Álgebra Linear- Teoria e Aplicações - Thelmo de Araujo

(1)

Thelmo

de

_Araujo

Álgebra

Linear:

T

eoría

e

Apúbaçô'ea

l/çb

1

(2)

TEXTOS

UNIVERSITÁRIOS

Thelmo de

_Araujo

Á

_[geôm

Línea/º;

T

cúria

e

Aplicaçõea

1ª

edição

2014

Rio

de

Janeiro

E“?

SEM

(3)

'

Álgebra

Línea/ª:

(4)

Álgebra Linear: Teoria eAplicações

A reprodução não autorizada desta publicação, no todo ou em parte, constitui violação de direitos autorais. (Lei 9.610/98)

Sociedade Brasileira deMatemática

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FICHAC'ATALOGRÁFICAPREPARADAPEIA SEÇÃODETRATAMENTODA

INFORMAÇÃO DABIBLIOTECAPROFESSOR ACHILLE BASSI—ICMC/USP

Araújo, Thelmo Pontes de

A663a Álgebra linear: teoria eaplicações/Thelmo Pontes

deAraújo. —Rio deJaneiro: SBM,2014.

360p. (ColeçãoTextos Universitários; 16)

ISBN 978-85-8337-025-3

1.Sistemasdeequações. 2. Espaçosvetoriais.

(5)

(6)

Credo

ut

intellegam, Intellego

ut

creditªr

(7)

Sumário

Prefácio

1 Sistemas

de Equações

Lineares

1

1.1 Matrizes

e

Vetores

...

2

1.2 Sistemas Lineares

e o Método de Eliminação de

Gauss

... 15

1.3 Decomposição

LU

...

29

1.4

Eliminação

Gaussiana

com

Pivotamento

Parcial ...

38

1.5

Aplicação: Método de Gauss—Jordan ... 51

2

Espaços

Vetoriais

59

2.1

Espaços e Subespaços

Vetoriais

... 59

2.2

Independência

Linear,

Base

e

Dimensão

...

71

2.3 Base

Ordenada

e Mudança de

Base

...

81

2.4 Os Quatro

Subespaços Fundamentais ...

90

2.5

Subespaços

Fundamentais,

Sistemas

Lineares

e

Invertibilidade

...

103

2.6

Aplicação:

Grafos

...

108

3

Ortogonalidade

117

3.1 Norma

e Produto

Interno

...

117 3.2 Vetores

e

Subespaços Ortogonais

...

129

3.3

Projeções e

o

Processo

de

Gram-Schmidt

...

137

3.4

Decomposição

QR

...

145

3.5

Aplicação: Mínimos

Quadrados

...

154

4 Determinantes

161

4.1 Determinante

de

uma

Matriz

...

162

(8)

Sumário 4.3 _Aplicações

...

184 5

Autovalores

191 5.1

Sistemas

Mecânicos

...

192 5.2 Autovalores e Autovetores

...

199 5.3

Matrizes

Complexas

...

210 5.4 Diagonalização

...

217 5.5

Teorema

Espectral

...

225

5.6 Aplicação: Cadeias de Markov ... 238

5.7 Aplicação: SVD e PCA ... 243

6 Transformações Lineares 251 6.1 Transformações Lineares

...

251

6.2 Dois Subespaços Fundamentais

...

261

6.3 Representação Matricial de Transformações Lineares ... 268

6.4 Operadores Autoadjuntos

...

276

6.5 Aplicação: Transformações Lineares Geométricas

...

284 Apêndices

A

MATLABº

e GNU Octave 297

B Corpos 303

C Números Complexos 307

Bibliografia 313

Respostas de Exercícios Selecionados 317

(9)

Prefácio

'

E

praxe

no universo

editorial dos livros de Matemática justificar — _quase

como um pedido de desculpas —— o aparecimento de mais uma obra.

Versando

ela sobre uma disciplina

basica,

como Álgebra

Linear,

a _praxe

torna-se

uma

obrigação: há

tantos

bons livros de Álgebra

Linear

que um a mais pode parecer

desnecessário.

Pior

ainda,

pode ser indesejado.

Creio,

no

entanto,

que a existência deste pequeno livro justifica-se por

qua-tro

de suas características: ser

conciso,

possuir nível de abstração adequado,

propor aplicações e apresentar decomposições matriciais.

Concisão.

Durante

os anos que venho ensinando Álgebra Linear para alu—

nos dos cursos de Matemática

(bacharelado

e

_{licenciatura),}

_Engenharias e

Ci—

ência da Computação, adotei livros _quer por suas aplicações engenhosas, quer

por apresentarem a

teoria

de forma elegante e completa, ou mesmo por sua

grande quantidade de bons exercícios.

Entretanto,

adotando

esses

livros,

sem-pre fui

forçado

a

escolher,

entre

uma dezena ou mais de capítulos, os cinco ou

seis

que comporiam

uma

disciplina de

60

ou de

90

horas. Escolhas desse tipo

em uma

disciplina

matematica

básica trazem o risco de perder a

continuidade

de _exposição

pensada

pelo

autor,

levando

os leitores a não mais acompanhar

as demonstrações e os exemplos.

Percebi, ainda,

no

Mestrado

Acadêmico em Ciência da Computação da

UECE,

que

muitos

estudantes

de

pós—graduação

precisavam de uma revisão

acelerada

dos

conteúdos

básicos de Algebra

Linear.

Tal

necessidade,

possi—

velmente

compartilhada

com

alunos das engenharias e das ciências

exatas,

poderia ser

suprida

por

um

livro

introdutório

mais

conciso,

porém abrangente

0

suficiente para

incluir

os

conceitos

de

autovalores

e

autovetores.

Nível de abstração.

O Prof.

Elon

Lages

Lima afirma

que

a

“decisão

de

apre—

sentar

a Álgebra

Linear sob

o

ponto de

vista das transformações

lineares,

das

matrizes

ou das

formas

quadráticos

[.

.

.]

e'

muitas

vezes

uma

questão

de

(10)

Prefácio

e ha

defensores

ferrenhos de cada uma delas apesar de poucºs preferirem as

formas

quadráticas para um primeiro curso. É de minha convicção,

entretanto,

que as

dificuldades

que os estudantes — em _geral em seu primeiro ₀₁₁ _segundo

semestre na universidade — enfrentam _provêm do caráter de novidade e abs—

tração da disciplina e poderiam ser reduzidas apresentando—se inicialmente a

teoria completa com matrizes. Somente depois, seriam introduz1das as trans— formações lineares.

Aplicações. A ênfase nas matrizes tem a vantagem adicional de possibilitar

a aplicação imediata dos conceitos aprendidos em diversas áreas do conheci—

mento. Cada capítulo deste livro encerra—se com uma ou mais aplicações, que

vão de um método para calculo da inversa de uma matriz até uma técnica

de compressão de imagens, além de dicas de aplicações dispersas pelas seções a pretexto de motivação. Os professores podem trabalhar com seus alunos e

desenvolver mais ainda as aplicações existentes.

Cuidei para que o número dessas aplicações não fosse

excessivo,

e

corressem,

assim,

o risco de serem esquecidas.

Decomposições matriciais. Além das aplicações

imediatas,

trabalhar com

matrizes favorece a introdução de um dos tópicos

fundamentais

da Álgebra

Linear Numérica: as decomposições matriciais. Sem abordar os algoritmos

para o cálculo dessas decomposições — o que não é apropriado neste nível

—,

o livro apresenta as decomposições

LU,

QR e espectral com mais profundidade

e menciona

outras,

como

SVD,

LDU e Cholesky.

Um conhecido exemplo de instabilidade da eliminação gaussiana sem pi—

votamento parcial foi incluído para mostrar ao leitor o cuidado que se deve

tomar ao passar do universo da exatidão matemática para o universo dos com—

putadores, que trabalham com um conjunto — por maior que seja — finito de números racionais.

