Aplicação numérica das equações de propagação

Seja um sistema de segunda ordem caracterizado pelas suas matrizes discretas e variantes no tempo a seguir: (11)(65)

(k) = [

] B(k) = [ ]

Vimos no Capítulo 1, Teorema 2, que o sistema representado pelas matrizes (k) e (k) tem solução para o vetor de estado e que esta solução é única. Iremos determinar o vetor de médias temporais e a matriz de covariâncias temporais do estado do sistema, baseando-nos nas condições iniciais a seguir:

E [x(0)] = [

] , (0)] = [ ] São dados também:

E(k) = [

] , u(k) = 1

Então a equação de estado do sistema pode ser escrita na forma da equação (2.95) a seguir,

̂ = E [ (k) x(k)] + E [B(k) u(k)] + E[E(k) (k)]

̂ = E [[

] (k)] + E [[ ] u(k)] + [

] (k)] (2.95)

Na equação (2.95) vemos no terceiro termo da soma matricial a representação matemática do processo de ruídos brancos com função de densidade de probabilidade Gaussiana, o qual foi adicionado ao vetor de estado do sistema, conforme o modelo matemático proposto na seção 2.8.2. pelas equações (2.82) a (2.88).

A equação (2.96) a seguir mostra a matriz de covariâncias do estado do sistema, a qual pode ser escrita na forma,

96 ̂ = [ ] ̂ [ ] [ ] [ ] (2.96) Esta equação é chamada de equação de Lyapunov para tempo discreto, onde vemos no segundo termo da soma matricial a representação matemática do processo de ruídos brancos com função de densidade de probabilidade Gaussiana, o qual foi adicionado à matriz de covariâncias do estado do sistema conforme o modelo matemático proposto na seção 2.8.2. pelas equações (2.82) a (2.88). As equações (2.95) e (2.96) descrevem respectivamente como o vetor de médias e a matriz de covariâncias se comportam ao longo do tempo (k).

Utilizando um aplicativo computacional na equação (2.95), a partir das condições iniciais do vetor de médias obtivemos a figura 2.8 a seguir, a qual mostra a propagação dos componentes do vetor de médias temporais do estado do sistema com influência de ruídos brancos. Os ruídos do sistema são considerados ter distribuição Gaussiana de probabilidade com média zero e variância igual a um.(66)(67)

Figura 2.8 - Propagação do vetor de médias do estado do sistema com ruídos

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

Intervalo de tempo (k) segundo E[x(k)]

E[x1(k)] Elemento 1 de x(k) E[x2(k)] Elemento 2 de x(k)

97

Notamos que o componente E[ (k)] = ̂ (k) tem pequena variação em torno do valor um e meio nos intervalos de tempo iniciais (k), enquanto que o componente E[ (k)] = ̂ tem variação maior nos intervalos de tempo iniciais. Após o intervalo de tempo (k) = 10 há pequenas variações de amplitude dos componentes do vetor de estado. Assim sendo observamos que há convergência de valores na propagação de cada componente do vetor de média temporal x(k), indicando estabilidade do modelo matemático adotado.

A seguir vemos o gráfico da propagação das médias temporais sem ruídos do sistema, que é a equação (2.95) sem o último termo.

Figura 2.9 - Propagação do vetor de médias do estado do sistema sem ruídos

Notamos na figura 2.9 que as curvas dos elementos do vetor de médias têm propagação alternada sem distorções ao longo dos intervalos de tempo (k).

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

Intervalo de tempo (k) segundo E[x(k)]

E[x1(k)] Elemento 1 de x(k) E[x2(k)] Elemento 2 de x(k)

98

Utilizando um aplicativo computacional na equação (2.96) obtivemos a figura 2.10 a seguir, a partir das condições iniciais da matriz de covariâncias.

Figura 2.10 - Propagação da matriz de covariâncias do estado do sistema com ruídos

A Figura 2.10 mostra os elementos da matriz de covariâncias temporais com ruídos do sistema, o qual é considerado ter distribuição Gaussiana de probabilidade com média zero e variância igual a um. Observamos na figura o efeito dos ruídos do sistema sobre os elementos _̂ (k), _̂ (k) e _̂ (k) = _̂ (k) da matriz de covariâncias. O elemento _̂ (k) é a função variância da variável de estado , o elemento _̂ (k) é a função covariância entre as variáveis de estado e (k). O elemento _̂ (k) é a função variância da variável de estado (k). Observamos que há estabilidade na propagação de cada elemento da matriz de covariâncias do

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -15 -10 -5 0 5 10 15

Intervalo de tempo (k) segundo Kx (k)

Kx11r (k) Kx22r (k) Kx12r(k)=Kx21r

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estado do sistema, pois a amplitude deles se mantém dentro de um intervalo constante de amplitudes, indicando estabilidade do modelo matemático adotado.

