Slides modulo extra funcoes impressao MATEMÁTICADISCRETA

Universidade Federal do Vale do São Francisco Curso de Engenharia da Computação

Prof. Jorge Cavalcanti

jorge.cavalcanti@univasf.edu.br - www.univasf.edu.br/~jorge.cavalcanti

Matem

2 – Funções Parciais e Totais

Revisão Conceitos Básicos

Produto Cartesiano -

Dados os conjuntos

A

e

B

, o produto

cartesiano de

A

por

B

, denotado

A X B

, é o conjunto

formado por todos os pares ordenados (

a, b

) onde a

∈

∈

∈

∈

A

e b

∈

∈

∈

∈

B, isto é:

A X B = {(a,b) | ∀ a ∈ A, ∀ b ∈ B}

Ex.: Dados A={a} e B={a,b}

A X B = {(a,a), (a,b)} / B X A = {(a,a), (b,a)}

Relação -

Dados os conjuntos

A

e

B

, uma relação R de A

em B, denotada R: A

→

B, é qualquer subconjunto do

produto cartesiano A X B.

Ex.: Dados A={1,3,5} e B={3,9,15,20}, a relação

R:

A→B, tal que:

R = {(a,b) | b=3a} é dada pelos pares ordenados R = {(1,3),

2 – Funções Parciais e Totais

Revisão Conceitos Básicos

Relação – A relação pode ser representada através de

Diagrama de Venn

.

Domínio e Imagem de uma Relação - O Domínio de uma

relação

R

, denotado

D

(

R

), é o conjunto formado pelos primeiros elementos de cada par ordenado da relação. No exemplo

anterior, o domínio é o conjunto

D

(

R

) = {1,3,5}

A Imagem de uma relação

R

, denotada

I

(

R

), é o conjunto

formado pelos segundos elementos de cada par ordenado da relação. exemplo anterior, o domínio é o conjunto

I

(

R

) = {3,9,15} 1 3 5 3 9 15 20

2 – Funções Parciais e Totais

Revisão Conceitos Básicos

Função – Dados os conjuntos

A

e

B

, uma função f de

A

por

B

, denotado f:

A

→

B

, é qualquer relação que associa

a todo elemento de A um único elemento de B.

Domínio, Contra-domínio e imagem de uma função

– Em uma função f:

A

→

B,

o domínio é o conjunto A e

o contra-domínio é o conjunto B. A imagem de f é o

subconjunto de B, cujos elementos estão associados a

algum elemento do domínio.

Genericamente, denotamos os pares ordenados de f por

(x,y), onde x ∈ A e y ∈ B e escrevemos também y=f(x).

1 2 3 4 5 6 7  D(f) = {1,2,3,4}  CD(f) = {4,5,6,7}  I(f) = {4,5,7}

2 – Funções Parciais e Totais

Exercício

1. Dados os conjuntos

A

= {-2,-1,0,1} e

B

= {-1,0,1,2,3}, determine

a relação R₁={(a,b) ∈ A X B | b=a2 _{– 1}. Verifique se a relação é}

uma função e em caso positivo, determine o domínio e imagem da mesma.

2 – Funções Parciais e Totais

Relação como Grafos

Toda relação

R: A

→

B

pode ser representada a partir de um

grafo direcionado com arestas ligando cada par ordenado (a,b), com origem em a e destino em b.

Ex.: Dados A={1,2,3} e B={4,5}

A X B: A→→→→B {(1,4), (1,5), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5)}
<:A→→→→A = {(1,2), (1,3), (2,3)} 1 2 3 4 5 1 2 3

2 – Funções Parciais e Totais

Relação como Matrizes

A relação

R: A

→

B

pode ser representada na forma de matriz, o

que facilita sua implementação em sistemas computacionais.

Seja A={a₁, a₂, ...a_n} e B={b₁, b₂, ...b_m} dois conjuntos finitos.

A representação da relação R como matriz é como se segue:

O número de linhas é n (número de elementos do domínio).
O número de colunas é m (n° de elementos do Contra-Domínio)
A matriz tem n * m posições e cada posição contém um valor

lógico – verdadeiro ou falso.

Se (ai, bj) ∈ R, então a posição contém o valor verdadeiro (1); caso

contrário, contém o valor falso (0).

