ESTUDO EXPLORATÓRIO1
Ana Coelho Vieira Selva – UFPE anaselva@globo.com Rute Elisabete de Sousa Borba – UFPE rborba@ce.ufpe.br Jullyanna Torres Braga – UFPE jullyanna.braga@bol.com.br Taciana de Souza Couto – UFPE tacianasc@bol.com.br
INTRODUÇÃO
A importância do uso dos instrumentos culturais no ensino de matemática vem sendo discutida ao longo das últimas décadas. Cada vez mais freqüentemente, computadores, calculadoras, entre outros instrumentos, vem sendo chamados a fazer parte das salas de aula. Se, atualmente, existem poucas dúvidas quanto a importância de seus usos, menor atenção tem sido focalizada sobre em que contextos e como tais instrumentos poderão ser úteis a aprendizagem de matemática (Nunes, 1999).
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (Brasil,1997) recomendam o recurso às tecnologias da comunicação no ensino de matemática. Defende-se que a calculadora é um recurso útil para verificação de resultados, para correção de erros e para a auto-avaliação. A calculadora pode ser utilizada para a observação de regularidades matemáticas pois com o uso da mesma pode-se estimular os alunos a investigarem hipóteses. Com a calculadora pode-se diminuir a sobrecarga com cálculos e os alunos podem concentrar sua atenção nos resultados obtidos. Comparando e relacionando os resultados obtidos na calculadora pode-se chegar a conclusões mais facilmente do que se for necessário ainda realizar os cálculos.
Apesar das recomendações feitas pelos PCN, não se tem observado um uso freqüente de calculadoras nas salas de aula, principalmente nas séries iniciais do ensino fundamental. Este aspecto é realçado pela própria escassez de propostas de uso de calculadoras pelos livros didáticos (Araújo, 2002). Esses dados são também mostrados
por Ruthven (1994) que observou, a partir da resposta a questionários de alunos ingleses na transição entre as escolas primárias e secundárias, que a calculadora não era tida como uma ferramenta com a qual eles podiam aprender, havendo também uma consideração da mesma como prejudicial para a aprendizagem por levarem os alunos a deixarem de aprender outros tipos de cálculo.
Em outro estudo, Ruthven (1999) analisou a resolução de problemas por alunos ingleses do último ano de educação primária que faziam parte de escolas que seguiam a solicitação do currículo nacional inglês que incentivava o uso da calculadora na sala de aula. Tais alunos haviam participado de um projeto voltado para o uso da calculadora como recurso didático. Ele observou que os mais altos índices de sucesso foram nos problemas em que os alunos usaram a calculadora, entretanto nenhum dos alunos conseguiu interpretar o resultado obtido corretamente. A dificuldade na interpretação dos resultados obtidos não foi exclusiva nos problemas resolvidos com a calculadora, mas foi uma observação geral relativa também às outras formas de resolução dos problemas (cálculo escrito, por exemplo).
Os dados obtidos por Ruthven (1999) mostraram que o trabalho envolvendo as ferramentas de resolução de problemas, incluindo-se a calculadora, deve incluir também uma preocupação com a interpretação dos resultados obtidos e não apenas na questão do uso da ferramenta e os contextos dessa utilização.
Groves (1994) comparou um grupo de crianças de 3as. e 4as. séries que tiveram oportunidade de usar a calculadora na resolução de problemas em sala de aula (grupo experimental) com um grupo que não teve essa mesma oportunidade (grupo controle). Os resultados obtidos indicaram que o uso da calculadora a longo prazo favoreceu significativamente o desempenho global das crianças no que se refere à escolha de artifícios de cálculo para resolução dos problemas e na computação de questões que envolviam o conhecimento de valor de lugar dos números, subtração com resposta negativa, divisão com resto, multiplicação e divisão de dinheiro. A autora concluiu enfatizando o oportunidade dada através do uso da calculadora para que crianças se engajassem em investigações matemáticas, partilhassem suas descobertas com os professores e colegas, contribuindo para uma genuína discussão matemática em sala de aula.
