MayssadaSilvaBarbosa Espa¸cosdeBanacheOperadoresLimitados UniversidadeFederaldaPara´ıba

Universidade Federal da Para´ıba

Centro de Ciˆ encias Exatas e da Natureza Departamento de Matem´ atica

Curso de Licenciatura em Matem´ atica

Espa¸ cos de Banach e Operadores Limitados

Mayssa da Silva Barbosa

Jo˜ ao Pessoa – PB

Novembro de 2017

Universidade Federal da Para´ıba Centro de Ciˆ encias Exatas e da Natureza

Departamento de Matem´ atica Curso de Licenciatura em Matem´ atica

Espa¸ cos de Banach e Operadores Limitados

por

Mayssa da Silva Barbosa

sob a orienta¸c˜ao do

Prof. Dr. Nacib Andr´ e Gurgel e Albuquerque

Jo˜ ao Pessoa – PB

Novembro de 2017

B238e Barbosa, Mayssa da Silva.

Espacos de Banach e operadores limitados / Mayssa da Silva Barbosa. - João Pessoa, 2017.

41 f.

Orientação: Nacib André Gurgel Alburquerque.

Monografia (Graduação) - UFPB/CCEN.

1. Espaços de Banach. 2. Desigualdades - Hölder e Minkwoski. 3. Teorema de Baire. 4. Teorema de

Banach-Steinhaus. I. Alburquerque, Nacib André Gurgel.

II. Título.

UFPB/BC

Catalogação na publicação Seção de Catalogação e Classificação

Agradecimentos

Primeiramente a Deus por ter-me permitido alcan¸car o t´ermino do Curso; a Nossa Senhora da Penha, por ter me ajudado nas horas de ang´ustia; aos meus familiares:

Vit´oria Marishelly da Silva Barbosa e Marcelly da Silva Barbosa (irm˜as), Sirleia Bar- bosa de Ara´ujo (tia), Elizabete Monteiro Barbosa (av´o), Maria Hilda Bezerra da Silva (m˜ae), Antˆonio Marcos Bezerra da Silva (tio), e ao meu avˆo, Djalma de Oliveira Bar- bosa (in memory) pelos conselhos e incentivos `a conclus˜ao do Curso; e a Daniely Silva do Nascimento, pelo apoio dado nos momentos mais dif´ıceis.

Ao professor Nacib Andr´e Gurgel e Alburquerque, pelo aceite de minha orienta¸c˜ao, e, principalmente, pela paciˆencia e dedica¸c˜ao, durante toda a elabora¸c˜ao e o desenvol- vimento do trabalho.

A professora Fl´avia Jerˆonimo Barbosa, por nortear-me acertadamente os caminhos trilhados `a conclus˜ao final do tema.

A Banca Examinadora, formada pelos professores Lisiane Rezende dos Santos e Joedson Silva dos Santos, pelo incentivo e colabora¸c˜ao.

Ao professor Daniel Tomaz de Ara´ujo, pela indispens´avel contribui¸c˜ao ao enrique- cimento do trabalho.

A todos os professores do Departamento de Matem´atica da Universidade Federal da Para´ıba, cuja ajuda e conhecimento individual foram de fundamental importˆancia

`

a conclus˜ao do trabalho.

Aos colegas de curso, pelo incentivo e motiva¸c˜ao, e, em especial, a Victor Jos´e Ara´ujo de Carvalho, cuja influˆencia foi de grande relevˆancia e efic´acia.

A Vanessa Amanda Gomes Pereira da Silva, com seu jeito sublime, sempre soube` compartilhar sua positividade, nos momentos de ang´ustia e de desˆanimo.

As pessoas que, de forma direta ou indireta, contribu´ıram com aconselhamentos, incentivos e opini˜oes.

Por fim, os meus sinceros agradecimentos ao Professor Rivaldo Maia Gomes que, nos momentos mais cruciais, sempre se fez presente, com seus valiosos conhecimentos e aconselhamentos, encorajando-me ser vitoriosa.

“Entre tantas flores e espinhos Foi assim que eu fui indo

E ao final foi constru´ıdo Esse lindo caminho.”

Mayssa Barbosa

Resumo

Neste trabalho, estudamos os espa¸cos de Banach, demonstramos duas importantes desigualdades: H¨older e Minkwoski e por fim demonstraremos o Teorema de Baire para utilizarmos na demonstra¸c˜ao do Teorema de Banach-Steinhaus que nos assegura que os operadores lineares cont´ınuos s˜ao limitados.

Palavras-chave: Espa¸cos de Banach. Desigualdades: H¨older e Minkwoski. Teorema de Baire. Teorema de Banach-Steinhaus.

Abstract

In this work, we study the Banach spaces, we show two important inequalities:

H¨older and Minkwoski and finally we will demonstrate Baire’s Theorem to be used in the demonstration of the Banach-Steinhaus Theorem that assures us that continuous linear operators are limited.

Keywords: Banach spaces. Inequalities: H¨older and Minkwoski. Baire’s Theorem.

Theorem of Banach-Steinhaus.

Sum´ ario

Introdu¸c˜ao x

1 Espa¸cos de Banach 1

1.1 Algumas defini¸c˜oes e exemplos . . . 1 1.2 Espa¸cos de sequˆencias: `∞, c<sub>0</sub>, c<sub>00</sub> e`_p . . . 11 2 Espa¸cos normados: compactos e separ´aveis 22 2.1 Compacidade nos espa¸cos normados . . . 22 2.2 Espa¸cos separ´aveis . . . 25

3 Operadores: Lineares e Cont´ınuos 30

3.1 Caracterizando os Operadores Lineares Limitados . . . 31 3.2 Teorema de Banach-Steinhaus . . . 35

A No¸c˜oes B´asicas 38

Referˆencias Bibliogr´aficas 41

Nota¸ c˜ oes

A seguir, listamos algumas nota¸c˜oes utilizadas neste trabalho.

