Exercícios de Revisão. Primitivas Por Partes

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Exercícios de Revisão

Primitivas Por Partes

§1 Introdução Teórica ...2

§2 Exercícios Resolvidos...2

§2.1 Polinómio/Exponencial ...2

§2.2 Polinómio/(Sin ou Cos) ...4

§2.3 (Exponencial ou Sin ou Cos)/ (Sin ou Cos) ...4

§2.4 Logaritmo ...6

§2.5 Trigonométricas ...7

§2.6 Trigonométricas Inversas...7

§2.7 Outras situações ...8

§3 Exercícios Propostos ...9

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§1 Introdução Teórica

Regra da “uvelhinha”: v u P uv uv P ´= − ´ ou equivalentemente:

( )

fg fG P

( )

fG gF P

( )

gF P

( )

gf P = − ′ = − ′ = em que G≡Pg

Neste texto usaremos sempre na primeira forma, os resultados são obviamente os mesmos, no entanto a primeira forma tem mostrado ser estatisticamente mais “fácil de fixar” por parte dos alunos. No entanto cada aluno deve sempre usar a forma que é explicada na sua disciplina.

§2 Exercícios Resolvidos

§2.1 Polinómio/Exponencial

Neste caso sabemos primitivar/derivar quer o polinómio, quer a exponencial. Devemos observar que a exponencial após se primitivar/derivar, fica na “mesma”. Ao passo que o polinómio não. Devemos escolher o polinómio como função a derivar, uma vez que “diminui um grau” por cada derivação “que sofre”.

2.1.1 Calcule uma primitiva das seguintes funções: (a) (x+ 3)ex2 (b) (2x2 +1)e3x (c) x e3 x (d) x e7 x4 Resolução: (a) P x( − 3)ex2 seja: u= +x 3 ; u′ =1 v′ =ex2 ; v=2ex2 então: P x( −3)ex =2(x−3)ex −2P ex = 2(x−3)ex −4P1ex = (x− )ex − ex 2 2 3 4 2 2 2 2 2 2 2 (b) P(2x2+1)e3x seja: u=2x2+1 ; u′ =4x ′ = = v e3x v 1e3x 3 ; então:

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http://www.explicacoes.com/tabelas.php?login=sup117 93 852 13 50 3 P(2x 1)e x 2x 1e x P x e x 3 4 3 2 3 2 3 3 + = + − seja agora: u=x ; u′ =1 ′ = = v e3x v 1e3x 3 ; então: P(2x 1)e x 2x 1e x xe x P e x x e x x e x e x 3 4 3 3 1 3 2 1 3 4 9 4 27 2 3 2 3 3 3 2 3 3 3 + = + − ⎡ − ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥= + ₋ ₊ (c) P x e3 x seja: u x= 3 ; u′ =3x2 ′ = = v ex ; v ex então: P x e3 x =x e3 x−3P x e2 x de novo se: u x= 2 ; u′ =2x ′ = = v ex ; v ex fica: P x e3 x =x e3 x−3

[

x e2 x−2P x ex

]

=x e3 x−3x e2 x+6P x ex e se: u x= ; u′ =1 ′ = = v ex ; v ex obtém-se finalmente: P x e3 x =x e3 x −3x e2 x+6

[

x ex−P ex

]

=x e3 x −3x e2 x+6x ex−6ex (d) P x e( 7 x4) 1P (x4 x e3 x4) 4 4 = seja: u=x4 ; u′ =4x3 ′ = = v 4x e3 x4; v ex4 P x e( 7 x ) P(x4 x e3 x ) (x e4 x P x e3 x ) (x e4 x ex ) x ex 4 4 1 4 4 4 4 4 4 4 4 1 4 4 1 4 1 4 = = − = − = −

(4)

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§2.2 Polinómio/(Sin ou Cos)

Neste caso sabemos primitivar/derivar quer o polinómio, quer o sen/cos. Devemos observar que o sen/cos após se primitivar/derivar, fica na “mesma”. Ao passo que o polinómio não. Devemos escolher o polinómio como função a derivar, uma vez que “diminui um grau” por cada derivação “que sofre”.

2.2.1 Calcule uma primitiva das seguintes funções: (a) (2x−1) sin2x

(b) x+ 2 x

3 cos5

Resolução:

(a) P(2x−1) sin2x seja: u=2x−1 ; u′ =2

′ = = −

v sin2x ; v 1cos x

2 2

P (2x 1) sin2x 2x 1cos x Pcos x x cos x sin x

2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 − = − − + = − − + (b) P x+ 2 x 3 cos5 seja: u x u = +2 ′ = 3 1 3 ; ′ = = v cos5x ; v 1sin x 5 5 P x+2 x= x+ x− P x= x+ x+ x 3 5 2 15 5 1 15 5 2 15 5 1 75 5

cos sin sin sin cos

§2.3 (Exponencial ou Sin ou Cos)/ (Sin ou Cos)

Neste caso sabemos primitivar/derivar quer a exponencial, quer o sen/cos. Devemos observar que o sen/cos após se primitivar/derivar, fica na “mesma”. Tal como a exponecial. A escolha é arbitrária e a primitiva é “recurvisa”. No entanto a segunda escolha deve ser igual escolher o polinómio como função a derivar, uma vez que “diminui um grau” por cada derivação “que sofre”.

