Assuntos: Revis˜ao de pares ordenados e produtos cartesianos. Alguns tipos b´asicos de rela¸c˜oes bin´arias. Introdu¸c˜ao aos conjuntos parcialmente ordena- dos.

UFPE — MA248 — 2017.2 — PROF. FERNANDO J. O. SOUZA

AULAS 04 E 05 – v. 1.0

Assuntos: Revis˜ao de pares ordenados e produtos cartesianos. Alguns tipos b´asicos de rela¸c˜oes bin´arias. Introdu¸c˜ao aos conjuntos parcialmente ordena- dos.

Orienta¸ c˜ ao: Nas resolu¸c˜oes, dar solu¸c˜oes leg´ıveis e completas, explicando todos os passos e detalhes, e indicando as propriedades e os resultados utili- zados. Caso a solu¸c˜ao de um item esteja dispon´ıvel, s´o conferi-la ap´os tentar resolvˆe-lo seriamente. Podem ser usados os recursos da l´ogica de predicados com igualdade e os axiomas de ZF j´a estudados nas aulas 01 a 03.

pares ordenados e produtos cartesianos: axiom´ atica Rela¸c˜oes abundam na matem´atica, tanto auxiliando a realiza¸c˜ao de axiom´a- ticas atrav´es de conjuntos, como fazendo um papel de protagonistas (Ex.:

rela¸c˜oes de ordem; fun¸c˜oes). Elas s˜ao formalizadas atrav´es do conceito de par ordenado: aRb, “a se relaciona a b por meio de uma rela¸c˜ao R”, ´e reali- zada como (a, b) ∈ R uma vez que par ordenado esteja bem definido.

Defini¸ c˜ ao 1. Do ponto-de-vista formal, uma no¸c˜ao de par ordenado ´e uma regra que associa, a todos os elementos ¹ x e y, um par ordenado (x, y) satisfazendo duas propriedades:

i. A propriedade caracter´ıstica ² , definindo a igualdade de pares orde- nados:

∀x, y, x ^′ , y ^′ , ( (x, y) = (x ^′ , y ^′ ) ⇐⇒ (x = x ^′ ∧ y = y ^′ ) ) ; ii. Dados quaisquer conjuntos X e Y , a classe

X × Y :=

z ∃x ∈ X : ∃y ∈ Y : z = (x, y) , formada por abstra¸c˜ao e mais comumente denotada ³ por

(x, y ) x ∈ X, y ∈ Y , ´e um con- junto (leg´ıtimo) em ZF, denominado produto cartesiano ⁴ de A e B.

1 Assumindo pureza, “a todos os conjuntos”.

2 Assim, a primeira e a segunda entradas distinguem-se uma da outra.

3 Esta nota¸c˜ao far´ a sentido com o conceito de fam´ılia indexada, a ser estudado em breve.

4 Em homenagem a Ren´e Descartes, cuja formula¸c˜ ao da geometria anal´ıtica (“La G´eo-

m´etrie”, publicado em 1637) foi a motiva¸c˜ ao para o eventual desenvolvimento da ideia de

produto cartesiano. Seu nome foi traduzido para o latim como “Cartesius”, que resulta no

adjetivo “Cartesianus” (masc.), “Cartesiana” (fem.), “Cartesianum” (neutro).

Quest˜ ao 2. Nesta quest˜ao, produtos cartesianos ser˜ao considerados apenas do ponto-de-vista formal na Defini¸c˜ao 1. Sejam A, B, C e D conjuntos.

2.a. Descrever, por extens˜ao, ∅ × ∅, {∅} × {∅} e ∅ × {∅}. Eles s˜ao iguais?

2.b. (O produto cartesiano n˜ao ´e comutativo!) Mostrar que A × B e B × A podem ser diferentes. Obter uma lista de condi¸c˜oes sobre A e B que equivale a A × B = B × A. Demonstrar tal equivalˆencia;

2.c. (O produto cartesiano n˜ao ´e associativo!) Mostrar que (A × B) × C e A × (B × C) podem ser diferentes, mesmo no caso A = B = C.

Proposi¸ c˜ ao 3. Nesta proposi¸c˜ao, produtos cartesianos ainda ser˜ao conside- rados do ponto-de-vista formal na Defini¸c˜ao 1. Sejam A, B, C e D conjuntos.

3.a. Apesar de nem ser comutativo nem associativo (cf. problemas 2.b e 2.c), o produto cartesiano admite bije¸c˜oes canˆonicas ⁵ entre A × B e B × A, e entre (A × B) × C e A × (B × C), a saber:

σ A,B : A × B −→ B × A

(a, b) 7−→ σ A,B ( (a, b) ) = (b, a) α A,B,C : ((A × B ) × C) −→ (A × (B × C))

((a, b), c) 7−→ α A,B,C ( ((a, b), c) ) = (a, (b, c))

Usando as bije¸c˜oes canˆonicas do tipo α A,B,C acima, e um resultado chamado teorema de coerˆencia para categorias monoidais (Saunders MacLane, 1963), podemos concluir que quaisquer duas parentesiza¸c˜oes ⁶ de uma lista finita de conjuntos A 1 , A 2 , . . . , A n podem ser identificadas de modo canˆonico ´ unico, de modo que podemos vˆe-las como representantes de um objeto (“´ unico a menos de isomorfismo”) A 1 × A 2 . . . × A n , sem referˆencia aos parˆenteses.

3.b. [Halmos, Sec. 6] A × B = ∅ ⇐⇒ (A = ∅ ∨ B = ∅);

∅ 6= A × B ⊆ C × F = ⇒ (A ⊆ c ∧ B ⊆ F ); e

a condi¸c˜ao ∅ 6= A × B ´e necess´aria para se chegar `a conclus˜ao anterior;

3.c. (A ∩ B) × (C ∩ D) = (A × C) ∩ (B × D), A × (C ∪ D) = (A × C) ∪ (A × D) e, analogamente, (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C), mas ´e poss´ıvel termos (A ∪ B) × (C ∪ D) 6= (A × C) ∪ (B × D).

5 Mais precisamente, “isomorfismos naturais”, um conceito da teoria das categorias.

6 Ex.: A×((B ×(C ×D)×(E ×F )×G)×H ) e ((A×B)×(C ×D))×((E ×F )×(G×H )).

apˆ endice: alguns modelos para os pares ordenados

H´a mais de uma realiza¸c˜ao (modelo) da teoria formal dos pares ordena- dos. Abaixo, damos trˆes exemplos, os quais admitem diversas varia¸c˜oes que funcionam: a de Norbert Wiener (1914) foi a primeira a aparecer, e foi pro- posta para funcionar em mais de uma teoria dos conjuntos; a de Karzimierz Kuratowski (1921) ´e usualmente adotada em ZF.

Defini¸ c˜ ao 4. Dados os conjuntos X e Y , denotamos:

(X, Y ) W = b { {{X}, ∅}, {{Y }} } (par ordenado de Wiener); e (X, Y ) K = b { {X}, {X, Y } } (par ordenado de Kuratowski).

Obs. Ambas possuem variantes que n˜ao alteram a essˆencia dos resultados abaixo. Ex.: Poder´ıamos ter usado { {Y }, {X, Y } } como par ordenado de Kuratowski. Enquanto a primeira vers˜ao privilegia a indica¸c˜ao de qual ´e a primeira entrada X, a segunda privilegia a indica¸c˜ao da segunda entrada Y .

Quest˜ ao 5. Descrever, por extens˜ao, (∅, ∅) W e (∅, ∅) K . Eles s˜ao iguais?

Proposi¸ c˜ ao 6. Sejam A, B , C e D conjuntos.

