1
SEIS POSSIBILIDADES DE RESPOSTA PARA UM POR QUÊ MATEMÁTICO SOBRE DIVISÃO DE FRAÇÕES
GT 5 – Educação Matemática
Agência Financiadora: Não contou com financiamento
Resumo: Muitos professores não sabem responder perguntas de estudantes da educação
básica em forma de “por quê?”, como: “Por que mais com menos dá menos” na multiplicação de números? Existem diversos trabalhos sobre este tipo de questão, entretanto, há escassez de mapeamentos e compilações das respostas existentes e dispersas na literatura. O objetivo desta pesquisa é analisar produções que abordam a divisão de frações e detectar possibilidades de respostas para a pergunta: Por que para fazer a divisão de uma fração por outra se deve manter a primeira e multiplicar pelo inverso da segunda? Trata-se de uma pesquisa bibliográfica analítico-interpretativa de uma amostra intencional composta por sete produções escritas (incluindo livros, artigos e textos didáticos) elaboradas por pesquisadores, formadores ou professores de matemática sobre o referido tema. A análise das produções permitiu identificarmos seis possibilidades de resposta (Regra, Inverso multiplicativo, Analogia à divisão de números inteiros, Empacotamento, Geometria e Indução) e apontar alguns de seus elementos (características, pontos fortes e limitações) que podem ser úteis para o professor escolher aquela(s) que considere mais adequada(s) para uma classe ou estudante.
Palavras-chave: Por quê matemático; Divisão de frações; Respostas.
Introdução
O presente estudo faz parte do projeto de Doutorado em Educação em Ciências e Matemática – sobre por quês matemáticos e formação de professores – que o primeiro autor está desenvolvendo sob orientação da segunda autora, pela Universidade Federal de Mato Grosso – UFMT em Cuiabá, Polo Acadêmico da Rede Amazônica de Educação em Ciências e Matemática – REAMEC.
Muitos professores não sabem responder certas perguntas matemáticas feitas por estudantes da educação básica em forma de “por quê?”, como: “Por que mais com
2
menos dá menos” na multiplicação de números? Por que tem que “passar pra lá invertendo o sinal” numa equação? Isto pode ser constatado empiricamente e comprovado por diversas pesquisas, tanto com professores em serviço, quanto com licenciandos. Apenas 5% dos por quês foram respondidos corretamente no estudo de Lorenzato (1993) com 1700 professores de 9 países. Moreira (2004) indicou que todos ingressantes e a maioria dos formandos de um curso de Licenciatura em Matemática respondiam insatisfatoriamente a um por quê ligado à adição e multiplicação de números racionais.
Estes e outros resultados negativos reforçam os indícios de que em cursos de formação docente pouco (ou nada) é discutido sobre os por quês matemáticos dos estudantes da educação básica (ANGELO; DOS SANTOS; MELÃO, 2009; LORENZATO, 1993). Uma possível razão disto poderia ser a falta de textos com respostas para tais questionamentos, mas não é o caso. A produção científica sobre por quês matemáticos ligados à educação básica já existe há décadas, tanto explicitamente (ANGELO, 2007; ANGELO; DOS SANTOS; MELÃO, 2009; ARCAVI; BRUCKHEIMER, 1981; BARBOSA, 2011; CHENG, 2004; LIMA, 1982; 1983; 2000; LORENZATO, 1993; MORETTI, 2006; MORIEL JUNIOR; WIELEWSKI, 2011; NOBRE, 1996; PURITZ, 2005; SBM, 2013), quanto implicitamente (CARAÇA, 1951; COURANT; ROBBINS, 1996; KILPATRICK; SWAFFORD; FINDELL, 2001; KLINE, 1976; LORENZATO, 2006; WU, 2007).
