Linguagens Formais e Autômatos

(1)

DCC063

Linguagens Formais

e Autômatos

(2)

 Definição: Autômato Finito não

Determinístico com Movimentos vazios (com -transição), AFND ou AF. Um AF é uma quíntupla 𝑀 = Σ, 𝑄, 𝛿, 𝑞₀, 𝐹 , onde:

 Σ: alfabeto de símbolos de entrada;  𝑄 ≠ ∅: conjunto finito de estados;

 𝛿: função programa ou função de transição

𝛿: 𝑄 × Σ ∪ 𝜀 → 2 𝑄

 𝑞₀ ∈ 𝑄: estado inicial;

 F ⊂ 𝑄: conjunto de estados finais.

Linguagens Regulares – Gramáticas Regulares e Autômatos Finitos

(3)

 Portanto, os componentes do AF são os

mesmos do AFND, com exceção da função programa:

 Pode existir apenas a -transição, isto é n = 0;

3

p

p₂ _p_n



p₁

(4)

 O processamento de uma transição para uma

entrada vazia também é não-determinística.

 O processamento dos AF é similar ao dos AFND.  Assim, um AFND, ao processar uma entrada

vazia, assume simultaneamente os estados de origem e destino da transição

(5)

 Exemplo: 𝐴𝐹𝜀 M8 = 𝑎, 𝑏 , 𝑞₀, 𝑞_𝑓 , 𝛿₈, 𝑞₀, 𝑞_𝑓 :

 M8 reconhece a linguagem:

 L(M8) = {w | qualquer símbolo a antecede qualquer

símbolo b}.

 𝐿 8 = 𝑎𝑛𝑏𝑚|𝑚 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ, 𝑚 ≥ 0, 𝑛 ≥ 0

5

₈ a b 

q₀ {q₀} – {q_f}

q_f – {q_f} –

*

q₀



a b

q_f

(6)

 Computação determinística e não determinística

6

(7)

 Exemplo: AFND

𝑁1 = 𝑎, 𝑏 , 𝑞₀, 𝑞₁ , 𝛿_𝑁1, 𝑞₀, 𝑞₁

7

 𝐿 𝑁1 = 𝑢𝑣|𝑢 ∈ 𝑎 ∗, 𝑣 ∈ 𝑏 ∗

 𝐿 𝑁1 = 𝑎 ∗ 𝑏 ∗

q₀ q₁

a

(8)

𝑁2 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 , 𝑞₀, 𝑞₁, 𝑞₂, 𝑞₃ , 𝛿_𝑁2, 𝑞₀, 𝑞₃

8

 𝐿 𝑁2 = 𝑎𝑖𝑏𝑗𝑐𝑘𝑎𝑙|𝑖, 𝑗, 𝑘, 𝑙 ∈ ℵ

q₀

b c

q₃ q₁

a



q₂

 _

(9)

𝑁3 = 𝑑, +, −, . , 𝑞₀, 𝑞₁, 𝑞₂, 𝑞₃, 𝑞₄ , 𝛿_𝑁3, 𝑞₀, 𝑞₄

9

𝐿 𝑁3 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑚 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑓𝑙𝑢𝑡𝑢𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑚/𝑠𝑒𝑚 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙

q₀ - q1 q₄

 d

d

+ q2

q₃ d

d

. .

(10)

𝑁4 = 𝑑, +, −, . , 𝐸 , 𝑞0, 𝑞1, 𝑞2, 𝑞3, 𝑞4, 𝑞5, 𝑞6, 𝑞7 , 𝛿𝑁4, 𝑞0, 𝑞4, 𝑞7

10

𝐿 𝑁4 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑚 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑓𝑙𝑢𝑡𝑢𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑚/𝑠𝑒𝑚 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙_{𝑒𝑚 𝑛𝑜𝑡𝑎çã𝑜 𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡í𝑓𝑖𝑐𝑎}

q₀ - q1 q₄

 d d + _q 2 q₃ d d . . d q₇ d

q₅ q₆ d

+  E

(11)