N denota os N´umeros Naturais;

Q denota os N´umeros Racionais; R denota os N´umeros Reais; C denota os N´umeros Complexos; K denota o corpoR ouC;

E denota um espa¸co vetorial normado;

M denota umespa¸co m´etrico;

dim E denota a dimens˜ao do Espa¸co Normado E;

[A] denota o conjunto gerado por um subconjunto de A de um espa¸co vetorial V;

A denota o fecho deA;

C[a, b] denota o conjunto das fun¸c˜oes cont´ınuas em [a, b];

L(E, F) denota o conjunto dos operadores lineares cont´ınuos de E em F.

Introdu¸ c˜ ao

Neste trabalho, introduzimos os espa¸cos normados, de modo especial, os espa¸cos de Banach e os operadores limitados, princ´ıpios fundamentais da An´alise Funcional.

Veremos tamb´em algumas aplica¸c˜oes ´uteis que se utilizam dessas defini¸c˜oes.

No cap´ıtulo 1 apresentamos no¸c˜oes b´asicas da An´alise Funcional, necess´arias para demonstrarmos as principais desigualdades de H¨older e de Minkwoski, com alguns exemplos. No cap´ıtulo 2 estudamos casos particulares dos espa¸cos de Banach. O

´

ultimo cap´ıtulo foi destinado `a caracteriza¸c˜ao dos operadores e, mais adiante, vemos os operadores limitados, e, o Teorema de Banach-Steinhaus.

Finalmente, apresentamos algumas no¸c˜oes b´asicas no apˆendice, que serve como base para esclarecer alguns assuntos tratados durante o trabalho.

Cap´ıtulo 1

Espa¸ cos de Banach

Neste cap´ıtulo falaremos um pouco sobre os espa¸cos m´etricos e os espa¸cos normados para introduzirmos o conceito dos espa¸cos de Banach. Veremos alguns exemplos de espa¸cos de fun¸c˜oes que s˜ao Banach, como ´e o caso do espa¸co das fun¸c˜oes limitadas, do espa¸co das fun¸c˜oes cont´ınuas. J´a as fun¸c˜oes continuamente diferenci´aveis com sua norma padr˜ao usual n˜ao ser´a Banach, mas com a norma k · k_C¹ ser´a Banach. Veremos tamb´em os espa¸cos de sequˆencias que em dimens˜ao infinita pode ser ou n˜ao pode ser Banach.

Na primeira se¸c˜ao deste cap´ıtulo, veremos os espa¸cos m´etricos e os espa¸cos normados e logo ap´os a defini¸c˜ao de espa¸cos de Banach. Observamos tamb´em que tomando um subespa¸co vetorial de um espa¸co de Banach, para que esse subespa¸co seja Banach ´e necess´ario e suficiente que ele seja fechado em rela¸c˜ao ao espa¸co de Banach. E por fim mostraremos um Teorema que nos assegura que se um espa¸co normado for de dimens˜ao finita ent˜ao aquele espa¸co ´e Banach.

J´a na segunda se¸c˜ao abordaremos os espa¸cos de sequˆencias que em dimen˜ao infinita s˜ao Banach, apesar de existir espa¸cos de dimens˜ao infinita que n˜ao s˜ao Banach, como ´e o caso do espa¸co de sequˆenciac₀₀. Veremos tamb´em duas desigualdades de fundamental importˆancia para An´alise Funcional: Desigualdades de H¨older e Minkowski com suas demonstra¸c˜oes.

1.1 Algumas defini¸ c˜ oes e exemplos

Umespa¸co m´etrico´e um par ordenado (M, d) ondeM ´e um conjunto ed:M X M → R´e uma m´etrica que obedece as seguintes condi¸c˜oes, para todo x, y, z ∈M:

(M1) d(x, y)≥0;

(M2) d(x, y) = 0 ⇔x = y ; (M3) d(x, y) = d(y, x);

(M4) d(x, z)≤d(x, y) +d(y, z).

Sejam D, F ⊂M, a distˆancia entre De F ´e definida por dist(D, F) := inf{d(x, y) :x∈D e y∈F}.

Em um espa¸co m´etrico (M, d) temos as seguintes defini¸c˜oes para uma sequˆencia (x_n)^∞_n=1 em M:

1. (x_n)^∞_n=1 converge para x∈M, quando lim

n→∞d(x_n, x) = 0.

2. A sequˆencia (x_n)^∞_n=1 ´e dita de Cauchy quando lim

m,n→∞d(x_m, x_n) = 0. Toda sequˆencia convergente ´e de Cauchy.

3. Diremos que o espa¸co m´etrico (M, d) ´e completo, quando toda sequˆencia de Cauchy em M ´e convergente, isto ´e, converge para um elemento em M. Neste caso, a m´etrica ´e dita completa.

Uma norma em um espa¸co vetorial E ´e uma fun¸c˜ao k · k:E →R

que satisfaz as seguintes condi¸c˜oes:

(N1) ∀ x∈E,kxk ≥0 e kxk= 0⇔x= 0;

(N2) ∀ a∈K,∀ x∈E, ka·xk=|a|kxk;

(N3) ∀ x, y ∈E,kx+yk ≤ kxk+kyk.

Chamaremos de espa¸co vetorial normado todo espa¸co vetorial que estiver munido de uma norma. O corpo dos escalares munido do valor absoluto|·|´e um espa¸co vetorial normado.

Todo espa¸co normado ´e um espa¸co m´etrico, com m´etrica induzida pela norma de- finida por d(x, y) := kx−yk. Em particular, uma sequˆencia (x_n)^∞_n=1 em E converge para x∈E quando

n→∞lim kx_n−xk= 0.

A defini¸c˜ao seguinte trata dos principais espa¸cos que trataremos neste trabalho.

Defini¸c˜ao 1.1. Um espa¸co de Banach ´e um espa¸co vetorial normado, cuja m´etrica induzida pela norma ´e completa.

Proposi¸c˜ao 1.1. Considere E espa¸co de Banach eF subespa¸co vetorial deE. Diremos queF ser´a Banach se, e somente se, F for fechado emE.

Demonstra¸c˜ao. ⇒) Vamos supor que F ´e Banach e tomar (x_n)^∞_n=1 uma sequˆencia de F tal que lim

n→∞x_n = x ∈ E, da´ı, (x_n)^∞_n=1 ´e de Cauchy em F, e portanto convergente j´a que por hip´otese F ser´a completo. Ent˜ao existe y ∈ F tal que lim

n→∞x_n = y. Pela unicidade do limite, segue quex=y∈F, o que prova queF ´e fechado em E.

