COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III 3ª SÉRIE – MATEMÁTICA I – PROF. WALTER TADEU
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Exercícios de Números Complexos – Forma Trigonométrica – 2012 - GABARITO 1. Escreva na forma trigonométrica os seguintes complexos.
a) i b) 2 c) 1i d) 1i e) 3 3 i Solução. Identificando módulo e argumento em cada caso, temos:
a)
cis 2
isen 2 cos.1 2 )º90( i 2 rad 1 1
sen 1 1 0 cos 0
11
²1²0 zi1 0i z
.
b)
cis2 isen cos.
)º 22 180(
rad 2 0
sen 0 2 1 cos 2
2 4
²0 )²2(
z i02 2 z
.
c)
4 cis2 3 4 isen 3 4 cos. 3 2i )º135 1 ( 4 rad 3 2
2 2 sen 1
2 2 2 cos 1
2
²1)² 1(
zi 1 z
.
d)
4
cis2 5 4 isen 5 4 cos. 5 2i )º225 1 ( 4 rad 5 2
2 2 sen 1
2 2 2 cos 1
2 )²1(
)²1(
zi 1 z
.
e)
6 cis3 11 6 2 isen 11 6 cos. 11 32 i3 3 )º330 ( 6 rad 11 2
1 32 sen 3
2 3 3.3 2
33 32 cos 3
32 12 39 3 )²3(
zi 3
3z
2
.
2. Supondo
cis2
z , calcule: a) z² b) z4
Solução. Aplicando a propriedade das potências, temos:
a) cos isen 1
.2 2 2 isen . 2 2 cos
2 isen cos
² 2 z 2 isen 2 cos
cis z
2
.
b) cis2 1 1
.2 4 2 cis
cis z
4
4
.
3. Represente os seguintes números complexos na forma não dada (algébrica ou trigonométrica).
a) 5cis b) 4 c)
2 cis5
3
d)
6 cis5 .
5
e) 22i
Solução. Escrevendo nas formas indicadas, temos:
a) 5cis5cosisen 5.(10i)5i.
b)
4 .4 0cos isen 0 0cis4
0 4 0 sen 0
4 1 cos 4
4 16
²0 )²4(
z i04 4z
.
c) 3(0 1i) 3i
isen2 cos2
2 3 cis 2 3
2 cis 2 3
cis5
3
.
d) i
2 5 2 i 15 2 1 2 5 3 6
isen5 6
cos5 . 6 5 cis5 .
5
.
e)
4 cis2 5 4 2 isen 5 4 cos. 5 22 )º i22
225(
4 rad 5 2
2 2 1 22 sen 2
2 2 2 1 22 cos 2
22 8 44 2 )²2(
zi 22
z
2
.
4. Sejam z 2 2i e i 3 2 3
w2 . Represente na forma trigonométrica.
a) z.w b) z².w c)
³ w z4 Solução. Escrevendo a forma trigonométrica de z e w, temos:
3 isen 2 3 cos 2 3 . w 4 )º 120(
3 rad 2
2 3 3 . 3 32 3 32 3 4 . 3 3 2 3 4 3 2 sen
2 1 4 . 3 3 2 3 4 3
2 cos
3 4 9 16 9
12 4 3 4 9 4 3 2 3 w 2 3 i 2 3 w 2
:w
4 isen 7 4 cos 7 .2 )º z
315(
4 rad 7 2 sen 2
2 cos 2
2 4 2 2
²2
²2 z i2 2 z :z
2 2
.
a)
12 isen5 12 cos5 3 8 12 2 5 12 isen
2 5 3 cos w 8 . z
12 isen29 12
cos29 3 8 3 2 4 isen 7 3
2 4 cos 7 3 8 3 isen2 3
cos2 3. . 4 4 isen7 4
cos7 . 2 w . z
. b)
6 7 6 :5 OBS
6 isen5 6
cos5 3 16 3
2 2 isen 3 3
2 2 cos 3 3 16 3
isen 2 3
cos 2 3. .4 2 isen3 2
cos3 4 w
².
z
3 isen 2 3
cos 2 3. 4 3 isen2 3
cos2 3. 4 3 isen2 3
cos2 3. w 4
2 isen3 2
cos3 2 4
isen7 2
cos7 4 4
.7 2 4 isen .7 2 cos 4 4
isen7 4
cos7 . 2
² z
2
. c)
cis( )
4 isen 27
4 cos ) 27 2 ( isen ) 2 64 cos(
. 27 16 2
isen 2
cos 27. 64
isen cos
16
³ w z
2 isen 2
cos 27. 64 3
.2 3 3 isen .2 3 cos 27. 64 3
isen2 3
cos2 3.
³ 4 w
isen cos
16 7
isen 7
cos 4 16
.7 4 4 isen .7 4 cos 4 16
isen7 4
cos7 . 2 z
4
3 4 4
.
5. Seja 2i97
i 1
z 2
, represente z na forma algébrica e trigonométrica.
Solução. Aplicando a propriedade da potência de i, temos:
a) Forma algébrica: 2i 1 i 2i 1 i
2 i 2 i 2
² 2 i
² 1
i 2 i 2
i 2 1
i .1 i 1
z 2 1
.
b) Forma Trigonométrica:
4 4 : 7 OBS
4 isen 7 4 cos. 7 2 i1 2
2 2 sen 1
2 2 2 cos 1
2
²1 )²1(
z i1 z
.
