Teoria de Linha de Sustentação para Escoamento
Subsônico e em Regime Permanente
Karl Peter Burr
1 Introdução
Quando discutimos propriedades de aerofólios bidimensionais, dizemos que estamos discu-tindo as propriedades de uma asa de envergadura in nita. Entretanto, todos os aviões reais tem asas com envergadura nita, e o objetivo desse texto é a análise do escoamento sobre asas de envergadura nita.
Uma asa de envergadura nita é um corpo tridimensional, e consequentemente, o es-coamento ao redor de uma asa de envergadura nita é tridimensional; ou seja, existe uma componente do escoamento na direção da envergadura da asa. Para vermos isso mais cla-ramente, examinemos a gura 1 abaixo, que fornece vista superior e frontal de uma asa nita.
Envergadura U Linha de corrente sobre a superficie superior
Linha de corrente na superficie inferior
cr c t A) B) Area da asa = S Ponta da asa Raiz da asa
O mecanismo físico para geração de força de sustentação na asa é a existencia de alta pressão na parte de baixo da asa e baixa pressão na parte de cima da asa. A falta de balanço líquido na distribuição de pressão gera força de sustentação. Entretanto, um sub-produto desse desbalanceamento de pressão é que o escoamento perto das pontas da asa tende a se curvar ao redor das pontas da asa, pois é forçado pela região de alta pressão abaixo da asa para a região de baixa pressão sobre a asa. Este escoamento ao redor das pontas da asa é mostrado na vista frontal presente na gura 1. Como resultado, na face superior da asa, temos uma componente de velocidade na direção da envergadura, a partir das pontas da asa na direção da raiz da asa, o que provoca uma de exão nas linhas de corrente sobre a asa na direção da raiz da asa, como ilustrado na vista superior presente na gura 1. De modo similar, na superfície inferior da asa, existe geralmente uma componente do vetor velocidade na direção da envergadura da asa, a partir da raiz da asa na direção da ponta da asa, o que provoca de exão nas linhas de corrente na direção das pontas da asa. Claramente, o escoamento ao redor de uma asa nita é tridimensional, e portanto é de se esperar que as propriedades aerodinâmicas de uma asa nita sejam diferentes das propriedades aerodinâmicas de uma asa de envergadura in nita (aerofólio bidimensional).
A tendencia do escoamento vazar ao redor das pontas da asa tem outro importante efeito na aerodinâmica da asa. Este escoamento estabelece um movimento circulatório que é convectado da asa para a sua esteira; isto é, vortices são criados em cada ponta de asa. Esse vórtices de ponta de asa são esquematizados na gura 2 abaixo, e ilustrado em gras subsequentes.
U
Figura 2: Vórtices de ponta de asa.
Os vórtices de ponta de asa são turbilhões que aparecem na esteira de uma asa nita. Para grandes aeronaves, como o Boeing 747, os vortives de ponta de asa são su ciente-mente poderosos para causar perda de controle em pequenas aeronaves que voam perto da esteira dessa aeronaves. Este tipo de acidente já ocorreu, e é uma das razões pelo grande espaçamento entre aeronaves que estão na la de espera para decolar ou que estão na la
para pousar em aeroportos.
