Linguagens Formais e Autômatos

DCC013

Linguagens Formais

e Autômatos

 Tipos de Gramáticas – segundo a hierarquia de

Chomsky existem quatro tipos:

 Tipo 0 ou Irrestritas:

◼ P = { → | (NT)+, (NT)* }

 Tipo 1 ou Sensível ao Contexto

◼ P = { → | ||||, (NT)+_, _(N_T)+_{}.Exceto S}→

 Tipo 2 ou Livre de Contexto

◼ P = { A→ | AN, (NT)+_{}. Exceto S}→

 Tipo 3 ou Regular

◼ A→aB ou A→Ba ou A→a, ou seja:

◼ P = { A→aX ou A → Xa | AN, aT, XN{}}

Linguagens Regulares - Preliminares

 Tipo 3  Tipo 2  Tipo 1  Tipo 0  T+

(GR) (GLC) (GSC) (GI)

Linguagens Regulares - Preliminares

3

 Esquematicamente:

Regulares(3)

Livres de Contexto(2)

 Exemplo

G = ({S, A, B}, {a, b}, P, S), onde P = { S → aB | bA

A → a | aS | bAA

B → b | bS | aBB }

1) Qual o tipo de G? 2) L(G)?

Linguagens Regulares - Preliminares

4

Livre de contexto;

 Exemplo

G = ({S, B}, {a, b}, P, S), onde P = { S → aS | bB | a | b

B → bB | b }

1) Qual o tipo de G? 2) L(G)?

Linguagens Regulares - Preliminares

5

Regular

 Exemplos (L(G) = {w|w{a,b}*, |w| mod 2 = 1})

1) Qual o tipo de G1? 2) Qual o tipo de G2? 3) Qual o tipo de G3?

Linguagens Regulares - Preliminares

6

GLC(2)

G2

S → aSa | aSb | bSa | bSb | a | b G1

S → SSS | a | b

G3

S → aA | bA | a | b A → aS | bS

4) Como L(G)=L(G1)=L(G2)=L(G3), qual é tipo de L(G)?

GLC(2) GR(3)

 O autômato finito (AF) é uma máquina abstrata

que reconhece linguagens regulares;

 Modelo matemático com entradas e saídas. Se é

fornecido ao AF uma sequência de símbolos como entrada, ele responderá se esta sequência pertence a linguagem ou não;

 O AF pode assumir um número finito de estados;

 Um estado resume os estados anteriores pelos

quais passou e os símbolos que já foram lidos na entrada.

Linguagens Regulares

–

Gramáticas

Regulares e Autômatos Finitos

 Um autômato finito, pode ser vista como uma

máquina composta basicamente por três partes:

 Fita: Dispositivo de entrada que contém a

informação a ser processada. A fita é finita à esquerda e à direita;

 Unidade de Controle: Reflete o estado corrente da

máquina. Possui uma unidade de leitura (cabeça de leitura), que acessa uma unidade da fita de cada vez. Após cada leitura a cabeça move-se uma célula para a direita;

 Programa ou Função de Transição: Função que

comanda as leituras e define o estado da máquina.

Linguagens Regulares

–

Gramáticas

Regulares e Autômatos Finitos

 Autômato Finito como uma máquina com

controle finito (fita, controle e função de transição):

Linguagens Regulares

–

Gramáticas

Regulares e Autômatos Finitos

9

Fita

a a b c c b a a

q



Controle

Cabeçote de leitura

Estado corrente

 Def. formal de autômato finito determinístico

(AFD). Um AFD é um quíntupla (, Q, , q₀, F):

 Q  : conjunto finito de estados

 : alfabeto de entrada (simplesmente alfabeto)  q₀  Q: estado inicial

 F  Q: conjunto de estados finais

  : função de transições,  :Q → Q

Linguagens Regulares

–

Gramáticas

Regulares e Autômatos Finitos

 A função programa de um AFD pode ser

representada como um grafo orientado finito

Linguagens Regulares

–

Gramáticas

Regulares e Autômatos Finitos

11

Uma transição

Estado inicial Estado final

p q

Estado anterior

Novo estado

a

q₀

q_f

 Exemplo: autômato finito determinístico

M₁ = ({a, b}, {q₀, q₁, q₂, q_f}, ₁, q₀, {q_f})

 L(M₁) = {w | w possui aa ou bb como

subpalavra}

Linguagens Regulares

–

Gramáticas

Regulares e Autômatos Finitos

12

₁ a b

* q₀ q₁ q₂ q_f q₁ q_f q₁ q_f q₂ q₂ q_f q_f

q₁ b q₂

 Exemplo: M₂ = ({0, 1}, { q₁, q₂, q₃}, ₂, q₁, {q₂}).

