38 35 31

(1)

EQUAÇÕES ALGÉBRICAS – RELAÇÕES DE GIRARD - GABARITO 1. (AMAN-RJ)- A soma das raízes da equação x⁴- x³- 4x²+ 4x = 0 é igual a:

0 1 - 4 4 nda Solução. A equação é de grau 4. Logo aplicando as relações de Girard, temos que S =

a

b

. Identificando

os valores na equação vem que: 1. 1

) 1

( 

  S

2. (UFPR)- A média aritmética das raízes da equação x³ - x² - 6x = 0 é:

1 3

8 3

7 3 5

Solução. A média aritmética é dada pela soma das raízes dividida pelo número de raízes, no caso igual a 3.

Temos: .

3 1 3 1

) 1 ( 3 2 3

3 2

1 







 

 

b x

x M_a x

3. (CESGRANRIO-RJ)- A soma das raízes de x⁴ + 1 = 0 é:

1 -1 0 i -i Solução. A equação completa seria x⁴ + 0x³ + 0x² + 0x + 1. Logo, o valor b = 0 indica que a soma das raízes

é: 0.

1 0 

 

 a S b

4. (UFSE)- A soma e o produto das raízes da equação x³ + x² - 8x - 4 = 0 são, respectivamente:

- 8 e - 4 - 8 e 4 - 4 e 1 - 1 e 4 4 e 8 COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III

MATEMÁTICA – 3ª SÉRIE – MATEMÁTICA I

COORDENAÇÃO: COORDENADORA: MARIA HELENA M. M. BACCAR

(2)

Solução. Na equação do 3º grau ax³ + bx² + cx + d, valem as relações:

a x d x x P

a x b x x S





 





3 2 1

. .

, onde x1, x2 e x3

são as raízes. Logo a soma e o produto são respectivamente:

1 4 ) 4 . (

.

1 1 1

3 2 1

 

 





 







x x x P

x x x S

5. (FGV-SP)- A soma e o produto das raízes da equação x⁴ - 5x³+ 3x²+ 4x - 6 = 0 formam qual seguinte par de valores ?

-5; 6 5; - 6 3; 4 1; 6 4; 3

Solução. Na equação do 4º grau ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e, valem as relações:

a x e x x x P

a x b x x x S



 





4 3 2 1

. . .

, onde

x1, x2 e x3 são as raízes. Logo a soma e o produto são respectivamente:

1 6 . 6 . .

1 5 ) 5 (

4 3 2 1



 



 

 





x x x x P

x x x x S

6. (PUC-PR)- Se a, b e c são raízes da equação x³- 4x²- 31x + 70 = 0, podemos afirmar que log2(a + b + c) é:

4 0 1 2 nda

Solução. Aplicando as Relações de Girard para a soma das raízes da equação do 3º grau no logaritmo

pedido, temos: log 4 2.

1 ) 4 log ( ) (

log₂ abc  ₂   ₂ 

7. (UNESP-SP)- Consideremos a equação x²+ ax + b = 0. Sabendo-se que 4 e -5 são as raízes dessa equação, então:

a = 1, b = 7 a = 1, b= -20 a = 3, b = -20 a = -20, b = -20 a = b = 1 Solução. Pelas Relações de Girard sabemos que 1

1 ) 5 (

4  

 

 a

S b e 20

1 ) 5 .(

4   



 a

P c , onde

a letra “a” dói denominador é o coeficiente de x². No caso ele vale 1. As letras “a” e “b” representam a soma e o produto. Comparando com a forma geral x² – Sx + P = 0, concluímos que a = 1 e b = - 20.

(3)

8. (PUC-SP)- Os números complexos 1 e 2 + i são raízes do polinômio x³+ ax² + bx + c , onde a, b e c são números reais. O valor de c é:

- 5 - 3 3 5 9

Solução. Um resultado importante é que se um complexo “z” é raiz de uma equação, então seu conjugado também o é. Logo as raízes do polinômio são: 1, 2 + i e 2 – i. O valor de “c” é o termo independente que corresponde ao produto das raízes com valor negativo. Logo c = -[(1).(2 + i).(2 – i)] = -[2² – i² ]= - 5.

9. (UFMT)- Sejam -2 e 3 duas das raízes da equação 2x³- x² + kx + t = 0, onde k, t  R. A terceira raiz é:

-1 2

 1 2

1 1 nda

Solução. Seja “z” a terceira raiz. Então a soma dessas três raízes será: (- 2) + (3) + (z) = 1 + z. Pela Relação

de Girard para a equação do 3º grau, vem: . 2 1 2

) 1

( 

 

  a

S b Comparando os valores para a soma

das raízes, temos: .

2 1 2 1 1 2

1z 1 z  

10. (UECE)- Se p e q são as raízes da equação 2x²- 6x + 7= 0, então (p + 3)(q + 3) é igual a:

2

41 2

43 2

45 2 47

Solução. Desenvolvendo o produto encontramos: pq + 3(p + q) + 9. O 1º e o 2º termos dessa expressão representam a soma e o produto das raízes. Pelas Relações de Girard sabemos que:

2. . 7

2 3 ) 6 (



 

 



 q p P

q p S

. Logo .