Reverter esse cenário exige a criação de uma bibliografia específica que compile tanto as perguntas, quanto as respostas visando ajudar professores a se prepararem para lidar com tais questionamentos. Isto inclui a identificação das várias perspectivas de resposta de um mesmo por quê matemático (ARCAVI; BRUCKHEIMER, 1981; MORIEL JUNIOR; WIELEWSKI, 2011), bem como, a elaboração de mapeamentos que localizem os por quês e porques dispersos pela literatura – como feito com 70 edições da Revista do Professor de Matemática (MORIEL JUNIOR; WIELEWSKI, 2013).
Para contribuir neste sentido, nosso objetivo é analisar produções escritas que abordam a divisão de frações e detectar possibilidades de respostas para a pergunta: Por que para fazer a divisão de uma fração por outra se deve manter a primeira e multiplicar pelo inverso da segunda?
3
Encaminhamento Metodológico
Analisamos sete produções escritas (incluindo livros, artigos e textos didáticos) elaboradas por pesquisadores, formadores ou professores de matemática que abordam o procedimento da divisão de frações. Trata-se de uma pesquisa bibliográfica ou documental (FIORENTINI; LORENZATO, 2006) de cunho analítico-interpretativo cujas fontes de dados estão descritas no Quadro 1.
TÍTULO DA OBRA (REFERÊNCIA) TIPO DESCRIÇÃO DE AUTORIA
“Conceitos fundamentais da Matemática”
(CARAÇA, 1951) Livro Doutor em Matemática
“Fundamentos de Matemática Elementar”
(IEZZI; MURAKAMI, 1977) Livro Autores de livros didáticos
“Divisão de números racionais escritos na forma de frações”
(LIMA, 1983) Artigo Doutor em Matemática
“Fazendo uma divisão de frações significativa”
(HIRATSUKA, 1996) Artigo
Doutor em Educação Matemática “Dividindo por números pequenos – e por quê não por zero?”
(PURITZ, 2005) Artigo Doutor em Matemática
“Os Por Quês Matemáticos dos Alunos na Formação dos
Professores” (BARBOSA, 2011) Artigo
Doutor em Educação Matemática “Voltando aos ‘porquês’ nas aulas de matemática”
(SÁ, 2012)
Texto didático
Doutor em Educação Matemática Quadro 1. Produções que compuseram a amostra investigada
Este conjunto de produções é uma amostra intencional selecionada por satisfazer dois critérios: temática do texto (justifica a divisão de frações) e autoria (escrito por pesquisador da área, formador ou professor de matemática).
A partir de leituras sucessivas dessas produções, identificamos as respostas ali expressas e suas características. Em seguida, fizemos comparações sistemáticas que permitiram a identificação de elementos semelhantes e diferentes (em termos de estratégias e estruturas conceitual e didática), resultando na emergência das categorias, intituladas de possibilidades de resposta ao por quê sobre divisão de fração. Para validar nossas inferências utilizamos trechos das produções.
As categorias discutidas nesta pesquisa são resultados da análise desta amostra e não pretendem esgotar todas as possibilidades de resposta.
4
Por que para fazer a divisão de uma fração por outra se deve manter a primeira e multiplicar pelo inverso da segunda?
A análise das produções permitiu identificarmos seis possibilidades de resposta para o por quê sobre frações, baseadas nos seguintes conceitos-chave: 1) Regra, 2) Inverso multiplicativo, 3) Analogia à divisão de números inteiros, 4) Empacotamento, 5) Geometria e 6) Indução. Apresentamos e discutimos cada uma delas a seguir.
1) Regra
É comum professores de matemática, na falta de outros argumentos, justificarem o procedimento da divisão de frações simplesmente afirmando que é uma regra. Hiratsuka (1996) aponta que esta abordagem causa certo desconforto para os docentes e isto é reforçado pela pergunta de uma professora sobre como explicar tal regra em Lima (1983).