2.3.1 Calcule uma primitiva das seguintes funções: (a) e2xsin3x

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Resolução:

(a) P e2xsin3x seja: u=e2x ; u′ =2e2x

′ = = − v sin3x ; v 1cos x 3 3 P e2x 3x 1e2x x P e2x x 3 3 2 3 3

sin = − cos + cos

seja: u=e2x ; u′ =2e2x ′ = = v cos3x ; v 1sin x 3 3 P e x x e x x e x P e x x x 2 2 2 2 3 1 3 3 2 3 3 3 2 3 3

sin = − cos + ⎡ sin − sin

⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ P e2x 3x 1e2x x e2x x P e2x x 3 3 2 9 3 4 9 3

sin = − cos + sin − sin

portanto: P e2x 3x 4P e2x x e2x x e2x x 9 3 1 3 3 2 9 3

sin + sin = − cos + sin

13 9 3 1 3 3 2 9 3 2 2 2

P e xsin x= − e x cos x+ e x sin x

P e2x 3x 9 e2x x e2x x e2x x e2x x 13 1 3 3 2 9 3 3 13 3 2 13 3

sin = (− cos + sin )= − cos + sin

(b) Psin2xcos3x seja: u=sin2x ; u′ =2cos2x

′ = =

v cos3x ; v 1sin x

3 3

Psin2xcos3x 1sin xsin x P cos xsin x

3 2 3

2

3 2 3

= −

seja: u=cos2x ; u′ = −2sin2x

′ = = −

v sin3x ; v 1cos x

3 3

Psin2xcos3x 1sin xsin x cos xcos x sin xcos x

3 2 3 2 3 1 3 2 3 2 3 2 3 = − ⎡− − ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ = 1 + + 3 2 3 6 2 9 2 3 4 9 2 3

sin xsin x cos xcos x sin xcos x

(6)

http://www.explicacoes.com/tabelas.php?login=sup117 93 852 13 50 6 5 9 Psin2xcos3x= 1 3 2 3 2 9 2 3

sin xsin x+ cos xcos x

Psin2xcos3x= 9 5 1 3 2 3 2 9 2 3

( sin xsin x+ cos xcos x)

Psin2xcos3x= 9

15 2 3

2

5 2 3

sin xsin x+ cos xcos x = 3 +

5 2 3

2

5 2 3

sin xsin x cos xcos x

§2.4 Logaritmo

Neste caso temos apenas “uma função” em que a função e primitivar é a unidade, i.e. v′=1, pois a derivada de uma constante é nula.

2.4.1 Calcule uma primitiva das seguintes funções: (a) logx

(b) log2x

Resolução:

(a) P

[

logx

]

seja:

x u x u=log ; ′=1 ′ = = v 1 ; v x

[

]

1

[ ]

(

)

log log log 1 log 1

P x x x P x x x P x x x ⎡ ⎤ = − _⎢ _⎥= − = − ⎣ ⎦ (b) P⎡_⎣log2x⎤_⎦ seja: u x u x x =log2 ; ′ =2 1log ′ = = v 1 ; v x

Plog2x=xlog2x−2Plogx

seja: u x u x =log ; ′ = 1 ′ = = v 1 ; v x

[

]

(7)

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§2.5 Trigonométricas

2.5.1 Calcule uma primitiva das seguintes funções: (a) tg x2 secx Resolução: (a) P tg x x P x x x P x x x P x x P x P x P x 2 2 2 2 2 2 3 1 sec sin cos sec cos cos sec sec

cos sec sec sec

= = − = − = −

A segunda primitiva é imediata Psecx=log secx tg x+ , a primeira primitiva-se por partes:

u x u tg x x v x v tg x = ′ = ′ = = sec ; sec sec2 ;

P tg x2 secx=secx tg x−P tg x2 secx−log secx tg x+ = secx tg x−P tg x2 secx−log secx tg x+

2P tg x2 secx=secx tg x−log secx tg x+

P tg x2 x 1 x tg x x tg x

2

1 2

sec = sec − log sec +

§2.6 Trigonométricas Inversas

2.6.1 Calcule uma primitiva das seguintes funções:

(a) arctg x3

(b) arcsinx 3

Resolução:

(a) P arctg x3 seja: u arctg x u

x = ′ = + 3 3 1 9 2 ; ′ = = v 1 ; v x P arctg x x arctg x P x x x arctg x P x x x arctg x x 3 3 3 1 3 3 1 6 18 1 9 3 1 6 1 9 2 2 2 = − +( ) = − + = − log +

(8)

http://www.explicacoes.com/tabelas.php?login=sup117 93 852 13 50 8 (b) Parcsinx 3 seja: u x u x = ′ = − arcsin ; 3 1 3 1 9 2 ′ = = v 1 ; v x P x x x P x x x x P x x x x P x x

arcsin arcsin arcsin ( ) arcsin ( )