6.a. (A, B) K = (C, D) K ⇐⇒ ((A = C)∧(B = D)) ⇐⇒ (A, B) W = (C, D) W . Dica: Considerar os casos A = B e A 6= B separadamente;

6.b. Seja a seguinte classe (produto cartesiano de pares ordenados de Wiener) dada por abstra¸c˜ao: W A,B = b

(a, b) _W a ∈ A, b ∈ B =

{y|a ∈ A, b ∈ B : y = (a, b) W }. Existe um conjunto X (em ZF) do qual W A,B ´e subconjunto ⁷ ;

6.c. Seja a seguinte classe (produto cartesiano de pares ordenados de Kuratowski) dada por abstra¸c˜ao: K A,B = b

(a, b) _K a ∈ A, b ∈ B =

{x|a ∈ A, b ∈ B : x = (a, b) K }. Existe um conjunto Y (em ZF) do qual K A,B ´e subconjunto ⁸ .

7 Disto, temos a boa defini¸c˜ ao de W A,B em ZF : dados A e B, existe um ´ unico conjunto extensionalmente igual a {x ∈ X |a ∈ A, b ∈ B : x = (a, b) W } em ZF.

8 Disto, temos a boa defini¸c˜ ao de K A,B em ZF : dados A e B, existe um ´ unico conjunto

extensionalmente igual a {y ∈ Y |a ∈ A, b ∈ B : y = (a, b) K } em ZF.

rela¸ c˜ oes bin´ arias num conjunto

Defini¸ c˜ ao 7. Dados os conjuntos X e Y , dizemos que R ´e uma rela¸ c˜ ao bi- n´ aria de X em Y se, e somente se, R ⊆ X ×Y . Em caso afirmativo, denota- mos ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y, (xRy ⇐⇒ (x, y) ∈ R), e dizemos que: x relaciona-se a y por R; X ´e o dom´ınio de R (Dom(R) = X); e Y ´e o contradom´ınio de R (ContraDom(R) = Y ). Denotamos a nega¸c˜ao xRy pelo modo tradicional x6 Ry , ou seja: ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y, (x6Ry ⇐⇒ ¬(xRy) ⇐⇒ (x, y) ∈ / R).

Dizemos que R ´e uma rela¸ c˜ ao bin´ aria em X se, e somente se, R ´e uma rela¸c˜ao de X em X (ou seja, R ⊆ X × X).

Dos tipos de rela¸c˜ao bin´aria abaixo, os assinalados com asterisco (*) s˜ao opcionais nesta disciplina e podem ser ignorados. No entanto, recomendamos que o(a) leitor(a) tente entendˆe-los e compar´a-los com os demais tipos que, por sua vez, aparecem com frequˆencia em matem´atica e devem ser recordados.

Defini¸ c˜ ao 8. Dada uma rela¸c˜ao R em X, dizemos que:

− R ´e reflexiva se, e somente se, ∀x ∈ X, xRx, ou seja, (x, x) ∈ R;

− R ´e irreflexiva (ou estrita) se, e somente se, ∀x ∈ X, x6Rx, ou seja, (x, x) ∈ / R;

− (*) R ´e correflexiva se, e somente se, ∀x, y ∈ X, xRy = ⇒ x = y, ou seja, (x, y) ∈ R = ⇒ x = y;

− R ´e sim´ etrica se, e somente se, ∀x, y ∈ X, xRy = ⇒ yRx, ou seja, (x, y) ∈ R = ⇒ (y, x) ∈ R;

− R ´e assim´ etrica se, e somente se, ∀x, y ∈ X, xRy = ⇒ y6Rx, ou seja, (x, y) ∈ R = ⇒ (y, x) ∈ / R;

− R ´e antissim´ etrica se, e somente se, ∀x, y ∈ X, (xRy ∧yRx) ⇒ x = y, ou seja, ( (x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R ) = ⇒ x = y;

− R ´e transitiva se, e somente se, ∀x, y, z ∈ X, (xRy ∧ yRz) = ⇒ xRz, ou seja, ( (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R ) = ⇒ (x, z) ∈ R;

− (*) R ´e antitransitiva ⁹ se, e somente se,

∀x, y, z ∈ X, (xRy ∧ yRz) = ⇒ x6 Rz, ou seja, ( (x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R ) = ⇒ (x, z) ∈ / R;

9 Alguns autores utilizam o termo intransitiva para designar uma rela¸c˜ ao que n˜ ao ´e

transitiva, enquanto outros usam aquele termo como sinˆ onimo de antitransitiva. Entenda

a diferen¸ca!

− (∗)R ´e euclidiana (ou euclidiana ` a direita) se, e somente se,

∀x, y, z ∈ X, (xRy ∧ xRz) = ⇒ yRz, ou seja, ( (x, y ) ∈ R ∧ (x, z) ∈ R ) = ⇒ (y, z) ∈ R;

− (*) R ´e euclidiana ` a esquerda se, e somente se,

∀x, y, z ∈ X, (yRx ∧ zRx) = ⇒ yRz, ou seja, ( (y, x) ∈ R ∧ (z, x) ∈ R ) = ⇒ (y, z) ∈ R;

− (*) R ´e extens´ıvel (ou serial) se, e somente se, ∀x ∈ X, ∃y ∈ X : xRy, ou seja, cada x em X se relaciona a algum elemento de X por R;

− R ´e densa se, e somente se, ∀x, y ∈ X, [xRy = ⇒ ∃z ∈ X : (xRz∧zRy)], ou seja, entre quaisquer dois elementos relacionados, existe um terceiro;

− R ´e tricotˆ omica se, e somente se, ∀x, y ∈ X, uma, e apenas uma, das seguintes situa¸c˜oes ocorre: xRy ou yRx ou x = y; ou seja, (x, y ) ∈ R ou x = y ou (y, x) ∈ R. Isto pode ser descrito por meio de conectivos como: ∀x, y ∈ X, ( xRy ∨ ˙ x = y ∨ ˙ yRx) ∧ ¬ ( xRy ∧ x = y ∧ yRx);

− (*) R ´e conexa se, e somente se, ∀x, y ∈ X, ( xRy ∨ x = y ∨ yRx) (ou seja, relaxamos a exclusividade m´ utua na defini¸c˜ao anterior, mas mantemos a exaust˜ao);

− R ´e total (ou linear ou fortemente conexa) se, e somente se,

∀x, y ∈ X, (xRy ∨ yRx), ou seja, ( (x, y) ∈ R ∨ (y, x) ∈ R );

− R ´e bem fundada se, e somente se, para todo subconjunto n˜ao-vazio C de X, existe um elemento m ∈ C tal que nenhum elemento de C ´e relacionado a m por R. Simbolicamente:

∀S ⊆ X : S 6= ∅, ∃m ∈ S : ∀s ∈ S, s6Rm.

Dizemos que tal m ´e um elemento R−minimal de S.

Ainda estudaremos as seguintes combina¸c˜oes, que s˜ao important´ıssimas:

− Rela¸ c˜ oes de ordem estrita: rela¸c˜oes que s˜ao irreflexivas e transitivas (o que equivale a serem assim´etricas e transitivas por 13.g e 13.h);

− Rela¸ c˜ oes de ordem parcial: rela¸c˜oes que s˜ao reflexivas, antissim´e- tricas e transitivas;

− Rela¸ c˜ oes de equivalˆ encia: rela¸c˜oes que s˜ao reflexivas, sim´etricas e

transitivas.

Quest˜ ao 9. Alguns exemplos para fixa¸c˜ao dos conceitos acima.

9.a. Verificar que a rela¸c˜ao R = b {(0, 0); (0, 1); (1, 0); (0, 2); (3, 2)} ( P × P no conjunto P = {0, 1, 2, 3} n˜ao ´e de nenhum dos 16 tipos definidos acima!