Os professores apresentam essa operação como uma regra e normalmente sentem-se incomodados por não usarem a divisão em problemas e por não conseguirem uma boa justificativa para a regra (HIRATSUKA, 1996, p. 23). A Profª Enilde Aparecida Ferro, de Nova Esperança, PR, escreve à RPM, apresentando, entre outras, a seguinte pergunta: “Como explicar a alunos de 5ª série, com dificuldades de aprendizagem”, a regra para a “divisão de números racionais escritos na forma de fração”? (LIMA, 1983, p. 40).
Afirmar simplesmente que o procedimento é uma regra, sem qualquer outra justificativa, pode ser simples demais e levar os alunos a cultivarem a ideia de que a matemática é um conjunto de regras artificiais, inventadas sem relação com as questões teórico-práticas do mundo (MORIEL JUNIOR; WIELEWSKI, 2011). Além disso, fazendo uma alusão à ideia de Pascal em suas Cartas Provinciais, podemos dizer que um estudante (quando muito) fixará esta regra na memória porque nada significa para sua inteligência (KLINE, 1976).
Esta regra está inserida num contexto mais amplo que é o surgimento dos números racionais como uma forma do ser humano encontrar soluções para o problema da medida.
5
os conceitos matemáticos surgem, uma vez que sejam postos problemas de interesse capital, prático ou teórico: - é o número natural, surgindo da necessidade de contagem, o número racional, da medida, o número real, para assegurar a compatibilidade lógica de aquisições diferentes (CARAÇA, 1951, p. 125).
Nessa perspectiva, a divisão de frações poderia ser justificada utilizando uma contextualização extra-matemática para mostrar que se trata de uma regra que se adapta a situações empíricas. Isto pode ser feito com exemplos tanto para a divisão (como é mostrado mais adiante nas possibilidades de resposta 4, 5 e 6), quanto para outras operações (KLINE, 1976).
Quando usamos a adição de frações em situações reais, para somar com , por exemplo, nós reduzimos ambas a sextos e então somamos com para obter . Entretanto, quando multiplicamos frações, multiplicamos os numeradores e os denominadores de modo que 1/2 x 1/3 = 1/6. Poderíamos somar frações somando os numeradores e os denominadores para obter . Por que não usamos esse método? É mais simples, mas não se adapta às situações empíricas (KLINE, 1974, p. 51, grifo nosso).
Um vendedor que separa 30 quilos de arroz em pacotes de meio quilo terá 60 unidades para vender em sua loja. Este resultado empírico não poderia ser diferente daquele obtido com a conta , por isso a regra de multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda funciona. Neste caso, “a lógica não dita o conteúdo da matemática; o uso é que determina a estrutura lógica” (KLINE, 1974, p. 51). Este tipo de resposta pode fazer com que o estudante passe a ver a Matemática como uma atividade humana e aumente sua compressão sobre humanidade (COPES; KAHAN, 2006).
2) Inverso multiplicativo
Esta abordagem se baseia no conceito de inverso multiplicativo, associado à equivalência (ou igualdade) de números racionais. Ela possui dois modos de apresentação, um é expresso em termos aritméticos e o outro, algebricamente.
O primeiro modo utiliza exemplos numéricos para explicar o referido por quê. Ele é apresentado de forma muito parecida em duas produções investigadas (BARBOSA, 2011; SÁ, 2012). Em uma delas a professora usa o exemplo para explicar o porquê:
6
Inicialmente, temos o seguinte =, mas não sabemos fazer divisão com frações, no entanto, existe um resultado de divisão que nós conhecemos que é todo
número dividido por 1 é ele mesmo. Então vamos fazer o denominador virar 1.
Para isso o que precisamos fazer? Olha se eu multiplicar um número pelo inverso dele não vai dar 1? Qual é o inverso de dois sétimos? Sete meios, não é? Então, vamos multiplicar o numerador e o denominador por sete meios. Pela
equivalência de frações sabemos que ao multiplicar, um mesmo número, no
numerador e no denominador, não altera o resultado da fração. Então é só multiplicar o sete meios no denominador e numerador. [A professora fala e escreve na lousa ao mesmo tempo]
Aí multiplicando nós temos olha só! No denominador vai ficar 1, porque quatorze dividido por quatorze é um. Não é? [Fala e continua escrevendo na lousa]
Agora temos que é o numerador dividido por um, como todo número dividido por um é ele mesmo, então nós podemos fazer: [enquanto falava escreveu na lousa]
Então, é por isso, que foi ficando essa regra, pois o resultado é sempre o numerador vezes o inverso do denominador (BARBOSA, 2011, p. 9-10).
