Linguagens Formais e Autômatos

(1)

DCC063

Linguagens Formais

e Autômatos

(2)

Propriedades das linguagens regulares

O conjunto das LRs é fechado sob as operações de:

a) União: a união de LRs resulta em LR.

b) Concatenação: a concatenação de LRs resulta em LR. c) Fecho de Kleene: o fecho (*) de LR resulta em LR.

d) Interseção: a interseção de LRs resulta em LR.

e) Complemento: o complemento (* - L) de LR resulta em LR. 2

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Propriedade: União

 Intuição da união de LR. N = N₁N₂.



N₁

N₂

N

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 Construindo N = N₁N₂. Sejam

N = (Q, , , q₀, F) e N₁ = (Q₁, , ₁, q₁, F₁) N₂ = (Q₂, , ₂, q₂, F₂)

 Construa N da seguinte forma:

1. Q = {q₀}  Q₁  Q₂.

2. O estado q₀ é o estado inicial de N.

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4. Definindo . Para qualquer 𝑞 ∈ 𝑄 e qualquer 𝑎 ∈

Σ ∪ 𝜀 : 5

𝑞 ∈ 𝑄₁ 𝑞 ∈ 𝑄₂

𝑞 = 𝑞₀ 𝑒 𝑎 = 𝜀 𝛿 𝑞, 𝑎 = ൞𝛿𝛿1₂ 𝑞, 𝑎𝑞, 𝑎

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 Exemplo.

 L(N) = {0k | k é par ou k é multiplo de 3}

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Propriedade: Complemento

 Seja 𝑀 = 𝑄, Σ, 𝑞₀, 𝐹 um AFD que aceita 𝐿₁.

Então o AFD

𝑀′ = 𝑄, Σ, 𝑞₀, 𝑄 − 𝐹

aceita 𝐿₁.

 O autômato 𝑀 deve ser determinístico e 𝛿 uma

função total.

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 Basta alterar os estados finais para não finais e

vice-versa. O AF deve ser determinístico e  deve

ser total. Seja L(N), onde ={a,b,c,d,e} e N é o

AFD:

E

a,b,c,d

a,b,c,d,e a,b,c a,c,d,e

b,d,e

a b e

c d e

N

8

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 O complemento de L(N) = L(N’).

AFD N’

a,b,c,d

a,b,c,d,e a,b,c a,c,d,e

b,d,e

a b e

c d e

N’

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 O autômato N abaixo aceita a linguagem 𝑎𝑏∗.

a b

N

a b

M

10

 O complemento M de N aceita ε |𝑎𝑏∗ . Está

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Propriedade: Interseção

 Considere a linguagem L₁ e L₂, a seguinte relação

é verdadeira (Lei de De Morgan):

2 1

2

1

L



=



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Linguagens que não são regulares – pumping

lemma (Lema do bombeamento)

 É possível criar um AF para L = {0n1n|n0}?

 O lema do bombeamento afirma que todas as

linguagens regulares têm uma propriedade especial.

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 Se pudermos mostrar que uma linguagem não

tem essa propriedade, temos a garantia de que

ela não é regular. A propriedade diz que todas as

cadeias da linguagem podem ser “bombeadas”

se elas são no mínimo tão longas como um

determinado valor especial, comprimento do

bombeamento.

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 Lema do bombeamento. Seja 𝐿 uma linguagem

infinita. Se 𝐿 é regular então, existe um no _inteiro

positivo 𝑝 tal que todo 𝑤 ∈ 𝐿, com 𝑤 ≥ 𝑝, 𝑤 pode ser subdividida em 𝑥, 𝑦 e 𝑧 ∈ Σ∗, 𝑤 = 𝑥𝑦𝑧, tais que

1. 𝑥𝑦𝑖𝑧 ∈ 𝐿, ∀𝑖 = 0, 1, 2, ⋯

2. 𝑦 ≥ 1

3. 𝑥𝑦 ≤ 𝑝

 Observar que 1) 1  |y|  p; 2) x e z podem ser



,

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Lema do bombeamento

 Descrição das condições:

 Para poder ser bombeada, y precisa ter comprimento maior ou igual a 1;

 y precisa estar entre os p primeiros caracteres;

 Podemos repetir arbitrariamente (e inclusive omitir) a subcadeia y, e a cadeia xyi_z resultante

pertencerá a L.

