Variáveis Aleatórias Contínuas

(1)

Bacharelado em Economia - FEA - Noturno

1^oSemestre 2016

Profs. Fábio P. Machado e Gilberto A. Paula

MAE0219 (Economia-FEA-Noturno) Variáveis Aleatórias Contínuas 1^oSemestre 2016 1 / 52

(2)

1 Objetivos da Aula

2 Exemplos de Distribuições Contínuas

3 Variáveis Aleatórias Contínuas

4 Esperança

5 Variância

6 Função de Distribuição Acumulada

7 Outras Distribuições

(3)

Variáveis Contínuas

O objetivo principal desta aula é apresentar alguns formas de distribuições de variáveis aleatórias contínuas, discutir as principais propriedades para esse tipo de variável e ilustrar com algumas aplicações.

(4)

1 Objetivos da Aula

4 Esperança

5 Variância

(5)

0.00.10.20.30.4

x

f(x)

1 2 3 4 5

(6)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.00.51.01.52.0

x

f(x)

(7)

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.00.10.20.30.4

x

f(x)

(8)

0 5 10 15 20

0.000.050.100.150.200.25

x

f(x)

(9)

0 1 2 3 4

0.00.51.01.52.0

x

f(x)

(10)

0 5 10 15 20

0.000.050.100.150.200.25

x

f(x)

(11)

−4 −3 −2 −1 0 1

0.00.20.40.60.8

x

f(x)

(12)

1 Objetivos da Aula

4 Esperança

5 Variância

(13)

Definição

Uma função X definida sobre o espaço amostralΩe assumindo valores num intervalo de números reais, é denominadavariável aleatória contínua.

(14)

Definição

Exemplos

altura de um adulto

(15)

Definição

Exemplos

altura de um adulto

custo do sinistro de um carro

(16)

Definição

Exemplos

altura de um adulto

custo do sinistro de um carro temperatura mínima diária

(17)

Definição

Exemplos

altura de um adulto

custo do sinistro de um carro temperatura mínima diária saldo em aplicações financeiras

(18)

Definição

Exemplos

altura de um adulto

custo do sinistro de um carro temperatura mínima diária saldo em aplicações financeiras ganho de peso após dieta

(19)

Definição

Exemplos

altura de um adulto

custo do sinistro de um carro temperatura mínima diária saldo em aplicações financeiras ganho de peso após dieta distância percorrida

(20)

Função densidade de probabilidade

Afunção densidade de probabilidade (f.d.p.) de uma variável aleatória X é uma função f(x)≥0 cuja área total sob a curva seja igual à unidade.

(21)

Afunção densidade de probabilidade (f.d.p.) de uma variável aleatória X é uma função f(x)≥0 cuja área total sob a curva seja igual à unidade. Em termos matemáticos

(22)

Afunção densidade de probabilidade (f.d.p.) de uma variável aleatória X é uma função f(x)≥0 cuja área total sob a curva seja igual à unidade. Em termos matemáticos

Z +∞

−∞

f(x)dx =1.

(23)

Distribuição Uniforme

Se X é uma variável aleatória uniforme no intervalo[1,5], notação X ∼U[1,5], então a função densidade de probabilidade de X é definida por

(24)

Se X é uma variável aleatória uniforme no intervalo[1,5], notação X ∼U[1,5], então a função densidade de probabilidade de X é definida por

f(x) = ₁

4 1≤x ≤5,

0 c.c.

(25)

0.00.10.20.30.4

x

f(x)

1 2 3 4 5

(26)

A área total sob a curva corresponde à área de um retângulo de base

∆ =4 e altura h= ¹₄.

(27)

∆ =4 e altura h= ¹₄. Logo, a área total fica dada por

(28)

∆ =4 e altura h= ¹₄. Logo, a área total fica dada por A= ∆×h=4×1

4 =1.

(29)

∆ =4 e altura h= ¹₄. Logo, a área total fica dada por A= ∆×h=4×1

4 =1.

0.00.10.20.30.4

x

f(x)

1 2 3 4 5

A

(30)

A área total sob a curva pode ser calculada diretamente pela solução da integral

(31)

A área total sob a curva pode ser calculada diretamente pela solução da integral

Z 5 1

1

4dx = 1 4

Z 5 1

dx

= 1 4x|⁵1

= 1

4(5−1)

= 4 4 =1.

(32)

Probabilidade de eventos

A probabilidade P(a≤X ≤b)corresponde à área sob a curva no intervalo[a,b].

(33)

A probabilidade P(a≤X ≤b)corresponde à área sob a curva no intervalo[a,b]. Em termos matemáticos

(34)

A probabilidade P(a≤X ≤b)corresponde à área sob a curva no intervalo[a,b]. Em termos matemáticos

P(a≤X ≤b) = Z b

a

f(x)dx.

(35)

Por exemplo, seX ∼U[1,5], a probabilidade P(1≤X ≤2) corresponde à área do retângulo de base∆ =1 e altura h= ¹₄.

