Capítulo 2. Fundamentos Teóricos do Filtro de Kalman aplicado em Sistemas Lineares,
2.4. Vetores de variáveis aleatórias discretas
A representação de n variáveis aleatórias como um vetor possibilita ter uma notação compacta para as seguintes distribuições das funções: massa de probabilidade conjunta, probabilidade acumulada conjunta, densidade de probabilidade conjunta, probabilidade marginal e probabilidade condicional.
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Um vetor de uma variável aleatória discreta x é uma função que atribui um vetor de números reais para cada evento do espaço de probabilidade experimento aleatório. A notação adotada para o vetor de variáveis aleatórias é em letra minúscula em negrito x, sendo este um vetor coluna com n linhas e uma coluna, conforme (2.30),
x = [ ] (2.30)
Os valores reais do vetor de variáveis aleatórias terão a notação x = ( ̅ , ̅ , ... , ̅ ), de modo que ̅ corresponde ao valor da variável .
Assim x e y podem ser duas variáveis aleatórias e x e y podem ser dois vetores aleatórios definidos no mesmo espaço de probabilidade (
Aplicações da teoria da probabilidade na vida real envolvem o uso de probabilidades conjunta e condicional, as quais possibilitam a determinação do tipo de distribuição de probabilidade e o cálculo da média de variáveis aleatórias, bem como o cálculo da média de um vetor aleatório. Dadas as variáveis aleatórias x e y ou os vetores aleatórios x e y, a função de distribuição conjunta de probabilidade é uma função de duas variáveis reais ou dois vetores representados pela equação (2.31)
(x, y) = F(x, y) = P(x ̅ , y ̅)
ou
(x, y) = F(x, y) = P(x ̅ , y ̅) (2.31),
A função de probabilidade condicional está associada ao valor dado da variável aleatória x = ̅, sendo que procuramos obter o valor da outra variável aleatória y conforme (2.32),
p(y | x) = P{y = ̅| X = ̅} = ̅ ̅
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2.4.1. Distribuições Conjunta e Condicional de Probabilidade de um Vetor de
Variáveis Aleatórias Discretas
Cada evento aleatório A associado a um vetor de variáveis aleatórias x = ( , ... , ) tem uma região correspondente no espaço real n-dimensional . Ao observarmos resultados simultâneos referentes às variáveis aleatórias ( , ... , ), é necessário considerarmos a distribuição de probabilidade multivariável envolvendo estas variáveis.
A função de distribuições acumuladas conjuntas das variáveis aleatórias discretas , , ... , é definida como a probabilidade de um retângulo n-dimensional associado ao ponto
( ̅ , ̅ , ... , ̅ ) de acordo com a equação (2.33),
(x) = = P[ ̅ ̅ , ... , ̅ ] (2.33)
A função da equação (2.33) é definida para variáveis aleatórias do tipo discretas e mistas. Esta equação também gera um conjunto de funções de distribuições acumuladas marginais para subconjuntos de variáveis aleatórias dentre as variáveis , , ... , .