Um dado interessante verificado por Groves (op.cit.) em relação à resolução de contas de divisão foi os resultados significativamente melhores do grupo que usou a calculadora na divisão que resultava em uma resposta decimal, como também em
outros itens que requeriam a leitura e interpretação de decimais. Comparando-se as formas de resolução usadas pelas crianças, observou-se que o cálculo mental e a calculadora foram as mais freqüentes.
Em outro estudo, Groves (1995) analisou o uso da calculadora para discutir o conceito de número por crianças da pré-escola. Tais crianças tiveram a oportunidade de usar livremente a calculadora por quatro anos consecutivos (1990 a 1993). Os resultados mostraram que a calculadora forneceu oportunidades de partilhar e refletir sobre o número, como também aproximou a matemática do ensino de língua. As construções realizadas pelas crianças em relação aos números grandes, números negativos e decimais desafiaram o currículo previsto, gerando um trabalho muito mais centrado na compreensão do que preso ao currículo inicial. Também gerou um repensar do professor em relação a suas práticas e atitudes em relação ao ensino.
Araújo (2002) desenvolveu um estudo com doze crianças de quarta série do ensino fundamental que tinham hábito de usar a calculadora desde a primeira série dessa mesma faixa de ensino. As crianças resolveram 30 questões que consistiam de contas e problemas relacionados às operações aritméticas. Dessas 30 questões, 22 puderam ser resolvidas pela criança usando o recurso escolhido por ela (cálculo mental, escrito, calculadora, material dourado, estimativa) enquanto que oito questões tinham o recurso a ser utilizado já definido pelo experimentador. O objetivo foi verificar se as crianças mesmo preferindo uma determinada forma de cálculo durante a resolução das questões, poderiam apresentar sucesso ao serem solicitadas a resolverem uma questão semelhante usando outro tipo de recurso determinado pelo experimentador.
Os resultados indicaram que no grupo livre houve uma preferência pelo uso do cálculo escrito (42,4% das questões), seguido do cálculo mental (35, 2% das questões), do uso da calculadora (18,1%), do material dourado (2,3%) e dos dedos (2%). A estimativa não foi utilizada como recurso escolhido pelas crianças. Em relação ao percentual de acerto e erro, os dados mostraram um percentual reduzido de erros (6,4% quando usaram o cálculo mental, 5,3% usando o cálculo escrito, 1,9% com uso da calculadora). Os resultados do grupo obrigatório mostraram maiores dificuldades das crianças ao resolverem questões usando o cálculo escrito e a calculadora em relação ao padrão de desempenho observado no grupo livre (Cálculo escrito: 11 erros e 13 acertos relativos a duas questões; Calculadora: 9 acertos e 15 erros em duas questões), o mesmo padrão do grupo livre foi observado em relação ao cálculo mental (23 acertos em duas questões). A estimativa que não tinha sido usada nos problemas livres, obteve 9 acertos
e 12 erros nos dois problemas em que foi solicitada a ser utilizada. A autora concluiu que a calculadora da forma como é trabalhada não inibe o desenvolvimento de outras competências de cálculo.
Diferentemente do estudo de Groves (1994), o estudo de Araújo (2002) não apontou a calculadora como um recurso freqüentemente utilizado pelas crianças. Ainda, o estudo de Araújo mostrou uma certa dificuldade das crianças quando o uso da calculadora foi obrigatório na resolução das questões. Embora consideremos o reduzido número de questões usado por Araújo (op.cit.) na solicitação do uso obrigatório de cada recurso (apenas duas questões), esses dados nos levam a questionar sobre que tipo de trabalho foi desenvolvido com a calculadora nas escolas que fizeram parte do estudo de ambas pesquisas. Possivelmente, algumas respostas sobre tais diferenças poderiam ser encontradas a partir desse tipo de comparação.
Os estudos acima sugerem que um aspecto que parece relevante de ser explorado com uso da calculadora consiste não apenas no trabalho com as operações aritméticas, mas também como crianças interpretam resultados obtidos por meio de seus cálculos, especialmente da calculadora.
