Microeconomia - Exercícios Resolvidos

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UNIVERSIDADE DA MADEIRA UNIVERSIDADE DA MADEIRA Departamento de Gestão e Economia Departamento de Gestão e Economia

1º Semestre 2005/2006

CADERNO DE EXERCÍCIOS

Resolução

MICROECONOMIA I MICROECONOMIA I

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A. A. TEORIA DO CONSUMIDOR

TEORIA DO CONSUMIDOR

A.1.

A.1. A RESTRIÇÃO ORÇAMENTAL DO CONSUMIDOR

A RESTRIÇÃO ORÇAMENTAL DO CONSUMIDOR

A.1.1.

A.1.1. Defina os seguintes conceitos:Defina os seguintes conceitos: a)

a) Cabaz de bensCabaz de bens

Combinação de quantidades consumíveis de um conjunto de bens. Combinação de quantidades consumíveis de um conjunto de bens. b)

b) Conjunto de possibilidades de consumoConjunto de possibilidades de consumo

Conjunto de cabazes que podem ser comprados pelo consumidor num dado Conjunto de cabazes que podem ser comprados pelo consumidor num dado momento, gastando parcial ou totalmente o seu rendimento monetário.

momento, gastando parcial ou totalmente o seu rendimento monetário. c)

c) Restrição orçamentalRestrição orçamental

Lugar geométrico dos cabazes que podem ser comprados se todo o rendimento do Lugar geométrico dos cabazes que podem ser comprados se todo o rendimento do consumidor for gasto.

consumidor for gasto. d)

d) Custo de oportunidade de um bemCusto de oportunidade de um bem

Quantidade do outro bem que é preciso sacrificar para consumir mais uma Quantidade do outro bem que é preciso sacrificar para consumir mais uma unidade do bem.

unidade do bem. e)

e) Bem numerárioBem numerário

Bem em relação ao qual é medido o preço do outro bem e o rendimento do Bem em relação ao qual é medido o preço do outro bem e o rendimento do consumidor.

consumidor.

A.1.2.

A.1.2. Considere um consumidor que enfrenta os preços PConsidere um consumidor que enfrenta os preços Pxx e e PPyy e dispõe de ume dispõe de um

rendimento M. Para cada um dos casos seguintes, determine, analítica e rendimento M. Para cada um dos casos seguintes, determine, analítica e graficamente, o conjunto de possibilidades de consumo e

graficamente, o conjunto de possibilidades de consumo e a restrição orçamental.a restrição orçamental.

a) a) PP_xx == 22;; PP_yy ==44;; MM ==1010 CPC: 10 CPC: 22xx ++44yy ≤≤10 RO: RO: 22xx++ 44yy ==1010 b) b) PP_xx == 33;; PP_yy ==55;; MM ==1515 CPC: CPC: 33xx ++55yy ≤≤1515 RO: 15 RO: 33xx ++55yy ==15 c) c) PP_xx ==55;; PP_yy ==11;; MM ==2525 CPC: 25 CPC: 55xx ++yy ≤≤ 25 RO: RO: 55xx++ yy == 2525 d) d) PP_xx ==11,,55;; PP_yy == 66;; MM == 4545 CPC: 45 CPC: 11,,55xx++66yy ≤≤ 45 RO: 45 RO: 11,,55xx ++66yy == 45 e) e) PP_xx == 44;; PP_yy ==77;; MM ==5656 CPC: CPC: 44xx++77yy ≤≤ 5656 RO: 56 RO: 44xx ++77yy == 56

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A.1.3.

A.1.3. O que acontece à O que acontece à restrição orçamental se:restrição orçamental se: a)

a) o preço do bem X o preço do bem X duplica e o do bem Y triplicaduplica e o do bem Y triplica

A restrição orçamental torna-se menos inclinada e desloca-se para a esquerda A restrição orçamental torna-se menos inclinada e desloca-se para a esquerda b)

b) o preço do bem X o preço do bem X quadruplica e o do bem Y triplicaquadruplica e o do bem Y triplica

A restrição orçamental torna-se mais inclinada e desloca-se para a esquerda A restrição orçamental torna-se mais inclinada e desloca-se para a esquerda c)

c) ambos os preços duplicamambos os preços duplicam

A restrição orçamental desloca-se paralelamente para a esquerda A restrição orçamental desloca-se paralelamente para a esquerda d)

d) ambos os preços duplicam e ambos os preços duplicam e o rendimento triplicao rendimento triplica

A restrição orçamental desloca-se paralelamente para a direita A restrição orçamental desloca-se paralelamente para a direita e)

e) ambos os preços triplicam e o ambos os preços triplicam e o rendimento duplicarendimento duplica

A restrição orçamental desloca-se paralelamente para a esquerda A restrição orçamental desloca-se paralelamente para a esquerda f)

f) o preço do bem X o preço do bem X e o rendimento duplicame o rendimento duplicam A restrição orçamental roda para a direita A restrição orçamental roda para a direita

A.1.4.

A.1.4. O Paulo tem uma mesada de 120 euros que lhe é paga pelos pais. A mesada éO Paulo tem uma mesada de 120 euros que lhe é paga pelos pais. A mesada é gasta exclusivamente em jantares e bilhetes de teatro.

gasta exclusivamente em jantares e bilhetes de teatro. a)

a) Identifique formalmente o conjunto de possibilidades de consumo do Paulo,Identifique formalmente o conjunto de possibilidades de consumo do Paulo, sabendo que cada jantar custa 20 euros e cada bilhete de teatro custa 10 sabendo que cada jantar custa 20 euros e cada bilhete de teatro custa 10 euros. euros. 120 120 bb 10 10 jj 20 20 ++ ≤≤ b)

b) No mês de Agosto, o Paulo será visitado pelos avós que lhe dão sempre 100No mês de Agosto, o Paulo será visitado pelos avós que lhe dão sempre 100 euros. Durante esse mês, o Paulo pretende ir a 8 jantares e assistir a 8 euros. Durante esse mês, o Paulo pretende ir a 8 jantares e assistir a 8 espectáculos de teatro. Será que vai conseguir? E se ele passar a ir jantar a espectáculos de teatro. Será que vai conseguir? E se ele passar a ir jantar a restaurantes mais baratos, onde o preço médio da refeição é

restaurantes mais baratos, onde o preço médio da refeição é 15 euros? Qual é,15 euros? Qual é, neste caso, o custo de oportunidade para o Paulo de ir

neste caso, o custo de oportunidade para o Paulo de ir a um jantar?a um jantar? 220 220 100 100 120 120 M M == ++ ==

( )

( ) (

jj,,bb ==

( ))

88,,88 ⇒⇒2020××88++1010××88 == 240240 >> 220220 →→ não consegue consumir este cabaz.não consegue consumir este cabaz.

( )

( ) (

jj,,bb ==

( ))

88,,88 ⇒⇒1515××88++1010××88 == 200200 << 220220 →→ consegue consumir este cabaz.consegue consumir este cabaz.

55 ,, 11 10 10 15 15 CO CO == == c)

c) Dadas as fracas notas obtidas nos exames, os pais do Paulo reduziram-lhe aDadas as fracas notas obtidas nos exames, os pais do Paulo reduziram-lhe a mesada para metade e proibiram-no de ir a mais de 2 jantares no mês de mesada para metade e proibiram-no de ir a mais de 2 jantares no mês de Agosto (os avós não sabem de nada). Identifique o conjunto de possibilidades Agosto (os avós não sabem de nada). Identifique o conjunto de possibilidades de consumo do Paulo nesta situação.

de consumo do Paulo nesta situação. 160 160 100 100 60 60 M M == ++ == ⎩⎩ ⎨⎨ ⎧⎧ ≤≤ ≤≤ ++ 22 jj 160 160 bb 10 10 jj 20 20

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d) Suponha que o Paulo pode beneficiar de 10% de desconto no preço dos bilhetes de teatro se adquirir o cartão jovem. Sabendo que o cartão jovem custa 10 euros, deverá o Paulo comprá-lo?

150 10 100 60 M = + − = 9 10 9 , 0 P_b′ = × = ⎩ ⎨ ⎧ ≤ ≤ + 2 j 150 b 9 j 20

Se adquirir o cartão, o Paulo expande o seu conjunto de possibilidades de consumo, logo deverá adquiri-lo.

e) Descreva o conjunto de possibilidades de consumo do Paulo se o cartão jovem lhe possibilitar 2 entradas gratuitas em espectáculos de teatro, adicionalmente ao desconto mencionado na alínea anterior.