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 Toda a palavra (suficientemente longa) de L

pode ser dividida em três partes de modo que, com um número qualquer de repetições da parte central, continue a ser uma palavra de L. Assim podemos dizer que a parte central é bombeada:

16

f

s 𝑥 𝑧

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Lema do bombeamento (Descrição informal)

 O lema do bombeamento descreve uma propriedade fundamental das linguagens regulares: para qualquer linguagem regular L, existe um número p tal que qualquer

cadeia w de comprimento igual ou maior que p pode ser

dividida em três subcadeias, w = xyz, tal que a parte do

meio (não-vazia), y, pode ser repetida um número

arbitrário de vezes (inclusive 0 vezes, o que significa remover y), gerando uma nova cadeia que também

pertence a L

 Essa repetição é conhecida como "bombeamento". O lema garante que o comprimento de xy será no máximo p, o que

limita as maneiras em que w pode ser dividida

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 Exempo1 :dado o AF M = ({q₀, q₁, q₂, q₃}, {a, b, c},

, q₀, {q₃}):

 O autômato aceita a cadeia w = abcd

 |w| = |Q| = 4  p

 Para w há ao menos um estado repetido no

autômato. O único estado repetido é q₁.

18

q₃ q₀ q₁

𝑏

𝑎 𝑑

q₂

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 Exempo 1...

 a leitura da subcadeia bc resulta em transições

que iniciam e terminam em q₁.

 essa subcadeia pode ser repetida (bombeada).

Por exemplo, a cadeia abcbcd L(M).

 A subcadeia bc também poderia ser removida e

a cadeia resultante ad L(M).

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 Exempo 1...

 Pelo lama do bombeamento: w = xyz:

 x = a

 y = bc

 z = d

 Ainda assim xyizL(M), pois a(bc)*dL(M)

 Existe outra partição xyz para w?

 Sim, x = ab, y = cb e z = cd. Pois

ab(cb)*cdL(M)

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Exempo2: dado o AF N1 = ({q₀, q₁, q₂}, {a, b, c}, , q₀, {q₂}):

1) Considere w = abc, |w| = 3  p

 w pode ser reescrito como xyz

 |xy|  3, 1  |y|  3 e xyizL(N1). Escolhe-se x = a, y = b e z = c. Assim,

 xz = ac, xyyz = abbc, xyyyz = abbbc, ..., L(N1)

21

q₂ q₀ 𝑎 q₁ 𝑐

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 Exempo2...

2) Considere w = abbbc, |w| = 5  p

 w pode ser reescrito como xyz

 |xy|  3, 1  |y|  3 e xyizL(N1). Pode-se fazer três escolhas distintas de x , y e z:

◼ x = a, y = b, z = bbc. As cadeias (a)b*(bbc) L(N1) ◼ x = a, y = bb, z = bc. As cadeias (a)(bb)*(bc) L(N1) ◼ x = ab, y = b, z = c. As cadeias (ab)(b)*(c) L(N1)

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 Exempo2...

Nem todas as subdivisões de uma cadeia w geram

cadeias que produzem cadeias de L(N1). Para

w = abbbc, |w| = 5:

 x = , y = a, z = bbbc. Assim xyiz  L(N1)

 x = , y = ab, z = bbc. Assim xyiz  L(N1)

 x = , y = abb, z = bc. Assim xyiz  L(N1)

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 O lema do bombeamento não é uma condição

necessária e suficiente para a regularidade de

uma linguagem: se o lema não é satisfeito numa

dada linguagem L, então L não é regular, mas se

o lema é satisfeito para uma dada linguagem L,

então L pode ou não ser regular.

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Aplicação do Lema

 A principal aplicação do lema consiste na

demonstração da existência de linguagens não regulares.

 Tal demonstração pode ser feita por contradição,

seja L uma linguagem (regular?):

i. Admitir, por hipótese, que L é regular;

ii. Demonstrar que L não exibe as propriedades do lema;

iii. Concluir por contradição, que a hipótese não é verdadeira, e que portanto L não é regular.

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Aplicação do Lema

 Exemplos... (quadro)