⇐) Por outro lado, vamos supor que F seja fechado em E e seja (xn)^∞_n=1 uma sequˆencia de Cauchy em F. Logo (xn)^∞_n=1 ´e de Cauchy em E, pois F ´e subespa¸co vetorial de E. Portanto existe x ∈ E tal que lim

n→∞x_n = x. Como F ´e fechado temos quex∈F, o que mostra que F ´e completo.

Exemplo 1.1. Sejam X 6= 0 um Espa¸co Normado e f :X →K uma fun¸c˜ao limitada, isto ´e, sua imagem ´e um subconjunto limitado deK. Chamaremos deB(X) o conjunto de tais fun¸c˜oes limitadasf :X →K, que ser´a Banach quando munido da norma:

kfk∞:= sup

x∈X

|f(x)|.

Vamos verificar que k · k∞ ´e uma norma. De fato:

(N1)

kfk∞:= sup

x∈X

|f(x)| ≥0

⇔ |f(x)| ≥0 ∀ x.

kfk= 0⇔f = 0

⇒)kfk∞:= sup

x∈X

|f(x)|= 0,∀ x

⇒|f(x)|= 0,∀x

⇒f(x) = 0,∀x

⇒f = 0.

⇐)f = 0

⇒f = sup

x∈X

|f(x)|= 0,∀x

⇒kfk_∞:= sup

x∈X

|f(x)|= 0.

(N2)

∀a, ka·fk∞ := sup

x∈X

|a·f(x)|

=|a| ·sup

x∈X

|f(x)|

:=|a| · kfk∞.

(N3)

kf+gk∞:= sup

x∈X

|(f +g)(x)|

= sup

x∈X

|f(x) +g(x)|

≤sup

x∈X

[|f(x)|+|g(x)|]

≤sup

x∈X

|f(x)|+ sup

x∈X

|g(x)|

:=kfk∞+kgk∞. Vejamos agora a completude.

Seja (fn)^∞_n=1 de Cauchy em B(X). Ent˜ao ∀ ε > 0,∃ n0 ∈ N tal que, ∀ m, n≥ n0, vale

kf_m−f_nk_∞≤ε, mas,

kf_m−f_nk∞= sup

x∈X

|f_m(x)−f_n(x)| ≥ |f_m(x)−f_n(x)|,∀x∈X. (1.1) Isto significa que, fixadox∈X, (f_n(x))^∞_n=1´e de Cauchy emK. ComoK´e completo, ent˜ao existe α_x ∈K tal que

n→∞lim fn(x) =αx. Com isso, definimos f :X →Kpor

f(x) := limf_n(x).

Mostremos que:

(i) f ∈ B(X);

(ii) lim

n→∞f_n =f.

De (ii), precisamos mostrar que lim

n→∞kf_n−fk∞= 0.

Dadoε >0, teremos que encontrar n₀ tal que n≥n₀ ⇒ kf_n−fk_∞≤ε,

mas,

kf_n−fk∞:= sup

x∈X

|f_n(x)−f(x)| ≤ε.

Como (f_n)^∞_n=1 ´e uma sequˆencia de Cauchy, ent˜ao existe n₀ que cumpre a equa¸c˜ao 1.1, isto ´e, ∀m, n≥n₀,

ε≥ |f_m(x)−f_n(x)|,∀x∈X. (1.2) Tomandom → ∞na equa¸c˜ao 1.2, obtemos

|f(x)−f_n(x)| ≤ε,∀x∈X, (1.3) mas,

|f(x)−f_n(x)| ≤ sup

x∈X

|f(x)−f_n(x)|=kf−f_nk∞, (1.4) para n ≥ n₀. Da´ı, da equa¸c˜ao 1.3 sabemos que (i) (f −f_n) ´e limitada, ^B(X)´⇒^{e EV} f = (f −f_n) +f_n, como (f −f_n)∈ B(X) e f_n ∈ B(X), logo f ∈ B(X), e da equa¸c˜ao 1.4 sabemos que (ii) tamb´em significa que

n→∞lim kf_n−fk∞= 0, ou seja, f_n →f em B(X).

Exemplo 1.2. Seja um intervalo [a, b] compacto emR. SejaC[a, b] o conjunto de todas as fun¸c˜oes cont´ınuas de [a, b] em K, comoC[a, b] ´e um subespa¸co vetorial do espa¸co de B[a, b] := B([a, b]), ent˜aoC[a, b] ´e um espa¸co normado, com a seguinte norma induzida:

kfk∞ = sup {|f(x)|:x ∈ [a, b]}= m´ax {|f(x)|:x ∈ [a, b]}.

Vamos mostrar queC[a, b] ´e Banach. Do exemplo 1.1, temos queB[a, b] ´e Banach e pela Proposi¸c˜ao 1.1, basta mostrar queC[a, b] ´e subespa¸co fechado deB[a, b]. Devemos provarf ∈ C[a, b]:

f_n→f ∈ B(X)

⇔ lim

n→∞kf_n−fk∞= 0

⇔fn→f uniformemente

⇒f ´e cont´ınua .

Exemplo 1.3. O espa¸co das fun¸c˜oes continuamente diferenci´aveis ´e definida por:

C¹[a, b] := {f : [a, b]→R:f ´e diferenci´avel em [a, b] ef⁰ ∈ C[a, b]}.

Sabemos queC¹[a, b] subespa¸co vetorial deC[a, b]. No entanto,C¹[a, b] n˜ao ´e fechado

em C[a, b] na norma k · k∞. Consideremos a seguinte norma sobre C¹[a, b]

kfk_C¹ =kfk∞+kf⁰k∞.

Veremos agora que k · k_C¹ ´e um espa¸co de Banach. Inicialmente vejamos que ´e uma norma. De fato,

(N1)

kfk_C¹ :=kfk∞+kf⁰k∞

:= sup

x∈X

|f(x)|+ sup

x∈X

|f⁰(x)| ≥0.

kfk∞= 0 ⇔f = 0

⇒)kfkC¹ :=kfk∞+kf⁰k∞

:= sup

x∈X

|f(x)|+ sup

x∈X

|f⁰(x)|= 0

⇒ |f(x)|= 0,∀xe |f⁰(x)|= 0,∀x

⇒f = 0.

