Aula 2_Potencial Elétrico

Profª. Me Wangner Barbosa da Costa

Física II

Eletricidade e Magnetismo

Aula – Potencial Elétrico

Faculdade de Tecnologia de Bauru

Automação Industrial

POTENCIAL ELÉTRICO

Em mecânica vimos que força gravitacional e a força de mola (força elástica) são

ambas forças conservativas



estão associadas com energia potencial gravitacional e

energia potencial da mola (energia potencial elástica), respectivamente

Utilizaremos o conceito de energia no nosso estudo da eletricidade

A força eletrostática (dada pela lei de Coulomb) também é uma força conservativa,

então podemos associá-la à uma energia potencial elétrica

Com a energia potencial elétrica, nós podemos definir uma grandeza denominada

potencial elétrico

Obs: Na mecânica definimos também um potencial  é o potencial gravitacional

O potencial elétrico por ser uma grandeza que é uma função escalar da posição



conduz a um meio mais simples de descrever os fenômenos eletrostáticos comparado

com o método do campo elétrico.

3

Uma carga de prova q

colocada num campo elétrico

E

q

F







Sofre a ação de uma força

Trabalho realizado pelo campo elétrico sobre a carga

de prova, num deslocamento infinitesimal é

s

d

E

q

s

d

F

W













.



É similar ao trabalho feito por um campo gravitacional sobre um corpo em queda livre

s

d



h

g

m

W









s

d

E

q

dW

dU















O trabalho feito por uma força conservativa é igual ao simétrico da variação da energia

potencial

Para um deslocamento finito de uma carga de prova q

entre os pontos A e B, a

variação da energia potencial do sistema campo – carga é





























U

dW

q

E

d

s

q

E

d

s

U

U









A integral acima é calculada ao longo da trajetória na qual a partícula se desloca de A

para B



denominada integral da trajetória ou integral de linha.

Como a força é conservativa, essa integral não depende da trajetória entre A e B

ENERGIA POTENCIAL ELETROSTÁTICA

Por definição, , a diferença de potencial entre os pontos A e B e é igual à

variação da energia potencial dividida pela carga de prova q

A B

V

V

V















q

U

U

V

V















s

d

E

q

U

V





DIFERENÇA DE POTENCIAL ELÉTRICO

OBSERVAÇÕES

A diferença de potencial não deve ser confundida com a diferença de energia potencial:

Diferença de Potencial ≠ Diferença de Energia Potencial

As duas grandezas estão relacionadas por



_U



_q



_V

0

K

W

U













Temos que :

Por conveniência, a função V é muitas vezes considerada nula num determinado

ponto (às vezes chamado terra).

POTENCIAL ELÉTRICO NUM PONTO ARBITRÁRIO

q

Usualmente escolhemos um ponto no infinito (∞)

como o ponto de potencial nulo.

Com essa escolha podemos dizer que :

O potencial elétrico num ponto arbitrário



é igual ao trabalho necessário, por unidade de

carga, para trazer uma carga de prova positiva do

infinito até o ponto considerado.









E

d

s

V









0

no

V









dW

V

7









E

d

s

V





onde é o campo elétrico estabelecido pelas cargas – fonte

E



Na realidade, V

representa a diferença de potencial entre o ponto P e um ponto no

infinito

A unidade SI do potencial: joule por coulomb, denominada volt (V): 1 V



1 J / C

A diferença de potencial, , tem as mesmas unidades do

campo elétrico



distância



V

q

U







As unidade SI do campo elétrico, newtons por coulomb, podem ser expressas em volts

por metro: 1 N / C = 1 V / m

Uma unidade de energia geralmente utilizada na física é o elétron – volt (eV): 1 eV = (1 e)(1 V) =

 um eV é a energia cinética ganha por uma partícula com carga e que está sendo acelerada

por uma diferença de potencial de valor 1 V

J

10

6

.

1

C)

/

J

(1

C

10

6

.

1







EXEMPLO:

Um elétron no feixe de um tubo de televisão típico pode ter uma

velocidade de m / s. Isso corresponde a uma energia cinética de J,

que é equivalente a eV, porque:

7

10

5

.

3



5

.

6



10

10

5

.

3



Tal elétron tem de ser acelerado

do repouso com uma diferença

de potencial de

3.5 kV

para

atingir essa velocidade.

1 eV = (1 e)(1 V) =

1

.

6



10

C

(1

J

/

C)



1

.