Ex.: Sejam A={a}, B={a,b} e C={0,1,2}. As seguintes relações

são representadas como matrizes:

1 - A X B: A→→→→B 2 – S={(0,a), (1,b)}: C→→→→B 3 - =: A→→→→B 1 1 a b a A X B 0 0 2 1 0 1 0 1 0 b a S 0 1 a b a =

2 – Funções Parciais e Totais

Relação Dual

Seja relação R: A→B. A Relação Dual, Oposta ou Inversa é denotada

por: R-1: B→A e é obtida pela inversão dos componentes de

cada par ordenado.

R-1= {(b,a) | (a,b) ∈ R}

A X B: A→→→→B , (A X B)-1 = B X A: B→A

A matriz da relação dual é a matriz transposta da matriz da

relação.

O grafo da relação dual é o grafo resultante da inversão dos

sentidos das arestas.

Composição de Relações

Sejam as relações R: A→B e S:B →C. A composição de R e S,

resultando na relação:

S ° R: A → C, tal que:

2 – Funções Parciais e Totais

Composição de Relações

Ex: A composição das relações R: A→B e S:B →C é S°R: A → C,

sendo que:

R = {(a,1), (b,3), (b,4), (d,5)}
S = {(1,x), (2,y), (5,y), (5,z)}
S ° R = {(a,x), (d,y), (d,z)}

A composição das relações é mostrada no diagrama abaixo:

a b c d 1 2 3 4 5 x y z A _B C R _S S ° R

2 – Funções Parciais e Totais

Tipos de Relações – Uma relação pode ser classificada nos

seguintes tipos, os quais não são mutuamente exclusivos:

Funcional
Injetora
Total
Sobrejetora
Monomorfismo
Epimorfismo
Isomorfismo

Os tipos acima possuem noção de dualidade que pode simplificar o

estudo e a respectiva compreensão de cada tipo.

Funcional é o dual de injetora e vice-versa
Total é o dual de sobrejetora e vice-versa.

Monomorfismo é o dual de epimorfismo e vice-versa.
Isomorfismo é dual de si mesmo.

11

2 – Funções Parciais e Totais

Relação Funcional – define o conceito de função.

Seja a relação

R: A

→

B. R é funcional se e somente se:

(∀a∈A)(∀b1∈B)(∀b2∈B)(aRb1 ∧ aRb2 → b1=b2)

Ou seja, em uma relação funcional, cada elemento de A

está relacionado com, no máximo, um elemento de B.

Ex.: Sejam A={a}, B={a,b} e C={0,1,2}. Então:

Matriz: existe,

no máximo

, um valor verdadeiro em cada

linha da matriz.

Grafo: existe,

no máximo

, um arco partindo de cada

nó.

Não são relações funcionais:

A X B: A→B <: C→C

São relações funcionais:

∅: A→B

{(0,a), (1,b)}: C→B =: A→B

2 – Funções Parciais e Totais

Relação Injetora – o inverso (dual) de uma funcional.

Seja a relação

R: A

→

B. R é injetora se e somente se:

(∀b∈B)(∀a1∈A)(∀a2∈A)(a1Rb ∧ a2Rb → a1=a2)

Ou seja, em uma relação injetora, cada elemento de B

está relacionado com, no máximo, um elemento de A.

Ex.: Sejam A={a}, B={a,b} e C={0,1,2}. Então:

Matriz: existe,

no máximo

, um valor verdadeiro em cada

coluna da matriz.

Grafo: existe,

no máximo

, um arco chegando em cada

Não são relações injetoras:

B X A: B→A <: C→C

São relações injetoras:

∅: A→B

{(0,a), (1,b)}: C→B =: A→B

2 – Funções Parciais e Totais

Relação Total

Seja a relação R: A

→

B. R é total se e somente se:

(

∀

a

∈

A)(

∃

b

∈

B)(aRb)

Ou seja, em uma relação total, para cada elemento de

A, existe pelo menos, um elemento de B.

Ex.: Sejam A={a}, B={a,b} e C={0,1,2}. Então:

Matriz: existe,

pelo menos

, um valor verdadeiro em cada

linha da matriz.

Grafo: existe,

pelo menos

, um arco partindo de cada

nó.