O presente estudo propôs uma intervenção individual com crianças do ensino fundamental com o objetivo de explorar a resolução de problemas de divisão com resto, o tratamento dado ao resto pelas crianças e as relações entre o resto da divisão e sua representação em decimais. Foram comparados resultados de um mesmo problema resolvido por meio de diferentes representações: manipulativos ou papel/lápis versus calculadora e manipulativo versus papel/lápis.
A comparação do uso de diferentes tipos de representações na resolução de problemas de divisão e dos resultados obtidos pelo mesmo problema na calculadora pode proporcionar elementos para a análise do papel das representações na construção dos conceitos matemáticos, em particular, na compreensão da representação decimal. Uma hipótese do presente trabalho consiste em considerar que o uso de manipulativos na resolução de problemas de divisão dificulta a aceitação por parte da criança da subdivisão do resto pois, por exemplo, uma ficha não pode ser dividida. Nesse sentido, será mais difícil para as crianças que usaram manipulativos estabelecerem conexões entre o resto obtido na divisão e o resultado expresso pela calculadora em números decimais.
Considerando as recomendações dos Parâmetros Curriculares nacionais (1997) também consideramos um objetivo deste trabalho a proposição do uso da calculadora
na atividade de resolução de problemas de divisão, não com o objetivo apenas de cálculo automático de um algoritmo mas de exploração de aspectos relativos ao próprio campo conceitual das estruturas multiplicativas.
MÉTODO Participantes
60 crianças cursando a 3ª e 5ª séries de uma escola pública da cidade do Recife. Inicialmente um número maior de crianças de cada série participou de um pré-teste envolvendo a resolução de problemas de divisão e foram emparelhadas em função do desempenho matemático sendo, então, distribuídas entre três grupos homogêneos entre si, que trabalharam sob condições distintas, descritas em detalhes a seguir.
Tarefa
Este estudo consistiu de um pré-teste, uma fase de intervenção e um pós-teste. Inicialmente todas as crianças resolveram um pré-teste, que foi ministrado em sala de aula, com o objetivo de avaliar o desempenho matemático das mesmas e distribuí-las em três grupos que trabalharão sob condições distintas durante a intervenção: o grupo 1 resolveu problemas usando material manipulativo (fichas) e a calculadora; o grupo 2 resolveu os problemas utilizando papel e lápis e calculadora e o grupo 3 resolveu os problemas propostos com manipulativos e papel e lápis.
O pré-teste e pós-teste foram similares e consistiram da resolução de seis problemas de divisão inexata (três de partição e três de quotição), que quando resolvidos na calculadora finalizavam em decimais ( .5, .25 e .75). Algumas questões do pré-teste e pós-teste podem ser vista no quadro 1, abaixo.
Quadro 1: Exemplos de questões do Pré-teste e Pós-teste
1. Maria comprou 29 maçãs para distribuir entre 4 crianças. Ela quer que cada criança receba a mesma quantidade de maçãs. Quantas maçãs cada criança vai receber?
2. Tânia preparou 27 sanduíches. Em cada bandeja cabem 6 sanduíches. Quantas bandejas ela vai precisar?
Durante a intervenção cada criança resolveu oito problemas de divisão, quatro de partição e quatro de quotição. O resultado de quatro desses problemas (dois de partição e dois de quotição) tinha na calculadora um valor decimal de .5 e quatro
problemas (dois de partição e dois de quotição) tinham como decimal .25. Alguns desses problemas podem ser vistos no Quadro 2.
Quadro 2: Exemplos dos problemas apresentados às crianças Partição
1. Na festa de São João da escola a professora Ana trouxe 34 pamonhas para servir em 4 bandejas. Ela quer que cada bandeja fique com a mesma quantidade de pamonhas. Quantas pamonhas vão ter em cada bandeja?
2. Em uma festa de aniversário, a mãe de João tinha 36 chicletes para serem dados a 8 crianças. Ela quer que cada criança receba a mesma quantidade de chicletes. Quantos chicletes cada criança vai receber?
Quotição
1. Na organização de uma festa, Luísa preparou 34 sanduíches. Em cada bandeja cabem 8 sanduíches. Quantas bandejas ela vai usar?
