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PAULO DAVID BATTAGLIN
FILTRAGEM DE KALMAN APLICADA À COMPUTAÇÃO
DIGITAL COM ABORDAGEM DE ESPAÇO DE ESTADO
VARIANTE NO TEMPO
CAMPINAS
2014
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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação
PAULO DAVID BATTAGLIN
FILTRAGEM DE KALMAN APLICADA À COMPUTAÇÃO
DIGITAL COM ABORDAGEM DE ESPAÇO DE ESTADO
VARIANTE NO TEMPO
Tese apresentada à Faculdade de Engenharia
Elétrica e de Computação da Universidade
Estadual de Campinas como parte dos
requisitos exigidos para a obtenção do título
de Doutor em Engenharia Elétrica, na Área
de Automação.
Orientador: Prof. Dr. Gilmar Barreto
ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE À VERSÃO FINAL TESE DEFENDIDA PELO ALUNO
PAULO DAVID BATTAGLIN, E ORIENTADA PELO PROF. DR. GILMAR BARRETO.
___________________________
CAMPINAS
2014
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RESUMO
Este trabalho mostrará a aplicação do filtro de Kalman em um processo computacional discreto, o qual será representado por um modelo matemático que é um sistema de equações lineares, multivariáveis, discretas, estocásticas e variantes no tempo. As contribuições desta pesquisa evidenciam a construção de um modelo matemático apropriado de observabilidade instantânea para representar sistemas que variam rapidamente no tempo; a construção dos fundamentos teóricos do filtro de Kalman a ser aplicado em sistemas lineares, multivariáveis, discretos, estocásticos e variantes no tempo; bem como a construção deste filtro neste contexto e sua aplicação a um processo computacional discreto. Neste trabalho propomos um método para determinar: a matriz de observabilidade instantânea, o vetor de estimação de estado interno, a matriz de covariâncias de erros de estimação de estado interno e a latência de um processo computacional discreto, quando as medidas na saída do computador são conhecidas. Aqui mostramos que quando a propriedade observabilidade instantânea do sistema é verificada, a latência de um processo computacional pode ser estimada. Esta é uma vantagem comparada com os métodos de observabilidade usual, os quais são baseados em cenários estáticos. A aplicação potencial dos resultados deste trabalho é na predição de congestionamentos em processos que variam rapidamente no tempo e acontecem em computadores digitais. Em uma perspectiva mais ampla, o método da observabilidade instantânea pode ser aplicado na identificação de patologias, na previsão meteorológica; em navegação e rastreamento no solo, na água e no ar; no mercado financeiro e em muitas outras áreas.
ix
ABSTRACT
This paper shows the application of Kalman filter to a discrete computational process, which will be represented by a mathematical model that is a system of multivariate, linear, discrete, stochastic and time-varying equations. The contributions of this study show the construction of an appropriate mathematical model to observe instantaneous observability on systems that vary rapidly in time; the construction of the Kalman filter to be applied in multivariate, linear, discrete, stochastic and time-varying systems; and the filter construction of this connection and its application to a digital computing process. In this project we propose a method to determine: the instantaneous observability matrix of the specified system, a mathematical model to represent the specified system, construction of the Kalman filter to this system, the Kalman filter solution that consists of the state vector estimation and the covariance matrix of estimated errors of the system internal state, and the latency of a discrete computational process, when the measures in the computer output are known. Here we show that when the instantaneous observability property of the system is verified, the computation process latency can be estimated. This is an advantage compared to usual methods of observability, which are based on static scenarios. The potential application of the results of this study is to predict congestion in computational processes that vary rapidly in time. In a broader perspective, the method of instantaneous observability can be applied in identifying pathologies, in weather forecasting, navigation and tracking in soil, water and air; the financial market and in many other areas.
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Sumário
Lista de Figuras...xxi
Lista de Tabelas...xxvii
Prefácio...1
Capítulo 1. Observabilidade de Sistemas Lineares, Discretos e Variantes no Tempo 1.1. Introdução...5
1.2. Sistemas lineares, discretos e variantes no tempo...6
1.3. Modelo matemático de sistemas lineares, discretos e variantes com entradas e saídas...10
1.3.1. Matrizes de transição de estado e de acoplamento de entradas com o sistema...11
1.3.2. Matrizes de sensibilidade de medição e de acoplamento de entradas e saídas...11
1.4. Proposta para a Observabilidade de sistemas lineares, discretos e variantes no tempo...14
1.4.1. Observabilidade do modelo de espaço de estado...16
1.4.2. Matriz de observabilidade...23
1.4.3. Cálculo do vetor de estado...26
1.4.4. Gramiano de observabilidade...29
1.5. Aplicação do método da observabilidade instantânea...33
1.6. Comparação dos métodos: observabilidade instantânea e observabilidade usual...36
1.7. Conclusões...39
Capítulo 2. Fundamentos Teóricos do Filtro de Kalman aplicado em Sistemas Lineares, Discretos, Estocásticos e Variantes no Tempo 2.1. Introdução...41
xii
2.2.1. Sistemas Estocásticos. – Fundamento 2...46
2.2.1.1. Sistemas Dinâmicos. – Fundamento 3...46
2.2.2. Estimação ótima da média dos mínimos erros quadrados. – Fundamento 4...47
2.2.2.1. Estimação ótima dos mínimos erros quadrados. – Fundamento 5...48
2.3. Variáveis aleatórias...55
2.3.1. Variáveis aleatórias discretas...56
2.3.2. Variáveis aleatórias mistas...58
2.3.3. Teorema da soma das médias...58
2.4. Vetores de variáveis aleatórias discretas...58
2.4.1. Distribuições conjunta e condicional de probabilidade de um vetor de variáveis...60
. aleatórias discretas 2.5. Momentos de um vetor de variáveis aleatórias discretas...61
2.5.1. Valor esperado de um vetor de variáveis aleatórias discretas...61
2.5.2. Matrizes de correlação e de covariâncias de vetores aleatórios discretos...62
2.6. Vetores aleatórios discretos com distribuição Gaussiana conjunta...64
2.6.1. Estimação ótima de variáveis aleatórias conjuntas – Princípio da ortogonalidade...65
2.6.2. Interpretação geométrica do princípio da ortogonalidade...73
2.7. Processos estocásticos discretos no tempo...75
2.7.1. Definição de um processo estocástico...76
2.7.2. Especificação de um processo estocástico...77
2.7.3. Propriedades estatísticas de processos estocásticos discretos...78
2.7.4. Processos estocásticos discretos e múltiplos...81
2.7.5. Processos estocásticos de Markov...82
xiii
2.8. Aplicação: Fundamentos teóricos do Filtro de Kalman utilizando o cálculo estocástico...84
2.8.1. Resumo do cálculo estocástico –Aplicação em sistemas lineares, discretos, estocás- ticos e variantes no tempo...85
2.8.2. Proposta de modelo matemático de processos estocásticos, lineares, discretos e variantes no tempo...89
2.8.3. Equações de propagação do vetor de médias e da matriz de covariâncias temporais do estado do sistema...92
2.8.4. Aplicação numérica das equações de propagação...95