Figura 5: Esteira de um Boeing 727
Figura 7: Vórtices de ponta de asa gerados por hélices
Esse vórtices de ponta de asa na esteira de uma asa nita induzem uma pequena de com-ponente de velocidade descendente na vizinhança da asa. Isto pode ser visto examinando-se as guras 3 e 6 acima; os dois vórtices de ponta de asa tendem a arrastar o uido na vi-zinhança deles com eles, e este movimento secundário induz uma pequena componente de velocidade descendente sobre a asa. Esta componente de velocidade dscendente é chamada na literatura de downwash, denotado pelo símbolo w. A velocidade downwash combina-se com a corrente uniforme de intensidade U para produzir uma velocidade relativa local do escoamento que é de etida na direção descendente na vizinhança de cada seção da asa, como ilustrado na gura 8
D i
Linha da corda
α i
Secao de asa de envergadura finita
velocidade local relativa
w
α
α
ef
i
α
L
α
i
U
Figura 8: Efeitos do downwash no escoamento local sobre uma seção da asa nita Examinemos a gura 8 mais detalhadamente. O angulo entre a linha de corda e a direção de U é o angulo de ataque α. Mais precisamente, de nimos α como o angulo de ataque geométrico. Na gura 8, a velocidade com que a seção da asa encherga a velocidade do escoamento (velocidade relativa local) é inclinada em relação a velocidade U pelo angulo αi, chamado de angulo de ataque induzido. A presença do downwash e do seu efeito de inclinar a velocidade do escoamento que a asa percebe tem dois efeitos importantes na seção da asa, como segue:
1. O angulo de ataque efetivamente visto pela seção da asa é o angulo entre a linha de corda e a velocidade do escoamento que a seção da asa percebe. Este angulo é denotado por αef na gura 8 e de nido como o angulo de ataque efetivo. Então, embora a asa esteja com um angulo geometrico de ataque α, a seção local da asa percebe a velocidade do escoamento com um angulo menor, ou seja, com o angulo de ataque efetivo αef. A partir da gura 8
αef = α − αi (1)
2. O vetor força de sustentação é perpendicular a velocidade do escoamento percebida pela seção da asa e então inclinada em relação a vertical com um angulo αi, como mostrado na gura 8. Consequentemente, existe uma componente do vetor força de sustentação local na direção da velocidade U; ou seja, existe um arrasto criado pela presença do downwash. Este arrasto é de nido como arrasto induzido, e denotado por Di na gura 8.
Então, podemos ver que a presença do downwash sobre uma asa nita reduz o angulo de ataque que cada seção da asa percebe, e ainda mais, cria um componente de arrasto, o arrasto induzido Di. Note que ainda estamos utilizando o modelo de uido inviscido, onde não há arrasto devido a fricção e separação do escoamento. Para o escoamento em questão ( uido inviscido), existe arrasto nito, o arrasto induzido, sobre uma asa de envergadura nita. O paradoxo de D'Alembert não ocorre para uma asa nita.
A inclinação do vetor força de sustentação local mostrado na gura 8 é uma maneira de se visualizar o aparecimento físico do arrasto induzido. Duas maneiras alternativas de se entender a física por tras do aparecimento do arrasto induzido seguem:
1. O escoamento tridimensional induzido pelos vortices de ponta de asa mostrados na gura 2, 3 e 6, simplesmente altera o campo de pressão sobre uma asa nita de uma maneira que aparece um desbalanceamento de pressão na direção do vetor velocidade U; ou seja, arrasto é criado. De acordo com essa perspectiva, o arrasto induzido é um tipo de arrasto de pressão.
2. Os vórtices de ponta de asa contem uma grande quantidade de energia cinética de translação e rotação. Esta energia tem de ser fornecida de alguma fonte; de fato, ela é providenciada pelo sistema de propulsão da aeronave, que a única fonte de potencia associada ao avião. Como a energia cinética contida nos vortices não serve nenhum proposito útil, esta energia é essencialmente perdida. De fato, a potencia extra providenciada pelo sistema de propulsão que vai para a geração dos vortices de ponta de asa é a potencia extra requerida pelo sistema de propulsão para vencer o arrasto induzido.
No que segue vamos apresentar um modelo simpli cado para escoamento ao redor de uma asa tridimensional. Vamos representar a asa como linhas de vórtices ao longo da envergadura da asa. Como essas linhas de vórtices não podem terminar no meio uido, elas são convectadas na esteira na região do bordo de fuga e ponta da asa, gerando, nesse caso, o vórtice de ponta de asa. Esse sistema de vórtices que compoem a esteira é responsável pelo arrasto induzido e induz velocidade no bordo de ataque. Consequentemente, a velocidade que incide sobre uma seção da asa não é a corrente uniforme, mas a composição da corrente uniforme com a velocidade induzida no bordo de ataque dessa seção pela esteira de vórtices. O primeiro passo para formularmos a teoria da linha de sustentação será determinar a velocidade induzida em um ponto do escoamento devido a uma linha de vórtices.
2 Filamento de Vórtices e a Lei de Biot e Savart
r
h
P
du
β
β
θds
Linha de vortices
Figura 9: Velocidade induzida no ponto P devido a uma linha de vórtice ds.