168 9 2 10 100 60 M = + − + × = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≤ ≤ + 2 j 5 , 7 j 168 b 9 j 20

f) Durante as férias, o Paulo fez um curso de Verão no qual tirou muito boas notas. Consequentemente, os pais decidiram levantar-lhe as restrições aos jantares e subsidiarem-lhe as idas ao teatro em 5 euros; no entanto, mantiveram a redução da mesada. Admitindo que o Paulo não tem cartão jovem, determine de novo, analítica e graficamente, o conjunto de

possibilidades de consumo do Paulo. 160 100 60 M = + = 5 5 10 P_b′ = − = 160 b 5 j 20 + ≤

A.1.5. Suponha que a Companhia de Telefones cobra mensalmente 30 euros, o que garante aos seus assinantes o acesso à rede e a possibilidade de fazer 30 minutos de chamadas por mês. Chamadas acima deste limite pagam um preço unitário de 15 cêntimos.

a) Escreva e represente a restrição orçamental de um consumidor representativo que tem um rendimento M para gastar em minutos de chamadas telefónicas (T) e num bem compósito (C) cujo preço é igual a 1.

⎩ ⎨ ⎧ − ≤ − = + ⇔ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ≤ × + − = + 30 M C 5 , 25 M C 1 T 15 , 0 1 30 M C 15 , 0 30 30 M C 1 T 15 , 0

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bem compósito c h a m a d a s t e l e f ó n i c a s

b) Suponha que a companhia pondera duas alterações relativas à actual estrutura de preços: i) diminuir para 20 o número de minutos oferecidos com a assinatura mensal; ou ii) aumentar o preço unitário de chamadas acima dos 30 minutos para 20 cêntimos. Represente graficamente as restrições orçamentais correspondentes às duas alternativas.

i) ⎩ ⎨ ⎧ − ≤ − = + ⇔ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ≤ × + − = + 30 M C 27 M C 1 T 15 , 0 1 30 M C 15 , 0 20 30 M C 1 T 15 , 0 ii) ⎩ ⎨ ⎧ − ≤ − = + ⇔ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − ≤ × + − = + 30 M C 24 M C 1 T 20 , 0 1 30 M C 20 , 0 30 30 M C 1 T 20 , 0 bem compósito c h a m a d a s t e l e f ó n i c a s

RO inicial alternativa i alternativa ii

A.1.6. A Ana consome dois bens, carne (C) e peixe (P), ambos adquiridos no

hipermercado, aos preços P_c =7,5e P_P =10. Para chegar ao hipermercado, a Ana

demora 45 minutos. Para adquirir uma unidade de C demora mais 15 minutos, enquanto que para a aquisição de uma unidade de P são precisos mais 12 minutos. a) Represente o conjunto de possibilidades de escolha da Ana, admitindo que

esta tem um rendimento de 150 unidades monetárias e o seu tempo disponível para compras é de 4 horas e meia.

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⎩ ⎨ ⎧ ≤ + ≤ + ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ − × ≤ + ≤ + 225 p 12 c 15 150 p 10 c 5 , 7 45 5 , 4 60 p 12 c 15 150 p 10 c 5 , 7 0 5 10 15 20 0 2,5 5 7,5 10 12,5 15 17,5 20 22,5 carne p e i x e RO RT

b) A Ana muda de emprego e passa a não ter tempo para ir ao hipermercado. No seu prédio, há um supermercado onde a Ana não perde tempo e enfrenta os

preços P_c =10 e P_p =15 . Neste novo emprego, além das 150 unidades

monetárias, a Ana recebe 10,5 unidades de C, que não pode vender. Represente o novo conjunto de possibilidades de escolha.

⎩ ⎨ ⎧ ≤ ≤ + ⇔ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ × + ≤ + 10 p 255 p 15 c 10 15 150 p 10 5 , 10 150 p 15 c 10 0 2 4 6 8 10 12 0 2,5 5 7,5 10 1 2,5 1 5 17,5 2 0 22,5 2 5 27,5 carne p e i x e

A.1.7. O João vive em Santana e desloca-se todos os dias ao Funchal, onde tem uma pastelaria. O seu rendimento diário é de 200 euros, que é gasto em bilhetes de autocarro (B) e outros bens (X). O bilhete custa 2 euros, enquanto o preço dos outros bens é de 10 euros. O tempo útil diário do João é de 8 horas, gastando 1 hora na viagem Santana – Funchal e 15 minutos para adquirir uma unidade de X. a) Represente o conjunto de possibilidades de escolha do João.

⎩ ⎨ ⎧ ≤ + ≤ + 8 x 25 , 0 b 1 200 x 10 b 2

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implicando uma redução do rendimento diário do João de 50 euros. Represente de novo o conjunto de possibilidades de escolha.

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ + > ≤ + ≤ ≤ + 8 x 25 , 0 b 1 2 b se 150 x 10 b 2 2 b se 200 x 10 b 2

c) Depois da quarta viagem, o João chega a casa depois do supermercado fechar. Isso obriga-o a fazer as compras num outro supermercado, onde o estacionamento custa 1 euro.

⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ + > ≤ + ≤ < ≤ + ≤ ≤ + 8 x 25 , 0 b 1 4 b se 149 x 10 b 2 4 b 2 se 150 x 10 b 2 2 b se 200 x 10 b 2

d) Suponha agora que, a partir da segunda passagem, o João passa a ir na carrinha da pastelaria. Nesse caso, o tempo necessário para a viagem é de meia hora e o custo do combustível 1 euro. Represente novamente o conjunto de possibilidades de escolha do João, considerando um rendimento de 200 euros. ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > ≤ + ≤ ≤ + > ≤ + ≤ ≤ + 2 b se 8 x 25 , 0 b 5 , 0 2 b se 8 x 25 , 0 b 1 2 b se 200 x 10 b 1 2 b se 200 x 10 b 2

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A.2. UTILIDADE E PREFERÊNCIAS

A.2.1. Defina os seguintes conceitos: a) Bem económico

Produto (ou serviço) definidos pelas suas características físicas, de localização e tempo, e que proporciona a satisfação de uma necessidade do consumidor.

b) Mal económico

Produto (ou serviço) cujo consumo causa uma diminuição na satisfação do consumidor.

c) Bem neutral

Produto (ou serviço) cujo consumo não afecta a satisfação do consumidor.

d) Utilidade

Forma de medir a satisfação dos desejos do consumidor. Valor atribuído ao uso de um ou mais bens.

e) Utilidade marginal de um bem

Variação na utilidade total de um consumidor quando a quantidade consumida de um bem aumenta de uma forma infinitesimal, mantendo-se a quantidade consumida dos outros bens.

f) Curva de indiferença

Conjunto de cabazes de dois bens em relação aos quais o consumidor é indiferente, isto é, que proporcionam o mesmo nível de utilidade.

g) Taxa marginal de substituição no consumo de Y por X

Mede o número de unidades de Y que têm de ser sacrificadas por unidade infinitesimal a mais de X de forma a que o consumidor mantenha o nível de satisfação.

A.2.2. Enumere e explique os axiomas e hipóteses das relações de preferência e as propriedades das curvas de indiferença.

Axioma da exaustão ou da relação completa

Uma ordem de preferências é completa se permite ao consumidor ordenar todas as combinações possíveis de bens e serviços.

Axioma da transitividade

Dizer que uma ordem de preferências é transitiva significa que, relativamente a três cabazes A, B e C, se o consumidor prefere A a B e B a C, então gostará mais de A que de C.

Hipótese da não saciedade ou monotocidade

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Hipótese da convexidade

Sejam 3 cabazes, A, B e C tais que B é pelo menos tão bom como A e C é estritamente preferido a A. A hipótese da convexidade implica que qualquer combinação linear dos cabazes B e C é preferível a A. Economicamente, esta hipótese relaciona-se com a necessidade de um consumidor ser compensado com maiores quantidades de um bem, à medida que sacrifica sucessivas unidades de outro. Ou seja: a taxa marginal de substituição no consumo entre dois bens é decrescente.

Hipótese da continuidade

Os cabazes que são preferidos ou indiferentes a um determinado cabaz e os cabazes que são menos preferidos ou indiferentes formam conjuntos fechados. Esta hipótese é meramente técnica.

