Linguagens Formais e Autômatos

(1)

DCC063

Linguagens Formais

e Autômatos

(2)

 Uma palavra pertence ou não a uma linguagem?

 É uma das principais questões relacionadas com o

estudo de Linguagens Formais

 “Dispositivo” de reconhecimento

 pode ser especificado como um

◼ modelo de autômato ou

◼ algoritmo implementável em computador (CYK)

 em qualquer caso, é importante determinar

◼ "quantidade de recursos" necessários

◼ por exemplo: tempo e espaço

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

(3)

Algoritmos de reconhecimento

 construídos a partir de uma GLC

 Algoritmos de reconhecimento CYK

 reconhecedores que usam Autômato com Pilha

 muito simples

 em geral, ineficientes

 tempo de processamento é proporcional a k|w| (w

-entrada; k depende do autômato)

 não são recomendáveis para entradas de tamanhos

consideráveis

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

(4)

Algoritmos de reconhecimento CYK

 Algoritmo de Cocke-Younger-Kasamai (CYK)

 É construído sobre um GLC na FNC.

 Gera bottom-up todas as árvores de derivação da

entrada em tempo proporcional a |w|3_{, onde w é}

a cadeia a ser analisada (reconhecida).

 Baseado na técnica de programação dinâmica.

 Constrói uma tabela de derivação, onde cada

célula representa uma raiz que pode gerar a correspondente subárvore.

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

(5)

 Suponha:

 G = (N, T, P, S) uma GLC na FNC onde

T = {a₁, a₂, ..., a_n}

 W = a₁a₂...a_n a entrada a ser analisada

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

(6)

 O algoritmo CYK é composto pelas seguintes

etapas, onde V_rs representa as células de uma

tabela de derivação:

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

6

a₁ a₂ ... a_n

s

r

Conjunto de raízes para as árvores de derivação da

(7)

a) Var. que geram diretamente terminais, A→ a : para r de 1 até n faça

V_r1 = {A | A → a_r  P}

b) Produções que geram 2 variáveis (A → BC)

para s de 2 até n faça

para r de 1 até n + 1 _–s faça V_rs = ;

para k de 1 até s – 1 faça

V_rs = V_rs  {A | A → BCP, BV_rk, CV_(r+k)(s-k)}

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

(8)

 Exemplo1. Dada a gramática livre de contexto G: S → AA | AS | b

A → SA | AS | a

e a cadeia

w = abaab

Utilizar o algoritmo CYK para verificar se a cadeia w  L(G).

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

(9)

 Exemplo1. Construir a tabela:

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

9

S → AA | AS | b A → SA | AS | a

w = abaab

a b a a b

s

(10)

 Exemplo1. Etapa (a):

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

10

S → AA | AS | b A → SA | AS | a

w = abaab

A S A A S

(11)

 Exemplo1. Etapa (b):

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

11

S → AA | AS | b A → SA | AS | a

w = abaab

A S A A S

(12)

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

12

S → AA | AS | b A → SA | AS | a

w = abaab

S,A

A S A A S

(13)

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

13

S → AA | AS | b A → SA | AS | a

w = abaab

S,A A

A S A A S

(14)

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

14

S → AA | AS | b A → SA | AS | a

w = abaab

S,A A S

A S A A S

(15)

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

15

S → AA | AS | b A → SA | AS | a

w = abaab

S,A A S S,A

A S A A S

(16)

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

16

S → AA | AS | b A → SA | AS | a

w = abaab

S,A A S S,A

A S A A S

(17)

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

17

S → AA | AS | b A → SA | AS | a

w = abaab S

S,A A S S,A

A S A A S

(18)

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

18

S → AA | AS | b A → SA | AS | a

w = abaab S,A

S,A A S S,A

A S A A S

(19)

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

19

S → AA | AS | b A → SA | AS | a

w = abaab S,A

S,A A S S,A

A S A A S

(20)

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

20

S → AA | AS | b A → SA | AS | a

w = abaab

S,A S

S,A A S S,A

A S A A S

(21)

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

21

S → AA | AS | b A → SA | AS | a

w = abaab

S,A S S,A

S,A A S S,A

A S A A S

(22)

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

22

S → AA | AS | b A → SA | AS | a

w = abaab

S,A S S,A

S,A A S S,A

A S A A S

(23)

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

23

S → AA | AS | b A → SA | AS | a

w = abaab

S,A S S,A

S,A A S S,A

A S A A S

(24)

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

24

S → AA | AS | b A → SA | AS | a

w = abaab S,A

S,A S S,A

S,A A S S,A

A S A A S

(25)

 Exemplo1. Finalmente obtemos:

 Como S está no topo da tabela, então wL(G)!