A velocidade induzida em um ponto P por um elemento ds da linha de vórtices ilustrada na gura acima, de acordo com a Lei de Biot e Savart, é dada por:
duθ = Γ 4π
cos βds
r2 (2)
onde Γ é a intensidade do lamento de vórtice, r é a distancia entre o lamento de compri-mento ds e o ponto P , e β é o angulo entre r e a normal ao lacompri-mento que passa pelo ponto P.
A direção de duθ é ortogonal ao plano contendo o lamento e o ponto P . Logo, a velocidade induzida no ponto P por todo o lamento de vórtices é:
uθ = Γ 4π Z +∞ −∞ cos βds r2 (3)
Podemos escrever r = h sec β e s = h tan β, de modo que a equação acima possa ser reescrita como uθ = Γ 4π Z π/2 −π/2 cos β h dβ = Γ 2πh (4)
3 Teoria de Linha de Sustentação
Um vórtice estacionário com relação a uma corrente uniforme de velocidade U experimenta uma força de megnitude ρUΓ na direção perpendicular a U. Podemos então considerar que uma linha de vórtices estacionária normal a uma corrente uida é equivalente a uma asa bidimensional (envergadura in nita) sob perspectiva da força resultante. A analogia aerofólio-vortice tambem forma uma base para o cálculo das propriedades da uma asa nita. Considere uma asa de envergadura b em uma corrente uniforme de velocidade U. Re-presentada por uma linha de vórtices de circulação constante Γ
b U Γ Γ Γ Β Α
Figura 10: Vortice com circulação Γ em formato de uma ferradura
Pelo teorema de Helmholtz, entretanto, a linha de vórtices que representa a asa não pode terminar nas pontas da asa (pontos A e B), mas deve se estender para o in nito ou até uma fronteira do escoamento, formando uma linha de vórtices no formato de uma ferradura (vórtice em ferradora).
A circulação em geral varia ao longo da asa nita, atingindo valor zero nas pontas da asa. Então uma asa nita é modelada como uma superposição de vórtices em ferradura xos na asa e se extendendo para o in nito.
y
x Γ
−b/2
b/2
Figura 11: Distribuição de vortice com circulação constante em formato de uma ferradura. Um número in nito de elementos de vórtices em ferradura levam a uma distribuição contínua de circulação função de y e se estendemos sobre o intervalo −b/2 < y < b/2.
Vamos descrever a formação de linhas de vórtices na esteira de uma asa nita.
• A circulação na asa é gerada devido a viscosidade do uido de modo a satisfazer a condição de Kutta-Joukowsky no bordo de fuga;
• Na camada limite adjacente à superfície da asa temos escoamento rotacional;
• Elementos de uido com movimento de rotação são convectados na esteira a partir das pontas da asa;
• Após deixar a asa os vórtices na esteira são convectados ao longo da linhas de corrente e a circulação ao redor deles permanece constante.
Superposição de vários vórtices em ferradura:
• Em cado ponto da asa onde a circulação muda, um vórtice da esteira é gerado com intensidade igual a mudança de circulação que ocorreu na asa nesse ponto.
• No limite, quando a circulação se torna contínua, a mudança de circulação em cada ponto é in nitesimal e de intensidade dΓ. A intensidade da folha de vórtices de largura dy e que se inicia em um dado ponto da asa é dada por
dΓ = dΓ dy
asa
• A esteira de vórtices então se torna uma folha de vórtices com intensidade total zero, pois é composta de vórtices ferradura elementares em pares de intensidade iguais, mas opostas. U U V b/2 −b/2 y x z αi w ρ Γ senα i ρ Γ cosα i Γ( )y ρ ΓV V V
Figura 12: Distribuição continua de vortice com circulação Γ(y) em formato de uma ferra-dura.
• O efeito da folha de vórtices, localizada no plano z = 0, −b/2 < y < b/2 e se estendendo para o in nito na direção do eixo x, em um ponto da asa é o downwash w, cuja magnitude é obtida integrando-se o efeito da distribuição contínua, semi-in nita de vorticidade para −b/2 < y < b/2.
