Cinemática Multidimensional Movimento 2D
Mecânica Clássica
Prof. Gabriel Hickel
Aplicações: III. Força elástica central (Exercício desafio)
Seja uma partícula de massa m, livre para movimentar-se no plano, sujeita à uma força central:
⃗F =−k⋅⃗r
Supondo condições iniciais quaisquer, descreva as equações de movimento no sistema que julgar mais adequado.
Cinemática Multidimensional Movimento 2D
Mecânica Clássica
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Aplicações: III. Força elástica central (Resolução e uma boa lição...)
Como a força é central e depende de r, parece ser muito mais conveniente utilizar-se coordenadas polares. Neste caso, temos a aceleração radial dependente da força central, ao passo que a aceleração na direção θ é nula:
a
r=−(k/m)⋅r=−
ω
02⋅r
a
θ=0
d
2r
dt
2−r⋅
(
d
θ
dt
)
2=−
ω
0 2⋅r
r
⋅
d
2θ
dt
2+2
dr
dt
⋅
d
θ
dt
=0
Cinemática Multidimensional Movimento 2D
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Aplicações: III. Força elástica central (Resolução)
Na segunda expressão, é conveniente (mas não trivial) notar que:
r
⋅
d
2θ
dt
2+2
dr
dt
⋅
d
θ
dt
=
1
r
⋅
d
dt
(
r
2⋅
d
θ
dt
)
E então:1
r
⋅
d
dt
(
r
2⋅
d
θ
dt
)
=0 ⇒
d
dt
(
r
2⋅
d
θ
dt
)
=0 ⇒ r
2⋅
d
θ
dt
=const .=
λ
Cinemática Multidimensional Movimento 2D
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Aplicações: III. Força elástica central (Resolução)
Desta forma, a velocidade angular fica definida: De modo que:
d
θ
dt =
r
λ
2d
2r
dt
2−r⋅
(
d
θ
dt
)
2=−
ω
0 2⋅r ⇒
d
2r
dt
2=−
ω
0 2⋅r+
λ
2r
3Cinemática Multidimensional Movimento 2D
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Aplicações: III. Força elástica central (Resolução)
Porém, esta é uma equação diferencial de segunda ordem não linear...
d
2r
dt
2=−
ω
0 2⋅r+
λ
2r
3 Sem solução analítica…Cinemática Multidimensional Movimento 2D
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Aplicações: III. Força elástica central (Resolução)
Resta analisar alguns aspectos e/ou fazer a solução numérica. Alguns aspectos importantes:
I. Caso especial 1 : velocidade angular nula → λ = 0
d
2r
dt
2=−
ω
0 2Cinemática Multidimensional Movimento 2D
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Aplicações: III. Força elástica central (Resolução)
Resta analisar alguns aspectos e/ou fazer a solução numérica. Alguns aspectos importantes:
II. Caso especial 2 : velocidade radial nula → dr/dt = 0
d
2r
dt
2−r⋅
(
d
θ
dt
)
2=−
ω
0 2⋅r ⇒
d
θ
dt
=
ω
0=const .
M.C.U.Cinemática Multidimensional Movimento 2D
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Aplicações: III. Força elástica central (Resolução)
Resta analisar alguns aspectos e/ou fazer a solução numérica. Alguns aspectos importantes:
III. Ponto de força radial nula → ar = 0
Isto significa que a aceleração radial pode ser negativa (para r
grande) ou positiva (para r pequeno)
−
ω
0 2⋅r+
λ
2Cinemática Multidimensional Movimento 2D
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Aplicações: III. Força elástica central (Resolução)
Desta forma, mesmo sem resolver analiticamente o problema, estes três aspectos importantes nos levam à conclusão que o caso geral; para um movimento equilibrado, sob força central, com extremos de movimento harmônico unidimensional, e movimento circular, só pode ser um tipo de movimento:
MOVIMENTO ELÍPTICO
Sugiro fortemente que vocês apliquem a resolução deste problema na forma numérica, para se convencerem disto!!!
Cinemática Multidimensional Movimento 2D
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Aplicações: III. Força elástica central (Resolução)
Exemplifico, aqui, uma solução numérica que fiz, utilizando como condições iniciais: ω0 = 3; r0 = 2; θ0 = 60o; v
r0 = 0; λ = 25;
para 80 mil iterações:
Cinemática Multidimensional Movimento 2D
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Aplicações: III. Força elástica central (Resolução)
ω0 = 3; r0 = 2; θ0 = 60o; v
r0 = 0;
λ = 25; para 80 mil iterações:
Órbita → Aceleração ← radial a b a > 0 a < 0
Cinemática Multidimensional Movimento 2D
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Aplicações: III. Força elástica central (Resolução e uma boa lição...)