⇐)f = 0

⇒ |f|= 0 e |f⁰|= 0

⇒ sup

x∈X

|f(x)|+ sup

x∈X

|f⁰(x)|=kfk∞+kf⁰k∞

:=kf(x)kC¹ = 0.

(N2)

kafkC¹ :=kafk∞+k(af)⁰k∞

=|a| · kfk∞+|a|kf⁰k∞

:=|a| ·(kfk_∞+kf⁰k_∞) :=|a| · kfkC¹.

(N3)

kf+gk_C¹ =kf+gk∞+kf⁰+g⁰k∞

≤(kfk∞+kgk∞) + (kf⁰k∞+kg⁰k∞)

= (kfk∞+kf⁰k∞) + (kgk∞+kg⁰k∞) :=kfk_C¹+kgk_C¹.

Na primeira desigualdade de (N3) aplicamos a desigualdade triangular dak·k.Portanto, k · kC¹ ´e uma norma.

Devemos mostrar agora que (C¹[a, b],k·kC¹) ´e completo. Tomemos uma sequˆencia de Cauchy em (C¹[a, , b],k · kC¹), como kfk∞ ≤ kfkC¹ ekfk∞≤ kf⁰kC¹, da´ı, as sequˆencias (f_n)^∞_n=1 e (f_n⁰)^∞_n=1 s˜ao de Cauchy em C[a, b]. Sabemos do exemplo 1.2, que C[a, b] ´e completo, logo existemf, g∈ C[a, b] tais quef_n →f ef_n⁰ →g uniformemente. Usando o Teorema Fundamental do C´alculo temos que, ∀n ∈Ne x∈[a, b] fixados,

f_n(x)−f_n(a) = Z x

a

f_n⁰(t)dt,

∀x∈[a, b] en ∈N.

Tomandon → ∞, comofn→f, teremos f(x)−f(a) = lim

n→∞f_n(x)− lim

n→∞f_n(a)

= lim

n→∞

Z x a

f_n⁰(t)dt.

Da Proposi¸c˜ao A.4 do apˆendice, temos que:

f(x)−f(a) = lim

n→∞

Z x a

f_n⁰(t)dt

= Z x

a

n→∞lim f_n⁰(t)dt

= Z x

a

g.

Portanto, do Teorema Fundamental do C´alculo,f ´e deriv´avel e f⁰ =g. Concluindo quef ∈ C¹[a, b].Como,

kf_n−fkC¹ =kf_n−fk∞+kf_n⁰ −f⁰k∞

=kf_n−fk∞+kf_n⁰ −gk∞→0.

Na segunda igualdade usamos o fato def⁰ =g, e na→ tomamos n→ ∞, logof_n→f ef_n⁰ →g. Isso conclui que C¹[a, b] ´e Banach.

De maneira an´aloga aC¹[a, b] definimos fun¸c˜oes que s˜ao duas vezes diferenci´aveis:

C²[a, b] :={f : [a, b]→R:f ´e diferenci´avel em [a, b] e f⁰ ∈ C¹[a, b]}.

De modo an´alogo aC¹[a, b],C²[a, b] ser´a espa¸co de Banach com a seguinte norma:

kfk_C² =kfk_∞+kf⁰k_∞+kf⁰⁰k_∞.

Indutivamente, definimos o espa¸co das fun¸c˜oes k vezes diferenci´aveis por C^k[a, b] :=

f : [a, b]→R f ´e diferenci´avel em[a, b] ef⁰ ∈C^k−1[a, b] , cuja norma ser´a dada por

kfk_C^k :=kfk∞+kf⁽¹⁾k∞+· · ·+kf^(k)k∞, onde f^(k) representa a k-´esima derivada de f.

Usaremos as seguintes normas sobreKⁿ, com n∈N: k(a₁, . . . , a_n)k₁ =|a₁|+· · ·+|a_n|, k(a₁, . . . , a_n)k₂ = (|a₁|²+· · ·+|a_n|²)^1/2, k(a₁, . . . , a_n)k_∞= m´ax{|a₁|,· · ·,|a_n|}.

Mostraremos que todo espa¸co de dimens˜ao finita ´e completo, para isso precisaremos do seguinte lema:

Lema 1.2. Tome B = {x₁, ..., x_n} um conjunto linearmente independente. Ent˜ao existe uma constante c >0, que depende deB, tal que,

ka₁x₁ +· · ·+a_nx_nk ≥c(|a₁|+· · ·+|a_n|),

∀a₁,· · · , a_n∈K.

Demonstra¸c˜ao. Sabemos que emRⁿ, quaisquer duas normas s˜ao equivalentes, ver (de- fini¸c˜aoA.9 no apˆendice.) O resultado vale de forma an´aloga para Cⁿ. Vamos verificar que

(a₁,· · · , a_n)∈Kⁿ →

n

X

j=1

a_jx_j E

∈R,

´e uma norma emKⁿ:

(N1)

n

X

j=1

ajxj

≥0, por k · k:E →Rser norma.

k(a₁, . . . , a_n)k_Kⁿ = 0⇔(a₁, . . . , a_n) = (0, . . . ,0) = 0_Kⁿ

⇒)0_Kⁿ =k(a₁,· · · , a_n)k_Kⁿ :=

n

X

j=1

a_jx_j E k·k´e norma

⇒

n

X

j=1

a_jx_j = 0

B ´e base

⇒ a₁ =· · ·=a_n = 0.

⇐)k0_Kⁿk=k(0,0,· · · ,0)k_Kⁿ :=

n

X

j=1

0·x_j E

=k0_Ek_E = 0_Kⁿ.

(N2)

kλ·(a₁, . . . , a_n)k_Kⁿ =k(λ·a₁, . . . , λ·a_n)k_Kⁿ

=

n

X

j=1

λa_jx_j

= λ

n

X

j=1

a_jx_j

! E

=|λ|

n

X

j=1

a_jx_j E

=|λ|k(a₁,· · · , a_n)k_Kⁿ.