Abaixo o gráfico da propagação dos elementos d matriz d covariâncias sem ruídos do sistema, que é a equação (2.96) sem o último termo.

Figura 2.11 - Propagação da matriz de covariâncias do estado do sistema sem ruídos

As funções temporais das covariâncias partem das condições iniciais e atingem valores estáveis no intervalo (k) = 2. Após este intervalo de tempo os valores ficam quase constantes ao longo do tempo e convergem.

Há convergência das funções do vetor média temporal e da matriz de covariâncias temporal ao longo do tempo, para os valores apresentados pelas equações (2.97) e (2.98) a seguir. O vetor de médias temporais atinge o regime permanente para valores de (k) muito grandes. Quando ̂(k+1) = ̂(k) podemos calcular o valor de regime pela equação (2.97):

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

Intervalo de tempo (k) segundo Kx (k)

Kx11 (k) Kx22 (k) Kx12 (k)

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E[x(k+1)] = E[x(k)] = E[B(k) u(k)] + E[E(k) (k)] = [ ] (2.97)

A matriz de covariâncias temporais atinge o regime permanente para valores de (k) muito grandes. Quando ̂(k+1) = ̂(k) podemos calcular o valor de regime pela equação (2.98):

̂ (k) = ̂ + (2.98) ̂(k) [ ̂ _̂ ̂ ̂ ] [ ]

Lembramos que as matrizes e têm elementos que são funções temporais que pertencem ao domínio Real. A matriz (k) é BIBO estável, conforme vimos na seção 1.4. A matriz é definida positiva, pois a matriz E(k) é positiva e o ruído branco é uma função temporal com média nula e limitada pela sua variância finita igual a um. Por isso, a matriz de covariâncias ̂(k) tem uma solução única para o regime permanente que é positiva e definida.

2.9. Conclusões

Apresentamos os fundamentos teóricos do filtro de Kalman para sistemas multivariáveis, lineares, discretos, estocásticos e variantes no tempo, os quais são construídos sobre sistemas estocásticos e o método de estimação da média dos mínimos erros quadrados ponderados. Estes fundamentos estão baseados estatisticamente no espaço de probabilidade de Komolgorov variante no tempo.

O método de estimação do estado do sistema pela média dos mínimos erros quadrados ponderados apresentado considerou que, as medidas observadas na saída do sistema foram contaminadas por um processo de ruído branco aleatório Gaussiano, com média nula e variância conhecida. Foi considerado também que este processo de ruído branco não está auto- correlacionado no tempo, considerando um intervalo discreto no tempo (k) em relação ao intervalo de tempo seguinte (k+1).

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O modelo matemático de sistemas multivariáveis, lineares, discretos, estocásticos e variantes no tempo proposto na seção 2.8.2 contém matrizes com elementos, que são funções temporais determinísticas, bem como matrizes e vetores com elementos estocásticos definidas no domínio Real. Podemos compreender as características deste modelo matemático em um sentido mais amplo a seguir, através de sua análise e conclusões.

As matrizes B(k) e C(k) conectam as entradas de controle ao sistema e o sistema às saídas respectivamente, onde estão os sensores de medidas que as armazenam no vetor y(k). O produto da matriz A(k) do sistema com o vetor de estado estimado ̂(k) contém a projeção deste vetor sobre esta matriz, que evidencia a propagação do estado do sistema ao longo dos intervalos de tempo (k). A matriz D(k) faz as ligações entre as entradas e as de saídas diretamente. As matrizes E(k) e F(k) conectam os processos de ruídos brancos Gaussianos ao sistema e às suas saídas respectivamente, e estes processos não são correlacionados entre si. Os elementos do vetor u(k) são considerados como determinísticos.

O modelo também contém elementos estocásticos nas matrizes , , bem como nos vetores y(k), x(k), (k) e (k). O vetor y(k) contém as medidas na saída do sistema contaminadas pelo processo de ruídos na medição (k). Como consequência disto o vetor de estado estimado ̂(k) contém os elementos do estado do sistema afetados pelo ruído de medição pela matriz (k). O processo de ruído branco Gaussiano é acrescentado à dinâmica do sistema.

O estado do sistema linear, discreto, estocástico e variante no tempo é representado por um vetor de média temporal e uma matriz de covariâncias temporais, que foram calculados no exemplo de aplicação na seção 2.8.4. O vetor de média temporal = ̂ está representado matematicamente pela equação de propagação do estado do sistema ao longo dos intervalos de tempo (k). Neste exemplo o modelo matemático do vetor de estado é estável e alcança o regime permanente.

Os fundamentos teóricos e o modelo matemático do sistema desenvolvidos neste capítulo serão utilizados para a construção do filtro de Kalman no domínio tempo no Capítulo seguinte.

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