Não são relações totais:

∅: A→B

{(0,a), (1,b)}: C→B <: C→C

São relações totais:

=: A→B A X B: A→B

2 – Funções Parciais e Totais

Relação Sobrejetora

Seja a relação R: A

→

B. R é sobrejetora se e somente se:

(

∀

b

∈

B)(

∃

a

∈

A)(aRb)

Ou seja, em uma relação sobrejetora, para cada

elemento de B, existe pelo menos, um elemento de A.

Ex.: Sejam A={a}, B={a,b} e C={0,1,2}. Então:

Matriz: existe,

pelo menos

, um valor verdadeiro em cada

coluna da matriz.

Grafo: existe,

pelo menos

, um arco chegando em cada

nó.

Não são relações sobrejetoras:

=: A→B

∅: A→B <: C→C

São relações sobrejetoras:

=: A→A

{(0,a), (1,b)}: C→B A X B: A→B

2 – Funções Parciais e Totais

Monomorfismo ou monorrelação

Seja a relação R: A→B. R é um monomorfismo se e somente

se for simultaneamente TOTAL e INJETORA.

Ou seja, em um monomorfismo, cada elemento de B, está

relacionado com, no máximo, um elemento de A.

Ex.: Sejam A={a}, B={a,b} e C={0,1,2}. Então:

Matriz: existe,

pelo menos

, um valor verdadeiro em cada linha (total) e

no máximo

um valor verdadeiro em cada

coluna(injetora) da matriz.

Grafo: existe,

pelo menos

, um arco partindo (total) e

no

máximo

, um arco chegando (injetora) em cada nó.

Não são monomorfismos:

B X C: B→C ∅: A→B {(0,a), (1,b)}: C→B <: C→C

São monomorfismos:

=: A→B A X B: A→B

2 – Funções Parciais e Totais

Epimorfismo ou Epirrelação

Seja a relação R: A→B. R é um Epimorfismo se e somente se

for simultaneamente FUNCIONAL e SOBREJETORA.

Ou seja, em um Epimorfismo, cada elemento de A, está

relacionado com, no máximo, um elemento de B.

Ex.: Sejam A={a}, B={a,b} e C={0,1,2}. Então:

Matriz: existe,

pelo menos

, um valor verdadeiro em cada

coluna (sobrejetora) e

no máximo

um valor verdadeiro em cada linha(funcional) da matriz.

Grafo: existe,

pelo menos

, um arco chegando (sobrejetora)

e

no máximo

, um arco partindo (funcional) em cada nó.

Não são epimorfismos:

=: A→B ∅: A→B A X B: A→B <: C→C

São epimorfismos:

=: A→A {(0,a), (1,b)}: C→B

2 – Funções Parciais e Totais

Isomorfismo ou Isorrelação

Seja a relação R: A→B. R é um Isomorfismo se e somente se

for simultaneamente TOTAL, FUNCIONAL, INJETORA E

SOBREJETORA.

Ex.: Sejam A={a}, B={a,b} e C={0,1,2}. Então:

Definição para grafos e matrizes ?

Enviar por e-mail – jorge.cavalcanti@univasf.edu.br

Não são isomorfismos:

∅: A→B A X B: A→B <: C→C

São isomorfismos:

∅: ∅ → ∅ {(0,1), (1,2), (2,0)}: C→C

2 – Funções Parciais e Totais

Exercício

1.

Dados os conjuntos

A

= {2,3,4,5} e

B

= {3,4,5,6,10},

determine as relações R

₁

= A X B: A

→

→

→

→

B e R

₂

= <: A X B

A

→

→

→

→

B, determinando o(s) tipo(s) de relação de R

₁

e R

₂

e

faça a representação de cada uma por matriz e por grafo.

2 – Funções Parciais e Totais

Funções Parciais

Uma

função parcial

é uma relação funcional. Se a relação

funcional for

total

, então é denominada de função total ou simplesmente

função.

É uma função que não é definida para todos os elementos

do domínio. Normalmente, as abordagens matemáticas são focadas no conceito de função total, mas o estudo de funções parciais é tão importante quanto o de total.

Relações Funções Parciais

2 – Funções Parciais e Totais

Função Parcial

Todos os conceitos vistos para uma relação funcional são válidos para

funções parciais, como por exemplo:

As terminologias de domínio, imagem etc..
Os tipos injetora, sobrejetora etc..