- Exemplo: AFND

𝑁5 = 0 , 𝑞0, 𝑞1, 𝑞2, 𝑞3, 𝑞4, 𝑞5 , 𝛿𝑁5, 𝑞0, 𝑞1, 𝑞3

11

𝐿 𝑁5 = 0𝑘|𝑘 mod 2 = 0 ou 𝑘 mod 3 = 0

q₀

q₃

q₂ q₁

q₅ q₄ 0

0 



0

(12)

 Exemplo: AFND M9 = ({0,1}, {q₁, q₂ , q₃ , q₄}, 9,

q₁, {q₄}):

12

 𝐿 𝑀9 = 𝑤|𝑤 contém 11 ou 101 como subcadeia

 𝐿 𝑀9 = 𝑢𝑣𝑤|𝑢 ∈ 0,1 ∗, 𝑤 ∈ 0,1 ∗, 𝑣 ∈ 11,101

q₁ q₂ q₃ q₄ 0

0

0 1

1



1

(13)

 Exemplo: Computação de M9 sobre a entrada

010110:

13 q1 início 0---q1 q2 q3 q3 q1 q1 q2 q3 q1 q2 q3 q1 q3 q1

q₁ q₂ q₃ q₄

(14)

 Exemplo: Computação de M9 sobre a entrada

010000:

14 q1 início 0---q1 q2 q3 q3 q1 q1 q1 q1

q₁ q₂ q₃ q₄

(15)

 Operações de Concatenação e Fechamento sobre

linguagens.

 Concatenação

 Seja Σ um alfabeto, e sejam 𝐿, 𝐿₁e 𝐿₂ subconjuntos

de Σ∗ (linguagens sobre o alfabeto Σ):

 A concatenação de 𝐿₁ e 𝐿₂, denotada por 𝐿₁𝐿₂, é o

conjunto L = 𝑥𝑦|𝑥 ∈ 𝐿₁ e 𝑦 ∈ 𝐿₂ .

(16)

 Fechamento (fecho de Kleene)

 Define-se 𝐿0 = 𝜀 e 𝐿𝑛 = 𝐿𝐿𝑛−1 para 𝑛 ≥ 1. O fecho

de Kleene (ou simplesmente fecho) de uma

linguagem 𝐿, denotado por 𝐿∗, é o conjunto:

𝐿∗ = ራ 𝑖=0

∞ 𝐿𝑖

 E o fecho positivo da linguagem 𝐿, denotado por 𝐿+,

é o conjunto:

𝐿+ = ራ 𝑖=1

∞ 𝐿𝑖

(17)

 𝐿∗ denota as cadeias construídas pela

concatenação de qualquer número de cadeias tomadas de 𝐿;

 O conjunto 𝐿+ é semelhante, mas neste caso, as

cadeias de zero palavras, cuja concatenação é definida como , são excluídas;

 𝐿+ contém  se e somente se 𝐿 a contém;

(18)

 Esta definição difere da definição do fechamento

de alfabetos, onde 𝐴+ era definido como 𝐴∗ −

𝜀 .

 Note-se que no caso de linguagens podem

ocorrer dois casos:

 Se 𝜀 ∈ 𝐿, então 𝐿+ = 𝐿∗;

 Se 𝜀 ∉ 𝐿, então 𝐿+ = 𝐿∗ − 𝜀 .

(19)

 Exemplo 1:

 Se 𝐿₁ = 10,1 e 𝐿₂ = 0011,11 . Então

𝐿₁𝐿₂ = 100011,1011,10011,111  Exemplo 2:

 Se 𝐿₁ = 10,11 e 𝐿₂ = 0011,11 . Então

𝐿₁𝐿₂ = 100011,1011,110011,1111  Exemplo 3:

 Se 𝐿₁ = 10,11, . Então

𝐿∗ = 101011,101110,101111,111010,111011,𝜀, 10,11,1010,1011,1110,1111,101010,

111110,111111, ⋯

(20)

Expressões Regulares

 Uma Expressão Regular (ER) sobre um alfabeto Σ é indutivamente definida como se segue:

a) ∅ é uma ER que denota a linguagem vazia;

b) 𝜀 é uma ER que denota a linguagem contendo exclusivamente a cadeia vazia, ou seja 𝜺 ;

c) qualquer símbolo 𝑥 ∈ Σ é uma ER e denota a linguagem contendo a cadeia unitária 𝑥, ou seja 𝒙 .