2 43 2

18 18 9 7

) 3 ( 2 3 ) 7 3 ).(

3

(p q       

11.(UFMG)- As raízes da equação 2x² - 2bx + 3 = 0 são positivas e uma é o triplo da outra. Então o valor de b é:

-2 2 - 2 2 2 2 4

Solução. Pela informação do problema, temos que as raízes são “x” e “3x”. Aplicando a relação do produto

encontramos:

2 2 ) 3

0 2( 1 2

3 3 2 ) 3 3

.(   ²      

 x x x x y

P . Ainda utilizando as relações a soma é

representada como: 2 2 2 2.

2 ) 2 2 (

2 2 2 3 2

2        





 b b

y x S

(4)

12. (MACK-SP)- Uma das raízes da equação x²+ ax + 2b = 0, a e b reais, é ₁ ₂_i. Os valores de a e b são, respectivamente:

-2 e 2

3 - 2 e 2

 3 2 e 2

 3 2 e 3

2 2 e 2

3

Solução. Se ₁ ₂_i é raiz então a outra é ₁ ₂_i. A soma das raízes é: (1 2i)(1 2i)2e o produto das raízes é: (1 2i).(1 2i)1(2)i² 123.Aplicando as relações de Girard para “a” e

“2b”, vem: 2 2

1 )

(   

  a a

S e

2 3 3

1

2   

 b b

P .

13. (FGV-SP)- Se a soma das raízes da equação kx² + 3x - 4 = 0 é 10, podemos afirmar que o produto das raízes é:

3

40 3

 40 3

80 3

80 10

 3

Solução. Na equação do 2º grau, a soma e produto das raízes são calculados como

a x c x P

a x b x S



 





2 1

.

. Pela

informação do problema temos:

10 3 3

10

310    

 

  k k

k a

S b . Logo, .

3 40 10

3 4 



  P

14. (UFP-RS)- A soma dos inversos das raízes da equação x³- 2x² + 3x - 4 = 0 é igual a:

4

3 2

1 4

3 3

4 2

Solução. Calculando a expressão da soma dos inversos, temos:

3 2 1

2 1 3 1 3 2 3 2

1 . .

. .

. 1 1 1

x x x

x x x x x x x x x



 



 _{. O}

numerador representa a soma dos produtos dois a dois e o denominador o produto das raízes. O valor

procurado substituindo os termos segundo as Relações de Girard é: . 4 3 4

3 1

) 4 (1

) 3 ( 1

1

2 1



 



 





a ad c x x

15. (MACK-SP)- Uma raiz da equação x³- 4x² + x + 6 = 0 é igual à soma das outras duas. As raízes dessa equação são:

2, -2, 1 2, -1, 3 3, -2, 1 1, -1, -2 nda Solução. Sejam x, y ,z as raízes dessa equação. Aplicando as Relações de Girard, temos:

i) 4

1 ) 4

( 

 



y z

x . Como x = y + z, temos que 2.(y + z) = 4 implicando que y + z = 2. Logo, x = 2.

(5)

ii) 3 2 . 6 1 6

) 6 . (

.  







 

 yz

z y x

Temos, então duas equações em “y” e “z” que podem ser resolvidas com um sistema do 2º grau.

 











 

 



 

 







3)1(2 1 032 1323 3)2(

2 3.

2

₂

zy yy zy

yy yz zy

zy

.

Logo as raízes procuradas são: 2, -1, 3.

16. (CEFET-PR)- Se a, b, e c são raízes da equação x³- 8x² + 24x - 16 = 0, o valor de 



 



   c b sen a  

será:

-1 1 24

 8 24

16 2 1

Solução. Na equação do 3º grau ax³ + bx² + cx + d, valem as relações:

a .x c x .x x .x x

. .

3 2 3 1 2 1

3 2 1





 



 





a x d x x P

a x b x x S

, onde x1,

x2 e x3 são as raízes. Desenvolvendo o valor pedido, vem: 



 



  





 



  

abc ab ac sen bc

c b

sen a   ( )

. O numerador indica a soma dos produtos das raízes duas a duas e o denominador, o produto das raízes.

Substituindo pelas relações de Girard, temos:

. 2 1

3 16

24 . 1

161 ) 24 .(

1 ) 16

( 1

) 24 .( ) .

( 



 



 



 



 





























 













 



 



       

sen sen

a da

c abc sen

ab ac sen bc

17. (MACK-SP)- As raízes (x1, x2, x3) da equação x³- 3x²+ cx + d = 0 formam uma progressão aritmética de razão 3, então o valor de x1. x2..x3 é:

-8 12 3 9 6

(6)

Solução. De acordo com a informação do problema, podemos escrever as raízes da seguinte forma:

P.A.: x1 = x1 ; x2 = x1 + 3; x3 = x2 + 3 = x1 + 6.

Somando as raízes, temos: (x1) + (x2) + (x3) = (x1) + ( x1 + 3) + ( x1 + 6) = 3x1 + 9. Aplicando a

Relação de Girard para a soma das raízes, temos: ³ 1

) 3

( 

 

  a

S b . Igualando à expressão

encontrada vem: 2.

3 9 6

3 3 3 9

3x₁   x₁   x₁    Logo, x1 = - 2 ; x2 = 1; x3 = 4 e o produto será: (x1).(x2).(x3) = (- 2).(1).(4) = - 8.