Assim,

o livro foi concebido pequeno o suficiente para ser coberto por com—

pleto em um semestre de 90

horas,

ou num de 60

horas,

se as demonstrações das Seções

4.2,

6.3 e 6.4 forem omitidas. O número de exercícios foi

dimen-sionado para que o estudante possa fazê—los todos. Optei, diversas

vezes,

por

demonstrações mais simples

—

usando o produto interno

euclidiano,

por

exem-plo —— para que todas possam ser acompanhadas, quer o estudante esteja num

curso de

Matemática,

quer esteja num curso de Engenharia, Computação ou

similar. Creio que um curso de Álgebra Linear sem demonstrações dificulta

(11)

Prefácio

Algumas

demonstrações,

que

costumo

chamar

de

visuais,

como

as

da

Pro—

posição

3.2,

do

Teorema

5.2

e

do

Lema

de

Schur,

são

muito

favorecidas

pela

abordagem matricial

e reforçam minha

convicção da

escolha

feital.

Por

fim,

deixo

as seguintes sugestões de

roteiro

de estudo e

uma

visão

geral

dos

conteúdos

dos

capítulos.

Numa

disciplina de

90 horas-aula,

ou três aulas

semanais

de

uma

hora

e quarenta

minutos,

todo o livro pode ser

coberto,

todas as demonstrações explicadas e todos os exercícios podem ser

resolvidos

pelo

estudante.

Algumas

seções,

em especial as do Capítulo

6,

tomarão duas ou mais aulas.

O

professor

disporá ainda de

8

a

10

aulas para

exercícios,

avaliações e

outras

atividades.

Se

a disciplina dispuser

somente

de

60 horas—aula,

ou duas aulas

semanais,

o professor poderá ainda cobrir todo o

livro,

mas,

provavelmente, terá de abrir

mão das

demonstrações

das

Seções

4.2,

6.3

e

6.4. Ao

leitor que deseja rever o conteúdo de Álgebra

Linear

para uso numa pós-graduação, sugiro uma menor ênfase ao Capítulo

4,

sobre determinantes,

e,

dependendo do

curso,

a

Seção

6.3. O

Capítulo

1

inicia com uma pequena revisão sobre matrizes e

vetores

e introduz a maneira como o produto de uma matriz por um

vetor

deve ser

“visualizado” pelo estudante: ela facilitará a compreensão de muitos resultados

e não deve ser menOSprezada.

Em

seguida, o método de eliminação de

Gauss

é

desenvolvido

em suas variantes # com ou sem pivotamento parcial —— e

apresenta-se a decomposição

LU.

O

método de Gauss-Jordan para inversão de

matrizes é a aplicação que

encerra

o capítulo.

No

Capítulo

2,

o leitor

entra

em

contato

com a

estrutura

algébrica estudada

pela Álgebra

Linear:

o espaço vetorial.

AS

noções de independência

linear,

espaço gerado, base e dimensão são definidas e os quatro subespaços

funda-mentais são

apresentados.

O

Teorema

Fundamental

da Álgebra

Linear

pode

ser,

então, enunciado

e

demonstrado.

Apesar deste capítulo

contrastar

com o

primeiro em termos de nível de abstração, ambos são relacionados na

Seção

2.5,

que

mostra

a importância de conhecer os espaços vetoriais subjacentes a

cada matriz para o

real

entendimento

do sistema linear correspondente.

Como

aplicação,

mostramos

que os subespaços fundamentais revelam—se importantes

1Com

este livro praticamente finalizado, tive conhecimento do Linear Algebra Curriculum

Study Group (ou Grupo de Estudo do Currículo de Álgebra Linear), formado por alguns

luminares da área, e sua recomendações (ver [6]) Dentre elas, a de que os departamentos de Matemática deveriam considerar seriamente fazer de seus primeiros cursos em Álgebra

(12)

Prefácio

no estudo das propriedades dos grafos.

Ortogonalidade é o tema do Capítulo 3: normas e produtos internos Sªº

definidos,

levando-nos ao conceito de vetores ortogonais. Derivam deste

.con-ceito a noção de projeção, o processo de ortonormalização de

Gram—Sclleldt

e

a decomposição matricial que dele procede diretamente: a decompOSÍÇªº

QR-A aplicação que fecha o capítulo, o método dos mínimos quadrados, é das mais

importantes, sendo usado em diversas áreas do conhecimento. Além disso, seu

desenvolvimento

faz uso de tudo que foi exposto até então no livro.

Apesar de adiarmos a discussão sobre determinantes até o Capítulo

4,

de—

vido a seu custo computacional, eles são enfim apresentados. A definição

escolhida é da expansão de Laplace, por ser mais facilmente justificada em

termos de sistemas lineares e mais acessível aos estudantes do que a definição

combinatória. As principais propriedades são

demonstradas,

bem como a regra

de Cramer e o método de inversão de matrizes Via matriz dos

cofatores,

que

São parte das aplicações do capítulo.

O Capítulo 5 apresenta um dos conceitos da Álgebra Linear mais frutíferos

em aplicações: os autovetores. A motivação, na Seção 5.1 vem de uma intro—

dução intuitiva aos sistemas mecânicos. Em seguida, autovalores e

autovetores

são calculados em três situações diferentes: autovalores

distintos;

autovalores repetidos, com um conjunto completo de

autovetores;

e autovalores repetidos,

com um conjunto incompleto de

autovetores.

Varias

propriedades das

matri-zes complexas são demonstradas e a parte teórica do capítulo culmina com

o Teorema Espectral. Pela beleza das aplicações, apresentamos duas

delas,

a

primeira sobre cadeias de Markov e a segunda sobre a

decomposição

de valor singular e sua utilização em compressão de imagens.

O último capítulo reapresenta a teoria — até então feita com matrizes

— utilizando transformações lineares. As principais definições São dadas nas

duas primeiras seções. Na Seção

6.1,

mostra-se

que as

transformações

lineares formam um espaço

vetorial.

Os dois principais

resultados

da Seção 6.2 são o

Teorema Fundamental da Algebra Linear e as equivalências sobre

isomorfismos

(similares às _{equivalências} da _{Seção 2.5).}

Uma

seção

inteira

é

dedicada

a

demonstrar que toda transformação linear entre espaços de

dimensão finita,

uma vez escolhidas suas

bases,

é representada por

uma

matriz,

justificando a

opção pelas matrizes no

desenvolvimento

da teoria.

Na

Seção

6,4,

o

Teorema

Espectral para operadores autoadjuntos é

demonstrado.

O capítulo encerra

(13)

Prefácio

TTêS Pequenos apêndices

foram

adicionados:

o

primeiro

apresenta

algumas

poucas

funções do

GNU

Octave,

com

o

intuito

de

estimular

o leitor a

usar

essa

ferramenta

computacional em

seus

estudos.

O

Apêndice

B

resume-se

basicamente

a

definição

de corpo e a exemplos de corpos além

de

IR

e

(C.

O

terceiro

e

último

pretende ser uma pequena revisão de números complexos.

Agradecimentos

Agradeço aos editores e aos revisores da

Sociedade

Brasileira de

Matema-tica que corrigiram

tanto

a primeira

versão,

ainda incompleta, do

manuscrito

quanto

esta

que chega agora ao público.

Varios

colegas indicaram livros e exercícios que muito me auxiliaram.

En—

tre

eles,

destaco os Professores Marcelo Pinheiro

Klein,

José Euny

Moreira

Rodrigues,

Gustavo

Augusto Lima de Campos e Francisco

Luiz Rocha

Pimen—

tel.

As conversas

com o Prof.

Francisco

Pimentel orientaram—me em algumas

encruzilhadas

do projeto.

O

incentivo

desses e de

outros

colegas durante todo

o processo de criação deste volume foi alento para a inglória missão.