 L(M₂) = {w | w contém pelo menos um 1 e um

número par de 0s segue o último 1}

Linguagens Regulares

–

Gramáticas

Regulares e Autômatos Finitos

13

₂ 0 1

q₁ q₂ q₃

q₁ q₃ q₂

q₂ q₂

–

* q1

1

0

0 1

0

q₂ q3

 Exemplo: M₃ = ({0, 1}, { q₁, q₂}, ₃, q₁, {q₂})

 L(M₃) = {w | w termina com um 1}

Linguagens Regulares

–

Gramáticas

Regulares e Autômatos Finitos

14

₃ 0 1

q₁ q₂

q₁ q₁

q₂ q₂ *

₃

q₁

0

0 1

 Exemplo: M₄ = ({a, b}, {s, q₁, q₂, r₁, r₂}, ₄, s, {r₁,

q₁})

 L(M₄) = {w | w começa e termina com o mesmo

símbolo}

Linguagens Regulares

–

Gramáticas

Regulares e Autômatos Finitos

15

q₂

b

b a

a

₄ s

r₁ q₁

r₂

a a b _b

 Exemplo: N = ({a, b}, {q_0, q₁, q₂}, , q₀, {q₂})

 Transições: (q₀, a) = q₁,

(q₁, a) = q₁,

(q₁, b) = q₂.

 Logo, L(N) = {anb | n1}

Linguagens Regulares

–

Gramáticas

Regulares e Autômatos Finitos

16

q₀

a

a b

q₂ q₁

 Exemplo: Que linguagem aceita A₂?

Linguagens Regulares

–

Gramáticas

Regulares e Autômatos Finitos

17

A₂

q₂

1

0 0

1

q₁

q₀

q₃

0 0

 Exemplo: Que linguagem aceita A₃?

Linguagens Regulares

–

Gramáticas

Regulares e Autômatos Finitos

18

q₀ 0

1 1

q₃ q₂

A₃

q₁ 1

0

0

 Definição Formal de Computação:

Sejam 𝐴 = 𝑄, , 𝛿, 𝑞₀, 𝐹 um AFD e 𝑤 = 𝑤₁𝑤₂𝑤₃ … 𝑤_𝑛 uma palavra sobre .

Dizemos que A aceita 𝑤 se existe uma sequência de estados de

𝑄, 𝑟 = 𝑟₀, 𝑟₁, … , 𝑟_𝑛, tal que:

1. 𝑟₀ = 𝑞₀; e

2. 𝛿 𝑟_𝑖, 𝑤_𝑖+1 = 𝑟_𝑖+1 para todo 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1; e 3. 𝑟_𝑛 ∈ 𝐹.

 A sequência 𝑟 é chamada de trajetória de 𝐴 sobre

𝑤. Ou computação de 𝑤 sobre A.

 A linguagem aceita por um AFD A é

◼ 𝐿 𝐴 = 𝑤|𝐴 aceita 𝑤

Linguagens Regulares

–

Gramáticas

Regulares e Autômatos Finitos

 Extensão da função  para o domínio 𝑄 × Σ∗

1. መ𝛿 𝑞, 𝜀 = 𝑞;

2. መ𝛿 𝑞, 𝑎𝑢 = መ𝛿 𝛿 𝑞, 𝑎 , 𝑢 para 𝑎 ∈ Σ e 𝑢 ∈ Σ∗.

 መ𝛿 𝑞, 𝑢 = 𝑝 significa que M, iniciando no estado 𝑞, e

tendo a sequência 𝑢 na fita de entrada, entrará no estado 𝑝, após o cabeçote mover-se para a direita

𝑢 células;

 Uma sentença é aceita por 𝑀 se መ𝛿 𝑞₀, 𝑢 = 𝑝 para

algum 𝑝 ∈ 𝐹, ou seja

𝐿 𝑀 = 𝑢| መ𝛿 𝑞₀, 𝑢 = 𝑝 ∈ 𝐹

Linguagens Regulares

–

Gramáticas

Regulares e Autômatos Finitos

 Exemplo: Seja 𝐴₂ = 𝑄, Σ, 𝛿, 𝑞₀, 𝐹 , onde:

Q = 𝑞₀, 𝑞₁, 𝑞₂, 𝑞₃ , Σ = 0,1 , F = 𝑞₀ 𝛿 𝑞₀, 0 = 𝑞₂

𝛿 𝑞₁, 0 = 𝑞₃ 𝛿 𝑞₂, 0 = 𝑞₀ 𝛿 𝑞₃, 0 = 𝑞₁ 𝛿 𝑞₀, 1 = 𝑞₁ 𝛿 𝑞₁, 1 = 𝑞₀ 𝛿 𝑞₂, 1 = 𝑞₃ 𝛿 𝑞₃, 1 = 𝑞₂

Linguagens Regulares

–

Gramáticas

Regulares e Autômatos Finitos

 Exemplo: Reconhecimento da cadeia 𝑤

Linguagens Regulares

–

Gramáticas

Regulares e Autômatos Finitos

22

𝑤 = 110101

መ𝛿 𝑞₀, 𝟏10101 ⊢ መ𝛿 𝛿 𝑞₀, 1 , 10101 ⊢ መ𝛿 𝑞₁, 𝟏0101 ⊢ መ𝛿 𝛿 𝑞₁, 1 , 0101 ⊢ መ𝛿 𝑞₀, 𝟎101 ⊢ መ𝛿 𝛿 𝑞₀, 0 , 101 ⊢ መ𝛿 𝑞₂, 𝟏01 ⊢ መ𝛿 𝛿 𝑞₂, 1 , 01 ⊢ መ𝛿 𝑞₃, 𝟎1 ⊢ መ𝛿 𝛿 𝑞₃, 0 , 1 ⊢ መ𝛿 𝑞₁, 𝟏 ⊢ መ𝛿 𝛿 𝑞₁, 1 , 𝜀 ⊢ መ𝛿 𝑞₀, 𝜀 ⊢ 𝑞₀

 Exemplo: Reconhecimento da cadeia 𝑤

Linguagens Regulares

–

Gramáticas

Regulares e Autômatos Finitos

23

𝑤 = 1011

መ𝛿 𝑞₀, 1011 ⊢ መ𝛿 𝛿 𝑞₀, 1 , 011 ⊢ መ𝛿 𝑞₁, 011 ⊢ መ𝛿 𝛿 𝑞₁, 0 , 11 ⊢ መ𝛿 𝑞₃, 11 ⊢ መ𝛿 𝛿 𝑞₃, 1 , 1 ⊢ መ𝛿 𝑞₂, 1 ⊢ መ𝛿 𝛿 𝑞₂, 1 , 𝜀 ⊢ መ𝛿 𝑞₃, 𝜀 ⊢ 𝑞₃

 Discussão: o que é Determinismo?

Linguagens Regulares

–

Gramáticas

Regulares e Autômatos Finitos

24

4 2 1

0

3 0

1 1

1

1 0

0

Para todo AFD A e para

toda palavra 𝑤 ∈ Σ∗ ,

 Definição: Linguagens Regulares ou do Tipo

3.

 Uma linguagem aceita por um autômato finito é

uma Linguagem Regular ou do Tipo 3.

 Exercício. Desenvolver AFDs que reconheçam

as seguintes linguagens sobre  = {a, b}:

1.{w | termina com aa}

2.{w | w possui aaa como subpalavra}

3.{w | w possui um número ímpar de a e b}

4.{w | w possui número par de a e ímpar de b ou vice-versa}

5.{w | o quinto símbolo da esquerda para a direita de w é a}

Linguagens Regulares

–

Gramáticas

Regulares e Autômatos Finitos

 Exercício. Desenvolver AFDs que reconheçam as

seguintes linguagens sobre  = {a, b}:

6.{w | w possui aa ou bb como subpalavra}

7.{w | w não contém dois ou mais 1’s consecutivos}

8.{w | |w| mod 3 = 0}

 Desenvolver AFDs para as linguagens:

1.Identificadores de linguagens de programação

2.Inteiros com ou sem sinal (+ ou -)

3.Reais com ou sem sinal (+ ou -). Pode haver ou não

dígitos após a , (vírgula). Ex: 45; 58,6; -54.; +.859

Linguagens Regulares

–

Gramáticas

Regulares e Autômatos Finitos

Autômato Finito Não-Determinístico (AFND ou AFN)

 Não-determinismo é uma importante

generalização dos AF’s, essencial para a teoria da computação e para a teoria das linguagens formais.

 Qualquer AFND pode ser simulado por um

autômato finito determinístico

 Em AFNDs, a função programa leva de um par

(estado, símbolo) a um conjunto de estados possíveis.