(N3)

k(a₁,· · · , a_n) + (b₁,· · · , b_n)k_Kⁿ =k(a₁+b₁,· · · , a_n+b_n)k_Kⁿ

=

n

X

j=1

(aj+bj)xj

E

=

n

X

j=1

ajxj

! +

n

X

j=1

bjxj

! E Desig.T riang.

≤

n

X

j=1

ajxj

E

+

n

X

j=1

bjxj

E

=k(a₁,· · ·, a_n)k_Kⁿ+k(b₁,· · · , b_n)k_Kⁿ. Portantok · k_Kⁿ ´e uma norma emKⁿ que ser´a equivalente `a norma, ou seja, ∃c >0 tal que

ka1x1+· · ·+anxnkE =:k(a1, . . . , an)k_Kⁿ

≥ck(a₁, . . . , a_n)k_Kⁿ

=c(|a₁|+· · ·+|a_n|).

Teorema 1.3. Seja E um Espa¸co Normado comdimE <∞, ent˜aoE ´e Banach. Logo para todo subespa¸co de dimens˜ao finita, num Espa¸co Normado E ´e fechado (em E).

Demonstra¸c˜ao. Considere{β₁,· · · , β_n}uma base normalizada deE. Seja uma sequˆencia de Cauchy (x_k)^∞_k=1 em E. Portanto existem ´unicos escalares a^k₁,· · · , a^k_n onde

x_k =a^k₁β₁+· · ·+a^k_nβ_n.

Dado ε >0, tomemos n₀ ∈ N tal que kx_k−x_mk < c·,∀k, m ≥ n₀, em que c ´e a constante do Lema 1.2. Da´ı temos que:

kx_k−x_mk=k(a^k₁β₁+· · ·+a^k_nβ_n)−(a^m₁ β₁+· · ·+a^m_nβ_n)

≥c|(a^k₁ +· · ·+a^k_n)−(a^m₁ +· · ·+a^m_n)|.

Logo,

n

X

j=1

(a^k_j −a^m_j )β_j

≥c

n

X

j=1

a^k_j −a^m_j .

Da´ı,

⇒ |a^k_j −a^m_j | ≤

n

X

j=1

|a^k_j −a^m_j |

≤ 1 c

n

X

j=1

(a^k_j −a^m_j )β_j

= 1 c

n

X

j=1

a^k_jβ_j −

n

X

j=1

a^m_j β_j

= 1

ckxk−xmk

< 1

c ·c·=,

para todosk, m≥n₀. Portanto, para cadaj = 1, . . . , n,fixado, temos que a sequˆencia de escalares (a^k_j)^∞_k=1 ´e de Cauchy (em K), logo convergente, existindo lim

k→∞a^k_j = bj ∈ K,∀j = 1, ..., n. Note que lim

k→∞|a^k_j −b_j| = 0, para j = 1, . . . , n. Consideremos x = b₁β₁+· · ·+b_nβ_n ∈E. Com isso,

k→∞lim kx_k−xk= lim

k→∞k(a^k₁β₁+· · ·+a^k_nβ_n)−(b₁β₁+· · ·b_nβ_n)k

= lim

k→∞

n

X

j=1

(a^k_j −b_j)β_j

≤ lim

k→∞

n

X

j=1

(a^k_j −bj)βj

≤ lim

k→∞

n

X

j=1

|a^k_j −b_j|kβ_jk

=

n

X

j=1

k→∞lim |a^k_j −b_j|= 0.

Na primeira desigualdade aplicamos a desigualdade triangular, ja na ´ultima igualdade usamos o fato de kβ_jk = 1, o que prova que x_k → x, logo E ´e Banach. A segunda afirma¸c˜ao segue da Proposi¸c˜ao 1.1.

1.2 Espa¸ cos de sequˆ encias: `

_∞

, c

₀

, c

₀₀

e `

_p

Como vimos na se¸c˜ao anterior, todo espa¸co normado de dimens˜ao finita ´e Banach.

Vamos mostrar alguns espa¸cos de dimens˜ao infinita que s˜ao Banach.

Veremos agora dois resultados bastante importantes: Desigualdades de H¨older e de Minkowski.

Proposi¸c˜ao 1.4. (Desigualdade de H¨older) Sejam p, q ≥1, com ¹_p +¹_q = 1. Logo

n

X

j=1

|βjγj| ≤

n

X

j=1

|βj|^p

!¹_{p n} X

j=1

|γj|^q

!¹_q

(1.5)

para todos escalaresβ_j, γ_j, j = 1,· · · , n∈N.

Demonstra¸c˜ao. Devemos inicialmente mostrar, que ∀a, b >0, temos a^1p ·b^1q ≤ a

p + b

q · (1.6)

Tome a fun¸c˜aof =f_α : (0,∞)→R, tal que f(t) =t^α−αt com 0< α <1. Ent˜ao f⁰(t) = αt^α−1−α=α(t^α−1−1). Vamos analisar a derivada da fun¸c˜ao.

A fun¸c˜ao f(t) com t = 1 ser´a ponto de m´aximo, pois f⁰⁰(t) = α(α−1)t^α−2 < 0, quando f⁰(t)>0 ent˜ao 0 < t <1 e quando f⁰(t)<0 ent˜ao t >1.

Como a fun¸c˜ao ´e ponto de m´aximo ent˜ao f(t) ≤ f(1) e substituindo na fun¸c˜ao tomada, teremos que:

t^α ≤αt+ (1−α).

Considerando t = ^a_b e α= ¹_p, da´ı a

b ¹_p

≤ 1

p a

b

+

1− 1 p

· (1.7)

Multiplicando a equa¸c˜ao 1.7 por b, temos

a^1p ·b^1−p1 ≤a b

1 p·b

+

1−1

p

·b. (1.8)

Como ¹_p +¹_q = 1, ent˜ao

1

q = 1− 1

p · (1.9)

Substituindo a equa¸c˜ao 1.9 na equa¸c˜ao 1.8, temos a^p1 ·b^1q ≤a

b

1 p ·b

+

1 q

·b= a

p

+ b

q

· (1.10)

Portanto a inequa¸c˜ao 1.6 est´a provada.