O segundo modo é expresso puramente em termos algébricos. Utiliza a propriedade do simétrico ou inverso para a multiplicação (no conjunto dos números racionais) para definir a divisão de frações da seguinte forma:
[M.4] simétrico ou inverso para a multiplicação: Para todo e , existe tal que .
Devido à propriedade [M.4], podemos definir em Q*, a operação de divisão, estabelecendo que para e racionais quaisquer não nulos (IEZZI; MURAKAMI, 1977, p. 45).
Nota-se que este modo indica a existência de uma relação entre a propriedade M.4 e a definição da operação, mas não revela como isto ocorre. Assim, cabe ao leitor esta tarefa. Uma forma de fazer isto é usando a propriedade da igualdade de números
7
racionais para multiplicar tanto o numerador, quanto o denominador do lado esquerdo do termo por (que é o inverso multiplicativo de ), de modo que ( ) ( ). Desta forma, pela propriedade M.4 o denominador é igual a 1 e ( ) . Portanto,
.
Compreender a argumentação usada nos dois modos desta abordagem envolve conhecimento de equivalência, multiplicação e inverso multiplicativo de frações. Percebe-se também que o primeiro modo é um caso particular do Percebe-segundo que generaliza o procedimento para as frações. A argumentação formal deste último exige certo nível de abstração por parte do estudante e, portanto, inadequada para séries iniciais.
3) Analogia à divisão de números inteiros
Esta abordagem define a divisão de frações por meio de uma analogia ao conceito de divisão de números inteiros (em síntese, a : b = x x . b = a). Este conceito-chave faz com que a divisão seja interpretada utilizando outra operação (a multiplicação).
Assim como na abordagem anterior, esta possui dois modos (aritmético e algébrico) de responder o por quê em questão. Em linhas gerais, o primeiro modo utiliza a divisão de números inteiros (20:5) para que o procedimento seja compreendido em termos “elementares”. Em seguida, estende-o para um caso com divisor em forma de fração irredutível (½) e, por fim, faz uma interpretação para encontrar o resultado.
Outra abordagem para a divisão é a considerá-la como o inverso da multiplicação. Sabemos que 20 5 = 4 porque 5 vezes 4 = 20, de modo que a equação 5.x = 20 tem resposta x = 4. Da mesma forma encontrar 30 é equivalente a resolver .x = 30. Este pode então ser visualizado como "meio vezes o que, ou meio de que, resulta 30?” (PURITZ, 2005, p. 3, tradução nossa). Vale destacar a última parte desta resposta. Ela possui a seguinte organização: coloca-se uma divisão por fração (do tipo 30 ), aplica-se (por analogia) a definição de divisão de números inteiros (30 = x .x = 30) e faz-se uma interpretação em palavras da equação do segundo membro desta definição ( .x = 30, interpretado como meio, ou metade de que, resulta 30?) para encontrar o resultado (60). É esta interpretação que
8
possibilita encontrar a solução a partir de raciocínios que não exigem cálculos elaborados (ideia de dobrar uma quantidade, por exemplo). O conceito de equação não é discutido algebricamente, ao invés disso ele é apenas interpretado.
Para tornar esta resposta especialmente útil para justificar o procedimento da divisão de frações deve-se usar o conceito de fração inteira. Neste caso, significa escrever 1 no denominador dos números inteiros (por exemplo, 30 seria ). A estrutura explicativa anterior, agora complementada, é expressa de uma forma que permite sistematizar a ação de multiplicar a primeira pelo inverso da segunda, já que a conta é reescrita como e , logo tem-se que .