(36)

Por exemplo, seX ∼U[1,5], a probabilidade P(1≤X ≤2) corresponde à área do retângulo de base∆ =1 e altura h= ¹₄. Essa área fica dada por

(37)

B= ∆×h=1×1

4 =0,25.

(38)

B= ∆×h=1×1

4 =0,25.

0.00.10.20.30.4

x

f(x)

1 2 3 4 5

B

(39)

A probabilidade P(1≤X ≤2)pode ser calculada diretamente pela solução da integral

(40)

A probabilidade P(1≤X ≤2)pode ser calculada diretamente pela solução da integral

Z 2 1

1

4dx = 1 4

Z 2 1

dx

= 1 4x|²1

= 1

4(2−1)

= 1

4 =0,25.

(41)

1 Objetivos da Aula

4 Esperança

5 Variância

(42)

Definição

A esperança matemática de uma variável aleatóra contínua X fica dada por

(43)

Definição

A esperança matemática de uma variável aleatóra contínua X fica dada por

µ=E(X) = Z +∞

−∞

xf(x)dx.

(44)

1 Objetivos da Aula

4 Esperança

5 Variância

(45)

Definição

A variância de uma variável aleatória X contínua é definida por

(46)

Definição

A variância de uma variável aleatória X contínua é definida por Var(X) = E[X−µ]²

= E(X²)−µ²,

(47)

Definição

A variância de uma variável aleatória X contínua é definida por Var(X) = E[X−µ]²

= E(X²)−µ², em que

E(X²) = Z +∞

−∞

x²f(x)dx.

(48)

Vamos supor que X é uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [a,b], notaçãoX ∼U[a,b], então f(x) = _(b₋¹_a) para

a≤x ≤b e f(x) =0 em caso contrário.

(49)

Vamos supor que X é uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo [a,b], notaçãoX ∼U[a,b], então f(x) = _(b₋¹_a) para

a≤x ≤b e f(x) =0 em caso contrário.

x

f(x)

a b

(50)

Vamos supor que X é uma variável aleatória tal queX ∼U[a,b].

(51)

Esperança

A esperança de X fica dada por

E(X) = Z b

a

x

(b−a)dx = a+b 2 .

(52)

Esperança

E(X) = Z b

a

x

(b−a)dx = a+b 2 .

Variância

A variância de X fica dada por

Var(X) = Z b

a

x² (b−a)dx

| {z }

E(X²)

−[E(X)]²= (b−a)² 12 .

(53)

1 Objetivos da Aula

4 Esperança

5 Variância

(54)

Definição

A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória T contínua é definida por

(55)

Definição

A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória T contínua é definida por

F(x) =P(T ≤x) = Z x

−∞

f(t)dt.

(56)

A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória T ∼U[a,b]é dada por

(57)

A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória T ∼U[a,b]é dada por

F(x) =







0 x <a,

x−a

b−a a≤x <b, 1 x ≥b.

(58)

a b

0.00.20.40.60.81.0

x

F(x)

(59)

1 Objetivos da Aula

4 Esperança

5 Variância

(60)

Distribuição Triangular

Se X é uma variável aleatória triangular no intervalo[0,1/2,1],

notaçãoX ∼T[0,1/2,1]), então a função densidade de probabilidade de X é definida por

(61)

Se X é uma variável aleatória triangular no intervalo[0,1/2,1],

notaçãoX ∼T[0,1/2,1]), então a função densidade de probabilidade de X é definida por

f(x) =







4x 0≤x ≤1/2, 4(1−x) 1/2<x ≤1,

0 c.c.

(62)

0.00.51.01.52.0

x

f(x)

0.0 0.5 1.0

(63)

Área total

A área total sob a curva corresponde à área de um triângulo de base

∆ =1 e altura h=2.

(64)

Área total

∆ =1 e altura h=2. Logo, a área total fica dada por

(65)

Área total

∆ =1 e altura h=2. Logo, a área total fica dada por A= ∆×h

2 = 1×2 2 =1.

(66)

Área total

∆ =1 e altura h=2. Logo, a área total fica dada por A= ∆×h

2 = 1×2 2 =1.

0.00.51.01.52.0

x

f(x)

0.0 0.5 1.0

A

(67)

A probabilidade P(1/4≤X ≤1/2)corresponde à diferença entre 1/2 e a área do triângulo A de base∆ =1/4 e altura h=1, isto é

(68)

B = 1

2 −1/4×1 2

= 1 2 −1

8 = 3 8.

(69)

B = 1

2 −1/4×1 2

= 1 2 −1

8 = 3 8.

0.00.51.01.52.0

x

f(x)

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

B

A

(70)

Vamos supor que X é uma variável aleatória com distribuição triangular no intervalo [a,c,b], notaçãoX ∼T[a,c,b].

(71)

Vamos supor que X é uma variável aleatória com distribuição triangular no intervalo [a,c,b], notaçãoX ∼T[a,c,b]. Então

(72)

f(x) =







2(x−a)

(b−a)(c−a) a≤x ≤c,

2(b−x)

(b−a)(b−c) c <x ≤b,

0 c.c.