Definição: uma Função Parcial é uma relação funcional f⊆ A x B
Cada elemento do domínio está relacionado com no máximo,

um elemento do contradomínio.

Uma função parcial é denotada por f: A→→→→B e o par (a,b)∈f é

denotado por f(a)=b.

Ex.: Sejam A={a}, B={a,b} e C={0,1,2}. Então:

Não são funções parciais:

A X B: A→B <: C→C

T⊆ A x B, T={(a,a), (a,b)}

São funções parciais:

∅: A→B

{(0,a), (1,b)}: C→B =: A→B

2 – Funções Parciais e Totais

Função Parcial

Matriz: existe,

no máximo

, um valor verdadeiro em cada linha

da matriz.

Grafo: existe,

no máximo

, um arco partindo de cada nó.

Ex.: Sejam A ={0,1,2}, B ={a,b} e f={(0,a), (1,b)}: A→→→→B

A operação div:

ℜ→

ℜ→

ℜ→

ℜ→ ℜ

ℜ

ℜ

ℜ

tal que div(x, y) = x/y é uma

função parcial pois não é definida para (x, 0), qualquer

que seja x

∈ℜ

ℜ

ℜ

ℜ

.

0 0 2 1 0 1 0 1 0 b a f 0 a 1 _b

2 – Funções Parciais e Totais

Função Parcial Dual (oposta, inversa)

A relação dual de uma função parcial não necessariamente é

uma função parcial.

Seja A={0,1,2} e a função parcial f:A x A tal que f={(0,2),(1,2)

}. Assim, a relação dual (inversa) de f é f-1 _{={(2,0),(2,1)}, que}

claramente não é uma relação funcional e então, não é uma função parcial.

Lembrar que o dual de uma relação funcional é injetora.

Composição de Funções Parciais

Por definição, a composição de relações funcionais é uma

relação funcional. Daí, a composição resultante de funções parciais também é uma função parcial.

2 – Funções Parciais e Totais

Composição de Funções Parciais

Ex.: A composição das funções parciais f: A

→

B e g: B

→

C é g

°

f: A

→

C, sendo que:

f = {(a,1), (c,5), (d,5)}

g = {(1,x), (2,y), (4,y), (5,z)}
g ° f = {(a,x), (c,z), (d,z)}

A composição das funções é mostrada no diagrama

abaixo: a b c d 1 2 3 4 5 x y z A B C f _g g ° f

2 – Funções Parciais e Totais

Restrição do domínio de uma Função Parcial

É possível definir uma restrição sobre uma função a partir de um subconjunto do seu domínio.

Sejam f: A→B e A₀ um conjunto tal que A₀⊆ A. Então a restrição

do domínio de f relativo a A0, denotado por: f\A₀: A₀→B é tal que:

f\A₀ = f ∩ (A₀ X B)

Ex: Sejam A={1,2,3,4,5}, B={x,y,z} e a função parcial f: A→B,

como ilustrado na figura abaixo (esquerda). Para A₀={3,4,5}, f\A₀: A₀→B é como mostra a figura a seguir (direita)

1 2 3 4 5 x y x A f _B A₀ 3 4 5 x y x A₀

f\A

₀ B

2 – Funções Parciais e Totais

Restrição do domínio de uma Função Parcial

Sejam A={a}, B={a,b} e C={0,1,2}. Então, para cada

função parcial da coluna da esquerda é apresentada, na

coluna da direita, uma correspondente função parcial

restrita para um dado subconjunto do domínio.

∅\A = ∅: A→B R\{0} = {(0,a)}: {0}→B id_B\A= {(a,a)}: A →B ∅: A→B R = {(0,a), (1,b)}: C→B id_B= {(a,a), (b,b)}: B →B

2 – Funções Parciais e Totais

Função Total

Uma

função total

ou simplesmente

função

é uma função parcial

f: A→B a qual é total.