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

25

S,A

S,A S,A

S,A S S,A

S,A A S S,A

A S A A S

(26)

 Exemplo 2. Seja L(G) a linguagem gerada pela

gramática livre de contexto G:

S → AB | XB T → AB | XB X →AT

A → a B →b

Utilizar o algoritmo CYK para verificar se a cadeia w  L(G), onde:

 w = aaabb wL(G)  w = aaabbb wL(G)

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

(27)

 Exercícios. Utilizar o algoritmo CYK para verificar

se a cadeia w  L(G), onde: :

a) S → AB | b w = aabaa A → a

B →SA

b) S → SF | a w = aaabbabaaaabba A → CG | SS | CS

C → b F →AS G →CA

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

(28)

c) S → AB | BC w = bbab A → BA | a

B →CC | b C → AB | a

d) L(G) = {w | w  (a,b)+ _{e |w|}

a = |w|b }

S → aB | bA w = abaabb A → a | aS | bAA

B →b | bS | aBB

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

(29)

Determinismo  Não-determinismo

 LLC Determinística (LLCD)

 Um AP é determinístico quando cada uma de suas

configurações apresenta, no máximo, uma configuração que pode sucedê-la.

 LLCD são aquelas LLC aceitas por autômatos de

pilha determinísticos (APD).

 Exemplos (LLCD e LLC):

L_d = {wcwR _{| w}_{(a | b)}*_} → _LLCD

L_n = {wwR _{| w}_{(a | b)}*_} → _LLCN

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

(30)

 É possível criar um APD para a linguagem

L = a*  _{an_bn _{| n}_{1} ?}

 Não. Não há como manter a quantidade de a´s

até achar um b e ao mesmo tempo reconhecer apenas a´s. (L não tem a propriedade do prefixo)

 Mas L é LLCD.

 Devemos, para mostrar este fato, alterar

ligeiramente o critério de aceitação do AP.

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

(31)

 Diz-se que um LLC L tem a propriedade do

prefixo se não existem duas cadeias diferentes x

e y em L tais que x é um prefixo de y.

 Dizemos que uma LLC é determinística se ela for

reconhecida por um APD que tem a capacidade extra de localizar o final da cadeia de entrada.

 Formalmente, diz-se que um LLC L* é

determinística se L$ = L(M) para algum APD M.

 Onde $ é um novo símbolo e $.

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

(32)

 Toda LLCD definida desta forma também é uma

LLC.

 Através desta definição é possível criar um APD

M para a linguagem L$ = (a*  _{an_bn _{| n}_1})$

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

32

Estado Entrada Topo da pilha transições

q₁ a  (q₁, a)

q₁ b a (q₂, ) q₁ $  (q₃, )

q₂ b a (q₂, )

q₂ $  (q₂, )

(33)

 Questão: toda LLC não seria determinística?

 Teorema: A classe das LLCD é fechada em

relação à operação de complementação

 Por exemplo, considere a linguagem (LLC):

 E seu complemento (é uma LLC?)

 Observe que anbncnL

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

(34)



Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

(35)

 Corolário. A classe de LLCD está propriamente

contida na classe de LLC.

 Assim, o não determinismo é mais poderoso do

que o determinismo no âmbito dos AP´s.

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

35

Ling. Regular

(36)

Análise Sintática Descendente Baseada em AP

 Como vimos, nem todas as LLC podem ser aceita

por um APD

 Vamos considerar algumas linguagens que não

estão sujeitas a esta restrição.