• angulo de ataque induzido
αi(y) = tan−1
w(y)
e temos tambem uma componente na direção horizontal, que é o arrasto induzido
D0i = −ρV Γ sin αi. (8)
• Em geral o downwash é pequeno, ou seja, |w| << U, e então podemos escrever
tan αi ≈ sin αi ≈ αi, (9)
e as equações acima se tornam:
αi = w(y)
U , (10)
L0 = ρU Γ, (11)
D0(y) = −L0αi = −ρwΓ (12)
• Cálculo da velocidade induzida (downwash) e do angulo de ataque induzido. Consi-dere a gura abaixo:
x
y
y
0dx
b/2
−b/2
Γ
β
r
dy
x
y
0(d /dy )dy
0 0Figura 13: Velocidade induzida na posição y da envergadura da asa devido a uma linha de vórtices de largura dy0 na posição y0 e intensidade (dΓ/dy0)dy0.
De acordo com a Lei de biot e Savart, o trecho da linha de vértices de comprimento dx, ilustrado na gura 13 acima, induz velocidade dw(y; y0)de acordo com a equação
dw(y, y0) = − 1 4π dΓ dy0 dy0 cos β r2 dx (13)
Integrando-se ao longo do lamento de vórtices que se estende para x → ∞, temos
w(y; y0) = − 1 4π dΓ dy0 dy0 Z ∞ 0 cos β r2 dx = − 1 4π dΓ dy0 dy0 1 y − y0 (14) Para obtermos velocidade induzida em y devido a toda a esteira, temos de integrar em y0 para −b/2 < y0 < b/2. Então w(y) = − 1 4π Z b/2 −b/2 dΓ dy0 dy0 y − y0 , (15)
e para o angulo de ataque induzido temos
αi(y) = w(y) U = − 1 4πU Z b/2 −b/2 dΓ dy0 dy0 y − y0 , (16)
Esta equação fornece o quanto a velocidade induzida (downwash) altera o angulo de ataque em função da coordenação y.
3.1 Equação Fundamental
A equação fundamental a ser obtida deve ser resolvida para se determinar a distribuição de circulação ao longo da envergadura de uma asa nita. Considere uma seção da asa como ilustrado abaixo
w
U
V
α i
α
a
α
α
0α
L 0Figura 14: De nições: αa - angulo de ataque absoluto; αi - angulo de ataque induzido; α0 - angulo da ataque efetivo; α - angulo de ataque geométrico; αL0 - angulo entre a linha média do fólio e a linha entre a linha que corresponde a angulo de ataque onde a força de sustentação é nula.
onde o angulo de ataque absoluto αa é o angulo entre a direção do escoamento e a linha correspondente ao angulo de ataque onde a força de sustentação é nula. Vale a relação
αa = α0− αi = α − αL0 (17)
O angulo de ataque efetivo é uma propriedade do aerofólio (per l da seção da asa considerada) e satisfaz a fórmula obtida a partir da teoria de fólios bidimensionais
Cl= m0α0 (18)
onde m0 = 2π de acordo com a teoria de fólios nos. Na realidade, m0 varia ligeiramente em função da forma do aerofólio. O signi cado de m0α0 para uma asa nita é ilustrado na gura abaixo
α α i 0 αa −α −α L0 m0α 0 mαa m0α a asa finita α C l
envergadura infinita declividade m declividade m
0
Figura 15: Curva Cl× α para asa in nita e asa nita.
Se a asa tivesse envergadura in nita, o coe ciente de sustentação seccional teria o valor maior m0αa. Como alternativa, o coe ciente de sustentação seccional de uma asa nita pode ser expresso em termos de αa (angulo de ataque absoluto). De nimos outra declividade para a curva Cl× α escrevendo
Cl= mαa, (19)
e de acordo com a equação (17), m é função de αi. Uma relação entre m e m0 é obtida substituindo-se as equações (18) e (19) na equação (17). Então
Cl m = Cl m0 − αi (20) Portanto, m = m0 1 −m0αi = m0 1 − α/α , (21)
onde c é a corda da seção da asa. A equação acima fornesse
α0 = 2Γ
m0U c (22)
Então a equação fundamental é obtida substituindo-se as equações (16) e (22) na pri-meira forma da equação (17):
αa(y) = 2Γ(y) m0(y)U c(y) + 1 4π Z b/2 −b/2 dΓ dy0 dy0 y − y0 , (23)
cuja solução fornesse a circulação Γ na posição y ao longo da envergadura. Essa equação é uma equação integro-diferencial para a circulação Γ(y).