Ok, bonito, mas a existência de uma força central dependente de
r realmente nos enganou na sugestão de tentar a solução por coordenadas polares…
E se tentarmos por coordenadas cartesianas? Como fica?
F
x=F
r⋅cos(
θ
)=−k⋅r⋅cos(
θ
)=−k⋅
√
x
2+ y
2⋅
x
√
x
2+ y
2=−k⋅x
Da mesma forma, para y :F
Cinemática Multidimensional Movimento 2D
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Aplicações: III. Força elástica central (Resolução e uma boa lição...)
Temos um oscilador harmônico bidimensional, com frequências iguais nas duas direções:
a
x=−(k/m)⋅x=−
ω
02⋅x
a
y=−(k /m)⋅y=−
ω
02⋅y
Cujas soluções conhecemos bem:x
(t)= A
x⋅cos(
ω
0⋅t +
δ
x)
y
(t )= A
y⋅cos(
ω
0⋅t +
δ
y)
Precisamos apenas determinar as amplitudes e defasagens em cada direção, de acordo com as condições iniciais.Cinemática Multidimensional Movimento 2D
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Aplicações: III. Força elástica central (Resolução e uma boa lição...)
Assim:
tan
(
δ
x)=
−v
x0x
0⋅
ω
0A
x=
x
0cos
(
δ
x)
tan
(
δ
y)=
−v
y 0y
0⋅
ω
0A
y=
y
0cos
(
δ
y)
E a solução analítica fica completa, para qualquer condições iniciais. Parece incrível, mas é uma solução muito fácil...
Cinemática Multidimensional Movimento 2D
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Aplicações: III. Força elástica central (Resolução e uma boa lição...)
Mostro a comparação desta solução analítica completa, com a numérica que fiz antes:
Para ω0 = 3; r0 = 2; θ0 = 60o; v r0 = 0; λ = 25; teremos:
δ
x=74,51
oA
x=3,744
A
y=2,709
δ
y=−50,26
oCinemática Multidimensional Movimento 2D
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Aplicações: III. Força elástica central (Resolução e uma boa lição...)
Mostro a comparação desta solução analítica completa, com a numérica que fiz antes:
Solução → Numérica Polar ← Solução Analítica Cartesiana
Cinemática Multidimensional Movimento 3D
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A exemplo da análise do movimento em 2D, o movimento 3D também traz a implicação de trabalhar-se com vetores e todo o tipo de operações com os mesmos.
A introdução de mais um grau de liberdade trará complicações nas análises, mas em algumas situações, será possível reduzir o movimento tridimensional para 2D, sob determinadas condições físicas.
Cinemática Multidimensional Movimento 3D
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Coordenadas Retangulares
s
(t )⇒ A→ B
Como descrever o movimento?
Decomposição do movimento:
s
(t )=f [ x(t ); y(t); z(t)]
Cinemática Multidimensional Movimento 3D
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Coordenadas Retangulares Vetor Posição 3D:
⃗r(t)=x(t) ^x+ y(t) ^y+z(t ) ^z
Características:|⃗r|=
√
x
2+ y
2+z
2 ^r=(
x√
x2+ y2+z2)
⋅^x+(
y√
x2+ y2+z2)
⋅^y+(
z√
x2+ y2+ z2)
⋅^z⃗r ⇒ 0 → ∞
Cinemática Multidimensional Movimento 3D
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Coordenadas Retangulares Vetor Velocidade 3D:
⃗v(t)=
d
dt =
⃗s
d
dt
⃗r
Com:⃗v(t)=
(
dx
dt
)
^x+
(
dy
dt
)
^y+
(
dz
dt
)
^z
⃗v(t)=v
x(t) ^x+v
y(t) ^y+v
z(t )^z
Cinemática Multidimensional Movimento 3D
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Coordenadas Retangulares Vetor Aceleração 3D:
⃗a(t)=
d
2⃗s
dt
2=
d
2⃗r
dt
2 Com:⃗a(t)=
(
d
2x
dt
2)
^x+
(
d
2y
dt
2)
^y+
(
d
2z
dt
2)
^z
Cinemática Multidimensional Movimento 3D
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Coordenadas Cilíndricas (ρ, φ, z) Conversões: E também:
⃗x(t)=
(
ρ
(t)⋅cos[
ϕ
(t)]
)
^x
⃗
ρ
(t)=
√
[ x(t)]
2+[ y(t )]
2ρ
^
⃗y (t )=
(
ρ
(t)⋅sen[
ϕ
(t)]
)
^y
⃗z(t)=[z(t)] ^z
⃗
ϕ
(t)=arctan [ y(t)/ x(t )] ^
ϕ
⃗z(t)=[z(t)] ^z
Cinemática Multidimensional Movimento 3D
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Coordenadas Cilíndricas (ρ, φ, z) Variações direcionais:
^
ρ
= ^x⋅cos[
ϕ
(t)]+ ^y⋅sen[
ϕ
(t)]
^
ϕ
=− ^x⋅sen[
ϕ
(t)]+ ^y⋅cos[
ϕ
(t )]
^z= ^z
Cinemática Multidimensional Movimento 3D
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Coordenadas Cilíndricas (ρ, φ, z) Vetor posição:
⃗r=
ρ
⋅^
ρ
+z⋅^z
Vetor velocidade:⃗v=
d
dt
⃗r
=
d
dt
ρ
⋅^
ρ
+
ρ
⋅
d
dt
ρ
^
+
dz
dt
⋅^z
⃗v=
d
dt
ρ
⋅^
ρ
+
ρ
⋅
d
dt
ϕ
⋅^
ϕ
+
dz
dt
⋅^z
Velocidade Velocidade planarplanar Velocidade Velocidade azimutalazimutal Velocidade Velocidade verticalverticalCinemática Multidimensional Movimento 3D
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Coordenadas Cilíndricas (ρ, φ, z) Vetor aceleração:
⃗a=
d
dt
⃗v
⃗a=[
d2ρ dt2 −ρ⋅(
dϕ dt)
2]
⋅^ρ+[
ρ⋅d2ϕ dt2 +2 d ρ dt ⋅ dϕ dt]
⋅^ϕ+ d2 z dt2⋅^z ⃗a=d2ρ
dt2 ⋅^ρ
+ dρ
dt ⋅ dρ
^ dt + dρ
dt ⋅ dϕ
dt ⋅^ϕ
+ρ
⋅ d2ϕ
dt2⋅^ϕ
+ρ
⋅dϕ
dt ⋅ d ^ϕ
dt + d2z dt2⋅^z Aceleração planar Aceleração planar Aceleração centro-planar Aceleração centro-planarCinemática Multidimensional Movimento 3D
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Coordenadas Cilíndricas (ρ, φ, z) Vetor aceleração:
⃗a=
d
dt
⃗v
⃗a=[
d2ρ dt2 −ρ⋅(
dϕ dt)
2]
⋅^ρ+[
ρ⋅d2ϕ dt2 +2 d ρ dt ⋅ dϕ dt]
⋅^ϕ+ d2 z dt2⋅^z ⃗a=d2ρ
dt2 ⋅^ρ
+ dρ
dt ⋅ dρ
^ dt + dρ
dt ⋅ dϕ
dt ⋅^ϕ
+ρ
⋅ d2ϕ
dt2⋅^ϕ
+ρ
⋅dϕ
dt ⋅ d ^ϕ
dt + d2z dt2⋅^z Aceleração azimutal Aceleração azimutal Aceleração coriolis-azimutal Aceleração coriolis-azimutalCinemática Multidimensional Movimento 3D
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Coordenadas Cilíndricas (ρ, φ, z) Vetor aceleração:
⃗a=
d
dt
⃗v
⃗a=[
d2ρ dt2 −ρ⋅(
dϕ dt)
2]
⋅^ρ+[
ρ⋅d2ϕ dt2 +2 d ρ dt ⋅ dϕ dt]
⋅^ϕ+ d2 z dt2⋅^z ⃗a=d2ρ
dt2 ⋅^ρ
+ dρ
dt ⋅ dρ
^ dt + dρ
dt ⋅ dϕ
dt ⋅^ϕ
+ρ
⋅ d2ϕ
dt2⋅^ϕ
+ρ
⋅dϕ
dt ⋅ d ^ϕ
dt + d2z dt2⋅^z Aceleração vertical Aceleração verticalCinemática Multidimensional Movimento 3D
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Coordenadas Esféricas (r, φ, θ)
Conversões:
E também:
⃗x(t)=
(
r
(t)⋅sen[
θ
(t)]⋅cos[
ϕ
(t)]
)
^x
⃗r(t)=
√
[ x(t)]
2+[ y(t)]
2+[ z(t )]
2^r
⃗y(t )=
(
r
(t)⋅sen[
θ
(t)]⋅sen[
ϕ
(t)]
)
^y
⃗z(t)=
(
r