 Isto é, iremos estudar LLC´s que podem ser

convertidas em um APD.

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

(37)

 Considere a linguagem L = {anbn | n0} gerada

pela GLC G:

S → aSb | 

 Seja M₁ um AP tal que L(M₁) = L(G) :

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

37

p   q, S

q  S q, aSb

q, 

q a a q, 

(38)

 O AP M₁ é não determinístico

 Contudo, a linguagem L é determinística.

Portanto, é possível modificar M₁ para torná-lo um APD M₂ que aceita L$.

 Qual das duas transições aplicar

depende do próximo símbolo de entrada (lookahead)

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

38

q  S q, aSb

(39)

 Estratégia:

 Se esse símbolo for um a, então deve-se substituir S

por aSb na pilha

 Se esse símbolo for um b, então deves substituir S

por  na pilha (remover S)

 M₂ consome antecipadamente um símbolo da

entrada (lookahead) e incorpora essa

informação em seu estado.

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

(40)

 M₂ = ({p, q, q_a, q_b, q_$}, {a,b}, {a, b, S}, ₂, p, {q_$})

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

40

# Estado Entrada Topo da pilha

transições

1 p   q , S

2 q a  q_a, 

3 q_a  a q , 

4 q b  q_b , 

5 q_b  b q , 

6 q $  q_$ , 

7 q_a  S q_a , aSb

(41)

 M₁ e M₂ na forma de diagrama

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

41

p q q_$

q_a

q_b

(, , S)

(, a, ) (a, , ) (, S, aSb)

(b, , ) (, b, )

(, S, ) ($,  , )

q p (, , S)

(, S, aSb)

(, S, )

(a, a, )

(b, b, )

(42)

 A partir do estado q, M₂ lê um símbolo de

entrada e, sem alterar a pilha, transita para: q_a, q_b ou q_$. M₂ é determinístico e aceita ab$ como segue:

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

(43)

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

43

Estado Entrada ainda

não lida Pilha

Transição utilizada

Passo Regra de G

p ab$ 

-0

q ab$ S 1

1

q_a b$ aSb 7

3 S → aSb

q b$ Sb 3

4

q_b $ Sb 4

5

q_b $ b 8

6 S →

q $  5

7

q_$   6

8

q_a b$ S 2

(44)

 Dispositivo como M₂ são conhecidos como

analisadores sintáticos. (produz a arvóre

sintática).

 Em particular, M₂ é um analisador sintático

descendente. Raiz → folha, esquerda → direta:

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

44

S

a S b



passo 3

passo 6

Parte já constuída da árvore de análise

sintática

Parte da árvore ainda a ser constuída S

(45)

 Nem todas as LLC têm um APD que podem ser

derivados a partir da técnica do lookahead.

 Algumas LLC sequer são determinística

 Algumas LLC não se mostram diretamente

compatíveis com a análise sintática por

lookahead.

 Fazendo algumas modificações na gramática,

pode-se torná-las compatíveis.

 A classe de LLC compatível com esta técnica são

conhecidas como LL(1).

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

(46)

 Considere a gramática (expressões aritméticas) E → E + T | T

T → T * F | F

F → (E) | id | id(E)

 O AP (não determinístico) para esta gramática é:

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

46

(0) (p, , ) → (q, E)

(1) (q, , E) → (q, E + T)

(2) (q, , E) → (q, T)

(3) (q, , T) → (q, T * F)

(4) (q, , T) → (q, F)

(5) (q, , F) → (q, (E)) (6) (q, , F) → (q, id) (7) (q, , F) → (q, id(E))

(47)

 O não determinismo está nas transições: 1-2, 3-4

e 5-6-7

 Agravante: a escolha da transição correta não é

possível consultando o símbolo seguinte da entrada (lookahead).

 Transições 5, 6 e 7:

 A transição 5 pode ser descartada (começa com ‘(‘)  Transições 6 e 7, ambas começam com id.

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

(48)

 Transições 5, 6 e 7.