3.2 Distribuição Eliptica de Circulação
Esta distribuição de circulação representa uma asa que possue arrasto induzido mínimo. Propriedades de asas com áreas projetadas arbitrárias não diferem radicalmente das pro-priedades de asas com distribuição eliptica de circulação. É comum escrever propriedade de asas com área projetada arbitrária em termos das propriedades de asas com distribuição de circulação eliptica mais um fator de correção. Vamos analizar as propriedades de uma asa com distribuição de circulação eliptica de envergadura b, dada por
Γ = Γs s 1 − y b/2 2 (24) Para essa distribuição de circulação, o angulo de ataque induzido é dado por
αi(y) = − Γs 4πU Z b/2 −b/2 d dy0 s 1 − y0 b/2 2 dy0 y − y0 (25) Para avaliar o integral acima, vamos considerar a mudança de variável
y0 = b 2cos θ0, dy0 = − b 2sin θ0dθ0, (26) y =b 2cos θ Então, αi(θ) = − Γs 2πU Z 0 π d dθ0 sin θ0 cos θ − cos θ0 dθ0 = Γs 2πU Z π 0 cos θ0dθ0 cos θ − cos θ0 = − Γs 2bU (27)
A equação acima implica que o angulo de ataque induzido é constante ao longo da envergadura. Portanto, o angulo de ataque absoluto αa é tambem constante ao longo da envergadura, e então a equação (17) fornece um angulo de ataque efetivamente constante ao longo da envergadura. Então a partir das equações (17), (18) e (8) temos, respectivamente
onde Cdi é o coe ciente de arrasto induzido seccional e Cl é o coe ciente de sustentação seccional. Então, se a declividade da curva Cl×αfor independentemente de y (não variar ao longo da envergadura), o coe ciente de sustentação e arrasto seccionais serão independentes de y (constantes ao longo da envergadura). Em resumo, para uma distribuição de circulação eliptica, a declividade da curva Cl×αdas seções da asa é constante ao longo da envergadura, e o angulo de ataque absoluto tambem é constante ao longo da envergadura. Logo, as propriedades não-dimensionais tambem serão constantes ao longo da envergadura.
Como consequencia, o produto m0α0c deve variar de forma eliptica ao longo da enver-gadura, pois L0 = ρU Γs s 1 − y b/2 2 = m0α0 1 2ρU 2c. Logo, m0α0c = 2Γs U s 1 − y b/2 2 (29) Note que a equação (29) indica uma área projetada eliptica se m0α0forem independentes de y. Por outro lado, para uma área projetada não eliptica teremos que α0 = α0(y) pois m0 é aproximadamente constante, e então a asa apresenta alguma torção, ou esta situação pode fornecer Γ(y) eliptica somente para uma atitude especí ca.
Podemos então concluir que somente uma asa sem torção com área projetada eliptica fornecerá Γ(y) eliptica para todos os angulos de ataque.
A propriedades de uma asa com Γ(y) na forma eliptica são: • Força de sustentação seccional dada por
L0 = ρU Γs s 1 − y b/2 2 (30)
• Coe ciente de sustentação dado por
CL= 1 1 2ρU 2S Z b/2 −b/2 L0dy = Γsπb 2U S (31)
onde S é a área projetada, ou seja
S = Z b/2
−b/2
O coe ciente de sustentação e o coe ciente de sustentação seccional são iguais quando o coe ciente de sustentação seccional é constante ao longo da envergadura.
CL= 1 1 2ρU2S Z b/2 −b/2 Cl 1 2ρU 2cdy = C l. (32)
Resolvendo a equação (31) para Γs e substituindo o resultado na equação (27), temos
αi = − CL πAr = − Cl πAr (33) onde Ar é o raio de aspecto, de nido por
Ar = b2/S.
O arrasto induzido pode ser agora ser escrito como
CDi = Cdi= −CLαi = CL2 πAr
(34) A declividade da curva Cl× α pode agora ser escrita como
m = m0 1 + m0
πAr
(35) Então, para a distribuição de circulação eliptica, a declividade de Cl × αa é a mesma ao longo da envergadura, e esta é a mesma da declividade da curva CL× α.