(21)

 Uma Expressão Regular (ER) sobre um alfabeto Σ é indutivamente definida como se segue:

d) Se 𝑟 e 𝑠 são ERs que denotam, respectivamente, as linguagens 𝑅 e 𝑆, então:

i. 𝑟 | 𝑠 (ou 𝑟 + 𝑠 ) é uma ER e denota a linguagem 𝑅 ∪ 𝑆;

ii. 𝑟𝑠 (ou 𝑟 ∙ 𝑠 ) é uma ER e denota a linguagem

𝑢𝑣|𝑢 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ;

iii. _𝑟∗ é uma ER e denota a linguagem _𝑅∗;

(22)

 Observações:

 A concatenação sucessiva (*) tem precedência sobre a

concatenação e a união;

 A concatenação tem precedência sobre a união;

 Uma linguagem gerada por um expressão regular r é

representada por L(r) ou GERA(r).

(23)

Exemplos:

23

Somente a cadeiaaa.

Expressão Regular Linguagem Representada 𝑎𝑎 𝑏𝑎∗ 𝑎|𝑏 ∗

𝑎|𝑏 ∗𝑎𝑎 𝑎|𝑏 ∗ 𝑎∗𝑏𝑎∗𝑏𝑎∗

𝑎 + 𝑏 ∗ 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 𝑎 + 𝜀 𝑏 + 𝑏𝑎 ∗

0∗1∗2∗ Todas as cadeias de 0 seguidas de 1_’s seguidas de 2_’s

Todas as cadeias que iniciam por b, seguido de zero ou

mais a.

Todas as cadeias contendo aa como subpalavra.

Todas as cadeias contendo exatamente dois b

Todas as cadeias que terminam com aa ou bb.

Todas as cadeias que não possuem dois a consecutivos

(24)

 Exercícios: Desenvolver expressões regulares

que geram as seguintes linguagens sobre ={a,b}:

1. {w | w tem no máximo um par de a como

subcadeia ou no máximo um par de b como

subcadeia, nunca ambos na mesma cadeia}.

2. {w | qualquer par de a antecede qualquer par de b,

se existirem}.

3. {w | w não possui aba como subpalavra}.

(25)

 Equivalência entre AF’s e ER’s

 Pode-se facilmente construir um AF com 

-transições a partir de qualquer expressão regular.

 O método deve ser aplicado para a base (casos (a),

(b) e (c)) e indutivamente para cada tipo de construção das ER´s.

(26)

a) Para expressão , construa o seguinte AF:

b) Para ER , construa o seguinte AF:

c) Para ER a (para algum a), construa o seguinte AF:

26

q₀

q_f

q_f q₀

(27)

d) Para ER (A | B), construa a seguinte estrutura: Linguagens Regulares – Gramáticas Regulares e Autômatos Finitos

27

 q₀

q₀ A

B

q₀

(28)

e) Para ER AB, construa a seguinte estrutura: Linguagens Regulares – Gramáticas Regulares e Autômatos Finitos

28

q₀

q₀ _B

A

N

q₀

(29)

f) Para ER A*, construa a seguinte estrutura: Linguagens Regulares – Gramáticas Regulares e Autômatos Finitos

29

q₀ A

N

 

(30)

 Exemplo: Converter a ER (ab | a)* em um AFN.

30

a a

b b

ab a  b

ab | a

a  b

a



(31)

 Exemplo: Converter a ER (ab | a)* em um AFN.

31

(ab | a)*

a  b

a



 



(32)

 Exemplo: Converter a ER (a | b)*aba em um AFN.

32

a a

b b

a | b

a

b



(33)

 Exemplo: Converter a ER (a | b)*aba em um AFN.

33

(a | b)*



a

b

 

(34)

 Exemplo: Finalmente.... AF para a ER (a | b)*aba.

