conjunto de vetores canônicos deve ser

n

ℝ .

b) Em um exemplo anterior, vimos que um conjunto de matrizes gera o espaço das matrizes diagonais de M_{2 2×} . Há uma extensão natural para que este conjunto gere o espaço de todas as matrizes 2 2× , acrescentando mais dois vetores ao conjunto dado. De fato, o seguin-te conjunto faz isso.

1 0 0 1 0 0 0 0 , , , 0 0 0 0 1 0 0 1         =_{ } =_{ } =_{ } =_{ }         1 2 3 4 v v v v .

Claramente, qualquer combinação linear destas quatro matrizes será uma matriz 2 2× , e então o espaço gerado por estas matrizes deve estar contido em M2 2× .

Por outro lado, dada qualquer matriz de M2 2× , 2 2

a b M c d ×   ∈    

pode ser escrita como uma combinação linear destes vetores.

a b

A a b c d

c d

 

=_{ }= + + +

  v1 v2 v3 v4, e assim, todo M2 2× deve estar

contido no espaço gerado por estes vetores, de tal forma que estes vetores geram M2 2× .