Propriedade 1: As curvas de indiferença têm inclinação negativa. Propriedade 2: As curvas de indiferença nunca se intersectam.

Propriedade 3: Curvas de indiferença para NE representam níveis de satisfação mais elevados.

Propriedade 4: As curvas de indiferença são convexas em relação à origem. Propriedade 5: As curvas de indiferença são densas em todo o espaço de bens.

A.2.3. Diga, de entre as situações seguintes, aquelas que violam os axiomas e hipóteses que regem as preferências.

a) A Isabel gosta mais de chocolates que de caramelos e prefere caramelos a rebuçados; mas entre rebuçados e chocolates, escolhe os primeiros.

Viola o axioma da transitividade

b) O Francisco não sabe se gosta mais de duas horas de vela ou três de natação.

Viola o axioma da exaustão

c) Quanto mais toca piano, mais a Catarina gosta de tocar.

Viola a hipótese da convexidade

d) Depois de quatro horas de estudo, o Diogo já não estuda mais nenhuma.

Viola a hipótese da monotocidade

e) A Beatriz começou a gostar mais de ir à praia depois de ir muitas vezes.

Viola a hipótese da convexidade

A.2.4. Represente graficamente os mapas de indiferença para os seguintes casos: a) Dois bens económicos

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bem

b e

m

b) Um bem e um mal económico

mal

b e

m

c) Um bem económico e um neutro

neutro

b e

m

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x y e) Bens complementares x y f) Bens substitutos x y

A.2.5. Represente as preferências dos consumidores para os seguintes casos, verificando em cada um se se tratam de preferências bem comportadas.

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0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 cafés c o p o s d e á g u a

b) A Graça é indiferente entre utilizar papel A4 pautado e papel A4 liso.

0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 pautado l i s o

c) Ao almoço, a Maria não consegue comer mais de 220 gramas de carne, mas bebe toda a Coca-Cola que lhe servirem.

0 40 80 120 1 60 200 2 40 280 3 20 360 4 00 440 carne c o c a - c o l a

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0 1 2 3 4 5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 futebol t é n i s

e) A D. Carlota bebe sempre cada chávena de chá com meio pacote de açúcar.

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 0 1 2 3 4 5 6 chá a ç ú c a r

f) A Joaninha adora leite com torradas. Ao lanche, não consegue comer mais de 4 torradas, mas bebe todo o leite que lhe servirem.

0 0,5 1 1 ,5 2 2,5 3 3,5 4 4 ,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 torradas

l e

i

t e

A.2.6. Considere as seguintes funções utilidade: i. U = x0,5y0,5

ii. U= −3+x+ y

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iv. U = x+ y

Para cada uma delas:

a) Indique o tipo de preferências. b) Represente o mapa de indiferença. c) Calcule as utilidades marginais.

d) Determine a taxa marginal de substituição de y por x.

e) Encontre uma função que represente as mesmas preferências.

5 , 0 5 , 0 _y x U = U = −3+x + y U =min{ }x,y U = x + y

a) Cobb-Douglas Substitutos_perfeitos Complementares Quasi-lineares

b) bem b e m U1 U2 U3 bem b e m U1 U2 U3 bem b e m U1 U2 U3 U1 U2 U3 c) 5 , 0 5 , 0 _y x 5 , 0 x Umg = − 5 , 0 5 , 0 _y x 5 , 0 y Umg = − 1 x Umg = 1 y Umg = 0 x Umg = 0 y Umg = 1 x Umg = 5 , 0 y 5 , 0 y Umg ₌ − d) x y TMS_y_,_x = TMS_y_,_x =1 _{Não tem} TMS_y_,_x = 2 y e) _{V =} ₂_x0,5_y0,5 _V ₌ ₊_x ₊ _y _{V =}_min_{₃_x_,₃_y_} _V ₌ _x2 ₊₂_x _y ₊_y

A.2.7. A utilidade que um consumidor retira da utilização de gás e de electricidade é

dada pela função U = 2x0,5y0,5 em que x n.º de litros gás/dia e= y n.º Kw/hora.=

a) Identifique as diferentes combinações de x e y que permitem ao consumidor atingir o nível de utilidade de 2 e 4. Qual o conceito subjacente?

x 1 y 2 y x 2 2 U = ⇔ 0,5 0,5 = ⇔ = x 4 y 4 y x 2 4 U= ⇔ 0,5 0,5 = ⇔ =

O conceito aqui subjacente é o de curva de indiferença.

b) Admita que este consumidor se encontra actualmente a consumir 5 litros de gás por dia e 0,2 Kw/hora. Qual a quantidade de electricidade que teria de sacrificar, se quisesse consumir um litro adicional de gás, de forma a manter o mesmo nível de satisfação?

(

5;0,2

)

⇒ U = 2×50,5 ×0,20,5 = 2 6 1 y y 6 2 2 = × 0,5 × 0,5 ⇔ =

(16)

A.2.8. O António tem uma função de utilidade U = xy.

a) Suponha que inicialmente consome 4 unidades do bem x e 12 unidades do bem y. Se passar a consumir 8 unidades do bem y, quantas unidades terá de consumir do bem x de modo a que a sua utilidade de mantenha constante?

( ) ( )x,y = 4,12 ⇒ U= 4×12 = 48 6 x x 8 48 = ⇔ =

b) Calcule a TMS_x_,_y. O que acontece ao valor desta taxa quando o António aumenta o consumo do bem x?

0 x TMS y x x Umg y Umg TMS_x_,_y x,y > ∂ ∂ → = =

c) Responda novamente às alínea a) e b) admitindo que as preferências do An tóni o são descri tas por U= x+lny.

( ) ( )x,y = 4,12 ⇒ U = 4+ln12 ≈ 6,48 41 , 4 x 8 ln x 48 , 6 = + ⇔ ≈ 0 x TMS y 1 1 y 1 x Umg y Umg TMS 1 2 , 1 y , x _∂ = ∂ → = = =

O consumo do bem x não influencia a taxa a que o António se dispõe a trocar os bens.

d) De entre os seus amigos, quem tem as mesmas preferências que o António? Considere o quadro abaixo e a função utilid ade inicial.

Ana V =1000xy Filipa W =xy Sofia Z= −1/( xy+1) Margarida F =xy−10000 Teresa G = x/y Bernardo H= x( y +1) Ana y x y 1000 x 1000 TMS_x_,_y = = Filipa y x TMS_x_,_y = Sofia

( )

y x y x y 1 y x x 1 TMS_x_,_y 2₂ = − − = ₋− Margarida y x TMS_x_,_y = Teresa y x y 1 y x TMS_x_,_y = − 2 = − Bernardo 1 y x TMS₂_,₁ + =

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A.2.9. Comente as seguintes afirmações:

a) Não é possível que duas curvas de indiferença «bem comportadas» se cruzem.

A frase é verdadeira. Para prová-lo assumamos que a frase é falsa ou seja que duas curvas de indiferença bem comportadas se podem cruzar, conforme mostrado na figura. A B=D C U1 U0

Por definição, diferentes curvas de indiferença representam diferentes níveis de utilidade. E uma curva de indiferença bem comportada é aquela que respeita, entre outros, o axioma da transitividade e a hipótese da monoticidade. Se, no gráfico, as preferências não violarem o axioma da monoticidade, então C será preferido a A porque tem o mesmo de um dos bens, mas mais do outro. Como C e B estão na mesma curva de indiferença são, por definição, indiferentes entre si. Então B deveria, sendo as preferências transitivas, ser preferível a A. Mas B e A estão sobre a mesma curva de indiferença, significando isso que são indiferentes. Ou seja, duas curvas de indiferença que se intersectem violam o axioma da transitividade e a hipótese da monotocidade, logo não podem ser bem comportadas.

b) Se as preferências forem monotónicas, então a linha diagonal (no espaço dos bens) que passa pela origem cruza cada curva de indiferença apenas 1 vez.