Vamos agora dividi-la em dois casos:

1) Se

n

X

j=1

|β_j|= 0 ou

n

X

j=1

|γ_j|= 0, n˜ao h´a o que fazer.

2) Se

n

X

j=1

|β_j| 6= 0 e

n

X

j=1

|γ_j| 6= 0 e usando a inequa¸c˜ao 1.6, devemos mostrar que a inequa¸c˜ao 1.5 ´e verdadeira.

Vamos considerar

a_j = |β_j|^p

n

X

k=1

|β_k|^p

e b_j = |γ_j|^q

n

X

k=1

|γ_k|^q

· (1.11)

Substituindo 1.11 em 1.10, obtemos

(a_j)^1p ·(b_j)^1q =













|β_j|^p

n

X

k=1

|β_k|^p













1 p

·













|γ_j|^q

n

X

k=1

|γ_k|^q













1 q

≤ a_j p + b_j

q

(|β_j|^p)^1p (

n

X

k=1

|β_k|^p)^1p

! · (|γ_j|^q)^1q (

n

X

k=1

|γ_k|^q)^1q

! ≤ a_j p + b_j

q

|βj||γj| (

n

X

k=1

|β_k|^p)^1p

!

· (

n

X

k=1

|γ_k|^q)^1q

! ≤ aj

p + bj

q

|β_j||γ_j| (

n

X

k=1

|βk|^p)^1p

!

· (

n

X

k=1

|γk|^q)^1q

! ≤



















|βj|^p n

X

k=1

|β_k|^p

p +

|γj|^q n

X

k=1

|γ_k|^q q



















· (1.12)

Passando

n

X

j=1

em ambos os lados da inequa¸c˜ao 1.12, temos

n

X

j=1

|β_j||γ_j|

(

n

X

k=1

|β_k|^p)^1p

!

· (

n

X

k=1

|γ_k|^q)^1q

! ≤

































n

X

j=1

|β_j|^p

n

X

k=1

|β_k|^p

p +

n

X

j=1

|γ_j|^q

n

X

k=1

|γ_k|^q q

































n

X

j=1

|β_j||γ_j|

(

n

X

k=1

|β_k|^p)^1p

!

· (

n

X

k=1

|γ_k|^q)^1q

! ≤

(|β₁|)^p+···+(|βn|)^p (|β1|)^p+···+(|βn|)^p

p +

(|γ₁|)^q+···+(|γn|)^q (|γ1|)^q+···+(|γn|)^q

q

!

n

X

j=1

|β_j||γ_j|

(

n

X

k=1

|β_k|^p)^p1

!

· (

n

X

k=1

|γ_k|^q)^1q

! ≤ 1

p +1 q

· (1.13)

Substituindo ¹_p + ¹_q = 1, tomando k =j e invertendo a desigualdade, temos:

n

X

j=1

|β_jγ_j| ≤ (

n

X

j=1

|β_j|^p)^1p

!

· (

n

X

j=1

|γ_j|^q)^1q

!

· (1.14)

Logo, em 1.14 fica provado 1.5.

Proposi¸c˜ao 1.5. (Desigualdade de Minkowski) Dado p≥1, vale

n

X

k=1

|β_k+γ_k|^p

!¹_p

≤

n

X

k=1

|β_k|^p

!¹_p +

n

X

k=1

|γ_k|^p

!_p¹

para todos escalaresβ_k, γ_k, k= 1,· · · , n, n∈N.

Demonstra¸c˜ao. Claramente temos que para p = 1 a desigualdade ´e v´alida. Agora, vamos supor parap > 1. No caso em que

" _n X

k=1

(|βk|+|γk|)^p

#¹_p

= 0, ´e imediato. Vamos supor que

" _n X

k=1

(|β_k|+|γ_k|)^p

#_p¹

6= 0 · (1.15)

Ent˜ao,

(|β_k|+|γ_k|)^p = (|β_k|+|γ_k|)^p·

|β_k|+|γ_k|

|β_k|+|γ_k|

=

= (|β_k|+|γ_k|)^p·(|β_k|+|γ_k|)·(|β_k|+|γ_k|)⁻¹ =

= (|β_k|+|γ_k|)·(|β_k|+|γ_k|)^p−1 =

=|β_k| ·(|β_k|+|γ_k|)^p−1+|γ_k| ·(|β_k|+|γ_k|)^p−1. (1.16) Como ¹_p + ¹_q = 1, ent˜ao p = q(p−1), usando a desigualdade de H¨older, em cada parte de 1.16, temos

n

X

k=1

|β_k| ·(|β_k|+|γ_k|)^{p−1 Des.Holder}≤

n

X

k=1

|β_k|^p

!¹_p

·

n

X

k=1

(|β_k|+|γ_k|)^q·(p−1)

!¹_q

=

n

X

k=1

|β_k|^p

!¹_p

·

n

X

k=1

(|β_k|+|γ_k|)^p

!¹_q

. (1.17)

De maneira an´aloga a 1.17, temos que

|γ_k| ·(|β_k|+|γ_k|)^{p−1 Des.Holder}≤

n

X

k=1

|γ_k|^p

!¹_p

·

n

X

k=1

(|β_k|+|γ_k|)^p

!¹_q

. (1.18)

Substituindo 1.17 e 1.18 em 1.16, obtemos:

n

X

k=1

(|β_k|+|γ_k|)^p ≤

n

X

k=1

|β_k|^p

!¹_p

·

n

X

k=1

(|β_k|+|γ_k|)^p

!¹_q +

n

X

k=1

|γ_k|^p

!¹_p

·

n

X

k=1

(|β_k|+|γ_k|)^p

!¹_q

=

n

X

k=1

(|β_k|+|γ_k|)^p

!¹_q

·





n

X

k=1

|β_k|^p

!¹_p +

n

X

k=1

|γ_k|^p

!¹_p



n

X

k=1

(|β_k|+|γ_k|)^p

n

X

k=1

(|β_k|+|γ_k|)^p

!¹_q

≤





n

X

k=1

|β_k|^p

!¹_p +

n

X

k=1

|γ_k|^p

!¹_p



" _n X

k=1

(|β_k|+|γ_k|)^p

#1−¹_q

≤





n

X

k=1

|β_k|^p

!¹_p +

n

X

k=1

|γ_k|^p

!¹_p

 · (1.19)

Como ¹_p +¹_q = 1, ent˜ao ¹_p = 1− ¹_q e substituindo em 1.19 obtemos

" _n X

k=1

(|βk|+|γk|)^p

#¹_p

≤





n

X

k=1

|βk|^p

!¹_p +

n

X

k=1

|γk|^p

!¹_p

 · (1.20)

Portanto, em 1.20 est´a provado a desigualdade de Minkowski.

