R
esolução das atividades complementares
M
atemática
M16 — Probabilidade
p. 75
1
(FGV-SP) Uma urna contém quinze bolinhas numeradas de 1 a 15.a) Se uma bolinha for sorteada, qual a probabilidade de que o número observado seja divisível por 3? b) Se duas bolinhas forem sorteadas sucessivamente sem reposição (a ordem dos números não é levada em
consideração), qual a probabilidade de que os números observados sejam consecutivos?
2
(Cesgranrio-RJ) Em uma amostra de 500 peças, existem exatamente quatro defeituosas. Retirando-se, ao acaso, uma peça dessa amostra, a probabilidade de ela ser perfeita é de:a) 99,0% c) 99,2% e) 99,4% b) 99,1% d) 99,3% 1 3 2 15 Resolução: a) U 1, 2, 3, 4, ..., 15 n(U) 5 5 { } 15 A 55 5 5 5 5 {3, 6, 9, 12, 15} n(A) P(A) b) n(U) 5 5 15 13 C C 2 B 1, 2}, {2, 3}, ..., {14, 1 15, 2 5 ? 5 15 14 { 55} n(B) P(B)
{
}
5 5 ? 5 14 14 15 14 2 2 15 Resolução: A: a peça é perfeita: n(A) 5 500 2 4 5 4996; n(U) P(A) 0,992 ou 99,2% 5 5 5 500 496 5004
(EEM-SP) Lançando simultaneamente dois dados, cujas faces são numeradas de 1 a 6, qual a probabilidade de:a) obter números cujo produto seja ímpar? b) obter números cujo produto seja par?
3
(Unicamp-SP) O sistema de numeração na base 10 utiliza, normalmente, os dígitos de 0 a 9 para representar os números naturais, sendo que o zero não é aceito como o primeiro algarismo da esquerda. Pergunta-se:a) Quantos são os números naturais de cinco algarismos formados por cinco dígitos diferentes?
b) Escolhendo-se ao acaso um desses números do item a, qual a probabilidade de que seus cinco algarismos estejam em ordem crescente?
5
(Uniube-MG) A probabilidade de se obter um número divisível por 5, na escolha ao acaso de um número obtido pelas permutações dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, é igual a:a c e b d ) ) ) ) ) 1 5 13 1 1 4 12 Resolução: a) 9 �?��A�9,, 4��5�9 ? (9 8 7 6? ? ? ) 5 27 216
b) No sistema decimal, a quantidade de números naturais com todos os cinco algarismos em ordem crescente é C9, 5. C 9! 5! 4! P(B) 9, 5 5 5126 5 27 216126 5 2161 1 216 Resolução: n(U) 5 6 ? 6 5 36 a) A 5 {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (5, 1), (5, 3), (5, 5)} ⇒ n(A) 5 9 P(A) n(A) n(U) P(B) P(A) 5 5 5 5 5 2 5 2 5 9 36 14 1 1 1 4 b B) A ⇒ 33 4 Resolução: n(U) 5 P5 ⇒ n(U) 5 5! 5 120
Para o número ser divisível por 5, nesse caso, o algarismo das unidades deve necessariamente ser o 5. Logo, o número de casos favoráveis do evento é dado por:
n(A) P n(A) 4! P(A) n(A) n(U) P(A) 4 5 5 5 5 5 5 ⇒ ⇒ 24 24 120 115 1 4 34 27 216
6
(Cesgranrio-RJ) O dispositivo que aciona a abertura do cofre de uma joalheria apresenta um teclado com nove teclas, sendo cinco algarismos (0, 1, 2, 3, 4) e quatro letras (x, y, z, w). O segredo do cofre é uma seqüência de três algarismos seguidos de duas letras. Qual a probabilidade de uma pessoa, numa única tentativa, ao acaso, abrir o cofre?a c e b d ) ) ) ) ) 1 7 200 1 5001 2001 1 2 000 7201
7
(Vunesp-SP) Escolhem-se aleatoriamente três dos seis vértices de um hexágono regular. Qual a probabilidade de que os vértices formem um triângulo eqüilátero?8
(UEL-PR) Considere todos os anagramas da palavra LONDRINA que começam e terminam pela letraN. A probabilidade de escolher-se ao acaso um desses anagramas e ele ter as vogais juntas é:
a c e b d ) ) ) ) ) 1 5 25 35 1 4 12 p. 76 Resolução: n(U) 53 42 ⇒ 5 ? 5 2 0000 5 5 5 4 4 P(A) 1 n(U) P(A) 2 0001 5 ⇒ 5 1 10 Resolução: n(U) 5 C6, 3 5 20
A: formar um triângulo eqüilátero
Observando a figura, conclui-se que é possível formar apenas 2 triângulos eqüiláteros (ACE e BDF) com os vértices de um hexágono regular.