2.9. Conclusões...100
Capítulo 3. Construção do Filtro de Kalman Aplicado em Sistemas Lineares, Discretos, Estocásticos e Variantes no Tempo 3.1. Introdução...103
3.2. Processos de ruídos do sistema e de medição...104
3.3. Filtro de Kalman – O estado do sistema e a sua saída são processos lineares, discretos, Estocásticos de Markov...107
3.3.1. Distribuição discreta de probabilidade Gaussiana multivariável...108
3.3.2. Estimação ótima do estado do sistema pela projeção ortogonal...113
3.3.3. Processo de inovações com distribuição Gaussiana...117
3.3.4. Algoritmos de predição e filtragem ótimas...119
3.3.4.1. Algoritmo de predição de um passo à frente utilizando a projeção ortogonal – Ganho do Filtro de Kalman...121
3.3.4.2. Algoritmo de filtragem ótima de Kalman...129
3.4. Teorema 1 do filtro ótimo de Kalman – Sistemas variantes no tempo...131
3.5. Teorema 2 - Filtragem de um sistema multivariável, linear, discreto, estocástico e variante no tempo...137
xiv
3.6. Aplicação do Teorema 2 – Solução da equação de Ricatti associada a um sistema
multivariável, linear, discreto, estocástico e variante no tempo...140
3.7. Parâmetros do Filtro de Kalman e ajuste do ganho do filtro...152
3.8. Conclusões...157
Capítulo 4. Aplicação do Filtro de Kalman em Processo de Computação Digital Multivariável, Estocástico e Variante no tempo 4.1. Introdução...161
4.2. Estrutura geral de um computador digital...162
4.2.1. Hardware...163
4.2.1.1. Unidade Central de Processamento...164
4.2.1.2. Memória...164
4.2.1.3. Subsistema de canais...164
4.2.2. Sistema operacional...165
4.2.3. Programas do sistema operacional...166
4.2.4. Aplicativos dos usuários...167
4.3. Caracterização de um processo estocástico de computação digital...167
4.3.1. Execução de múltiplos programas no computador digital...167
4.3.2. Conceito de processo em computação digital...168
4.3.2.1. Etapas de um processo...169
4.3.2.2. Bloco de controle de um processo...170
4.3.3. “Scheduling” de processos em computação digital...171
4.4. Aplicação: Sistema de computação digital com processos estocásticos...174
xv
4.4.2. O Objetivo da aplicação computacional...176
4.4.3. Descrição da aplicação computacional...176
4.5. Aplicação: Modelo matemático do processo de computação digital...178
4.5.1. Aplicação: Latência de processos de computação digital...180
4.5.2. Aplicação: O Processo de computação digital e a percepção do usuário...185
4.6. Equações de Estado e de Medidas do sistema que representam o processo...185
4.7. Observabilidade instantânea aplicada ao processo de computação digital...187
4.8. Equações de propagação do estado aplicada ao processo de computação digital...193
4.9. Filtro de Kalman aplicado ao processo computacional digital...196
4.9.1. Ganho do filtro e propagação do estado “a priori”- Um processo...199
4.9.2. Ganho filtrado e propagação do estado “a posteriori” - Um processo...203
4.9.3. Latência de dezesseis processos com estimação e filtragem de estados...212
4.9.4. Análise das Inovações...212
4.10. Conclusões...214
Capítulo 5. Conclusões e Perspectivas 5.1. Contribuições...217
5.2. Perspectivas e pesquisas futuras...220
5.3. Trabalhos publicados...221
Referências ...223
Apêndices...235
Apêndice 1.1. Discretização do Teorema 1...235
xvi
Apêndice 2.1. Método de discretização explícito de Euler aplicado a derivadas parciais do
Erro quadrático...241
Apêndice 2.2. Método de discretização explícito de Euler aplicado a derivadas parciais da Função de erros quadrados ponderados...247
Apêndice 2.3. Método de discretização explícito de Euler aplicado a derivadas parciais de uma função quadrática...251
Apêndice 3.1. Solução da equação de Ricatti discreta (k)...255
Apêndice 3.2. Solução da equação de Ricatti discreta (k)...257
Apêndice 3.3. Solução da equação de Ricatti discreta (k)...259
Apêndice 4.1. Glossário de termos utilizados em computadores, processos e aplicações de computação digital referentes a esta Tese...251
Apêndice 4.2. Determinação do modelo matemático do processo de computação digital...265
Apêndice 4.3. Determinação das Matrizes Discretas e Variantes no Tempo do Processo de Computação Digital...269
xvii
Dedico este trabalho Ao meu pai David (in memorian), À minha mãe Elza (in memorian), Ao meu irmão João Marcos, À minha irmã Elza Priscila (in memorian), À minha esposa Cleonice e Aos filhos Filipe, Renan e Alan.
“Teoria atrai a prática, assim como o ímã atrai o ferro.” Karl Friedrich Gauss
xix
AGRADECIMENTOS
Agradeço em primeiro lugar ao meu Criador, por me dar inspiração para viver e me ensinar a olhar sempre para o futuro.
Ao meu orientador Prof. Dr. Gilmar Barreto, pela oportunidade de receber a sua orientação e ter a sua amizade leal, elementos fundamentais para a realização desta tese.
Ao Prof. Dr. Celso Pascoli Bottura pelo incentivo dado a mim através dos EPCs para buscar conhecimentos em Automação, além daqueles apresentados nas aulas.
Aos Prof. Dr. Gustavo Fraidenraich e Prof. Dr. José Cândido Silveira Santos Filho, pelos ensinamentos e motivação que me deram para estudar processos estocásticos.
A Sra. Jaqueline Bisson, Secretária do Departamento de Semicondutores, Instrumentos e Fotônica, que me ajudou na impressão de material bibliográfico.
Aos funcionários da Coordenadoria de Pós-Graduação da Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação, que me deram apoio em documentação e procedimentos.
Aos funcionários das Bibliotecas: BAE, Economia, IMEEC pelo suporte bibliográfico de livros, periódicos e acesso aos sistemas de bibliotecas UNICAMP.
Ao amigo Hugo Tanzarella Teixeira que me ofereceu ideias e suporte na utilização de aplicativos computacionais.
A minha família, que me incentivou de forma especial com seu carinho e compreensão.
Aos amigos, que me ofereceram uma palavra de incentivo e me ajudaram a perseverar. Ao CNPq – Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico – no Brasil pelo apoio financeiro através da bolsa de doutorado concedida, o que tornou possível esta pesquisa no LCSI/DSIF/FEEC/UNICAMP.
xxi
Lista de Figuras
Capítulo 1. Observabilidade de Sistemas Lineares, Discretos e Variantes no Tempo
Figura 1.1 – Ilustração do modelo matemático de discretização de um sinal analógico...7
Figura 1.2 – Diagrama de bloco de um sistema linear, discreto e variante no tempo...10
Figura 1.3 – Diagrama de blocos das equações de estado e de medição de um sistema linear, discreto e variante no tempo...13
Figura 1.4 – Ilustração da sequência de intervalos de tempo discretos...19
Figura 1.5 – Posto da matriz (k) em função de (k)...34
Figura 1.6 – Determinante da matriz (k) em função de (k)...34
Figura 1.7 – Determinante da matriz (k) em função de (k)...35
Figura 1.8 – Postos das matrizes (k) e em função de (k)...37
Figura 1.9 – Determinantes das matrizes (k) e em função de (k)...37
Figura 1.10 – Determinantes das matrizes (k) e (k) em função de (k)...38
Capítulo 2. Fundamentos Teóricos do Filtro de Kalman aplicado em Sistemas Lineares, Discretos, Estocásticos e Variantes no Tempo Figura 2.1 – Ilustração do espaço de probabilidade de Komolgorov...45
Figura 2.2 – Diagrama de blocos de um estimador de estado de sistema linear, discreto e variante no tempo...65
Figura 2.3 – Ilustração da similaridade entre as funções densidade de probabilidade...69
Gaussianas contínua e discreta da variável aleatória x, com = 10 e = 10.