2. Sr. Antônio encomendou 28 pastéis para sua festa de aniversário. Em cada pratinho cabem 8 pasteis. Quantos pratinhos ele vai precisar?
Todas as crianças resolveram os mesmos problemas usando o material relativo ao grupo do qual faziam parte e após a resolução de cada problema foram solicitadas a resolver o mesmo por meio da calculadora, sendo então questionadas sobre os significados obtidos em ambas resoluções.
O procedimento de intervenção seguiu os seguintes passos:
1. Solicitar à criança que resolvesse o problema usando o material do grupo
2. Se a criança não usasse a divisão, foi sugerido que usasse, dizendo: “Uma outra criança me disse que podia resolver por divisão. Quer tentar?”
3. Solicitar que resolvesse na calculadora 4. Solicitar que usasse a divisão na calculadora. 5. Comparar os dois resultados.
6. Solicitar que explicasse o significado das respostas obtidas em ambas resoluções e o porque das diferenças encontradas.
Os problemas utilizados envolveram quantidades discretas mas que eram comumente particionadas pelas crianças, tais como, morangos, sanduíches, maçãs, bolos, etc. Problemas de partição e quotição foram apresentados alternadamente. Foi controlado para que metade das crianças de cada grupo iniciassem por um problema de partição, enquanto que a outra metade iniciasse por um problema de quotição. Assim,
em cada grupo, cinco crianças começaramo por partição e cinco começaram por quotição. Os problemas seguintes foram alternados entre partição e quotição.
Após todas as crianças terem participado da fase de intervenção foi ministrado o pós-teste, que envolveu questões similares ao pré-teste e também foi realizado coletivamente.
Procedimento
Anteriormente ao desenvolvimento das atividades que constam no projeto, o experimentador participou de algumas atividades em sala de aula com o professor de modo a conhecer e ser conhecido pelo grupo de crianças com o qual iria trabalhar. Foi explicado que o experimentador estava fazendo uma pesquisa e que gostaria de fazer algumas atividades individuais com as crianças.
A aplicação do pré-teste e do pós-teste foi realizada na classe, com todas as crianças. Cada criança recebeu uma folha para desenvolver a sua estratégia de resolução dos problemas e escrever sua resposta. Dois experimentadores apresentaram os problemas um-a-um, ao grupo classe. Assim, apenas após todas as crianças terem resolvido o primeiro problema é que o segundo problema foi apresentado, etc.
A intervenção foi feita individualmente com cada criança. As crianças de cada grupo foram solicitadas a resolver o problema utilizando o recurso disponível para seu grupo (fichas ou papel e lápis). Caso a criança resolvesse por outro meio, o experimentador lembrava a mesma sobre esta “instrução” e solicitava que usasse o recurso adequado. Após a resolução do problema por meio do recurso disponível para o seu grupo, a criança foi solicitada a usar a outra representação de seu grupo (calculadora ou papel e lápis) para resolver o mesmo problema.
Durante o processo de entrevista o experimentador tinha flexibilidade para questionar aspectos que fossem importantes para a compreensão do raciocínio utilizado pela criança.
As entrevistas individuais transcorreram em horário acordado com o professor e respeitaram atividades bastante ansiadas pelas crianças, tal como artes, educação física, informática. Todas as entrevistas foram gravadas e transcritas integralmente.
Após a coleta dos dados, o experimentador fez atividades semelhantes às trabalhadas individualmente com todo o grupo classe, de modo a proporcionar a todos oportunidades de reflexão sobre o conteúdo abordado.
ANÁLISE DOS RESULTADOS
A análise dos resultados está em andamento. Fará parte de nossa análise a comparação entre os grupos (condição papel- calculadora, manipulativo-calculadora e manipulativo-papel) em relação ao tratamento do resto e as estratégias usadas pelas crianças na resolução dos problemas. Até o presente momento, analisamos especificamente as interpretações das crianças da 3ª série em relação ao número decimal obtido por meio da calculadora.