Consideremos que a frase é falsa. Se é falsa é porque a linha diagonal (no espaço dos bens) que passa pela origem pode cruzar cada curva de indiferença mais que 1 vez. Vamos admitir que a cruza em dois pontos distintos, A e B. Se A e B estão sobre a diagonal, então um destes pontos tem de estar acima e à direita do outro. Mas se está acima e à direita, então representa um cabaz com mais de ambos os bens o que, pela hipótese da monotocidade, implica uma utilidade superior. Mas se tem utilidade superior não pode, por definição, estar sobre a mesma curva de indiferença. Então, a frase tem de ser verdadeira.

c) Se dois bens forem substitutos perfeitos então a taxa marginal de substituição ou é igual a zero ou é infinito.

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Se esta for zero ou infinito é porque uma das utilidades marginais é zero ou infinito. Mas isso não faz sentido. Portanto, a frase é falsa.

d) A convexidade estrita das preferências pode ser entendida como uma expressão formal de uma preferência dos consumidores por diversificação.

A convexidade das curvas de indiferença decorre da hipótese de taxa marginal de substituição (TMS) decrescente. Esta hipótese estabelece que, ao longo de qualquer curva de indiferença, quanto maior a quantidade de um bem um consumidor possuir, tanto mais exige receber desse bem, para renunciar a uma unidade do outro bem. Ou seja, os consumidores estão, geralmente, dispostos a prescindir de bens que já possuem em grande quantidade, para obterem mais unidades daqueles que, naquele momento, detêm em menor quantidade. Mas isso significa uma preferência dos consumidores por diversificação.

e) Para que a taxa marginal de substituição no consumo seja decrescente, é preciso que a utilidade marginal seja decrescente.

Frase falsa como facilmente se constata pela análise do seguinte contra-exemplo.

y Umg

x Umg

TMS_y_,_x = . Se x tiver uma utilidade marginal constante, para que a taxa marginal de substituição seja decrescente a utilidade marginal de y terá de ser crescente.

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A.3. A ESCOLHA ÓPTIMA DO CONSUMIDOR

A.3.1. Para cada um dos consumidores

i. deduza as funções procura de ambos os bens; ii. determine a escolha óptima;

m P x P y

)

y x m y P x P . a . s y x U max y x 2 3 y x 2 3 y , x _→ _Γ ₌ ₊_λ ₋ ₋ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = ⇔ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = + λ = λ = ⇔ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = − − = λ − = λ − ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = λ ∂ Γ ∂ = ∂ Γ ∂ = ∂ Γ ∂ m y P x P P y x 2 P y x 3 0 y P x P m 0 P y x 2 0 P y x 3 0 0 y 0 x y x y 3 x 2 2 y x y 3 x 2 2 ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + λ λ = m y P x P x P 3 P 2 y m y P x P P P x 2 y 3 m y P x P P P y x 2 y x 3 y x y x y x y x y x y x 3 2 2 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = ⇔ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = + = ⇔ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + = x y x x y x y x y x y x P m 6 , 0 x P m 4 , 0 y m x p 3 2 x P x P 3 P 2 y m x P 3 P 2 p x P x P 3 P 2 y ESCOLHA ÓPTIMA ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = × = = × = ⇒ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = 18 5 , 1 45 6 , 0 x 5 , 4 4 45 4 , 0 y 45 m 4 P 5 , 1 P y x NÍVEL DE SATISFAÇÃO 118098 5 , 4 18 U = 3 × 2 =

(21)

( ) ( ) 375 , 0 18 2 5 , 4 3 y Umg x Umg TMS 5 , 4 ; 18 5 , 4 ; 18 x , y = = ×_× = d) Consumidor E: U= 2x+3y; P_x =1; P_y = 4; m =60 FUNÇÕES PROCURA ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ < = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ > = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ < = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ > = → ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + + = y x y y x y y x y x y x x y x x y x y , x P P 3 2 P m P P 3 2 P m ; 0 P P 3 2 0 y P P 3 2 0 P P 3 2 P m ; 0 P P 3 2 P m x m y P x P . a . s y 3 x 2 U max ESCOLHA ÓPTIMA ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ⇒ = ⇒ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = 0 y 60 1 60 x 25 , 0 P P 60 m 4 P 1 P y x y x NÍVEL DE SATISFAÇÃO 120 0 3 60 2 U = × + × =

TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO ( ) ( ) 3 2 y Umg x Umg TMS 0 ; 60 0 ; 60 x , y = = e) Consumidor F: U =5x+2y; P_x = ;3 P_y = ; 1 m =12 FUNÇÕES PROCURA ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ < = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ > = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ < = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ > = → ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + + = y x y y x y y x y x y x x y x x y x y , x P P 2 5 P m P P 2 5 P m ; 0 P P 2 5 0 y P P 2 5 0 P P 2 5 P m ; 0 P P 2 5 P m x m y P x P . a . s y 2 x 5 U max ESCOLHA ÓPTIMA ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ⇒ = ⇒ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = 12 1 12 y 0 x 3 P P 12 m 1 P 3 P y x y x NÍVEL DE SATISFAÇÃO 24 12 2 0 5 U= × + × =

TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO ( ) ( ) 2 5 y Umg x Umg TMS 12 ; 0 12 ; 0 x , y = = f) Consumidor G: U= 3x+ 4y; P_x = ; 6 P_y = ; 8 m =150 FUNÇÕES PROCURA

(22)

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ < = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ > = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ < = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ > = → ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + + = y x y y x y y x y x y x x y x x y x y , x P P 4 3 P m P P 4 3 P m ; 0 P P 4 3 0 y P P 4 3 0 P P 4 3 P m ; 0 P P 4 3 P m x m y P x P . a . s y 4 x 3 U max ESCOLHA ÓPTIMA

[

]

[

]

⎩ ⎨ ⎧ ∈ ∈ ⇒ = ⇒ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = 75 , 18 ; 0 y 25 ; 0 x 4 3 P P 150 m 8 P 6 P y x y x NÍVEL DE SATISFAÇÃO 75 25 3 U= × =

TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO

4 3 y Umg x Umg TMS_y_,_x = = g) Consumidor H: U = min

{

2x,5y

}

; P_x = ; 2 P_y =10; m =72 FUNÇÕES PROCURA

{

{

}

⇔ ⎩ ⎨ ⎧ = + = ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ = + = → ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = m x P 3 x P x 3 y m y P x P y x 3 m y P x P . a . s y , x 3 min U max y x y x y x y , x ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + = + = ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = = y x y x y x x _p m₃_P P 3 P m 3 y P 3 p m x x 3 y ESCOLHA ÓPTIMA

(25)

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⇔ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⇔ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = x y 2 x 2 y x y 2 x x 2 y x 2 y x y x 2 y x P P P 4 m x P P 4 y m P P 4 x P P P 4 y m P P P 4 x P P P 4 y ESCOLHA ÓPTIMA ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = − = = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⇒ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = 34 2 5 , 0 2 4 100 x 64 5 , 0 2 4 y 100 m 5 , 0 P 2 P 2 2 y x NÍVEL DE SATISFAÇÃO 198 64 12 34 3 U= × + × 0,5 =

TAXA MARGINAL DE SUBSTITUIÇÃO NO PONTO ÓPTIMO ( ) ( ) 4 64 6 3 y Umg x Umg TMS ₀_,₅ 64 ; 34 64 ; 34 x , y = × = = −

A.3.2. A Joana tem a seguinte função de utilidade: U =10x0,5y0,5e aufere 100 euros por

semana que gasta no consumo dos bens X e Y, cujos preços são, respectivamente, 2

P_x = e P_y =1, ambos denominados em euros.

a) Suponha que a Joana detém hoje 12,5 unidades do bem X e 75 unidades do

bem Y. Qual a TMS_Y_,_Xnesse cabaz de dotações iniciais? Como se compara com

os preços relativos? Se a Joana puder realizar trocas no mercado, que trocas tenderá ela a fazer? Explique a lógica do seu raciocínio.

( ) ( ) ( ) 2 P P 6 x y y Umg x Umg TMS Y X 75 ; 5 , 12 75 ; 5 , 12 75 ; 5 , 12 x , y = = = > =

A Joana dispõe-se a trocar 6 unidades de Y por 1 de X. No mercado, para ter 1 unidade adicional de X, exigem 2 unidades de Y. Logo, a Joana trocará Y por X.

b) Qual o cabaz semanal óptimo da Joana?