A

todos

eles,

meus agradecimentos.

Agradeço especialmente ao meu amigo

Fernando

Antônio Amaral

Pimentel,

que sugeriu diversas melhorias e corrigiu as versões preliminares deste

livro,

ajudando—me a imprimir—lhe o rigor que a Matemática exige.

Os

erros que

porventura

restaram

são de minha

autoria.

Não

ha projeto de longo prazo que se

desenvolva

e se consolide num lar em

desarmonia.

Sem

o apoio de minha esposa,

esta

obra não seria possível.

Fortaleza,

verão de

2014

(14)

1 Sistemas

de

_Equações

Lineares

Se

pudéssemos definir a Álgebra

Linear

em poucas palavras, diríamos que

ela é o estudo das combinações lineares de

vetores.

O

termo vetor

evoca,

na maioria dos

estudantes,

as aulas de

Física,

em especial as de Mecânica.

Nelas,

um

vetor

era simbolizado por uma

flecha,

que

indicava,

tanto

no plano quanto

no espaço

tridimensional,

a direção, o sentido e a magnitude de uma

gran-deza

física,

como,

por exemplo, força,

velocidade,

ou aceleração,

entre

outras. Aqui,

entretanto,

trabalharemos com uma noção bem mais ampla de

vetor

— tomando-o como elemento de uma

estrutura

algébrica denominada espaço

vetorial

—,

sem porém nos esquecermos dessa intuição original da Física.

No

entanto,

não iniciaremos nosso estudo com espaços

vetoriais,

mas com

sistemas de equações lineares.

Isso,

por dois motivos: o primeiro é que uma

parcela imensa dos cálculos científicos realizados em computadores

resume-se em calcular soluções de sistemas lineares.

O

segundo é a importância do

método de

Gauss

para a resolução de sistemas lineares no

desenvolvimento

teórico da Álgebra

Linear.

Centramos,

então,

este

capítulo no método de eliminação de

Gauss

—

tam-bém

conhecido

por eliminação gaussiana — para a resolução de

sistemas

de

equações lineares.

Antes

de apresenta-lo,

revisaremos

alguns

conceitos sobre

matrizes _já

conhecidos

pelos

estudantes,

introduzindo novas maneiras de ver e

trabalhar com

matrizes

e

vetores,

além de

relembrar

algumas

matrizes

especi—

ais.

O

método de eliminação de

Gauss

será exposto

inicialmente

em

sua

forma

mais simples, seguido de

sua

variante

com pivotamento parcial.

Por

meio

deles,

(15)

2 Sistemas de Equações Lineares Capítulo 1

de uma matriz em um produto de duas ou mais matrizes. As

decomp081—

ções matriciais têm importantes aplicações na Álgebra Linear

COmPUtªºlºnªl'

Neste capítulo, conheceremos a decomposição LU e suas variantes

PA

= LU

e PA :LDU.

_

Ao final deste capítulo — e de todos os outros

—,

mostraremos uma aphºª'

ção dos assuntos estudados: um método de inversão de matrizes

denominado

método de Gauss-Jordan.

1.1 Matrizes

e

Vetores

Matrizes nada mais são que tabelas de números — _ao menos _à _primelra

vista — _organizados _em _linhas _{(horizontais)} _e _colunas _(verticais), _{podendo ser}

quadradas: 2 1 0

A:“í],

B: -1 1

_-1,

6 8 2 ounão: —1 0

C=[ãgí],

D: —10 9 3

Dizemos que m x n (lê-se m por n) são as dimensões de uma matriz quando

ela possui m linhas e n colunas.

Assim,

uma matriz com 3 linhas e 4 colunas é dita de dimensões 3 >< 4. Denotamos as matrizes por letras latinas maiús-culas (A, B etc.) e seus elementos por letras latinas

minúsculas,

geralmente

indexadas para indicar sua posição (alg, ai,—, aug etc.), o primeiro índice re—

presentando a linha em que o elemento se encontra e o segundo indicando a

coluna. No exemplo acima, (112 = 2 e

am

: 7 são o segundo elemento da

primeira linha e o primeiro elemento da segunda

linha,

respectivamente, da

matriz A.

Podemos,

ainda, indicar as dimensões de uma matriz A por

Amxn.

O estudante deve estar familiarizado com as operações de adição e multi—

plicação de matrizes e de multiplicação de matriz por

escalar,

aprendidas no

Ensino Médio. Para evitar

confusão,

reservamos

as letras gregas minúsculas

(a,

6

etc.) para os escalares. O Apêndice

B,

sobre corpos, define com exati—

dão o Significado de escalar. Por todo o

livro,

um escalar é um número real ou complexo.

(16)

51.1

Matrizes e

Vetores

A

soma

de

duas matrizes

m

><

n

A

e

B

é

dada

por:

_

_ou

0,12 . . .

am

bn

blg . . . by,

A

+

B =

01.21 a?

.

a?"

+

bm

b22

. . .

bzn

L aml am2

-

º

-

amn

bml

bm2

bmn

aii

+

bll

042

+

512 —

.

-

a1n

+

bm

_

6121

+

521

G22

+

1722

-

—

.

ªan

+

b2n

L

aml

+

bml

am2

+

bm2

-

º '

amn

+

bmn

a

multiplicação de um escalar a por

A

é

0,11 0,12 . . . al,, (10,11

aan

. . . aaln

091 0,22 . . . 0,2“ Ctagl (“122 . . . GCI/gn

aA

=

a . . , .

=

,

aml amg . . .

am,,

aaml Ctamg . . .

eram,,

e o produto

AC

de

A

por uma matriz

0 n

><

[ é definido por

,.

(111 6112 .

-

—

ain C11 012

- - -

011

a21 a22

- -

-

azn

021 022 .

- -

021

AC

=

_(1.1)

_

aml am2 . . .

amn

Cnl Cn2 . . . Cnl

a11011

+

012021

+

' _' '

+

_ainCni

--. ªnciz

+

' ' '

+

ainCnl

a21C11

+

a22021

+

-

' '

+

_a2ncn1

—

- -

_aziciz

+

_' ' _'

+

a2ncnl

: )

am1011

+

017712021

+

' ' '

+

amncnl ' º ' amlcll

+

' ' '

+

amncnl

observando

que a

matriz

resultante

da multiplicação de uma matriz m

><

n por

uma n

><

1 tem

dimensões m

><

l.

O

produto

AC

pode ser

escrito

de maneira mais Sintética.

Se

D

:

AC,

então

d,,—

=

z

aikckj

,

(1-2)

k=1

parai==1,

2,

._.,

m

ej:

1,

2,

...,

[,

sendo

d,,

o

elemento

de

D

que ocupa

a

(17)

coluna-4 Sistemas de Equações Lineares Capítulo 1

Denotamos,

respectivamente, por

A2,

A3

etc. 05

PmdumS

matricials

AAª

AAA e assim por diante.

Exemplo 1.1. Alguns exemplos numéricos:

2 1 2 —1 0 3 _ 1 1 5

A+B=+3

4

OJ+[512]—[8

5

2],

212 2 4

“Aªªlszioi—i

4

80],

6 10 212 18

observando sempre se as dimensões são compatíveis. |:]

As operações de adição e multiplicação de matrizes, bem como a multipli-cação de matriz por escalar, possuem, entre outras, as seguintes propriedades,

que deixamos a cargo do leitor demonstrar:

a. (AB)C:A(BC);

b. _A(B

+

_{C) = AB}

+

_AC;

c. (B

+

C)A:BA

+

CA;

d. _a(A

+

B) = aA

+

GB;

para a escalar,

A,

B e C matrizes com dimensões compatíveis. E vale ressaltar:

a multiplicação matricial não é, em geral,

comutativa,

isto é, AB

#

BA (ver

Exercício 1.1.1).