Dica: Este exemplo enfatiza o papel do quantificador ∀ (“para todo”) na defini¸c˜ao de cada tipo especial de rela¸c˜ao mencionado!

9.b. Verificar o que pode ser dito sobre as seguintes rela¸c˜oes bin´arias na hu- manidade mesmo que de modo aproximado, uma vez que n˜ao fixamos uma modelagem matem´atica para a humanidade: parentesco (“ser parente de”);

“ser irm˜a(o) de”; “ser filho(a) de”; “ser pai ou m˜ae de”; descendˆencia (“ser descendente de”); ancestralidade (“ser ancestral de”); e “ser cˆonjugue de”;

9.c. Verificar o que pode ser dito sobre as seguintes rela¸c˜oes bin´arias entre os competidores ao final de torneio eliminat´orio simples (quem perde uma par- tida ´e eliminado(a)): “foi eliminado por”; e “eliminou”;

9.d. Verificar o que pode ser dito a respeito das seguintes rela¸c˜oes bin´arias em

N

: “ser divisor de” (simbolizada por x|y ou por x\y); “ser m´ ultiplo de” (isto

´e, “ser divis´ıvel por”: x ´e m´ ultiplo de y ⇐⇒ y|x); “n˜ao ser divisor de” (x6 | y);

“n˜ao ser m´ ultiplo de”; <; ≤; >; e ≥;

9.e. Recordar que, em

, ser par significa ser m´ ultiplo de 2, e ser ´ımpar ´e a nega¸c˜ao de ser par. Verificar o que pode ser dito a respeito das seguintes rela¸c˜oes bin´arias em

: <, ≤, >, ≥, al´em de

− ∀x, y ∈

, xR 1 y ⇐⇒ x e y s˜ao pares;

− ∀x, y ∈

, xR 2 y ⇐⇒ x e y s˜ao ´ımpares;

− ∀x, y ∈

, xR 3 y ⇐⇒ x ´e par e y ´e ´ımpar;

− ∀x, y ∈

, xR 4 y ⇐⇒ x ´e ´ımpar e y ´e par;

9.f. Verificar o que pode ser dito a respeito das seguintes rela¸c˜oes bin´arias:

− ∀(a, b), (c, d) ∈

×

, (a, b)R 5 (c, d) ⇐⇒ a + d = b + c;

− ∀(x, y ), (w, z) ∈

×

, (x, y)R 6 (w, z) ⇐⇒ xz = yw;

− ∀(x, y ), (w, z) ∈ (

\{0}) × (

\{0}), (x, y)R 7 (w, z) ⇐⇒ xz = yw;

− ∀(x, y ), (w, z) ∈ (

\{0}) × (

\{0}), (x, y)R 8 (w, z) ⇐⇒ xz = yw.

Defini¸ c˜ ao 10. Dado um conjunto A, a rela¸ c˜ ao vazia ∅ em A ´e o conjunto vazio visto como rela¸c˜ao em A (ou seja, como subconjunto de A ×A), ou seja, a rela¸c˜ao vazia em A ´e aquela em que todo elemento de A n˜ao se relaciona a elemento algum de A.

Obs. Uma rela¸c˜ao ser a rela¸c˜ao vazia num conjunto A n˜ao significa a mesma coisa que o conjunto A ser vazio.

Defini¸ c˜ ao 11. Dado um conjunto A, definimos sua rela¸ c˜ ao-identidade Id A como sendo a rela¸ c˜ ao de igualdade = aplicada aos elementos de A, ou seja,

Id A := {(a, b) ∈ A × A|a = b}, tamb´em descrita como {(a, a)|a ∈ A}.

Obs. Se A 6= ∅, denotaremos, arbitrariamente, por N A a rela¸ c˜ ao de dife- ren¸ ca 6= em A: N A = {(a, b) ∈ A × A|a 6= b}.

Quest˜ ao 12. Seja A um conjunto n˜ao-vazio. Em alguns dos itens abaixo, faz diferen¸ca se A ´e unit´ario ou n˜ao. Ser´a que, para algum deles, faz diferen¸ca se o n´ umero de elementos ¹⁰ de A for, digamos, igual a 2 ou igual a 3 (ao inv´es de maior que 3)?

12.a. Verificar que, no conjunto vazio, a ´ unica rela¸c˜ao bin´aria ´e rela¸c˜ao a vazia e, devido `a vacuidade do conjunto, tal rela¸c˜ao satisfaz todos os 16 conceitos (tipos) apresentados acima!

12.b. Verificar que {(a, b) ∈ A × A|a = b ∧ a 6= b} = ∅, a rela¸c˜ao vazia em A;

12.c. De quais tipos s˜ao as rela¸c˜oes ∅, Id A , N A e A × A em A?

12.d. De quais tipos s˜ao as rela¸c˜oes ⊆, (, ⊇ e ) em P (A)?

V´arios dos itens da proposi¸c˜ao abaixo s˜ao ´ uteis para compreendermos rela¸c˜oes de ordem.

Proposi¸ c˜ ao 13. Sejam A um conjunto, e R uma rela¸c˜ao em A. Ent˜ao:

13.a. A × A = Id A ⊔ N A ;

13.b. R ´e reflexiva ⇐⇒ Id A ⊆ R ⇐⇒ R ∩ Id A = Id A ;

10 A ideia de n´ umero de elementos (cardinalidade) ´e formalizada em matem´ atica atra-

v´es de bije¸c˜ oes entre conjuntos. Ela d´ a origem ao conceito de n´ umero cardinal.

13.c. R ´e correflexiva ⇐⇒ R ⊆ Id A ⇐⇒ R ∩ Id A = R;

13.d. R ´e irreflexiva ⇐⇒ R ⊆ N A ⇐⇒ R ∩ Id A = ∅;

13.e. R ⊔ Id A ´e reflexiva (dita fecho reflexivo de R);

13.f. R\Id A ´e irreflexiva;

13.g. Se R ´e assim´etrica, ent˜ao, R ´e irreflexiva;

13.h. Se R ´e transitiva e irreflexiva, ent˜ao R ´e assim´etrica;

13.i. R ´e assim´etrica se, e somente se, R ´e antissim´etrica e irreflexiva;

13.j. Se R ´e assim´etrica, ent˜ao seu fecho reflexivo R ⊔ Id A ´e uma rela¸c˜ao antissi- m´etrica;

13.k. Se R ´e antissim´etrica, ent˜ao R\Id A ´e assim´etrica;

13.l. Se R ´e tricotˆomica, ent˜ao R ´e assim´etrica;

13.m. Se R ´e total, ent˜ao R ´e reflexiva.

Quest˜ ao 14.

14.a. Dar um exemplo de uma rela¸c˜ao irreflexiva que n˜ao ´e assim´etrica (e, por- tanto, n˜ao ´e transitiva devido a 13.h, nem ´e antissim´etrica devido a 13.i).

14.b. (Exerc´ıcio opcional para a pr´atica de demonstra¸c˜ao. Os trˆes primeiros itens s˜ao relativamente f´aceis.) Seja R uma rela¸c˜ao bin´aria em A. Provar as afirma¸c˜oes abaixo. Para as implica¸c˜oes, tamb´em investigar se suas rec´ıprocas s˜ao verdadeiras ou falsas, buscando contraexemplos para as falsas:

i. Se R ´e sim´etrica e antissim´etrica, ent˜ao R ´e correflexiva;

ii. Se R ´e sim´etrica e assim´etrica ou R ´e reflexiva e irreflexiva, ent˜ao R = ∅;

iii. Se R ´e reflexiva, ent˜ao R ´e densa;

iv. Se R ´e antitransitiva, ent˜ao R ´e irreflexiva;

v. Se R ´e euclidiana e reflexiva, ent˜ao R ´e sim´etrica;

vi. Se R ´e sim´etrica, ent˜ao s˜ao dois a dois equivalentes: R ´e transitiva; R ´e euclidiana; e R ´e euclidiana `a esquerda;

vii. Se R ´e sim´etrica, transitiva e extens´ıvel, ent˜ao R ´e reflexiva;

14.c. Toda rela¸c˜ao sim´etrica e transitiva tem que ser reflexiva?