(73)

f(x) =







2(x−a)

(b−a)(c−a) a≤x ≤c,

2(b−x)

(b−a)(b−c) c <x ≤b,

0 c.c.

x

f(x)

a c b

(74)

Vamos supor que X é uma variável aleatória tal queX ∼T[a,c,b].

(75)

Esperança

E(X) = a+b+c

3 .

(76)

Esperança

E(X) = a+b+c

3 .

Variância

Var(X) = a²+b²+c²−ab−ac−bc

18 .

(77)

Distribuição Exponencial

Se X é uma variável aleatória com distribuição exponencial de parâmetroλ >0 (X ∼Exp(λ)), a função densidade de probabilidade de X é definida por

(78)

f(x) =λe⁻^λx,

(79)

f(x) =λe⁻^λx, em que x >0.

(80)

0 1 2 3 4

0.00.51.01.52.0

x

f(x)

(81)

Área total

A área total sob a curva é calculada através da integral

(82)

Área total

A área total sob a curva é calculada através da integral Z +∞

0

λe⁻^λxdx =λ Z +∞

0

e⁻^λxdx =1.

(83)

A probabilidade P(1≤X ≤2)corresponde à área na figura abaixo e pode ser calculada pela integral

(84)

A = Z 2

1

λe⁻^λxdx

= e⁻^λ−e⁻^2λ.

(85)

A = Z 2

1

λe⁻^λxdx

= e⁻^λ−e⁻^2λ.

0 1 2 3 4

0.00.51.01.52.0

x

f(x)

A

(86)

Vamos supor que X é uma variável aleatória com distribuição exponencial de parâmetroλ >0.

(87)

Esperança

E(X) = 1 λ.

(88)

Esperança

E(X) = 1 λ.

Variância

Var(X) = 1 λ².

(89)

Função de distribuição acumulada

A Função de Distribuição Acumulada de uma variável aleatória T ∼Exp(λ)fica dada por

(90)

Função de distribuição acumulada

A Função de Distribuição Acumulada de uma variável aleatória T ∼Exp(λ)fica dada por

F(x) =

0 x ≤0, 1−e⁻^λx x >0.

(91)

0 1 2 3

0.00.20.40.60.81.0

x

F(x)

(92)

Distribuição Normal

Se X é uma variável aleatória com distribuição normal de médiaµe variânciaσ², a função densidade de probabilidade de X é definida por

(93)

f(x) = 1 σ√

2πe⁻^σ2¹^(x⁻^µ)²,

(94)

f(x) = 1 σ√

2πe⁻^σ2¹^(x⁻^µ)², para−∞<x, µ <+∞eσ >0.

(95)

f(x) = 1 σ√

2πe⁻^σ2¹^(x⁻^µ)²,

para−∞<x, µ <+∞eσ >0. Notação:X ∼N(µ, σ²).

(96)

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.00.10.20.30.4

x

f(x)

(97)

Padronização

Se X ∼N(µ, σ²)e Z ∼N(0,1)(normal padrão), então

(98)

Padronização

Se X ∼N(µ, σ²)e Z ∼N(0,1)(normal padrão), então P(X ≤x) =P

Z ≤ x −µ σ

,

(99)

Padronização

Se X ∼N(µ, σ²)e Z ∼N(0,1)(normal padrão), então P(X ≤x) =P

Z ≤ x −µ σ

,

ou seja, todos os cálculos podem ser feitos pela normal padrão.

(100)

Cálculo de probabilidades

Por exemplo, a probabilidade A=P(0≤X ≤1)pode ser calculada pela diferença

(101)

P(X ≤1)−P(X ≤0) =0,841−0,5=0,341.

(102)

P(X ≤1)−P(X ≤0) =0,841−0,5=0,341.

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.00.10.20.30.4

x

f(x) A

(103)

Para calcular a probabilidade A=P(−1≤X ≤1)podemos usar o fato da distribuição ser simétrica na média.

(104)

Para calcular a probabilidade A=P(−1≤X ≤1)podemos usar o fato da distribuição ser simétrica na média. Assim,

(105)

P(−1≤X ≤1) =2×P(0≤X ≤1) =2×0,341=0,682.

(106)

P(−1≤X ≤1) =2×P(0≤X ≤1) =2×0,341=0,682.

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.00.10.20.30.4

x

f(x) A

(107)

Cálculo de percentil

Como encontrar a tal que A=P(X ≥a), em que A=0,02(2%)? Pelo R podemos encontrara=2,054usando o comandoqnorm(0.98).

(108)

Cálculo de percentil

Como encontrar a tal que A=P(X ≥a), em que A=0,02(2%)? Pelo R podemos encontrara=2,054usando o comandoqnorm(0.98).

0.00.10.20.30.4

x

f(x)

0 a

A

(109)

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.00.20.40.60.81.0

x

F(x)