Capítulo 3. Construção do Filtro de Kalman Aplicado em Sistemas Lineares, Discretos,
3.4. Teorema 1 do filtro ótimo de Kalman – Sistemas variantes no tempo
Isto prova a equação (3.42). Na equação acima o termo à esquerda da igualdade é a matriz de covariâncias de erro filtrada ( tal que ( . cqd
A matriz de covariâncias de erro filtrada ( é considerada matriz definida positiva. O objetivo da filtragem é prover a estimativa ótima ̂( do estado do sistema estocástico variante no intervalo de tempo (k), sendo dada a última medição neste intervalo. Quando houver uma nova medida disponível em outro intervalo ( ), tal que ( ocorre após (k), então o filtro
de Kalman processará esta nova medida e calculará a estimativa ótima ̂( ) filtrada para o novo intervalo ( . Filtragem é a estimação para o intervalo de tempo (k), calculada com base na última medida obtida neste intervalo (k), daí a razão para escrever-se ̂( , ( e ( ) respectivamente para o vetor de estado estimado, para a matriz de covariâncias e para o ganho filtrados.
3.4. Teorema 1 do Filtro Ótimo de Kalman - Sistemas Variantes no Tempo
Teorema 1: (31) Consideremos as equações (3.17.a), (3.17.b) e (3.17.c) para o sistema linear, multivariável, discreto, estocástico e variante no tempo, renumeradas aqui como (3.45),(3.46) e (3.47):
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x(k+1) = (k) x(k) + B(k) u(k) + E(k) (k) (3.45)
y (k) = C(k) x(k) + D(k) u(k) + F(k) (k) (3.46)
= [
] – (3.47)
e consideremos dadas as condições iniciais do Filtro de Kalman,
̂(0) = E[x(0)] = , ( = E[x(0) ] (3.48)
Então o algoritmo do Filtro de Kalman (Filtro de Kalman) para este sistema é dado pelas equações gerais (3.49) a (3.52) a seguir, que são calculadas para (k) = 0, 1, 2, ... :
1)Equações do filtro para predição de estado futuro e filtragem:
̂(k ) = (k) ̂ + B(k)u(k) + (k) In(k) (3.49.a)
̂(k | k) = ̂ (k) + (k | k) In(k) (3.49.b)
2)Processo de inovação:
(k) = y(k) C(k) ̂ D(k) (k) = C(k) – ̂ F(k) (3.50) 3)Ganho do filtro e ganho filtrado:
(k) = [ (k) (3.51.a)
(k | k) = ( (3.51.b)
133 ( = [ (k) – (k)C(k)] ( – + ( + ( – ̃ (k) – ̃ (3.52.a) ou ( = (k) ( – (k)C(k) ( + + [ (k)[C(k) ( ( + – (k) ( + ( – ̃ (k) – ̃ ( = ( ( ( (3.52.b)
Prova. Segue-se que a partir dos Lemas apresentados e provados para o sistema de equações
(3.17.a), (3.17.b) e (3.17.c) e ilustrado na Figura 3.1 temos a seguinte prova:
1) A partir da prova da equação (3.34) que é a estimativa da predição de um passo à frente do
Lema 5, temos a prova da equação (3.49.a).
2) Pela equação (3.40) referente ao vetor de estado estimado e filtrado, que foi provada no
Lema 6, temos a prova da equação (3.49.b).
3) No Lema 4 o processo estocástico de inovação foi definido pela equação (3.22) e desdobrado matematicamente resultando na equação (3.24), a qual é a prova da equação (3.50).
4) As análises do primeiro e do segundo termos que são multiplicados entre si na equação (3.30), resulta na equação (3.33) que é o ganho do filtro de Kalman. Esta é a prova da equação (3.51.a). 5) No Lema 6 foi desenvolvida a prova das equações (3.40), (3.41) e (3.42) referentes ao processo de filtragem de Kalman, a qual consequentemente resulta na prova da equação (3.51.b) que é o ganho filtrado de Kalman.
6) No Lema 5 a prova da equação (3.35) é obtida a partir da esperança matemática aplicada ao produto escalar do vetor de erro de predição do estado pelo seu veto r transposto, ou seja,
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E [ ̃ ̃ ]. O resultado é a matriz de covariâncias de erros de predição do estado, que prova a equação (3.52.a).