( 100 2x y) y 10x 100 y x 2 . a . s y x 10 U max 5 , 0 0,5 5 , 0 5 , 0 y , x _→ _Γ ₌ ₊_λ ₋ ₋ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = ⇔ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = + λ = λ = ⇔ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = − − = λ − = λ − ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = λ ∂ Γ ∂ = ∂ Γ ∂ = ∂ Γ ∂ − − − − 100 y x 2 y x 5 2 y x 5 0 y x 2 100 0 y x 5 0 2 y x 5 0 0 y 0 x 5 , 0 5 , 0 5 , 0 5 , 0 5 , 0 5 , 0 5 , 0 5 , 0 ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ = + = ⇔ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + λ λ = − − 100 y x 2 x 2 y 100 y x 2 2 x y 100 y x 2 2 y x 5 y x 5 5 , 0 5 , 0 5 , 0 5 , 0

(26)

c) Qual a utilidade marginal do rendimento da Joana? m U 54 , 3 2 50 25 5 50 y 25 x 2 y x 5 5 , 0 5 , 0 5 , 0 5 , 0 ∂ ∂ = ≈ λ ⇔ λ = × × ⇒ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = λ = − −

A.3.3. Suponha que, para um determinado consumidor, a taxa marginal de substituição

avaliada na combinação de consumo x0 _é _TMS

( )

_x0 ₀_,₅

2 , 1 = . Sabendo que 1 p /

p₁ ₂ = , diga se este cabaz será escolhido pelo consumidor. Em caso de

resposta negativa, indique que tipo de trocas estará ele disposto a efectuar.

Se para este consumidor os bens 1 e 2 forem substitutos perfeitos, então x0 _{pode ser a} escolha do consumidor desde que corresponda a um cabaz em que todo o rendimento é gasto no bem 1. Caso contrário, x0 _{não será o cabaz óptimo e este consumidor} dispõe-se a trocar o bem 2 pelo bem 1.

A.3.4. Um consumidor tem preferências descritas pela função utilidade U = x+0,25y,

adquire os bens aos preços P_x =1 e P_y = 2 e dispõe de 100 unidades monetárias

de rendimento.

a) Indique, sem efectuar cálculos, a escolha óptima de consumo.

Para este consumidor, os bens x e y são substitutos. O bem x tem maior utilidade marginal e tem menor custo, logo o cabaz óptimo será afectar todo o rendimento ao consumo do bem x: ( x,y)=

(

100,0

)

.

b) Suponha que uma guerra obriga a um esquema de racionamento do bem X, de acordo com o qual cada consumidor só pode adquirir 50 unidades desse bem. Qual é a escolha óptima do consumidor?

O consumidor continua a escolher o máximo que puder de x, portanto o cabaz óptimo será ( x,y)=

(

50,25

)

.

c) Responda de novo à questão anterior admitindo que, em vez do esquema de racionamento, o preço do bem X sobe para 3 unidades monetárias.

5 , 1 2 3 P P 4 25 , 0 1 TMS y x x , y = = > = =

A solução óptima continua a ser gastar todo o rendimento em 1: ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ,0 3 100 y , x

A.3.5. Seja o José Pedro com a seguinte função de utilidade U = 2xy.

a) Determine os consumos óptimos de X e Y, sujeitos à restrição orçamental 100

y 4 x

(27)

( 100 5x 4y) y 2x 100 y 4 x 5 . a . s y x 2 U max y , x _→ _Γ ₌ ₊_λ ₋ ₋ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = ⇔ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + λ λ = ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + λ = λ = ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − − = λ − = λ − ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = λ ∂ Γ ∂ = ∂ Γ ∂ = ∂ Γ ∂ 100 y 4 x 5 4 5 x 2 y 2 100 y 4 x 5 4 x 2 5 y 2 0 y 4 x 5 100 0 4 x 2 0 5 y 2 0 0 y 0 x ⎩ ⎨ ⎧ = = ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ = = ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ = × + = ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ = + = 10 x 5 , 12 y 10 x x 25 , 1 y 100 x 25 , 1 4 x 5 x 25 , 1 y 100 y 4 x 5 x 25 , 1 y

b) Suponha, agora, que o José Pedro está sujeito a um sistema de racionamento. Os preços das senhas de X e Y são 3 e 6, respectivamente, existindo um racionamento total de 80 senhas. Determine os novos consumos óptimos. Poderá resolver-se a questão pelo método dos multiplicadores de Lagrange? Porquê? Serão ambas as restrições activas no cabaz óptimo?

(100 3x 6y) (80 x y) y 2x 80 y x 100 y 6 x 3 . a . s y x 2 U max y , x − − μ + − − λ + = Γ → ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ ⎩ ⎨ ⎧ ≤ + ≤ + =

As restrições sobre as variáveis não se podem exprimir com equações. Assim, não se pode recorrer ao método dos multiplicadores de Lagrange. Tem de se fazer uso das condições de Kuhn-Tucker:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ μ ≥ λ = − − μ = − − λ ≤ + ≤ + = μ − λ − = μ − λ − 0 : 8 0 : 7 0 y x 80 : 6 0 y 6 x 3 100 : 5 80 y x : 4 100 y 6 x 3 : 3 0 6 x 2 : 2 0 3 y 2 : 1 Se λ = 0 ( ) ( ) _⎩⎨ ⎧ μ = μ = ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ μ = μ = ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ = μ − = μ − 5 , 0 x 5 , 0 y x 2 y 2 0 x 2 : 2 0 y 2 : 1 Substituindo em (6) vem: ( 80−0,5μ−0,5μ)= 0 ⇔ μ = 0 ∨ μ = 80 μ → = = ⇒ = μ 0 x y 0 não é solução → = × + × ⇒ = = ⇒ =

μ 80 x y 40 3 40 6 40 360 viola (3), não é solução.

Se μ =0 ( ) ( ) _⎩⎨ ⎧ λ = λ = ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ λ = λ = ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ = λ − = λ − 3 x 5 , 1 y 6 x 2 3 y 2 0 6 x 2 : 2 0 3 y 2 : 1 Substituindo em (5) vem: ( 100 −9λ−9λ)= 0 ⇔ λ = 0 ∨ λ =100 18 λ

(28)

→ = + ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ = = ⇒ = λ 25 3 25 3 50 3 25 y 3 50 x 18 100 não viola (4)  λ,μ > 0 ( ) ( ) ( ) ( ) _⎩⎨ ⎧ − = = ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ = − − = − − ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ = − − μ = − − λ 3 140 y 3 380 x 0 y x 80 0 y 6 x 3 100 0 y x 80 : 6 0 y 6 x 3 100 : 5

Também não é solução.

Portanto,

( ) (

x,y = 50 3,25 3

)

e μ =0, ou seja, a restrição do racionamento total

de 80 senhas não é activa.

c) Faça a representação gráfica dos dois equilíbrios.

X0 X1 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 0 20 40 60 80 100 x y RO a) RO b) RO b) U=250 U=277,78

A.3.6. Comente as seguintes afirmações:

a) A escolha óptima do consumidor caracteriza-se pela igualdade entre a taxa marginal de substituição e o rácio dos preços.

A frase é falsa. Embora seja verdadeira para preferências bem comportadas, não se aplica, por exemplo, a bens substitutos perfeitos.

b) Dois indivíduos com cabazes de consumo idênticos têm certamente preferências idênticas.

Considerem-se dois consumidores cujas preferências são dadas por U = x +2y e

y 3 x

U = + e que dispõem ambos de 100 u.m. Os preços são P_x = 2 e P_y =1. Para

ambos os consumidores a escolha óptima será x =0 e y = 0 . Ou seja, eles

escolhem o mesmo cabaz. No entanto, não apresentam a mesma TMS pelo que as suas preferências não são idênticas. Portanto, este exemplo demonstra que a frase é falsa.

c) Se a função utilidade de um consumidor é do tipo , a

percentagem de rendimento gasta no consumo do bem Y é sempre igual a .

y x y , x U

(29)

A frase é falsa, pois com uma função utilidade do tipo U( x,y)= xαyβ a percentagem de rendimento gasta no consumo do bem Y será sempre igual a

β + α β . Passando a demonstrar:

(

m P x P y

)

y x m y P x P . a . s y x U max y x y x y , x _→ _Γ ₌ ₊ _λ ₋ ₋ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = β α β α ⇔ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = + λ = β λ = α ⇔ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = − − = λ − β = λ − α ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = λ ∂ Γ ∂ = ∂ Γ ∂ = ∂ Γ ∂ − β α β − α β α β − α m y P x P P y x P y x 0 y P x P m 0 P y x 0 P y x 0 0 y 0 x y x y 1 x 1 y x y x 1 ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + α β = ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = β α ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + λ λ = β α − β α β − α m y P x P x P P y m y P x P P P x y m y P x P P P y x y x y x y x y x y x y x y x 1 1 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ α β + α β = ⇔ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = α β + α β = ⇔ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = α β + α β = m x P 1 x P P y m x p x P x P P y m x P P p x P x P P y x y x x x y x y x y x y x ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ β + α α = β + α β = ⇔ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ β + α α = α β = ⇔ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ α β + α = α β = ⇔ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ α β + = α β = x y x y x x y x x y x P m x P m y P m x x P P y P m x x P P y P 1 m x x P P y

d) Se dois bens são complementares perfeitos, o consumidor vai sempre escolher comprar igual quantidade de ambos.