3 3 3 1 9 3 3 1 9 3 3 2 2 9 1 9 2 2 1 2 2 1 2 = − − = − − − = + − − = xarcsinx+ 3 3 2 ( ) arcsin 1 9 1 2 3 3 1 9 2 1 2 2 − = + − x x x x

§2.7 Outras situações

2.7.1 Calcule uma primitiva das seguintes funções: (a) 1− x2 Resolução: (a) P x P x x P x P x x x P x x 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 − = − − = − − − =arcsin − − seja: u = x ; u′ =1 ′ = − = − ₋ ₋ − _{= −} ₋ v x x x x v x 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 ( )( ) ;

[

]

P x x x x P x x x x P x 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 − = − − − + − = + − − − arcsin ( ) arcsin portanto: 2P 1−x2= arcsinx+ x 1−x2 P 1 x x x 1 x 2 2 2 − = arcsin + −

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§3 Exercícios Propostos

(a) x x ex 2 2 5 − + (b) xsinx cosx (c) log x x3 (d) log x x (e) log (x+ 1+x2) (f) x x sin2 (g) sin ( log )x (h) log 2 2 x x (i) arcsin2x

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§4 Soluções/Sugestões dos exercícios propostos

(a) Px x ex P x x e x 2 2 2 5 2 5 − + ₌ ₋ ₊ − ( ) Seja: u=x2−2x+5 ; u′ =2x−2 ′ = − = − − v e x ; v e x P x x ex x x e P x e x x 2 2 2 5 2 5 2 2 − + _{= −} ₋ ₊ − ₊ ₋ − ( ) ( ) Seja: u= 2x−2 ; u′ = 2 ′ = − = − − v e x ; v e x P x x e x x e x e P e x x e x e e x e x x x x x x x x 2 2 2 2 2 5 2 5 2 2 2 2 5 2 2 2 5 − + _{= −} − + ₊ − ₊ − _{= −} − + ₊ − ₋ _{= −} +

(b) P xsin cosx x= 1 P xsin x

2 2

Seja: u =x ; u′ =1

′ = = −

v sin2x ; v 1cos x

2 2

P xsin cosx x = ⎡−xcos x+ Pcos x xcos x sin x xcos x sin x

⎣⎢ ⎤ ⎦⎥= − + = − + 1 2 2 2 1 2 2 4 2 1 4 1 2 2 4 2 1 8 2 (c) P x x P x x log log 3 3 = − Seja: u x u x = log ; ′ =1 ′ = − = − v x v x 3 2 1 2 ; P x x x x P x x x x

log log log

3 2 3 2 2 2 1 2 2 1 4 = − + − = − − (d) P x x P x x log log = −1 2 Seja: u x u x =log ; ′ = 1 ′ = − = − v x 1 2 ; v 2 x

(11)

http://www.explicacoes.com/tabelas.php?login=sup117 93 852 13 50 11 P x x x x P x x x x P x x x x log

log log log

= − = − − = − 2 2 2 2 1 2 2 4 (e) Plog (x+ 1+x2) Seja: u x x u x x x x x x x x x x = + + ′ = + + + + = + + + + + = + log ( 1 ) ; 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 ′ = = v 1 ; v x P x x x x x P x x x x x P x x

log ( + + )= log ( + + )− log ( ) ( )

+ = + + − + − 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 =xlog (x+ 1+x )− 1 ( +x ) =xlog (x+ +x )− +x 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 (f) P x x P x x sin2 cos 2 = ec Seja: u=x ; u′ =1 ′ = = − v cosec x2 ; v cotg x P x x x x P x x x x

sin2 = − cotg + cotg = − cotg +log sin

(g) Psin ( log )x

Seja: u x u

x x

=sin ( log ) ; ′ = 1cos( log )

v′ =1 ; v=x

Psin ( log )x =xsin ( log )x −Pcos( log )x

seja: u x u

x x

=cos( log ) ; ′ = −1sin ( log )

′ = =

v 1 ; v x

Psin ( log )x =xsin ( log )x −xcos( log )x −Psin ( log )x

2 Psin ( log )x =xsin ( log )x −xcos( log )x Psin ( log )x = xsin ( log )x −xcos( log )x

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http://www.explicacoes.com/tabelas.php?login=sup117 93 852 13 50 12 (h) P x x log2 2 Seja: u x u x x =log2 ; ′ = 2log v′ =x− v= − x 2 1 ; P x x x x P x x

log2 log log

2 2 2 2 = − + Seja: u x u x =log ; ′ = 1 ′ = − = − v x v x 2 1 ; P x x x x x x P x x x x x x

log2 log log log log

2 2 2 2 2 2 2 = − + ⎡− + ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥= − − − − (i) Parcsin2x Seja: u x u x x = ′ = − arcsin2 ; arcsin 2 2 1 ′ = = v 1 ; v x P x x x P x x x

arcsin2 arcsin2 arcsin

2 2 1 = − − Seja: u x u x = ′ = − arcsin ; 1 1 2 ′ = − = − = − − − v x x x x v x 1 1 1 2 2 1 2 2 ( ) ;