Por suas características, esta estratégia é limitada a algumas situações que exigem cálculos menos elaborados, nas quais o resultado é uma fração inteira (assim como o numerador) e o denominador é , , ou , por exemplo.
O segundo modo define, em termos algébricos, a divisão de um número racional com divisor fracionário por analogia à definição relativa a números inteiros (já apresentada), da seguinte forma:
Divisor fraccionário – segundo critério do parágrafo 13 – analogia:
16) .
À igualdade de condição satisfaz o número , visto que e tal número é único, em virtude da unicidade do produto; tem-se portanto 17) (CARAÇA, 1951, p. 44-45). Este modo exige certo grau de abstração e conhecimentos algébricos, logo, não é adequado para o início do ensino de divisão de frações e deve ser trabalhado em idades mais avançadas. O primeiro modo é um caso particular deste e é restrito a poucos casos numéricos, muito específicos, o que é um ponto fraco. Entretanto, nesses poucos casos a possibilidade de se fazer interpretações poderosas é um ponto forte, permitindo que os estudantes desenvolvam habilidades de cálculo mental. Por exemplo, 50 seria interpretado com perguntas do tipo: ‘meio de que, resulta 50?’ ou ‘qual é o número cuja metade é 50?’.
9
A colocação de mais exemplos de divisão por resultaria numa regularidade: os resultados sempre dão o dobro do valor que está sendo dividido. Um pouco mais adiante seria possível generalizar que a divisão de um número por resulta na multiplicação deste número por x. Isto já seria um passo na direção de mostrar que dividir por é o mesmo que multiplicar por (PURITZ, 2005).
4) Empacotamento
Esta abordagem é contextualizada em termos extra-matemáticos (com exemplo do arroz) e se baseia na intepretação da divisão como uma forma de empacotamento (originalmente designada por parcelling), ao invés da ideia predominante de distribuição (sharing).
Se você pedir a um amigo que é inteligente, mas não matematicamente entendido, para dividir 30 por você provavelmente terá '15' ou um olhar vazio. [...] Isto porque a divisão é, naturalmente, pensada como um processo de distribuição. Divida 30 centavos entre duas crianças: elas ficam com 15 centavos cada uma. Mas dividir 30 centavos entre meia criança? A noção de distribuição parece não funcionar quando confrontada com tal absurdo. [...] A dificuldade se dissolve quando a divisão é vista não como uma distribuição, mas como um empacotamento. Por exemplo: Um depósito de grãos tem 30 kg de arroz para vender em pacotes de 2 kg cada. Quantos pacotes terão? Obviamente 15, encontrados fazendo 30 2. Agora, suponha que os 30 kg devem ser vendidos em pacotes de kg cada. O amigo que não poderia fazer 30 não terá nenhum problema em concluir que, neste caso, existem 60 pacotes, e espero que veja que isso é o resultado do cálculo de divisão. Também deve ser fácil de ver que diminuir o tamanho do pacote resulta em um maior número de pacotes a partir de uma dada quantidade total (PURITZ, 2005, p. 2, tradução e grifos nossos). Por se tratar de uma situação concreta de empacotamento, esta abordagem permite (ou sugere fortemente) o uso de materiais manipuláveis para que o estudante resolva o problema e encontre o resultado. A partir daí, podemos fazer a sistematização do procedimento (multiplicar a primeira pelo inverso da segunda) usando o conceito de fração inteira, como mostramos no primeiro modo da abordagem anterior.
Além disso, esta argumentação permite ampliar a compreensão sobre divisão, pois aborda dois significados diferentes (distribuição e empacotamento) e fornece elementos para perceber uma característica particular (quanto menor o denominador, maior será o resultado da divisão).