É uma função que é definida para todos os elementos do

domínio (A), ou seja devem ser válidas as seguintes proposições:

(∀∀∀∀a∈∈∈∈A)(∃∃∃∃b∈∈∈∈B)(aRb) e

(∀∀∀∀a∈∈∈∈A)(∀∀∀∀b1∈∈∈∈B)(∀∀∀∀b2∈∈∈∈B)(aRb1 ∧∧∧∧ aRb2 →→→→ b1=b2)
Sejam A={a}, B={a,b} e C={0,1,2}. Então:

Não são funções:

R ⊆ A X B, R= ∅ ∅ : A→B S ⊆ C X B, S={(0,a), (1,b)} {(0,a), (1,b)}: C→B <: C→C São funções: h ⊆ C X B, h={(0,a), (1,b), (2,b)} {(0,a), (1,b), (2,b)}: C→B

p ⊆ A X B, xpy ⇔ x=y, p = {(a,a)} =: A→B

2 – Funções Parciais e Totais

Função

Em termos de notação como matriz ou grafo, basta

considerar que uma função é uma relação funcional e total. Assim:

Matriz: existe,

exatamente

, um valor verdadeiro em cada linha da matriz.

Grafo: existe,

exatamente

, um arco partindo de cada

nó.

Função Injetora

-

Seja a função

f: A

→

B. f é injetora se e

somente se:

(∀b∈B)(∀a1∈A)(∀a2∈A)(f(a1) =b ∧ f(a2) =b → a1=a2)

Ou seja, em uma função injetora, cada elemento de B está

relacionado com, no máximo, um elemento de A.

Ex1. f: 

→

→

→

→



| f(x) = x

3, é injetora.
Ex2. f: 

→

→

→

→



| f(x) = x

2, não é injetora.
Ex3. f: 

→

→

→

→



| f(x) = x

2, é injetora.

2 – Funções Parciais e Totais

Em uma Função injetora, cada elemento do co-domínio é

imagem de no máximo, um elemento do domínio.

Função Sobrejetora - Seja a função f: A→B. f é

sobrejetora se e somente se:

(∀b∈B)(∃a∈A)(f(a)=b)

Ou seja, em uma relação sobrejetora, para cada elemento

de B, existe pelo menos, um elemento de A.

Em uma Função sobrejetora, todo elemento do co-domínio é

imagem de pelo menos, um elemento do domínio.

Função bijetora (ou isomorfismo) – Quando uma função

é, simultaneamente, injetora e sobrejetora.

Em uma Função bijetora, todo elemento do co-domínio é

imagem, exatamente, de um elemento do domínio.

3 4 5 x y x A

_f

B

2 – Funções Parciais e Totais

Exercício

1. Considerem-se as funções adição sobre o conjunto dos números naturais

(+: x → ), divisão, sobre o conjunto dos números reais (/: x →

), e raiz quadrada, sobre o conjunto dos números inteiros (√:  → ).

Verificar as propriedades (injetora, sobrejetora e total) de cada função (1)_.

= Números naturais {0,1,2..}

=Números inteiros {...-2,-1,0,1,2...}

= Números reais.

Não Não Sim √:



→



Não Sim Não /:

x

→



Sim Sim Não +:

x

→



Total Sobrejetora Injetora

(1) _{Do Livro Linguagens Formais – Teorias, Modelagem e Implementação,} Ramos, M. V. M., Neto, J.J. e Vega, I. S. – Bookman, 2009.

2 – Funções Parciais e Totais

Função Dual (Oposta)

Da mesma forma que em funções parciais, a

relação dual de uma função (total) não

necessariamente é uma função.

Exemplos

Seja A = {0,1,2} e a função R ⊆ A x A tal que

R={(0,2),(1,2),(2,1)}. Assim, a relação dual (inversa) de R é R-1 _{= {(2, 0), (2, 1), (1, 2) }, que não é uma relação funcional}

e então, não é uma função.

Seja f: {0, 1} → {0, 1, 2} tal que f = { (0, 0), (1, 1) }. Assim,

sua dual possui o mesmo conjunto de pares ordenados, { (0, 0), (1, 1) }, mas não é função.

2 – Funções Parciais e Totais

Composição de Funções Totais

A composição das funções totais f: A

→

B e g: B

→

C é

g

°

f: A

→

C, sendo que:

f = {(a,1), (b,2), (c,5), (d,5)}

g = {(1,x), (2,y), (3,y), (4,y), (5,z)}
g ° f = {(a,x), (b,y), (c,z), (d,z)}

A composição das funções é mostrada no diagrama abaixo:

a b c d 1 2 3 4 5 x y z A B C f _g g ° f g ° f