6. Dado
2 3 i 2
z 1 , calcule z100.
Solução. Escrevendo a fórmula trigonométrica e aplicando a potência, temos:
2 i 3 2 1 3 cis 2 6 116 4 6 isen 116 4 6 cos
isen 700 6 cos 700 6
isen 7 6 cos 7 z
6 7 2
1 1 1 2 sen
2 3 1
3 2 cos
4 1 1 4 3 2 1 2 z 3 2 1 2
3 2
3 i . i i2 1 2
3 i2 z 1
100 100
2 2
.
7. Se ucos3ºisen3º, vcos11ºisen11º e w cos4ºisen4º, calcule a forma algébrica de
5 7
w v .
zu .
Solução. Aplicando as propriedades das operações com complexos na forma trigonométrica, temos:
2 i 3 2 º 1 60 isen º 60 cos ) º 20 º 80 ( isen )
º 20 º 80 cos(
º 20 isen º 20 cos
) º 80 ( isen ) º 80 cos(
º 20 isen º 20 cos
) º 77 º 3 ( isen ) º 77 º 3 cos(
º 20 isen º 20 cos
º 77 isen º 77 cos . º 3 isen º 3 cos w
v . z u ) ii
º 20 isen º 20 cos ) º 4 .(
5 isen )
º 4 .(
5 cos w
º 4 isen º 4 cos w
º 77 isen º 77 cos ) º 11 .(
7 isen ) º 11 .(
7 cos v
º 11 isen º 11 cos v
º 3 isen º 3 cos u )i
5 7
5 7
.
8. (UNESP) Considere o número complexo
isen6 cos6
z . Calcule z3 + z6 + z12. Solução. Aplicando a potência de complexos e adicionando, temos:
i 1 1 i z z z 1 2 isen 2 6 cos . 12 6 isen . 12 cos z
1 isen 6 cos
.6 6 isen .6 cos z
2 i 2 isen 6 cos .3 6 isen .3 cos z
12 6 3
12 6 3
.
9. (UFRGS) Considere z1 32i e z2 4i. Encontre a representação trigonométrica da soma de z1 com o conjugado de z2.
Solução. Efetuando e representando na forma trigonométrica, temos:
cis.2 4 isen 4
cos 4 .2 i1 2
2 2 sen 1
2 2 2 cos 1
2
²1 )²1(
i1
i1 )i 4(
)i2 3(
z i4 z z i4 z
i2 3 z
2 1 2
2 1
.
10. (UNIRIO) Se z1 e z2 são números complexos representados pelos seus afixos no Plano Argand-Gauss mostrado, calcule z3 = z1. z2 na forma trigonométrica.
Solução. Identificando os complexos e efetuando as operações, temos:
º 225 4 rad : 5 OBS
4 cis. 5 4 22 isen 5 4 cos 5 .2 2 z 2
2 2 sen 2
2 2 22 cos 2
22 8 )²2 ( )²2 ( i2 2 z
i2 2
²i2 i2 )i).(i 2 2(
z.z i z
z i2 2 z
3 3
2 1 3 2
1
.
11. (UFCG) José, fã de matemática, bolou a seguinte estratégia para não esquecer sua senha bancária.
Escolheu o número complexo z i
2 1 2 1
e criou uma senha usando o menor inteiro que satisfaz n que satisfaz a igualdade zn 1, Esse número vale:
a) 4 b) 5 c) 3 d) 2 e) 6 Solução. Encontrando a forma trigonométrica do complexo, temos:
. 4 cos 4 45 4
2 1 1 1 2
2 1 1 1 2 cos
2 11 1 2 1 2 1 2 1
2 1 2 1
2 2
z seni
ou sen
z
i
z
.Calculando a potência, temos:
4 4 1
4 . . 0 4 1
. . 4 cos . 1 )
4 . . 4 cos . . 4
cos4 )
n n i n
senn n i
z ii
senn n i
sen i z
i
n
n n
.
12. (ITA) Dado z . 1 3i
2 1
, então
89 1 n
zn é igual a:
a) 1 b) 0 c) – 1 d) 2 e) – 2 Solução. Encontrando a forma trigonométrica do complexo, temos:
3 . 2 3 cos 2
3 120 2 2
3 1 3 2 2 ; 1 1 1 2 cos
1 4 1 4 4 3 4 1 2
3 2 1 2
3 2 1
2 2
sen i z ou sen
z i
z
.Representando o somatório, temos:
12 1 ... 12
3 9
3 3 3 . 3 3 . 9 3
. 3
3 . . 3
3 . 3
3 . 3
2 3 . 3
2 3 . 3
2 1 3 2 1
2 3 2 1 1
) 1
1 . 0 1 60 . 60 3 cos
. 180 3
cos180 3
. 2 3 cos2 )
1 1
1 ) .
( ...
)
89 3
89 2 1
90
90 90
90 89 89
1 89
3 89 2
1
z z
z z z
i i
i i i
i i
i i
i z
z iii z
i sen
i sen
i sen
i z
ii
z z z z
z z z
z razão de PG Soma z
z z z z i
n n
n n n
n
.