Se dois bens são complementares perfeitos serão consumidos sempre na mesma proporção o que não significa que se consuma igual quantidade de ambos. Como exemplo tomem-se as alíneas g)-i) do exercício A.3.1. A frase é, então, falsa. e) Quando as preferências são quasi-lineares, a escolha do consumidor é sempre

uma solução de canto.

Uma solução de canto é aquela em que o rendimento é gasto em apenas um dos bens. A frase é, obviamente, falsa: basta ver o exemplo das alíneas j)-l) do exercício A.3.1.

f) Se dois bens são substitutos perfeitos e TMS_x_,_y > P_x P_y , o consumo de X é nulo.

A frase é verdadeira. Se aTMS_x_,_yé maior que o preço relativo de x, entãoTMS_y_,_x

é menor que o preço relativo de x. Como TMS _y_,_x é o rácio da utilidade marginal

de x e de y, dizer que aquela é menor que o rácio dos preços de x e de y significa que x tem um custo relativo superior à satisfação relativa que proporciona. E,

(30)

A.4. ANÁLISE DE ESTÁTICA COMPARADA

A.4.1. Defina os seguintes conceitos: a) Curva consumo-rendimento

Lugar geométrico dos cabazes de equilíbrio do consumidor correspondentes a diferentes níveis de rendimento.

b) Bem normal

Bem cujo consumo varia proporcionalmente menos ou na mesma proporção do rendimento monetário.

c) Bem inferior

Bem cujo consumo varia inversamente com o rendimento. d) Curva de Engel

Representação da relação entre a quantidade consumida de um bem e o rendimento do consumidor.

e) Curva consumo-preço

Lugar geométrico dos cabazes de equilíbrio de um consumidor que resultam de variações no preço de um bem.

f) Bem de Giffen

Bem cuja procura varia directamente com o seu preço. g) Efeito substituição

Variação na quantidade procurada de um bem, resultante da variação no preço desse bem, mantendo-se constante o rendimento real do consumidor (se esse rendimento real estiver expresso em termos de poder de compra(nível de satisfação), tem-se a abordagem à Slutsky(Hicks)).

h) Efeito rendimento

Variação na quantidade procurada de um bem, resultante da alteração do rendimento real do consumidor (se esse rendimento real estiver expresso em termos de poder de compra(nível de satisfação), tem-se a abordagem à Slutsky(Hicks)).

A.4.2. Mostre que um bem de Giffen é necessariamente inferior.

A variação no consumo de um bem devida a uma alteração do respectivo preço pode ser desdobrada em dois efeitos, o substituição e o rendimento:

( ) ( ) ( p,m x p,m

[

x p,m) ( )x p,m

]

[

x( ) ( )p,m x p,m

]

x x x x = Δ s +Δ n ⇔ ′ − = ′ ′ − + ′ − ′ ′ Δ

Enquanto o efeito substituição tem de ser negativo – isto é, por efeito substituição, a variação no consumo tem sinal oposto ao da variação no preço – o efeito rendimento pode ser negativo ou positivo.

(31)

Um bem de Giffen é aquele cuja procura ordinária varia directamente com o seu

preço, ceteris paribus. Portanto, a variação total tem de ter sinal positivo. Ora, para

que a soma de uma parcela negativa com outra seja positiva, esta outra parcela tem de ser positiva. Logo, para que um bem seja de Giffen, o efeito rendimento tem de ter sinal positivo. Mas um bem só tem efeito rendimento de sinal positivo se for inferior. Concluindo: um bem de Giffen tem de ser necessariamente inferior.

A.4.3. Considere o espaço de consumo de 2 bens, X e Y, relativo a um determinado consumidor. Apresente uma interpretação gráfica dos efeitos substituição e rendimento numa situação em que o preço do bem X diminui. O bem X é um bem normal. Efectue as explicações que entender necessárias para acompanhar a leitura do gráfico. Reporte-se às abordagens de Hicks e Slutsky.

ABORDAGEM DE HICKS

Para decompor a variação total em efeito substituição e efeito rendimento, Hicks determina a quantidade consumida de X num cenário em que o preço deste bem diminui, mas o bem-estar do consumidor mantém-se. Ou seja, Hicks encontra uma restrição orçamental (a verde) com o mesmo declive que a restrição orçamental final (a azul claro) mas que seja tangente à curva de indiferença que também o é à restrição orçamental inicial (a azul escuro).

E1 E2 EI x y RO inicial RO final RO intermédia CI ES ER ABORDAGEM DE SLUTSKY

Para decompor a variação total em efeito substituição e efeito rendimento, Slutsky determina a quantidade consumida de X num cenário em que o preço deste bem diminui, mas o poder de compra do consumidor mantém-se. Ou seja, Slutsky encontra uma restrição orçamental (a verde) com o mesmo declive que a restrição orçamental final (a azul claro) mas que passa pelo cabaz inicial. Dada essa restrição orçamental

(32)

E1 E2 EI x y RO inicial RO final RO intermédia ES ER

A.4.4. Determine e represente as curvas i. consumo-rendimento

ii. consumo-preço do bem X iii. consumo-preço do bem Y iv. de Engel do bem X

v. de Engel do bem Y para as seguintes situações:

a) U =5x0,5y0,5; P_x = 2; P_y =10; m =100 CURVA CONSUMO-RENDIMENTO x 2 , 0 y 10 2 x y P P TMS y x x , y = ⇔ = ⇔ =

CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X

⇔ ⎩ ⎨ ⎧ = + = ⇔ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = 100 y 10 x P y 10 x P 100 y 10 x P 10 P x y m y P x P P P TMS x x x x y x y x x , y 5 y 100 y 10 y 10 y 10 x P_x = ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ = + =

CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y

⇔ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = ⇔ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = + = 100 y P x 2 x 2 y P 100 y P x 2 P 2 x y m y P x P P P TMS y y y y y x y x x , y 25 x 100 x 2 x 2 x 2 y P_y = ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ = + =

CURVA DE ENGEL DO BEM X

m 25 , 0 x 2 m 5 , 0 x P m 5 , 0 x x = ⇔ = ⇔ =

(33)

m 05 , 0 y 10 m 5 , 0 y P m 5 , 0 y y = ⇔ = ⇔ = b) U = 2x0,4y0,6; P_x = ;1 P_y = ; 6 m =50 CURVA CONSUMO-RENDIMENTO x 25 , 0 y 6 1 x 6 , 0 y 4 , 0 P P TMS y x x , y = ⇔ = ⇔ =

⇔ ⎩ ⎨ ⎧ = + = ⇔ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = 50 y 6 x P y 4 x P 50 y 6 x P 6 P x 6 , 0 y 4 , 0 m y P x P P P TMS x x x x y x y x x , y 5 y 50 y 6 y 4 y 4 x P_x = ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ = + =

⇔ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = ⇔ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = + = 50 y P x x 5 , 1 y P 50 y P x P 1 x 6 , 0 y 4 , 0 m y P x P P P TMS y y y y y x y x x , y 20 x 50 x 5 , 1 x x 5 , 1 y P_y = ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ = + =

m 4 , 0 x 1 m 4 , 0 x P m 4 , 0 x x = ⇔ = ⇔ =

CURVA DE ENGEL DO BEM Y

m 1 , 0 y 6 m 6 , 0 y P m 6 , 0 y y = ⇔ = ⇔ = c) U = x3y2; P_x =1,5; P_y = ; 4 m = 45 CURVA CONSUMO-RENDIMENTO x 25 , 0 y 4 5 , 1 x 2 y 3 P P TMS y x x , y = ⇔ = ⇔ =