10
5) Geometria
Esta abordagem utiliza a subdivisão de retângulos (verticalmente e horizontalmente) para obter o resultado de uma divisão de frações, algo que permite justificar o procedimento em questão. Essas respostas utilizam exemplos numéricos e podem ter contexto extra-matemático. Nossos dados revelam dois modos de resposta: um que utiliza a ideia de repartir (SÁ, 2012) e o outro, descobrir quantas vezes cabe? (LIMA, 1983; SÁ, 2012).
A ideia de repartir é válida, mas fica restrita a situações nas quais o divisor é um número natural, como vemos a seguir.
[...] se repartirmos de uma barra de chocolate entre 2 crianças, cada uma receberá a metade de dessa barra
Logo, o resultado da divisão de por 2 é . Escrevemos (SÁ, 2012, p. 4).
É possível repartir um terço de uma barra de chocolate entre duas crianças, entretanto, dividir isto entre meia criança torna-se absurdo, como visto na abordagem anterior (PURITZ, 2005). Para superar esta limitação, pode-se usar a estratégia de verificar “quantas vezes um número cabe no outro” (SÁ, 2012, p. 4). A seguir, mostramos um exemplo deste segundo modo de responder.
Por exemplo, se queremos achar o resultado de 8 dividido por 4, procuramos quantas vezes 4 cabe em 8. [...] Quando procuramos o resultado de , estamos querendo saber quantas vezes cabe em . Um desenho responde imediatamente:
11
Então, podemos escrever (SÁ, 2012, p. 4).
A partir daí, podemos fazer a sistematização do procedimento (multiplicar a primeira pelo inverso da segunda) usando o conceito de fração inteira, assim como sugerimos nas abordagens 3 e 4.
Vale destacar que este exemplo abordou a divisão de um número maior ( ) por outro menor ( ), portanto faz sentido perguntar quantas vezes esse último cabe no primeiro. Esta pergunta não nos pareceria tão intuitiva se fosse o contrário, entretanto, a mesma estratégia pode ser usada conforme vemos a seguir.
No exemplo , podemos traduzir como: “quantos” estão contidos em ?
Observando a representação gráfica, vemos que estamos perguntando: “quantos” estão contidos em ? Ou seja, em 8 “quantos” 5?
A resposta sabemos é 1 + ou .
Podemos então dizer que ou .
De um modo geral, para dividir frações, multiplicamos o dividendo pelo inverso do divisor (LIMA, 1983, p. 42).
Por suas características, esta abordagem permite o uso de materiais manipuláveis (geométricos ou extra-matemáticos) e pode promover conexões entre geometria e aritmética.
6) Indução
Esta abordagem propõe uma sequência de problemas extra-matemáticos (em ordem crescente de complexidade) que os alunos vão resolvendo (por lógica, cálculo
12
mental, ou outra forma), cujas soluções vão sendo associadas à divisão. Estes problemas se resumem a descobrir o valor unitário envolvido na questão, conforme percebemos nas perguntas a seguir.
1º) Se com dois reais compro quatro balas, quantas balas comprarei com um real?
[...] Trabalhar com os alunos para chegar à solução 4 2 = = 2. (Com metade do dinheiro, comprarei metade das balas)
2º) Se com 2 latas de tinta pinto 6 paredes, quantas paredes eu pintarei com 1 lata de tinta?
[...] Analogamente, trabalhar com a solução = 3.
3º) Se com lata de tinta eu pinto 1 parede, quantas paredes eu pintarei com 1 lata de tinta?
[...] Associe o resultado à operação = 2 . 1 = 2.
4º) Se com de uma lata de tinta dá pra pintar de uma parede, que fração da parede pintarei com 1 lata de tinta?
Associe a solução do problema com a divisão (HIRATSUKA, 1996, p. 24, grifos nossos).