14.d. Toda rela¸c˜ao conexa tem que ser reflexiva?

Defini¸ c˜ ao 15. Dada uma rela¸c˜ao bin´aria R em um conjunto X, o fecho transitivo de R, que denotaremos por R ⁺ , ´e a rela¸c˜ao definida por:

∀x, y ∈ X, xR ⁺ y se, e somente se, existe um n´ umero finito n > 0 de ele- mentos de X, x 0 , x 1 , . . . , x n , tais que x = x 0 , x 0 Rx 1 , x 1 Rx 2 , . . . , x n− 1 Rx n

(ou seja, x ı−1 Rx ı para todo ı ∈ {1, . . . , n}), e x n = y. De forma abrevi- ada, se, e somente se, existe uma sequˆencia finita de elementos relacionados x = x 0 Rx 1 Rx 2 R · · · Rx n− 1 Rx n = y.

Obs. Como admitimos o caso n = 1, temos que ∀x, y ∈ X, xRy = ⇒ xR ⁺ y.

Proposi¸ c˜ ao 16. Seja R uma rela¸c˜ao bin´aria em um conjunto X.

16.a. R ⊆ R ⁺ ;

16.b. R ⁺ ´e transitiva;

16.c. Se T ´e uma rela¸c˜ao transitiva que cont´em R, ent˜ao R ⁺ ⊆ T . Em outras palavras, R ⁺ ´e a menor (para ⊆) das rela¸c˜oes transitivas que cont´em R, e ´e a interse¸c˜ao delas;

16.d. Se R ´e transitiva, ent˜ao R ⁺ = R.

conjuntos parcialmente ordenados

J´a fomos introduzidos aos conceitos de rela¸c˜ao de ordem estrita e parcial no final da Defini¸c˜ao 8, e discutimos algumas propriedades relacionadas a eles na Proposi¸c˜ao 13.

Proposi¸ c˜ ao 17. (Parcial vs. estrita). Seja A um conjunto.

17.a. Cada rela¸c˜ao de ordem estrita < ^′ em A induz uma rela¸c˜ao de ordem parcial

≤ ^′ em A por: ∀a, a ^′ ∈ A, a ≤ ^′ a ^′ ⇐⇒ (a < ^′ a ^′ ∨ a = a ^′ ). Em outras palavras, denotando as rela¸c˜oes < original e ≤ induzida por E e P E respectivamente, temos que P E = E ⊔ Id A . cf. Item 13.e.

Obs. Portanto, o objetivo demonstrar que P E satisfaz a defini¸c˜ao de rela¸c˜ao

de ordem parcial, utilizando, para tanto, que E satisfaz a defini¸c˜ao de rela¸c˜ao

de ordem estrita;

17.b. Cada rela¸c˜ao de ordem parcial ≤ em A induz uma rela¸c˜ao de ordem estrita

< em A por: ∀a, a ^′ ∈ A, a < a ^′ ⇐⇒ (a ≤ a ^′ ∧ a 6= a ^′ ). Em outras palavras, denotando as rela¸c˜oes ≤ original e < induzida por P e E P respectivamente, temos que E P = P \Id A . cf. Item 13.f.

Obs. Portanto, o objetivo demonstrar que E P satisfaz a defini¸c˜ao de rela¸c˜ao de ordem estrita, utilizando, para tanto, que P satisfaz a defini¸c˜ao de rela¸c˜ao de ordem parcial;

17.c. As duas constru¸c˜oes acima s˜ao inversas. Mais precisamente: a ordem parcial induzida pela ordem estrita induzida por uma ordem parcial dada ´e igual a esta ´ ultima e, trocando as instˆancias de “parcial” pelas de “estrita” nesta frase e vice-versa, obtemos outro resultado v´alido. Em suma: utilizando a nota¸c˜ao dos itens anteriores, temos que P E

= P e E P

= E;

17.d. Uma rela¸c˜ao de ordem parcial em A ´e total se e somente se a rela¸c˜ao de ordem estrita induzida por ela ´e tricotˆomica;

17.e. (Ordem dual de ≤). Cada rela¸c˜ao de ordem parcial ≤ em A induz uma rela¸c˜ao de ordem parcial ≤ ^∗ (mais comumente denotada por ≥ ) em A, dada por: ∀a, a ^′ ∈ A, a ≤ ^∗ a ^′ (isto ´e, a ≥ a ^′ ) ⇐⇒ a ^′ ≤ a.

Obs. Novamente, o objetivo do exerc´ıcio ´e demonstrar que ≤ ^∗ satisfaz a defini¸c˜ao de rela¸c˜ao de ordem parcial, utilizando, para tanto, que ≤ a satisfaz.

Obs. Analogamente, temos a rela¸c˜ao de ordem dual < ^∗ (ou >) de qualquer rela¸c˜ao de ordem estrita em A dada;

17.f. Dada uma rela¸c˜ao de ordem parcial ≤ em A:

i. ≤ ^∗ ´e total se, e somente se, ≤ ´e total; e ii. ≤ ´e a ordem dual de ≤ ^∗ (ou seja, ≤ ^∗∗ =≤).

Defini¸ c˜ ao 18. Sejam X um conjunto, ≤ uma rela¸c˜ao de ordem parcial em X, S ⊆ X, e elementos a, b, m, M ∈ X. Dizemos que:

− (X, ≤) ´e um conjunto parcialmente ordenado (ou CPO ¹¹ ), e que X ´e o conjunto subjacente ¹² ao CPO (X, ≤);

− a e b s˜ao compar´ aveis se, e somente se, a ≤ b ∨ b ≤ a;

11 Em inglˆes, “partiallu ordered set” ou “poset”.

12 Em inglˆes, “underlying set” ou “field”, embora “field” tamb´em signifique campo (como

em campo de vetores) e corpo. Conjunto subjacente ´e uma nomenclatura que se aplica

a todas as estruturas matem´ aticas definidas como conjuntos (subjacentes a elas) munidos

de algo, e n˜ ao apenas a CPOs.

− a e b s˜ao incompar´ aveis se, e somente se, a e b n˜ao s˜ao compar´aveis;

− ≤ ´e uma rela¸ c˜ ao de ordem total (ou rela¸ c˜ ao de ordem linear ), ambas ≤ e < s˜ao ordena¸ c˜ oes totais de A, e (A, ≤) ´e um conjunto totalmente ordenado se, e somente se, ≤ ´e total (ou seja, todos os elementos de X s˜ao compar´aveis uns aos outros) – cf. Item 17.d;

− m ´e um elemento minimal de (X, ≤) se, e somente se, ∀x ∈ X, (x ≤ m = ⇒ x = m) (ou seja, nenhum elemento de X ´e menor que m, mas podem existir elementos que n˜ao se comparam a m). Se n˜ao houver ambiguidade, tamb´em dizemos que m ´e um elemento minimal de X.