Exemplo 1.4. Seja `_∞ := {(a_j)^∞_j=1 : a_j ∈ K para todo j ∈ N e sup

j∈N

|a_j| < ∞ }, o espa¸co das sequˆencias limitadas, se torna um espa¸co de Banach com a norma

k(a_j)^∞_j=1k∞:= sup{|a_j|:j ∈N}.

Inicialmente vejamos que ´e uma norma. De fato, observe que:

(N1)

k(a_j)^∞_j=1k∞ := sup

j∈N

|a_j| ≥0

⇔ |a_j| ≥0,∀j.

k(a_j)^∞_j=1k∞ = 0⇔a_j = 0

⇒)k(a_j)^∞_j=1k∞:= sup

j∈N

|a_j|= 0,∀j

⇒ |a_j|= 0,∀j

⇒a_j = 0,∀j.

⇐)aj = sup

j∈N

|aj|

:=k(a_j)^∞_j=1k∞= 0,∀j.

(N2)

k(λ·a_j)k∞:= sup

j∈N

|λ·a_j| :=|λ| ·sup

j∈N

|aj|

=|λ| · k(a_j)^∞_j=1k∞.

(N3)

k(a_j)^∞_j=1+ (b_j)^∞_j=1k∞ := sup

j∈N

|a_j+b_j|

≤sup

j∈N

|a_j|+ sup

j∈N

|b_j|

:=k(a_j)^∞_j=1k_∞+k(b_j)^∞_j=1k_∞.

Acima aplicamos a desigualdade de Minkowski 1.5 para chegar ao resultado final, j´a na ´ultima igualdade aplicamos a defini¸c˜ao de k · k∞.

Devemos mostrar que `∞ ´e completo.

Seja (aⁿ)^∞_n=1 uma sequˆencia de Cauchy em `∞. Note que a<sup>n</sup> = (a<sup>n</sup><sub>k</sub>)<sup>∞</sup><sub>k=1</sub> ∈`∞.

Ent˜ao, por (a_n)^∞_n=1 ser de Cauchy, dado ε >0, existe n₀ ∈N tal que, ∀m, n≥n₀, kaⁿ−a^mk∞ ≤ε,

mas,

kaⁿ−a^mk∞ = sup

k→∞

|aⁿ_k−a^m_k| ≥ |aⁿ_k−a^m_k|,∀k, (1.21) isto ´e, ∀k ∈ N fixo, (aⁿ_k)^∞_n=1 ´e de Cauchy em K, logo convergente, isto ´e, existe a_k :=

n→∞lim aⁿ_k, para cada k ∈Nfixado.

Considere a:= (a_k)_k∈

N, queremos provar:

(i) a = (a_k)^∞_k=1 ∈`∞; (ii) a<sup>n</sup>→a∈`∞.

Para k fixo,

|aⁿ_k−a^m_k| ≤ε,∀m, n≥n₀. (1.22) Tomandom → ∞,

|a_k−aⁿ_k| ≤ε,∀n≥n₀,∀k ∈N, (1.23) mas,

|a_k−aⁿ_k| ≤ sup

k→∞

|a_k−aⁿ_k|=:ka−aⁿk∞,∀n≥n₀, ent˜ao,

ka−aⁿk∞ ≤ε,∀n≥n₀. (1.24) Da equa¸c˜ao 1.22, (a−aⁿ) ´e limitada, isto ´e, pertence `∞ e da equa¸c˜ao 1.23, temos

queaⁿ pertence a `∞. Como`∞ ´e um espa¸co vetorial, da´ı:

a= (a−aⁿ) +aⁿ ∈`∞,

o que prova (i). A equa¸c˜ao 1.24 significa queaⁿ→aem `_∞, o que prova (ii). Portanto

`∞ ´e Banach.

Exemplo 1.5. Sejac₀o conjunto de todas as sequˆencias de escalares em que convergem para zero:

c₀ ={(a_k)^∞_k=1 :a_k ∈K, para todok ∈N, e a_k →0}.

Devemos mostrar que c0 ´e fechado, o que pela Proposi¸c˜ao 1.1 nos garante quec0 ´e Banach.

Como c₀ ´e subespa¸co vetorial de `<sub>∞</sub> e `_∞ ´e Banach, isto significa que c₀ ´e fechado.

Sejaa:= (a_k)^∞_k=1, e aⁿ:= (aⁿ_k)^∞_k=1 ∈c₀,∀n temos que lim

n→∞aⁿ =a. Ser´a que a∈c₀? Fixemosε >0, ent˜ao existe n₀ ∈Ntal que:

ka−aⁿk∞≤ε, n≥n₀ ka−aⁿ_kk_∞ = sup

k→∞

|a_k−aⁿ_k| ≥ |a_k−aⁿ_k|,∀k ∈N. (1.25) Da equa¸c˜ao 1.25, teremos para n ≥n₀ fixo,

|a_k| ≤ |a_k−aⁿ_k|+|aⁿ_k|

≤ε+|aⁿ_k|.

Tomandok → ∞, temos:

k→∞lim |a_k| ≤ε+ lim

k→∞|aⁿ_k| ε+ 0

=ε.

Assim,

a= lim

k→∞|a_k| ≤ε,∀ε >0

⇒ lim

k→∞|a_k|= 0

⇔a = (a_k)^∞_k=1 ∈c₀. Portanto, c₀ ´e fechado.