A meta é induzir o estudante a associar a solução do 4º problema à respectiva divisão de frações. A partir daí, o autor justifica o procedimento de multiplicar uma fração pelo inverso da outra com o apoio de uma representação gráfica:
Trabalhe a ideia de que a lata de tinta foi dividida em três partes, das quais duas foram utilizadas, e a parede foi dividida em quatro pedaços. Se subdividirmos cada pedaço da parede em dois (pois foram utilizadas duas partes de tinta), a parede estará dividida em 4 2 = 8 partes. Podemos imaginar, então, que cada parte da tinta permite pintar três dessas partes da parede. Logo a lata inteira, que tem três partes, permite pintar 3 3 = 9 das partes
da parede. Então a fração da parede pintada será igual a:
onde 4 2 é o número de partes em que foi dividida a parede e 3 3 é o total dessas partes que serão pintadas usando a lata inteira.
Obs.: nesse processo é perfeitamente justificável o aparecimento dos produtos 3 3 e 4 2. A regra poderá ser observada a partir de vários outros exemplos (HIRATSUKA, 1996, p. 25).
13
Esta abordagem possibilita o uso de materiais manipuláveis, incluindo latas, folhas de papel representando a parede, moedas ou cédulas de dinheiro (mesmo que fictícios). Com isso a argumentação apresentada pode ficar mais compreensível para estudantes, principalmente os mais jovens.
Conclusões
Afinal, por que para fazer a divisão de uma fração por outra se deve manter a primeira e multiplicar pelo inverso da segunda? Nosso estudo mostrou seis possibilidades de respostas, sendo que cada uma delas possui um conceito-chave, quais sejam, 1) Regra, 2) Inverso multiplicativo, 3) Analogia à divisão de números inteiros, 4) Empacotamento, 5) Geometria e 6) Indução. O trabalho de encontrar e compilar tais respostas neste artigo é por si só um avanço para a área, dada a falta de referências deste tipo.
Além disso, nossa análise não buscou classificar qual seria a melhor resposta, mas sim, apontar alguns de seus elementos (características, pontos fortes e limitações) que pudessem ajudar o professor a escolher aquela(s) que considere mais adequada(s) para uma classe ou estudante. Quanto às principais características, destacamos que existem respostas que possibilitam o uso de materiais manipulativos em seu ensino (4, 5 e 6), que usam exemplos numéricos (1, 2, 3, 5 e 6), envolvem contextualização extra-matemática (1, 4, 5 e 6) ou não (2, 3 e 5), utilizam conceitos matemáticos relacionados ao inverso multiplicativo (2), fração inteira (3, 4 e 5), possibilitam conhecer diferentes significados da divisão (4 e 5) e ver a matemática como construção humana (1).
Estes resultados fornecem ao professor de matemática um material de apoio para seu trabalho docente. Incorpora-los em cursos de formação de professores pode fomentar debates e argumentos sobre qual abordagem utilizar em determinados momentos do ensino na Educação Básica. É neste sentido que nossas próximas pesquisas serão realizadas.
14
ANGELO, C. L. Concepções de futuros professores sobre a multiplicação de números inteiros. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA - ENEM, 9., 2007, Belo Horizonte. Anais... Belo Horizonte, 2007. p. 1-10.
ANGELO, C. L.; DOS SANTOS, J. R. V.; MELÃO, W. S. Licenciandos em Matemática e Situações da Matemática Escolar: um Estudo Exploratório sobre a Formação Inicial de Professores de Matemática. Revista Brasileira de Ensino de Ciência e Tecnologia, v. 2, n.
3, p. 41-59, 2009. Disponível em: <
http://revistas.utfpr.edu.br/pg/index.php/rbect/article/view/552 >.
ARCAVI, A.; BRUCKHEIMER, M. How shall we teach the multiplication of negative numbers? Mathematics in School, v. 10, n. 5, p. 31-33, 1981. Disponível em: < http://www.jstor.org/stable/30214312 >. Acesso em: 10 Mai. 2012.
BARBOSA, E. P. Os Por Quês Matemáticos dos Alunos na Formação dos Professores. In: CONFERÊNCIA INTERAMERICANA DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA - CIAEM, 13., 2011, Recife.