Analogamente,

− M ´e um elemento maximal de (X, ≤) (ou de X) se, e somente se,

∀x ∈ X, (M ≤ x = ⇒ x = M );

− m ´e um m´ınimo de (X, ≤) (ou de X) se, e somente se, ∀x ∈ X, m ≤ x (em particular, todo elemento de X se compara a m); analogamente,

− M ´e um m´ aximo de (X, ≤) (ou de X) se, e somente se, ∀x ∈ X, x ≤ M ;

− A ordem induzida em S por ≤ ´e a restri¸c˜ao de ≤ a S × S, ou seja,

≤ | S×S = {(s, s ^′ ) ∈ s × S|s ≤ s ^′ } = (S × S)∩ ≤. Informalmente,

´e o resultado de aplicarmos a rela¸c˜ao original ≤ apenas a pares de elementos em S;

− S ´e uma cadeia de (X, ≤) (ou de X) se, e somente se, a ordem induzida por ≤ em S ´e total. Em outras palavras, uma cadeia ´e um subconjunto de X totalmente ordenado por ≤ ;

− S ´e uma anticadeia de (X, ≤) (ou de X) se, e somente se, quaisquer dois elementos de S distintos s˜ao incompar´aveis na ordem induzida por

≤ em S.

Obs. Tendo em vista os resultados enunciados na Proposi¸c˜ao 17, concei- tos para rela¸c˜oes de ordem parcial ou estrita misturam-se na literatura, adaptando-se a vers˜ao de um tipo de rela¸c˜ao de ordem para o outro ao se incluir ou excluir a identidade Id A , ou seja, a rela¸c˜ao de igualdade em A. Por exemplo, dada uma rela¸c˜ao de ordem estrita < em A, podemos falar no CPO (A, ≤) com ≤ induzida por <.

Obs. (Anti)cadeias s˜ao muito importantes na teoria da ordem e no estudo

de proposi¸c˜oes equivalentes ao axioma da escolha (ou seja, nas manifesta¸c˜oes

da n˜ao-construtividade na matem´atica).

Proposi¸ c˜ ao 19. Seja (A, ≤) um CPO.

19.a. Se A possui m´ınimo, ent˜ao ele ´e ´ unico.

Obs. Em caso afirmativo, o m´ınimo ´e denotado por min (A) ou min (A, ≤).

Resultado an´alogo vale para m´aximo, denotado por max (A) ou max (A, ≤);

19.b. Se existir min (A, ≤), ent˜ao existe max (A, ≤ ^∗ ) e min (A, ≤) = max (A, ≤ ^∗ ).

Analogamente, se existir max (A, ≤), ent˜ao existe min (A, ≤ ^∗ ) e max (A, ≤) = min (A, ≤ ^∗ );

19.c. Se C ´e uma cadeia de (A, ≤) e D ´e uma anticadeia de (A, ≤), ent˜ao C ∩ D ´e vazio ou unit´ario (isto ´e, C e D tˆem, no m´aximo, um elemento em comum).

Obs. Teoremas curiosos como os de Dilworth e Mirsky exploram este fato.

Quest˜ ao 20. Seja um CPO (A, ≤). Consideremos as rela¸c˜oes R, “ser com- par´avel a”, no CPO dado (isto ´e, xRy ⇐⇒ x e y s˜ao compar´aveis), e S, “ser incompar´avel a” no mesmo CPO (ou seja, xSy ⇐⇒ x e y s˜ao incompar´aveis).

20.a. Observar que R ⊔ S = A × A;

20.b. De quais dos tipos de rela¸c˜ao bin´aria na Defini¸c˜ao 8 R ´e? E S?

Para as defini¸c˜oes de intervalos e segmentos, n˜ao pressuporemos a tota- lidade da ordem na defini¸c˜ao dos intervalos. Tamb´em n˜ao assumiremos que (X, ≤) ´e ilimitado inferior ou superiormente. ´ E interessante o(a) leitor(a) verificar a aplica¸c˜ao destes conceitos em exemplos como os do Item 27.b e os CPOs na Proposi¸c˜ao 29.

Defini¸ c˜ ao 21. Sejam (X, ≤) um CPO, e elementos a, b ∈ X tais que a ≤ b.

Definimos os intervalos com extremidades a e b:

[a, b] < := {x ∈ X|a ≤ x ≤ b} (um intervalo fechado), com o caso particu- lar [a, a] < = {a} (um intervalo fechado degenerado );

]a, b[ < := {x ∈ X|a < x < b} (um intervalo aberto); e

]a, b] < := {x ∈ X|a < x ≤ b}, [a, b[ < := {x ∈ X|a ≤ x < b} (intervalos semiabertos `a esquerda e `a direita, respectivamente).

Obs. ]a, a[ < = [a, a[ < =]a, a] < = ∅.

Dado S ⊆ X, dizemos que:

− S ´e um segmento inicial ¹³ do CPO (X, ≤) se, e somente se, para cada s ∈ S, todos os elementos de X menores que s tamb´em pertencem a S;

13 Em inglˆes, “initial segment”, “lower set”, “downward closed set”, “down set”, “decreasing

set” ou “semi-ideal”.

− S ´e um segmento final ¹⁴ do CPO (X, ≤) se, e somente se, para cada s ∈ S, todos os elementos de X maiores que s tamb´em pertencem a S.

Ex.: Para a ordem usual em

, os quatro tipos de intervalos com extremida- des a e b definidos acima coincidem com os usuais. J´a os segmentos iniciais s˜ao

e os intervalos do tipo ] − ∞, b[ ou ] − ∞, b], enquanto os segmentos finais s˜ao

e os intervalos do tipo ]a, +∞[ ou [a, +∞[.

Ex.: Em

munido de sua ordem usual <

:

´e um segmento final;

\

´e um segmento inicial; [0, 2] <

= {0, 1, 2}; [0, 1] <

= {0, 1}; [0, 1[ <

= {0};

]0, 1] <

= {1}; e ]0, 1[ <

= ∅ =] − 1001, −1000[ <

. Quest˜ ao 22. Seja (A, ≤) um CPO.

22.a. Sob que condi¸c˜oes a uni˜ao de dois intervalos de A ainda ´e um intervalo de A?

22.b. Provar que a interse¸c˜ao de dois intervalos de A ainda ´e um intervalo de A.

Proposi¸ c˜ ao 23. Seja (A, ≤) um CPO.

23.a. A interse¸c˜ao e a uni˜ao de dois segmentos iniciais de A tamb´em s˜ao segmentos iniciais de A. Resultado an´alogo vale para segmentos finais;

23.b. O complemento de um segmento inicial de A ´e um segmento final de A, e vice-versa.

Defini¸ c˜ ao 24. Seja (X, ≤) um CPO. A rela¸ c˜ ao de cobertura ≺ (do CPO ou de ≤ ou de <) ´e dada por: ∀x, y ∈ X, x ≺ y (“x ´e coberto por y”; “y cobre x”) se, e somente se, (x < y e ∄z ∈ X : x < z < y), ou seja, x ´e menor que y mas nenhum elemento de X est´a entre x e y na ordem <, isto

´e, ]x, y [ < = ∅.

O diagrama de Hasse do CPO (X, ≤) ´e um grafo ac´ıclico dirigido (ori- entado) que representa a rela¸c˜ao de cobertura ≺ do CPO da seguinte maneira:

os v´ertices s˜ao os elementos do conjunto X subjacente ao CPO; e, para cada (x, y) ∈ X × X, uma aresta (flecha, seta) vai de y a x se, e somente se, x ≺ y.

Obs. Vide exemplos nos itens 26.b (pensando cada aresta tracejada como uma aresta simples) e 27.b

14 Em inglˆes, “upper set”, “upward closed set” ou “upset”.

Quest˜ ao 25. De quais tipos de rela¸c˜ao bin´aria na Defini¸c˜ao 8 a rela¸c˜ao de cobertura (“´e coberto por”) num CPO ´e?

Proposi¸ c˜ ao 26. Seja (A, ≤) um CPO.

