Resumo do cálculo estocástico –Aplicação em sistemas lineares, discretos, estocás-

Dentre as propostas apresentadas para o cálculo diferencial e integral estocástico há aquelas apresentadas por Kiyoshi Itô e por Ruslan Stratonovich, as quais são as mais precisas e fundamentalmente iguais.

Seja o vetor x(t) com informações do estado de um sistema dinâmico contendo ruídos, o qual é um processo estocástico n-dimensional contínuo no tempo, tal que [a, b] e para qualquer e temos que a b. Então, podemos escrever a equação integral estocástica (2.78.a):

x( ) = x( ) + ∫ dt + ∫ (t) (2.78.a)

a qual é definida no espaço de tempo discreto pela equação (2.78.b) como,

x( ) = x( ) + ∑ + ∑ (2.78.b)

(k)T < t < (k +1)T, k = 0, 1, 2, ..., n

sendo que,

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é uma sequencia de matrizes do sistema com elementos, que são funções discretas determinísticas no intervalo de tempo (k) definida no Capítulo 1,

é uma sequência do vetor de estado do sistema definido no Capítulo 1, = [(k +1) – é incremento discreto de tempo,

é uma sequencia de matrizes que acopla ruídos ao sistema com elementos que são funções discretas determinísticas no intervalo de tempo (k),

( ) é um processo de ruídos do sistema com distribuição de probabilidade Gaussiana discreta no tempo, tal que = )],

é um incremento finito do processo de ruídos do sistema. Este ruído é considerado branco.

Seja o vetor y(t) com informações observadas e medidas na saída de um sistema dinâmico contendo ruídos, o qual é um processo estocástico n-dimensional contínuo no tempo, tal que [a, b] e para qualquer e temos que a b. Então, podemos escrever a equação integral estocástica (2.79.a):

y( ) = y( ) + ∫ dt + ∫ d (t) (2.79.a)

a qual é definida no espaço de tempo discreto pela equação (2.79.b) como,

y( ) = y( ) + ∑ + ∑ (2.79.b)

sendo que,

é uma sequencia de matrizes de sensibilidade de medição na saída do sistema com elementos, que são funções discretas determinísticas no intervalo de tempo (k) definida no Capítulo 1,

é uma sequência do vetor de medidas na saída do sistema definido no Capítulo 1, = [(k +1) – é incremento discreto de tempo,

é uma sequencia de matrizes que acopla ruídos de medição às medidas com elementos, que são funções discretas determinísticas no intervalo de tempo (k),

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( ) é um processo de ruídos de medição com distribuição de probabilidade Gaussiana discreta no tempo, tal que = )]

é um incremento finito do processo de ruídos de medição. Este ruído é considerado branco.

As equações (2.78.b) e (2.79.b) representam matematicamente e respectivamente a soma de dois processos estocásticos, cujos resultados são processos estocásticos também, conforme a propriedade 2 na seção 2.7.6.

As matrizes e os vetores x( ) e y( ), bem como os vetores ( ) e são similares àqueles definidos nas seções 1.2, 1.3 e 2.8.1 respectivamente. A diferença ou incremento estocástico envolvendo os vetores x( ) e y( ) podem ser escritas conforme as equações (2.80) a seguir:

x = x( ) = x( ) + (k) (2.80.a)

y = y( ) = x( ) + (k) (2.80.b)

A característica essencial do incremento estocástico nas equações (2.80) é que os produtos x( ) e (k) são dependentes e que esta dependência não deve ser antecipativa. Considerações análogas são aplicáveis aos produtos x( ) e (k).

Em outras palavras, a dependência é em relação aos valores presentes e passados dos ruídos, nunca em relação ao futuro. Para caracterizarmos com precisão este tipo de dependência, vamos considerar o espaço de probabilidade ( P) sobre o qual são definidos estes processos estocásticos de ruídos (k) e (k), para o intervalo de tempo (k) 0, para a família { , (k) 0} de sigmas-álgebras de subconjuntos que pertencem a , tal que:



 para resulta

 para cada (k) 0 os vetores aleatórios (k) e (k) são mensuráveis em

 para (k) os incrementos ( ) ( )] e os incrementos ( ) ( )] são independentes de (58)(59)(60)

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Definição: Cada um dos vetores x(k) e y(k) é uma solução única da equação estocástica a

diferenças (2.80) respectivamente, dadas as condições iniciais x( ) = e y( ) = mensuráveis em , se as suas probabilidades respectivas de ocorrerem forem iguais a 1 ou 100% e, se para todos os intervalos de tempo (k) [a, b] estes vetores forem mensuráveis em sendo dados pelas equações (2.81) a seguir:

P ∑ ‖ ‖ ] = 1 (2.81.a)

P ∑ ‖ ‖ ] = 1 (2.81.b)

sendo ‖ ‖ e ‖ ‖ as normas Euclidianas respectivas dos produtos em cada somatório.

A solução de cada uma das equações a diferenças estocásticas (2.80) é um processo estocástico de Markov ao longo dos intervalos de tempo (k), tal que (k) . Isto significa que o vetor de estado contém toda informação da história do sistema dinâmico até o intervalo de tempo (k), a qual tem influência no seu comportamento futuro, e o futuro do processo será influenciado pelo processo ruído branco. Analogamente isto significa que o vetor contém toda informação da história das medidas na saída do sistema dinâmico até o intervalo de tempo (k), a qual tem influência no seu comportamento futuro, e o futuro do processo será influenciado pelo processo ruído branco.

Para calcular a resposta do sistema no intervalo de tempo ( (k) é suficiente conhecer e as suas entradas externas no intervalo de tempo ( conforme a figura 1.4. A descrição plena dos processos estocásticos e é obtida pelo conhecimento da função densidade de probabilidade de cada um. Como os processos de ruídos do sistema e de medição são considerados Gaussianos discretos, então cada um dos processos estocásticos estado do sistema e de medidas na saída do sistema estarão bem caracterizados pelos seus respectivos vetores de média temporal e pelas suas respectivas matrizes de covariâncias temporais, a saber,

. (61)(62)

As equações (2.78.b) e (2.79.b) podem ser escritas na forma de equações lineares, estocásticas a diferenças finitas e de primeira ordem, conforme as equações (2.81.c) e (2.81.d) a seguir:

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= (k) x(k) k + B(k) u(k) k + E(k) (k) (2.81.c)

y(k) k = C(k) x(k) k + D(k) u(k) k + F(k) (k) (2.81.d)

sendo que,

(k), B(k), C(k), D(k) são as matrizes, x(k), u(k), y(k) são os vetores e E(k) e F(k) são as matrizes que foram definidas nas seções 1.2, 1.3 e 2.8.1 respectivamente.

(k) é incremento pequeno do processo de ruído do sistema, que é uma medida da diferença finita de probabilidade do sistema.

(k) é incremento pequeno do processo de ruído na saída do sistema, que é uma medida da diferença finita de probabilidade na medição na saída do sistema.(63). Estes estão representados pelas equações (2.81.e) a (2.81.h), tal que:

E [ (k)] = 0 (2.81.e)

E [ (k). ] = k (2.81.f)

E [ (k)] = 0 (2.81.g)

E[ (k). ] = k (2.81.h)

2.8.2. Proposta de Modelo Matemático de Processos Estocásticos, Lineares,