 Basta fatorar estas duas transições, obtem-se:

F → (E) | idA A → (E) | 

 Assim, substitui-se as transições 6 e 7 por

(5’) (q, , F) → (q, idA) (6’) (q, , A) → (q, ) (8’) (q, , A) → (q, (E))

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

(49)

 Transições 1 e 2: Se o entrada for id e o topo da

pilha for E, o AP pode executar:

 a transição 2, substituindo E por T (entrada id); ou

 a transição 1, substituindo E por E+T e depois E por

T (entrada id + id); ou

 a transição 1 duas vezes, e depois a transição 2 uma

vez. (entrada id + id + id);

 e assim por diante.

 O problema é que a gramática é recursiva à

esquerda.

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

(50)

 Retirando a recursão à esquerda obtemos G’: E → TE’

E’ → _+TE’ |  T → FT’

T’ → _*FT’ |  F → (E) | idA A → (E) | 

 Podemos obter um APD consultando

antecipadamente o próximo símbolo da entrada.

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

(51)

 Podemos então construir o seguinte APD M₄ que

aceita L(G)$:

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

51

(p, , ) → (q, E)

(q, a, ) → (q_a, ) para cada a{$} (q_a, , a) → (q, ) para cada a

(q_a, , E) → (q_a, _TE’) para cada a{$} (q₊, , _E’) → (q₊, _+TE’)

(q_a, , _E’) → (q_a, ) para cada a{ ), $} (q_a, , T) → (q_a, _FT’) para cada a{$}

(q_*, , T’) → (q_*, *FT’)

(q_a, , T’) → (q_a, ) para cada a{+,),$} (q₍, , F) → (q₍, (E))

(q_id, , F) → (q_id, idA) (q₍, , A) → (q₍, (E))

(52)

 Pode-se seguir as seguintes regras para

construir um analisador descendente (APD):

 eliminar a recursão à esquerda;

 fatorar a gramática (nem sempre é possível);

 examinar a gramática resultante quanto a aplicação

da antecipação do símbolo da entrada para todas as produções que têm o mesmo lado esquerdo.

 As gramáticas que exibem esta propriedade são

ditas LL(1).

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

(53)

 AP  GLC na FNG: seja G = (N, T, P, S) uma GLC

na FNG, L(G). Então é possível definir um

APND M = ({p, q}, , , , p, {q}) tal que L(G)=

L(M) onde:

  = T;

  = N

  =

(54)

 AP  GLC na FNG: Exemplo. Considere a

gramática das expressões aritméticas na FNG:

E → (EX | id | (EXY | idY | (EXZ | idZ | (EXYZ | idYZ

F → (EX | id

T → (EX | id | (EXY | idY

Y → *F | *FY

Z → +T | +TZ

X → )

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

(55)

 Aplicando as regras de construção, obtemos a

seguinte função de transição :

(p, , ) → (q, E) (q, (, F) → (q, EX) (q, id, F) → (q, )

(q, (, T) → (q, EX), (q, EXY) (q, id, T) → (q, ), (q, Y)

(q, (, E) → (q, EX), (q, EXY), (q, EXZ), (q, EXYZ) (q, id, E) → (q, ), (q, Y), (q, Z), (q, YZ) (q, *, Y) → (q, F), (q, FY)

(q, +, Z) → (q, T), (q, TZ) (q, ), X) → (q, )

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

(56)

 Esta gramática não tem recursão à esquerda.

 Para construir um APD para esta linguagem,

basta:

 fatorá-la (possivelmente não ficará mais na FNG);

 aplicar a técnica do lookahead (se possível).

 Não usar a forma de conversão de GLC na FNG

para AP não determinístico (como visto acima).

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

(57)

 Nem toda LLC determinística é LL(k)

 A classe de LLC determinística é conhecida por

LR(k).

 A classe de LLC determinísticas é não-ambígua.

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

57

Ling. Regular Não-ambígua

LR

LL LLC

(58)

 Exemplos

Algoritmos de reconhecimento (LLC)

Análise sintática

58

Determinísticas:

Não determinísticas:

LL: {anbn | n 0}

LR: {a2nb2nc | n 0}  {a2n+1b2n+1d | n 0}

Não ambígua: {wwR | w {a, b}* } Inerentemente ambígua