A função massa de probabilidade conjunta para n variáveis aleatórias discretas é definida por,
(x) = ( , , ... , ) = P[ ̅ ̅ , ... , ̅ ]
A probabilidade de um evento aleatório A n-dimensional é calculada pela somatória das funções massa de probabilidade de todos os pontos no evento, conforme a equação (2.34),
P[ X em A] = ∑ ∑ ̅ ̅ ̅ (2.34)
A função massa de probabilidade conjunta gera subconjuntos de funções massa de probabilidade marginais para as n variáveis aleatórias discretas. Assim sendo, o cálculo da função massa de probabilidade marginal para uma variável aleatória discreta é feito ao realizar a somatória das funções massa de probabilidade das outras variáveis , ... , a seguir, de acordo com a equação (2.35),
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A função massa de probabilidade condicional conjunta gera subconjuntos de funções massa de probabilidade condicional para as n variáveis aleatórias discretas. O cálculo da função massa de probabilidade condicional, para uma variável aleatória discreta considerando que as probabilidades das outras variáveis , ... , são dadas, é feito pela equação (2.36) a seguir:
( | =
̅ ̅ ̅
̅ ̅ (2.36) Vetores aleatórios e matriz de covariâncias de variáveis aleatórias serão utilizados no capítulo seguinte na construção do filtro de Kalman para sistemas discretos variantes no tempo. Os erros de estimação ótima abordados na seção 2.2.2.1 são sequências aleatórias e o problema dos mínimos quadrados para cada variável aleatória discreta é equivalente a maximizar a função massa de probabilidade condicional desta variável. (32)(33)(44)(45)(46)(47)(48)
2.5. Momentos de um Vetor de Variáveis Aleatórias Discretas
A média, a variância e a covariância fornecem informações importantes que possibilitam identificar plenamente a distribuição de uma variável aleatória, bem como distribuições com n-variáveis aleatórias através do primeiro momento, que é o valor esperado ou a média do vetor aleatório e do segundo momento que é a matriz de covariâncias.
2.5.1. Valor Esperado de um Vetor de Variáveis Aleatórias Discretas
Dado o vetor de variáveis aleatórias x(k) = o primeiro momento é o vetor média ou vetor do valor esperado, definido pela equação (2.37) como o vetor coluna dos valores esperados dos componentes de x(k):
= E [x] = E [ ] = [ ] (2.37)
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2.5.2. Matrizes de Correlação e Covariâncias de Vetores Aleatórios Discretos
Vimos na seção 2.3.1 como podemos calcular a correlação entre duas variáveis aleatórias x e y. Quando variáveis aleatórias são componentes de um vetor aleatório conforme definido na seção 2.4, podemos também calcular a correlação entre cada par destes componentes. Para simplificar a notação nas equações nesta seção, a seguir iremos suprimir o índice k das variáveis e vetores aleatórios. A matriz de correlação a seguir, contém os segundos momentos do vetor aleatório x e suas entradas, conforme a equação matricial (2.38):= [
]
(2.38)sendo que,
é a auto-correlação da variável aleatória ,
é a correlação entre as variáveis aleatórias ,
é matriz simétrica de dimensão n x n.
A matriz de covariâncias a seguir contém os momentos centrais de segunda ordem e suas
entradas, sendo definida pela equação (2.39):
= [
[
]
[
]
]
(2.39)A matriz é simétrica de dimensão n x n e seus elementos diagonais são as variâncias dos
elementos do vetor x, as quais são variáveis aleatórias.
Se os elementos desta matriz são não-correlacionados, isto significa que as variáveis aleatórias ... , são independentes, e então os elementos que estão fora da diagonal principal de são nulos, COV ( , ) = 0 para i j. Neste caso, torna-se matriz diagonal com os valores
das variâncias. Este resultado é importante e será utilizado no Capítulo 3 durante a construção do filtro de Kalman para sistemas variantes no tempo.
Se o vetor tiver todos os seus elementos iguais a zero, então teremos as matrizes de
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Se fizermos a multiplicação dos vetores aleatórios x obteremos uma matriz n x n cujos
elementos são momentos de segunda ordem. Se definirmos que o valor esperado de uma matriz é igual à matriz dos valores esperados de cada um de seus elementos, então a partir disto podemos escrever a matriz de correlação da equação (2.38) como:
E [x =
[
]
A matriz de covariâncias pode então ser escrita na forma a seguir:
= E [(x
= E [x E [ E [x] +
= – +
= –
Inserindo o índice de tempo discreto (k) na equação acima temos a equação (2.40),
(k) = (k) – (k) (2.40)
O Coeficiente de Correlação temporal do vetor aleatóriox(k) = é dado pela equação (2.41) a seguir: = = [ ] – , para i j (2.41)
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