Nas aulas de Física, aprendemos que determinadas grandezas necessitam

apenas de um número para serem caracterizadas. Um exemplo cotidiano de uma tal grandeza é a temperatura. Se o termômetro indicar

38ºC,

a pessoa

está com febre. Há, porém, outras grandezas que não podem ser completa—

mente caracterizadas apenas por um número. Se dissermos que um objeto tem

velocidade de 10

m/s,

ficará a dúvida: 10

m/s

em que direção? Com qual

sentido? Para caracterizar estas grandezas, os físicos usam os

vetores,

que são

entes matemáticos que possuem um comprimento (e.g.: 10 m

/

S), uma direção

(18)

51.1

Matrizes e

Vetores

5

No

Ensmo

Medio,

como

sempre representavam grandezas da Física

Clás-SIça,

so prec1savamos

de

vetores

do

(plano)

R2

ou,

no

máximo,

do

(espaço)

R

.

Isto

e,

os

vetores

eram

representados por

duas

ou

três

coordenadas.

Por

exemplo,

u

:

(u1,u2)

ou

v :

(u1,u2,u3).

Apesar

de

valorizarmos

muito as

interpretações físicas

dos conceitos

ma-temáticos, usando,

sempre que

conveniente,

exemplos

concretos,

gostaríamos

de,

desde

já,

acostumar

o

estudante

a pensar em

vetores

de uma maneira mais

abstrata:

um

vetor

u

& IR" é

uma

matriz-coluna,

isto

é,

uma matriz

n

><

1:

“1

U2

11:

un

Com

isso,

a partir de agora e por todo o

livro,

um

vetor

é uma

matriz-coluna,

representado por

letras

latinas minúsculas em negrito, e.g.,

u,

v,

x

etc.

A

transposta de uma matriz

A

m

><

n é a matriz

AT

n

><

m cujas colunas são

as linhas de

A,

assim podemos economizar espaço e escrever um

vetor

como a

transposta de uma matriz-linha:

T

u=[u1

U2

Un]

,

o sobrescrito T indicando a transposição da matriz-linha para a matriz-coluna

que representa o

vetor

u.

Estabelecida

a convenção

acima,

o produto de uma matriz

A

m

><

n por

um

vetor

x

no R" é dado pela equação

(1.1),

ou seja:

am

(Em . . . 0,1" acl

021 6122

- - -

a2n 502

Ax

=

_

aml am2 '

-

_'

amn

mn

011371

+

6112372

+

' ' '

+

ainªín

(19)

6 Sistemas de _Equações Lineares Capítulo 1

Não há nada de errado com a equação (1.3): ela é

conhecida

pelos

estu-dantes desde o Ensino Médio e é usada para o

calculo

efetivo dº

Prºdªtº

AX

Entretanto,

introduziremos uma maneira diferente (e muito útil) de interpre— tar esse produto. Para

tanto,

precisamos da seguinte definição'

provisória e

que ganhará maior precisão no Capítulo 2.

;mrwmª"”““-*ª“ WWWWWS“ '

1.

ªeiixniçãowí

“ª_{Úrriiaªcõmbinaçao}

linear

doSwvwetvores

Éàé

_meSmas

dimensoes

%vl,

v2,. . .

,

v,, é um vetor da forma '

011V1 +O£2V2 +"'

+anvn7

ªgâuaescalares

_«324.13.

₃₃₉

m genuxx. .:.—*º

..

.ITI ».er :

Podemos agora apresentar a nova maneira de interpretar o produto Ax:

O produto Ax é a combinação linear das colunas de A

cujos coeficientes são as coordenadas de x.

Denominando as colunas de A por vetores—coluna do Rm a,,1,a,,2, . . .

,a.

,,

'!

(as linhas de

A,

por sua

vez,

serão representadas por a“), podemos reescrever

o produto (1.3), de matriz por

vetor,

na forma:

an

012 ain %

(l CL a (L'

Ax : 21 22 . . . 2n 2

_

aml am2

L

amn

%

-

331

-| | |

,,

= a 1 a:,2 ª:,n

(20)

51.1

Matrizes e

Vetores

7

notando

que

.as

barras verticais,

bem

como

as

horizontais

em

(1.6),

são apenas

um

aux1ho

Visual

para

o

leitor.

E

de

fundamental

importância que o estudante resolva os

exercícios

pro-postos

sobre

produto

de

matrizes

por

vetores

até se sentir completamente

a vontade

com

a

forma

(1.4). O

hábito

de ver

o

produto de

uma matriz

por

um

vetor

como

combinação

linear

das colunas da matriz facilitará sobrema—

neira

a

compreensão de

muitos

dos conceitos mais abstratos que

trataremos

a

seguir. Algumas

horas

“perdidas” com esses cálculos serão compensadas

abun-dantemente

num

futuro

próximo.

Umas

poucas horas “economizadas” agora

poderão

dificultar

o

entendimento

de muitos conceitos e diversas

demonstra-ções de

Algebra

Linear.

Um

exemplo numérico:

Exemplo

1.2. O

produto abaixo pode ser calculado fazendo—se a combinação

linear das colunas da matriz em questão.

Assim:

1

2

3

1

2

3 —2

O

1 1

0 = 1

O

+

O

1

—

₁

=

—1

,

2

0

1 —1

2

0

1

1 como

esperado. !]

Essa

forma alternativa de

visualizar

o produto de matriz por vetor pode

ser

estendida

para o produto de matrizes.

Se

o produto de

uma matriz

Amxp

por um

vetor

b 6

RP

é o

vetor

Ab &

Rm,

então

o produto de

A

por

uma

matriz

Bpxn,

cujas n colunas são os

veto-res

b;,1, b:,2,

. . .

,b:,,,

6 R7”, é

uma matriz m

><

n _cujas

colunas

são os

vetores

Ab:,1, Ab:,2,

. . .

,AbW

E R”.

Graficamente:

| | | | | |

AB=A

b:1

ID:,2

b."

., :

Abzl

v

Ab;,2

Abm

.

(1.5)

, |

l

1.5)

para

vetores—linha1

pode ser assim descrito: se

multipli-O

análogo de

(

linha

yT

E

Rm

_pela matriz

Amxp,

obteremos

carmos,

pela

esquerda,

um

vetor-um

vetor-linha

yTA

€

Rªº

.

Ou

_seja,

1Apesar de insistirmOS que sempre consideramos um vetor como um vetor-coluna, ou

matriz-coluna, podemos abusar um pouco da linguagem e dizer que um vetor-linha de

(21)

_

aii ÚL12 ªln

yTA=[y1

yz

ym]

am

“22 az"

L[am1

__

am2

amª]

al,;

—

=[y1

yz

ym]

_

az

_

_—

ªm

-=yl[_

ªi,:

_]+"'+ym[—

ªm,:

“l-

(1-6)

Assim,

o produto de uma matriz

mep,

cujas linhas são os vetores—linha

C1,;,Cg,:, . . . ,em," por uma matriz Apm é uma matriz m ><

n,

cujas m linhas

são os vetores—linha

01,2A,017,A,

. . .

,

cm,,A

& R”. Graficamente:

— CI,: — —

el,;A

__

"' c2,: _ _

c2,:A

_

CA = , A =

—

cm,:

_ _

cm,:A

_

Finalizaremos esta seção apresentando algumas matrizes especiais que apa-recem em diversas aplicações de Algebra Linear.

Matriz

Diagonal

A diagonal principal de uma matriz

A,

com elementos ai,-, é formada pelos

elementos ai,-, isto é, pelos elementos

au,

a22 etc.