Figura 2.4 – Ilustração da similaridade entre as funções densidade de probabilidade ...70
Gaussianas contínua e discreta da variável aleatória y, com = 10 e = 10. Figura 2.5 – Ilustração da similaridade entre as funções densidade de probabilidade Gaussia- nas contínua e discreta conjuntas das variáveis aleatórias x e y, sendo = 10 e
xxii
= 10, = 10 e = 10...71 Figura 2.6 – Interpretação geométrica do Princípio da Ortogonalidade para os vetores
x(k) e y(k)...74 Figura 2.7 – Funções amostrais de um processo estocástico discreto...76 Figura 2.8 – Propagação do vetor de média do estado do sistema com ruídos...96 Figura 2.9 – Propagação do vetor de médias do estado do sistema sem ruídos...97 Figura 2.10 – Propagação da matriz de covariâncias do estado do sistema com ruídos...98 Figura 2.11 – Propagação da matriz de covariâncias do estado do sistema sem ruído ...99
Capítulo 3. Construção do Filtro de Kalman Aplicado a Sistemas Lineares, Discretos, Estocásticos e Variantes no Tempo
Figura 3.1 – Diagrama de blocos das equações de estado e de medição de um sistema linear, discreto, estocástico e variante no tempo com entradas e saídas, e ruídos...116 Figura 3.2 – Etapas fundamentais para o processamento do algoritmo Filtro de Kalman...135
Figura 3.3 – Diagrama de blocos com os processos de predição e filtragem do Filtro de
Kalman...136 Figura 3.4 – Função discreta da variância (k) em função do tempo (k) e da covariância
(k), quando a variância (k) é constante...144 Figura 3.5 – Função discreta da variância (k) [com ruído branco sobreposto para
(k) = 1] em função do tempo (k) e da covariância (k), quando a variância
(k) é constante...145 Figura 3.6 – Função discreta da covariância (k) em função do tempo (k) e da variância (k), quando a variância (k) é constante...147
Figura 3.7 – Função discreta da covariância (k) [com ruído sobreposto para (k) = 1]
em função do tempo (k) e da covariância (k), quando a variância
(k) é constante...148
Figura 3.8 – Função discreta da variância (k) em função do tempo (k) e da covariância (k), quando a variância (k) é constante...150 Figura 3.9 – Função discreta da variância (k) [com ruído sobreposto para (k) = 1]
xxiii
em função do tempo (k) e da covariância (k), quando a variância
(k) é constante...151
Figura 3.10 – Função discreta para o ganho do filtro de Kalman (k) [com ruído de
medição com covariância ] em função do tempo (k)...154 Figura 3.11 – Função discreta para o ganho do Filtro de Kalman (k) sem ruído de
medição em função do tempo (k)...155 Figura 3.12 – Função discreta para o ganho do Filtro de Kalman (k) [com ruído de
medição com variância em função do tempo (k)...156 Figura 3.13 – Função discreta para o ganho do Filtro de Kalman (k) sem ruído de
medição, em função dos intervalos de tempo (k)...157
Capítulo 4. Aplicação do Filtro de Kalman em Processos de Computação Digital Multivariáveis, Estocásticos e Variantes no Tempo
Figura 4.1 – Ilustração dos componentes básicos de um computador digital com processa-
mento paralelo...163 Figura 4.2 – Conjunto de “jobs” na memória do computador ...168 Figura 4.3 – Diagrama de blocos das etapas de um processo no computador digital...170 Figura 4.4 – Bloco de controle de um processo digital...170 Figura 4.5 – Diagrama da fila de “scheduling” de processos digitais...173 Figura 4.6 – Ilustração de três processos que mudam de etapas ao longo do tempo. (k)...175 Figura 4.7 – Ilustração de um processo que passa por etapas em sequência...180 Figura 4.8 – Ilustração de Latências de dezesseis processos ...183 Figura 4.9 –Latência de dezesseis processos...184 Figura 4.10 – Determinante de observabilidade instantânea do processo para (k) < 1...188 Figura 4.11 – Determinante de observabilidade instantânea do processo para (k) > 1...189 Figura 4.12 – Posto da matriz de observabilidade instantânea do processo ...190 Figura 4.13 – Determinante do gramiano de observabilidade instantânea para (k) < 1...191
xxiv
Figura 4.14 – Determinante do gramiano de observabilidade instantânea para (k) > 1...192 Figura 4.15 – Propagação do vetor de médias em cada estado com ruídos...194 Figura 4.16 – Linha de tempo ilustrando os intervalos de tempo quando ocorrem os valores “a priori”, “a posteriori” e a propagação do estado...197 Figura 4.17 – Elementos da matriz ganho “a priori” do filtro de Kalman com ruídos (k)...200 Figura 4.18 – Elementos do vetor de estado estimado “a priori” com ruídos (k)...201 Figura 4.19 – Elementos da matriz de covariâncias de erro de estimação do estado
“a priori”com ruídos (k)...202 Figura 4.20 – Valores do vetor y(k) em segundo nos intervalos de tempo (k)...204
Figura 4.21 – Elementos da matriz ganho “a posteriori” do filtro de Kalman...205
Figura 4.22 –Elementos do vetor de estado filtrado...207 Figura 4.23 – Elementos da matriz de covariâncias filtradas...207 Figura 4.24 – Elemento (k) da matriz de covariâncias com valores “a priori” e “a
posteriori”...209 Figura 4.25 –Elemento (k) da matriz de covariâncias com valores “a priori” e “a
posteriori”...210 Figura 4.26 – Elemento (k) da matriz de covariâncias com valores “a priori” e “a
posteriori”...210 Figura 4.27 –Elemento (k) da matriz de covariâncias com valores “a priori “e “a
posteriori”...211 Figura 4.28 – Elemento (k) da matriz de covariâncias com valores “a priori” e “a
posteriori”...211 Figura 4.29 – Valores do vetor (k) do modelo do filtro de Kalman...213
Apêndices
Apêndice 2.1
Figura A.2.1.1 – Ilustração da discretização de derivada parcial pelo Método explícito de
xxv Apêndice 4.2
Figura A.4.2.1 – Formato da curva da frequência de “CPU burst” em função da duração da utilização da CPU...265 Apêndice 4.3
Figura A.4.3.1 – Diagrama de variáveis de estado para a função de transferência do
xxvii
Lista de Tabelas
Capítulo 4. Aplicação do Filtro de Kalman a Processos de Computação Digital Multivariável e Estocásticos
Tabela 4.1. Valores calculados para o det[ (k)] para intervalos de (k) < 1...188
Tabela 4.2. Valores calculados para o det[ (k)] para intervalos de (k) < 1...191 Tabela 4.3. Valores do vetor de Medidas na saída do Sistema...204
1
PREFÁCIO
Há sinais eletrônicos que variam rapidamente no tempo como aqueles que ocorrem internamente aos computadores digitais, os quais não são acessados diretamente. Estes sinais compõem processos de computação digital que podem ser executados lentamente, devido a algum congestionamento aleatório interno ao computador. Por exemplo, quando um usuário final submete uma aplicação em seu computador pessoal e há congestionamento interno ao computador, os tempos de resposta são maiores, ou as latências são maiores, que geram insatisfação do usuário final.