Logo, n(A) P(A) n(A)
n(U) 5 2 5 5 2 5 20 101 ⇒ A B F C D E Resolução: n(U) 5 P6 5 6! ⇒ n(U) 5 720 A: anagramas com as 3 vogais juntas. n(A) 5 3! 4! 5 6 ? 24 5 144
P(A) n(A) n(U)
5 5 144 5
9
(FGV-SP) O código de acesso de um cartão de crédito é formado por seis dígitos decimais. Cada dígito é um número inteiro que pode assumir qualquer valor entre 0 e 9. Tendo extraviado seu cartão de crédito, Alexandre receia que um estranho o encontre e tente descobrir o código. Calcule a probabilidade aproximada de alguém acertar o código do cartão de Alexandre num total de 1 000 tentativas aleatórias e distintas.10
(Fuvest-SP) Sorteiam-se dois números naturais ao acaso, entre 101 e 1 000 inclusive, com reposição. Calcule a probabilidade de que o algarismo das unidades do produto dos números sorteados não seja zero.Resolução: n(U) 5 106
A: acertar o código em uma tentativa
n(A) P(A) n(A)
n(U) 1016
51 ⇒ 5 5
Como o estranho irá tentar 1 000 vezes, temos: P 5 1 000 ? P(A) 5 103 ? 1026 5 1023 ou 0,1% Resolução: o o 0 5 6 7 8 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 6 0 0 7 0 8 0 0 9 0 n(U) 5 10 ? 10 5 100 Z: produto de final zero n(Z) 5 27 P(Z) 5 27
100
Probabilidade do produto cujo algarismo das unidades não é zero: P(Z) 51 2 P(Z) ⇒ P(Z) 51 2 27 5 ou 73% 100 10073 Finais dos nos de 00 a 000. Finais dos n os de 00 a 000. 3 0,1% 73%
11
Na gaveta de um armário há duas chaves tipo A e uma tipo B. Noutra gaveta há um cadeado que é aberto pelas chaves do tipo A e três que são abertos pelas chaves do tipo B. Uma pessoa escolhe, ao acaso, uma chave da primeira gaveta e um cadeado da segunda gaveta. Qual a probabilidade de o cadeado ser aberto pela chave escolhida?12
(Vunesp-SP) Uma pesquisa sobre grupos sangüíneos ABO, na qual foram testadas 6 000 pessoas de uma mesma raça, revelou que 2 527 têm o antígeno A, 2 234 o antígeno B e 1 846 não têm nenhum antígeno. Nessas condições, qual é a probabilidade de que uma dessas pessoas, escolhida aleatoriamente, tenha os dois antígenos?13
(PUCC-SP) Lança-se um par de dados não-viciados. Se a soma nos dois dados é 8, calcule a probabilidade de ocorrer a face 5 em um deles.Resolução: 1 gaveta 2 gaveta 2 1 1 a_ a_ 3 3 chaves 4 cadeados P(Tipo A): 2 3 ? 14 5 122 P(Tipo B): 13 ? 34 5 123 P(A ou B): 2112 1 123 5 125 2 5 5 12 Resolução: n(U) 5 6 000 n(A) 5 2 527; n(B) 5 2 234; n(O) 5 1 846 n(A B) 5 n(A) 1 n(B) 2 n(A B), em que n(A B) 5 6 000 2 1 846 5 4 154 n(A B) 5 2 527 1 2 234 2 4 154 5 607 P(A B) n(A B) n(U) 2 ou 5 5 607 6 000 0 101, 10,,12% Resolução:
A: Ocorre a face 5 num dos dados
A 5 {(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (6, 5)}; n(A) 5 11 B: Soma nos dois dados igual a 8
B 5 {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)}; n(B) 5 5 A B 5 {(3, 5), (5, 3)} ⇒ n(A B) 5 2 P(A/B) n(A B) n(B) 5 5 2 5 10,12%
14
Dois jogadores, Kléber e Arnaldo, lançam um dado, uma única vez cada um. Vence o jogo quem tirar o maior número. Sabendo que Kléber tirou 4, qual a probabilidade de:a) Kléber vencer o jogo? b) haver empate? c) Arnaldo vencer o jogo?