6



10

J

keV

3.5

eV

10

5

.

3

10

6

.

1

10

6

.

5













U = q



V

9

DIFERENÇA DE POTENCIAL NUM CAMPO ELÉTRICO UNIFORME

(a) Quando o campo elétrico E está direcionado para baixo, o ponto B está num potencial elétrico mais baixo que o ponto A.

Quando uma carga positiva de prova se desloca de A para B, o sistema carga-campo perde energia potencial elétrica.

(b) Quando o corpo com massa m se desloca para

baixo na direcção do campo gravitacional g, o sistema corpo-campo perde energia potencial gravitacional.

























V

V

E

d

s

E

ds

Eds

V





cos

0

Como E é constante, pode ser colocado fora da integral:

Ed

ds

E

V













Quando a carga de prova q

se desloca de A para B

A variação da energia potencial elétrica do sistema

campo – carga é

Ed

q

V

q

U











Por esse resultado, vemos que se q

for positiva, então



U é negativa

Se q

for negativa, então



U na equação acima é

positiva e a situação está invertida.

O sistema campo - carga perde energia potencial

elétrica quando uma carga negativa se desloca na

direção oposta à do campo elétrico.

Não temos nenhum análogo para essa situação no caso gravitacional porque nenhuma massa negativa foi observada até o momento.

11

O sistema campo - carga perde energia

potencial elétrica quando uma carga

negativa se desloca na direção oposta à

do campo elétrico.

O sistema campo - carga perde energia

potencial elétrica quando uma carga

positiva se desloca na direção do campo

elétrico.

Considere agora o caso mais geral de uma partícula carregada que se desloca entre dois

pontos quaisquer num campo elétrico uniforme

r

E

s

d

E

s

d

E

V







































representa o vetor deslocamento entre os pontos A e B

r





A variação na energia potencial elétrica do sistema campo - carga é

r

E

q

V

q

U



















Os nossos resultados mostram que todos os pontos num plano perpendicular a um campo elétrico uniforme estão no mesmo potencial

Da figura, obtemos:

_V

_{- V}

₌



_E







_r







_E



_r

_cos



_{= - Ed = V}

_{- V}

r





13 As superfícies equipotenciais de um campo elétrico uniforme consistem numa família de planos, todos perpendiculares ao campo.

O nome superfície equipotencial é dado a toda superfície que consista numa distribuição

contínua de pontos que têm o mesmo potencial elétrico.

Observe que, como , nenhum trabalho é necessário para mover uma partícula de prova entre dois pontos quaisquer e numa superfície equipotencial.

V q U  

 ₀

Exemplos: Quatro superfícies equipotenciais.

O campo elétrico é perpendicular às superfícies

Trabalho realizado pelo campo elétrico sobre uma partícula carregada quando se move de um extremo a outro.

K

W

U











Num campo elétrico, transporta-se uma carga q de 2 µC de ponto

X

até um ponto

Y

. O

trabalho da força elétrica é de -0,6 µJ. Determine a ddp entre os pontos

X

e

Y.

EXEMPLO









q

U

V

V

3

.

0

10

2

10

6

.

0











V

K

W

U

























C

2

J

6

.

0



q

μ

W

X

Y

15 POTENCIAL ELÉTRICO DEVIDO À CARGAS PONTUAIS

Vamos agora focalizar nossa atenção nas cargas pontuais, que sabemos que produzem campos elétricos que não são uniformes.











V

E

d

s

V





Considere uma carga pontual positiva isolada q

dr ds s d r s d r r q k s d E _e      



Substituindo na integral fica

B A B A B A r r e r r e r r e B A A B

r

q

k

r

dr

q

k

dr

r

q

k

s

d

E

V

V





























_





















r

r

q

k

V

V

1

1

 esta equação expressa o importante resultado de que a diferença de potencial entre quaisquer dois pontos

A e B depende somente das

coordenadas radiais r_A e r_B

Os dois círculos tracejados representam seções transversais das superfícies equipotenciais esféricas

Como já vimos pode-se definir o potencial de referência como sendo zero em r_A = 

q Com essa escolha, o potencial elétrico

devido a uma carga pontual a qualquer distância r da carga é

r

q

k

V



V é constante sobre uma superfície esférica de raio r centrado na carga pontual

O potencial elétrico de duas ou mais cargas pontuais é obtido aplicando-se o princípio da sobreposição