A motivação deste trabalho é apresentar uma proposta para evitar estes congestionamentos e assim garantir a satisfação dos usuários finais, que utilizam computadores pessoais ligados em rede. Iremos mostrar aqui como estimar a latência de um processo de computação digital utilizando a filtragem estatística de Kalman, e mostrar a utilização deste resultado para evitar os congestionamentos mencionados.
A literatura corrente publicada (1)(2)(3) apresenta uma proposta de análise de processamentos computacionais utilizando o método loteria, e esta tem dado sua contribuição para a área. A proposta que apresentamos aqui tem como objetivo desenvolver uma metodologia para estimar e avaliar a latência de um processo de computação digital, utilizando a filtragem estatística de Kalman no domínio tempo.
O escopo deste projeto é uma medida da percepção sobre o que acontece com um processo de computação digital dentro do computador no domínio tempo. Nós não conhecemos um trabalho como este e por este motivo pensamos que ele tem significância em relação à outras pesquisas na área.
Para realizar isto, este projeto foi organizado em quatro capítulos em sequência, conforme apresentados resumidamente a seguir:
O Capítulo 1 introduz uma proposta de Metodologia para a determinação da Observabilidade Instantânea, a qual será aplicada em sistemas multivariáveis, lineares, discretos e variantes no tempo nos quais podem ocorrer sinais rápidos. Esta proposta é construída baseada em definições e conceitos de modelagem de espaço de estado baseados em dois teoremas. Um aplicativo computacional será utilizado para ilustrar as aplicações destes dois teoremas, bem como será
2
utilizado para a obtenção de dados que possibilitam a análise comparativa entre os métodos de observabilidade usual e de observabilidade instantânea proposta. O método da Observabilidade Instantânea será utilizado no capítulo 4.
O Capítulo 2 apresenta os fundamentos teóricos do filtro de Kalman e desenvolve um modelo matemático e estatístico proposto para processos multivariáveis, lineares, discretos, estocásticos e variantes no tempo, baseados no espaço de probabilidade de Komolgorov. Os fundamentos teóricos do filtro de Kalman estão apresentados através de conceitos, definições e axiomas. A aplicação destes conceitos, definições e axiomas serão utilizadas na construção do filtro de Kalman no capítulo seguinte. A aplicação destes conceitos, definições e axiomas também redundam na criação de um modelo matemático e estatístico de sistemas multivariáveis, lineares, estocásticos, discretos e variantes no tempo, que gera um processo estocástico. Este modelo é composto por equações que se propagam no tempo e uma aplicação computacional ilustrará estas propagações.
O Capítulo 3 introduz através de equações e um diagrama de blocos do sistema em estudo que é multivariável, linear, discreto, estocástico e variante no tempo com entradas e saídas, em ambiente de ruídos do sistema e de medição. As propriedades do filtro de Kalman são aplicadas a este sistema através de Lemas e à medida que os lemas são desenvolvidos estará sendo realizada a construção matemática e estatística deste filtro, a qual é consolidada pelo Teorema 1 do Filtro Ótimo de Kalman. O Teorema 2 é decorrência do teorema anterior e mostra que a solução da equação matricial de Ricatti é a matriz de covariâncias do estado a qual é feita pelo filtro de Kalman; e consideramos oportuno resolver as equações de Ricatti para comprovar esta afirmação. Uma aplicação computacional será feita para ilustrar a solução das equações de Ricatti. O ganho do filtro de Kalman tem grande influência na estimação do estado interno do sistema, e por isso são analisados alguns aspectos comportamentais deste ganho na presença de ruídos do sistema e de medição. Uma aplicação computacional irá ilustrar o comportamento do ganho do filtro em ambiente de ruídos.
O Capítulo 4 introduz resumidamente definições de um computador digital pessoal, a definição de um processo computacional digital que ocorre internamente ao computador, e a proposta de
3
um modelo matemático que representa o processo e os estados pelos quais ele passa ao ser executado pelo computador. Este modelo matemático representa um sistema multivariável, linear, discreto, estocástico e variante no tempo. Este capítulo introduz também a aplicação da metodologia de observabilidade instantânea (capítulo 1) ao sistema citado, introduz o modelo matemático proposto para o sistema e a propagação de suas equações ao longo do tempo (capítulo 2), e faz a aplicação do filtro de Kalman construído (capítulo 3) ao modelo matemático do sistema especificado. A solução do filtro ótimo de Kalman é o vetor de estado estimado e a sua matriz de covariâncias dos estados internos do computador digital em estudo, cuja solução possibilitará calcular a latência do processo. Desta maneira será estabelecida a conexão entre a filtragem estatística de Kalman e a filtragem digital. Uma aplicação computacional ilustrará esta solução do filtro e possibilitará propormos aplicações destes resultados na solução de problemas de congestionamento em computador pessoal e redes de computadores digitais.
O Capítulo 5 apresenta as conclusões finais, as contribuições deste projeto e perspectivas futuras. Assim sendo, consideramos que estas razões justificam a elaboração e a apresentação deste projeto chamado “Filtragem de Kalman aplicada à Computação Digital com Abordagem de Espaço de Estado Variante no Tempo”.
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CAPÍTULO 1
Observabilidade de Sistemas Lineares, Discretos e
Variantes no Tempo
1.1. Introdução
Um sistema é um conjunto de partes inter-relacionadas que podem ser consideradas como um todo. Se as características deste sistema alteram-se com o tempo, então ele é chamado de sistema variante no tempo. O sistema variante no tempo considerado aqui é aquele que alguns de seus aspectos variam com o tempo. Para a análise dinâmica de um sistema assim é essencial a determinação do seu comportamento a partir do conhecimento dos parâmetros que o caracterizam, e das entradas a que este sistema é submetido. Por outro lado, para a identificação da sua dinâmica é fundamental a determinação do seu comportamento em resposta a determinadas entradas, como uma série temporal.(4)
Um sistema variante no tempo pode ser aeronáutico, biológico, computacional, econômico, espacial, financeiro, físico, hidrográfico, meteorológico, químico dentre muitos tipos de sistemas, e pode ser representado por um modelo matemático composto por um sistema de equações. O sistema variante no tempo a ser estudado aqui é discreto e tem múltiplas entradas e saídas, e assim será representado por um modelo matemático que contém um sistema de equações multivariáveis, lineares, a diferenças finitas e variantes no tempo. Estudaremos neste projeto um sistema de computação digital, onde ocorrem sinais eletrônicos com variações rápidas no tempo. Para descrevermos matematicamente as observações e as medições destes sinais na saída deste sistema, apresentaremos um conceito de extensão da observabilidade, que é chamada aqui de observabilidade instantânea, e proporemos um modelo matemático para representá-la. A caracterização desta observabilidade será analisada a partir dos parâmetros do modelo matemático que representa o sistema.
A propriedade observabilidade leva em consideração a possibilidade de estimar o estado interno de um sistema, a partir das suas entradas e saídas, supondo-se que estas são conhecidas. No contexto deste trabalho, observabilidade é a questão de saber se o estado interno de um sistema multivariável, linear, discreto e variante no tempo é exclusivamente determinável a partir das
6
informações contidas nos seus vetores de entradas u(k) e saídas y(k), baseando-se no modelo matemático do sistema. Um modelo multivariável, linear, discreto e variante no tempo com entradas e saídas lineares, é considerado observável, se e somente se, o seu estado interno é determinado exclusivamente a partir de um modelo.