34

(a | b)*aba

a  a

a

b



 

b

 



(35)

 Gramáticas regulares lineares:

 Gramática linear à direita: Se todas as produções são da

forma A → uB ou A → w, com uT+ e wT*;

 Gramática linear à esquerda: Se todas as produções são da

forma A → Bu ou A → w, com uT+ e wT*;

 Gramática linear unitária à direita: É linear à direita com

as restrições adicionais: |w|  1 e |u| = 1;

 Gramática linear unitária à esquerda: É linear à esquerda

com as restrições adicionais: |w|  1 e |u| = 1;

 Teorema: As quatro definições acima de gramáticas

lineares são equivalentes.

 Uma gramática regular é qualquer gramática linear

(36)

 À Direita, G_D

S → aS | aB

B → bB | bD

D → cddd

 À esquerda, G_E

S → Bcddd B → Bb | Ab A → Aa | a

36

 Exemplo: gramáticas lineares equivalentes:

 G_D e G_Egeram a mesma linguagem: a

+_b+_cddd

(37)

 Transformação de GR linear à direita em AF

 Para transformar uma GR G = (N, T, P, S) em um AF

M = (Q, , , e₀, F), proceda como segue:

37

Algoritmo: Transformação de GR em AF

Entrada: Uma Gramática Regular _{𝐺 = 𝑁, 𝑇, 𝑃, 𝑆} Saída: Um Autômato Finito _{𝑀 = Σ, 𝑄, 𝛿, 𝑒}₀_{, 𝐹}

Q ≔ 𝑁 ∪ 𝑒_𝑓 , onde _𝑒_𝑓 é um símbolo que não está em _𝑁;

Σ ≔ 𝑇;

𝑒₀ ≔ 𝑆;

se 𝑆 ⟶ 𝜀 ∈ 𝑃 então

𝐹 ≔ 𝑒_𝑓, 𝑆 ;

senão

𝐹 ≔ 𝑒𝑓 ;

(38)

38

Construa  de acordo com as seguintes regras:

a) Para cada produção da forma _{𝐵 ⟶ 𝑎 ∈ 𝑃}, crie uma transição

𝛿 𝐵, 𝑎 = 𝑒_𝑓; onde _{𝑎 ∈ 𝑇 ∪ 𝜀}

b) Para cada produção da forma 𝐵 ⟶ 𝑎𝐶 ∈ 𝑃, crie uma transição

𝛿 𝐵, 𝑎 = 𝐶;

c) Para todo 𝑎 ∈ 𝑇; deixe 𝛿 𝑒_𝑓, 𝑎 indefinida (ou use o estado ERRO).

 Transformação de GR linear à direita em AF

 Para transformar uma GR G = (N, T, P, S) em um AF

(39)

 Transformação de AF em GR linear à direita

 Para transformar um AF em uma gramática regular

equivalente, proceda como segue:

39

Algoritmo: Transformação de AF em GR

Entrada: Um Autômato Finito 𝑀 = Σ, 𝑄, 𝛿, 𝑒₀, 𝐹 Saída: Uma Gramática Regular 𝐺 = 𝑁, 𝑇, 𝑃, 𝑆

N ≔ 𝑄;

T ≔ Σ;

S ≔ 𝑒₀;

Defina 𝑃 de acordo com as seguintes regras:

a) Se 𝛿 𝐵, 𝑎 = 𝐶 então adicione 𝐵 ⟶ 𝑎𝐶 em P;

(40)

 Determinização de AFN

 Por definição, todo AFD é um caso especial de AFND

no qual a relação de transição é uma função;

 A classe de linguagens reconhecidas por um AFND

inclui as linguagens regulares (reconhecidas por

AFD’s);

 Pode-se provar que as linguagens regulares são as

únicas linguagens reconhecidas por um AFN

 Para tanto, basta mostrar que para qualquer AFN

pode-se construir um AFD que reconhece a mesma linguagem. Um método de transformação é dado a seguir.

(41)

 Ideia do algoritmo

41

b

c a

a

b

c a

c b a

(42)

42

Algoritmo: Determinização de Autômato Finito

Entrada: Um AFND MN = (E, A, t, e₀, F) Saída: Um AFD MD = _(E’, A, _t’, e₀, _F’)

1. Rotule a primeira linha da tabela de transições t’ para MD com um conjunto unitário contendo apenas o estado inicial e₀ de MN. Aplique o passo (2) a este conjunto.