Uma matriz A é _diagonal se todos os elementos fora de sua diagonal

prin-cipal são

nulos,

isto é, aij:

0,

para i

76

j. Por exemplo:

2 0 0 O O 0 1 0 O O 0

0 1 0

,

0 3 O e 0 3 O O 0

(22)

51.1

Matrizes e

Vetores

9

MUItaS

Vezes,

subentende—se

_que

uma

matriz diagonal seja

também

qua-drada.

O

contexto,

em

geral,

indicará

se nos

referimos

a

matrizes

quadradas

ou

nao.

Matriz

Triangular

.

A

e uma

matriz triangular superior se todos os elementos abaixo de sua dlagonal pr1nc1pal sao

nulos,

isto

é,

aij

=

0,

para i

>

]".

Por

exemplo:

2

O

3

015

e

0 0 1

Já, se

bij

:

O

para

i

<

j, a matriz

B

é chamada de triangular

inferior.

São

exemplos de

matriz

triangular inferior:

8

0

O

2

0 0 0

O

0 1

0

e

3

1

O

0

O

4

7

9

4

6

2

0

O

O contexto

novamente

esclarecerá

se nos referimos a matrizes quadradas

ou não.

Matriz

Simétrica

Uma

matriz

quadrada

A

é dita simétrica se ai,- :_ªqi, isto

é,

se seus

elemen-tos

são

simétricos

em

relação à diagonal principal. Também podemos definir

uma

matriz

simétrica mais

sinteticamente:

A

é

simétrica

se

AT

:

A. São

exemplos de

matrizes

simétricas:

731

1 i1—2i

[14],

302

e

i

%

3 *º

3

128 1—2i3

7 Com

relação

ao

terceiro

dos

exemplos

acima,

cabe aqui

uma

observação:

as

matrizes

simétricas

de

interesse

são

as

reais,

pois

o

caso complexo exige

uma

pequena alteração

na

definição

para

ter

aplicações interessantes

(ver

matriz

(23)

Bem menos usada que a matriz simétrica, a matriz

antisszmetrica

e aquela

cuja transposta é igual a sua oposta, isto é,

BT

=

—B. Fica claro que toda

matriz antissimétrica possui diagonal principal nula.

—1

O _2 0 3

2 0 e —3 O 0

1 O 0

são exemplos de matrizes antissimétricas.

Um resultado interessante: toda matriz pode ser decomposta na soma de

uma matriz simétrica com uma matriz antissimétrica (ver Exercício 1.1.18).

Matriz

Hermitiana

Uma matriz A é

hermitiana,

também chamada de auto-adjunta, quando

A* =

A,

sendo A* = _(Ã)T =

_É,

a barra _{representando} o _complexo con—

jugado. O Apêndice C contém uma pequena revisão sobre números comple—

xos, mas aqui basta lembrar que o complexo conjugado do número complexo

z = a

+

ib é 3 = a

—

ib, sendo que

a,

b 6 R.

Assim,

um número real é o seu

próprio conjugado.

O nome hermitiana é uma homenagem ao matemático francês Charles Her—

mite (*1822

—

J(1901), já o termo auto-adjunta refere—se ao fato da matriz ser

sua própria adjunta, como é chamada a conjugada transposta (ou a transposta

conjugada) de uma matriz. .

É claro que, para se ter A* =

A,

os elementos da diagonal principal de A

têm de ser números reais. São exemplos de matrizes hermitianas:

. O

3+2i

—1—i

[; ª;]

e 3—2i 6 2

—1+i

2 1 Jáamatriz 1 i 1—2i i 2i 3 1—2i 3 7

não é

hermitiana,

apesar de ser simétrica.

Definida de forma análoga

a

matriz antissimétrica, uma matriz anti—

(24)

51.1

Matrizes e

Vetores

11

.

As

matrizes

hermitlanas

terão grande importância

no estudo

das

matrizes

diagonahzaveis, Que

faremos

no Capítulo

5. EXERCÍCIOS

1.1.1

Mostre,

por meio de um exemplo, que o produto matricial não é comutativo.

1.1.2

Se.A

é uma matriz m x

n,

que dimensões deve ter uma matriz B para que ex1sta a soma A

+

B? Quantas linhas deve ter O para que exista o produto

AC? Quantas colunas deve D para que exista o produto DA?

1.1.3 Mostre as seguintes propriedades da adição e multiplicação de matrizes: a. (AB)C = A(BC);

b. A(B

+

C) = AB

+

AC;

c. (B

+

C)A = BA

+

CA;

d. a(A

+

B) = aA

+

aB;

sendo que

A,

B e C são matrizes de dimensões compatíveis em cada caso e a é um escalar.

1.1.4 Encontre os produtos

xTy

e

xyT,

sendo

1 1 x= 2 e y= —1 1 3 1.1.5

Considere

as matrizes: 1 2 3 -1 1 1 4

A:

2 0 —1 1 e B: 2 —1 3 1 1 ——1 1 0 O 1 eos vetores 2 1 _O x= 1 e y= ._1 1 3

&.

Calcule

os produtos Ay e

Bx

por meio de combinações lineares das

(25)

12

1.1.6

1.1.7

1.1.8

1.1.9

Sistemas de Equações Lineares Capítulo 1

b. Calcule os _produtos

xTA

e

xTB

por meio de combinações lineares das

linhas das respectivas matrizes. c. Calcule 3A, BA,

B2

e

ATB.

Considere ainda as matrizes A e B e vetores x e y do Exercício 1.1.5. Diga

em que espaço (R3 ou R4) estão os seguintes vetores: as colunas de A, as

linhas de A, as colunas de B, as linhas de B, Ay, Bx,

xTA

e

xTB

.

Multiplicação em bloco. Dividindo as matrizes A e B em blocos de

submatrizes, por exemplo,

A12

_B ₌

_,

A=1

de tal maneira que as dimensões das submatrizes Au, A12, . . .

,

B22

_sejam compatíveis, podemos efetuar a multiplicação de A por B do seguinte modo:

]

.

Utilizando multiplicação em bloco, calcule o produto AB nos seguintes ca-sos:

A11

A21

311

321

312

322 A11Bu

+

141sz1

|

1411312

+

A121322

AB:

[

AziBn

+

A22321

|

A21312

+

A22322

&.

_

1201

ªê?

A=—10 31 _{eB=_______} 14—15 025

l6

1-b.

_

_q 123-1

$ª?

A: 0110 eB= _ _2374

3_0_____5_

_143_

Sejam A e B matrizes mx ;D epxn, respectivamente. Se A possuir uma linha de zeros, mostre que AB também possuirá uma linha de zeros. Enuncie e prove o resultado equivalente para uma coluna de zeros em B.

Sejam ei [O 0 1 0

O]T

o vetor do IR" tal que 1é a i-ésima

coordenada, e A uma matriz m ><n. Mostre que Ae,- é o vetor que representa

(26)

51.1

1.1.10 1.1.11 1.1.12 1.1.13 1.1.14 1.1.15 1.1.16 1.1.17 Matrizes e

Vetores

13

Sejam

e,-

=

[O

... O 1 0 ...

0]T

ovetor do Rm tal que 1é a i-éSÍmª

coordenada,

e A uma matriz m >< n. Mostre que

eiTA

é o vetor(—linhª) que

representa a i—ésima linha de A.

Mostre

as seguintes propriedades das matrizes transpostas:

a.

(AT)T

:

A;

c. (A

+

B)T

:

AT

+

BT;

sendo que A e B são matrizes de mesma dimensão e a é um escalar.

Sejam A uma matriz m x n e b um vetor do R".

Mostre,

utilizando a

expressão em (1.4), que

(Ab)T

=

bTAT.

Considere as matrizes

A,

m ><

n,

e

B,

n >< p. Mostre que

(AB)T

=

BTAT.

Calcule os produtos AB e BA para as matrizes

A: B:

GOOD OURO

MOD

CD

DON]

Dl—“O

CDGO

Prove que, se A e B são duas matrizes diagonais de mesmas dimensões n ><

n,

então AB

=

BA.