O estudo da observabilidade de sistemas tem sido apresentado por várias publicações em um cenário estático, bem como a sua representação através de modelos matemáticos com matrizes que têm somente elementos invariantes no tempo, como por exemplo em (5)(6)(7).
Outras publicações disponíveis acrescentam alguma contribuição ao estudo da observabilidade de sistemas contínuos e variantes no tempo, os quais são representados por modelos matemáticos com equações diferenciais. (4)(8)(9)
O objetivo deste capítulo é desenvolver e propor uma abordagem sobre a observabilidade instantânea, de tal modo que possa ser um método útil para a obtenção de medidas na saída de um sistema como o especificado anteriormente, que varia rapidamente. Por exemplo, estas medidas serão utilizadas para estimar o estado interno de um processo de computação digital, onde há sinais eletrônicos que variam rapidamente, e estimar a latência deste processo a qual é a soma dos tempos que o processo permaneceu em cada estado interno do sistema. Isto será feito através da filtragem de Kalman no domínio do tempo no Capítulo 4. O modelo matemático do sistema a ser considerado neste capítulo tem funções multivariáveis, lineares, discretas e variantes no tempo. Utilizaremos propriedades algébricas de matrizes e de vetores como adição, multiplicação por escalar, produto interno e a norma ou comprimento Euclidiano no espaço dimensional. Assim sendo, todas as matrizes e vetores serão definidos no espaço Euclidiano n-dimensional. Há muitos sistemas que podem ser representados por modelos matemáticos multivariáveis, lineares, discretos e variantes no tempo, todavia o nosso propósito é representar um sistema computacional digital com sinais que variam rapidamente.
1.2. Sistemas Lineares, Discretos e Variantes no Tempo
Quando um sistema tiver uma entrada discreta, por exemplo uma série temporal e uma saída discreta que pode ser outra série temporal, então este sistema será chamado de sistema discreto. Um sistema linear, discreto e variante no tempo quer seja discreto por natureza, quer pela
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discretização de sistemas contínuos obtidos por amostragem, é representado por um modelo matemático, que é um sistema de equações lineares a diferenças finitas.
Se a entrada do sistema é uma série temporal u(k) sendo k um intervalo de tempo discreto, então faremos a suposição que esta entrada tenha valor constante em cada intervalo de tempo discreto de amostragem conforme a figura 1.1, e a sua representação matemática seja dada pela equação (1.1) respectivamente, a seguir:
u(t) ZOH (t) = u(kT)
T
Figura 1.1 – Ilustração do modelo matemático de discretização de um sinal analógico u(t)
= u(kT), kT < t < (k +1)T, k = 0, 1, 2, ..., n (1.1) sendo,
T o intervalo de tempo fixo de amostragem ou período de amostragem, u(kT) o sinal discretizado na saída,
ZOH um bloco que mantém o vetor de entrada u(t) no período de amostragem T gerando uma saída discreta. Como a entrada é um vetor u(t), o bloco possui todos os elementos do vetor com o mesmo período de amostragem.
Um sistema linear, discreto e variante no tempo pode ser representado por um modelo matemático, um sistema de equações lineares a diferenças finitas, cuja solução especifica as relações entre as variáveis de estado nos seus valores iniciais e as entradas do sistema. Assim sendo, esta solução explicita a dependência das medições feitas na saída do sistema e os parâmetros que constituem o sistema.
Um modelo matemático de um sistema multivariável, linear e discreto pode ser invariante no tempo como mostra a equação vetorial a diferenças de primeira ordem (1.2) a seguir,
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sendo A e B matrizes que contém as características do sistema e as ligações da entrada com o sistema respectivamente, as quais têm elementos que são constantes no tempo. k é intervalo de tempo discreto. Um modelo matemático de um sistema multivariável, linear e discreto pode ser também variante no tempo, o qual será estudado neste trabalho, e está representado pela equação vetorial a diferenças de primeira ordem (1.3) a seguir,
x(k+1) = (k) x(k) + B(k) u(k) (1.3)
sendo, (k) e B(k) matrizes cujos elementos variam no tempo.
Os conceitos de estado, variáveis de estado, vetor de estado e espaço de estado serão apresentados a seguir. Estado é a informação que representa completamente as condições internas de um sistema discreto em um intervalo de tempo (k). Esta informação pode ser armazenada em variáveis de estado. Quando estas variáveis são elementos de um vetor, então temos um vetor de estado. Se tivermos variáveis de estado representadas em eixos ortogonais, então espaço de estado é o espaço em cujos eixos estão estas variáveis de estado e vetores de estado podem ser representados dentro deste espaço.
Na equação (1.3) temos que x(k) é o vetor de estado do sistema variante no tempo, o qual tem dimensão n e será representado pelo vetor coluna, conforme a equação (1.4):
x(k) = [
] = (1.4)
As componentes do vetor de estado são as variáveis de estado do sistema. O domínio n-dimensional do vetor de estado é o espaço de estado do sistema. Estas n variáveis de estado representam n graus de liberdade do sistema, quando estas n variáveis são independentes. Neste contexto, grau de liberdade é a quantidade mínima necessária de variáveis de estado para se determinar completamente o vetor de estado n-dimensional do sistema variante no tempo, que representa completamente o passado deste sistema, onde n é chamada de ordem do sistema. (10)
9
Consideramos que as matrizes k) e B(k) contém elementos que são funções discretas no tempo, e que as variáveis de estado no intervalo de tempo inicial ( assumem os valores
. Estas determinam os valores das soluções de no intervalo de tempo (k), tal que (k) [ , , ( , , ( ] e o intervalo
)...ocorre após o intervalo , o intervalo ocorre após o intervalo e o intervalo .
Na equação (1.2) o vetor u(k) é o vetor de entradas ou vetor de controle do sistema, cujos elementos são funções temporais determinísticas mensuráveis e controláveis. Este vetor tem a dimensão p, e pode ser representado pelo vetor coluna conforme a equação (1.5) a seguir,
u (k) = [
] = (1.5)
A equação (1.3) pode ser reescrita na forma de sistema de equações lineares, discretas e variantes no tempo e em forma de sistema de equações, conforme (1.6) abaixo:
(k+1) = +...+ + +...+ (1.6.a) (k+1) = +...+ + +...+ (1.6.b) (k+1) = +...+ + +...+ (1.6.c) ou em forma matricial, [ ] = [ ] .[ ] + [ ] . [ ] (1.6.d)
sendo o vetor de estado no intervalo de tempo (k+1) à esquerda da igualdade. Os demais elementos de matrizes e vetores à direita da igualdade serão definidos na próxima seção. Observamos que as equações do sistema linear, discreto e variante no tempo acima definem x(k) somente nos intervalos de tempo (k).
10
A solução desta equação a diferenças especifica as relações entre as variáveis de estado nos seus valores iniciais ) e as entradas do sistema no intervalo de tempo (k), as quais são os componentes do vetor u(k), de modo que o intervalo (k) .
1.3. Modelo Matemático de Sistemas Lineares, Discretos e Variantes no
Tempo com Múltiplas Entradas e Saídas
O sistema variante no tempo definido pelas equações de estado (1.6) é discreto, porque ele é definido com respeito à variável independente tempo (k), que varia discretamente nos intervalos de tempo (k) [ , ( , ( , ... , ( ].