⇔ ⎩ ⎨ ⎧ = + = ⇔ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = 45 y 4 x P y 6 x P 45 y 4 x P 4 P x 2 y 3 m y P x P P P TMS x x x x y x y x x , y 5 , 4 y 45 y 4 y 6 y 6 x P_x = ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ = + =

⇔ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = ⇔ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = + = 45 y P x 5 , 1 x y P 45 y P x 5 , 1 P 5 , 1 x 2 y 3 m y P x P P P TMS y y y y y x y x x , y 18 x 45 x x 5 , 1 x y P_y = ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ = + =

m 4 , 0 x 5 , 1 m 6 , 0 x P m 6 , 0 x = ⇔ = ⇔ =

(34)

m 1 , 0 y 4 m 4 , 0 y P m 4 , 0 y y = ⇔ = ⇔ = d) U = 2x+3y; P_x =1; P_y = 4; m =60 CURVA CONSUMO-RENDIMENTO 0 y TMS 3 2 4 1 P P x , y y x ₌ _< ₌ _⇒ ₌

CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X se P_x < 8 3 ⇒ y = 0

se P_x = 8 3 ⇒ y =15−2 3x

se P_x > 8 3 ⇒ x = 0

CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y se P_y <1,5 ⇒ x = 0

se P_y =1,5 ⇒ y = 40−2 3x se P_y >1,5 ⇒ y = 0

m x 1 m x P m x x = ⇔ = ⇔ =

0 y = e) U =5x+2y; P_x = ; 3 P_y = ; 1 m =12 CURVA CONSUMO-RENDIMENTO 0 x TMS 2 5 1 3 P P x , y y x ₌ _> ₌ _⇒ ₌

CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X se P_x < 2,5 ⇒ y = 0

se P_x = 2,5 ⇒ y =12−2,5x

se P_x > 2,5 ⇒ x = 0

CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y se P_y <1,2 ⇒ x = 0

se P_y =1,2 ⇒ y =10−2,5x se P_y >1,2 ⇒ y = 0

0 x =

m y 1 m y P m y y = ⇔ = ⇔ = f) U =3x+4y; P_x =6; P_y =8; m =150 CURVA CONSUMO-RENDIMENTO É todo o espaço dos bens.

CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X se P_x < 6 ⇒ y = 0

se P_x = 6 ⇒ y =18,75−0,75x

se P_x > 6 ⇒ x = 0

CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y se P < 8 ⇒ x = 0

; P_x =4; P_y = 2; m =100 CURVA CONSUMO-RENDIMENTO x 2 y =

x 2 y =

m 125 , 0 x 2 2 4 m x P 2 P m x y x = ⇔ × + = ⇔ + =

m 25 , 0 y 4 5 , 0 2 m y P 5 , 0 P m y x y = ⇔ × + = ⇔ + = j) U = 4x+lny; P_x =10; P_y =1; m =62,5

(36)

5 , 2 y 1 10 y 4 P P TMS ₁ y x x , y = ⇔ ₋ = ⇔ =

⇔ ⎩ ⎨ ⎧ = + = ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = − 5 , 62 ´ y x P y 4 P 5 , 62 y x P 1 P y 4 m y P x P P P TMS x x x x 1 y x y x x , y x 4 1 5 , 62 y 5 , 62 y yx 4 y 4 P_x + = ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ = + =

⇔ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = ⇔ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = + = ₋ 5 , 62 y P x 10 5 , 2 y P 5 , 62 y P x 10 P 10 y 4 m y P x P P P TMS y y y y 1 y x y x x , y 6 x 5 , 62 5 , 2 x 10 5 , 2 y P_y = ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ = + =

25 , 0 m 1 , 0 x 10 5 , 2 m x P 4 P m x x x − = ⇔ − = ⇔ − =

5 , 2 y 1 4 10 y P 4 P y y x _⇔ ₌ × = ⇔ = k) U = y+0,5x2; P_x =6; P_y =2; m =28 CURVA CONSUMO-RENDIMENTO Se m≤ 36 ⇒ x = 0 ∧ 0 < y ≤18 Se m≥ 36 ⇒ x ≥ 6 ∧ y = 0

CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM X Se P_x ≤ 28 ⇒ x ≥ 28 ∧ y = 0

Se P_x ≥ 28 ⇒ x = 0 ∧ y =14

CURVA CONSUMO-PREÇO DO BEM Y Se P_y ≤18 7 ⇒ x = 0 ∧ y ≥ 98 9

Se P_y ≥18 7 ⇒ x =14 3∧ y = 0

CURVA DE ENGEL DO BEM X Se m≤ 36 ⇒ x = 0

Se m≥ 36 ⇒ x = m6

CURVA DE ENGEL DO BEM Y Se m≤ 36 ⇒ y = 0,5m Se m≥ 36 ⇒ y = 0 l) U=3x+12y0,5; P_x = 2; P_y = 0,5; m =100 CURVA CONSUMO-RENDIMENTO 64 y 5 , 0 2 y 6 3 P P TMS ₀_,₅ y x x , y = ⇔ ₋ = ⇔ =

⇔ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = − 100 ´ y 5 , 0 x P y 25 , 0 P 100 y 5 , 0 x P 5 , 0 P y 6 3 m y P x P P P TMS x 5 , 0 x x x 5 , 0 y x y x x , y

(37)

5 , 0 5 , 0 5 , 0 x y 25 , 0 y 5 , 0 100 x 100 y 5 , 0 x y 25 , 0 y 25 , 0 P − = ⇔ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + =

⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = ⇔ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = + = ₋ 100 y P x 2 y 4 P 100 y P x 2 P 2 y 6 3 m y P x P P P TMS y 5 , 0 y y y 5 , 0 y x y x x , y ( )2 5 , 0 5 , 0 y x 5 , 0 25 y 100 y 4 x 2 y 4 P − = ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + =

16 m 5 , 0 x P P P 4 m x x y 2 x − = ⇔ − =

64 y 5 , 0 2 4 y P P 4 y 2 2 y x _⇔ ₌ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⇔ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = A.4.5. Calcule:

i. efeito substituição e efeito rendimento à Slutsky ii. efeito substituição e efeito rendimento à Hicks iii. variação no excedente

iv. variação compensatória v. variação equivalente para as seguintes situações:

a) U =5x0,5y0,5; P_x = 2; P_y =10; m =100; P_x′ =5 5 10 100 5 , 0 y 25 2 100 5 , 0 x 100 m 10 P 2 P i i y x = × = = × = ⇒ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = 5 10 100 5 , 0 y 10 5 100 5 , 0 x 100 m 10 P 5 P f f y x = × = = × = ⇒ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = = = ′

EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À SLUTSKY

175 5 10 25 5 y P x P m′= _x′ _i + _y _i = × + × = 5 , 17 5 175 5 , 0 x 170 m 10 P 5 P y x = × = ′ ⇒ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = ′ = = ′ 5 , 7 25 5 , 17 ES = − = − 5 , 7 5 , 17 10 ER = − = −

(38)

⇔ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′′ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′′ = × × ⇔ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ _′′ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′ ′′ = 5 , 0 5 , 0 5 , 0 5 , 0 5 , 0 y 5 , 0 x i 0,_P5m 5 25 5 5 0,5₅m 0,₁₀5m P m 5 , 0 5 U 158 m 50 m 25 , 0 125 = ′′2 ⇔ ′′≈ 8 , 15 5 158 5 , 0 x 158 m 10 P 5 P y x = × = ′ ⇒ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = ′′ = = ′ 2 , 9 25 8 , 15 ES = − = − 8 , 5 8 , 15 10 ER = − = − VARIAÇÃO NO EXCEDENTE x 50 P P 50 x _x x = ⇔ = 25 x 2 P_x = ⇒ = 10 x 5 P_x = ⇒ =

[ ]

−

[ ]

= = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ × − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ × − = − = Δ

_∫

25

_∫

10₀ 25₀ 0 10 0 i f XC 50_x dx 10 5 50_x dx 25 2 50lnx 50lnx XC XC ( ) ( )

[

ln10 ln0 ln25 ln0

]