26.a. Se ≤ ´e total, ent˜ao, para cada a ∈ A, existe, no m´aximo, um elemento de A que cobre a;

26.b. A rela¸c˜ao de cobertura ≺ induz uma rela¸c˜ao de ordem estrita em A do seguinte modo: para todo (x, y) ∈ A × A, x ´e menor que y se, e somente se, existe um caminho orientado ¹⁵ no diagrama de Hasse de y a x. Deno- taremos, arbitrariamente, esta rela¸c˜ao de ordem estrita por ⋖, como em x⋖y.

Ex.: A = {a, b, c, d, e, f, h}. Pelo diagrama de Hasse abaixo, conclu´ımos, por exemplo, que a ⋖ b e a ⋖ e devido aos caminhos destacados com arestas tracejadas. No entanto, temos que a ≺ b mas a ⊀ e. Por sua vez, na rela¸c˜ao de ordem estrita original, temos que a < b (pois a ≺ b), e a < e, pois: a ≺ g e g ≺ e, donde a < g e g < e e, da transitividade de <, conclu´ımos que a < e.

b

u } r r r r r r r

r r r r r r r ^{o o} c ^{o o} d

x x

rr rr rr rr rr rr r

a e

u } s s s s s s s

s s s s s s s

e e

▲▲ ▲▲

▲▲ ▲▲

▲▲ ▲▲ ▲

f

o o

g

a i

❑ ❑

❑ ❑

❑ ❑

❑

❑ ❑

❑ ❑

❑ ❑

❑ ^{o o} h

26.c. A rela¸c˜ao ⋖ ´e o fecho transitivo da rela¸c˜ao ≺ (Vide Defini¸c˜ao 15 e Proposi¸c˜ao 16);

26.d. A rela¸c˜ao ≺ est´a contida na rela¸c˜ao ⋖ que, por sua vez, est´a contida na rela-

¸c˜ao <, mas ´e poss´ıvel que cada continˆencia seja estrita. Em outras palavras,

∀x, y ∈ A, x ≺ y = ⇒ x ⋖ y = ⇒ x < y, mas a rec´ıproca de cada implica¸c˜ao pode ser falsa.

Obs. Vide contraexemplos no exemplo do Item 26.b e nos itens 32.b e 32.g;

26.e. Se o CPO dado ´e finito (ou seja, o conjunto subjacente A ´e finito), ent˜ao as rela¸c˜oes ⋖ e < s˜ao iguais. Logo, para CPOs finitos, podemos recuperar a rela¸c˜ao de ordem estrita a partir de sua rela¸c˜ao de cobertura;

15 Um caminho orientado (ou dirigido) ao longo de um grafo orientado consiste de um

n´ umero finito de arestas justapostas com mesma orienta¸c˜ ao, ou seja, a extremidade final de

uma aresta chega na extremidade final da pr´ oxima aresta. No caso, a primeira extremidade

inicial ´e y, e a ´ ultima extremidade final ´e x.

26.f. As rela¸c˜oes de ordem usuais de

e

tˆem as seguintes rela¸c˜oes de cobertura:

∀x, y ∈ X, x ≺ X y ⇐⇒ y = x + 1, onde X =

e X =

, respectivamente.

Quest˜ ao 27. (As rela¸c˜oes de ordem nos menores conjuntos).

27.a. A rela¸c˜ao vazia no conjunto vazio ´e uma rela¸c˜ao de ordem parcial ? Estrita ? Em caso afirmativo, ´e total/tricotˆomica, respectivamente ?

Sejam os conjuntos C 1 ={a}; b C 2 ={a, b}; b C 3 ={a, b, c}; b C 4 ={a, b, c, d} b e C 5 ={a, b, c, d, e}, onde b a, b, c, d e e s˜ao elementos dois a dois distintos.

27.b. Escrever, explicitamente, todas as rela¸c˜oes de ordem estrita em C 1 e todas em C 2 . Fazer o mesmo, a menos de permuta¸c˜ao dos elementos, em C 3 , em C 4 e em C 5 .

Obs. Para a descri¸c˜ao, podem ser usadas v´arias apresenta¸c˜oes. Por exemplo, uma das rela¸c˜oes de ordem estrita em C 4 ´e dada, dentre outros modos:

− Como rela¸c˜ao bin´aria em C 4 : < = {(a, b); (a, d); (b, d)};

− Na nota¸c˜ao usual para ordem, < diz que: a < b, a < d e b < d;

− Pelas cadeias maximais ¹⁶ : a < b < d e c (isto ´e, {a, b, d} e {c});

− Por sua rela¸c˜ao de cobertura, em virtude do Item 26.e:

≺ = {(a, b); (b, d)}, isto ´e, a ≺ b ≺ d;

− Pelo diagrama de Hasse:

a ^{o o} b ^{o o} d c

Eis outro exemplo em C 4 :

− Como rela¸c˜ao em C 4 : < = {(a, b); (a, c); (a, d); (b, d); (c, d)};

− Na nota¸c˜ao usual para ordem, < diz que: a < b, a < c, a < d, b < d e c < d;

− Pelas cadeias maximais: a < b < d e a < c < d;

− Por sua rela¸c˜ao de cobertura: ≺ = {(a, b); (a, c); (b, d); (c, d)}, isto

´e, a ≺ b ≺ d e a ≺ c ≺ d;

16 Maximais entre as cadeias C 4 com respeito ` a rela¸c˜ ao de ordem parcial ⊆ no Item 29.e.

− Pelo diagrama de Hasse:

b

w w

♣♣ ♣♣ ♣

a d

g g

◆◆ ◆◆ ◆

w w

♥♥ ♥♥ ♥

c

g g

PP PP P

E ainda um terceiro exemplo em C 4 :

− Como rela¸c˜ao em C 4 : < = {(a, b); (a, c); (a, d)};

− Na nota¸c˜ao usual para ordem, < diz que: a < b, a < c, e a < d;

− Pelas cadeias maximais: a < b, a < c, e a < d;

− Por sua rela¸c˜ao de cobertura: ≺ = {(a, b); (a, c); (a, d)}, isto ´e, a ≺ b, a ≺ c e a ≺ a ≺ d;

− Pelo diagrama de Hasse:

b

v v

♥♥ ♥♥ ♥

a ^{o o} c d

h h

PP PP P

27.c. Para cada uma das rela¸c˜oes de ordem estrita obtidas no Item 27.b, descrever:

todos os seus elementos minimais, elementos maximais, m´ınimos e m´aximos;

e todas as suas cadeias maximais e anticadeias maximais;

27.d. Repetir o Item 27.c para P (C 4 ), P (C 4 )\{∅} e P (C 4 )\{∅, C 4 } ordenados parcialmente por inclus˜ao (cf. Item 29.a);

27.e. Para cada um dos trˆes exemplos em C 4 usados para descrever apresenta¸c˜oes no Item 27.b, fornecer: todos os segmentos iniciais e finais; e os quatro inter- valos com extremidades a e d.

Quest˜ ao 28. (Ordem discreta). Seja A um conjunto.

28.a. Provar que Id A ´e uma rela¸c˜ao de ordem parcial em A (dita ordem discreta em A), e ´e igual `a sua pr´opria ordem dual;

28.b. Se o n´ umero de elementos de A ´e maior que 1, Id A ´e total ou n˜ao? Justificar;

28.c. Para a ordem discreta num conjunto com mais de 1 elemento, descrever:

todos os seus elementos minimais, elementos maximais, m´ınimos, m´aximos,

intervalos, e segmentos iniciais e finais; e todas as suas cadeias maximais e

anticadeias maximais.

Proposi¸ c˜ ao 29. Seja A um conjunto.