Para obtermos a solução das equações de estado (1.6) iremos inicialmente representá-las pelo diagrama de blocos ilustrado na Figura 1.2 a seguir, com variáveis de entrada , variáveis de estado (k) e variáveis de saída :
Figura 1.2 – Diagrama de bloco de um sistema linear, discreto e variante no tempo
O vetor de entradas u(k) do sistema tem dimensão p x 1, tal que u(k) e seus componentes são funções do tempo determinísticas e controladas, que podem ser conhecidas ou mensuráveis. O vetor das variáveis de estado x(k) do sistema tem dimensão n x 1, tal que x(k) e seus componentes são funções do tempo, as quais normalmente não são mensuráveis diretamente, mas podem ser estimadas a partir das observações e medições das saídas do sistema.
x(k+1) = (k) x(k) + B(k) u(k)
11
1.3.1. Matrizes de Transição de Estado do Sistema e de Acoplamento de
Entradas com o Sistema Linear, Discreto e Variante no Tempo
A matriz (k) tem dimensão n x n, tal que (k) e contêm os elementos(k) do
sistema em estudo, os quais são funções determinísticas do tempo e por isso é chamada de matriz de coeficientes dinâmicos ou matriz de transição de estado do sistema.
(k) = [
] (1.7.a)
Os elementos (k) da matriz (k) são funções do tempo determinísticas discretas nos intervalos 1 i n, 1 j n. Esta matriz determina o comportamento dinâmico do sistema na ausência de entrada u(k) e faz a transição das características do estado do sistema em um intervalo de tempo (k) para o intervalo de tempo seguinte (k+1). O estado do sistema depende do vetor de condições iniciais x(0) e do vetor de entrada u(k), sendo que este é considerado constante em cada intervalo de tempo discreto.
A matriz B(k) tem dimensão n x p, tal que B(k) e tem elementos
(k) que são funções
determinísticas do tempo, sendo chamada de matriz de acoplamento de entradas ou matriz ganho de entrada, pois seus elementos são funções temporais de acoplamento das
entradas ao sistema.
B (k) = [
] (1.7.b)
Os elementos (k) da matriz B(k) são funções do tempo determinísticas discretas nos intervalos 1 i n, 1 j p.
1.3.2. Matrizes de Sensibilidade de Medição e de Acoplamento de Entradas
e Saídas do Sistema Linear, Discreto e Variante no Tempo
Podemos medir as entradas e as saídas de um sistema discreto variante no tempo. No modelo linear que representa o sistema da Figura 1.2, as medições nas saídas estão relacionadas às variáveis de estado e às entradas do sistema, podendo ser escritas na forma da equação
12 matricial (1.8.a) a seguir:
y (k) = C(k) x(k) + D(k) u(k) (1.8.a)
A matriz C(k) tem dimensão q x n, tal que C(k) e contém elementos
(k), os quais
representam a sensibilidade da i-ésima saída medida no j-ésimo estado interno do sistema. Por isto, C(k) mostrada abaixo é chamada de matriz de sensibilidade de medição das saídas do sistema,
C(k) = [
] (1.8.b)
Os elementos (k) da matriz C(k) são funções do tempo determinísticas discretas nos intervalos 1 i q, 1 j n.
A matriz D(k) tem dimensão q x p, tal que D(k) e contém elementos os quais são
os coeficientes de acoplamento entre as entradas e as saídas. Por isso D(k) mostrada a seguir é chamada de matriz de acoplamento das entradas e saídas,
D(k) = [
] (1.8.c)
Os elementos da matriz D(k) são funções do tempo determinísticas discretas nos intervalos 1 i q, 1 j p.
O vetor de saída y(k) do sistema variante no tempo tem dimensão q x 1, tal que y(k) e seus componentes são funções do tempo que podem ser observadas e medidas. Este vetor é chamado de vetor de medidas, de observações ou medições na saída do sistema variante no tempo e pode ser representado pelo vetor coluna conforme a equação (1.8.d) a seguir,
y (k) = [
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A equação (1.8.a) pode ser reescrita na forma matricial conforme as equações (1.8.e) abaixo, as quais são as equações de medidas do sistema linear discreto variante no tempo de ordem n, com q saídas: [ ] = [ ] [ ] + [ ] [ ] (1.8.e)
Esta solução explicita a dependência das medições feitas na saída do sistema no intervalo de tempo (k), em relação aos parâmetros (k) que constituem as ligações do estado do sistema com as saídas, e em relação aos parâmetros (k) que fazem as ligações entre as entradas e as saídas do sistema (11). As equações de estado do sistema (1.3) e as equações de medidas nas saídas (1.8) juntas formam as equações do sistema linear, discreto e variante no tempo. Estas equações estão descritas pelas equações vetoriais a diferenças de primeira ordem (1.9) e ilustradas pela figura 1.3 a seguir: x(k+1) = (k) x(k) + B(k) u(k) (1.9.a) y (k) = C(k) x(k) + D(k)u(k) (1.9.b) D(k) u(k) B(k) + x(k+1) x(k) C(k) + + y(k) + (k)
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No contexto de observabilidade as equações (1.9.a) e (1.9.b) representadas pela figura 1.3, vemos o operador que representa um retardo de uma unidade de tempo discreto e possibilita a partir do vetor discreto x(k+1) obter o vetor x(k). Os ruídos do sistema e de medição serão considerados no modelo matemático a ser proposto no Capítulo 2.
1.4. Proposta para a Observabilidade de Sistemas Multivariáveis, Lineares,
Discretos e Variantes no Tempo
No domínio n-dimensional de um sistema linear, discreto e variante no tempo consideramos quatro propriedades básicas: estabilidade, observabilidade, controlabilidade e atingibilidade. A propriedade estabilidade depende somente da matriz A(k) do sistema. O sistema linear, discreto e variante no tempo descrito pela equação (1.9.a) é assintoticamente estável quando os efeitos das condições iniciais geram respostas transitórias que desaparecem assintoticamente com o tempo discreto, quando k tende para infinito. Em outra perspectiva, dizemos que este sistema é estável se qualquer entrada limitada em amplitude tiver como resultado uma saída limitada em amplitude, independente do estado interno do sistema. Este é um sistema BIBO estável, cuja estabilidade está associada à localização da parte real de todos os polos de sua equação característica no lado esquerdo do plano complexo.
A propriedade observabilidade leva em consideração a possibilidade de estimar o estado interno do sistema, a partir das suas entradas u(k) e saídas y(k), supondo-se que as equações (1.9.a) e (1.9.b) são conhecidas. Observabilidade é a questão de saber se o estado de um sistema variante no tempo é determinável exclusivamente apenas a partir de suas entradas u(k) e saídas
y(k), baseando-se no modelo matemático do sistema. O modelo linear, discreto e variante no
tempo apresentado até agora, com entradas e saídas lineares, é considerado observável, se e somente se, o seu estado é determinado exclusivamente a partir deste modelo. A observabilidade depende conjuntamente do par de matrizes {A(k), C(k)}, que fazem parte do modelo matemático apresentado. A determinação da observabilidade para sistemas lineares, discretos e variantes no tempo depende do intervalo sobre o qual a matriz de observabilidade é determinada. Do ponto de vista algébrico a condição de observabilidade pode ser apresentada como: “um sistema variante no tempo é observável, se e somente se, a sua matriz de observabilidade tem posto igual a n em cada intervalo de tempo (k) [ , ( , ( , ... , ( ], sendo n a dimensão do vetor
15
de estado x(k) deste sistema”. Se o posto da matriz de observabilidade for menor do que n, então o sistema não será plenamente observável.