Linguagens Regulares

–

Gramáticas

Regulares e Autômatos Finitos

Autômato Finito Não-Determinístico

 Pode-se entender que o AFN assume

simultaneamente todas as alternativas de estados possíveis {p₁, p₂, ..., p_n} a partir do estado atual q  Q e do símbolo recebido a

 

Linguagens Regulares

–

Gramáticas

Regulares e Autômatos Finitos

28

Exemplo de transições não determinística

q

p_{2 pn}

a

p₁

a a

Def.: Autômato Finito Não-Determinístico.

 Um AFN é uma quíntupla

𝑀 = Σ, 𝑄, 𝛿, 𝑞₀, 𝐹 , onde:  Σ : alfabeto de símbolos de entrada;

 𝑄 ≠ ∅ : conjunto finito de estados;

 𝛿 : função programa ou função de transição

𝛿: 𝑄 × Σ → 2 𝑄

 𝑞₀ ∈ 𝑄: estado inicial;

 𝐹 ⊂ 𝑄 - conjunto de estados finais.

Linguagens Regulares

–

Gramáticas

Regulares e Autômatos Finitos

Autômato Finito Não-Determinístico

 Portanto, os componentes do AFND são os

mesmos do AFD, com exceção da função programa:

Linguagens Regulares

–

Gramáticas

Regulares e Autômatos Finitos

30

p

p

_p

a

p

a

a

Autômato Finito Não-Determinístico

 Exemplo: AFND M₅ = ({a, b}, {q₀, q₁, q₂, q_f}, ₅, q₀,

{q_f}):

 M₅ reconhece a linguagem L(M₅) = {w | w possui

aa ou bb como sub-palavra}

Linguagens Regulares

–

Gramáticas

Regulares e Autômatos Finitos

31

₅ a b

q₀ q₁ q₂ q_f

{q₀, q₁} {q_f}

-{q_f}

{q₀, q₂} -{q_f} {q_f}

*

M₅ q₁ q₂

Autômato Finito Não-Determinístico

 Exemplo: AFN

𝑀₆ = 𝑎, 𝑏 , 𝑞₀, 𝑞₁, 𝑞₂, 𝑞_𝑓 , 𝛿₆, 𝑞₀, 𝑞_𝑓 :

 M₆ reconhece a linguagem :

𝐿 𝑀₆ = 𝑤𝑎𝑎𝑎|𝑤 ∈ 𝑎, 𝑏 ∗

𝐿 𝑀₆ = 𝑤|𝑤 ∈ 𝑎, 𝑏 ∗ e 𝑤 termina com 𝑎𝑎𝑎

Linguagens Regulares

–

Gramáticas

Regulares e Autômatos Finitos

32

q₀

a a

q_f q₁

M₆

q₂ a

Autômato Finito Não-Determinístico

 Exemplo: AFN M₇ = ({a, b}, {q₀, q₁, q_f}, ₇, q₀,

{q_f}):

 M₇ reconhece a linguagem :

𝐿 𝑀₇ = 𝑢𝑎𝑎𝑤|𝑢, 𝑤 ∈ 𝑎, 𝑏 ∗

Linguagens Regulares

–

Gramáticas

Regulares e Autômatos Finitos

33

M₇ q₀

a a

q_f q₁

a b

a

Autômato Finito Não-Determinístico

 Não determinismo:

Linguagens Regulares

–

Gramáticas

Regulares e Autômatos Finitos

34

q₀ início

a ---q₀ b ---a ---a ---b ---a ---X X q₁ q₀

q₀ q₁

q₀ q₁ q_f

q₀ q_f

q₀ q_f

X Aceita q₀ a a q_f q₁ a b a b

M₇ :

X = Rejeita

computação de M₇

sobre a entrada

Autômato Finito Não-Determinístico

 Não determinismo: computação de M₇ sobre a

entrada ababb:

Linguagens Regulares

–

Gramáticas

Regulares e Autômatos Finitos

35

q₀ início

a ---q₀ b ---a ---b ---b ---X q₁ q₀

q₀ q₁ q₀ q₀ X q₀ a a q_f q₁ a b a b

M₇ :

X

 No não determinismo:

 para rejeitar uma cadeia de entrada – em uma

computação – todas as trajetórias devem ser rejeitadas.

 para aceitar uma cadeia de entrada – em uma

computação – basta apenas uma trajetória que a aceita.

 Aceitar: consome toda a cadeia de entrada e para

num estado final;

 Rejeitar: consome toda a cadeia de entrada e para

num estado não final; ou a cadeia não é consumida (sem transição para uma entrada).

Linguagens Regulares

–

Gramáticas

Regulares e Autômatos Finitos