Parâmetros do Filtro de Kalman e ajuste do ganho do filtro

Cada um dos processos estocásticos de ruídos analisados neste capítulo, que são os ruídos do sistema e de medição, são considerados processos de ruídos brancos com média temporal nula e covariâncias temporal conforme as equações (3.1.a) e (3.1.b) na seção 3.2.

A matriz de covariâncias de ruídos do sistema é difícil de ser obtida, pois não é possível

medir diretamente o vetor de estado, nem a matriz de covariâncias do estado e nem a influência destes ruídos sobre o sistema, cujo estado desejamos estimar. Mesmo assim, consideramos que a matriz tem elementos que são processos de ruídos multivariáveis, aleatórios e Gaussianos. A partir destas hipóteses pudemos estimar os elementos da matriz de covariâncias , e

com ruídos do sistema na seção 3.6.

A matriz de covariâncias dos ruídos de medição pode ser obtida praticamente através de medições na saída do filtro antes do início da operação deste, pois as medições serão realizadas na saída do filtro durante a sua operação. Consideramos aqui que esta matriz tem elementos que são processos de ruídos multivariáveis, aleatórios e Gaussianos.

A consideração que a matriz de covariâncias de cada um destes processos de ruídos tem elementos que são processos multivariáveis, aleatórios e Gaussianos, possibilita considerá-las como parâmetros do filtro de Kalman. Supondo que podemos obter um conjunto de valores

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diferentes entre si para a matriz , então podemos ajustar o desempenho do filtro em função destes valores. Também, supondo que podemos obter um conjunto de valores diferentes entre si para a matriz , então podemos ajustar o desempenho do filtro em função destes valores também.

Sob as condições que são matrizes com elementos que são processos já especificados, então pelas equações (3.51) visualizamos que estas matrizes contribuem para que o ganho do filtro de Kalman (k) tenha valores sujeitos à influência de ruídos. Esta situação irá requerer o ajuste do ganho deste filtro.

O valor deste ganho é diretamente proporcional às matrizes (k), B(k), C(k) e D(k), que são variantes no tempo e foram definidas no Capítulo 1.

Além destas considerações o Ganho do filtro de Kalman indica quanto a inovação In(k) deve ser usada para corrigir a predição de estado anterior ̂ e obter a nova predição de estado ̂ conforme vimos no Lema 4 e na seção 3.3.4.1.

Sob as condições que são matrizes com elementos que são processos especificados, então podemos inferir que estas matrizes contribuem para que a matriz de covariâncias de erros de estimação do estado ( tenha valores influenciados pelos processos dos ruídos citados, conforme a equação (3.35). Nas figuras 3.5, 3.7 e 3.9 visualizamos os efeitos dos processos de ruídos sobre os elementos desta matriz de covariâncias do sistema. Assim sendo, o ganho do filtro de Kalman também receberá estes efeitos ao longo dos intervalos de tempo (k). Na figura 3.2, ítem 7) pudemos constatar que o ganho do filtro de Kalman é atualizado em cada intervalo de tempo (k), sendo a seguir utilizado para a atualizar o vetor do estado estimado em cada intervalo de tempo (k), que é o valor filtrado do vetor de estado conforme a equação (3.49.b). Pelo item 9) desta figura, o ganho do filtro de Kalman é utilizado também para atualizar a matriz de covariâncias de erro de estimação em cada intervalo de tempo (k), que é o valor filtrado desta matriz conforme a equação (3.52.b). Como este algoritmo de estimação e atualização recursiva é o filtro de Kalman, ele reduz o efeito de ruídos em cada valor estimado do estado ao multiplicar a inovação obtida da observação na saída do sistema pelo ganho do filtro. O ganho do filtro de Kalman recebe a influência dos processos de ruídos e e

reflete esta influência na precisão relativa do estado futuro a ser estimado ̂ , contra a nova observação medida na saída do sistema y(k). (85)(86)

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Ao fazermos a substituição das soluções da equação de Ricatti (3.61), (3.63) e (3.65) na equação (3.51.b), e considerando as equações de ruídos de medição e ruídos do sistema conforme a equação (3.39) do Lema 5, obtemos a equação matricial discreta para o Ganho do Filtro de Kalman, conforme a equação (3.67) a seguir:

[ ] = [ ] [ ][ [ ] [ ] ] (3.67) Utilizando um aplicativo computacional na equação (3.67) obtemos o gráfico do elemento da matriz ganho do filtro, conforme ilustra a figura 3.10 a seguir: Figura 3.10 – Função discreta para o Ganho do Filtro de Kalman (k) [com ruído de medição com variância ] em função do tempo (k)..

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Interval de tempo (k) Gk11(k)

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Há publicações que consideram os ruídos e os parâmetros no sistema quase-constantes (87)(88)(89), de modo que o ganho do filtro tenha um comportamento transitório inicial e a seguir tenha a tendência de estabilizar-se em um valor de regime ao longo do tempo. Em nosso trabalho os ruídos de medição e do sistema são brancos e têm distribuições de probabilidade Gaussianas, bem como os parâmetros do sistema são variantes no tempo por hipótese. Por isso, observamos na figura 3.10 que o comportamento do componente (k) é uma função temporal não constante que oscila em torno do valor unitário, o que

caracteriza que este estudo apresenta uma proposta mais geral neste sentido. Notamos também na figura 3.10 que as curvas do ganho do Filtro de Kalman são praticamente coincidentes para todos os valores dos elementos da matriz de covariâncias e nelas estão representadas as influências das covariâncias ,

e . no elemento (k) da matriz ganho do filtro.