Para um conjunto de cargas, podemos escrever o potencial total em P na forma





r

q

k

V

Observe que a soma nessa equação é uma soma algébrica de grandezas escalares em vez de uma soma vetorial (que é utilizada para calcular o campo elétrico de um conjunto de cargas)

ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICA DEVIDO À CARGAS PONTUAIS

Energia potencial elétrica de interação de um sistema de partículas carregadas

17 Se V₂ for o potencial elétrico no ponto P devido à carga q₂, o trabalho (de um agente externo)

necessário para trazer uma segunda carga q₁ do infinito ao ponto P será

2 1

V

q

W



r

q

q

P

esse trabalho representa uma transferência de energia para o sistema na forma de energia potencial U

12 2 1 2 1

r

q

q

k

V

q

U





r

q

P

r

q

k

V



r

q

q

k

r

q

q

k

r

q

q

k

U







r

r

r

q

q

q

OBTENÇÃO DO CAMPO ELÉTRICO PELO POTENCIAL ELÉTRICO



















dV

V

s

d

E

V





s

d

E

dV











Portanto podemos escrever que a diferença de potencial dV entre dois pontos que está a uma distância ds um do outro como sendo:

Para temos que

x

E

E













d

s

E

dx

E





_dV





_E

_dx

dx

dV

E





 o campo elétrico é igual a menos derivada do potencial elétrico com respeito a alguma coordenada

19

Distribuição de carga tem simetria esférica 

dV





E



d

s







E

dr



dr

dV

E







dx

dV

E





dy

dV

E





dz

dV

E





Em geral, o potencial elétrico é uma função de todas as três coordenadas espaciais 

V

(

x

,

y

,

z

)

A variação no potencial é nula para qualquer deslocamento perpendicular ao campo elétrico

Isso é consistente com a noção de que as superfícies equipotenciais são perpendiculares ao campo:

Campo elétrico uniforme Carga pontual Dipolo elétrico

e

_E







_V

)

(

e

z

e

y

e

x



























POTENCIAL ELÉTRICO DEVIDO A DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA

r

dq

k

dV







r

dq

k

V

Potencial dV em qualquer ponto P devido ao elemento de carga dq é

O potencial total será















s

d

E

q

U

V





Um outro método para calcular o potencial de uma distribuição contínua de carga é utilizar

Esse procedimento é útil para quando o campo elétrico já é conhecido a partir de outras considerações, tais como a lei de Gauss.

21

Exemplo

:

Calcular o potencial no ponto P de um eixo perpendicular ao centro no centro de

um anel de raio a e carga Q







r

dq

k

V







dq

a

x

k

V

como

_r



_x



_a



_



a

x

dq

k

V

a

x

Q

k

V







POTENCIAL ELÉTRICO DE UM CONDUTOR CARREGADO

Considere um condutor de formato arbitrário com um excesso de carga positiva

O condutor está em equilíbrio eletrostático 

- toda a carga permanece na superfície, e E = 0 dentro do condutor

- o campo elétrico na face externa do condutor é perpendicular à superfície

Demonstraremos que todo ponto na superfície de um condutor carregado em equilíbrio eletrostático está no mesmo potencial elétrico

0















V

V

V



E



d

s



0

90

cos











Eds

s

d

E

E é sempre perpendicular ao deslocamento ds entre dois pontos da superfície. Então



A densidade superficial de carga não é uniforme

 como o campo elétrico é zero dentro do condutor, concluímos que o potencial é constante em todo lugar

DIFERENÇA DE POTENCIAL E POTENCIAL

RESUMO

23

 porque no volume, E=0 e na superfície E é perpendicular à trajetória ds

A B

V

V

V







Definição de diferença de potencial















B A

s

d

E

q

U

V













E

d

s

V





_

₀

_no

_

V

Definição de potencial num ponto P 

Diferença de potencial e (ou) potencial:

Ed

V







Num campo elétrico Uniforme 

Devido à uma carga pontual





















r

r

q

k

V

1

1

r

q

k

V



para A

no







r

q

k

V

Devido à um conjunto de cargas pontuais



Devido à uma distribuição contínua de cargas cargas pontuais









r

dq

k

V

r

dq

k

dV





no

para A

Potencial elétrico dum condutor carregado: _{B A}

B A A B

V

E

d

s

V

V

V

V

























0

Exemplo

: Considere uma esfera metálica maciça de raio R e carga total positiva Q.