Utilizando as matrizes A e B do exemplo anterior, calcule

A3

e

B4,

isto

é, AAA e BBBB.

Mostre,

utilizando indução finita, que para elevar uma matriz diagonal a uma potência natural, basta elevar cada um de seus ele—

mentos da diagonal principal a essa potência.

O traço de uma matriz quadrada A é a soma dos elementos da diagonal

principal de A e é simbolizado por tr(A). Mostre que, se A e B são matrizes

n ><

n,

então tr(A

+

B)

=

tr(A)

+

tr(B).

Demonstre,

se a afirmação for verdadeira, ou dê um contraexemplo, se for

falsa.

a. Se A _possuir duas colunas idênticas, então

A2

também possuirá duas

colunas idênticas.

b. Se

A2

_possuir uma coluna de

zeros,

então A _{obrigatoriamente} possuirá

(27)

14

1.1.18

1.1.19 1.1.20

1.1.21

Sistemas de Equações Lineares Capítulo 1

c.

tr(ATA)

=

tr(AAT).

Sejam A e B matrizes n x n, ambas compostas somente por inteiros positivos. Se os elementos de A forem todos pares, então os elementos

de AB e de BA serão todos pares.

e. Se

Alc

= O para todo k

2

2, então A= 0.

f.

SeAB=0,entãoA=00uB=0.

Mostre que toda matriz quadrada pode ser decomposta como a soma de uma matriz simétrica com uma matriz antissimétrica.

Dica: A =

%(A

+

AT)

+

%(A

—

AT).

Dê três exemplos de matrizes hermitianas. Mostre que a diagonal principal de uma matriz hermitiana só pode conter números reais.

Considere uma matriz A m >< n. Mostre que

ATA

é uma matriz simétrica

(real), se A for real, e que A*A é hermitiana, se A for complexa.

Sobre as matrizes hermitianas A e B, demonstre a afirmação se for verda—

deira, dê um contraexemplo se falsa.

a. A

+

B é hermitiana.

b. aA é hermitiana, para qualquer escalar a.

(28)

51.2

Sistemas

Lineares

e o Método de Eliminação de Gauss 15

1.2 Sistemas

Lineares

e o

Método

de

Elimina—

ção

de

Gauss

Um sistema

de

m

equações

lineares

com n incógnitas, expresso por “11371

+

ªizxz

+

º '

-

+

amar,,

=

bl

(121531

+

(122582

+

- - -

+

a2nxn:

b2

(1.7)

am1íB1

+

am2$2

+

' ' '

+

amnl'n =

bm;

pode ser representado em forma matricial por

Ax

=

_b,

_(1.8)

sendo

0411 012 -.- ªm 331

bl

021 022 . .

-

ªan 372

bz

A

=

_

. ,

,

x =

: e b

=

:

,

aml am2

-

'

—

amn

xn

bm

respectivamente, a

matriz

dos

coeficientes,

o

vetor

das incógnitas e o

vetor

dos

termos

independentes.

Encontrar

a solução —— ou o conjunto-solução

ou,

ainda,

a solução geral —

do

sistema

(1.8)

é

encontrar

todos

os

vetores

x

6 R"

(ou (C")

que

resolvem

(1.8), i.e.,

todos

os

vetores

x

que

resolvem

simultaneamente

asequaçoes

(1.7).

No

caso

de

sistemas

lineares

reais

ou complexos, há

tres

poss1b1hdades:

ou

o

Sistema

possui

uma

única solução,

ou

possui

infinitas

soluçoes,

ou nao

possui

solução.

Nas

duas

primeiras

situações, o

sistema

e

dito

consistente

ou

possivel

(determinado

ou

indeterminado),

na

última,

eNd1to.inconsistente

ou

impossi-vel.

Para

provarmos

que

um

sistema

de

equaçoes

lineares

Ax

=Nb

com.

duas

soluções

distintas

u

e v

não

pode

ter

um

numero

finito de soluçoes reais

(ou

complexas),

basta

notar

que, para

a

+

B

=

1,

temos

A(ozu+Bv)

=ozAu+6Av=ozb+Bb=

(a+6)b=b,

ou

seja

existem

infinitas

soluções

na

forma

au

+

Bv,

pois

existem

infinitas

(29)

Gostaríamos

de

classificar,

ainda, o sistema de acordo com o valor do vetor

dos termos independentes b.

DW

"

"Ó« Sistema dia

equações

lineares

Ax ="b é dito “liomogeneo.

,...,

ªo

=

_0,

sendo 0 =

[O

DF

o vetor nulo. Se b

#

O, o sistema e dito

nar

ºiªªenammamaat

-

,.

,,,,m .? » “as «

Observemos

que, se u e v são

duas

soluções

de Ax = O, então qualquer combinação linear de u e v também será solução do sistema homogêneo. De

fato,

A(au+6v)=aAu+BAv=aO+BO=0.

Mas o análogo não ocorre se o sistema for não homogêneo.

Assim,

se u e v

são soluções de Ax = b, com b

#

O, então

A(u+v)=Au+Av=b+b7Éb.

No Ensino Médio, deparamo—nos com diversas técnicas para resolver siste—

mas de equações lineares, sendo a substituição e a regra de Cramer as mais

conhecidas.

Entretanto,

não estudamos Álgebra Linear para resolver sistemas

2 >< 2 ou 3 >< 3, e sim para, entre outras

coisas,

encontrar soluções de sistemas

com

centenas,

milhares ou mesmo milhões de variáveis. Para uma tarefa desse

porte, os dois métodos citados são

ineficientes,

para dizer o mínimo.

Necessi-tamos,

pois, em primeiro lugar, de um método sistemático: um conjunto finito

de passos não ambíguos que possam ser executados por um computador. Pre—

cisamos,

portanto, de um método que possa ser escrito em forma algoritmica.

Uma vez sendo computacionalmente implementãvel, é necessário que o método

seja estável, em algum sentido. Tiefethen e Bau

[34]

definem,

grosso modo,

que “um algoritmo é estável se der uma _resposta _{aproximadamente} correta

a uma pergunta aproximadamente correta”. Não é de nosso

interesse,

neste

livro,

estudar estabilidade de algoritmos, o que é mais adequado a um curso

de Álgebra Linear Computacional, mas vez ou outra indicaremos quando um

algoritmoe estável ou instavel.

O método que introduziremos para a resolução de sistemas lineares

e

o

Gauss,

devido ao maior matemático da era moderna,

Karl Friedrich Gauss (*1777

-

T1855). Em seguida, apresentaremos algumas de

suas modificações: o método de eliminação de Gauss com pivotamento parcial

e o método de Gauss—Jordan.

Iniciaremos

com um exemplo extremamente simples, mas que nos ajudará

(30)

51,2

Sistemas

Lineares

Exemplo

1.3. Consideremos

o

sistema

2x+4y=8

4w—3y=

5. (1.9)

Observe

que o

sistema

acima

é composto pelas equações de duas

retas

no plano

——

_{na Figura}

1.1.a,

_a

_reta

_contínua _{representando} _a _{primeira equação} _em

_(1.9)

e a

reta

tracejada, a segunda. Resolvê—lo é

encontrar

o ponto de interseção das

duas

retas (no

caso

desse

ponto

existir).

Podemos fazer três tipos de operações

sobre

as

linhas desse

sistema

sem que a sua solução se altere.

A

primeira

delas

é a multiplicação de uma das linhas por um número di—

ferente de

zero.

Por

exemplo, multiplicando a equação

2x

+

43;

=

8

por

%,

obtemos a:

+

2y =

4,

que representa a mesma

reta,

não

alterando,

portanto,

a

solução do

Sistema,

nem sua representação gráfica.

Na

Figura

1.1.a,

nada

muda.