29.a. (P (A), ⊆) ´e um CPO com m´ınimo ∅ e m´aximo A;

29.b. Corol´ ario: As rela¸c˜oes bin´arias em A formam o CPO (P (A × A), ⊆) com m´ınimo ∅ (rela¸c˜ao vazia) e m´aximo A × A;

29.c. Corol´ ario: As rela¸c˜oes bin´arias em A de um tipo particular (Ex.: rela¸c˜oes reflexivas, rela¸c˜oes de ordem estrita, etc.) formam um CPO com rela¸c˜ao de ordem parcial ⊆;

29.d. Id A ´e o m´ınimo do CPO das rela¸c˜oes de ordem parcial em A (cf. Corol´ario 29.c), ou seja, al´em de ser uma delas (pelo Item 28.a), ela est´a contida em todas elas;

29.e. Para toda rela¸c˜ao de ordem parcial ≤ em A, s˜ao CPOs com m´ınimo ∅:

({C ⊆ A | C ´e cadeia de (A, ≤)} , ⊆);

({C ⊆ A | C ´e anticadeia de (A, ≤)} , ⊆);

({C ⊆ A | C ´e intervalo de (A, ≤)} , ⊆);

({C ⊆ A | C ´e intervalo aberto de (A, ≤)} , ⊆);

({C ⊆ A | C ´e intervalo semiaberto `a esquerda de (A, ≤)} , ⊆);

({C ⊆ A | C ´e intervalo semiaberto `a direita de (A, ≤)} , ⊆);

({C ⊆ A | C ´e intervalo semiaberto de (A, ≤)} , ⊆);

({C ⊆ A | C ´e segmento inicial de (A, ≤)} , ⊆); e

({C ⊆ A | C ´e segmento final de (A, ≤)} , ⊆). O m´aximo dos dois ´ ultimos CPOs ´e A. Tamb´em ´e CPO ({C ⊆ A | C ´e intervalo fechado de (A, ≤)} , ⊆).

Obs. Para toda rela¸c˜ao de ordem parcial ≤ em A, os dez conjuntos subja- centes aos CPOs descritos acima s˜ao subconjuntos de P (A). Tais CPOs tˆem suas rela¸c˜oes de ordem (⊆) induzidas do CPO (P (A), ⊆) do Item 29.a;

29.f. Os subconjuntos de uma cadeia tamb´em s˜ao cadeias, e os subconjuntos de uma anticadeia ainda s˜ao anticadeias. Colocando isto em uma forma mais abstrata: ambos os conjuntos {D ⊆ A | D ´e anticadeia de (A, ≤)} e

{C ⊆ A | C ´e cadeia de (A, ≤)} s˜ao segmentos iniciais do CPO (P (A), ⊆).

RELA ¸ C ˜ OES DE ORDEM BOAS E DENSAS

Nesta se¸c˜ao, restringir-nos-emos a conjuntos totalmente ordenados. O

estudo da boa funda¸c˜ao aplicada a rela¸c˜oes de ordem parcial n˜ao-totais ´e

complicado. Boas ordena¸c˜oes e, mais geralmente, boas rela¸c˜oes s˜ao muito

importantes em v´arios t´opicos da matem´atica e tamb´em na teoria da com-

puta¸c˜ao.

Defini¸ c˜ ao 30. Sejam X um conjunto, e ≤ uma rela¸c˜ao de ordem total em X (alternativamente, < uma rela¸c˜ao de ordem estrita tricotˆomica em X). A rela¸c˜ao ≤ (e <) ´e dita uma boa ordena¸ c˜ ao de X, e X ´e bem ordenado por ≤ (e por <) se, e somente se < ´e bem fundada (cf. Defini¸c˜ao 8).

Obs. Adaptando a boa funda¸c˜ao de < para ≤, ao inv´es de:

∀S ⊆ X : S 6= ∅, ∃m ∈ S : ∀s ∈ S, s ≮ m, poder´ıamos escrever:

∀S ⊆ X : S 6= ∅, ∃m ∈ S : ∀s ∈ S, (s ≤ m ⇒ s = m).

Invocando que ≤ ´e total, obtemos a vers˜ao abaixo, mais direta:

∀S ⊆ X : S 6= ∅, ∃m ∈ S : ∀s ∈ S, m ≤ s.

Assim, a boa funda¸c˜ao equivale a todo subconjunto n˜ao-vazio S de X possuir m´ınimo (com rela¸c˜ao `a ordem induzida por ≤ ou < em S).

Defini¸ c˜ ao 31. Sejam X um conjunto, e ≤ uma rela¸c˜ao de ordem total em X (alternativamente, < uma rela¸c˜ao de ordem estrita tricotˆomica em X).

Dizemos que a rela¸c˜ao < (ou ≤) ´e densa se, e somente se:

− X possui dois ou mais elementos distintos; e,

− < ´e uma rela¸c˜ao densa (cf. Defini¸c˜ao 8), ou seja, entre quaisquer dois elementos de X distintos, h´a um terceiro. Mais precisamente:

∀x, y ∈ X, x < y = ⇒ ∃z ∈ X : x < z < y.

Proposi¸ c˜ ao 32.

32.a. Em qualquer conjunto (A, ≤) bem ordenado vale a seguinte propriedade:

∀a ∈ A, ou a = max (A, ≤) ou a ´e coberto por um ´ unico s a ∈ A. (1) s a ´e dito sucessor imediato de a (para efeito de ordem) – cf. Item 26.a.

Ideia de demonstra¸ c˜ ao: Se a n˜ao ´e o m´aximo elemento de A, ent˜ao o elemento s a = min ≤ ({x ∈ A|a < x}) cobre a;

32.b. Toda ordena¸c˜ao densa possui rela¸c˜ao de cobertura vazia;

32.c. Corol´ ario: Toda ordena¸c˜ao densa n˜ao ´e boa. A afirma¸c˜ao contrapositiva (logicamente equivalente e, portanto, tamb´em v´alida) ´e: toda boa ordena¸c˜ao (total) n˜ao ´e densa;

32.d. A ordena¸c˜ao total usual de

´e boa (e, portanto, n˜ao ´e densa);

32.e. As ordena¸c˜oes totais usuais de

e

s˜ao densas (e, da´ı, n˜ao s˜ao boas);

32.f. A ordena¸c˜ao total usual de

nem ´e densa nem ´e boa, mas satisfaz a pro- priedade (1) do Item 32.a. A rela¸c˜ao de ordem estrita de

coincide com sua rela¸c˜ao de ordem ⋖ induzida, no Item 26.b, por sua rela¸c˜ao de cobertura (cf.

Item 26.f), apesar de

ser infinito − cf. Item 26.e;

Obs. Este ´ ultimo fato n˜ao ´e consequˆencia da propriedade (1) do Item 32.a;

como alguns poderiam suspeitar. O Item 32.g ilustra dois contraexemplos;

32.g. Sejam ω e ω e dois elementos distintos um do outro e de todos os n´ umeros naturais. Sejam A =

⊔ {ω}, e B = A ⊔ { e ω}. Sejam < N a ordem usual de

N

, e < B a rela¸c˜ao de ordem estrita em B dada por: ∀x, y ∈ B,

x < B y ⇐⇒ [(x, y ∈

e x <

y) ou (x ∈

e y / ∈

) ou (x = ω e y = ω)], e ou seja, na ordem de B, os naturais tˆem a mesma ordem que tˆem em

, s˜ao seguidos por ω, e este, por ω e = max(B, < B ). Finalmente, tenha A a ordem

≤ A induzida de (B, ≤ B ), de modo que ω = max(A, < A ). Ent˜ao:

− Ambas < A e < B s˜ao boas ordena¸c˜oes (totais);

− As rela¸c˜oes de cobertura ≺ A de (A, ≤ A ) e ≺ B de (B, ≤ B ) s˜ao dadas por: ∀x, y ∈