Anais... Recife, 2011. p. 1-12. Disponível em: <
http://www.cimm.ucr.ac.cr/ocs/files/conferences/1/schedConfs/1/papers/611/public/611-9763-1-PB.pdf >.
CARAÇA, B. J. Conceitos fundamentais da matemática. Lisboa: Tipografia Matemática, 1951.
CHENG, E. Mathematics, morally. 2004. Disponível em: <
http://cheng.staff.shef.ac.uk/morality/morality.pdf >.
COPES, L.; KAHAN, J. The Surfer Problem: A" Whys" Approach. Mathematics Teacher, v. 100, n. 1, p. 1-9, 2006. Disponível em: < http://www.larrycopes.com/papers/surfer.pdf >. COURANT, R.; ROBBINS, H. What is mathematics?: an elementery approach to ideias and
methods. 2. New York: Oxford University Press, 1996.
FIORENTINI, D.; LORENZATO, S. Investigação em Educação Matemática: percursos
teóricos e metodológicos. Campinas: Autores Associados, 2006.
HIRATSUKA, P. I. Fazendo uma divisão de frações significativa. REVISTA DO PROFESSOR
DE MATEMÁTICA, v. 30, p. 23-25, 1996.
IEZZI, G.; MURAKAMI, C. Fundamentos de matemática elementar: conjuntos e funções. São Paulo: Atual Editora. Vol. 1, 1977.
KILPATRICK, J.; SWAFFORD, J.; FINDELL, B. Adding it up: Helping children learn
mathematics. Washington, DC: National Academies Press, 2001. Disponível em: <
http://www.sjsd.k12.mo.us/cms/lib3/MO01001773/Centricity/Domain/872/Adding%20it%20U p.pdf >.
15
KLINE, M. O fracasso da matemática moderna. São Paulo: Ibrasa, 1976.
LIMA, E. L. Alguns porquês. Revista do Professor de Matemática, v. 1, n. 1, 1982.
______. Divisão de números racionais escritos na forma de frações. REVISTA DO
PROFESSOR DE MATEMÁTICA, v. 3, p. 40-42, 1983.
______. Meu professor de matematica: e outras historias. 3.ed. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matematica, 2000.
LORENZATO, S. Os “Por quês” matemáticos dos alunos e as respostas dos professores.
Pro-Posições, v. 4, n. 1, p. 73-77, 1993.
______. Para aprender matemática. Campinas: Autores Associados, 2006.
MORETTI, M. T. -1x-1 = +1? Revista Eletrônica de Pequenas Publicações em Educação
Matemática – REPPEMAT, 2006. Disponível em: <
http://www.redemat.mtm.ufsc.br/reppemat/2005_pdf/boletim_2006_01.PDF >. Acesso em: 19 set. 2011.
MORIEL JUNIOR, J. G.; WIELEWSKI, G. D. Duas perspectivas de respostas para a pergunta 'por que menos vezes menos dá mais?'. In: SEMINÁRIO EDUCAÇÃO - SEMIEDU, 19., 2011, Cuiabá. Anais... Cuiabá, 2011.
______. Por quês matemáticos na Revista do Professor de Matemática. Revista de
Educação Pública, v. No Prelo, 2013.
NOBRE, S. Alguns “porquês” na História da Matemática e suas contribuições para a Educação Matemática. Caderno CEDES - História e Educação Matemática, v. 40, p. 29-35, 1996.
PURITZ, C. Dividing by Small Numbers—and Why Not by 0? Mathematics in School, v. 34, n. 5, p. 2-4, 2005. Disponível em: < http://www.jstor.org/stable/30215826 >. Acesso em: 10 Maio 2012.
SÁ, I. P. D. Voltando aos “porquês” nas aulas de matemática. f. 2012
SBM, S. B. D. M. Revista do Professor de Matemática. São Paulo: USP, 2013.
WU, H. “Order of operations” and other oddities in school mathematics. Retrieved July, v. 3, p. b1-11, 2007.