15
(MACK-SP) A probabilidade de um casal ter um filho do sexo masculino é 14. Então, supondo que o casal venha a ter três filhos, a probabilidade de serem exatamente dois do mesmo sexo é:
a c e b d ) ) ) ) ) 3 16 38 169 1 16 18 Resolução: n(U) n(K) P(K) n(K) n(U) 5 5 5 5 5 36 6 6 36 1 ⇒ 66
a) A: tirar um número menor que 4 ⇒ n(A) 518ee P(A)
n(A K) P(A K) n(A K)
5 5 5 5 18 36 12 3 ⇒ nn(U) P(A/K) P(A K) P(K) b) 5 5 5 5 5 3 36 121 1 12 1 6 1 2
AA: tirar o número 4 6 e P(A) n( ⇒ n A( ) 5 5 6 5 36 16 AA K) P(A K) 36 P(A/K) c) A: 51 5 1 5 5 1 36 1 6 1 6 ⇒ ⇒
ttirar um número maior que 4 ⇒ n(A) 512 e P(A)55 5
5 5 5 12 36 13 2 2 1 18 n(A K) P(A K) 36 P(A/K) ⇒ ⇒ 55 5 1 18 1 6 1 3 Resolução: P(M) 1 4; P(F) 34 O casal terá exat
5 5
aamente dois filhos do mesmo sexo se, e someente se, não tiver os três filhos do mesmo sexo. Logo, P(E) P(E) 5 2 2 5 2 2 1 1 4 34 1 1 64 2 3 3
(
)
(
)
77 64 5 3664 5 169 1 2 16 1316
(UFLA-MG) Um grupo de 100 pessoas apresenta a seguinte composição:louras morenas total
olhos azuis 10 20 30
olhos castanhos 30 40 70
Total 40 60 100
Marcando-se um encontro com uma delas, escolhendo seu nome ao acaso, qual a probabilidade de sair: a) uma loura?
b) uma loura de olhos castanhos ou uma morena de olhos azuis? c) uma morena de olhos castanhos?