(43)

43

3. Para cada novo conjunto gerado pelas transições do passo (2), determine se ele já é usado como rótulo para alguma linha de MD. Se o conjunto ainda não foi usado, então crie uma nova linha com o conjunto como rótulo. Se o conjunto já foi usado, não é necessário fazer nada com ele.

4. Se existe alguma linha em MD para a qual as transições não foram computadas, volte e aplique o passo (2) àquela linha. Se todas as transições já forma computadas, vá pra o passo (5).

(44)

 Exemplo - Construção de um AFD a partir do

AFND M10:

 Determinizar o AFND M10 = ({a,b}, {q₀, q₁, q₂, q_f}, t,

q₀, {q_f}), dado a seguir.

44

q₀ a q₁ q₂

a,b

a

q_f

(45)

 Tabela t para o

autômato M10:

 Execução do algoritmo 45

t a b

*

q₀ q₁ q₂ q_f

{q₀, q₁} {q₂}

{q_f}

-{q₀}

-t' a b

q₀ q₀₁ q₀ q₀₁ q₀₁, q₂ q₀

t' a b

(46)

 Tabela t’ completa:  Execução do algoritmo 46

t' a b

q₀ q₀₁ q₀ q₀₁ q₀₁₂ q₀ q₀₁₂ q₀₁₂, q_f q₀

t' a b

q₀ q₀₁ q₀ q₀₁ q₀₁₂ q₀ q₀₁₂ q_012f q₀ q_012f q_012f q₀ q₁ q₂

-q₂ q_f

(47)

- Tabela final: AFD equivalente ao AFN M10

47

t' a b

q₀ q₀₁ q₀ q₀₁ q₀₁₂ q₀ q₀₁₂ q_012f q₀

q₁ q₂ -q₂ q_f

-q_f -

(48)

 O AFD construído conforme o algoritmo, dado

pela tabela anterior, é

M10D = ({a, b}, Q’, t’, q₀, F’)

 Onde:

 Q’ = {q₀, q₁, q₂, q_f, q₀₁, q₀₁₂, q_012f }  F’ = {q_f, q_012f}.

 t’ = exibida a seguir (e na tabela anterior)

 Ver diagrama a seguir

(49)

49

q₀ q₀₁ q_012f

b a

b

q₀₁₂

a a

b

a

(50)

Exemplo: L={ w | w aceita cadeias terminadas em 01 } Linguagens Regulares – Gramáticas

Regulares e Autômatos Finitos

50

 Diagrama de transições:

 Tabela de transições:

q₀ q₂

0

1 0

q₁

1

0 1

q₀ {q₀, q₁} {q₀} q₁ – {q₂}

q₂ – –

(51)

51

q₀ q₂

0

1 0

q₁

1

Exemplo: L={ w | w aceita cadeias terminadas em 01 }

 Como o conjunto de estados é 𝑞₀, 𝑞₁, 𝑞₂, , a

construção de subconjuntos produz um AFD com 23 – _{1 = 7 estados.}

(52)

q₀ q₂

0 1 0 q₁ 1 * * * *

Tabela do AFD

0 1

q₀ {q₀, q₁} {q₀} q₁ – {q₂}

q₂ – –

*

q₀₁ q₀₂

0 1 q₀ q₁ q₂ q₀₁ q₀₂ q₁₂ q₀₁₂

q₀₁ q₀

– q₂

– –

q₀₁ q₀₂ q₀₁ q₀

– q₂

(53)

53

q₀ q₀₂

1

0

q₀₁

1

0

1

0

q₀₁₂

0 1

q₂ q₁

q₁₂ 1

1

(54)

54

q₀ q₀₂

1

0

q₀₁

1

0

1

0

 De todos os estados listados, só podemos

(55)

 Exercício: Achar o AFD equivalente ao AFN

abaixo:

q₁ q₂ q₃ 0

0 1

0

1 0

q₄

q₅ 1

1