Figura

1.1: (a) Sistema

original

(1.9).

(b)

Sistema

escalonado.

A

segunda

operação

é a

troca

da

ordem

das duas linhas:

trocar

duas linhas do

sistema

claramente

não

alterara

a sua solução.

Graficamente,

nada se altera

na Figura

1.1.a.

, .

A

terceira

operação

que podemos

realizar

e

a

soma de

uma linha

com

um

múltiplo de

outra linha.

Por

exemplo, se

somarmos

—2

vezes a primeira

linha,

i.ew

_43;

_

gy

:

-16,

a

segunda

linha,

obtemos Os:

——

113;

=

—-11.

Agora a

(31)

entanto,

& Sºlução do sistema permanece inalterada,

como

podemos ver nª

Figura 1.1.b. De fato, consideremos as equações

all-"171

+

042122

+

' º

-

+

ama,,

=

bl

,

(1.10)

a21931

+

a225172

+

"'

+

aznªfn = bz, (1-11)

(0011

+

az1)í131

+

' ' '

+

(010,11,

+

agn)a:,,_:(abl

+

bg)

,

(1.12)

sendo que (1.12) é a segunda equação (1.11) somada com um

múltiplo,

oz,

da primeira (1.10). Observe que, se 5: =

[Lil

fig

Ían

for

50111930

Sl"

multânea das equações (1.10) e (1.11), então também será solução de (1.12),

pois

(aan

+

a21)ã;1

+

-

'

-

+

_(oral,,

+

agn)ã:n = a(auãl

+

º ' '

+

alnãn)+

+

(a21531

+

' ' '

+

aznÍn)

:

abl

+

bg .

E,

reciprocamente, se

x

= [Íl ãJ2

53”?

for solução simultânea das

equações (1.10) e (1.12), então também será solução de (1.11), pois esta pode

ser _recuperada somando—se —a vezes (1.10) à terceira equação (1.12).

Quaisquer das três operações realizadas sobre as equações do sistema

po-dem ser feitas com a matriz que 0 representa, chamada de matriz aumentada

do sistema e simbolizada por

A,

que, no exemplo

acima,

será:

» 2 4 8

A -

l

4 —3

l

5

l

_,

em cuja primeira coluna constam os coeficientes de a: do sistema (1.9), na

se-gunda coluna estão os coeficientes de y e na

terceira,

os

termos

independentes,

1

Multiplicando a primeira linha por 5, depois somando —4 vezes o resultado à

segunda linha, e por fim multiplicando a segunda linha por

_1_11,

obtemos

+31É,?lªliÉiÉlªlÉ-iil—iilªlãiiil'

O sistema correspondente

a

última das matrizes

acima,

isto

é,

w+2y=4,

(32)

51.2

Sistemas

Lineares

possluiâts

mesmas

soluções

que o

sistema

inicial

(1.9),

mas é mais facil de

ser

reso

vi

o,

p01s,

claramente,

y

=

1 e

podemos substituir esse valor na primeira

equaçao para

obter

a:

=

2. D

.

Cs

tres

tlpos de operações apresentadas acima são de

fundamental

impor-tancra

Para

o metodo

de eliminação de

Gauss

e,

por

isso,

recebem

um

nome

espec1al:

?ºªºlºªºlª-“ÃS

ªrrasa"ezemenzangsótfê

asinhas

ae“

as

mai—iz

sacª

ªº

Í,

í- _{mªltípliºar}

uma

linha por um escalar não

nulo;

i

,,

ii.

trocar

duas

linhas

entre

si;

,

isnadwwnªrsmnultl

lºdeumªlmhªªumªºutrªlnhª,,iª

Chamaremos,

neste

livro,

esta

última operação de combinação linear de

linhas.

No

entanto,

a rigor todas as operações elementares são combinações

lineares de

linhas,

sendo a primeira trivial e a segunda uma sequência de

combinações lineares

(ver

Exercício

1216

).

Uma

observação importante: pela definição

acima,

permutar

caoticamente2

três linhas de

uma matriz

não é uma operação elementar.

Duas

ou mais

operações elementares

acumuladas

não

constituem,

em _geral, uma operação

elementar.

O

Gauss

utiliza as operações elementares sobre linhas para

transformar

um

sistema linear dado em um

outro

equivalente

(isto

é,

com

o

mesmo

conjunto

solução),

porém mais simples de resolver.

Mas

como

tornar

um

sistema

mais

simples de

resolver?

Usemos

outro

exemplo numérico

para ilustrar o

método.

Exemplo

1.4. Queremos

encontrar

a solução do sistema linear

1 2

3

271

1 Ax:

1 4

7

932

=

—1

_=b,

_(1.14)

—2

2

5

ctg

—-7

Combinatória, significa que nenhum dos termos

perma-2Permutação

caótica, em Análise

231 é uma permutação caótica de 123, mas 321 não o nece em sua posição original. Então,

!

(33)

cuja matriz aumentada correspondente é

1231

Ã=147—1

-225-7

Se olharmos novamente o sistema (1.13), observaremos que o que O tornou mais

facil de resolver que o sistema (1.9) foi o fato de termos conseguido eliminar

ª

variável as da segunda equação. Tentaremos eliminar a variavel 331 das segunda

e terceira equações de (1.14), isto é, tentaremos introduzir dois zeros abaixo

da entrada

ãu

= 1 da matriz

A.

Para isso, devemos multiplicar a primeira linha por —1 e somar o resultado

com a segunda linha:

1 2 3 1 1 2 3 1

1 4 7 —1

—+

0 2 4 —2

—2 2 5 —7 —2 2 5 —7

Depois, multiplicamos a primeira linha por 2 e somamos o resultado

a

terceira

linha:

1 2 3 1 1 2 3 1

O 2 4 ——2

—>

O 2 4 —2

—2 2 5 —7 0 6 11 —5

Eliminamos, assim, a variável xl das duas últimas _equações. Basta _agora

eliminarmos a variável 332 da terceira equação, 0 que é feito multiplicando—se a

segunda linha por —3 e somando-se o resultado

a

terceira linha:

1 2 3 1 1 2 3 1

0 2 4 -2

—>

0 2 4 —2 :Ú.

O 6 11 —5 0 0 —1 1

A matriz aumentada acima corresponde ao sistema linear:

1 2 3 5131 1

Ux = O 2 4 5132 = —2 =

c,

O O —1 [153 1

que possui 0 mesmo conjunto solução que o sistema (1.14),

sendo,

porém, mais

fácil de resolver, pois basta

encontrar

o valor de 5133 na terceira equação

(34)

31—2

Sistemas

Lineares

substituir

esse

valor

na

segunda equação

2032

+4(—1)

=

—2,

encontrando

o

valor

de

332:

,,

__—2+4_1

2_

2 _,

e,

por

fim,

obter

xl por meio da primeira equação:

x1=1—2(1)—3(——1)=2,

no processo

chamado

de retrossubstituição.

Assim,

5131

2 x

=

132 =

1

1133

—1

Acabamos de executar o método de eliminação de

Gauss

(ou

eliminação gaus—

siana).

E]

O

objetivo da eliminação de

Gauss

é chegar a uma matriz na

forma

esca—

lonada,

definida

por suas propriedades:

“efinição

1.

4. A

forma

escalonada

de

uma

matriz

deve

possuir

as

seguintes

propriedades

i. se existirem linhas compostas apenas por

zeros,

elas devem estar na parte

;

inferior da

matriz;

.,

*

ii. se uma linha não é composta apenas de

zeros,

o primeiro elemento não

nulo desta linha é

chamado

de pivô;

iii. se duas linhas

sucessivas

possuem pivôs, então o pivô da linha superior

deve

estar

a

esquerda do pivô da linha

inferior;

ª

iv

abaixo

de

cada

pivô

só

deve

haver

zeros

(

,

,,

ªº,“ .,._ _ .. ,. , , ., . ._aài

O

item

ii é,

de

fato, uma

definição, mas foi

acrescentado

a

lista

de propri—

edades como

um

auxílio

didatico.