7) No Lema 6 temos a prova que a matriz de covariâncias de erros filtrada é dada pela equação (3.42), que prova a equação (3.52.b).
8) As condições iniciais são definidas no Lema 5 e representadas pela equação (3.48). Assim está provado o Teorema de Kalman para o filtro ótimo no sentido da média dos erros mínimos quadrados. cqd
O algoritmo Filtro de Kalman é complexo e ao mesmo tempo flexível, pois além do vetor de estado do sistema x(k) ser multivariável, linear, discreto, estocástico e variante no tempo, o algoritmo pode ser composto pela matriz de transição de estado do sistema (k) variante no tempo, como também por um vetor de entradas determinístico ou aleatório u(k), por ruídos do sistema e de medição Neste trabalho consideramos que o vetor u(k) é determinístico. O vetor de entradas u(k) ao afetar o vetor de saídas y(k) do sistema, afeta instantaneamente as medidas no intervalo de tempo (k), e assim afeta a evolução do estado do sistema. (74)
A Figura 3.2 a seguir ilustra as etapas para o processamento do algoritmo Filtro de Kalman para a predição de estado aplicado ao sistema em estudo, bem como apresenta a equação associada a cada etapa. O termo “a priori” utilizado a seguir significa a estimativa do vetor de estado e da matriz de covariâncias do erro de predição feitas antes da obtenção da medida na saída do sistema. Enquanto que o termo “a posteriori” significa que estas estimativas foram corrigidas considerando o vetor y(k), com a última medida obtida na saída do sistema e o vetor de inovações.
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Etapas Fundamentais do Algoritmo Filtro de Kalman
1) Equações do sistema linear, discreto, estocástico e variante no tempo – Equações (3.17)
2) Condições iniciais do filtro ou Inicialização do filtro – Equação (3.48)
3) Processamento da matriz Ganho do Filtro de Kalman antes da medida na saída do sistema – Equação (3.51.a)
4) Processamento da matriz de covariâncias do erro de predição antes da medida na saída do sistema (estimativa “a priori”) – Equação (3.52.a)
5) Processamento do vetor predição do estado antes da medida na saída do sistema (estimativa “a
priori”) – Equação (3.45)
6) Obtenção do vetor de medida na saída do sistema e processamento do vetor de inovações – Equação (3.50)
7) Filtragem da matriz Ganho do Filtro de Kalman considerando a medida na saída do sistema – Equação (3.51.b)
8) Filtragem do vetor do estado considerando a medida na saída do sistema (estimativa “a posteriori”) – Equação (3.49.b)
9) Processamento da matriz de covariâncias de erro do estado considerando a medida na saída do sistema (estimativa “a posteriori”) – Equação (3.52.b)
10) Teste: O intervalo de tempo (k) é maior do que o limite superior pré-estabelecido para ele?
Se não for maior: 11) Incrementar o intervalo de tempo (k) de uma unidade e ir para a etapa 3.
Se for maior: 12) Finalizar o processamento do Filtro de Kalman.
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A Figura 3.3 a seguir ilustra um diagrama de blocos do filtro ótimo de Kalman com três partes: o diagrama de blocos referente ao processo de Predição do estado (equação 3.49.a) que está circunscrito pela linha tracejada --- , o diagrama de blocos referente ao processo de Filtragem da predição de estado (equação 3.49.b) que está circunscrito pela linha com traçoe ponto _._._. e o diagrama não circunscrito que refere-se ao processo de Inovação (equação 3.50).
u(k) u(k) D(k) B(k) (k | k) y(k) In(k) (k) + + ̂ (k+1) ̂ (k) ̂ (k) + + ̂ (k | k) + (k) C(k)
Figura 3.3 – Diagrama de blocos com os processos de predição e filtragem do filtro de Kalman
Notar que o diagrama de blocos que representa o processo de Inovação é a entrada dos processos de Predição e Filtragem, o que evidencia a influência do processo de Inovação sobre estes dois processos. Notamos que o vetor u(k) acoplado à entrada do sistema através da matriz B(k), também está acoplado à saída do sistema através da matriz D(k). Neste contexto, o vetor de controle ou de entradas influencia o funcionamento do sistema, bem como o vetor de medidas na sua saída y(k) conforme vimos inicialmente na equação (1.9.b) do capítulo 1.
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