Quando não há ruídos na medição na saída do sistema, então o gráfico do Ganho (k) pode ser

ilustrado pela figura 3.11 a seguir:

Figura 3.11 – Função discreta para o Ganho do Filtro de Kalman (k) sem ruído de medição, em função do tempo (k). 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Intervalo de tempo (k) Gk11(k)

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Utilizando um aplicativo computacional na equação (3.67) obtemos o gráfico do elemento

da matriz ganho do filtro, conforme ilustra a figura 3.12 a seguir:

Figura 3.12 – Função discreta para o Ganho do Filtro de Kalman [com ruído de medição com covariância em função do tempo (k).

Além das considerações feitas sobre a figura 3.10, podemos observar na figura 3.12 que o comportamento do componente (k) é uma função temporal não constante, o que caracteriza também que este estudo

apresenta uma proposta mais geral em relação às publicações (83)(84). Notamos também na figura que as curvas do ganho do Filtro de Kalman são praticamente coincidentes para todos os valores dos elementos da matriz de covariâncias e nelas estão representadas as influências das covariâncias ,

e .no elemento (k) da matriz ganho do filtro. Estas apresentam um suave decaimento

nos intervalos de tempo (k) iniciais e que se estabilizam em torno de um valor muito pequeno ao longo do tempo.

Se não houver ruídos na medição na saída do sistema, então o gráfico do Ganho (k) pode ser

ilustrado pela figura 3.13 a seguir:

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Intervalo de tempo (k) Gk21(k)

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Figura 3.13 – Função discreta para o Ganho do Filtro de Kalman (k) sem ruído de medição, em função do tempo (k).

Notamos que os gráficos ilustrados nas figuras 3.12 e 3.13 são praticamente os mesmos, de modo que os ruídos de medição não afetam de modo visível esta componente da matriz de Ganho do Filtro de Kalman, devido às características da matriz C(k) que atenua este ganho ao longo do tempo (k).

3.8. Conclusões

O vetor de estado de um sistema multivariável, linear, discreto, estocástico e variante no tempo é a dimensão menor que resume melhor o histórico do sistema, e este estado é um processo de Markov, conforme vimos na seção 3.3.

A análise do filtro de Kalman construído e representado pelo Teorema 1 fornece uma compreensão melhor deste filtro quando aplicado ao sistema especificado acima. Isto é

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Intervalo de tempo (k) Gk21(k)

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compreensível, pois além das equações do filtro serem multivariáveis, lineares, discretas, estocásticas e variantes no tempo, elas contém também outros elementos como os ruídos do sistema, os ruídos de medição e a presença do vetor de entradas influenciando as inovações na saída do sistema conforme as equações do Teorema 1.

A prova do Teorema 1 é decorrência da prova de cada um dos seis Lemas desenvolvidos no capítulo, que culminaram na construção do filtro ótimo de Kalman. As equações que representam este filtro formam um algoritmo recursivo de cálculo do ganho do filtro, atualização do vetor de estado do sistema e atualização da matriz de covariâncias de erro do estado do sistema.

O processo estocástico de inovação representado pelo vetor In(k) é um processo estocástico Gaussiano com média zero e matriz de covariâncias dadas no Lema 4. Este processo é a entrada do processo de filtragem. Pelo Lema 6 vimos que a filtragem é a estimação ótima para o intervalo de tempo (k) calculada com base na última medida obtida no intervalo de tempo (k), daí a razão para escrever-se ̂ ( ( respectivamente para a matriz ganho do filtro de Kalman filtrada, para o vetor de estado estimado filtrado e para a matriz de covariâncias de erro de estimação filtrada.

A solução do Filtro de Kalman é o vetor da estimativa filtrada ̂(k | k) e a matriz de covariâncias do erro de estimação filtrada (k | k). Esta estimação é não tendenciosa, conforme demonstrado pelo Lema 3.

O Teorema 2 é decorrência do Teorema 1, pois utiliza as equações de covariâncias e do ganho do Filtro de Kalman para construir a equação matricial discreta de Ricatti. A aplicação do Teorema 2 para um sistema de ordem dois mostrou que a solução da equação discreta matricial de Ricatti são os elementos da matriz de covariâncias do erro de predição do estado do sistema variante no tempo em estudo. Cada elemento da solução desta equação possibilitou visualizar o comportamento das variâncias e covariâncias sem ruídos e com ruídos. Assim sendo, o ganho do filtro de Kalman também recebeu estes efeitos ao longo dos intervalos de tempo (k). A matriz ganho do filtro de Kalman foi determinada a partir da esperança matemática do produto de vetores de inovação conforme o Lema 4, como pudemos ver na seção 3.3.4.1.

O ganho do filtro de Kalman foi afetado pelas matrizes variantes no tempo definidas no capítulo 1 e pelos processos de ruídos e definidos neste capítulo 3, os quais podem ser

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modelados matematicamente, a fim de possibilitar o ajuste da estabilidade deste ganho ao longo dos intervalos de tempo (k).

Quando a variância dos processos de ruídos tem limites estabelecidos matematicamente, como fizemos nesse caso, então pudemos observar o efeito destes processos na estabilidade da matriz de covariâncias de erro de predição do estado.

Em um cenário mais amplo o filtro de Kalman com esta configuração pode ter muitas aplicações e dentre elas está um processo computacional, que ocorre dentro de um computador. Este filtro será utilizado em uma aplicação deste tipo no capítulo 4.

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