Inicialmente podemos constatar que grande parte das crianças desta série parece não ter qualquer familiarização com a calculadora. Isto aliado ao fato de tais crianças não terem recebido ainda a instrução formal sobre números decimais pode ter favorecido as dificuldades observadas na leitura do valor em decimais obtido na calculadora.
Diante das diferenças nos resultados obtidos entre as representações utilizadas (papel/ manipulativo versus calculadora), as crianças de 3ª série realizavam interpretações do resultado da calculadora que confirmassem o resultado obtido por meio da outra representação (manipulativo ou papel) ou preferiam afirmar que a calculadora tinha dado outro resultado e que ela estava correta.
A análise dos protocolos coletados mostrou a existência de diferentes leituras e/ou interpretações do resultado obtido na divisão com a calculadora:
- Fazer a leitura sem considerar a vírgula. Assim, 3,5 era lido como 35.
- Fazer a leitura do inteiro como a quantidade recebida por um grupo de crianças e o valor após a vírgula como a quantidade recebida por outro grupo de crianças, que é a mesma quantidade anterior, acrescida da subdivisão do resto.
Ex. Problema 36chicletes divididos entre 8 crianças
[ Este problema foi resolvido com manipulativo, tendo como resultado quatro e sobrando quatro. Os quatro que sobraram foram redistribuídos para quatro crianças. Assim, quatro crianças ganharam quatro chicletes e quatro crianças ganharam cinco chicletes.]
P: “Deu quanto na calculadora?”.
C: 4 pontinho 5. Quatro para cada. Pontinho 5 vão ser as cinco crianças que vão receber cinco chicletes.
P: E o quatro?
C: Quatro crianças que recebem quatro chicletes. P: mas você não disse que quatro recebiam 5? C: Mas é cinco que fica com cinco.”
- Considerar que o ponto na calculadora era apenas para evitar a leitura de todos os números, salientando o inteiro como resposta. Com isso geralmente desprezavam o decimal.
Ex. (resultado de 4,25 na calculadora) C: “...é 4.
P: 4? E esse ponto 25?
C: “é para mostrar que é apenas 4. Esse 25 a gente deixa”.
- Ler ambos valores como inteiros.
Ex.: (Resultado de 2.25 na calculadora)
C: “a resposta é 2. Vinte e cinco ainda é para dividir nos pratos.”
- Ler o valor obtido como uma divisão. Exemplo: 6.5 é lido como “6 dividido por 1”.
- Ler o decimal como o que sobrou.
Ex: (Resultado de 4.5 na calculadora)
C: “deu quatro para cada um, aí sobrou 4 (nas fichas), aqui (na calculadora) sobrou 5.”
A relação entre as representações: Papel- Calculadora, manipulativo-calculadora e manipulativo-papel encontra-se em fase da análise. De modo geral, observamos que a relação entre o resto obtido por meio de estratégia no papel ou com material manipulativo e o decimal obtido na calculadora não é facilmente percebida, principalmente pelas crianças menores.
CONCLUSÃO
Os resultados obtidos até a presente data sugerem que ao se trabalhar com a calculadora em sala de aula devemos focalizar também a compreensão dos resultados obtidos e a sua relação com o problema apresentado.
Em relação à operação de divisão, dados preliminares indicam que a relação entre o resto obtido por meio da resolução no papel ou com manipulativo não é facilmente conectada ao decimal mostrado na calculadora. Assim, diante da diferença no formato dos resultados obtidos por meio de diferentes representações, as crianças preferem recorrer a diferentes interpretações do que foi obtido por meio da calculadora ou consideram que tinham errado a resolução anteriormente feita.
Esses dados iniciais sugerem que compreender a relação entre a divisão inexata feita na calculadora ou por meio de outra representação não é uma tarefa fácil para crianças que ainda não são familiares com a calculadora e/ou também, que ainda não trabalharam em outros contextos com números decimais. Entretanto, esse tipo de intervenção parece propiciar que tais crianças levantem hipóteses sobre números decimais podendo a partir de intervenções mais específicas do professor, compreender o significado de tais números.
Palavras Chaves: calculadora, problemas de divisão inexata, representação
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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