A propriedade controlabilidade leva em consideração a possibilidade de ativar todos os modos do sistema variante no tempo, através de entradas determinísticas e/ou estocásticas. A controlabilidade depende conjuntamente do par de matrizes {A(k), B(k)}, que é parte do modelo matemático apresentado. Conforme Rudolf Emil Kalman, “controlabilidade é a questão de existir no sistema variante no tempo uma entrada que seja controlada, tal que esta possa levar qualquer estado do sistema x(k) para o estado zero x(0)”. A partir daí ele descobriu uma condição algébrica para a controlabilidade, a qual é que o posto da matriz de controlabilidade seja igual à n, em cada intervalo de tempo (k), que é a dimensão do vetor de estado x(k) deste sistema. Se o posto da matriz de controlabilidade for menor do que n, então o sistema não será plenamente controlável.
A propriedade atingibilidade está associada à questão de existir uma entrada u(k), a qual pode ser uma série temporal, que seja controlada e que possa levar o sistema do estado zero x(0) para qualquer outro estado x(k). A atingibilidade depende conjuntamente do par de matrizes
{ (k), B(k)}, que fazem parte do modelo matemático apresentado. O sistema é atingível se o posto da matriz de atingibilidade for igual a n em cada intervalo de tempo (k) [ , ( , ( , ... , ( ], sendo n a dimensão do vetor de estado x(k) do sistema linear, discreto e variante no tempo.
O conceito da observabilidade na teoria da estimação de estados de sistemas tem relações algébricas matriciais com o conceito de controlabilidade na teoria de controle. Kalman chamou estes conceitos e suas relações algébricas matriciais de Dualidade e Separabilidade dos problemas de estimação e controle aplicados a sistemas lineares respectivamente. O Princípio da Dualidade expressa analogias existentes entre Controlabilidade e Observabilidade de um sistema
com lei de controle linear. As consequências deste princípio são que um sistema é completamente controlável se, e somente se, o seu sistema dual é completamente observável; um sistema é completamente observável se, e somente se, o seu sistema dual é completamente controlável. Quando o modelo matemático do sistema variante no tempo tem as propriedades da observabilidade e controlabilidade, que são importantes na forma de representação do espaço de estado, então a minimalidade da dimensão do vetor x(k) é assegurada. (10)(12)(13)(14)(15)
16
Devido ao objetivo deste projeto ser contribuir para a estimação de estados de processos lineares, discretos, estocásticos e variantes no tempo utilizando o filtro de Kalman, então iremos concentrar nossa atenção na propriedade observabilidade, conforme veremos a seguir.
1.4.1. Observabilidade do Modelo de Espaço de Estado de Sistemas
Lineares, Discretos e Variantes no Tempo
O conceito da observabilidade de sistemas lineares, discretos e invariantes no tempo tem sido representado algebricamente pela sua matriz de observabilidade , sendo que as matrizes A e C têm elementos constantes ao longo do tempo, por isso são chamadas de matrizes invariantes no tempo. A matriz de observabilidade e a matriz gramiano de observabilidade também são invariantes no tempo e podem ser calculadas pelas equações matriciais (1.10),
= (1.10.a)
= . (1.10.b) O sistema é plenamente observável se o posto da matriz for igual a n, sendo n a ordem do sistema, que é a dimensão do vetor de estado x. A solução do vetor de estado é única se o determinante da matriz gramiano de observabilidade for positivo. Isto significa que todas as variáveis de estado do vetor de estado são calculáveis e a solução é única.
Quando o sistema é linear, discreto e variante no tempo, o conceito da observabilidade pode ser representado algebricamente pela matriz de observabilidade variante no tempo também, que é diferente daquela expressa pela equação (1.10.a).
Para as equações (1.9) transcritas abaixo são dadas as sequencias de matrizes reais e discretas (k), B(k), C(k) e D(k), tal que:
x(k+1) = (k).x(k) + B(k) u(k)
y (k) = C(k).x(k) + D(k) u(k)
sendo,
u( o espaço linear das sequencias de entrada no sistema
17
O par de matrizes {C(k), (k)} é observável se e somente se o vetor de estado x(0) no intervalo de tempo ( é determinável e único.
Há conceitos importantes que precisam ser destacados sobre o modelo matemático (1.9) do sistema linear, discreto e variante no tempo, pois estes conceitos envolvem:
1. O efeito das sequencias do vetor de entradas ou vetor de controle u( sobre o vetor de estado
x(k) através da matriz de acoplamento de entradas B(k) e o sistema, conforme a equação (1.9.a).
Consideramos que o vetor de estados é influenciado independentemente, por cada um dos elementos do vetor de entrada em cada intervalo de tempo (k) considerado. Esta influência é descrita por funções temporais, lineares e discretas.
2. O efeito do vetor de estado x(k) sobre as sequencias do vetor de saída ou vetor de medidas y(k através da matriz C(k), conforme a equação (1.9.b). Consideramos que as sequencias para o vetor de saída são influenciadas independentemente, por cada uma das variáveis de estado em cada intervalo de tempo k. Esta influência é descrita por funções temporais, lineares e discretas. Devido aos elementos das matrizes e dos vetores nas equações (1.9) serem considerados aqui como funções temporais, lineares, discretas e determinísticas, então estas funções podem ter variações rápidas em intervalos de tempo muito pequenos. Então, um sistema linear, discreto e variante no tempo representado pelo modelo matemático com estas características, requer um tipo de análise mais robusta quanto à observabilidade. Assim sendo, apresentamos o método da observabilidade instantânea.
A observabilidade instantânea tem propriedade mais robusta, pois o estado do sistema variante no tempo pode ser determinado instantaneamente em qualquer subintervalo do intervalo de observações [ ilustrado na figura 1.4 a seguir, a partir das observações e das diferenças finitas das observações na saída do sistema.
A observabilidade instantânea é importante, pois as variáveis de estado do sistema podem ter variações rápidas em um subintervalo de tempo muito pequeno dentro do intervalo de observações ) ilustrado na figura 1.4, e assim, poderão ser bem determinadas a partir das observações e das diferenças finitas das observações na saída do sistema. No Apêndice 1.1 apresentamos a discretização do Teorema 1, o qual propõe matematicamente o conceito de observabilidade instantânea. (16)(18)(19)(20)(21)(22)(23)
18
Na literatura de estimação temos observado que uma solução proposta para o vetor de estado x(k) n-dimensional, de um sistema linear, discreto e variante no tempo, tem sido a convolução linear de sequências matriciais discretas envolvendo produtos de matrizes temporais. Há aplicações em que as sequências são muito grandes e por isso são consideradas como infinitas. Esta solução é complexa e muito trabalhosa como pode ser vista em (10)(11)(12).
Por isso, propomos aqui um procedimento de solução mais simples para calcularmos o vetor de estado x(k), o qual será apresentado nas seções seguintes e está baseado nos Teoremas 1 e 2 a serem apresentados neste capítulo. Antes porém, é oportuno lembrarmos que a propriedade observabilidade depende conjuntamente do par de matrizes {A(k), C(k)}, que é observável se os modos observáveis na saída do sistema puderem ser identificados. Como a matriz (k) contém informações sobre o sistema linear, discreto e variante no tempo que são caracterizadas por seus autovalores, então podemos afirmar que os seus autovalores descrevem os modos dinâmicos que podem ser medidos na saída do sistema. A matriz C(k) descreve como os valores dos estados internos do sistema são transferidos para a sua saída, onde as medidas obtidas estão contidas no vetor y(k). Se este sistema variante no tempo pode ser observável, então ele pode ser identificado também. Agora apresentaremos o Teorema 1 utilizando o resultado obtido no Apêndice 1.1.