17
(UFSCar-SP) Gustavo e sua irmã Caroline viajaram de férias para cidades distintas. Os pais recomendam que ambos telefonem quando chegarem ao destino. A experiência em férias anteriores mostra que nem sempre Gustavo e Caroline cumprem esse desejo dos pais. A probabilidade de Gustavo telefonar é 0,6 e a probabilidade de Caroline telefonar é 0,8. A probabilidade de pelo menos um dos filhos contactar os pais é:a) 0,20 c) 0,64 e) 0,92 b) 0,48 d) 0,86 Resolução: n(U) a) n(L) P(L) n(L) n(U) 5 5 5 5 100 40 ⇒ 400 100 5 25 5 1 b) P P(L C) P(M A) Pela tabela, t eemos: P(L C) n(L C) n(U) P(M A) n 5 5 5 30 100 ((M A) n(U) 5 5 1 5 20 100 30 100 10020 1050 P 00 12 40 100 25 5 5 5 5 c) P(M C) n(M C) n(U) 2 5 1 2 2 5 Resolução:
p: probabilidade de nenhum dos filhos telefonar 1 – p: probabilidade de pelo menos um dos filhos telefonar Temos, então: p 5 (1 2 0,6) ? (1 2 0,8) 5 0,4 ? 0,2 5 0,08 1 2 p 5 1 2 0,08 5 0,92
18
(UCSal-BA) Das 180 pessoas que trabalham em uma empresa, sabe-se que 40% têm nível universitário e 60% são do sexo masculino. Se 25% do número de mulheres têm nível universitário, a probabilidade de selecionar-se um funcionário dessa empresa que seja masculino e não tenha nível universitário é:a c e b d ) ) ) ) ) 5 12 902 365 3 10 15
19
(Unesp-SP) Um piloto de Fórmula 1 estima que suas chances de subir ao pódio numa dada prova são de 60% se chover no dia da prova, e de 20% se não chover. O Serviço de Meteorologia prevê que a probabilidade de chover durante a prova é de 75%. Nessas condições, calcule a probabilidade de que o piloto venha a subir ao pódio.20
(FGV-SP) Num certo país, 10% das declarações de imposto de renda são suspeitas e submetidas a uma análise detalhada; entre estas verificou-se que 20% são fraudulentas. Entre as não suspeitas, 2% são fraudulentas.a) Se uma declaração é escolhida ao acaso, qual a probabilidade de ela ser suspeita e fraudulenta? b) Se uma declaração é fraudulenta, qual a probabilidade de ela ter sido suspeita?
Resolução: P(M N) P(M/N) P(N) P(M N) 5 ? 5 54 1088 ? 108180 P(MN) 5 103 N Total M 54 54 108 F 18 54 72 Total 72 108 180 N Resolução:
A: pódio com chuva P(A) B
⇒ 5 60 5
100 35 :: pódio sem chuva P(B)
C: chove na ⇒ 5 20 5 100 15 prova P(C) e P(C) P: subir ao ⇒ 5 75 5 5 100 34 14 ppódio P(P) P(A) P(C) P(B) P(C) P(P) ⇒ 5 ? 1 ? 5 3 ? 1 5 43 155 ? 14 5 209 1 201 5 12 ou 50% Resolução: a) P(S ) 0,020 ou 2% b) P(S/F) P( F 5 5 SS ) P(F) F 5 0,0200,038 5 1019 0,526 ou 52,6% F NF Total S 0,020 0,080 0,100 NS 0,018 0,882 0,900 Total 0,038 0,962 1,000 50% 2% 52,6%
21
Vítor e Bruno lançam um dado comum três vezes. Vítor apostou que o número 5 sairá pelo menos uma vez e Bruno que o número 5 não sairá em nenhum dos três lançamentos. Qual deles tem mais chance de ganhar a aposta? Justifique.22
(PUC-SP) Dos 50 candidatos que se apresentaram para preencher as vagas de empregos em certa empresa, sabe-se que: 40% são fumantes e 50% têm curso superior. Se 75% dos fumantes não têm curso superior, qual a probabilidade de serem selecionados dois candidatos que não fumem e não tenham curso superior?Bruno, pois 125
216 . 21691 Resolução:
n(U) 5 63 5 216
B: não sairá nos lançamentos
n(B) n(B)
n(U) 125216 5 53 5125 ⇒ P B( ) 5 5 V: sairá pelo menos uma vez o 5
V B e P(V) 125
216 P(V) 21691
5 51 2 P B( ) 51 2 ⇒ 5
Bruno tem mais chances de ganhar a aposta, pois P(B) . P(V).
Resolução: 40% de 50 5 20 50% de 50 5 25 75% de 20 5 15 F Total S 5 20 25 S 15 10 25 Total 20 30 50 F
A probabilidade de selecionar um não-fumante que não tenha curso superior é dada por:
P (F S) n(F S) n(U) 1 5 5 10 5 50 15
Agora, para o segundo candidato, temos: n2(U) 5 49; n (F S) 9. Logo: P (F S) n (F S) n (U) 2 2 2 2 5 5 55 5 ? 5 ? 5 9 49 1 5 499 2459 P P (F1 S) P (F2 S) 9 245