Como temos um condutor esférico a distribuição de carga é uniforme

 Potencial fora da esfera

r

Q

k

V























r

M

G

V

:

nal

gravitacio

Potencial

r

Q

k

25

Para determinar como a carga se distribui num condutor não esférico, vamos analisar

um sistema simples

O sistema consiste em duas esferas condutoras carregadas de raio r₁ e r₂, onde r₁ > r₂, ligadas por um fino fio condutor

Supomos que as duas esferas são tão separadas que o campo elétrico de uma esfera não influencia o campo elétrico da outra esfera.

Como as duas esferas são ligadas por um fio condutor  supomos que todo o sistema é um único condutor e que todos os pontos devem estar no mesmo potencial

2 2 1 1

r

q

k

r

q

k

V





 que esfera maior tem a maior quantidade de carga.

2 1 2 1

r

r

q

q





r

q

k

E



r

q

k

E



Esta é a quarta propriedade listada para os condutores em equilíbrio eletrostático: 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 r r r r r q r q r q k r q k E E e e    1 2 2 1 r r E E _

  quer dizer que o campo elétrico próximo à esfera menor é maior que o campo próximo à esfera maior.

 Como o campo elétrico próximo à superfície de um condutor é proporcional à densidade superficial de carga, a esfera menor tem a maior densidade superficial de carga.

Campo forte

Maior densidade superficial de carga

Campo fraco

• NUM CONDUTOR DE FORMA IRREGULAR, A CARGA POR UNIDADE DE ÁREA É MÁXIMA NOS

27

Exemplo:

Duas esferas condutoras. A esfera menor tem raio a e carga Q positiva , e a

esfera maior de raio c não está carregada (neutra).

Ao aproximarmos as duas esferas:

- A esfera menor atrai as cargas negativas da esfera maior e repele as cargas positivas.

As curvas pontilhadas azuis correspondem as interseções das superfícies equipotenciais com a página.

Como varia o potencial a partir o centro da esfera 1 até para a direita da esfera 2, considerando que b é a distância entre a superfície da esfera menor e o centro da esfera maior ?

Uma cavidade dentro de um condutor em equilíbrio

Considere um condutor de formato arbitrário contendo uma cavidade.

Se não há cargas dentro da cavidade, o campo elétrico dentro da cavidade tem de ser zero, independentemente da carga na superfície externa do condutor.

Todo ponto no condutor está no mesmo potencial 

quaisquer dois pontos A e B na superfície da cavidade têm de estar no mesmo potencial

0

















V

E

d

s

V

V





assim





₀

V

V

Por isso E deve ser zero.

Esta propriedade pode ser utilizada para blindar um equipamento eletrônico ou

até mesmo todo um laboratório dos campos externos cercando-o com paredes

Exemplo :

Blindagem eletrostática

No século XIX, por Michael Faraday, através da seguinte experiência: Eletrizou uma grande gaiola metálica, até que ela soltasse faíscas.

Utilizando um eletroscópio, verificou que: 1º O interior da gaiola não ficou eletrizado.

2º As cargas em excesso foram tão distanciadas umas das outras que se concentraram na superfície da gaiola.

29

Esfera de cortiça pendurada num fio de seda a esfera não foi atraída pela parte interna da gaiola só pela parte externa.

A blindagem eletrostática mostra que uma pessoa dentro de um carro atingido por

um raio nada sofrerá, pois a estrutura metálica do carro

isola o seu interior das

influencias elétricas

externas.

31

Campo Elétrico

Campo gravitacional

Campo (unidade)

Força

Campo no exterior duma

esfera isolada

Potencial no exterior

duma esfera isolada

Energia transferida

q

F

E



m

F

g



(N C

₎

(N kg

)

r

q

q

k

F



r

m

m

G

F





r

Q

k

E



r

M

G

g





r

Q

k

V



r

M

G

V





W=qV

W=mV

Exemplos

1.

(a) Qual é o potencial elétrico a uma distância r = 0,529x10

_{m de um}

próton? (b) Qual é a energia potencial elétrica de um elétron e de um

próton a esta separação?

2.

Duas cargas puntiformes de +5,0 nC estão no eixo x, uma na origem e a

outra em x = 8,0 cm. Determine o potencial (a) no ponto P1 no eixo em x

= 4,0 cm e (b) no ponto P2 no eixo y em y = 6,0. O ponto de referência

(onde V = 0) está no infinito.

3.

Determine o campo elétrico para uma função potencial elétrico V dado

por 𝑉 = 100𝑉 − 25 𝑉 𝑚

𝑥.