Teorema 1: (12) Sejam (k) e C(k) matrizes discretas no tempo (k), para k = 0, 1, 2, ...,(n 1) e, que existam (n 1) diferenças finitas para elas. Então, o par de matrizes { (k), C(k)} é plenamente observável no intervalo de tempo ( , se existir um intervalo de tempo finito k, o qual ocorre após o intervalo , de modo que:
[ ] = n (1.11.a) = (k) + (1.11.b)
19
m = 0, 1, 2, ... , (n 1), e
= C(k) (1.11.c)
Prova:
A equação (1.11.a) é a forma geral da matriz de observabilidade instantânea de um sistema linear, discreto e variante no tempo. A equação (1.11.b) é a função geradora de cada bloco desta matriz, que varia desde o valor zero até a ordem do sistema menos um; e a equação (1.11.c) é o bloco inicial da matriz de observabilidade instantânea do sistema.
A prova do teorema concentra-se na hipótese que o sistema linear, discreto e variante no tempo é observável no intervalo de tempo (k), sendo este o (k)-ésimo intervalo de tempo na sequência ilustrada na figura 1.4 a seguir, tal que (k) , , e (k) ocorre após ( para
que seja válida a equação (1.11.a).
| ( ) | ( ) | ( | | ( | ( ) | (k)
Figura 1.4 – Ilustração da sequência de intervalos de tempos discretos
Pelo enunciado do teorema notamos que o vetor de entradas u(k) é nulo. No contexto da álgebra matricial, este par de matrizes { (k), C(k)} é observável quando o posto da matriz da equação (1.11.a) for igual a n no intervalo de tempo (k), sendo n a dimensão do vetor de estado x(k) do sistema ou a ordem do sistema linear, discreto e variante no tempo.
Usaremos a representação ( para o intervalo de tempo discreto , ( para o intervalo de tempo discreto e assim sucessivamente para representar os demais intervalos de tempo discretos, tal que ) + 1, + 1 e assim por diante.
Inicialmente consideramos (k) = de modo que o intervalo de observações das saídas do sistema é ( tal que ocorre após No intervalo de tempo (k) = a equação (1.11.c) pode ser escrita como segue:
20
= C(k)
= C( ) (1.12.a)
A equação (1.12.a) evidencia que a matriz C( ) faz as ligações entre o estado do sistema x( ) e as suas saídas y( . Assim é formado o primeiro bloco da matriz de observabilidade
instantânea do sistema sendo que .
No intervalo de tempo (k) = fazemos m = 0 na equação (1.12.b) para gerar o segundo bloco da matriz de observabilidade, tal que:
= (k) + =[C(k) (k) + C (1.12.b)
= C( ) ( ) + [C (1.12.c)
A equação (1.12.c) evidencia que a matriz faz as ligações entre o estado do sistema x( ) e as suas saídas y( , sendo este o segundo bloco da matriz de observabilidade instantânea
do sistema, de modo que .
No intervalo de tempo (k) = fazemos m = 1 na equação (1.11.b) para gerar o terceiro bloco da matriz de observabilidade, tal que:
= (k) + – ( – ) = C(k) (k) C(k)[2 (k)
– C – [ (k) + (k –1) +C – (1.12.d)
= C( ) ( ) C( ) [2 ( ) – C – [ ( ) + ( –1) +
+ C – (1.12.e)
A equação (1.12.e) evidencia que a matriz faz as ligações entre o estado do sistema x( ) e as suas saídas y( sendo este o terceiro o bloco da matriz de observabilidade instantânea
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No intervalo de tempo (k) = na equação (1.11.b) para gerar o bloco (n 1) da matriz de observabilidade, tal que:
= (k) + (1.12.f)
= ( ) + (1.12.g)
A equação (1.12.g) evidencia que agora a matriz faz as ligações entre o estado do sistema x( ) e as suas saídas y( . Portanto, obtemos o -ésimo bloco da matriz de observabilidade do sistema, sendo que . Ao primeiro termo desta
equação chamamos de observabilidade usual e ao segundo termo chamamos de observabilidade instantânea do sistema entre dois intervalos de tempo discretos contíguos. A observabilidade instantânea entre dois intervalos de tempo discretos é uma diferença finita entre duas matrizes de observabilidade obtidas em intervalos de tempo discretos diferentes e contíguos, a qual indica a tendência dos valores a serem medidos na saída do sistema variante no tempo. Quando esta diferença entre estas matrizes de observabilidade for positiva, significa que os elementos da matriz são maiores do que os elementos da matriz e então a tendência é de crescimento dos valores a serem medidos na saída do sistema.
Como a observação das saídas é feita no intervalo de tempo ( , então a matriz de observabilidade é ( ). Fazendo-se a composição da matriz de observabilidade instantânea do sistema linear, discreto e variante no tempo, a partir do bloco mais os blocos gerados, resulta a matriz dada pela equação (1.12.h) a seguir com n blocos de matrizes:
( ) = [ ] (1.12.h)
A condição para que o posto da equação matricial (1.11.a) seja igual a n é que todos os seus n vetores coluna sejam linearmente independentes.
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A condição a ser obedecida para termos a independência linear de todos os vetores coluna na matriz da equação (1.11.a) é que a equação a seguir aconteça,
⃗⃗ (k) + ⃗⃗ (k) + ... + ⃗⃗ (k) = ⃗⃗
se e somente se os escalares = = ... = = 0, sendo que: ⃗⃗ (k) é o vetor coluna 1 da matriz (k),
⃗⃗ (k) é o vetor coluna 2 da matriz (k),
⃗⃗ (k) é o vetor coluna n da matriz (k).
Assim sendo, supondo que as matrizes ( ) e C( ) são não-singulares, então os seus vetores colunas respectivos são linearmente independentes e (k ocorre após , sendo que suas dimensões foram definidas na seção 1.3.
Observando a equação matricial (1.12.a) notamos que = C( Por conseguinte, seus vetores coluna também são linearmente independentes.
Ao observarmos a equação matricial (1.12.c) notamos pelas considerações anteriores, que seus vetores colunas também são linearmente independentes.
Pela equação matricial (1.12.e) e pelas considerações anteriores, concluímos que seus vetores colunas também são linearmente independentes.
Finalmente a equação matricial (1.12.g) mostra que pelas considerações anteriores seus vetores colunas também são linearmente independentes.
Pelo exposto temos n matrizes empilhadas em formato de coluna, sendo que cada matriz tem a dimensão q x n na equação (1.11.a), cujos vetores colunas são linearmente independentes. Portanto, estas matrizes são consideradas não-singulares.
O posto de cada matriz empilhada na equação (1.11.a) é definido como o número de vetores coluna linearmente independentes. Isto é também igual ao número de vetores linha linearmente independentes. Portanto, como cada uma das matrizes na equação (1.11.a) tem a dimensão q x n, então o seu posto min (nq, n). A dimensão global das matrizes empilhadas é uma matriz de dimensão n.q x n. Como n é o seu número de colunas linearmente