É

claro que sempre podemos chegar

a

forma escalonada de uma matriz

através de um número

finito

de operações elementares.

(35)

.

A forma escalonada de uma matriz não é única. No Exemplº

14,

pode—

ríamos

ter,

por exemplo,

1 2 3 1

Ú: 0 1 2 -1

0 0 1 —1

Alguns autores preferem que os pivôs sejam sempre unitáriºs.

-

Nem sempre os pivôs estão na diagonal principal da matriz. Por exemplo,

12 3

0 0 1

0 0 0

esta

na forma escalonada.

.

Os pivôs estão sempre relacionados com as variáveis do sistema, portanto,

na matriz aumentada

1 2 3 1

0011 0007

o 7 não é um pivô, pois é apenas um dos termos independentes.

?

No próximo exemplo, aplicaremos o método de eliminação de Gauss para

encontrar a forma escalonada da matriz de um sistema que possui mais incóg—

nitas que equações, não havendo, portanto, esperança de obter uma solução

única.

Exemplo 1.5. Consideremos o sistema homogêneo

581 1—34-254 sr,—2 0

__2—6

9—182 333 0 AX"

2—69—197x4=0=b

—13—42-5-—4

_x,,

0 306

Pelo fato do sistema ser homogêneo, não precisamos

escrever

a matriz

(36)

51.2

Sistemas Lineares e o Método de Eliminação de Gauss 23

operações

elementares

obtemos

a sequência

'1—34—254“

*1—34—254'

2—6

9—182

0013—2—6

2—6

9—197_>2—6

9—197"+

,—1

3—4

2-5

-4_

_-1

3-4

2-5

_{—4_}

'1—34—2541'1-34-254'

_,0013—2—640013—2—64

0013-1_1

0013-1—1

l—13—42-5_4_

_000000

“1—34-254“

0013-2-6

_)

000015=U'

+000000_

Agora, ao executarmos a retrossubstituição, devemos deixar % em função de

% ou xõ em função de

5135?

J

a

que, em uma linha não nula de uma matriz esca—

lonada,

só podemos garantir que o pivô seja diferente de zero — nada _podendo

dizer sobre os

outros

elementos da linha

—,

as variáveis correspondentes aos

pivôs merecem destaque. Esse fato nos leva

as

seguintes definições:

mae—* » e ª ; aewww“ “Wªrsªw ... Wwwrsrswwrrrwrrsr .,

”sªefiniçãd

Í???

m

um

sis

ema lmear'

,

as variaveis

correspondente.,

os pivôs da forma

escalonada

da matriz

A

são chamadas variáveis

básicas.;à

Massama

r

ªkªsª—ZwªmgãÉMMM—g,,w,: ,.. «g— ', .

Voltando ao exemplo, 5155 deve ser _expresso em função de 1106, assim 1135 =

—55B6;

x3, em função de

cv.;

e 1106, ou _seja, 5123

=

—3

(134 —

4x6;

e assim por diante.

A

solução geral é xl

3$2+141134+371156

IEQ 372 333

_

——

3

0104

—

4

(156 X

=

(134 '“ (1,4 a (135

_

5

176 376 xõ

(37)

ou,

ainda,

de forma mais elegante,

5132 1 0 O

233 O _3 —4

x = 334 = 332 O

+

374 1

+

376 ()

,

175 0 0 —5

1136 O O ]—

sendo que $2, 554 e 9136 podem ser escolhidas livremente (daí o nome de variaveis

livres) entre os números reais. Na terminologia dos sistemas flsicos, dizemos

que o sistema possui 3 graus de

liberdade,

dados pelas variaveis CE2, an; 6 5136. El

Já exemplificamos o método de eliminação de Gauss com dois sistemas

consistentes: um possuindo solução única e outro com iníinitas soluções. Ter-minaremos esta seção apresentando um exemplo de sistema linear sem solução, isto é, inconsistente.

Exemplo 1.6. Consideremos o sistema

1 2 3 351 1

Ax: 2 5 7 502 = 3 =b. (1.15)

4 10 14 5133 7

Com três operações

elementares,

obtemos:

1 2 31 1 2 3 1 1 2 31 1 2 3 1

2 5 7 3

——>

0 1 11

—>

O 1 1 1

—>

O 1 1 1 41014 7 41014 7 O 2 2 5 0 0 0 3

A última linha da última matriz representa a equação

0$1+0$2+0$3

=3,

que é impossível de

resolver,

já que a combinação trivial de sul,

pode ser um número diferente de zero. O sistema

(1.15)

solução.

mg e 333 não

não possui, portanto,

[]

O

leitor mais atento deve ter percebido que

utilizamos

somente uma das

operações elementares.

As

outras,

troca de linhas e multiplicação por escalar

não

nulo,

serão apresentadas nas seções seguintes, que mostrarão o por quê de seu uso.

Antes,

porém, introduziremos a decomposição

LU.

(38)

51.2

1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.2.5 1.2.6

Sistemas

Lineares

EXERCÍCIOS

Assmale

as equações lineares em acl, 172 e 5133, com a e k constantes:

a.

x1+3x2—J5x3=1;

d. 2xl+x2+senx3=0;

b. $1+CB1£IZ2—x3=2; e.

k$1—%$2+k2$3=1;

c.

k3xl+2x2—x3=sena;

f.

xâ+$â+$â=1—

No Exemplo

1.3,

desenhe o par de retas correspondentes ao sistema em cada uma das etapas da eliminação gaussiana.

Considere três planos no espaço

R3.

Descreva as possíveis posições relativas

desses planos e indique, em cada caso, se o sistema linear correspondente é

inconsistente,

se possui solução única ou se possui iníinitas soluções.

Desejamos descobrir qual é a parábola y =

amº

+

ba:

+

c que passa pelos

pontos não alinhados do plano (w1,y1), (332,yz) e (333, 3,13). Escreva o sistema

de equações lineares que descreve este problema. Quais são as incógnitas

do sistema? Escreva o sistema na forma Ax = b.

Encontre um sistema de duas equações lineares em :B, 3; e 8 cuja solução

geralédaforma: x=1—3t,y=2tez=t+1,Vt€R

Encontre, utilizando o método de eliminação de

Gauss,

& solução do sistema

Ax :b, circulando os pivôs na matriz escalonada, sendo:

' 3 4

_

-2

_

'1-21

1

3—32

5 8 42 8 CA:-" 4

31

e b:

31

—8 _20 ——6

"12-54

6 25

127

_ 14 d'A:

35

178 º

'º—

16

11

74

6

(39)

1.2.7

Encontre,

utilizando o método de eliminação de Gauss, a

soluçao

gerªl

do

sistema Ax :b, circulando os pivôs na matriz escalonada e 1ndican o as

variáveis básicas e livres, sendo:

'1—21

2 a.A= 2—14 e b= 8;

13

—35 10 ' 1 1 1 1 bA= —1—1—1 e b: —1

,

lº

2 2 2

"12—54

0 c.A= 24—99 e b: 0

_12—54

0

1.2.8 Encontre, utilizando o método de eliminação de Gauss, as soluções exata e

aproximada (para 3 casas decimais) de cada um dos sistemas

_ 0,00011 5131 _ 1

__

[

_{_}

₁

“Hau—»

₁ ₁₁₃₁

_{_}

₂ _{_}

blª—[09001

1][m2]_[1]—b'

1.2.9 Quais são as _possíveis formas escalonadas da matriz A?

A:

ººãº

Dªmº"

sªo—,O

1.2.10 Encontre uma relação entre a, b e e para que o sistema

x+y+2z=a

w+z=b 2w+y+3z=c