Exemplo 1.6. Seja c₀₀ subespa¸co vetorial de c₀, onde

c₀₀ :={(a_k)^∞_k=1 ∈c₀ : existe k₀ ∈N tal que a_k = 0 para todo k ≥k₀}.

Tomando os seguintes vetores de c₀₀:

x₁ = (1,0,0,0,· · ·), x₂ = (1,¹₂,0,0,· · ·),· · · , x_n = (1,¹₂,· · ·,_n¹,0,0,· · ·),· · · Podemos observar que (x_n)^∞_n=1 ´e uma sequˆencia emc₀₀. Considerex= _k¹∞

k=1 ∈c₀, comoc₀ ´e convergente ent˜ao kx_n−xk∞= _n+1¹ →0 e da´ı temos que x_n→x∈c₀, mas x /∈ c₀₀, logo c₀₀ ´e um subespa¸co n˜ao fechado de c₀, e pela Proposi¸c˜ao 1.1 c₀₀ n˜ao ´e completo.

Exemplo 1.7. Seja `_p := {(a_j)^∞_j=1 : a_j ∈ K para todo j ∈ N e

∞

X

j=1

|a_j|^p < ∞} ´e um espa¸co de Banach com a norma

k(a_j)^∞_j=1k_p :=

∞

X

j=1

|a_j|^p

!¹_p .

Devemos mostrar que k.kp ´e uma norma.

Demonstra¸c˜ao. Inicialmente, vejamos que ´e uma norma. Com efeito, note que, (N1)

k(a_j)^∞_j=1k_p :=

∞

X

j=1

|a_j|^p

!¹_p

≥0

⇒

∞

X

j=1

|a_j|^p

!¹_p

≥0.

k(aj)^∞_j=1kp = 0 ⇔aj = 0

⇒)k(a_j)^∞_j=1k_p :=

∞

X

j=1

|(a_j)|^p

!¹_p

= 0

⇒ |(a_j)|^p = 0

⇒ k(a_j)k_p = 0.

⇐)a_j = 0

⇒a^p_j = 0

⇒ |(a_j)|^p :=

∞

X

j=1

|(a_j)|^p

!¹_p

:=k(a_j)k_p = 0.

(N2)

k(λ·aj)kp =

∞

X

j=1

|λ·aj|^p

!¹_p

=|λ| ·

∞

X

j=1

|a_j|^p

!¹_p

=|λ| · k(a_j)]k_p. (N3)

k(aj) + (bj)kp =

∞

X

j=1

|(aj)|^p

!_p¹ +

∞

X

j=1

|(bj)|^p

!¹_p

≤

∞

X

j=1

|(a_j)|^p

!¹_p +

∞

X

j=1

|(b_j)|^p

!_p¹

=k(a_j)k_p+k(b_j)k_p.

Acima aplicamos a desigualdade de Minkowski 1.5 e na ´ultima igualdade aplicamos a defini¸c˜ao de k · k_p. Portanto, k.k_p ´e uma norma.

Devemos mostrar agora que `<sub>p</sub> ´e Banach. Tomando (x<sub>n</sub>)<sup>∞</sup><sub>n=1</sub> uma sequˆencia de Cauchy em `p, e cada

xn = (ζn1, ζn2,· · ·).

Logo

kx_n−x_mk=

∞

X

j=1

|ζ_mj −ζ_nj|^p

!¹_p

≥ |ζ_mj −ζ_nj|,

∀j. Da´ı, temos que a sequˆencia (ζ_nj)^∞_j=1 ´e de Cauchy em K, pois (x_n)^∞_j=1 ´e de Cauchy em `_p. Como K ´e completo, ent˜ao lim

n→∞(ζ_nj) = ζ_j. Considere x = (ζ_j)^∞_j=1. Devemos mostrar que x pertence a l_p e que lim

n→∞(x_n) =x.

Seja >0, existe n₀ ∈N, tal que

kx_m−x_nk ≤,

∀m, n≥n₀.

Logo, ∀N →N, temos

N

X

j=1

|ζ_mj −ζ_nj|^p

!¹_p

≤,

∀m, n≥n₀.

Tomandon → ∞, temos

N

X

j=1

|ζ_mj −ζ_j|^p

!¹_p

≤,

∀m≥n₀ e N ∈N.E por fim, tomando N → ∞, temos kx_m−xk ≤,

∀m≥n0, da´ı lim

n→∞(xn0) =x, portanto lim

n→∞xn =x.

Cap´ıtulo 2

Espa¸ cos normados: compactos e separ´ aveis

Neste cap´ıtulo mostraremos a utilidade da compacidade em espa¸cos normados tamb´em veremos os espa¸cos separ´aveis e algumas defini¸c˜oes para identific´a-los.

Na primeira se¸c˜ao deste cap´ıtulo veremos a compacidade em espa¸cos normados. Em dimens˜ao finita, mostraremos que s˜ao precisamente fechados e limitados. Exibiremos o Lema de Riesz que nos assegura que em dimens˜ao infinita a bola fechada nunca ser´a compacta.

Na segunda se¸c˜ao deste cap´ıtulo veremos os espa¸cos separ´aveis que s˜ao exatamente os subconjuntos enumer´aveis e densos em um conjunto.

2.1 Compacidade nos espa¸ cos normados

Conjuntos compactos s˜ao de extrema importˆancia em an´alise, em virtude das di- versas aplica¸c˜oes, principalmente em equa¸c˜oes diferenciais. Em dimens˜ao finita os compactos s˜ao precisamente os fechados e limitados. Em dimens˜ao infinita isto n˜ao ocorrer´a, como veremos em seguida.

Defini¸c˜ao 2.1. Um subconjunto K de um espa¸co m´etrico ´e dito compacto, quando toda cobertura aberta deK admite uma subcobertura finita.

Lema 2.1. Seja M espa¸co m´etrico eK ⊂M. S˜ao equivalentes:

(a) K ´e compacto;

(b) Para todo (x_n)^∞_n=1 em K, existe x∈K e existe (x_nk)^∞_k=1 tal que lim

k→∞x_nk =x.

O pr´oximo resultado assegura que em dimens˜ao finita os compactos s˜ao exatamente os fechado e limitados.