45,81 50 − − − ≈ − = VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA 58 100 158 m m VC = ′′− = − = VARIAÇÃO EQUIVALENTE ⇔ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′′′ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′′′ = × × ⇔ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ _′′′ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ′′′ = 5 , 0 5 , 0 5 , 0 5 , 0 5 , 0 y 5 , 0 x f 5 0,_P5m 0,_P5m 5 10 5 5 0,5₂m 0,₁₀5m U 63 m 20 m 25 , 0 50 = ′′′2 ⇔ ′′′≈ 37 100 63 m m VE = ′′′− = − = − b) U = 2x0,4y0,6; P_x = ; 1 P_y = ; 6 m =50; P_y′ = 4 5 6 50 6 , 0 y 20 1 50 4 , 0 x 50 m 6 P 1 P i i y x = × = = × = ⇒ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = 5 , 7 4 50 6 , 0 y 20 1 50 4 , 0 x 50 m 4 P 1 P f f y x = × = = × = ⇒ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = = ′ =

40 5 4 20 1 y P x P m′= _x _i + _y′ _i = × + × = 6 4 40 6 , 0 y 40 m 4 P 1 P y x = × = ′ ⇒ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = ′ = ′ = 1 5 6 ES = − = 5 , 1 6 5 , 7 ER = − =

(39)

⇔ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′′ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′′ = × × ⇔ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′ ′′ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ′′ = 6 , 0 4 , 0 6 , 0 4 , 0 6 , 0 y 4 , 0 x i 2 20 5 2 0,4₁m 0,6₄m P m 6 , 0 P m 4 , 0 2 U 39 m m 15 , 0 4 , 0 5 200,4 × 0,6 = 0,4 × 0,6 ′′ ⇔ ′′≈ 85 , 5 4 39 6 , 0 y 39 m 4 P 1 P y x = × = ′ ⇒ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = ′′ = ′ = 85 , 0 5 85 , 5 ES = − = 65 , 1 85 , 5 5 , 7 ER = − = VARIAÇÃO NO EXCEDENTE y 30 P P 30 y _y y = ⇔ = 5 y 6 P_y = ⇒ = 5 , 7 y 4 P_y = ⇒ =

[ ]

−

[ ]

= = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ × − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ × − = − = Δ

_∫

5 7₀,5 5₀ 0 5 , 7 0 i f XC 30_y dy 7,5 4 30_y dy 5 6 30lny 30lny XC XC ( ) ( )

[

ln7,5 ln0 ln5 ln0

]

12,16 30 − − − ≈ = VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA 11 50 39 m m VC= ′′− = − = − VARIAÇÃO EQUIVALENTE ⇔ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′′′ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′′′ = × × ⇔ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ _′′′ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ′′′ = 6 , 0 4 , 0 6 , 0 4 , 0 6 , 0 y 4 , 0 x f 2 0,_P4m 0,_P6m 2 20 7,5 2 0,4₁m 0,6₆m U 63 m m 1 , 0 4 , 0 5 , 7 200,4 × 0,6 = 0,4 × 0,6 ′′′ ⇔ ′′′ ≈ 13 50 63 m m VE = ′′′− = − = c) U = x3y2; P_x =1,5; P_y = 4; m = 45; P_x′ =3 5 , 4 4 45 4 , 0 y 18 5 , 1 45 6 , 0 x 45 m 4 P 5 , 1 P i i y x = × = = × = ⇒ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = 5 , 4 4 45 4 , 0 y 9 3 45 6 , 0 x 45 m 4 P 3 P f f y x = × = = × = ⇒ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = = = ′

72 5 , 4 4 18 3 y P x P m′= _x′ _i + _y _i = × + × = 8 , 10 4 72 6 , 0 x 72 m 4 P 3 P y x = × = ′ ⇒ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = ′ = = ′ 2 , 7 18 8 , 10 ES = − = − 8 , 1 8 , 10 9 ER = − = −

EFEITO SUBSTITUIÇÃO E EFEITO RENDIMENTO À HICKS

⎞ ⎛ ′′ ⎞ ⎛ ′′ ⎞ ⎛ _′′ ⎞ ⎛ ₀_,₆_m_′′ 3 ₀_,₄_m 2 ₀_,₆_m 3 ₀_,₄_m 2

(40)

68 m m 1 , 0 2 , 0 5 , 4 183 × 2 = 3 × 2 ′′5 ⇔ ′′≈ 6 , 13 3 68 6 , 0 x 68 m 4 P 3 P y x = × = ′ ⇒ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = ′′ = = ′ 4 , 4 18 6 , 13 ES = − = − 6 , 4 6 , 13 9 ER = − = − VARIAÇÃO NO EXCEDENTE x 27 P P 27 x _x x = ⇔ = 18 x 5 , 1 P_x = ⇒ = 9 x 3 P_x = ⇒ =

[ ]

−

[ ]

= = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ × − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ × − = − = Δ

_∫

18

_∫

9₀ 18₀ 0 9 0 i f XC 27_x dx 9 3 27_x dx 18 1,5 27lnx 27lnx XC XC ( ) ( )

[

ln9 ln0 ln18 ln0

]

18,71 27 − − − ≈ − = VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA 23 45 68 m m VC= ′′− = − = VARIAÇÃO EQUIVALENTE ⇔ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ′′′ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ′′′ = × ⇔ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ _′′′ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ′′′ = 2 3 2 3 2 y 3 x f 0,6_Pm 0,_P4m 9 4,5 0,₁6_,m₅ 0,4₄m U 30 m m 1 , 0 4 , 0 5 , 4 93 × 2 = 3 × 2 ′′5 ⇔ ′′′≈ 15 45 30 m m VE = ′′′− = − = − d) U = 2x+3y; P_x =1; P_y = 4; m =60; P_x′ =3 0 y 60 1 60 x 60 m 4 P 1 P i i y x = = = ⇒ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = 15 4 60 y 0 x 60 m 4 P 3 P f f y x = = = ⇒ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = = = ′

180 0 4 60 3 y P x P m′= _x′ _i + _y _i = × + × = 0 x 180 m 4 P 3 P y x = ′ ⇒ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = ′ = = ′ 60 60 0 ES = − = − 0 0 0 ER = − =

160 m 4 m 3 0 2 0 3 60 2 P m 3 0 2 U y i ⇔ ′′= ′′ × + × = × + × ⇔ ′′ × + × = 0 x 160 m 4 P 3 P y x = ′ ⇒ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = ′′ = = ′

(41)

0 0 0 ER = − = VARIAÇÃO NO EXCEDENTE

[

]

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > = = ∈ < = 3 8 P se 0 x 3 8 P se 5 , 22 ; 0 x 3 8 P se P 60 x x x x x 60 x 1 P_x = ⇒ = 0 x 3 P_x = ⇒ =

[ ]

lnx 60( ln60 ln22,5) 58,85 60 1 60 dx x 60 3 8 5 , 22 0 XC XC XC 60 60₂₂_,₅ 5 , 22 i f _⎟⎟ = − = − − ≈ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ × − + × − = − = Δ

_∫

VARIAÇÃO COMPENSATÓRIA 100 60 160 m m VC = ′′− = − = VARIAÇÃO EQUIVALENTE 5 , 22 m 0 3 1 m 2 15 3 0 2 0 3 P m 2 U x f + × ⇔ ′′= ′′ × = × + × ⇔ × + ′′ × = 5 , 37 60 5 , 22 m m VE = ′′′− = − = − e) U =5x+2y; P_x = ; 3 P_y = ; 1 m =12; P_y′ = 0,8 12 1 12 y 0 x 12 m 1 P 3 P i i y x = = = ⇒ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = 15 8 , 0 12 y 0 x 12 m 8 , 0 P 3 P f f y x = = = ⇒ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = = ′ =

6 , 9 12 8 , 0 0 3 y P x P m′= _x _i + _y′ _i = × + × = 12 8 , 0 6 , 9 y 6 , 9 m 8 , 0 P 3 P y x = = ′ ⇒ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = ′ = ′ = 0 12 12 ES = − = 3 12 15 ER = − =

6 , 9 m 8 , 0 m 2 0 5 12 2 0 5 P m 2 0 5 U y i ⇔ ′′= ′′ × + × = × + × ⇔ ′′ × + × = 12 8 , 0 6 , 9 y 6 , 9 m 8 , 0 P 3 P y x = = ′ ⇒ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = ′ = ′ = 0 12 12 ES = − = 3 12 15 ER = − = VARIAÇÃO NO EXCEDENTE

[

]

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > = = ∈ < = 2 , 1 P se 0 y 2 , 1 P se 10 ; 0 y 2 , 1 P se P 12 y x x x y