(t)⋅cos[
θ
(t )]
)
^z
⃗
θ
(t )=arctan[
√
[ x (t )]
2+[ y(t)]
2/ z(t)] ^
θ
⃗
Cinemática Multidimensional Movimento 3D
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Coordenadas Esféricas (r, φ, θ)
Variações direcionais:
^r= ^
ρ
⋅sen[
θ
(t)]+^z⋅cos[
θ
(t)]
^
Cinemática Multidimensional Movimento 3D
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Coordenadas Esféricas (r, φ, θ) Variações direcionais:
^
ρ
= ^x⋅cos[
ϕ
(t)]+ ^y⋅sen[
ϕ
(t)]
^
ϕ
=− ^x⋅sen[
ϕ
(t)]+ ^y⋅cos[
ϕ
(t )]
Cinemática Multidimensional Movimento 3D
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Coordenadas Esféricas (r, φ, θ)
Unindo as duas análises:
^r=^x⋅sen[θ (t )]⋅cos[ϕ (t)]+ ^y⋅sen[θ (t)]⋅sen[ϕ (t )]+^z⋅cos[θ (t )] ^θ = ^x⋅cos[θ (t)]⋅cos[ϕ (t)]+ ^y⋅cos[θ (t )]⋅sen[ϕ (t)]−^z⋅sen[θ (t)] ^
ϕ=− ^x⋅sen[ϕ(t)]+ ^y⋅cos[ϕ(t )]
Teremos as derivadas temporais direcionais: d^r dt = dθ dt⋅^θ +sen[θ (t)]⋅ dϕ dt ⋅^ϕ d ^θ dt =− dθ dt ⋅^r+cos[θ (t)]⋅ dϕ dt ⋅^ϕ d ^ϕ dt =− dϕ dt ⋅(sen[θ (t)]⋅^r+cos[θ (t)]⋅^θ)
Cinemática Multidimensional Movimento 3D
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Coordenadas Esféricas (r, φ, θ) Vetor posição:
⃗r=r⋅^r
Vetor velocidade:⃗v=
d
dt =
⃗r
d r
dt ⋅
^r+r⋅
d
dt
^r
⃗v=
d r
dt
⋅^r+r⋅
d
dt
θ
⋅^
θ
+r⋅sen(
θ
)⋅
d
dt
ϕ
⋅^
ϕ
Velocidade Velocidade radialradial Velocidade Velocidade zenitalzenital Velocidade Velocidade azimutalazimutalCinemática Multidimensional Movimento 3D
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Coordenadas Esféricas (r, φ, θ) Vetor aceleração:
⃗a=
d
dt
⃗v
ar=d 2 r dt2 −r⋅(
dθ dt)
2 −r⋅sen2(θ)⋅(
dϕ dt)
2 ⃗a=ar⋅^r+aθ⋅^θ
+aϕ⋅^ϕ
Aceleração radial Aceleração radial Aceleração centro-zenital Aceleração centro-zenital Aceleração centro-azimutal Aceleração centro-azimutalCinemática Multidimensional Movimento 3D
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Coordenadas Esféricas (r, φ, θ) Vetor aceleração:
⃗a=
d
dt
⃗v
⃗a=ar⋅^r+aθ⋅^θ
+aϕ⋅^ϕ
aθ=r⋅d 2 θ dt2 +2 dr dt⋅ dθ dt −r⋅sen(θ )⋅cos(θ)⋅(
dϕ dt)
2 Aceleração tange-zenital Aceleração tange-zenital Aceleração coriolis-zenital Aceleração coriolis-zenital Aceleração tange-azimutal Aceleração tange-azimutalCinemática Multidimensional Movimento 3D
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Coordenadas Esféricas (r, φ, θ) Vetor aceleração:
⃗a=
d
dt
⃗v
⃗a=ar⋅^r+aθ⋅^θ
+aϕ⋅^ϕ
aϕ=r⋅sen(θ)⋅d2ϕ dt2 +2⋅sen(θ)⋅ dr dt⋅ dϕ dt +2⋅r⋅cos(θ)⋅ dθ dt ⋅ dϕ dt Aceleração azimute-tangencial Aceleração azimute-tangencial Aceleração coriolis-azimutal Aceleração coriolis-azimutal Aceleração tange-azimutal Aceleração tange-azimutalCinemática Multidimensional Movimento 3D
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Exercício: Projetil Simples, Terra com rotação (Terra plana e sem ar)
Resolver a trajetória genérica do projétil A Terra é plana, mas tem rotação.
Eixo X aponta para Leste, Y aponta para Norte e Z cresce na direção da altura