, x ≺ A y ⇐⇒ x ≺

y ⇐⇒ x ≺ B y, e ω ≺ B ω, ou seja: e os naturais s˜ao cobertos como o s˜ao em

(cf, Item 26.f); ω ´e coberto por e ω em B; e ω n˜ao cobre elemento algum em ambos os CPOs;

− Como atestado pela propriedade (1) no Item 32.a, todo elemento x de A e B que n˜ao ´e m´aximo possui um “sucessor imediato” ¹⁷ s x : se x ´e natural, ent˜ao s x = x + 1; ω n˜ao ´e sucessor imediato de elemento algum; e, em B, s ω = ω; e

− Em ambos os CPOs, a rela¸c˜ao de ordem estrita dada e a rela¸c˜ao de ordem estrita induzida pela rela¸c˜ao de cobertura s˜ao diferentes apenas porque, na rela¸c˜ao dada, ω ´e maior do que todos os naturais (e, por- tanto, ω e tamb´em o ´e em B) enquanto, na rela¸c˜ao induzida pela rela¸c˜ao de cobertura, ω (e, em B, tamb´em ω) ´e incompar´avel a todo n´ e umero natural.

17 Na constru¸c˜ ao de

e, mais geralmente, dos n´ umeros ordinais proposta por von Neumann, os trˆes primeiros n´ umeros ordinais infinitos s˜ ao: ω =

visto como CPO;

s ω = ω ⊔ {ω} (nosso A); e s s

= s ω ⊔ {s ω } (nosso B).

RELA ¸ C ˜ OES DE ORDEM NUM PRODUTO CARTESIANO

Defini¸ c˜ ao 33. Dados os CPOs (A, ≤ A ) e (B, ≤ B ), sejam as seguintes rela-

¸c˜oes de ordem parcial ou estrita em A × B:

− (Ordem lexicogr´ afica em A × B). ∀(a, b), (a ^′ , b ^′ ) ∈ A × B, (a, b) ≤ L (a ^′ , b ^′ ) ⇐⇒ [a < A a ^′ ∨ (a = a ^′ ∧ b ≤ B b ^′ )], isto ´e, (a, b) < L (a ^′ , b ^′ ) ⇐⇒ [a < A a ^′ ∨ (a = a ^′ ∧ b < B b ^′ )];

− (Ordem colexicogr´ afica em A × B). ∀(a, b), (a ^′ , b ^′ ) ∈ A × B , (a, b) ≤ C (a ^′ , b ^′ ) ⇐⇒ [b < B b ^′ ∨ (b = b ^′ ∧ a ≤ A a ^′ )], isto ´e, (a, b) < C (a ^′ , b ^′ ) ⇐⇒ [b < B b ^′ ∨ (b = b ^′ ∧ a < A a ^′ )];

− (Ordem-produto em A × B ). ∀(a, b), (a ^′ , b ^′ ) ∈ A × B, (a, b) ≤ P (a ^′ , b ^′ ) ⇐⇒ [a ≤ A a ^′ ∧ b ≤ B b ^′ ], isto ´e,

(a, b) < P (a ^′ , b ^′ ) ⇐⇒ [(a < A a ^′ ∧ b ≤ B b ^′ ) ∨ (a ≤ A a ^′ ∧ b < B b ^′ )]; e

− ∀(a, b), (a ^′ , b ^′ ) ∈ A × B, (a, b) < R (a ^′ , b ^′ ) ⇐⇒ (a < A a ^′ ∧ b < B b ^′ ), isto

´e, (a, b) ≤ R (a ^′ , b ^′ ) ⇐⇒ [(a, b) = (a ^′ , b ^′ ) ∨ (a < A a ^′ ∧ b < B b ^′ )].

Proposi¸ c˜ ao 34. Sejam (A, ≤ A ) e (B, ≤ B ) CPOs.

34.a. As quatro rela¸c˜oes acima s˜ao rela¸c˜oes de ordem (parcial ou estrita, conforme o caso) em A × B;

34.b. Se ≤ A e ≤ B s˜ao totais, ent˜ao ≤ L e ≤ C s˜ao totais;

34.c. ∀(a, b), (a ^′ , b ^′ ) ∈ A × B, (a, b) ≤ R (a ^′ , b ^′ ) = ⇒ (a, b) ≤ P (a ^′ , b ^′ ),

(a, b) ≤ P (a ^′ , b ^′ ) = ⇒ (a, b) ≤ L (a ^′ , b ^′ ) e (a, b) ≤ P (a ^′ , b ^′ ) = ⇒ (a, b) ≤ C (a ^′ , b ^′ ).

Quest˜ ao 35.

35.a. Sejam A = {0, 1, 2}, B = {3, 4, 5} e as ordena¸c˜oes totais induzidas pela ordem usual de

: 0 < A 1 < A 2 e 3 < B 4 < B 5. Descrever as quatro rela¸c˜oes de ordem acima para A × B por extens˜ao e por diagramas de Hasse.

Para cada uma delas, fornecer: todos os seus elementos minimais, elementos

maximais, m´ınimos e m´aximos; todas as suas cadeias maximais e anticadeias

maximais; os (v´arios tipos de) intervalos com extremidades (0, 3) e (0, 5)

(em ambas as ordens); os intervalos com extremidades (0, 3) e (2, 3); e os

intervalos com extremidades (0, 3) e (2, 5);

35.b. Sejam os conjuntos A = {0, 1, a} e B = {2, 3, b, c} com as rela¸c˜oes de ordem estrita n˜ao-tricotˆomicas a seguir: < B = {(2, 3); (2, c); (b, c)}; e

< A = {(0, 1); (a, 1)}. Descrever as quatro rela¸c˜oes de ordem acima para A×B por extens˜ao e por diagramas de Hasse. Para cada uma delas, fornecer:

todos os seus elementos minimais, elementos maximais, m´ınimos e m´aximos;

todas as suas cadeias maximais e anticadeias maximais; os intervalos com extremidades (0, 2) e (0, 3); os intervalos com extremidades (1, 2) e (1, 3); os intervalos com extremidades (0, 2) e (0, c); os intervalos com extremidades (1, 2) e (1, c); os intervalos com extremidades (0, 2) e (1, c); e os intervalos com extremidades (0, 3) e (1, b);

35.c. Mostrar que ≤ P e ≤ R n˜ao tˆem que ser totais mesmo se ≤ A e ≤ B o forem.

Como os n´ umeros de elementos de A e B podem interferir neste resultado?

35.d. Mostrar que as rec´ıprocas das trˆes implica¸c˜oes no Item 34.c podem ser falsas.

Como os n´ umeros de elementos de A e B podem interferir neste resultado?

UMA RELA ¸ C ˜ AO DE ORDEM NUMA UNI ˜ AO DISJUNTA

Defini¸ c˜ ao 36. Dados conjuntos A e B disjuntos ¹⁸ , consideremos, na uni˜ao disjunta A ⊔ B, a rela¸c˜ao ≤ ⊔ := ≤ A ⊔ ≤ B (uni˜ ao disjunta de rela¸c˜oes de ordem parcial).

Proposi¸ c˜ ao 37. Sejam A e B conjuntos disjuntos.

37.a. ≤ ⊔ ´e uma rela¸c˜ao de ordem parcial;

37.b. Se A 6= ∅ 6= B, ent˜ao ≤ ⊔ n˜ao ´e total (mesmo que ≤ A e ≤ B o sejam).

Quest˜ ao 38. Repetir os itens 35.a e 35.a para a rela¸c˜ao ≤ ⊔ .

18 Recordar: A e B disjuntos ⇐⇒ A ∩ B = ∅.